Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области
Розглядаються єліптичні крайові задачі в яких еліптичний оператор полiномiально залежить від малого параметра, а крайові умови містять додаткові невідомі функції. Доведено, що умова еліптичності з малим параметром є не лише достатньою, але i необхідною для апріорної оцінки розв'язків задачі у в...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166109 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области / А.В. Заворотинский // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1269–1275. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166109 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661092020-02-21T14:27:06Z Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области Заворотинский, А.В. Статті Розглядаються єліптичні крайові задачі в яких еліптичний оператор полiномiально залежить від малого параметра, а крайові умови містять додаткові невідомі функції. Доведено, що умова еліптичності з малим параметром є не лише достатньою, але i необхідною для апріорної оцінки розв'язків задачі у відповідних функціональних просторах, залежних від параметра. We consider elliptic boundary-value problems in which the elliptic operator is a polynomial function of a small parameter and the boundary conditions contain additional unknown functions. It is shown that the condition of ellipticity with small parameter is not only sufficient but also necessary for the a priori estimation of the solutions to this problem in the corresponding special functional spaces depending on the parameter. 2014 Article Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области / А.В. Заворотинский // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1269–1275. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166109 517.956.223 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Заворотинский, А.В. Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области Український математичний журнал |
| description |
Розглядаються єліптичні крайові задачі в яких еліптичний оператор полiномiально залежить від малого параметра, а крайові умови містять додаткові невідомі функції. Доведено, що умова еліптичності з малим параметром є не лише достатньою, але i необхідною для апріорної оцінки розв'язків задачі у відповідних функціональних просторах, залежних від параметра. |
| format |
Article |
| author |
Заворотинский, А.В. |
| author_facet |
Заворотинский, А.В. |
| author_sort |
Заворотинский, А.В. |
| title |
Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области |
| title_short |
Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области |
| title_full |
Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области |
| title_fullStr |
Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области |
| title_full_unstemmed |
Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области |
| title_sort |
об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166109 |
| citation_txt |
Об эллиптических краевых задачах с малым параметром и дополнительными функциями на границе области / А.В. Заворотинский // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1269–1275. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT zavorotinskijav obélliptičeskihkraevyhzadačahsmalymparametromidopolnitelʹnymifunkciâminagraniceoblasti |
| first_indexed |
2025-07-14T20:46:23Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:46:23Z |
| _version_ |
1837656686347681792 |
| fulltext |
УДК 517.956.223
А. В. Заворотинский (Ин-т математики НАН Украины, Киев; Чернигов. нац. пед. ун-т)
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ
We consider elliptic boundary-value problems in which the elliptic operator is a polynomial function of a small parameter
and the boundary conditions contain additional unknown functions. It is shown that the ellipticity with small parameter
is not only sufficient but also necessary for the a priori estimation of the solutions to this problem in the corresponding
special functional spaces depending on the parameter.
Розглядаються елiптичнi крайовi задачi, в яких елiптичний оператор полiномiально залежить вiд малого параметра,
а крайовi умови мiстять додатковi невiдомi функцiї. Доведено, що умова елiптичностi з малим параметром є не
лише достатньою, але i необхiдною для апрiорної оцiнки розв’язкiв задачi у вiдповiдних функцiональних просторах,
залежних вiд параметра.
Введение. Эллиптические операторы с параметром играют важную роль в теории эллипти-
ческих уравнений и еe приложений. Среди них особый интерес представляют эллиптические
краевые задачи с малым параметром, рассмотренные в работах [1 – 3]. Также важными для
приложений являются и эллиптические задачи с дополнительными неизвестными функциями
на границе области, которые были исследованы в работах [4 – 6].
В настоящей работе исследуется общая эллиптическая краевая задача с малым параметром и
дополнительными неизвестными функциями на границе области. Показано, что эллиптичность
с малым параметром является не только достаточным, но и необходимым условием для получе-
ния априорной оценки для исследуемой задачи в специальных функциональных пространствах,
зависящих от параметра. Это исследование является продолжением работ автора [7 – 9].
Отметим, что рассматриваемый класс задач тесно связан со слабо эллиптическими гра-
ничными задачами [10, 11]. Такие задачи возникают, в частности, в теории параболических
уравнений, не разрешeнных относительно старшей производной по времени [12], и получают-
ся при замене „малого” параметра ε на „большой” параметр λ = 1/ε > 0 (подробнее см.
[13]).
1. Постановка задачи. Пусть G — ограниченная область в евклидовом пространстве
Rn, n ≥ 2, с границей ∂G, которая является бесконечно гладким замкнутым многообразием
размерности n− 1. Как обычно, G := G ∪ ∂G.
Рассмотрим следующую краевую задачу в области G, содержащую параметр ε:
A(x,D, ε)u(x) ≡
2m−2µ∑
j=0
ε2m−2µ−jA2m−j(x,D)u(x) = f(x), x ∈ G, (1)
(Bj(x
′, D)u)(x′) +
κ∑
k=1
Cjk(x
′, D′)σk(x
′) = gj(x
′), x′ ∈ ∂G, j = 1, . . . ,m+ κ. (2)
Здесьm,µ,κ ∈ N,m > µ > 0, A2m−j(x,D) — линейный дифференциальный оператор (л.д.о.) в
G, Bj(x,D) — граничный л.д.о. на ∂G, Cj,k(x′, D′) — касательный л.д.о. на ∂G. Коэффициенты
этих операторов — комплекснозначные бесконечно гладкие функции наG и ∂G соответственно,
а порядки удовлетворяют условиям
c© А. В. ЗАВОРОТИНСКИЙ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 1269
1270 А. В. ЗАВОРОТИНСКИЙ
ordA2m−j ≤ 2m− j, ordBj = mj , ordCj,k ≤ mj + αk,
где mj , αk ∈ Z и
m1 ≤ m2 ≤ . . . ≤ mµ+κ < mµ+κ+1 ≤ . . . ≤ mm+κ. (3)
Как обычно, Cj,k ≡ 0, если mj + αk < 0.
Задача (1), (2) кроме неизвестной функции u(x), x ∈ G, содержит κ дополнительных
неизвестных функций σ1(x
′), . . . , σκ(x′), x′ ∈ ∂G. Поэтому число краевых условий равно
m+ κ.
Сформулируем условия, которым удовлетворяет задача (1), (2). Пусть x ∈ G. Обозначим
A0(x, ξ, ε) :=
2m−2µ∑
j=0
ε2m−2µ−jA0
2m−j(x, ξ), ξ ∈ Rn, ε > 0,
гдеA0
2m−j(x, ξ) — главный символ оператораA2m−j(x,D). Заметим, что функцияA0(x, ξ, |ξ|−1)
однородная по ξ порядка 2µ.
Условие 1. Существует C > 0 такое, что
|A0(ξ, ε)| ≥ C|ξ|2µ(1 + ε|ξ|)2m−2µ (4)
для любых ξ ∈ Rn, ξ 6= 0, ε > 0.
Это условие эллиптичности с малым параметром оператора A0(x,D, ε) в точке x ∈ G.
Замечание 1. Неравенство (4) равносильно следующим условиям:
A0
2m(x, ξ) 6= 0, A0
2µ(x, ξ) 6= 0, A0(x, ξ, ε) 6= 0 (5)
для любых ξ ∈ Rn, ξ 6= 0, ε > 0 [3] (предложение 1.2).
Отметим, что два первых неравенства в (5) означают эллиптичность операторов A0
2m(x, ξ)
и A0
2µ(x, ξ).
Пусть x′ ∈ ∂G и U — достаточно малая окрестность точки x′ из топологии в ∂G. Выберем
в U локальные координаты (x1, . . . , xn−1, xn) такие, что xn — расстояние от точки x ∈ U
до границы ∂G. Запишем в этих координатах символы A0
2m−j(x
′, ξ) и A0(x, ξ, ε) для каждого
ε > 0. Полученные полиномы обозначим через A0
2m−j(ξ) и A0(ξ, ε) соответственно.
Предположим, что выполняется условие 1 в точке x = x′. Пусть ξ′ ∈ Rn−1\{0} и ε > 0.
Тогда уравнения A0(ξ′, τ, ε) = 0 и A0
2µ(ξ′, ε) = 0 не имеют вещественных τ -корней. Обозначим
черезm±(ξ′, ε) и µ±(ξ′, ε) число корней соответственно первого и второго уравнений, лежащих
в полуплоскости C± := {τ ∈ C : Im τ ≷ 0}. Поскольку эти корни непрерывно зависят от ξ′ и
ε, числа m±(ξ′) = m±(ξ′, ε) не зависят от ε > 0 при каждом фиксированном ξ′. В случае n ≥ 3
множество ξ′ ∈ Rn−1\{0} связно и поэтому числа m±(ξ′) и µ±(ξ′) также не зависят от ξ′.
Условие 2. Для каждого ξ′ ∈ Rn−1\{0} выполняются равенства
m+(ξ′) = m−(ξ′) = m, µ+(ξ′) = µ−(ξ′) = µ
Это условие правильной эллиптичности с малым параметром оператора A0(x′, D, ε) в
точке x′ ∈ ∂G.
Заметим, что при n ≥ 3 равенство µ+(ξ′) = µ−(ξ′) выполняется автоматически [3].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ . . . 1271
Как и прежде, x′ ∈ ∂G. Запишем в локальных координатах главные символы операто-
ров Bj(x′, D) и Cj,k(x′, D′). Полученные полиномы обозначим соответственно через B0
j (ξ) и
C0
j,k(ξ
′), где ξ′ ∈ Rn−1, ξ ≡ (ξ′, ξn) ∈ Rn.
В задаче (1), (2) перейдем к локальным координатам в окрестности точки x′, отбросим
младшие члены дифференциальных операторов, положим f ≡ 0 и применим преобразование
Фурье по переменным x1, . . . , xn−1. Получим следующую краевую задачу для обыкновенного
дифференциального уравнения (1) на полуоси t := xn > 0:
A0(ξ′, Dt, ε)v(t) = 0, t > 0, (6)
(B0
j (ξ′, Dt)v)(0) +
κ∑
k=1
C0
j,k(ξ
′)σi = ϕj , j = 1, . . . ,m+ κ. (7)
Здесь гладкая функция v(t) и числа σ1, . . . , σκ искомые, а ϕ1, . . . , ϕm+κ — произвольно задан-
ные комплексные числа. Задача (6), (7) зависит от параметров ξ′ ∈ Rn−1\{0} и ε > 0. Она
называется граничным символом задачи (1), (2) в точке x′ ∈ ∂G.
Нас будут интересовать решения, удовлетворяющие условию
v(t)→ 0, t→∞. (8)
Условие 3. Для любых ξ′ ∈ Rn−1\{0}, ε > 0 и ϕ1, . . . , ϕm+κ ∈ C задача (6) – (8) имеет
единственное решение (v(t), σ1, . . . , σκ).
Это аналог условия Лопатинского для краевой задачи (1), (2) при фиксированном ε.
Следующие условия были получены автором в работе [7]. Это аналоги условий Лопатинско-
го и касаются разрешимости краевой задачи для оператора A0(ξ′, Dt, ε) в предельных случаях
ε→∞ и ε→ 0 (ср. с [3]).
Пусть r ∈ {m,µ}. Рассмотрим краевую задачу
A0
2r(ξ
′, Dt)v(t) = 0, t > 0, (9)
(B0
j (ξ′, Dt)v)(0) +
κ∑
k=1
C0
j,k(ξ
′)σi = ϕj , j = 1, . . . , r + κ. (10)
Условие 4. Для любого ξ′ ∈ Rn−1\{0} и ϕ1, . . . , ϕr+κ ∈ C задача (8) – (10) имеет един-
ственное решение (v(t), σ1, . . . , σκ) при r = m.
Условие 5. Для любого ξ′ ∈ Rn−1\{0} и ϕ1, . . . , ϕr+κ ∈ C задача (8) – (10) имеет един-
ственное решение (v(t), σ1, . . . , σκ) при r = µ.
Поскольку при ε = 0 оператор A0(ξ′, Dt, ε) совпадает с оператором A0
2µ(ξ′, Dt) порядка
2µ < 2m, при малых ε > 0 требуются поправки к решению задачи (6), (7), позволяющие
удовлетворить оставшимсяm−µ краевым условиям. Эти поправки являются решением краевой
задачи
A0(0, Dt, 1)v(t) = 0, t > 0, (11)
(B0(0, Dt)v(t))|t=0 = ϕj , j = µ+ κ + 1, . . . ,m+ κ. (12)
Условие 6. Для любых ϕµ+κ+1, . . . , ϕm+κ ∈ C задача (8), (11), (12) имеет единственное
решение v(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1272 А. В. ЗАВОРОТИНСКИЙ
Определение. Краевая задача (1), (2) называется эллиптической с малым параметром,
если в произвольной точке x ∈ G выполняется условие 1 и в произвольной точке x′ ∈ ∂G
выполняются условия 2 – 6.
2. Функциональные пространства, зависящие от параметра. Введeм необходимые нам
функциональные пространства. Пусть r, s ∈ R.
Под пространством Hr,s = Hr,s(Rn), r ≥ s, понимается совокупность элементов соболев-
ского пространства Hr, снабжeнная нормой
‖u‖r,s =
∫
Rn
(1 + |ξ|2)s(1 + ε2|ξ|2)(r−s)|û(ξ)|2dξ
1/2
, (13)
где через û(ξ) обозначено преобразование Фурье функции u(x).
Пусть ρ, σ ∈ R. Введем обозначение
Ξρ,σ(ξ, ε) =
|ξ|
σ(1 + ε2|ξ|2)(ρ−σ)/2, σ ≥ 0,
ε−σ(1 + ε2|ξ|2)ρ/2, σ < 0 .
(14)
Определим Hr,s(Rn+) как фактор-пространство Hr,s(Rn)/Hr,s(Rn)−, где Hr,s(Rn)− — под-
пространствоHr,s(Rn), состоящее из функций (распределений), сосредоточенных в полупрост-
ранстве Rn− = {(x, t), t ≤ 0}.
Поскольку при ε > 0 пространство Hr,s(Rn) является подмножеством соболевского прост-
ранства Hr(Rn), при r > `+1/2, ` = 0, . . . , r определен оператор следа T` : u(x)→ D`
nu(x′, 0).
Мы укажем нормы, в которых операторы следа будут равномерно ограниченными при ε → 0.
Использовав обозначения (14), определим пространство Hρ,σ(Rn−1) функций f(x′) с нормой
‖f,Hρ,σ(Rn−1)‖ =
‖f,R
n−1‖+ ‖Ξρ,σ(D′, ε)f,Rn−1‖, σ ≥ 0,
‖Ξρ,σ(D′, ε)f,Rn−1‖, σ < 0.
(15)
Аналоги пространства Hr,s(Rn) на многообразии G с гладкой границей ∂G определяются
стандартным образом. Hr,s(G) — пространство сужений на G распределений из Hr,s(Rn), а
Hr,s(∂G) состоит из всех распределений на ∂G, которые в локальных координатах принадлежат
Hr,s(Rn−1) (см. [3, 10]).
3. Основной результат. Пусть, для простоты, числа r и s целые, выполнены условие (3)
и неравенства
r − s ≥ 2m− 2µ, r > mj +
1
2
, j = 1, . . . ,m+ κ. (16)
Краевой задаче (1), (2) сопоставляется непрерывный оператор
A : (u, σ1, . . . , σκ) −→ (f, g1, . . . , gm+κ),
действующий в паре пространств
Hr,s(G)×
κ∏
i=1
Hr+αi−1/2,s+αi−1/2(∂G)→ Hr−2m,s−2µ(G)×
m+κ∏
j=1
Hr−mj−1/2,s−mj−1/2(∂G). (17)
В работе автора [9] доказано достаточное условие для существования следующей априорной
оценки (константа C не зависит от u, σ и ε):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ . . . 1273
‖u;G‖r,s +
κ∑
i=1
‖σi;Hr+αi−1/2,s+αi−1/2(∂G)‖ ≤
≤ C
‖A(x,D, ε)u;G‖r−2m,s−2µ +
m+κ∑
j=1
‖gj ;Hr−mj−1/2,s−mj−1/2(∂G)‖+ ‖u;G‖
. (18)
Оказывается, что эллиптичность с малым параметром является не только достаточным, но и
необходимым условием для получения априорной оценки для исследуемой задачи. Справедлива
следующая теорема.
Теорема. Пусть числа r, s удовлетворяют неравенствам (16) и неравенству mµ+κ +
1
2
≤
≤ s < mµ+κ+1 +
1
2
. Если априорная оценка (18) справедлива, то задача (1), (2) является
эллиптической с малым параметром.
4. Доказательство. С помощью метода локализации („замораживания коэффициентов”)
доказательство сводится к доказательству соответствующей теоремы для модельных областей
Rn иRn+. Ключевым моментом доказательства является вывод условий 1 – 6 из априорной оцен-
ки в полупространстве Rn+. Отметим основные этапы доказательства. Рассмотрим следующую
задачу в полупространстве Rn+:
A(D′, Dn, ε)u(x) = f(x), xn > 0,
(Bj(D
′, Dn)u)(x′, 0) +
κ∑
k=1
Cjk(D
′)σk(x
′) = gj(x
′), j = 1, . . . ,m+ κ.
(19)
Необходимость условий 1 и 2. Необходимость этих условий показана в работе [3] и осно-
вывается на неравенстве
∞∫
0
(|ξ|2s(1 + ε|ξ|)r−s − C2|ξ|2s−2µ(1 + ε|ξ|)r−s−2m+2µ|A(ξ, ε)|2)|û(ξ)|2dξ ≤ 0,
в котором u — гладкая функция с носителем в Rn+. Здесь через û(ξ) обозначено преобразование
Фурье функции u(x).
Необходимость остальных условий основана на неравенстве на полуоси для решений зада-
чи (19)
C
r∑
l=0
Ξ2
r−`,s−`(ξ
′, ε)
∞∫
0
|D`
nV (xn)|2dxn +
κ∑
j=1
Ξ2
r+αj−1/2,s+αj−1/2(ξ
′, ε)|σ′j(ξ′)|2 ≤
≤
∞∫
0
|R(Dn − i|ξ′|)s−2µ(εDn − i
√
1 + ε2|ξ|2)r−s−2m−2µA(ξ′, Dn, ε)LV |2dxn+
+
m+κ∑
j=1
Ξ2
r−mj−1/2,s−mj−1/2(ξ
′, ε)|g′j(ξ′)|2. (20)
Это неравенство выводится из неравенства (18), в котором берeтся u(x) = ϕ(x′)V (xn) (ср.
с [3]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1274 А. В. ЗАВОРОТИНСКИЙ
Необходимость условия 3. Пусть V (xn) ∈ L2(R
n
+) является решением однородного урав-
нения
A(ξ′, Dn, ε)u(x) = f(x), xn > 0.
Тогда это функция будет и решением уравнения
A+(ξ′, Dn, ε)u(x) = f(x), xn > 0.
Следовательно, оценка (20) примет вид
C(ξ′, ε)
r∑
l=0
‖D`
nV (xn)‖L2(Rn
+) +
κ∑
j=1
Ξ2
r+αj−1/2,s+αj−1/2(ξ
′, ε)|σ′j(ξ′)|2 ≤
≤
m+κ∑
j=1
Ξ2
r−mj−1/2,s−mj−1/2(ξ
′, ε)|g′j(ξ′)|2. (21)
Согласно схеме, предложенной в работе [6] (дополнение к § 7), доказывается, что оценка (21)
эквивалентна невырожденности матрицы Лопатинского рассматриваемой задачи (см. [13]), что
эквивалентно условию 3.
Необходимость условия 5. Положим в неравенстве (20) ε = 0. Тогда, учитывая (18) и
неравенство mµ+κ +
1
2
≤ s < mµ+κ+1 +
1
2
, получаем
Ξr−mj−1/2,s−mj−1/2(ξ, 0) =
|ξ|
s−mj−1/2, j ≤ µ+ κ ,
0, j > µ+ κ.
Следовательно, неравенство (20) принимает вид
C
r∑
l=0
|ξ′|2(s−l)
∞∫
0
|D`
nV (xn)|2dxn +
κ∑
j=1
|ξ′|2(s+αj−1/2)|σ′j(ξ′)|2 ≤
≤
∞∫
0
|R(Dn − i|ξ′|)s−2µA2µ(ξ′, Dn, ε)LV |2dxn +
µ+κ∑
j=1
|ξ′|2(s−mj−1/2)|g′j(ξ′)|2.
Аналогично предыдущему рассуждению доказывается, что для системы операторов
{A2µ, B1, . . . , Bµ+κ, Cji} выполнено условие Лопатинского.
Необходимость условия 4. Умножая обе части (20) на εs−r и переходя к пределу при ε→∞,
получаем
C
r∑
l=0
|ξ′|2(s−l)
∞∫
0
|D`
nV (xn)|2dxn +
κ∑
j=1
|ξ′|2(s+αj−1/2)|σ′j(ξ′)|2 ≤
≤
∞∫
0
|R(Dn − i|ξ′|)s−2mA2m(ξ′, Dn, ε)LV |2dxn +
m+κ∑
j=1
|ξ′|2(s−mj−1/2)|g′j(ξ′)|2.
Отсюда следует необходимость условия 4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ . . . 1275
Необходимость условия 6. Доказательство выводится из неравенства
C
r∑
l=0
∞∫
0
|D`
nV (xn)|2dxn ≤
≤
∞∫
0
|(Dn − i|)r−s−2m+2µDs
nQ(Dn)V |2dxn +
m+κ∑
j=µ+κ+1
|Bj(0, Dn)V (0)|2.
Детали см. в [3, 11].
Теорема доказана.
1. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных
уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. – 1957. – 12, вып. 5. – C. 3 – 122.
2. Volevich L. R. General elliptic boundary value problems with small parameter // Spectral and Evolution Problems: Proc.
Twelfth Crimean Autumn Math. School-Symp. Vol. 12. Group of authors. – Simferopol: Taurida Nat. V. Vernadsky
Univ., 2002. – P. 171 – 181.
3. Волевич Л. Р. Метод Вишика – Люстерника в эллиптических задачах с малым параметром // Тр. Моск. мат.
о-ва. – 2006. – 67. – C. 104 – 147.
4. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1999. – x+276 p.
5. Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. –
Providence: Amer. Math. Soc., 1997. – 414 p.
6. Гиндикин С. Г., Волевич Л. Р. Смешанная задача для дифференциальных уравнений в частных производных с
квазиоднородной старшей частью. – М.: УРСС, 1999. – 272 с.
7. Заворотинський А. В. Елiптичнi з малим параметром граничнi задачi з невiдомими додатковими функцiями
на межi областi. Формальний асимптотичний розв’язок // Наук. вiсн. Чернiв. нац. ун-ту iм. Ю. Федьковича.
Сер. Математика. – 2011. – 1, № 1-2. – С. 40 – 46.
8. Заворотинский А. В. Эллиптические с малым параметром граничные задачи и неизвестными дополнитель-
ными функциями на границе области. Оценки фундаментальных решений // Зб. праць Iн-ту математики НАН
України – 2012. – 9, № 2. – С. 147 – 164.
9. Заворотинский А. В. Об эллиптических с малым параметром краевых задачах // Доп. НАН України. Матема-
тика. Природознавство. Техн. науки. – 2013. – № 11. – С. 23 – 30.
10. Denk R., Mennicken R., Volevich L. R. Boundary value problems for a class of elliptic operator pencils // Integ. Equat.
Operator Theory. – 2000. – 8. – P. 410 – 436.
11. Denk R., Mennicken R., Volevich L. R. On elliptic operator pencils with general boundary conditions // Integ. Equat.
Operator Theory. – 2001. – 9. – P. 25 – 40.
12. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. –
Новосибирск: Науч. книга, 1998. – 436 с.
13. Заворотинский А. В. Слабо эллиптические с параметром граничные задачи и неизвестными дополнительными
функциями на границе области. Оценки фундаментальной системы решений // Наук. вiсн. Ужгород. нац. ун-ту.
Сер. Математика i iнформатика. – 2012. – 23, № 2. – С. 63 – 75.
Получено 02.04.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|