В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа
Розглянуто динамічну систему з розподіленими параметрами, яка описує керовані коливання модєлі пластини Кірхгофа без урахування полярного моменту інерції обертання її перетину. Для дослідження множини досяжності використано клас оптимальних керувань, що відповідають скінченновимірним апроксимаціям с...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166120 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1463–1476. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166120 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661202020-02-19T01:28:46Z В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. Статті Розглянуто динамічну систему з розподіленими параметрами, яка описує керовані коливання модєлі пластини Кірхгофа без урахування полярного моменту інерції обертання її перетину. Для дослідження множини досяжності використано клас оптимальних керувань, що відповідають скінченновимірним апроксимаціям системи. Побудовано аналітичну оцінку норми функцій керування в залежності від крайових умов. За допомогою таких оцінок проведено аналіз множини досяжності нескінченновимірної системи. Для випадку моделі з непорівнянними частотами наведено оцінку множини досяжності з умовою степеневого спадання амплітуд узагальнених координат. We consider a dynamical system with distributed parameters for the description of controlled vibrations of a Kirchhoff plate without polar moment of inertia. A class of optimal controls corresponding to finite-dimensional approximations is used to study the reachable set. Analytic estimates for the norm of these control functions are obtained depending on the boundary conditions. These estimates are used to study the reachable set for the infinite-dimensional system. For a model with incommensurable frequencies, an estimate of the reachable set is obtained under the condition of power decay of the amplitudes o generalized coordinates. 2014 Article В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1463–1476. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166120 531.39 517.977 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа Український математичний журнал |
| description |
Розглянуто динамічну систему з розподіленими параметрами, яка описує керовані коливання модєлі пластини Кірхгофа без урахування полярного моменту інерції обертання її перетину. Для дослідження множини досяжності використано клас оптимальних керувань, що відповідають скінченновимірним апроксимаціям системи. Побудовано аналітичну оцінку норми функцій керування в залежності від крайових умов. За допомогою таких оцінок проведено аналіз множини досяжності нескінченновимірної системи. Для випадку моделі з непорівнянними частотами наведено оцінку множини досяжності з умовою степеневого спадання амплітуд узагальнених координат. |
| format |
Article |
| author |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. |
| author_facet |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. |
| author_sort |
Зуев, А.Л. |
| title |
В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа |
| title_short |
В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа |
| title_full |
В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа |
| title_fullStr |
В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа |
| title_full_unstemmed |
В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа |
| title_sort |
в задаче о колебаниях пластины кирхгофа |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166120 |
| citation_txt |
В задаче о колебаниях пластины Кирхгофа / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1463–1476. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT zueval vzadačeokolebaniâhplastinykirhgofa AT novikovaûv vzadačeokolebaniâhplastinykirhgofa |
| first_indexed |
2025-07-14T20:47:08Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:47:08Z |
| _version_ |
1837656737893580800 |
| fulltext |
УДК 531.39, 517.977
А. Л. Зуев, Ю. В. Новикова (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ОЦЕНКА МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
В ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА
We consider a dynamical system with distributed parameters for the description of controlled vibrations of the Kirchhoff
plate without polar moment of inertia. A class of optimal controls corresponding to finite-dimensional approximations is
used to study the reachable set. Analytic estimates of the norm of these control functions are obtained depending on the
boundary conditions. These estimates are used to study the reachable set for the infinite-dimensional system. For a model
with incommensurable frequencies, an estimate of the reachable set is obtained under the condition of power decay of the
amplitudes of generalized coordinates.
Розглянуто динамiчну систему з розподiленими параметрами, яка описує керованi коливання моделi пластини
Кiрхгофа без урахування полярного моменту iнерцiї обертання її перетину. Для дослiдження множини досяжностi
використано клас оптимальних керувань, що вiдповiдають скiнченновимiрним апроксимацiям системи. Побудовано
аналiтичну оцiнку норми функцiй керування в залежностi вiд крайових умов. За допомогою таких оцiнок прове-
дено аналiз множини досяжностi нескiнченновимiрної системи. Для випадку моделi з непорiвнянними частотами
наведено оцiнку множини досяжностi з умовою степеневого спадання амплiтуд узагальнених координат.
1. Введение. Современный технический прогресс стимулирует развитие методов теории оп-
тимального управления системами с распределенными параметрами. В частности, новые ал-
горитмы управления космическими аппаратами должны обеспечивать стабилизацию не только
твердых, но и упругих элементов конструкции [1]. Поэтому актуальными являются вопросы мо-
делирования и синтеза систем управления упругими панелями, которые соединены с твердым
телом [2].
При исследовании колебаний пластин наиболее принятой для теоретических исследований
является модель Кирхгофа [3 – 5]. Вопросам управления моделью пластины Кирхгофа посвя-
щен ряд работ. В статье [6] изучена билинейная задача оптимального управления для уравнения
пластины Кирхгофа, которая закреплена на части границы области. При этом предполагается,
что распределенная сила управления пропорциональна поперечной компоненте скорости плас-
тины в каждой точке области. В работе [7] рассмотрена задача активного управления с несколь-
кими временными задержками для уравнения свободных колебаний прямоугольной пластины.
В монографии [8] рассмотрены линейные многомерные колебательные системы в блочной
форме, для которых представлен обобщенный метод модального управления, в том числе при
ограничениях на значения управления. Задача управляемости для класса линейных бесконеч-
номерных систем с одномерным управлением исследована в статье [9]. В цитируемой работе
получены необходимые и достаточные условия точной, приближенной и нуль-управляемости
таких систем.
В работах [10, 11] рассматривалась модель пластины Кирхгофа, которая прикреплена к
твердому вращающемуся телу. Для такой модели пластины была исследована система обыкно-
венных дифференциальных уравнений, описывающая колебания с конечным числом степеней
свободы.
Целью данной работы является исследование множества достижимости бесконечномерной
динамической системы с несоизмеримыми частотами при использовании функций управления
специального вида.
c© А. Л. ЗУЕВ, Ю. В. НОВИКОВА, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11 1463
1464 А. Л. ЗУЕВ, Ю. В. НОВИКОВА
2. Описание модели. В работе [10] была представлена математическая модель малых
колебаний упругой пластины Кирхгофа, которая шарнирно прикреплена на границе к твердому
телу. Уравнения движения рассматриваемой системы при управлении вращением твердого тела
относительно фиксированной оси могут быть записаны в следующем виде:
ẋkj(t) = Akjxkj(t) +Bkju(t), (1)
где xkj(t) =
(
ξkj(t)
ηkj(t)
)
, Akj =
(
0 βkj
−βkj 0
)
, Bkj =
(
0
ϕkj
)
, u(t) ∈ R, (k, j) ∈ N2.
Величины ξkj(t) и ηkj(t) представляют соответственно модальную координату и скорость
для моды колебаний с индексами (k, j). Управление u(t) соответствует угловому ускорению
тела-носителя.
Коэффициенты уравнений (1) задаются через параметры упругой пластины следующим
образом:
βkj = α
((
πk
l1
)2
+
(
πj
l2
)2
)
,
ϕkj =
0, k — четное,
2l2
√
l1l2
π2kj
, k — нечетное, j — четное,
2
√
l1l2(2a2 − l2)
π2kj
, k — нечетное, j — нечетное,
k, j ∈ N2.
Здесь α, l1, l2, a2 — положительные константы, физический смысл которых описан в [10].
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что 2a2 6= l2.
Введем комплексные переменные:
zkj = ξkj + iηkj ,
z̄kj = ξkj − iηkj .
Тогда cистема (1) в переменных zkj , z̄kj примет вид
żkj = −izkjβkj + iϕkju(t),
˙̄zkj = iz̄kjβkj − iϕkju(t).
(2)
Отметим, что поскольку ϕkj = 0 для четных индексов k, система (1) имеет неуправляемое
подпространство, соответствующее модам (ξkj , ηkj) с (k, j) ∈ S, где
S =
{
(k, j) ∈ N2 : k — четное
}
.
В дальнейшем рассмотрим подсистему системы (1) для индексов N2\ S. Пусть задано
взаимно однозначное отображение n 7−→ (kn, jn), согласно которому индексу n ∈ N соответст-
вует пара индексов (kn, jn) ∈ N2\ S. Обозначим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ОЦЕНКА МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ В ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА 1465
ωn = βknjn = α
((
πkn
l1
)2
+
(
πjn
l2
)2
)
, (3)
Bn = ϕknjn =
2l2
√
l1l2
π2knjn
, kn — нечетное, jn — четное,
2
√
l1l2(2a2 − l2)
π2knjn
, kn — нечетное, jn — нечетное,
(4)
qn = zknjn , q−n = z̄knjn ,
и запишем систему (2) в операторном виде
q̇ = Aq +Bu, q ∈ `2, u ∈ R1, (5)
где
q =
q−1
q1
q−2
q2
...
∈ `2, A = i
ω1 0 0 0 . . .
0 −ω1 0 0 . . .
0 0 ω2 0 . . .
0 0 0 −ω2 . . .
...
...
...
...
. . .
, B = i
B−1
B1
B−2
B2
...
,
ωn = βknjn , Bn = ϕknjn , B−n = −ϕknjn .
Система (5) рассматривается в гильбертовом пространстве `2 с нормой
‖q‖`2 =
( ∞∑
n=1
(
|qn|2 + |q−n|2
))1/2
.
Оператор A : D(A) −→ `2 является инфинитезимальным генератором C0-полугруппы ли-
нейных операторов {etA}t≥0 в `2 на основании теоремы Хилле – Иосиды [12, с. 8].
Таким образом, для любых q0 ∈ `2, τ > 0, u ∈ L2(0, τ) существует единственное обоб-
щенное решение q(t, q0, u) уравнения (5) с u = u(t), t ∈ [0, τ ], удовлетворяющее начальному
условию q|t=0 = q0. Указанное решение можно задать формулой [12, с. 184]
q(t; q0, u) = etAq0 +
t∫
0
e(t−s)ABu(s)ds, 0 ≤ t ≤ τ.
Рассмотрим множества достижимости [13]:
Rτ (q0) =
{
q1 ∈ `2 : q1 = q(τ ; q0, u) при u ∈ L2(0, τ)
}
,
R(q0) =
⋃
τ≥0
Rτ (q0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1466 А. Л. ЗУЕВ, Ю. В. НОВИКОВА
Напомним, что система (5) приближенно управляема, если R(q0) = `2 для всех q0 ∈ `2.
Стандартным приемом исследования приближенной управляемости системы вида (5) является
критерий N. Levan, L. Rigby [14], который сводится к анализу инвариантных подпространств
сопряженной полугруппы {etA∗}t≥0 в ядре B∗. Однако непосредственное применение такого
подхода не позволяет провести оценку множеств достижимости Rτ (q0) и построить функции
управления, обеспечивающие решение двухточечной задачи для заданных краевых условий.
В данной работе для оценки множества достижимости Rτ (q0) системы (5) будет использо-
вано семейство функций, соответствующее конечномерным задачам оптимального управления.
Наряду с системой (5) рассмотрим ее конечномерную подсистему, соответствующую коор-
динатам q−n, qn, n = 1, N, для фиксированного целого числа N ≥ 1:
˙̃qN = AN q̃N +BNu, (6)
AN = i
ω1 0 . . . 0 0
0 −ω1 . . . 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . ωN 0
0 0 . . . 0 −ωN
, q̃N =
q−1
q1
...
q−N
qN
, BN = i
B−1
B1
...
B−N
BN
.
В работе [11] получено оптимальное управление для конечномерной системы вида (2)
с квадратичным функционалом качества. Результат работы [11] можно сформулировать для
системы (6) с комплексными переменными следующим образом.
Лемма 1. Пусть ωj 6= ωk для всех 1 ≤ j ≤ k ≤ N. Рассмотрим задачу оптимального
управления
˙̃qN = AN q̃N +BNu, t ∈ [0, τ ], (7)
J =
τ∫
0
|u(t)|2dt −→ min, (8)
q̃0N = q̃N (0) =
q0−1
q01
...
q0−N
q0N
∈ C2N , q̃1N = q̃N (τ) =
q1−1
q11
...
q1−N
q1N
∈ C2N , (9)
q0n = q0−n, q1n = q1−n, n = 1, N.
Оптимальное управление для данной задачи имеет вид
ûN (t) =
(
B1e
iω1t, B−1e
−iω1t, . . . , BNe
iωN t, B−Ne
−iωN t
)
ν,
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ОЦЕНКА МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ В ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА 1467
ν =
ν−1
ν1
...
ν−N
νN
=
1
B1
0 . . . 0 0
0
1
B−1
. . . 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 . . .
1
BN
0
0 0 . . . 0
1
B−N
K−1×
×
1
B−1
0 . . . 0 0
0
1
B1
. . . 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 . . .
1
B−N
0
0 0 . . . 0
1
BN
(
e−iωN τ q̃1N − q̃0N
)
, (10)
K = (Kjk)
N
j,k=1, Kjj =
τ
i
(
e−2iωjτ − 1
)
2ωj
i
(
1− e2iωjτ
)
2ωj
τ
,
Kjk = i
1− ei(ωk−ωj)τ
ωk − ωj
e−i(ωk+ωj)τ − 1
ωk + ωj
1− ei(ωk+ωj)τ
ωk + ωj
1− ei(ωj−ωk)τ
ωj − ωk
, j 6= k.
Для исследования множества достижимости бесконечномерной системы (5) напомним [15],
что комплексное или действительное число χ называется алгебраическим числом, если оно
является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами, неравными одновременно
нулю.
Число n∗ называется степенью алгебраического числа χ, если χ есть корень некоторого
многочлена степени n∗ с целыми коэффициентами и не существует тождественно неравно-
го нулю многочлена с целыми коэффициентами степени, меньшей чем n∗, корнем которого
являлось бы число χ.
Сформулируем основной результат данной работы об оценке состояний q1 ∈ `2 системы (5),
которые приближенно достижимы из точки q0 = 0 ∈ `2.
Теорема 1. Пусть для системы (5) выполнены условия:
1) Bn 6= 0, n = ±1,±2,±3, . . . ;
2) χ =
(
l2
l1
)2
— алгебраическое число степени n∗ ≥ 2;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1468 А. Л. ЗУЕВ, Ю. В. НОВИКОВА
3) координаты вектора q1 =
q1−1
q11
q1−2
q12
...
∈ `2 удовлетворяют условиям
q1−n = q1n, |q1n| = O
(
1
nγ
)
, γ >
3
2
n∗ + 1,
при всех n ∈ N.
Тогда для любого ε > 0 найдутся такие числа τ = τ(ε) > 0 и N(ε) ≥ 1, что∥∥q(τ ; 0, ûN )− q1
∥∥
`2
< ε, (11)
где ûN (t) — оптимальное управление для задачи (7) – (9), которое имеет вид
ûN (t) =
N∑
n=1
(Bne
iωntν−n +B−ne
−iωntνn), t ∈ [0; τ ].
Доказательство. Поскольку в условиях теоремы χ — иррациональное число, из пред-
ставления (3) вытекает свойство ωj 6= ωk для всех j 6= k. Следуя идее работы [16], оценим
величину (11) при использовании управлений вида u = ûN (t) из леммы 1.
Введем операторы проектирования QN : `2 −→ `2 и PN : `2 −→ `2 следующим образом:
PN : q =
q−1
q1
...
q−N
qN
q−N−1
qN+1
...
7−→
q−1
q1
...
q−N
qN
0
0
...
, QN = I − PN .
Тогда ∥∥q(τ ; 0, ûN )− q1
∥∥
`2
=
∥∥QNq(τ ; 0, ûN )−QNq1
∥∥ ≤
≤
∥∥QNq1∥∥+
∥∥∥∥∥∥
τ∫
0
QNe
(τ−s)ABûN (s)ds
∥∥∥∥∥∥.
Поскольку операторы etA и QN коммутируют, применяя неравенство Коши – Буняковского,
получаем
∥∥q(τ ; 0, ûN )− q1
∥∥
`2
≤
∥∥QNq1∥∥+ sup
t∈[0,τ ]
‖etA‖ ‖QNB‖
τ∫
0
|ûN (s)|ds ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ОЦЕНКА МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ В ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА 1469
≤
∥∥QNq1∥∥+
√
τ‖QNB‖ sup
t∈[0,τ ]
‖etA‖ ‖ûN‖L2(0,τ).
Очевидно, что норма оператора etA : `2 −→ `2 равна 1.
Таким образом, для доказательства теоремы покажем, что для произвольного ε > 0 и
вектора q1 найдутся такие числа τ > 0 и N, что∥∥QNq1∥∥ < ε
2
, (12)
rN = τ‖QNB‖2‖ûN‖2L2(0;τ) <
ε2
4
. (13)
Неравенство (12) следует из того факта, что
lim
N−→∞
∥∥QNq1∥∥2 = lim
N−→∞
∞∑
n=N+1
(
|q1−n|2 + |q1n|2
)
= 0
для любого элемента q1 ∈ `2.
Для доказательства неравенства (13) найдем значение нормы оптимального управления:
∥∥ûN (t)
∥∥2
L2(0,τ)
=
τ∫
0
∣∣ûN (t)
∣∣2dt =
τ∫
0
ûN (t)ûN (t)dt =
=
τ∫
0
(
N∑
n=1
Bne
iωntν−n +B−ne
−iωntνn
)(
N∑
n′=1
B̄n′e
iωn′t ν̄−n′ + B̄−n′e
−iωn′ tν̄n′
)
dt =
=
N∑
n=1
BnB̄nν−nν̄−nτ +
N∑
n=1
BnB̄−nν−nν̄n
i(1− e2iωnτ )
2ωn
+
N∑
n=1
B−nB̄nνnν̄−n
i(e−2iωnτ − 1)
2ωn
+
+
N∑
n=1
B−nB̄−nνnν̄nτ +
N∑
n=1
N∑
n′=1
BnB̄n′ν−nν̄−n′
i(1− ei(ωn−ωn′ )τ )
ωn − ωn′
+
+
N∑
n=1
N∑
n′=1
BnB̄−n′ν−nν̄n′
i(1− ei(ωn+ωn′ )τ )
ωn + ωn′
+
N∑
n=1
N∑
n′=1
B−nB̄n′νnν̄−n′
i(e−i(ωn+ωn′ )τ − 1)
ωn + ωn′
+
+
N∑
n=1
N∑
n′=1
B−nB̄−n′νnν̄n′
i(ei(ωn′−ωn)τ − 1)
ωn − ωn′
.
Оценим
∥∥ûN (t)
∥∥2
L2(0,τ)
с использованием неравенства треугольника и неравенства Гельдера:
∥∥ûN (t)
∥∥2
L2(0,τ)
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1470 А. Л. ЗУЕВ, Ю. В. НОВИКОВА
≤
N∑
n=1
|Bn|2|νn|2
(
2|τ |+ 2
|ωn|
)
+
N∑
n,n′=1
n6=n′
|BnBn′νnνn′ |
(
4
|ωn − ωn′ |
+
4
|ωn + ωn′ |
)
≤
≤
N∑
n=1
|Bn|2|νn|2
(
2|τ |+ max
n,n′≤N
2
|ωn|
)
+
N∑
n,n′=1
n6=n′
|BnBn′νnνn′ |×
×
(
max
n,n′≤N
4
|ωn − ωn′ |
+ max
n,n′≤N
4
|ωn + ωn′ |
)
≤
N∑
n=1
|Bn|2|νn|2
2|τ |+ 2
min
n,n′≤N
|ωn|
+
+
N∑
n,n′=1
n6=n′
|BnBn′νnνn′ |
4
min
n,n′≤N
|ωn − ωn′ |
+
4
min
n,n′≤N
|ωn + ωn′ |
≤
≤ max
n,n′≤N
2|τ |+ 2
min
n,n′≤N
|ωn|
,
4
min
n,n′≤N
|ωn − ωn′ |
+
4
min
n,n′≤N
|ωn + ωn′ |
×
×
N∑
n,n′=1
n6=n′
∣∣BnBn′νnνn′∣∣ ≤
≤ max
n,n′≤N
(
2τ +
2
ω1
)
,
4
min
n,n′≤N
|ωn − ωn′ |
+
4
ω1 + ω2
N∑
n,n′=1
n6=n′
∣∣BnBn′νnνn′∣∣ ≤
≤ 4
min
n,n′≤N
|ωn − ωn′ |
N∑
n,n′=1
n6=n′
|BnBn′νnνn′ |. (14)
Введем переобозначения
ν̃n = νnB−n, ν̃−n = ν−nBn,
2
min
n,n′≤N
|ωn − ωn′ |
= H(N),
тогда оценка (14) примет вид
∥∥ûN (t)
∥∥2
L2(0,τ)
≤ 2H(N)
N∑
n,n′=1
n6=n′
|ν̃nν̃n′ | = 2H(N)
N∑
n′=1
(
N∑
n=1
|ν̃n||ν̃n′ |
)
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ОЦЕНКА МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ В ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА 1471
≤ 2H(N)
N∑
n′=1
√√√√ N∑
n=1
|ν̃n′ |2
√√√√ N∑
n=1
|ν̃n|2
= H(N)
√
2N‖ν̃‖2
N∑
n′=1
|ν̃n′ | ≤
≤ H(N)
√
2N‖ν̃‖2
√√√√ N∑
n′=1
|ν̃n′ |2
√√√√ N∑
n′=1
12 = H(N)N‖ν̃‖22. (15)
Здесь ‖ν̃‖2 =
∑N
n=1
(
|ν̃n|2 + |ν̃−n|2
)1
2 обозначает евклидову норму вектора ν̃.
Согласно лемме 1,
ν̃ = K−1y, (16)
где ν̃ =
ν̃−1
ν̃1
...
ν̃−N
ν̃N
, y =
1
B−1
0 . . . 0 0
0
1
B1
. . . 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 . . .
1
B−N
0
0 0 . . . 0
1
BN
(e−iωN τ q̃1N − q̃0N ).
Оценим норму ν̃. Для этого представим матрицу K в виде K = τI + C и рассмотрим C
как линейный оператор из пространства C2N с нормой ‖ · ‖1 в C2N с нормой ‖ · ‖∞ :
C :
(
C2N , ‖ · ‖1
)
−→
(
C2N , ‖ · ‖∞
)
,
где ‖y‖1 =
∑N
n=1
(|yn|+ |y−n|) , ‖y‖∞ = max
1≤|n|≤N
|yn|.
Запишем (16) в виде
Kν̃ = (τI + C)ν̃ = y, ν̃ =
y
τ
− Cν̃
τ
,
откуда
‖ν̃‖∞ ≤
1
τ
(‖y‖∞ + ‖Cν̃‖∞) ≤ 1
τ
(‖y‖∞ + ‖C‖‖ν̃‖1),
‖ν̃‖∞
(
1− ‖C‖
τ
)
≤ 1
τ
‖y‖∞,
‖ν̃‖∞ ≤
‖y‖∞
τ − ‖C‖
при условии ‖C‖ < τ. (17)
Оценим ‖C‖ :
‖C‖ ≤ max
1≤n≤N
{
max
1≤m≤N
|Cnm|
}
= max
1≤n≤N
{∣∣∣∣ i(e−2iωnτ − 1)
2ωn
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ i(1− e2iωnτ )
2ωn
∣∣∣∣ ,
max
1≤m≤N
{
2
|ωm − ωn|
,
2
|ωm + ωn|
}}
≤ max
1≤n≤N
{
1
|ωn|
, max
1≤m≤N
{
2
|ωm − ωn|
,
2
|ωm + ωn|
}}
. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1472 А. Л. ЗУЕВ, Ю. В. НОВИКОВА
Из формулы (3) получаем
ωn = βjnkn = α
((
πjn
l1
)2
+
(
πkn
l2
)2
)
, ωm = βjmkm = α
((
πjm
l1
)2
+
(
πkm
l2
)2
)
.
Из ограничений 1 ≤ n ≤ N и 1 ≤ m ≤ N следуют неравенства вида 1 ≤ jm, km, jn, kn ≤
≤M(N) для некоторого целого числа M(N),
M(N) = O(
√
N) при N −→∞. (19)
Тогда можно оценить выражение (18) следующим образом:
‖C‖ ≤ max
jn,kn≤M
1
βjnkn
, max
(jm,km) 6=(jn,kn)
jn,kn≤M
{
2
|βjnkn + βjmkm |
,
2
|βjnkn − βjmkm |
} ≤
≤ max
jn,kn≤M
1
min
jn,kn≤M
βjnkn
,
2
min
(jm,km)6=(jn,kn)
jn,kn,jm,km≤M
|βjnkn + βjmkm |
,
2
min
(jm,km) 6=(jn,kn)
jn,kn,jm,km≤M
|βjnkn − βjmkm |
.
Положим jn = p, kn = c, jm = m, km = s, χ =
(
l2
l1
)2
, тогда
min
(jm,km)6=(jn,kn)
jn,kn,jm,km≤M
|βjnkn − βjmkm | =
απ2
l22
min
(p,c) 6=(m,s)
p,c,m,s≤M
|χp2 + c2 − χm2 − s2|.
Поскольку χ — иррациональное алгебраическое число степени n∗ ≥ 2, по теореме Лиувилля
получаем
απ2
l22
min
(p,c)6=(m,s)
p,c,m,s≤M
|χp2 + c2 − χm2 − s2| ≥ min
p 6=m
p,m≤M
απ2R
l22|p2 −m2|n∗−1
≥ απ2R
l22(M2(N)− 1)n∗−1
,
где R — положительная константа, зависящая только от χ и выражаемая в явном виде через
сопряженные с χ величины [15].
Следовательно,
‖C‖ ≤ l22(M2(N)− 1)n
∗−1
απ2R
.
Таким образом, из формул (15), (17) и (19) следует, что
∥∥ûN (t)
∥∥2
L2(0,τ)
≤ NH(N)‖y‖22 при τ >
l22
(
M2(N)− 1
)n∗−1
απ2R
= O(Nn∗−1). (20)
Оценим евклидову норму вектора y :
‖y‖22 =
N∑
n=1
(
|y−n|2 + |yn|2
)
=
N∑
n=1
|e−iωnτq1n − q0n|2 + |eiωnτq1−n − q0−n|2
|Bn|2
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ОЦЕНКА МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ В ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА 1473
≤ 2
N∑
n=1
|e−iωnτq1n|2 + |eiωnτq1−n|2 + |q0n|2 + |q0−n|2
|Bn|2
≤
≤ 2
N∑
n=1
|q1n|2 + |q1−n|2 + |q0n|2 + |q0−n|2
|Bn|2
.
Подставим полученное выражение в левую часть формулы (13):
rN ≤
4Nτ
min
1≤n<
<n′≤N
|ωn − ωn′ |
N∑
n=1
|q1n|2 + |q1−n|2 + |q0n|2 + |q0−n|2
|Bn|2
∞∑
n=N+1
(
|B−n|2 + |Bn|2
)
. (21)
Зададим отображение n 7−→ (p, c), n′ 7−→ (k, s), ставящее в соответствие индексам n ∈ N
и n′ ∈ N пары индексов (p, c), (k, s). Согласно введенным обозначениям,
Bn = iϕpc, ωn = βpc, ωn′ = βks,
где βpc = α
((
πp
l1
)2
+
(
πc
l2
)2
)
, βks = α
((
πk
l1
)2
+
(
πs
l2
)2
)
.
Тогда формула (21) примет вид
rN ≤
8Nτ
min
(p,c)6=(k,s)
p,c,k,s≤N
|βpc − βks|
N∑
p,c=1
|q1n|2 + |q1−n|2 + |q0n|2 + |q0−n|2
|iϕpc|2
∞∑
p,c=N+1
|iϕpc|2. (22)
Пусть
q0n = 0, q0−n = 0, |q1n| = |q1−n| = O
(
1
pγ
+
1
cγ
)
.
С учетом обозначений (4) для ϕpc из формулы (22) следует представление
rN = O
Nτ
min
(p,c)6=(k,s)
p,c,k,s≤N
∣∣∣∣ απ2(l1l2)2
(
l21(c2 − s2) + l22(p2 − k2)
)∣∣∣∣
N∑
p,c=1
(cγ + pγ)2
(pc)2γ−2
∞∑
p,c=N+1
(pc)−2
(23)
при N −→∞.
Оценим выражение
min
(p,c)6=(k,s)
p,c,k,s≤N
∣∣∣∣ απ2(l1l2)2
(
l21(c2 − s2) + l22(p2 − k2)
)∣∣∣∣ .
Пусть χ =
(
l2
l1
)2
> 0,
1−N2 ≤ c2 − s2 = (c− s)(c+ s) = mq ≤ N2 − 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1474 А. Л. ЗУЕВ, Ю. В. НОВИКОВА
1−N2 ≤ p2 − k2 = (p− k)(p+ k) = m′q′ ≤ N2 − 1.
Тогда получим
min
(p,c)6=(k,s)
p,c,k,s≤N
∣∣∣∣ απ2(l1l2)2
(
l21(c2 − s2) + l22(p2 − k2)
)∣∣∣∣ =
απ2
l22
min
|mq|≤N2−1
|m′q′|≤N2−1
|mq + χm′q′|.
Если χ — иррациональное алгебраическое число степени n∗ ≥ 2, то по теореме Лиувилля
|mq + χm′q′| = |m′q′|
∣∣∣∣χ+
mq
m′q′
∣∣∣∣ > C|m′q′|
|m′q′|n∗
=
C
|m′q′|n∗−1
,
где C — положительная константа, зависящая только от χ и выражаемая в явном виде через
сопряженные с χ величины.
Если 1 ≤ c ≤ N, 1 ≤ s ≤ N, 1 ≤ p ≤ N, 1 ≤ k ≤ N, то
inf
(m,m′) 6=(0,0)
2≤q≤2N
2≤q′≤2N
|mq + χm′q′| > inf
C
|m′q′|n∗−1
=
C
sup |m′q′|n∗−1
=
C
(2N(N − 1))n∗−1
.
Тогда
min
1≤(p,c)≤
≤(k,s)≤N
∣∣∣∣ απ2(l1l2)2
(
l21(c2 − s2) + l22(p2 − k2)
)∣∣∣∣ =
απ2
l22
C
(2N(N − 1))n∗−1
. (24)
Подставим (24) в (23):
rN = O
τN(2N(N − 1))n
∗−1
N∑
p,c=1
(pc)2−2γ(cγ + pγ)2
∞∑
p,c=N+1
(pc)−2
. (25)
Выполним в (25) эквивалентную замену
rN = O
τN2n∗−1
N∑
p,c=1
(pc)2−2γ(cγ + pγ)2
∞∑
p,c=N+1
(pc)−2
. (26)
Применим интегральный признак сравнения для оценки сумм в (26):
N∑
p,c=1
(pc)2−2γ(cγ + pγ)2 ≤
N∫
0
p2−2γdp
N+1∫
1
c2dc+ 2
N∫
0
p2−γdp
N∫
0
c2−γdc+
+
N+1∫
1
p2dp
N∫
0
c2−2γdc =
2N6−2γ
(3− γ)2
+
2N3−2γ((N + 1)3 − 1
)
9− 6γ
при γ 6= 3 и γ 6= 3
2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ОЦЕНКА МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ В ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА 1475
∞∑
p,c=N+1
(pc)−2 ≤
∞∫
N
dp
∞∫
N
(pc)−2dc =
∞∫
N
p−2dp
∞∫
N
c−2dc =
1
N2
.
Подставим значения интегралов в (26):
rN = O
(
τ2N2n∗−1N6−2γ
N2(3− γ)2
+
τ2N2n∗−1N3−2γ((N + 1)3 − 1)
N2(9− 6γ)
)
.
В последнем равенстве выполним эквивалентные преобразования
rN = O
(
τN2n∗−1N6−2γ
N2
+
τN2n∗−1N3−2γN3
N2
)
,
rN = O
(
τN2n∗−2γ+3
)
. (27)
Полученное представление справедливо для значений τ = O(Nn∗−1), удовлетворяющих нера-
венству (20). Из (27) найдем значения γ, для которых rN −→ 0 при N −→∞ :
γ >
3
2
n∗ + 1.
Из этого неравенства вытекает свойство (13) для достаточно больших N.
Таким образом, теорема 1 доказана.
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда q1 ∈ R(0).
3. Заключение. Доказательство основного результата данной работы содержит теорети-
ческое обоснование применимости метода модального анализа для оценки множества дости-
жимости бесконечномерной системы, которая описывает колебания прямоугольной пластины
Кирхгофа. Ключевым предположением, которое обеспечивает малость нормы решений под-
системы с высокочастотными модами при использовании семейства управлений u = ûN (t),
является условие теоремы 1 об алгебраичности числа χ = l22/l
2
1, где l1 и l2 — размеры пласти-
ны.
Представляет интерес дальнейшее исследование возможности ослабления условий теоре-
мы 1 для описания приближенной управляемости модели Кирхгофа.
Вопрос о существовании предельных функций построенного семейства управлений {ûN (t)}
при N −→ ∞ также представляет интерес для дальнейшего исследования задачи управляемо-
сти в гильбертовом пространстве.
1. Набиуллин М. К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. – Новосибирск: Наука, Сиб.
отд-ние, 1990. – 216 с.
2. Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т. К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими
аппаратами. – М.: Машиностроение, 1986. – 214 с.
3. Жилин П. А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. РАН.
Механика твердого тела. – 1992. – № 3. – С. 48 – 64.
4. Lagnese J. E., Leugering G. Controllability of thin elastic beams and plates // The Control Handbook /
Ed. W. S. Levine. – Boca Raton: CRC Press – IEEE Press, 1996. – P. 1139 – 1156.
5. Zuyev A. Approximate controllability of a rotating Kirchhoff plate model // Proc. 49 th IEEE Conf. Decision and
Control. – Atlanta (USA), 2010. – P. 6944 – 6948.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1476 А. Л. ЗУЕВ, Ю. В. НОВИКОВА
6. Bradley M., Lenhart S. Bilinear spatial control of the velocity term in a Kirchhoff plate equation // Electron. J.
Different. Equat. – 2001. – 27. – P. 1 – 15.
7. Chen L., Pan J., Cai G. Active control of a flexible cantilever plate with multiple time delays // Acta mech. solida
sinica. – 2008. – 21. – P. 258 – 266.
8. Новицький В. В. Декомпозицiя та керування в лiнiйних системах // Працi Iн-ту математики НАН України. –
1995. – 11. – 150 с.
9. Jacob B., Partington J. R. On controllability of diagonal systems with one-dimensional input space // Syst. and Contr.
Lett. – 2006. – 55. – P. 321 – 328.
10. Зуев А. Л., Новикова Ю. В. Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением // Механика
твердого тела. – 2011. – Вып. 41. – С. 187 – 198.
11. Зуев А. Л., Новикова Ю. В. Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа // Механика твердого тела. –
2012. – Вып. 42. – С. 163 – 176.
12. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. – New York: Springer-Verlag,
1983. – 279 p.
13. Fattorini H. O. Infinite dimensional optimization and control theory. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. –
798 p.
14. Levan N., Rigby L. Strong stabilizability of linear contractive control systems on Hilbert space // SIAM J. Contr.
Optimiz. – 1979. – 17. – P. 23 – 35.
15. Бухштаб А. А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966. – 383 с.
16. Zuyev A. Approximate controllability and spillover analysis of a class of distributed parameter systems // Proc. 48 th
IEEE Conf. Decision and Contr. and 28 th Chinese Contr. Conf. Shanghai. – China, 2009. – P. 3270 – 3275.
Получено 21.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
|