Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках
Найдены равномерные относительно параметра p,1≤p≤∞, оценки сверху наилучших приближений тригонометрическими полиномами классов периодических функций Cψβ,p, порождаемых последовательностями ψ(k), убывающими к нулю быстрее любой степенной функции. Полученные оценки точны по порядку и содержат выраженн...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166106 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1244–1256. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166106 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661062020-02-19T01:27:35Z Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. Статті Найдены равномерные относительно параметра p,1≤p≤∞, оценки сверху наилучших приближений тригонометрическими полиномами классов периодических функций Cψβ,p, порождаемых последовательностями ψ(k), убывающими к нулю быстрее любой степенной функции. Полученные оценки точны по порядку и содержат выраженные в явном виде постоянные, зависящие только от функции ψ. Аналогичные оценки установлены для наилучших приближений классов Lψβ,1 в метриках пространств Ls,1≤s≤∞. We establish uniform (with respect to the parameter p, 1 ≤ p ≤ ∞) upper estimations of the best approximations by trigonometric polynomials for the classes C β,p ψ of periodic functions generated by sequences ψ(k) vanishing faster than any power function. The obtained estimations are exact in order and contain constants expressed in the explicit form and depending solely on the function ψ. Similar estimations are obtained for the best approximations of the classes L β,1 ψ in metrics of the spaces L s , 1 ≤ s ≤ ∞. 2014 Article Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1244–1256. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166106 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках Український математичний журнал |
| description |
Найдены равномерные относительно параметра p,1≤p≤∞, оценки сверху наилучших приближений тригонометрическими полиномами классов периодических функций Cψβ,p, порождаемых последовательностями ψ(k), убывающими к нулю быстрее любой степенной функции. Полученные оценки точны по порядку и содержат выраженные в явном виде постоянные, зависящие только от функции ψ. Аналогичные оценки установлены для наилучших приближений классов Lψβ,1 в метриках пространств Ls,1≤s≤∞. |
| format |
Article |
| author |
Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. |
| author_facet |
Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. |
| author_sort |
Сердюк, А.С. |
| title |
Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках |
| title_short |
Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках |
| title_full |
Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках |
| title_fullStr |
Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках |
| title_full_unstemmed |
Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках |
| title_sort |
оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166106 |
| citation_txt |
Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральних метриках / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1244–1256. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT serdûkas ocínkinajkraŝihnabliženʹklasívneskínčennodiferencíjovnihfunkcíjurívnomírníjtaíntegralʹnihmetrikah AT stepanûkta ocínkinajkraŝihnabliženʹklasívneskínčennodiferencíjovnihfunkcíjurívnomírníjtaíntegralʹnihmetrikah |
| first_indexed |
2025-07-14T20:46:10Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:46:10Z |
| _version_ |
1837656673156595712 |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ),
Т. А. Степанюк (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ
НЕСКIНЧЕННО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ
У РIВНОМIРНIЙ ТА IНТЕГРАЛЬНИХ МЕТРИКАХ
We establish uniform [with respect to parameter p, 1 ≤ p ≤ ∞] upper estimations of the best approximations by
trigonometric polynomials for the classes Cψβ,p of periodic functions generated by sequences ψ(k) vanishing faster than
any power function. The obtained estimations are exact in order and contain constants expressed in the explicit form and
depending only on the function ψ. Similar estimations are obtained for the best approximations of the classes Lψβ,1 in
metrics of the spaces Ls, 1 ≤ s ≤ ∞.
Найдены равномерные относительно параметра p, 1 ≤ p ≤ ∞, оценки сверху наилучших приближений тригономет-
рическими полиномами классов периодических функций Cψβ,p, порождаемых последовательностями ψ(k), убыва-
ющими к нулю быстрее любой степенной функции. Полученные оценки точны по порядку и содержат выраженные
в явном виде постоянные, зависящие только от функции ψ. Аналогичные оценки установлены для наилучших
приближений классов Lψβ,1 в метриках пространств Ls, 1 ≤ s ≤ ∞.
Нехай C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй, у якому норма задається за до-
помогою рiвностi ‖f‖C = max
t
|f(t)|; L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво об-
межених функцiй f(t) з нормою ‖f‖∞ = esssup
t
|f(t)|; Lp, 1 ≤ p < ∞, — простiр 2π-
перiодичних сумовних в p-му степенi на [0, 2π) функцiй f(t), в якому норму задано формулою
‖f‖p =
(∫ 2π
0
|f(t)|pdt
)1/p
.
Нехай, далi, Lψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, — множина всiх 2π-перiодичних функцiй f, що майже для
всiх x ∈ R зображуються за допомогою згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t)dt, a0 ∈ R, ϕ ∈ B0
p , (1)
де Ψβ(t) — сумовна на [0, 2π) функцiя, ряд Фур’є якої має вигляд
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, β ∈ R, ψ(k) > 0,
а
B0
p = {ϕ ∈ L1 : ||ϕ||p ≤ 1, ϕ ⊥ 1} , 1 ≤ p ≤ ∞.
Функцiю ϕ у зображеннi (1), згiдно з О. I. Степанцем [1, с. 132], називають (ψ, β)-похiдною
функцiї f i позначають через fψβ . Пiдмножину неперервних функцiй iз Lψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, позна-
чають через Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞.
Послiдовностi ψ(k), k ∈ N, що визначають класи Lψβ,p та Cψβ,p, зручно розглядати як
звуження на множину натуральних чисел N деяких додатних неперервних опуклих донизу
функцiй ψ(t) неперервного аргументу t ≥ 1 таких, що limt→∞ ψ(t) = 0. Множину всiх таких
функцiй ψ(t) позначатимемо через M.
c© А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК, 2014
1244 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ НЕСКIНЧЕННО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1245
Наслiдуючи О. I. Степанця (див., наприклад, [1, с. 160]), кожнiй функцiї ψ ∈M поставимо
у вiдповiднiсть характеристики
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
ψ(t)
2
)
, µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
,
де ψ−1 — обернена до ψ функцiя, i покладемо
M+
∞ =
{
ψ ∈M : µ(ψ; t) ↑ ∞, t→∞
}
.
Якщо ψ ∈ M+
∞, то (див., наприклад, [2, с. 97]) функцiя ψ(t) спадає до нуля швидше за
довiльну степеневу функцiю, тобто
lim
t→∞
trψ(t) = 0 ∀r ∈ R.
Це означає, що за умови ψ ∈ M+
∞ ряд Фур’є довiльної функцiї f iз Cψβ,p, β ∈ R, можна
диференцiювати довiльне число разiв i в результатi будемо одержувати рiвномiрно збiжнi ряди.
Отже, класи Cψβ,p при ψ ∈M+
∞ складаються з нескiнченно диференцiйовних функцiй.
З iншого боку, як показано у [3, с. 1692], для кожної нескiнченно диференцiйовної 2π-
перiодичної функцiї f можна вказати функцiю ψ з множини M+
∞ таку, що f ∈ Cψβ,p для
довiльних β ∈ R.
Iз множини M+
∞ видiляють пiдмножини M
′
∞ i M
′′
∞; M
′
∞ — множина функцiй ψ ∈M+
∞, для
яких величина η(ψ; t)− t обмежена зверху, тобто iснує стала K1 > 0 така, що η(ψ; t)− t ≤ K1,
t ≥ 1, а M
′′
∞ — множина функцiй ψ ∈M+
∞, для яких величина η(ψ; t) − t обмежена знизу
деяким додатним числом, тобто iснує стала K2 > 0 така, що η(ψ; t)− t ≥ K2, t ≥ 1.
Типовими представниками множини M+
∞ є функцiї ψr,α(t) = exp(−αtr), α > 0, r > 0,
причому якщо r ≥ 1, то ψr,α ∈ M
′
∞, а якщо r ∈ (0, 1], то ψr,α ∈ M
′′
∞. Класи Cψβ,p та Lψβ,p, що
породжуються функцiями ψ = ψr,α, будемо позначати через Cα,rβ,p та Lα,rβ,p вiдповiдно.
Нехай, далi, En(Cψβ,p)C та En(Lψβ,p)s — найкращi наближення класiв Cψβ,p та Lψβ,p в метриках
просторiв C та Ls, тобто величини вигляду
En(Cψβ,p)C = sup
f∈Cψβ,p
inf
tn−1∈T2n−1
‖f(·)− tn−1(·)‖C , 1 ≤ p ≤ ∞,
En(Lψβ,p)s = sup
f∈Lψβ,p
inf
tn−1∈T2n−1
‖f(·)− tn−1(·)‖s, 1 ≤ p, s ≤ ∞,
де T2n−1 — пiдпростiр усiх тригонометричних полiномiв tn−1 порядку не вищого за n− 1.
Дану роботу присвячено знаходженню точних порядкових оцiнок величин En(Cψβ,p)C i
En(Lψβ,1)s при ψ ∈M+
∞ i β ∈ R.
У роботi [2, с. 225] (див. також [4, с. 48]) встановлено точнi порядковi оцiнки величин
En(Lψβ,p)s, β ∈ R, при ψ ∈M
′
∞, 1 ≤ p, s ≤ ∞, а також при ψ ∈M
′′
∞, 1 < p, s <∞. У випадку
p = s = 1 або p = s =∞ в [5] встановлено асимптотичнi рiвностi при n → ∞ для величин
En(Lψβ,p)s, ψ ∈M+
∞ i β ∈ R. Якщо ж для послiдовностi ψ(k), k ∈ N, виконуються умови:
1) ∆2ψ(k)
df
=ψ(k)− 2ψ(k + 1) + ψ(k + 2) ≥ 0,
ψ(k + 1)
ψ(k)
≤ ρ, 0 < ρ < 1, k = n, n+ 1, . . . ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1246 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
2)
∆2ψ(n)
ψ(n)
>
(1 + 3ρ)ρ2n
(1− ρ)
√
1− 2ρ2n
,
то при p = s = 1, p = s = ∞ в [6] отримано точнi значення величин En(Lψβ,p)s для довiльних
β ∈ R i n ∈ N.
У роботi [7] знайдено порядковi оцiнки величин En(Cψβ,p)C , 1 ≤ p < ∞, i En(Lψβ,1)s,
1 < s ≤ ∞, у випадку, коли ψ ∈ M+
∞, η(t)− t ≥ a > 2, µ(t) ≥ b > 2. При цьому для оцiнок
зверху для найкращих наближень En(Cψβ,p)C i En(Lψβ,1)s використовувались вiдповiдно вели-
чини
En(Cψβ,p)C = sup
f∈Cψβ,p
‖f(·)− Sn−1(f ; ·)‖C , 1 ≤ p <∞,
En(Lψβ,1)s = sup
f∈Lψβ,1
‖f(·)− Sn−1(f ; ·)‖s, 1 < s ≤ ∞,
де Sn−1(f ; ·) — частиннi суми Фур’є порядку n− 1 функцiї f . Було встановлено нерiвностi
En(Cψβ,p)C ≤ Ca,b (2p)
1−1
pψ(n)(η(n)− n)
1
p , 1 ≤ p <∞, (2)
En(Lψβ,1)s ≤ Ca,b
(
2s′
)1
s ψ(n) (η(n)− n)
1
s′ , 1 < s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1, (3)
де
Ca,b =
1
π
max
{
2b
b− 2
+
1
a
, 2π
}
. (4)
Крiм того, в [7] доведено, що при ψ ∈ M+
∞, η(n)− n > 2 суми Фур’є забезпечують порядок
найкращих наближень тригонометричними полiномами, тобто
En(Cψβ,p)C � En(Cψβ,p)C � ψ(n)(η(n)− n)
1
p , 1 ≤ p <∞,
En(Lψβ,1)s � En(Lψβ,1)s � ψ(n)(η(n)− n)
1
s′ , 1 < s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1
(тут i далi запис A(n) � B(n) (A(n) > 0, B(n) > 0) означає iснування додатних сталих K1 i
K2 таких, що K1B(n) ≤ A(n) ≤ K2B(n), n ∈ N).
Зазначимо, що порядкову рiвнiсть En(Cψβ,p)C � ψ(n)(η(n) − n)
1
p , 1 ≤ p < ∞, у випадку
ψ ∈ M
′′
∞ встановлено в роботi [8]. Крiм того, у роботах [9, 10] при p = 2, s = ∞ та p = 1,
s = 2 за умови збiжностi ряду
∑∞
k=1
ψ2(k) знайдено точнi значення величин En(Lψβ,p)s для
всiх β ∈ R i n ∈ N.
Водночас суми Фур’є, як апарат наближення, не дозволяють записати рiвномiрнi вiдносно
параметрiв p, 1 ≤ p ≤ ∞, та s, 1 ≤ s ≤ ∞, оцiнки зверху для величин En(Cψβ,p)C та En(Lψβ,1)s.
Цей факт зумовлений тiєю обставиною, що при p =∞ та s = 1 за умови ψ ∈M
′′
∞
En(Cψβ,p)C
En(Cψβ,p)C
� ln+(η(n)− n),
En(Lψβ,1)s
En(Lψβ,1)s
� ln+(η(n)− n),
де ln+ t = max{0, ln t} (див., наприклад, [1, с. 264, 285; 4, с. 86, 87]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ НЕСКIНЧЕННО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1247
У данiй роботi побудовано лiнiйний метод наближення Vn,ψ(t), що дозволяє записати рiвно-
мiрнi вiдносно параметрiв p, 1 ≤ p ≤ ∞, i s, 1 ≤ s ≤ ∞, оцiнки зверху найкращих наближень
En(Cψβ,p)C i En(Lψβ,1)s при ψ ∈ M+
∞ i β ∈ R. Показано, що знайденi оцiнки є точними за
порядком i мiстять вираженi в явному виглядi сталi, якi залежать лише вiд функцiї ψ.
Теорема 1. Нехай ψ ∈M+
∞, β ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞. Тодi для n ∈ N таких, що η(n)− n ≥ a > 2,
µ(n) ≥ b > 2, справджуються оцiнки
Caψ(n)(η(n)− n)
1
p ≤ En(Cψβ,p)C ≤ C
∗
a,bψ(n)(η(n)− n)
1
p , (5)
де
Ca =
π
96 (1 + π2)2
(a− 1)2(a− 2)2
a3(3a− 4)
, (6)
C∗a,b =
2(1 + π2)
π
(
2b
b− 2
+
a
a− 1
)
. (7)
Доведення. Згiдно з формулою (33) роботи [7] для довiльної ψ ∈M+
∞ при η(n)− n ≥ a > 2,
µ(n) ≥ b > 2 має мiсце оцiнка
En(Cψβ,p)C ≥ Caψ(n)(η(n)− n)
1
p , 1 ≤ p <∞,
в якiй величина Ca означена рiвнiстю (6). Для знаходження оцiнки зверху величини En(Cψβ,p)C
розглянемо лiнiйний метод Vn,ψ(f ;x) наближення функцiй iз множини Cψβ,p(L
ψ
β,1) вигляду
Vn,ψ(f ;x) =
a0(f)
2
+
n−1∑
k=1
λn,[η(n)]−n+1(k) (ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx) , n ∈ N, (8)
де
λn,[η(n)]−n+1(k) =
1, 0 ≤ k ≤ 2n− [η(n)]− 1,
1− [η(n)]− 2n+ k
[η(n)]− n
ψ(n)
ψ(k)
, 2n− [η(n)] ≤ k ≤ n− 1
(9)
(тут i далi [α] — цiла частина дiйсного числа α).
Зауважимо, що суми (8) є частинним випадком узагальнених сум Валле Пуссена Uνn,m(f ;x),
тобто полiномiв вигляду (див., наприклад, [11])
Uνn,m(f ;x) =
a0(f)
2
+
n−1∑
k=1
λn,m(k) (ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx) ,
де
λn,m(k) =
1, 0 ≤ k ≤ n−m,
1− ν(k)
ν(n)
, n−m+ 1 ≤ k ≤ n− 1,
а ν(k), k ∈ N, — довiльно монотонно зростаюча послiдовнiсть додатних чисел m ∈ [1, n],
m ∈ N. Поклавши ν(k) =
[η(n)]− 2n+ k
ψ(k)
i m = [η(n)] − n + 1, одержимо Uνn,m(f ;x) =
= Vn,ψ(f ;x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1248 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Розглянемо величину
E(Cψβ,p;Vn,ψ)C = sup
f∈Cψβ,p
‖f(·)− Vn,ψ(f ; ·)‖C , 1 ≤ p ≤ ∞.
Оскiльки
En(Cψβ,p)C ≤ E(Cψβ,p;Vn,ψ)C , (10)
то для доведення теореми 1 достатньо показати, що при ψ ∈ M+
∞, η(n)− n ≥ a > 2, µ(n) ≥
≥ b > 2 має мiсце спiввiдношення
E(Cψβ,p;Vn,ψ)C ≤ C∗a,bψ(n)(η(n)− n)
1
p , 1 ≤ p ≤ ∞, (11)
де C∗a,b означаються рiвнiстю (7). Згiдно з [2, с. 51] для всiх x ∈ R має мiсце рiвнiсть
f(x)− Vn,ψ(f ;x) =
1
π
π∫
−π
fψβ (x+ t)
(
n−1∑
k=1
(1− λn,[η(n)]−n+1(k))ψ(k) cos
(
kt+
βπ
2
)
+
+
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt+
βπ
2
))
dt, (12)
де λn,[η(n)]−n+1(k) означаються формулою (9). Iз (12) i (9) отримаємо
f(x)− Vn,ψ(f ;x) =
1
π
π∫
−π
fψβ (t)Ψ∗β,n(x− t)dt, ‖fψβ ‖p ≤ 1, 1 ≤ p ≤ ∞, (13)
де
Ψ∗β,n(t) = ψ(n)
n−1∑
k=2n−[η(n)]
[η(n)]− 2n+ k
[η(n)]− n
cos
(
kt− βπ
2
)
+
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
=
= ψ(n)
n−1∑
k=2n−[η(n)]+1
(
1− n− k
[η(n)]− n
)
cos
(
kt− βπ
2
)
+
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
. (14)
Згiдно з твердженнями 8.1 i 8.2 роботи [1, с. 137, 138] для будь-якої функцiї f ∈ Cψβ,p викону-
ється нерiвнiсть∥∥∥∥∥∥ 1
π
π∫
−π
fψβ (t)Ψ∗β,n(x− t)dt
∥∥∥∥∥∥
C
≤ 1
π
‖fψβ ‖p‖Ψ
∗
β,n‖p′ ≤
1
π
‖Ψ∗β,n(t)‖p′ , 1 ≤ p ≤ ∞, 1
p
+
1
p′
= 1.
(15)
Оцiнимо зверху величину ‖Ψ∗β,n‖p′ . Позначаючи
Dk,β(t) =
1
2
cos
βπ
2
+
k∑
j=1
cos
(
jt− βπ
2
)
, (16)
з (14) одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ НЕСКIНЧЕННО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1249
Ψ∗β,n(t) = ψ(n)
(
Dn−1,β(t)−D2n−[η(n)],β(t)
)
−
− ψ(n)
[η(n)]− n
n−1∑
k=2n−[η(n)]+1
(n− k) cos
(
kt− βπ
2
)
+
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
. (17)
Далi скористаємось наступним твердженням роботи [7].
Лема 1. Нехай γ ∈ R, а λ(k), k = 1, 2, . . . , — деяка послiдовнiсть дiйсних чисел. Тодi для
довiльних N, M ∈ N (N < M) має мiсце рiвнiсть
1
M −N
M−1∑
k=N
k∑
j=1
λ(j) cos (jt+ γ) =
N∑
k=1
λ(k) cos (kt+ γ) +
+
1
M −N
M−1∑
k=N+1
(M − k)λ(k) cos (kt+ γ) . (18)
Поклавши в умовах леми 1 M = n, N = 2n− [η(n)], λ(k) ≡ 1, γ = −βπ
2
, iз (18) отримаємо
1
[η(n)]− n
n−1∑
k=2n−[η(n)]+1
(n− k) cos
(
kt− βπ
2
)
=
=
1
[η(n)]− n
n−1∑
k=2n−[η(n)]
Dk,β(t)−D2n−[η(n)],β(t). (19)
Iз (17) i (19) випливає рiвнiсть
Ψ∗β,n(t) = ψ(n)Dn−1,β(t)− ψ(n)
[η(n)]− n
n−1∑
k=2n−[η(n)]
Dk,β(t) +
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
. (20)
Застосовуючи до останнього доданка з правої частини рiвностi (20) перетворення Абеля, одер-
жуємо, що при довiльному n ∈ N
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
=
∞∑
k=n
∆ψ(k)Dk,β(t)− ψ(n)Dn−1,β(t), (21)
де ∆ψ(k) = ψ(k)− ψ(k + 1).
Згiдно з (20) i (21)
Ψ∗β,n(t) =
∞∑
k=n
∆ψ(k)Dk,β(t)− ψ(n)
[η(n)]− n
n−1∑
k=2n−[η(n)]
Dk,β(t). (22)
На пiдставi формули
N−1∑
k=0
sin(γ + kt) = sin
(
γ +
N − 1
2
t
)
sin
Ny
2
cosec
t
2
(23)
(див., наприклад, [12, с. 43]) при N = k + 1, γ = (1− β)
π
2
маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1250 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Dk,β(t) =
k∑
j=0
cos
(
kt+
βπ
2
)
− 1
2
cos
βπ
2
=
cos
(
kt
2
− βπ
2
)
sin
k + 1
2
t
sin
t
2
− 1
2
cos
βπ
2
=
=
sin
((
k +
1
2
)
t− βπ
2
)
+ cos
t
2
sin
βπ
2
2 sin
t
2
, 0 < |t| ≤ π. (24)
З (24) i (22) одержуємо
Ψ∗β,n(t) =
∞∑
k=n
∆ψ(k)
sin
((
k +
1
2
)
t− βπ
2
)
+ cos
t
2
sin
βπ
2
2 sin
t
2
−
− ψ(n)
[η(n)]− n
n−1∑
k=2n−[η(n)]
sin
((
k +
1
2
)
t− βπ
2
)
+ cos
t
2
sin
βπ
2
2 sin
t
2
=
=
1
2 sin
t
2
∞∑
k=n
∆ψ(k) sin
((
k +
1
2
)
t− βπ
2
)
−
− ψ(n)
[η(n)]− n
n−1∑
k=2n−[η(n)]
sin
((
k +
1
2
)
t− βπ
2
). (25)
Застосуємо перетворення Абеля до першої суми з правої частини рiвностi (25), внаслiдок
чого запишемо
Ψ∗β,n(t) =
1
2 sin
t
2
∞∑
k=n
∆2ψ(k)
k∑
j=0
sin
((
j +
1
2
)
t− βπ
2
)
−
−∆ψ(n)
n−1∑
j=0
sin
((
j +
1
2
)
t− βπ
2
)
−
− ψ(n)
[η(n)]− n
n−1∑
k=2n−[η(n)]
sin
((
k +
1
2
)
t− βπ
2
) , 0 < |t| ≤ π, (26)
де
∆2ψ(k) = ∆ψ(k)−∆ψ(k + 1) = ψ(k)− 2ψ(k + 1) + ψ(k + 2).
Оскiльки
sin
t
2
≥ t
π
, 0 ≤ t ≤ π, (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ НЕСКIНЧЕННО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1251
то згiдно з (23) ∣∣∣∣∣∣
k∑
j=0
sin
((
j +
1
2
)
t− βπ
2
)∣∣∣∣∣∣ ≤ π
|t|
, 0 < |t| ≤ π. (28)
З (26) – (28) маємо∣∣Ψ∗β,n(t)
∣∣ ≤ π2
2t2
( ∞∑
k=n
∆2ψ(k) + ∆ψ(n) +
2ψ(n)
[η(n)]− n
)
=
=
π2
t2
(
∆ψ(n) +
ψ(n)
[η(n)]− n
)
, 0 < |t| ≤ π. (29)
Оскiльки ψ ∈M, то
∆ψ(n) ≤ |ψ′(n)|, ψ′(n) := ψ′(n+ 0). (30)
Оцiнимо значення величини |ψ′(n)|. Для цього нам знадобиться наступне твердження.
Лема 2. Нехай ψ ∈M+
∞, µ(t) ≥ b > 0. Тодi
1
2
b2
(b+ 1)2
(η(t)− t) ≤ ψ(t)
|ψ′(t)|
≤ 4
(
1 +
1
b
)
(η(t)− t) , t ≥ 1. (31)
Доведення. Згiдно з [1, с. 165] справджується спiввiдношення
|ψ′(η(η(t)))| (η(η(t))− η(t)) ≤ 1
4
ψ(t) ≤ |ψ′(η(t))| (η(η(t))− η(t)) , ψ ∈M. (32)
З правої частини (32) випливає, що
ψ(t)
|ψ′(t)|
≤ 4|ψ′(η(t))|
|ψ′(t)|
(η(η(t))− η(t)) ≤ 4 (η(η(t))− η(t)) . (33)
Згiдно з формулою (11) роботи [7] для довiльної функцiї ψ ∈M+
∞ при µ(t) ≥ b > 0 має мiсце
спiввiдношення
1
2
(η(t)− t) ≤ η(η(t))− η(t) <
(
1 +
1
b
)
(η(t)− t) , (34)
тому з (33) отримуємо
ψ(t)
|ψ′(t)|
≤ 4
(
1 +
1
b
)
(η(t)− t) . (35)
З iншого боку, на пiдставi (32) i (34)
ψ(t)
|ψ′(t)|
≥ 4|ψ′(η(η(t)))|
|ψ′(t)|
(η(η(t))− η(t)) ≥ 2|ψ′(η(η(t)))|
|ψ′(t)|
(η(t)− t) . (36)
Оскiльки
ψ′(t) = (4ψ(η(η(t))))′ = 4ψ′ (η(η(t))) η′(η(t))η′(t), ψ ∈M
(тут i далi η′(t) = η′(t+ 0)), то
ψ′ (η(η(t)))
ψ′(t)
=
1
4η′(η(t))η′(t)
. (37)
Згiдно з формулою (13) роботи [7] для довiльної ψ ∈M+
∞ при µ(t) ≥ b > 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1252 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
η′(t) ≤ 1 +
1
b
, t ≥ 1. (38)
Тому з (37) i (38) випливає
2|ψ′(η(η(t)))|
|ψ′(t)|
(η(t)− t) ≥ 1
2
b2
(b+ 1)2
(η(t)− t) . (39)
Об’єднуючи (36) i (39), отримуємо твердження леми.
Лему доведено.
Згiдно з (30) i (31) маємо
∆ψ(n) ≤ |ψ′(n)| ≤ 2(b+ 1)2
b2
ψ(n)
η(n)− n
, ψ ∈M+
∞, b > 0. (40)
За лемою 2 роботи [7] якщо ψ ∈M+
∞, η(n)− n ≥ a > 1, µ(n) ≥ b > 0, то(
1− 1
a
)
(η(n)− n) < [η(n)]− n. (41)
З (29), (40), i (41) випливає нерiвнiсть
|Ψ∗β,n(t)| ≤ π2
(
2(b+ 1)2
b2
+
a
a− 1
)
ψ(n)
η(n)− n
1
t2
, 0 < t ≤ π. (42)
Покажемо також, що при η(n) − n ≥ a > 0 i µ(n) ≥ b > 2 для довiльних t ∈ R виконується
нерiвнiсть
|Ψ∗β,n(t)| ≤
(
2b
b− 2
+
1
a
+
1
2
)
ψ(n)(η(n)− n). (43)
З (14) маємо
|Ψ∗β,n(t)| ≤
∣∣∣∣∣
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)∣∣∣∣∣+ ψ(n)
n−1∑
k=2n−[η(n)]+1
(
1− n− k
[η(n)]− n
)
. (44)
Вiдповiдно до формули (30) роботи [7] для довiльних ψ ∈ M+
∞, β ∈ R при η(n)− n ≥ a > 0
i µ(n) ≥ b > 2∣∣∣∣∣
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)∣∣∣∣∣ ≤
(
2b
b− 2
+
1
a
)
ψ(n)(η(n)− n), t ∈ R. (45)
Крiм того, як неважко переконатись,
ψ(n)
n−1∑
k=2n−[η(n)]+1
(
1− n− k
[η(n)]− n
)
=
= ψ(n)
(
[η(n)]− n− 1− ([η(n)]− n)([η(n)]− n− 1)
2([η(n)]− n)
)
=
=
ψ(n)
2
([η(n)]− n− 1) <
ψ(n)
2
(η(n)− n). (46)
З (44) – (46) отримуємо нерiвнiсть (43).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ НЕСКIНЧЕННО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1253
Враховуючи (42), (43), а також нерiвностi
a
a− 1
>
1
a
+
1
2
, a > 1,
b
b− 2
>
(b+ 1)2
b2
, b > 2,
переконуємось, що при 1 ≤ p′ <∞, η(n)− n ≥ a > 1 i µ(n) ≥ b > 2
‖Ψ∗β,n(t)‖p′ ≤ ψ(n)
( 2b
b− 2
+
1
a
+
1
2
)p′ ∫
|t|≤ 1
η(n)−n
(η(n)− n)p
′
dt+
+π2p
′
(
2(b+ 1)2
b2
+
a
a− 1
)p′
1
(η(n)−n)p′
∫
1
η(n)−n≤|t|≤π
dt
t2p′
1
p′
<
< ψ(n)
(
2b
b− 2
+
a
a− 1
) ∫
|t|≤ 1
η(n)−n
(η(n)− n)p
′
dt+
π2p
′
(η(n)− n)p′
∫
1
η(n)−n≤|t|≤π
dt
t2p′
1
p′
<
< ψ(n)(η(n)− n)
1− 1
p′
(
2b
b− 2
+
a
a− 1
)
2
1
p′
(
1 + π2p
′ 1
2p′ − 1
) 1
p′
≤
≤ 2(1 + π2)
(
2b
b− 2
+
a
a− 1
)
ψ(n)(η(n)− n)
1− 1
p′ . (47)
У випадку p′ =∞ зi спiввiдношення (43) маємо, що при η(n)− n ≥ a > 1 i µ(n) ≥ b > 2
‖Ψ∗β,n(t)‖p′ = ‖Ψ∗β,n(t)‖∞ ≤
(
2b
b− 2
+
1
a
+
1
2
)
ψ(n)(η(n)− n) <
< 2(1 + π2)
(
2b
b− 2
+
a
a− 1
)
ψ(n)(η(n)− n). (48)
Зi спiввiдношень (13), (15), (47) i (48) випливає справедливiсть нерiвностi (11).
Теорему 1 доведено.
Наслiдок 1. Нехай ψ ∈M+
∞, limn→∞(η(ψ, n)− n) =∞, β ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞. Тодi
En(Cψβ,p)C � En(Cψβ,p)C � ψ(n)(η(n)− n)
1
p .
Неважко переконатися, що для функцiї ψr,α(t) = exp(−αtr), α > 0, r ∈ (0, 1)
η(n)− n = η(ψr,α;n)− n = n
(1 +
ln 2
αnr
)1
r
− 1
, (49)
µ(n) = µ(ψr,α;n) =
n
η(ψr,α;n)− n
=
1(
ln 2
αnr
+ 1
)1
r
− 1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1254 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
i, як показано в [7, с. 257, 258], при
n ≥ max
1 +
(
2rα
ln 2
) 1
1−r
, 1 + 2
(
ln 2
α(3r − 2r)
)1
r
виконуються нерiвностi
η(n)− n ≥ a(α, r) > 2,
µ(n) ≥ a(α, r) > 2,
де
a(α, r) =
ln 2
αr
1 +
(
2rα
ln 2
) 1
1−r
1−r , (50)
b(α, r) =
ln 2
α
1 + 2
(
ln 2
α(3r − 2r)
)1
r
−r + 1
1
r
− 1
−1
. (51)
Тодi з теореми 1 випливає наступне твердження.
Наслiдок 2. Нехай r ∈ (0, 1), α > 0, 1 ≤ p ≤ ∞ i β ∈ R. Тодi для всiх n таких, що
n ≥ max
1 +
(
2rα
ln 2
) 1
1−r
, 1 + 2
(
ln 2
α(3r − 2r)
)1
r
, (52)
справджуються оцiнки
Ca exp (−αnr)n
1
p
(1 +
ln 2
αnr
)1
r
−1
1
p
≤ En
(
Cα,rβ,p
)
C
≤
≤ C∗a,b exp (−αnr)n
1
p
(1 +
ln 2
αnr
)1
r
−1
1
p
, (53)
де величини Ca i C∗a,b означаються формулами (6) i (7) при a = a(α, r), b = b(α, r), що заданi
за допомогою рiвностей (50) i (51).
Теорема 2. Нехай ψ ∈ M+
∞, β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1. Тодi для довiльних n ∈ N
таких, що η(n)− n ≥ a > 2, µ(n) ≥ b > 2, справджуються оцiнки
Caψ(n)(η(n)− n)
1
s′ ≤ En(Lψβ,1)s ≤ C
∗
a,bψ(n)(η(n)− n)
1
s′ , (54)
де сталi Ca i C∗a,b означаються формулами (6) i (7) вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ НЕСКIНЧЕННО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1255
Доведення. Згiдно з формулою (70) роботи [7] для довiльних ψ ∈M+
∞ при η(n)− n ≥ a > 2,
µ(n) ≥ b > 2 має мiсце оцiнка
En(Lψβ,1)s ≥ Caψ(n)(η(n)− n)
1
s′ ,
в якiй величина Ca означена рiвнiстю (6). Для оцiнки зверху найкращих наближень En
(
Lψβ,1
)
s
розглянемо величину
E(Lψβ,1;Vn,ψ)s = sup
f∈Lψβ,1
‖f(·)− Vn,ψ(f ; ·)‖s, 1 ≤ s ≤ ∞,
де суми Vn,ψ означаються формулою (8).
Оскiльки
En(Lψβ,1)s ≤ E(Lψβ,1;Vn,ψ)s, (55)
то для доведення теореми 2 достатньо показати справедливiсть спiввiдношення
E(Lψβ,1;Vn,ψ)s ≤ C∗a,bψ(n)(η(n)− n)
1
s′ . (56)
Для цього використаємо iнтегральне зображення (13), яке у випадку f ∈ Lψβ,1 буде справедли-
вим майже для всiх x ∈ R, та нерiвнiсть (5.28) з [13, с. 43]. Тодi для довiльних 1 ≤ s ≤ ∞
одержимо
En
(
Lψβ,1
)
s
≤ 1
π
‖Ψ∗β,n(·)‖s‖ϕ(·)‖1 ≤
1
π
‖Ψ∗β,n(·)‖s. (57)
Використовуючи спiввiдношення (47) i (48) i покладаючи p′ = s, з (57) отримуємо (56).
Теорему 2 доведено.
Наслiдок 3. Нехай ψ ∈M+
∞, lim
n→∞
(η(ψ, n)− n) =∞, β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1. Тодi
En(Lψβ,1)s � En(Lψβ,1)s � ψ(n)(η(n)− n)
1
s′ .
Наслiдок 4. Нехай r ∈ (0, 1), α > 0, 1 ≤ s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1, β ∈ R. Тодi для всiх n ∈ N
таких, що задовольняють умову (52), справджуються оцiнки
Ca exp (−αnr)n
1
s′
(1 +
ln 2
αnr
)1
r
− 1
1
s′
≤ En(Lα,rβ,1)s ≤
≤ C∗a,b exp (−αnr)n
1
s′
(1 +
ln 2
αnr
)1
r
− 1
1
s′
,
де величини Ca i C∗a,b означаються формулами (6) i (7) при a = a(α, r), b = b(α, r), що заданi
рiвностями (50) i (51).
З рiвностi (49) для величини η(ψr,α;n)− n неважко одержати двостороннi оцiнки
ln 2
αr
n1−r ≤ η(ψr,α;n)− n ≤ (1 + ln 21/α)
1−r
r
ln 2
αr
n1−r, α > 0, r ∈ (0, 1), n ∈ N. (58)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1256 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
З наслiдкiв 2, 4 та формули (58) випливають порядковi рiвностi
En(Cα,rβ,p )C � exp (−αnr)n
1−r
p , 1 ≤ p ≤ ∞,
En(Lα,rβ,1)s � exp (−αnr)n
1−r
s′ , 1 ≤ s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1.
Спiвставляючи спiввiдношення (2) i (3) з (5) i (54) вiдповiдно, при виконаннi умов теорем
1 та 2 можна записати оцiнки
Caψ(n)(η(n)− n)
1
p ≤ En(Cψβ,p)C ≤ Ca,b(p)ψ(n)(η(n)− n)
1
p ,
Caψ(n)(η(n)− n)
1
s′ ≤ En(Lψβ,1)s ≤ Ca,b(s
′)ψ(n)(η(n)− n)
1
s′ ,
1
s
+
1
s′
= 1,
де
Ca,b(p) = min
{
(2p)
1−1
pCa,b, C
∗
a,b
}
,
а величини Ca,b i C∗a,b означенi формулами (4) i (7) вiдповiдно.
Обчислення показують, що при невеликих значеннях p, 1 ≤ p ≤ 7, Ca,b,p = (2p)
1−1
p Ca,b, а
при великих p, p ≥ 26, Ca,b,p = C∗a,b.
1. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2ч. // Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40, ч. I. –
427 с.
2. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 c.
3. Степанец А. И., Сердюк А. С., Шидлич А. Л. Классификация бесконечно дифференцируемых функций // Укр.
мат. журн. – 2008. – 60, № 12. – С. 1686 – 1708.
4. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2ч. // Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40, ч. II. –
468 с.
5. Сердюк А. С. Про один лiнiйний метод наближення перiодичних функцiй // Проблеми теорiї наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2004. – 1, № 1. – С. 294 – 336.
6. Сердюк А. С. Про найкраще наближення на класах згорток перiодичних функцiй // Теорiя наближення та її
застосування: Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 41. – С. 168 – 189.
7. Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв
нескiнченно диференцiйовних функцiй // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, № 1. –
С. 255 – 282.
8. Романюк В. С. Дополнения к оценкам приближения суммами Фурье классов бесконечно дифференцируемых
функций // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Пр. Iн-ту математики НАН України. –
2003. – 46. – С. 131 – 135.
9. Сердюк А. С., Соколенко I. В. Рiвномiрнi наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй лiнiйними мето-
дами // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2011. – 8,
№ 1. – С. 181 – 189.
10. Сердюк А. С., Соколенко I. В. Наближення лiнiйними методами класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, № 1. – С. 245 – 254.
11. Сердюк А. С., Овсий Е. Ю. Равномерное приближение периодических функций тригонометрическими суммами
специального вида // Arxiv preprint, arXiv:1212.3769, 2013. – 14 c.
12. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматиз, 1962. –
1100 с.
13. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
Одержано 14.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|