Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях
Вивчаються функції на сфері які мають нульовi зважені середні по колах фіксованого радiуса. Наведено опис таких функцій у виглядi рядiв за спеціальними функціями.
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166116 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях / В.В. Волчков, И.М. Савостьянова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1332–1347. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166116 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661162020-02-19T01:28:40Z Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях Волчков, В.В. Савостьянова, И.М. Статті Вивчаються функції на сфері які мають нульовi зважені середні по колах фіксованого радiуса. Наведено опис таких функцій у виглядi рядiв за спеціальними функціями. We study functions on a sphere with zero weighted means over the circles of fixed radius. A description of these functions is obtained in the form of series in special functions. 2014 Article Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях / В.В. Волчков, И.М. Савостьянова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1332–1347. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166116 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Волчков, В.В. Савостьянова, И.М. Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються функції на сфері які мають нульовi зважені середні по колах фіксованого радiуса. Наведено опис таких функцій у виглядi рядiв за спеціальними функціями. |
| format |
Article |
| author |
Волчков, В.В. Савостьянова, И.М. |
| author_facet |
Волчков, В.В. Савостьянова, И.М. |
| author_sort |
Волчков, В.В. |
| title |
Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях |
| title_short |
Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях |
| title_full |
Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях |
| title_fullStr |
Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях |
| title_full_unstemmed |
Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях |
| title_sort |
об одной задаче минковского – радона и ее обобщениях |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166116 |
| citation_txt |
Об одной задаче Минковского – Радона и ее обобщениях / В.В. Волчков, И.М. Савостьянова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1332–1347. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT volčkovvv obodnojzadačeminkovskogoradonaieeobobŝeniâh AT savostʹânovaim obodnojzadačeminkovskogoradonaieeobobŝeniâh |
| first_indexed |
2025-07-14T20:46:52Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:46:52Z |
| _version_ |
1837656716410355712 |
| fulltext |
УДК 517.5
Вит. В. Волчков, И. М. Савостьянова (Донец. нац. ун-т)
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНКОВСКОГО – РАДОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯХ
We study functions on a sphere with zero weighted means over the circles of fixed radius. A description of these functions
in the form of series in special functions is obtained.
Вивчаються функцiї на сферi, якi мають нульовi зваженi середнi по колах фiксованого радiуса. Наведено опис таких
функцiй у виглядi рядiв за спецiальними функцiями.
1. Введение. Пусть S2 — стандартная единичная сфера в вещественном евклидовом прост-
ранстве R3, т. е. S2 = {x ∈ R3 : |x| = 1}. Известно, что непрерывная функция на S2 имеет
нулевые интегралы по всем большим кругам тогда и только тогда, когда она нечетная. Этот
результат был впервые установлен Г. Минковским [1] в связи с некоторыми проблемами в тео-
рии выпуклых тел. Другие доказательства теоремы Минковского были предложены П. Функом,
Т. Боннесеном, В. Фенхелем и К. Пэтти (см. [2 – 4]).
Обобщая рассуждения Г. Минковского, И. Радон в 1917 г. рассмотрел и, по существу, решил
задачу об описании непрерывных функций на S2 с нулевыми интегралами по всем окружностям
произвольного фиксированного радиуса r ∈ (0, π/2] (см. [5], раздел 6). Оказалось, что для
некоторого множества радиусов, определяемого нулями многочленов Лежандра, класс Ur таких
функций состоит только из нуля. Кроме того, для остальных значений r множество является
счетным и всюду плотным на (0, π/2), функции из Ur можно описать с помощью разложения
по сферическим гармоникам на S2. Эти результаты получили дальнейшее развитие и уточнение
в работах П. Унгара, Р. Шнейдера, Л. Зальцмана, К. А. Беренстейна и Э. Бадерчера, где были
установлены обобщения для компактных симметрических пространств ранга один [6 – 10], а
также для локально симметрических пространств [11].
Начиная с конца двадцатого века начали изучать локальные аналоги сформулированной
задачи для различных однородных пространств X (см. [12 – 14] и приведенную там библио-
графию). Помимо принципиальных трудностей, связанных с неинвариантностью соответству-
ющих классов относительно группы движений пространства X, здесь возникли и новые эф-
фекты. Например, для любого r ∈ (0, π/2) пространство непрерывных функций на полусфере
с нулевыми интегралами по всем окружностям радиуса r является бесконечномерным.
В данной работе получено описание функций на шаре B ⊂ S2, имеющих нулевые взвешен-
ные средние по границам всех шаров фиксированного радиуса из B. Рассматриваемый случай
интересен тем, что наличие веса в интегралах не позволяет записать указанное интегральное
условие в виде уравнения свертки с радиальным распределением, теория которого хорошо раз-
вита в последнее время (см. [12 – 14]). Соответственно, здесь неприменимы важные результаты
этой теории (в частности, теорема о среднем для собственных функций лапласиана и теорема
единственности), которые играли существенную роль в подобных вопросах ранее.
2. Формулировка основного результата. Как обычно, символами N, Z, Z+ будем обозна-
чать соответственно множества натуральных, целых и целых неотрицательных чисел. Введем
сферические координаты ϕ, θ на S2 следующим образом:
c© ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА, 2014
1332 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНКОВСКОГО – РАДОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯХ 1333
ξ1 = sin θ sinϕ, ξ2 = sin θ cosϕ, ξ3 = cos θ, ϕ ∈ (0, 2π), θ ∈ (0, π), (1)
где ξ1, ξ2, ξ3 — декартовы координаты точки ξ ∈ S2. Пусть R ∈ (0, π], BR — открытый
геодезический шар радиуса R с центром в точке o = (0, 0, 1) ∈ S2, т. е.
BR = {ξ ∈ S2 : ξ3 > cosR}.
Любой функции f ∈ Lloc(BR) соответствует ряд Фурье
f(ξ) ∼
∞∑
k=−∞
fk(θ)e
ikϕ, θ ∈ (0, R), (2)
где
fk(θ) =
1
2π
2π∫
0
f◦(ϕ, θ)e−ikϕdϕ,
(3)
f◦(ϕ, θ) = f(sin θ sinϕ, sin θ cosϕ, cos θ).
Если f ∈ C∞(BR), то ряд в (2) сходится к f в стандартной топологии пространства C∞(BR)
(см. [13], гл. 11, п. 11.1).
Обозначим через Pµν , µ, ν ∈ C, функции Лежандра первого рода на (−1, 1), т. е.
Pµν (x) =
1
Γ(1− µ)
(
1 + x
1− x
)µ
2
F
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− x
2
)
, µ 6∈ N,
(4)
Pµν (x) = (−1)µ(1− x2)
µ
2
(
d
dx
)µ
Pν(x), µ ∈ N,
где F — гипергеометрическая функция Гаусса, Γ — гамма-функция и Pν = P 0
ν (см. [15], гл. 3,
п. 3.4, формула (6) и п. 3.6.1, формула (6)). Ниже показано (см. лемму 4), что при фиксированных
k ∈ Z+, θ ∈ (0;π) функция h(ν) = P−kν (cos θ) имеет бесконечно много нулей. Кроме того, все
нули h являются вещественными, простыми, расположены симметрично относительно −1
2
и
лежат вне отрезка [−k − 1, k]. Множество нулей этой функции из промежутка (k; +∞) будем
обозначать через Nk(θ).
Пусть O(3) — ортогональная группа в R3. Всюду в дальнейшем считаем, что r — фиксиро-
ванное число, принадлежащее интервалу (0;R), Br — замыкание шара Br и Sr — граница Br.
Для M ∈ Z+, s ∈ Z+ ∪ {∞} положим
Ur,M (BR) =
f ∈ C(BR) :
∫
Sr
f(τξ)(ξ1 + iξ2)
Mdl(ξ) = 0 ∀τ ∈ O(3) : τBr ⊂ BR
,
U sr,M (BR) = Ur,M (BR) ∩ Cs(BR),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1334 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
где dl(ξ) — элемент длины на S2. При M = 0 класс Ur,M (BR) совпадает с классом функ-
ций f ∈ C(BR), удовлетворяющих уравнению свертки f ∗ σr = 0 в шаре BR−r, где σr —
дельта-функция, сосредоточенная на Sr. Как уже отмечалось, уравнения такого типа изучались
многими авторами для различных однородных пространств (см. [12 – 14]).
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема. Пусть функция f принадлежит C∞(BR). Тогда для того чтобы f принадле-
жала классу Ur,M (BR), необходимо и достаточно, чтобы для любого k ∈ Z имело место
разложение
fk(θ) =
∑
ν∈NM (r)
cνP
−|k|
ν (cos θ) + (sin θ)|k|
M−|k|−1∑
j=0
γj(cos θ)j , 0 ≤ θ < R, (5)
где cν , γj ∈ C, cν = O(ν−a) при ν → +∞ для любого a > 0 и вторая сумма в (5) равна нулю
при |k| ≥M.
Отметим, что в работе [16] получен аналогичный результат для вещественного евклидо-
ва пространства. Однако методы в [16] существенно используют векторную структуру Rn и
требуют значительного развития в сферическом случае.
3. Вспомогательные утверждения о функциях Лежандра. Теорема показывает, что важ-
ную роль в структуре класса Ur,M (BR) играют функции
pν,k(θ) = P−|k|ν (cos θ), ν ∈ C, k ∈ Z. (6)
Здесь мы приведем свойства этих функций, которые потребуются в дальнейшем.
Обозначим через Dk дифференциальный оператор, определенный на пространстве C1(0, π)
следующим образом:
(Dku)(θ) = (sin θ)k
d
dθ
(
u(θ)
(sin θ)k
)
, u ∈ C1(0, π).
Пусть также L — оператор Лапласа на S2, т. е.
L =
∂2
∂θ2
+ ctg θ
∂
∂θ
+
1
sin2 θ
∂2
∂ϕ2
.
Лемма 1. Имеют место равенства
Dk pν,k = (k − ν)(k + ν + 1)pν,k+1, D−k pν,k = pν,k−1, (7)
(L+ ν(ν + 1) Id)(pν,k(θ)e
ikϕ) = 0, (8)
где Id — тождественный оператор.
Доказательство. Используя формулу
(1− x2)dP
µ
ν (x)
dx
= −νxPµν (x) + (ν + µ)Pµν−1(x)
(см. [15], гл. 3, п. 3.8, формула (19)), находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНКОВСКОГО – РАДОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯХ 1335
p′ν,k(θ) = ν ctg θ pν,k(θ) +
k − ν
sin θ
pν−1,k(θ).
Отсюда
Dk pν,k(θ) =
k − ν
sin θ
(
pν−1,k(θ)− cos θ pν,k(θ)
)
, (9)
D−k pν,k(θ) =
1
sin θ
(
(ν + k) cos θ pν,k(θ)− (ν − k)pν−1,k(θ)
)
. (10)
Поскольку
Pµν−1(x)− xPµν (x) = (ν − µ+ 1)
√
1− x2Pµ−1ν (x),
(ν − µ)xPµν (x)− (ν + µ)Pµν−1(x) =
√
1− x2Pµ+1
ν (x)
(см. [15], гл. 3, п. 3.8, формулы (15), (17)), из (9) и (10) получаем (7).
Далее, оператор L действует на функцию u вида u(ξ) = v(θ)eikϕ по правилу
(Lu)(ξ) = (lkv)(θ)eikϕ,
где
lk =
d2
dθ2
+ ctg θ
d
dθ
− k2
sin2 θ
Id .
Оператор lk можно представить в виде
lk = D−k−1Dk − k(k + 1) Id = Dk−1D−k − k(k − 1) Id . (11)
Теперь соотношение (8) следует из (11) и (7).
Лемма 2. (i) Пусть ε, θ ∈ (0, π), k ∈ Z+. Тогда при ν → ∞ так, что | arg ν| < π − ε,
справедливо асимптотическое равенство
pν,k(θ) =
√
2
π sin θ
cos
((
ν +
1
2
)
θ − π
4
(2k + 1)
)
(
ν +
1
2
)k+1
2
+O
eθ|Imν|
|ν|k+
3
2
, (12)
причем (12) выполнено равномерно по θ на любом отрезке [α, β] ⊂ (0, π).
(ii) Если ν ∈ C, θ ∈ (0, π), k ∈ Z+, то
∣∣pν,k(θ)∣∣ ≤ 1
k!
(
sin
θ
2
)k (
cos
θ
2
)−k−1
eθ|Imν|. (13)
(iii) Пусть 0 < a < π, s, k ∈ Z+. Тогда
max
θ∈[0,a]
∣∣∣∣dspν,k(θ)dθs
∣∣∣∣ = O(νs−k), ν → +∞. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1336 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
Доказательство. По формуле Мелера – Дирихле
pν,k(θ) =
(sin θ)−k
√
2πΓ
(
k +
1
2
) θ∫
−θ
(cos t− cos θ)
k−
1
2 e
i
(
ν+
1
2
)
t
dt (15)
(см. [15], гл. 3, п. 3.7, формула (27)). Из (15) и асимптотического разложения интегралов Фурье
(см. [17], гл. 2, доказательство теоремы 10.2) получаем (12).
Для доказательства (13) снова используем (15). Тогда
∣∣pν,k(θ)∣∣ ≤ (sin θ)−k
√
2πΓ
(
k +
1
2
) θ∫
−θ
(cos t− cos θ)k−
1
2dteθ|Imν|.
Учитывая, что
θ∫
0
(cos t− cos θ)k−
1
2dt =
1∫
cos θ
(x− cos θ)k−
1
2
dx√
1− x2
≤
≤ 1√
1 + cos θ
1∫
cos θ
(x− cos θ)k−
1
2 (1− x)−
1
2dx =
√
π2k−
1
2 Γ
(
k +
1
2
)
k!
(
sin
θ
2
)2k (
cos
θ
2
)−1
,
приходим к оценке (13).
Наконец, докажем (14). Оценка (14) при a < π/2 следует из интегрального представления
pν,−k(θ)e
ikϕ = ik
Γ(ν + k + 1)
2πΓ(ν + 1)
π∫
−π
(
cos θ + i sin θ cos(ψ − ϕ)
)ν
eikψdψ, θ ∈ (0, π/2),
и равенства
pν,−k(θ) = (−1)k
Γ(ν + k + 1)
Γ(ν − k + 1)
pν,k(θ) (16)
(см. [15], гл. 3, п. 3.7, формулы (25), (26), п. 3.3.1, формула (7), а также п. 3.4, формула (5)). С
другой стороны, асимптотическое разложение (12) и второе соотношение в (7) показывают, что
max
0<α≤θ≤β<π
∣∣∣∣dspν,k(θ)dθs
∣∣∣∣ = O(νs−k−1/2), ν → +∞.
Комбинируя эти два случая, получаем утверждение (iii).
Далее нам потребуется обобщение классической формулы умножения для многочленов
Лежандра (см. [18], гл. 3, § 4, п. 3, формула (2′)). Для формулировки и доказательства соответ-
ствующего утверждения введем некоторые обозначения.
Пусть k,m ∈ Z, ν ∈ C и вещественные числа θ1, θ2 удовлетворяют условиям: 1) sin2(θ1/2) 6=
6= 1, cos θ2 6= −1; 2) sin θ1 sin θ2 ≥ 0, cos(θ1 + θ2) > −1 или sin θ1 sin θ2 ≤ 0, cos(θ1− θ2) > −1.
Определим интеграл Ik,mν (θ1, θ2) следующим образом:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНКОВСКОГО – РАДОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯХ 1337
Ik,mν (θ1, θ2) =
1
2π
π∫
−π
P−kν (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 cosψ)eimψ×
×(cos θ2 sin θ1 + sin θ2 cos θ1 cosψ − i sin θ2 sinψ)k(
1− (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 cosψ)2
)k/2 dψ.
Следуя [18] (гл. 7, § 1, п. 4), для l ∈ Z+, l ≥ max
{
|k|, |m|
}
введем функции P lkm на (–1, 1) с
помощью равенств
P lkm(x) =
ik−m
2k(k −m)!
√
(l −m)!(l + k)!
(l − k)!(l +m)!
(1 + x)
k+m
2 (1− x)
k−m
2 ×
×F
(
l + k + 1, k − l; k −m+ 1;
1− x
2
)
, (17)
если k ≥ m, и
P lkm(x) =
im−k
2m(m− k)!
√
(l +m)!(l − k)!
(l + k)!(l −m)!
(1 + x)
k+m
2 (1− x)
m−k
2 ×
×F
(
l +m+ 1,m− l;m− k + 1;
1− x
2
)
, (18)
если k < m. Кроме того, если α, β ∈ C, α 6= −1,−2, . . . , положим
Φν,α,β(θ1) = F
(
α+ β + 1 + ν
2
,
α+ β + 1− ν
2
;α+ 1; sin2 θ1
2
)
. (19)
Отметим, что функции (17) – (19) тесно связаны с классическими многочленами Якоби (см. [18],
гл. 3, § 3, п. 9).
Лемма 3. Пусть числа θ1, θ2 и θ1 + θ2 принадлежат промежутку [0, π), k,m ∈ Z, k ≥ m,
ν ∈ C. Тогда
Ik,mν (θ1, θ2) = Ik,−mν (θ1 − π, θ2 − π) =
=
1
(k −m)!
(
sin
θ1
2
)k−m(
cos
θ1
2
)k+m
Φ2ν+1,k−m,k+m(θ1)pν,m(θ2), (20)
Ik,mν (−θ1, θ2) = Ik,−mν (π − θ1, θ2 − π) =
=
(−1)m+k
(k −m)!
(
sin
θ1
2
)k−m(
cos
θ1
2
)k+m
Φ2ν+1,k−m,k+m(θ1)pν,m(θ2).
Доказательство. По формуле умножения для функций P lkm имеем (см. [18], гл. 3, § 4, п. 3,
формула (1))
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1338 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
P lkm(cos θ1)P
l
m0(cos θ2) =
1
2π
π∫
−π
P lk0(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 cosψ)eimψ×
×(cos θ2 sin θ1 + sin θ2 cos θ1 cosψ − i sin θ2 sinψ)k(
1− (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 cosψ)2
)k/2 dψ. (21)
Согласно [18] (гл. 3, § 3, п. 9, формулы (9), (10))
P lm0(x) = im
√
(l +m)!
(l −m)!
P−ml (x). (22)
Поэтому (21) принимает вид
Ik,ml (θ1, θ2) = im−k
√
(l +m)!(l − k)!
(l + k)!(l −m)!
P lkm(cos θ1)pl,m(θ2). (23)
Учитывая, что k ≥ m, из (17), (19) и (23) находим
Ik,ml (θ1, θ2) =
1
(k −m)!
(
sin
θ1
2
)k−m(
cos
θ1
2
)k+m
Φ2l+1,k−m,k+m(θ1)pl,m(θ2). (24)
Рассмотрим теперь целую функцию
f(z) = z(z − 1) . . . (z − a+ 1)×
×
(
Ik,mz (θ1, θ2)−
1
(k −m)!
(
sin
θ1
2
)k−m(
cos
θ1
2
)k+m
Φ2z+1,k−m,k+m(θ1)pz,m(θ2)
)
,
где a = max
{
|m|, |k|
}
. Тогда f(n) = 0 при n ∈ Z+ (см. (24)). Кроме того, f удовлетворяет
оценке
|f(z)| ≤ c
(
1 + |z|
)3a
e(θ1+θ1)|Imz|, z ∈ C,
где c не зависит от z (см. (13), (16) и [13], гл. 7, следствие 7.2). По теореме Карлсона (см. [19],
гл. 5) отсюда заключаем, что f ≡ 0. Это дает совпадение крайних частей в (20). Остальные ра-
венства в лемме выводятся из доказанного соотношения с помощью простых замен переменной
в интеграле.
В заключение этого пункта приведем некоторые свойства нулей ν функции (6).
Лемма 4. Пусть r ∈ (0;π), k ∈ Z+. Тогда:
(i) функция ν → pν,k(r), ν ∈ C, имеет бесконечно много нулей;
(ii) все нули этой функции являются вещественными, простыми и расположены симмет-
рично относительно точки ν = −1
2
;
(iii) если ν ∈ [−k − 1, k], то pν,k(r) > 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНКОВСКОГО – РАДОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯХ 1339
(iv) для любого ε > 0 ∑
ν∈Nk(r)
1
ν1+ε
<∞, (25)
где, как и выше, Nk(r) =
{
ν > k : pν,k(r) = 0
}
.
Доказательство. Рассмотрим четную целую функцию
qr(λ) = pλ− 1
2
,k(r), λ ∈ C. (26)
Из (15) следует, что qr(λ) = qr(λ) и, в частности, qr вещественнозначна на R1. Кроме того,
qr > 0 на мнимой оси. Далее, qr → 0 при λ → ∞ по вещественной оси и является функцией
экспоненциального типа r (см. (13)). Отсюда и из теоремы Адамара о факторизации [20] (гл. 1,
§ 3, п. 8) заключаем, что qr имеет бесконечно много нулей. Это влечет утверждение (i).
Для доказательства утверждения (ii) воспользуемся соотношением
(µ− ν)(µ+ ν + 1)
r∫
0
pν,k(θ)pµ,k(θ) sin θdθ = sin r
(
pµ,k(r)p
′
ν,k(r)− pν,k(r)p′µ,k(r)
)
(27)
(см. [15], гл. 3, п. 3.12, формула (1)). Пусть qr(λ) = 0. Предположим, что λ 6∈ R1. Тогда λ2 6= λ
2
,
так как iλ 6∈ R1. Полагая в (27) µ = ν = λ− 1
2
и учитывая, что qr(λ) = 0, получаем
r∫
0
∣∣∣p
λ−1
2 ,k
(θ)
∣∣∣2 sin θdθ = 0, (28)
что невозможно. Предположим теперь, что qr(λ) = q′r(λ) = 0. Полагая в (27) µ = λ − 1
2
, при
ν → µ снова получаем (28). Таким образом, все нули qr вещественные, простые и симметричны
относительно точки λ = 0. Отсюда и из (26) имеем утверждение (ii).
Утверждение (iii) следует из равенства
pν,k(r) =
(sin r)k
2kk!
F
(
k − ν, ν + k + 1; k + 1; sin2 r
2
)
(см. [15], гл. 3, п. 3.5, формула (8)) и определения гипергеометрической функции. Наконец,
используя связь между порядком целой функции и показателем сходимости последовательности
ее нулей (см. [20], гл. 1, § 2, п. 2), получаем утверждение (iv).
Лемма 5. Пусть r ∈ (0;π), k ∈ Z+,
δ(µ, ν) =
r∫
0
pν,k(θ)pµ,k(θ) sin θdθ, µ, ν ∈ Nk(r).
Тогда δ(µ, ν) = 0 при µ 6= ν и
δ(ν, ν) >
c
ν2k+2
, (29)
где константа c > 0 не зависит от ν.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1340 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
Доказательство. При µ 6= ν утверждение следует из (27). Далее, неравенство (29) доста-
точно доказать при всех достаточно больших ν ∈ Nk(r). Пусть ν >
π
4r
− 1
2
. Положим
gk(θ, t) = (cos t− cos θ)k−
1
2 , 0 ≤ t ≤ θ ≤ π. (30)
Тогда из (15) имеем
δ(ν, ν) =
r∫
0
(pν,k(θ))
2 sin θdθ =
2
πΓ2(k + 1/2)
r∫
0
(sin θ)1−2k
θ∫
0
gk(θ, t) cos
(
ν +
1
2
)
tdt
2
dθ ≥
≥ 2
πΓ2(k + 1/2)
π
4(ν+1/2)∫
0
(sin θ)1−2k
θ∫
0
gk(θ, t) cos
(
ν +
1
2
)
tdt
2
dθ ≥
≥ 1
πΓ2(k + 1/2)
π
4(ν+1/2)∫
0
(sin θ)1−2k
θ∫
θ
2
gk(θ, t)dt
2
dθ. (31)
Внутренний интеграл в (31) оценивается следующим образом:
θ∫
θ
2
gk(θ, t)dt =
cos
θ
2∫
cos θ
(x− cos θ)k−
1
2
dx√
1− x2
≥
≥ 1
sin θ
cos
θ
2∫
cos θ
(x− cos θ)k−
1
2dx =
2
2k + 1
(
cos θ2 − cos θ
)k+1
2
sin θ
. (32)
Учитывая, что
cos
θ
2
− cos θ
sin θ
=
sin
3θ
4
2 cos
θ
2
cos
θ
4
≥ 1
2
sin
3θ
4
≥ 3θ
4π
при 0 < θ <
π
4(ν + 1/2)
, из (31), (32) получаем
δ(ν, ν) ≥ 1
πΓ2(k + 3/2)
π
4(ν+1/2)∫
0
(
3θ
4π
)2k+1
dθ,
откуда следует (29).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНКОВСКОГО – РАДОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯХ 1341
Лемма 6. Пусть k ∈ Z+, u ∈ L[0, r] и
v(z) =
r∫
0
u(θ)pz,k(θ) sin θdθ. (33)
Тогда если v(z) = 0 при всех z ∈ Nk(r), то u = 0.
Доказательство. Из (33), (15) и (30) имеем
v(z) =
1
√
2πΓ
(
1
2
+ k
) r∫
0
u(θ)K(z, θ)(sin θ)1−kdθ, (34)
где
K(z, θ) =
θ∫
−θ
ei
(
z+
1
2
)
tgk(θ, t)dt. (35)
Интегрируя (35) по частям, находим
K(z, θ) =
i
z +
1
2
k
θ∫
−θ
e
i
(
z+
1
2
)
t
(
d
dt
)k (
gk(θ, t)
)
dt. (36)
Из (34), (36) и (13) видно, что
|v(z)| ≤ c
(
e
r
2 |Imz| +
er|Imz|(
1 + |z|
)k
)
, z ∈ C, (37)
где c не зависит от z. Рассмотрим функциюw(z) = v(z)/pz,k(r).Поскольку pz,k(θ) = p−z−1,k(θ)
(см. [15], гл. 3, п. 3.4, формула (7)), из условия, леммы 4 и оценок (37), (13) следует, что w
— целая функция не выше первого порядка, причем w(z) = w(−z − 1), z ∈ C. Кроме того,
w(z) = O(|z|) при z → ∞ по прямым Imz = ±Re z (см. (12)). Отсюда и из принципа
Фрагмена – Линделефа делаем вывод, что w — многочлен не выше первой степени. В силу
четности w относительно −1
2
имеем w(z) = w(0) при всех z. Это означает (см. (34), (35) и
(15)), что
r∫
−r
e
i
(
z+
1
2
)
t
r∫
|t|
u(θ)(sin θ)1−kgk(θ, t)dθdt = w(0)(sin r)−kK(z, r).
Тогда
r∫
t
u(θ)(sin θ)1−k
gk(θ, t)
gk(r, t)
dθ = w(0)(sin r)−k
при всех t ∈ (0, r). Переходя здесь к пределу при t → r, заключаем, что w(0) = 0. Таким
образом, приходим к интегральному уравнению типа Абеля
r∫
t
u(θ)(sin θ)1−kgk(θ, t)dθ = 0, t ∈ (0, r),
решением которого является нулевая функция (см. [21], гл. 1, § 2, доказательство теоремы 2.6).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1342 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
4. Свойства классов Us
r,M(BR). Пусть 0 < R ≤ π, f ∈ C(BR), fk(θ) — коэффициенты
Фурье, определенные равенством (3). Для краткости положим
fk(ξ) = fk(θ)e
ikϕ, k ∈ Z.
Далее все функции из класса C(BR \ {o}), допускающие непрерывное продолжение в точку
{o}, считаются доопределенными в этой точке по непрерывности.
Лемма 7. Пусть f ∈ U sr,M (BR). Тогда:
(i) f ∈ U sr,M (BR);
(ii) fk ∈ U sr,M (BR) для любого k ∈ Z;
(iii) если s ≥ 1 и f(ξ) = u(θ)eikϕ, то функции (Dku)(θ)ei(k+1)ϕ и (D−ku)(θ)ei(k−1)ϕ при-
надлежат классу U s−1r,M (BR);
(iv) если s ≥ 2 и f(ξ) = u(θ)eikϕ, то (lku)(θ)eikϕ ∈ U s−2r,M (BR);
(v) если f(ξ) = u(θ)eiMϕ, то u(r) = 0.
Доказательство. Будем считать, что τ — элемент группы O(3) такой, что τBr ⊂ BR.
(i) Пусть κα — ортогональное преобразование в R3, действующее по правилу
καξ = (ξ1 cosα+ ξ2 sinα, ξ1 sinα− ξ2 cosα, ξ3), α ∈ R. (38)
Тогда κα = κ−1α и τκαBr ⊂ BR. Поэтому∫
Sr
f(τξ)(ξ1 + iξ2)
Mdl(ξ) =
∫
Sr
f(τκακαξ)(ξ1 + iξ2)
Mdl(ξ) =
= eiαM
∫
Sr
f(τκαη)(η1 − iη2)Mdl(η) = eiαM
∫
Sr
f(τκαη)(η1 + iη2)Mdl(η) = 0,
что и требовалось в первом утверждении.
(ii) Обозначим через τα вращение R3 в плоскости (x1, x2) на угол α, т. е.
ταξ = (ξ1 cosα− ξ2 sinα, ξ1 sinα+ ξ2 cosα, ξ3). (39)
Из (2) следует формула
fk(ξ) =
1
2π
2π∫
0
f(ταξ)e
ikαdα. (40)
В частности, fk ∈ Cs(BR). Далее, согласно (40) имеем
∫
Sr
fk(τξ)(ξ1 + iξ2)
Mdl(ξ) =
1
2π
2π∫
0
∫
Sr
f(τατξ)(ξ1 + iξ2)
Mdl(ξ)eikαdα.
Учитывая, что τατBr ⊂ BR для любого α ∈ [0, 2π], отсюда получаем утверждение (ii).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНКОВСКОГО – РАДОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯХ 1343
(iii) , (iv) Пусть at — вращение R3 в плоскости (x2, x3) на угол (−t), т. е.
atξ = (ξ1, ξ2 cos t+ ξ3 sin t,−ξ2 sin t+ ξ3 cos t). (41)
При достаточно малых |t| из условия имеем∫
τSr
F (atξ)PM (τ−1ξ)dl(ξ) = 0, (42)
где F (x) = f(x/|x|), PM (ξ) = (ξ1 + iξ2)
M . Дифференцируя (42) по t и полагая t = 0, находим∫
τSr
h(ξ)PM (τ−1ξ)dl(ξ) = 0, (43)
где h(ξ) = ξ3
∂F
∂x2
(ξ)− ξ2
∂F
∂x3
(ξ). Непосредственный подсчет показывает, что
h◦(ϕ, θ) = cosϕ
∂f◦
∂θ
− sinϕ ctg θ
∂f◦
∂ϕ
=
1
2
(Dku)(θ)ei(k+1)ϕ +
1
2
(D−ku)(θ)ei(k−1)ϕ.
Теперь утверждение (iii) следует из (43) и утверждения (ii), а утверждение (iv) получается из
утверждения (iii) и (11).
(v) Используя определение класса Ur,M (BR), имеем∫
Sr
f(ξ)(ξ1 + iξ2)
Mdl(ξ) = 0.
Осталось заметить, что для функций вида f(ξ) = u(θ)eiMϕ это соотношение эквивалентно
равенству u(r) = 0.
Лемма 8. (i) Пусть ν ∈ NM (r), k ∈ Z. Тогда функция sν,k(ξ) = pν,|k|(θ)e
ikϕ принадле-
жит классу U∞r,M (Bπ).
(ii) Пусть M ≥ 1, |k| ≤M − 1. Тогда функция
f(ξ) = (sin θ)|k|
M−|k|−1∑
j=0
γj(cos θ)jeikϕ, γj ∈ C,
принадлежит классу U∞r,M (S2) для любого r ∈ (0, π).
Доказательство. (i) Гладкость функций sν,k следует из равенств
sν,k(ξ) =
1
k!
F
(
−ν, ν + 1; 1 + k;
1− ξ3
2
)
(ξ2 + iξ1)
k
(1 + ξ3)k
, k ≥ 0,
sν,k(ξ) =
1
(−k)!
F
(
−ν, ν + 1; 1− k;
1− ξ3
2
)
(ξ2 − iξ1)−k
(1 + ξ3)−k
, k < 0
(см. (4) и (1)). Докажем, что sν,k ∈ Ur,M (Bπ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1344 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
Пусть сначала k ≥M. Используя лемму 3 и (16), при |t| < π − r, α, β ∈ R имеем∫
Sr
sν,k(τβatταξ)(ξ1 + iξ2)
Mdl(ξ) =
2π
(k −M)!
iMe−iMαe−ikβ×
×(sin r)M+1
(
sin
t
2
)k−M (
cos
t
2
)k+M
Φ2ν+1,k−M,k+M (t)pν,M (r), (44)
∫
Sr
sν,k(κβatταξ)(ξ1 + iξ2)
Mdl(ξ) =
2π
(k +M)!
(−1)k+M iMe−iMαe−ikβ×
×(sin r)M+1
(
sin
t
2
)k+M (
cos
t
2
)k−M Γ(ν +M + 1)
Γ(ν −M + 1)
Φ2ν+1,k+M,k−M (t)pν,M (r), (45)
где τα, κβ, at определены в (38), (39) и (41). Учитывая, что pν,M (r) = 0, из (44), (45) и
теоремы Эйлера о разложении собственных ортогональных матриц в композицию вращений
вокруг координатных осей получаем требуемое утверждение при k ≥M. Общий случай легко
выводится отсюда с помощью леммы 7 (i), (iii) и (7).
(ii) В силу леммы 7 (i) можно считать, что k ≥ 0. Тогда
f(ξ) = (ξ2 + iξ1)
k
M−k−1∑
j=0
γjξ
j
3,
и для доказательства утверждения (ii) достаточно установить равенство∫
Sr
Y (ξ)(ξ1 + iξ2)
Mdl(ξ) = 0, (46)
где Y — произвольная сферическая гармоника на S2 степени не выше M − 1 (см. [18], гл. 3,
§ 6, п. 5). Сферическая гармоника порядка m на S2 имеет вид
m∑
n=−m
cnP
−n
m (cos θ)einϕ, cn ∈ C.
Поэтому (46) следует из ортогональности тригонометрической системы {einϕ}∞n=−∞ в L2[0, 2π].
Лемма 9. Пусть k ∈ Z, f(ξ) = u(θ)eikϕ ∈ UM+|k|+4
r,M (BR) и f = 0 в Br. Тогда f = 0 в BR.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что k = 0, т. е. f(ξ) =
= u(θ) (см. лемму 7 (iii)). Пусть 0 < ε < R − r. Рассмотрим функцию wε, удовлетворяющую
следующим условиям: 1) wε ∈ C∞[0, π]; 2) wε = 1 на [0, R − ε] и wε = 0 на [R − ε/2, π]. Для
θ ∈ [0, π] положим Φ(θ) = u(θ)wε(θ), где u = 0 на [R, π]. Тогда Φ ∈ CM+4[0, π] и
Φ(θ) =
∞∑
j=0
αjPj(cos θ), (47)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНКОВСКОГО – РАДОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯХ 1345
αj =
2j + 1
2
π∫
0
Φ(θ)Pj(cos θ) sin θdθ
(см. [18], гл. 3, § 6, п. 4, формулы (21), (22)). При этом αj = O(j−M−2), j → +∞, и ряд (47)
сходится абсолютно и равномерно на [0, π]. Далее будет использоваться отображение (41), где
0 < t < R− r − ε. Из условия имеем∫
Sr
F (atξ)(ξ1 + iξ2)
Mdl(ξ) = 0, (48)
где F (ξ) = Φ(arccos ξ3). Разложение (47) показывает, что
F (atξ) =
∞∑
j=0
αjPj(ξ3 cos t− ξ2 sin t).
Поэтому из (48) следует соотношение
∞∑
j=0
αj
2π∫
0
Pj(cos r cos t− sin r sin t cosϕ)e−iMϕdϕ = 0. (49)
Полагая в (21) l = j, k = 0, m = −M, θ1 = r, θ2 = t, из (22), (16) и (49) получаем
∞∑
j=0
αjP
−M
j (cos r)PMj (cos t) = 0. (50)
Произведение функций Лежандра в (50) можно представить в виде
P−Mj (cos r)PMj (cos t) =
=
1
π
t+r∫
|t−r|
Pj(cos θ)TM
(
cos r cos t− cos θ
sin r sin t
)
sin θdθ√
(cos θ − cos(t+ r))(cos(t− r)− cos θ)
,
где TM — многочлен Чебышева первого рода (см. [18], гл. 3, § 4, п. 3, формула (7)). Теперь,
учитывая (47), приходим к уравнению
t+r∫
|t−r|
Φ(θ)TM
(
cos r cos t− cos θ
sin r sin t
)
×
× sin θdθ√
(cos θ − cos(t+ r))(cos(t− r)− cos θ)
= 0, 0 < t < R− r − ε.
Отсюда заключаем (см. [22], лемма 4), что Φ = 0 на [0, R − ε]. В силу произвольности ε ∈
∈ (0, R− r) f = 0 в BR.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1346 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
5. Доказательство теоремы. Достаточность условий теоремы легко следует из леммы 8
(см. (2)). Установим необходимость. По лемме 7 (ii) fk ∈ U∞r,M (BR) для любого k ∈ Z. Сначала
рассмотрим случай, когда k = M. Положим
cν =
1
δ(ν, ν)
r∫
0
fM (θ)pν,M (θ) sin θdθ, ν ∈ NM (r), (51)
где
δ(ν, ν) =
r∫
0
(pν,M (θ))2 sin θdθ.
Интегрируя (51) по частям с учетом (7), (11) и леммы 7 (iv), (v), получаем
cν =
1
δ(ν, ν)
(−1)m
(ν(ν + 1))m
r∫
0
(lmMfM )(θ)pν,M (θ) sin θdθ
для любого m ∈ Z+. Поэтому из (29) и (14) имеем
cν = O
(
1
ν2m−M−2
)
, ν → +∞. (52)
Определим гладкую функцию F на [0, R) равенством
F (θ) =
∑
ν∈NM (r)
cνpν,M (θ) (53)
(см. (52), (14) и (25)). Используя лемму 5, отсюда находим
cν =
1
δ(ν, ν)
r∫
0
F (θ)pν,M (θ) sin θdθ, ν ∈ NM (r). (54)
Сравнивая (51) с (54), на основании леммы 6 заключаем, что fM = F на [0, r]. Тогда функция
(fM (θ) − F (θ))eiMϕ равна нулю в Br и принадлежит U∞r,M (BR) (см. лемму 8 (i)). Теперь
требуемое разложение (5) при k = M следует из леммы 9 и (53). Случай k ≥ 0 сводится к
рассмотренному индукцией по k с использованием (7) и леммы 7 (iii). При k < 0 представление
(5) получается отсюда в силу леммы 7 (i). Таким образом, теорема полностью доказана.
1. Minkowski H. Über die Körper konstanter Breite // Mat. Sb. – 1904. – 25. – C. 505 – 508 (in Russian). Ges. Abh. –
1904. – 2. – P. 277 – 279.
2. Funk P. Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätishen Linien // Math. Ann. – 1913. – 74. – P. 278 – 300.
3. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der Konvexen Körper. – Berlin: Springer, 1934.
4. Petty C. M. Centroid surfaces // Pacif. J. Math. – 1961. – 11. – P. 1535 – 1547.
5. Radon J. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Ber.
Ver. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Nat. Kl. – 1917. – 69. – S. 262 – 277.
6. Ungar P. Freak theorem about functions on a sphere // J. London Math. Soc. – 1954. – 29. – P. 100 – 103.
7. Schneider R. Functions on a sphere and vanishing integrals over certain subspheres // J. Math. Anal. and Appl. –
1969. – 26. – P. 381 – 384.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МИНКОВСКОГО – РАДОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯХ 1347
8. Schneider R. Über eine Integralgleichung in der Theorie der konvexen Körper // Math. Nachr. – 1970. – 44. –
S. 55 – 75.
9. Berenstein C. A., Zalcman L. Pompeiu’s problem on spaces of constant curvature // J. Anal. Math. – 1976. – 30. –
P. 113 – 130.
10. Berenstein C. A., Zalcman L. Pompeiu’s problem on symmetric spaces // Comment. math. helv. – 1980. – 55. –
P. 593 – 621.
11. Badertscher E. The Pompeiu problem on locally symmetric spaces // J. Anal. Math. – 1991. – 57. – P. 250 – 281.
12. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2003. – 454 p.
13. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg
group. – London: Springer, 2009. – 671 p.
14. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Offbeat integral geometry on symmetric spaces. – Basel: Birkhäuser, 2013. – 592 p.
15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие транcцендентные функции. – М.: Наука, 1973. – Т. 1. – 296 с.
16. Волчков В. В. Теоремы о среднем для одного класса полиномов // Сиб. мат. журн. – 1994. – 35, № 4. –
С. 737 – 745.
17. Риекстыньш Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. – Рига: Зинатне, 1974. – Т. 1. – 392 с.
18. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп: 2-е изд. – М.: Наука, 1991. – 576 c.
19. Titchmarsh E. C. The theory of functions. – 2nd ed. – New York: Oxford Univ. Press, 1939.
20. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1983. – 175 с.
21. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – М.: Мир, 1987. – 735 c.
22. Волчков Вит. В., Савостьянова И. М. Аналог теоремы Йона для взвешенных шаровых средних на сфере //
Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 5. – С. 611 – 619.
Получено 07.02.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
|