О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах
Для цілих трансцендентних Функцій f багатьох комплексних змінних m(m≥2), які мають узагальнений порядок зростання ρm(f;α,β), отримано граничні співвідношення між вказаною характеристикою зростання та послідовностями найкращих поліноміальних наближень f у банахових просторах Гарді Hq(Um) та банахових...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166125 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах / С.Б. Вакарчук, С.И. Жир // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1598–1614. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166125 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661252020-02-19T01:27:12Z О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах Вакарчук, С.Б. Жир, С.И. Статті Для цілих трансцендентних Функцій f багатьох комплексних змінних m(m≥2), які мають узагальнений порядок зростання ρm(f;α,β), отримано граничні співвідношення між вказаною характеристикою зростання та послідовностями найкращих поліноміальних наближень f у банахових просторах Гарді Hq(Um) та банахових просторах Bm(p,q,⋋), що вивчались М. I. Гварадзе. Зазначені результати є поширенням на багатовимірний випадок відповідних тверджень R. S. Varga, А. В. Батирєва, S. M. Shah, A. R. Reddy, I. I. Шрагімова та Н. I. Шихалієва. For the entire transcendental functions f of many complex variables m(m≥2) of finite generalized order of growth ρm(f;α,β), we obtain the limiting relations between the indicated characteristic of growth and the sequences of best polynomial approximations of f in the Hardy Banach spaces Hq(Um) and in the Banach spaces Bm(p,q,⋋) studied by Gvaradze. The presented results are extensions of the corresponding assertions made by Varga, Batyrev, Shah, Reddy, Ibragimov, and Shikhaliev to the multidimensional case. 2014 Article О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах / С.Б. Вакарчук, С.И. Жир // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1598–1614. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166125 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Вакарчук, С.Б. Жир, С.И. О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах Український математичний журнал |
| description |
Для цілих трансцендентних Функцій f багатьох комплексних змінних m(m≥2), які мають узагальнений порядок зростання ρm(f;α,β), отримано граничні співвідношення між вказаною характеристикою зростання та послідовностями найкращих поліноміальних наближень f у банахових просторах Гарді Hq(Um) та банахових просторах Bm(p,q,⋋), що вивчались М. I. Гварадзе. Зазначені результати є поширенням на багатовимірний випадок відповідних тверджень R. S. Varga, А. В. Батирєва, S. M. Shah, A. R. Reddy, I. I. Шрагімова та Н. I. Шихалієва. |
| format |
Article |
| author |
Вакарчук, С.Б. Жир, С.И. |
| author_facet |
Вакарчук, С.Б. Жир, С.И. |
| author_sort |
Вакарчук, С.Б. |
| title |
О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах |
| title_short |
О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах |
| title_full |
О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах |
| title_fullStr |
О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах |
| title_full_unstemmed |
О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах |
| title_sort |
о наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166125 |
| citation_txt |
О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах / С.Б. Вакарчук, С.И. Жир // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1598–1614. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT vakarčuksb onailučšihpolinomialʹnyhpribliženiâhcelyhtranscendentnyhfunkcijmnogihkompleksnyhperemennyhvnekotoryhbanahovyhprostranstvah AT žirsi onailučšihpolinomialʹnyhpribliženiâhcelyhtranscendentnyhfunkcijmnogihkompleksnyhperemennyhvnekotoryhbanahovyhprostranstvah |
| first_indexed |
2025-07-14T20:47:28Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:47:28Z |
| _version_ |
1837656756241563648 |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. А. Нобеля),
С. И. Жир (Акад. таможен. службы Украины, Днепропетровск)
О НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ
ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ В НЕКОТОРЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
For the entire transcendental functions f of many complex variables m (m > 2) of finite generalized order of growth
ρm(f ;α, β), we obtain the limiting relationships between the indicated characteristic of growth and the sequences of the
best polynomial approximations of f in the Hardy Banach spaces Hq(U
m) and in the Banach spaces Bm(p, q, λ), studied
by M. I. Gvaradze. The presented results are the extensions of the corresponding statements of R. S. Varga, A. V. Batirev,
S. M. Shah, A. R. Reddy, I. I. Ibragimov and N. I. Shikhaliev to the multivariate case.
Для цiлих трансцендентних функцiй f багатьох комплексних змiнних m (m > 2), якi мають узагальнений порядок
зростання ρm(f ;α, β), отримано граничнi спiввiдношення мiж вказаною характеристикою зростання та послiдов-
ностями найкращих полiномiальних наближень f у банахових просторах Гардi Hq(U
m) та банахових просторах
Bm(p, q, λ), що вивчались М. I. Гварадзе. Зазначенi результати є поширенням на багатовимiрний випадок вiдповiд-
них тверджень R. S. Varga, А. В. Батирєва, S. M. Shah, A. R. Reddy, I. I. Iбрагiмова та Н. I. Шихалiєва.
1. В случае функций одной комплексной переменной в работе [1] была достаточно полно
изложена история вопроса о связи между скоростью стремления к нулю последовательнос-
тей наилучших полиномиальных приближений целых трансцендентных функций и некоторы-
ми обобщенными характеристиками их роста. Для целых трансцендентных функций многих
комплексных переменных в этом направлении получено значительно меньше результатов ука-
занного вида (см., например, [2 – 4]). В данной статье продолжается развитие этой тематики в
многомерном случае.
Для изложения необходимых понятий и определений введем следующие обозначения. Под
C понимаем пространство комплексных чисел z = x + iy, а под Cm := {z = (z1, . . . , zm) :
zj ∈ C, j = 1,m} — m-мерное комплексное пространство. Пусть Um := {z ∈ Cm : |zj | <
< 1, j = 1,m} — единичный поликруг в Cm, а Γm := {z ∈ Cm : |zj | = 1, j = 1,m} —
его остов. Символом R обозначим множество всех конечных вещественных чисел, а под Rm
понимаем m-мерное вещественное пространство. Через Tm := {x = (x1, . . . , xm) ∈ Rm :
0 6 xj 6 2π, j = 1,m} и Im := {r = (r1, . . . , rm) ∈ Rm : 0 6 rj < 1, j = 1,m} обозначим
m-мерные кубы в пространстве Rm. Множество всех функций f, аналитических на множестве
Um, обозначим символом A(Um). Для произвольной функции f ∈ A(Um) полагаем
Mq(f, r) :=
1
(2π)m
∫
Tm
∣∣f(reit)
∣∣q dt
1/q
, 0 < q <∞,
где f(reit) := f(r1e
it1 , . . . , rme
itm), dt := dt1 . . . dtm, и
M∞(f, r) := max
{
|f(reit)| : t ∈ Tm
}
, r ∈ Im.
Под Hq(U
m), 0 < q 6 ∞, понимаем пространство Харди, состоящее из функций f ∈
∈ A(Um), для которых
c© С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР, 2014
1598 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
О НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ . . . 1599
‖f‖Hq := sup
{
Mq(f, r) : r ∈ Im
}
<∞. (1)
Напомним, что в случае q > 1 пространство Hq(U
m) является банаховым. При m = 1 про-
странстваHq(U) := Hq(U
1), 0 < q 6∞, впервые рассматривались Г. Харди [5] и к настоящему
времени исследованы достаточно полно в работах Г. Харди и Дж. Литтльвуда, И. И. Привалова,
Ф. Рисса, М. Рисса, А. Зигмунда и др.
Что же касается пространств Харди Hq(U
m), где m ∈ N\{1}, то при их изучении возникли
принципиальные отличия по сравнению с одномерным случаем, поскольку некоторые резуль-
таты (например, факторизация), справедливые при m = 1, становятся не верными при m > 1.
Первые результаты по теории пространств Hq(U
m),m > 1, были получены А. Зигмундом,
А. П. Кальдероном, С. Бохнером и в последующем получили развитие в различных направле-
ниях благодаря усилиям многих математиков.
В результате применения методов действительного анализа к классическим задачам теории
аналитических функций возникла теория их граничных свойств, для которой важное значение
имеет вопрос о существовании у аналитической в некоторой области функции предельных
значений на границе области. Фундаментальные результаты в этом направлении были получены
П. Фату, Ф. Риссом, Р. Неванлиной, А. Островским и др. Для многомерного случая А. Зигмунд
в работе [6] установил существование у функции f ∈ Hq(U
m), где m ∈ N\{1}, 0 < q < ∞,
угловых предельных значений почти всюду на остове Γm и доказал справедливость равенства
lim
∫
Tm
|f(reit)− f(eit)|qdt : r ∈ Im, rj → 1− 0, j = 1,m
= 0. (2)
Из данного результата следует, что функцию f ∈ Hq(U
m), 0 < q <∞, можно считать заданной
почти всюду на Γm и под Hq(U
m) понимать множество таких предельных функций. В указан-
ном здесь смысле будет иметь место вложение Hq(U
m) ⊂ Lq(Tm). Для произвольной функции
f ∈ Hq(U
m), 0 < q <∞, из соотношений (1) и (2) получаем
‖f‖Hq =
1
(2π)m
∫
Tm
|f(eit)|qdt
1/q
. (3)
С целью обобщения пространств Харди и установления свойств, присущих функциям из
этих пространств, у функций f ∈ A(U), где A(U) := A(U1), с менее жесткими ограничениями
на их поведение вблизи границы единичного круга М. И. Гварадзе в работе [7] рассмотрел про-
странства аналитических функций B(p, q, λ), 0 < p < q 6 ∞, 0 < λ 6 ∞. Следует отметить,
что указанные пространства явились естественным обобщением пространств аналитических в
единичном круге функций Bp := B(p, 1, 1), изучавшихся ранее П. Л. Дюреном, Б. Ромбергом и
А. Л. Шилдсом [8]. Пространства B(p, q, λ) на случай поликруга Um, m ∈ N\{1}, распростра-
нены М. И. Гварадзе в работах [9, 10].
Пусть 0 < p < q 6 ∞ и 0 < λ 6 ∞. Будем говорить, что функция f ∈ A(Um) является
элементом пространства Bm(p, q, λ), если
‖f‖p,q,λ :=
∫
Im
(1− r)λ(1/p−1/q)−1Mλ
q (f, r)dr
1/λ
<∞, 0 < λ <∞, (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1600 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
и
‖f‖p,q,∞ := sup
{
(1− r)1/p−1/qMq(f, r) : r ∈ Im
}
<∞, λ =∞. (5)
Пространство Bm(p, q, λ) является банаховым, если min(q, λ) > 1, и пространством Фреше с
инвариантной метрикой ρ(f, g) := ‖f −g‖min(q,λ)
p,q,λ , где f, g ∈ Bm(p, q, λ), если min(q, λ) < 1 [9].
Отметим (см., например, [10, с. 103]), что при p > p1, q 6 q1, λ 6 λ1, когда хотя бы одно из этих
трех неравенств является строгим, имеет место строгое вложение Bm(p, q, λ) ⊂ Bm(p1, q1, λ1),
т. е. для произвольной функции f ∈ Bm(p, q, λ) выполняется неравенство
‖f‖p1,q1,λ1 6 Cp1,q1,λ1;p,q,λ‖f‖p,q,λ, (6)
где Cp1,q1,λ1;p,q,λ — некоторая положительная константа, зависящая только от указанных индек-
сов и не зависящая от f.
2. Предложенные М. Н. Шереметой в работах [11, 12] обобщения классических характерис-
тик роста целых функций существенно обогатили соответствующую шкалу роста и позволили
получить новые содержательные результаты, касающиеся полиномиальной аппроксимации це-
лых трансцендентных функций (см., например, обзорные результаты пунктов 1, 2 статьи [1]).
Символом L обозначим класс функций h, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) функция h, определенная на полусегменте [a,∞), является дифференцируемой, строго
монотонно возрастающей и стремящейся к∞ при x→∞;
2) для произвольной функции γ такой, что γ(x)→ 0 при x→∞,
lim
x→∞
h((1 + γ(x))x)
h(x)
= 1.
Под Λ понимаем класс функций h, которые удовлетворяют условию 1 из определения класса
L и являются функциями медленного роста, т. е.
lim
x→∞
h(cx)
h(x)
= 1
для произвольного числа c ∈ (0,∞).
Отметим, что Λ ⊂ L, причем Λ 6= L, так как, например, xν ∈ L, где ν > 0, но xν 6∈ Λ.
Пусть f — целая функция m комплексных переменных z = (z1, . . . , zm) ∈ Cm и {DR} ∈
∈ Cm, R > 0, — семейство полных m-круговых областей, зависящих от параметра R и имею-
щих свойство, что z ∈ DR тогда и только тогда, когда
z
R
:=
(z1
R
, . . . ,
zm
R
)
∈ D, D := D1. По-
лагаем Mf,D(R) := max
{
|f(z)| : z ∈ DR
}
. Для характеристики изменения величины Mf,D(R)
А. А. Гольдберг ввел в рассмотрение следующий порядок роста [13, 14]:
ρD = lim
R→∞
ln lnMf,D(R)
lnR
. (7)
Он также показал, что величина ρD не зависит от области D, т. е. ρD = ρ. Напомним, что
указанную величину называют еще D-порядком целой функции f.
Запишем разложение целой функции f в ряд Тейлора
f(z) =
∞∑
|k|=0
ck(f)zk,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
О НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ . . . 1601
где k := (k1, . . . , km) ∈ Zm+ , |k| := k1 + . . . + km; zk := zk11 . . . zkmm ; ck(f) := ck1,...,km(f) —
коэффициенты Тейлора для f. А. А. Гольдберг установил связь между величиной ρ и модулями
коэффициентов |ck(f)| [13]:
ρ = lim
|k|→∞
|k| ln |k|
− ln |ck(f)|
. (8)
М. Н. Шеремета обобщил результаты А. А. Гольдберга. Он, в частности, в работе [11]
ввел понятие обобщенного порядка роста целых функций многих комплексных переменных,
которое определяется следующим образом:
ρm(f ;α, β) := lim
R→∞
α (lnMf,D(R))
β(lnR)
, (9)
где α и β — функции, принадлежащие классам Λ и L соответственно. В [11] также было
отмечено, что характеристика роста (9) не зависит от выбора m-круговой области D. Полагая,
например, α(x) := lnx и β(x) := x, из формулы (9) получаем определение порядка целой
функции (7), предложенное ранее А. А. Гольдбергом.
М. Н. Шеремета также получил равенство, связывающее обобщенный порядок роста (9)
целой функции f с ее коэффициентами Тейлора [11]. Данный результат сформулируем в виде
следующей теоремы.
Теорема А. Пусть f(z) =
∑∞
|k|=0
ck(f)zk — целая функция m комплексных переменных,
имеющая обобщенный порядок роста ρm(f ;α, β), где α ∈ Λ и β ∈ L. Если для функции
F (x, c) := β−1(c α(x)), где β−1 — функция, обратная к β, при любом c ∈ (0,∞) и при x→∞
выполнено условие
dF (x, c)
d lnx
= O(1), (10)
то имеет место равенство
ρm(f ;α, β) = lim
|k|→∞
α(|k|)
β (−|k|−1 ln |ck(f)|)
. (11)
При указанной выше конкретизации функций α и β из формулы (11) получаем результат
А. А. Гольдберга (8).
3. Символом Pn обозначим подпространство алгебраических полиномов отm комплексных
переменных вида
Pn :=
n∑
|k|=0
ckz
k : ck ∈ C
,
где n ∈ Z+.ПустьX — одно из банаховых пространств аналитических функцийm комплексных
переменных, перечисленных в пункте 1 данной статьи. Через En(f,X) обозначим величину
наилучшего полиномиального приближения функции f ∈ X элементами подпространства Pn,
т. е.
En(f,X) := inf
{
‖f − pn‖X : pn ∈ Pn
}
. (12)
Основным результатом данной статьи является следующая теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1602 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
Теорема 1. Пусть выполнены условия теоремы А, X — одно из рассмотренных в пункте
1 банаховых пространств аналитических в Um функций и ξ — конечное положительное число.
Тогда для функции f ∈ X равенство
lim
n→∞
α(n)
β (−n−1 lnEn(f,X))
= ξ (13)
является необходимым и достаточным для того, чтобы f была целой трансцендентной
функцией обобщенного порядка роста ρm(f ;α, β) = ξ.
Для доказательства теоремы 1 нам понадобится следующая лемма, которая может рассмат-
риваться как своеобразное приложение известной теоремы Бернштейна – Уолша (см., например,
[15, с. 107]) в случае наилучшей полиномиальной аппроксимации целых функций. Указанное
утверждение мы приводим с полным доказательством, поскольку в данном случае наилуч-
шее полиномиальное приближение осуществляется не в равномерной метрике, как в [15], а в
интегральных метриках банаховых пространств Hq(U
m) и Bm(p, q, λ).
Лемма 1. Пусть X — одно из банаховых пространств аналитических в Um функций,
рассмотренных в пункте 1. Для того чтобы функция f ∈ X была целой, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялось равенство
lim
n→∞
n
√
En(f,X) = 0. (14)
Доказательство. Необходимость. Рассмотрим вначале необходимость условия (14). Пусть
функция f является целой. Поскольку она аналитична во всем пространстве Cm, то
lim
|k|→∞
|k|
√
|ck(f)| = 0. (15)
Из формулы (15) следует, что для произвольного положительного числа δ существует нату-
ральное число n0 := n0(δ), зависящее от δ и такое, что при |k| > n0 выполняется неравенство
|ck(f)| < δ|k|. (16)
Символом Tn(f), n ∈ Z+, обозначим частную сумму ряда Тейлора функции f, имеющую
вид
Tn(f, z) :=
n∑
|k|=0
ck(f)zk. (17)
Используя формулы (12) и (17), получаем
En(f,X) 6 ‖f − Tn(f)‖X =
∥∥∥∥∥∥
∞∑
|k|=n+1
ck(f)zk
∥∥∥∥∥∥
X
6
∞∑
|k|=n+1
|ck(f)|
∥∥zk∥∥
X
. (18)
В силу определений норм (1) и (4), (5) в пространствах Hq(U
m) и Bm(p, q, λ) соответствен-
но, для величин
∥∥zk∥∥
X
, k ∈ Zm+ , в каждом конкретном случае имеем
∥∥zk∥∥
Hq
= 1,
∥∥zk∥∥
p,q,λ
=
m∏
j=1
B(kjλ+ 1;λ(1/p− 1/q))
1/λ
6
{
λ(1/p− 1/q)
}−m/λ
, 1 6 λ <∞,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
О НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ . . . 1603∥∥zk∥∥
p,q,∞ 6 1,
где B(a, b) :=
∫ 1
0
xa−1(1− x)b−1dx (a, b > 0) — эйлеров интеграл первого рода. Из вышеизло-
женного и соотношений (16) и (18) имеем
En(f,X) 6 KX
∞∑
|k|=n+1
|ck(f)| < KX
∞∑
|k|=n+1
δ|k| = KX
∞∑
j=n+1
jδj , (19)
где KX — константа, зависящая только от банахова пространства X и не зависящая от функции
f ∈ X, а натуральное число n > n0.
Полагая δ := δ1/2, где δ1 ∈ (0, 1) — любое число, и учитывая неравенство j/2j < 1, которое
выполняется для любого j ∈ N, из формулы (19) получаем
En(f,X) 6 KX
∞∑
j=n+1
δj1 = KX
δn+1
1
1− δ1
или
n
√
En(f,X) 6 n
√
KX
1− δ1
δ
1+1/n
1 . (20)
В силу произвольного выбора величины δ1 > 0 из неравенства (20) следует предельное равен-
ство
lim
n→∞
n
√
En(f,X) = 0.
Достаточность. Пусть γ(r) := {z ∈ Cm : |zj | = rj , j = 1,m, r ∈ Im}. Запишем выраже-
ние для определения коэффициента Тейлора ck(f), k ∈ Z+, функции f ∈ X [16]:
ck(f) =
1
(2πi)m
∫
γ(r)
f(z)
zk
dz
z
=
1
(2π)mrk
∫
Tm
f(reit)e−iktdt, (21)
где
kt := k1t1 + ..+ kmtm,
dz
z
:=
dz1
z1
. . .
dzm
zm
, rk := rk11 . . . rkmm ,
f(z)
zk
:=
f(z1, . . . , zm)
zk11 . . . zkmm
.
Пусть pn — произвольный полином, принадлежащий множеству Pn. Тогда на основании
соотношения (21) для случая |k| = n+ 1 получаем
|ck(f)| = 1
(2π)mrk
∣∣∣∣∣∣
∫
Tm
(
f(reit)− pn(reit)
)
e−iktdt
∣∣∣∣∣∣ 6
6
1
(2π)mrk
∫
Tm
∣∣f(reit)− pn(reit)
∣∣ dt.
Применяя неравенство Гельдера и определение величиныMq(f, r), 1 6 q 6∞, отсюда находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1604 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
|ck(f)| 6 1
rk
Mq(f − pn, r), (22)
где r ∈ Im — любое.
Пусть функция f принадлежит банахову пространству Hq(U
m). Из неравенства (22) полу-
чаем
rk|ck(f)| 6Mq(f − pn, r). (23)
Переходя в обеих частях неравенства (23) к пределу при rj → 1−0, где j = 1,m, на основании
определения (3) нормы в банаховом пространстве Hq, 1 6 q <∞, записываем
|ck(f)| 6 ‖f − pn‖Hq . (24)
В случае q =∞ имеем
|ck(f)| 6 ‖f − pn‖H∞ . (25)
Используя определение (12) величины наилучшего полиномиального приближения элемента
f ∈ Hq(U
m) и учитывая, что в формулах (24), (25) pn — произвольный полином из множества
Pn, получаем
|ck(f)| 6 K∗Hq
(k)En(f,Hq(U
m)), (26)
где K∗Hq
(k) := 1; 1 6 q 6∞.
Пусть теперь f — произвольная функция из банахова пространства Bm(p, q, λ), где 0 < p <
< q 6 ∞, 1 6 λ < ∞, min(q, λ) > 1. Возводя обе части неравенства (23) в степень λ, затем
умножая их на величину (1 − r)λ(1/p−1/q)−1, интегрируя по r на множестве Im и используя
определение (4) нормы в пространстве Bm(p, q, λ), имеем
∫
Im
rλk(1− r)λ(1/p−1/q)−1dr
1/λ
|ck(f)| 6 ‖f − pn‖p,q,λ, (27)
где rλk := rλk11 . . . rλkmm . Используя данное ранее определение эйлерова интеграла первого рода,
полагая
Bkj ,p,q,λ := B1/λ(kjλ+ 1;λ(1/p− 1/q)), j = 1,m, (28)
и учитывая произвольность выбора полинома pn ∈ Pn, из неравенства (27) получаем
|ck(f)| 6 K∗Bm(p,q,λ)(k)En(f,Bm(p, q, λ)), (29)
где
K∗Bm(p,q,λ)(k) :=
m∏
j=1
Bkj ,p,q,λ
−1 (30)
— константа, зависящая от пространства Bm(p, q, λ) и k и не зависящая от f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
О НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ . . . 1605
Рассмотрим случай λ =∞. Умножая обе части неравенства (23) на величину (1− r)1/p−1/q
и используя определение (5) нормы в пространстве Bm(p, q,∞), записываем
sup
{
rk(1− r)1/p−1/q : r ∈ Im
}
|ck(f)| 6 ‖f − pn‖p,q,∞.
Полагаем
B∗kj ,p,q,∞ :=
k
kj
j (1/p− 1/q)1/p−1/q
(kj + 1/p− 1/q)kj+1/p−1/q , j = 1,m. (31)
Отсюда в силу произвольности полинома pn ∈ Pn и из определения (12) величины наилучшего
полиномиального приближения имеем
|ck(f)| 6 K∗Bm(p,q,∞)(k)En(f,Bm(p, q,∞)), (32)
где
K∗Bm(p,q,∞)(k) :=
m∏
j=1
B∗kj ,p,q,∞
−1 .
Сопоставляя результаты (26), (29) и (32), получаем следующее неравенство более общего вида:
|ck(f)| 6 K∗X(k)En(f,X). (33)
Здесь X — любое из рассмотренных в п. 1 банаховых пространств аналитических в Um функ-
ций. Поскольку |k| = n+ 1, из (33) имеем
|k|
√
|ck(f)| 6 {K∗X(k)}1/|k|
{
E1/n
n (f,X)
}n/(n+1)
. (34)
Покажем, что
lim
|k|→∞
{
K∗X(k)
}1/|k|
= 1. (35)
Действительно, из вышеизложенного относительно величины K∗Hq(Um)(k) непосредственно
следует равенство (35) в случае X := Hq(U
m), 1 6 q 6∞.
Пусть теперь X = Bm(p, q, λ), где 0 < p < q 6∞, 1 6 λ <∞, min(q, λ) > 1.
Нам потребуется соотношение, связывающее эйлеров интеграл первого рода B(a, b), где
a, b > 0, с Γ-функцией,
B(a, b) =
Γ(a)Γ(b)
Γ(a+ b)
, (36)
а также асимптотическая формула [18]
Γ(x+ c)
Γ(x+ d)
= xc−d
(
1 +
(c− d)(c+ d− 1)
2x
+O
(
|x−2|
))
, (37)
где |x| � 1 и x ∈ R, c, d — произвольные фиксированные числа из R. Используя формулы (28),
(30), (36) и (37), где x := kjλ, c := 1 + λ(1/p − 1/q), d := 1, для достаточно больших |k| при
kj � 1, j = 1,m, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1606 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
K∗Bm(p,q,λ)(k) =
1
Γm(λ(1/p− 1/q))
m∏
j=1
Γ(kjλ+ 1 + λ(1/p− 1/q))
Γ(kjλ+ 1)
1/λ
=
=
λm(1/p−1/q)
Γm/λ(λ(1/p−1/q))
m∏
j=1
kj
(
1 +
(1/p−1/q)(1+λ(1/p−1/q))
2kj
+O
(
k−2j
))
1/λ
. (38)
Воспользовавшись теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом [17]
1
m
m∑
j=1
aj > m
√√√√ m∏
j=1
aj , (39)
где aj , j = 1,m, — неотрицательные числа, из (38) получаем
K∗Bm(p,q,λ)(k) 6 χBm(p,q,λ)|k|m/λ, (40)
где
χBm(p,q,λ) :=
λm(1/p−1/q)
Γm/λ(λ(1/p− 1/q))mm/λ
(
1 + (1/p− 1/q)(1 + λ(1/p− 1/q)) +A
)m/λ
,
A — абсолютная константа, не зависящая от k.
Используя неравенство (40), получаем оценку сверху
lim
|k|→∞
{
K∗Bm(p,q,λ)(k)
}1/|k|
6 1.
Для получения оценки снизу воспользуемся соотношением (38), из которого имеем
K∗Bm(p,q,λ)(k) >
λm(1/p−1/q)
Γm/λ(λ(1/p− 1/q))
m∏
j=1
kj
1/λ
>
{
km
Γm(λ(1/p− 1/q))
}1/λ
.
Отсюда следует, что
lim
|k|→∞
{
K∗Bm(p,q,λ)(k)
}1/|k|
> 1.
Сопоставляя оценки сверху и снизу, получаем равенство (35).
Пусть X = Bm(p, q,∞), где 0 < p < q 6∞ и q > 1. В силу формулы (31) имеем
K∗Bm(p,q,∞)(k) = (1/p− 1/q)m(1/q−1/p)
m∏
j=1
(kj + 1/p− 1/q)kj+1/p−1/q
k
kj
j
=
= (1/p− 1/q)m(1/q−1/p)
m∏
j=1
(
1 +
1/p− 1/q
kj
)kj+1/p−1/q m∏
j=1
k
1/p−1/q
j . (41)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
О НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ . . . 1607
Используя неравенство (39), отсюда получаем
K∗Bm(p,q,∞)(k) 6 χBm(p,q,∞)|k|m(1/p−1/q), (42)
где
χBm(p,q,∞) :=
{
e(1/p− 1/q)(1 + 1/p− 1/q)
}m(1/p−1/q)
.
Из неравенства (42) имеем оценку сверху
lim
|k|→∞
{
K∗Bm(p,q,∞)(k)
}1/|k|
6 1.
Для получения оценки снизу воспользуемся формулой (41), из которой следует, что
K∗Bm(p,q,∞)(k) > (1/p− 1/q)m(1/p−1/q)k1/p−1/qm .
Тогда
lim
|k|→∞
{
K∗Bm(p,q,∞)(k)
}1/|k|
> 1.
Сопоставляя оценки сверху и снизу, получаем равенство (35).
Переходя далее в формуле (34) к пределу при |k| → ∞ и учитывая равенства (14) и (35),
получаем соотношение
lim
|k|→∞
|k|
√
|ck| = 0,
из которого следует, что рассматриваемая функция f ∈ X является целой в комплексном
пространстве Cm.
Лемма 1 доказана.
4. Доказательство теоремы 1. 4.1. Для случая X = Bm(p, q, λ) рассуждения проведем в
два этапа. Вначале рассмотрим случай, когда q = 2, т. е. когда X = Bm(p, 2, λ), где 0 < p < 2 и
λ > 1. Это объясняется тем, что в данном случае частная сумма ряда Тейлора (17) произвольной
функции f ∈ Bm(p, 2, λ) является также и ее полиномом наилучшего приближения n-й степени.
Затем рассмотрим пространство X = Bm(p, q, λ), где q 6= 2, 0 < p < q и q, λ > 1. Если
0 < p < q < 2 и λ > 1, то доказательство сведется к уже рассмотренному случаю q = 2. При
0 < p 6 2 < q или 2 6 p < q и λ > 1 мы воспользуемся рядом других соображений. Отметим,
что нижеследующие рассуждения проведем для 1 6 λ < ∞, так как случай λ = ∞ ничем
принципиальным не отличается.
Использовав формулу (6), в которой p > p1, q 6 q1, λ 6 λ1 и хотя бы одно из неравенств
строгое, а также применив определение величины наилучшего полиномиального приближе-
ния (12), запишем соотношение, необходимое нам в дальнейшем:
En(f ;Bm(p1, q1, λ1) 6 Cp,q,λ;p1,q1,λ1En(f ;Bm(p, q, λ)), (43)
где f ∈ Bm(p, q, λ), а константа Cp,q,λ;p1,q1,λ1 не зависит от f и n.
4.1.1. Переходя к первой части доказательства, покажем достаточность условия (13). Пусть
для функции f ∈ Bm(p, 2, λ) указанное условие имеет место. Из определений классов функций
Λ и L, включений α ∈ Λ и β ∈ L, а также из формулы (13) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1608 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
β
(
ln (1/En(f ;Bm(p, 2, λ)))1/n
)
→∞
при n→∞. Следовательно,
lim
n→∞
n
√
En(f ;Bm(p, 2, λ)) = 0. (44)
Из равенства (44) и леммы 1 следует, что функция f является целой. Пусть f имеет обобщенный
порядок роста ρm(f ;α, β), определенный формулой (11). Покажем, что величина ρm(f ;α, β) и
число ξ, определенное формулой (13), совпадают.
Пусть |k| = n+ 1. Используя соотношения (17) и (21), записываем равенство
rkck(f) =
1
(2π)m
∫
Tm
(
f(reit)− Tn(f, reit)
)
e−iktdt,
где r ∈ Im. Применяя неравенство Гельдера, отсюда получаем
rk|ck(f)| 6
1
(2π)m
∫
Tm
∣∣f(reit)− Tn(f, reit)
∣∣2 dt
1/2
.
Возводя обе части данного неравенства в степень λ, затем умножая их на величину (1 −
− r)λ(1/p−1/q)−1 и интегрируя по r на множестве Im, после извлечения из них корня степени λ
имеем
|ck(f)|
m∏
j=1
Bkj ,p,2,λ 6 ‖f − Tn(f)‖p,2,λ = En(f ;Bm(p, 2, λ)). (45)
В соотношении (45) величины Bkj ,p,2,λ, j = 1,m, определяются формулой (28). Используя
формулы (45) и (30), для всех достаточно больших n записываем
α(n)
β(−n−1 lnEn(f ;Bm(p, 2, λ)))
=
α(n)
β
(
(1 + 1/n) ln
(
1/ n+1
√
En(f ;Bm(p, 2, λ))
)) >
>
α
(
(1− 1/|k|)|k|
)
β
((
1 + 1/(|k| − 1)
)(
ln
(
1/ |k|
√
|ck(f)|
)
+ ln
(
K∗Bm(p,2,λ)(k)
)1/|k|)) .
Переходя к пределу при n → ∞ (т. е. при |k| → ∞) и учитывая равенства (35) и (11), из
данного соотношения имеем
ξ = lim
n→∞
α(n)
β
(
−n−1 lnEn(f ;Bm(p, 2, λ))
) > ρm(f ;α, β). (46)
Получим противоположное неравенство ρm(f ;α, β) > ξ. Из формулы (11) следует, что для
произвольного числа ε > 0 существует натуральное число n0 := n0(ε) такое, что для всех
|k| > n0 имеет место неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
О НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ . . . 1609
α(|k|)
β
(
−|k|−1 ln |ck(f)|
) 6 ρm(f ;α, β) + ε.
Отсюда получаем
|ck(f)| 6 1/ exp
(
|k|β−1
(
α(|k|)/(ρm(f ;α, β) + ε)
))
, (47)
где β−1 — функция, обратная β. Обозначим{
K∗Bm(p,2,λ)(n+ 1)
}−1
:= max
|k|=n+1
{
K∗Bm(p,2,λ)(k)
}−1
. (48)
Используя неравенство (47) и соотношения (17), (18), (28), (30) и (48), для любого натурального
числа n > n0 имеем
En(f ;Bm(p, 2, λ)) = ‖f − Tn(f)‖p,2,λ =
=
∫
Tm
(1− r)λ(1/p−1/2)−1
∞∑
|k|=n+1
|ck(f)|2r2k
λ/2
dr
1/λ
6
6
{
K∗Bm(p,2,λ)(n+ 1)
}−1/λ
∞∑
|k|=n+1
|ck(f)|2
1/2
. (49)
Используя формулу (47), из соотношения (49) при n > n0 получаем
En(f ;Bm(p, 2, λ)) 6
6
{
K∗Bm(p,2,λ)(n+ 1)
}−1/λ
exp
(
(n+ 1)β−1
(
α(n+ 1)
ρm(f ;α, β) + ε
))
∞∑
|k|=n+1
Ω2
k(α, β)
1/2
, (50)
где
Ωk(α, β) := exp
(
(n+ 1)β−1
(
α(n+ 1)
ρm(f ;α, β) + ε
)
− |k|β−1
(
α(|k|)
ρm(f ;α, β) + ε
))
.
Пусть
Ω̂(α, β) := 1
/
exp
(
β−1
(
α(1)
ρm(f ;α, β) + ε
))
. (51)
Очевидно, что Ω̂(α, β) < 1. Тогда для любых |k| > n+ 1 получаем следующую оценку сверху:
Ωk(α, β) 6 exp
(
−(|k| − n− 1)β−1
(
α(n+ 1)
ρm(f ;α, β) + ε
))
6 Ω̂|k|−n−1(α, β). (52)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1610 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
Используя неравенства (50) и (52), имеем
En(f ;Bm(p, 2, λ)) 6
6
{
K∗Bm(p,2,λ)(n+ 1)
}−1/λ
exp
(
(n+ 1)β−1
(
α(n+ 1)
ρm(f ;α, β) + ε
))
∞∑
|k|=n+1
Ω̂2(|k|−n−1)(α, β)
1/2
6
6
{
K∗Bm(p,2,λ)(n+ 1)
}−1/λ
(
1− Ω̂2(α, β)
)m/2
exp
(
(n+ 1)β−1
(
α(n+ 1)
ρm(f ;α, β) + ε
)) .
Из последней формулы при n > n0, n ∈ N, получаем
ρm(f ;α, β) + ε >
>
α(n+ 1)
β
(n+ 1)−1
− lnEn(f ;Bm(p, 2, λ)) + ln
(
K∗Bm(p,2,λ)(n+ 1)
)−1/λ
(
1− Ω̂2(α, β)
)m/2
. (53)
Переходя в правой части неравенства (53) к пределу при n → ∞ и учитывая произвольность
выбора числа ε > 0, а также формулу (13), имеем
ρm(f ;α, β) > ξ. (54)
Сопоставляя неравенства (46) и (54), получаем требуемое равенство
ρm(f ;α, β) = ξ (55)
в рассматриваемом случае X = Bm(p, 2, λ).
Показывая необходимость условия (13), полагаем, что f — целая трансцендентная функция
конечного обобщенного порядка ρm(f ;α, β), который определяется формулой (11). Доказатель-
ство равенства (55) осуществляем по приведенной выше схеме.
4.1.2. Переходя ко второму этапу доказательства теоремы 1 для общего случая Bm(p, q, λ),
где q 6= 2, покажем вначале необходимость условия (13).
Пусть f ∈ Bm(p, q, λ) — целая трансцендентная функция конечного обобщенного порядка
ρm(f ;α, β), определенного формулой (11). Покажем справедливость равенства (55) в рассмат-
риваемом случае. Полагая{
K∗Bm(p,q,λ)(n+ 1)
}−1
:= max
|k|=n+1
{
K∗Bm(p,q,λ)(k)
}−1
,
записываем
En(f ;Bm(p, q, λ)) 6 ‖f − Tn(f)‖p,q,λ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
О НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ . . . 1611
=
∫
Tm
(1− r)λ(1/p−1/q)−1Mλ
q (f − Tn(f); r)dr
1/λ
6
6
∫
Tm
(1− r)λ(1/p−1/q)−1
∞∑
|k|=n+1
|ck(f)|rk
λ
dr
1/λ
6
6
{
K∗Bm(p,q,λ)(n+ 1)
}−1/λ ∞∑
|k|=n+1
|ck(f)|. (56)
Используя формулу (47), из соотношения (56) по аналогии с рассуждениями, проведенными
при выводе формул (50) – (52), для n > n0, n ∈ N, получаем
En(f ;Bm(p, q, λ)) 6
{
K∗Bm(p,q,λ)(n+ 1)
}−1/λ
(
1− Ω̂2(α, β)
)m/2
exp
(
(n+ 1)β−1
(
α(n+ 1)
ρm(f ;α, β) + ε
)) . (57)
Разрешая неравенство (57) относительно величины ρm(f ;α, β) + ε, получаем неравенство, в
общем аналогичное по форме неравенству (53). Учитывая, что ε > 0 — произвольное число, и
переходя в обеих частях данного неравенства к верхнему пределу при n → ∞, на основании
формулы (13) получаем в рассматриваемом случае неравенство (54).
Покажем, что одновременно выполняется и обратное неравенство
ξ > ρm(f ;α, β). (58)
Если 0 < p < q < 2 и λ, q > 1, то в силу формулы (43), в которой полагаем p1 := p, q1 := 2,
λ1 := λ, и уже доказанного для случая q = 2 соотношения (13) получаем
ξ > lim
n→∞
α(n)
β(−n−1 lnEn(f ;Bm(p, 2, λ)))
= ρm(f ;α, β).
Рассмотрим далее случай 0 < p 6 2 < q. Поскольку M2(f ; r) 6Mq(f ; r), где r ∈ Im, то
En(f ;Bm(p, q, λ)) >
∫
Tm
(1− r)λ(1/p−1/q)−1 inf
(
Mλ
2 (f − pn; r) : pn ∈ Pn
)
dr
1/λ
=
=
∫
Tm
(1− r)λ(1/p−1/q)−1Mλ
2 (f − Tn(f); r)dr
1/λ
.
Учитывая, что M2(f − Tn(f); r) =
{∑∞
|k|=n+1
|ck(f)|2r2k
}1/2
, из последнего неравенства
получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1612 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
En(f ;Bm(p, q, λ)) > |ck(f)|
{
K∗Bm(p,q,λ)(k)
}−1/λ
, (59)
где |k| = n+ 1. Используя формулы (11), (13), (35) и (59), имеем
ξ > lim
|k|→∞
α(|k|)
β
(
− |k|−1 ln |ck(f)|
) = ρm(f ;α, β).
Пусть 2 6 p < q. Полагая теперь в неравенстве (43) q1 := q, λ1 := λ и p1 ∈ (0, 2), где p1 —
произвольное фиксированное число, а также используя неравенство (59), в котором вместо p
записываем p1, получаем
En(f ;Bm(p, q, λ)) >
En(f ;Bm(p1, q, λ))
Cp,q,λ;p1,q,λ
>
|ck(f)|
Cp,q,λ;p1,q,λ
{
K∗Bm(p1,q,λ)
(k)
}−1/λ
, (60)
где |k| = n+1, а Cp,q,λ;p1,q,λ — константа, не зависящая от n и f. Используя данное неравенство
и действуя по аналогии с предыдущим случаем 0 < p 6 2 < q, получаем соотношение (58).
Сопоставляя неравенства (54) и (58), доказанные в случае X = Bm(p, q, λ), где q 6= 2, получаем
требуемое равенство (13).
Остановимся кратко на идее доказательства достаточности условия (13) в случае X =
= Bm(p, q, λ), где q 6= 2. На основании свойств функций α и β, содержащихся в формуле (13),
очевидно, что имеет место равенство
lim
n→∞
n
√
En(f ;Bm(p, q, λ)) = 0.
Тогда из леммы 1 следует, что функция f ∈ Bm(p, q, λ) является целой. Пусть ее обобщенный
порядок роста ρm(f ;α, β) ∈ (0,∞). Из неравенств (45) и (43), (59) и (60), а также в силу
равенств (13) и (11) получаем соотношение (58). Используя соображения, аналогичные приве-
денным в пп. 4. 1. 2, получаем противоположное неравенство (54), что означает справедливость
формулы (13), когда X = Bm(p, q, λ), где q 6= 2.
4.2. Пусть X = Hq(U
m), где 1 6 q 6 ∞. Покажем необходимость условия (13) в дан-
ном случае. Рассмотрим целую трансцендентную функцию f(z) =
∑∞
|k|=0
ck(f)zk, имеющую
конечный обобщенный порядок роста ρm(f ;α, β). Очевидно, что в данных условиях для ко-
эффициентов Тейлора функции f имеет место равенство (15). Поскольку f ∈ Bm(p, q, λ), где
0 < p < q 6∞, q, λ > 1, на основании формул (1) и (4) имеем
En(f ;B(q/2, q, q)) 6 En(f ;Hq(U
m)), (61)
где 1 6 q <∞. Если же X = H∞(Um), то в силу соотношений (1) и (5) получаем
En(f ;B(p,∞,∞)) 6 En(f ;H∞(Um)), 0 < p <∞. (62)
Воспользуемся уже доказанной справедливостью равенства (13) в случае банахова про-
странства X = Bm(p, q, λ). Пусть 1 6 q < ∞. Тогда на основании изложенного и неравен-
ства (61) запишем
ξ = lim
n→∞
α(n)
β (−n−1 lnEn(f ;Hq(Um)))
>
> lim
n→∞
α(n)
β (−n−1 lnEn(f ;B(q/2, q, q)))
= ρm(f ;α, β). (63)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
О НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ . . . 1613
В случае X = H∞(Um) неравенство (58) получаем на основании формулы (62) и сообра-
жений, использованных при установлении соотношения (63). Для получения обратного нера-
венства (54) воспользуемся неравенством (47), справедливым для любых |k| > n0, а также
применим рассуждения, аналогичные использованным ранее при выводе формулы (52). Тогда
En(f ;Hq(U
m)) 6 ‖f − Tn(f)‖Hq 6
∞∑
|k|=n+1
|ck(f)| 6
6 exp
(
−(n+ 1)β−1
(
α(n+ 1)
ρm(f ;α, β) + ε
)) ∞∑
|k|=n+1
Ω̂|k|−n−1(α, β) 6
6
(
1− Ω̂(α, β)
)−1
exp
(
−(n+ 1)β−1
(
α(n+ 1)
ρm(f ;α, β) + ε
))
.
Отсюда получаем
ρm(f ;α, β) + ε >
α(n+ 1)
β
(
−(n+ 1)−1
(
lnEn(f ;Hq(Um)) + ln(1− Ω̂(α, β))
)) . (64)
Используя формулу (13) при X = Hq(U
m) и учитывая произвольность выбора числа ε > 0,
при n → ∞ из соотношения (64) получаем неравенство (54). Следовательно, в случае X =
= Hq(U
m) также имеет место равенство (55).
Кратко рассмотрим идею доказательства достаточности условия (13). Пусть для функции
f ∈ Hq(U
m) указанное условие выполнено. Тогда
lim
n→∞
n
√
En(f ;Hq(Um)) = 0,
и из леммы 1 получаем, что функция f является целой. Пусть ее обобщенный порядок роста
ρm(f ;α, β) равен конечному положительному числу. На основании соотношений (43), (45),
(59) – (62) и теоремы 1, уже доказанной для случая X = Bm(p, q, λ), получаем неравенство (58).
Выполнение обратного неравенства (54) доказываем так же, как и формулу (64). Вытекающая
из изложенного справедливость равенства (55) завершает доказательство теоремы 1.
5. Теорема 1 дает четкое представление о скорости стремления к нулю последовательнос-
тей наилучших полиномиальных приближений целых трансцендентных функций f, имеющих
конечный обобщенный порядок роста ρm(f ;α, β). Например, из теоремы 1 следует, что для
целой функции f, определенной обобщенной характеристикой роста (9), и для произвольного
числа ε > 0 существует такое натуральное число ñ(ε, f,X), что для всех n ∈ N, удовлетворя-
ющих условию n > ñ(ε, f,X), выполняется неравенство
En(f,X) 6 exp
(
−nF
(
n;
1
ρm(f ;α, β) + ε
))
,
в котором функция F была введена при формулировке указанной теоремы 1.
В завершение отметим, что теорему 1 можно рассматривать как своеобразное распростра-
нение на многомерный случай некоторых одномерных результатов работ [1, 3, 4, 19 – 23].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1614 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
1. Вакарчук С. Б., Жир С. I. Найкращi полiномiальнi наближення цiлих трансцендентних функцiй узагальненого
порядку зростання в банахових просторах E
′
p(G) та Ep(G), p > 1 // Укр. мат. вiсн. – 2011. – 8, № 2. – С. 255 – 291.
2. Мурадов В. М. О связи между наилучшим полиномиальным приближением аналитических функций многих
комплексных переменных и коэффициентами Фабера // Сб. тр. Ин-та математики и механики АН АзербССР
„Специальные вопросы теории функций”. – 1986. – Вып. 3. – С. 195 – 212.
3. Вакарчук С. Б. О наилучшем приближении обобщенными полиномами в одном пространстве аналитических
функций двух комплексных переменных // Изв. вузов. Математика. – 1991. – № 7. – С. 14 – 25.
4. Жир С. И., Вакарчук С. Б. Некоторые вопросы наилучшей полиномиальной аппроксимации целых трансцен-
дентных функций одной и многих комплексных переменных // Тези доп. Мiжнар. конф. „Теорiя наближення
функцiй та її застосування”, присвяченої 70-рiччю з дня народження О. I. Степанця (Кам’янець-Подiльський,
28 травня – 3 червня 2012 р.). – Київ: Iн-т математики НАН України, 2012. – С. 44 – 45.
5. Hardy G. H. The mean values of the modules of an analityc function // Proc. London Math. Soc. – 1914. – 14. –
P. 269 – 277.
6. Zygmund A. On the boundary values of functions of several complex variables // Fund. Math. – 1949. – 36. –
P. 207 – 235.
7. Гварадзе М. И. Об одном классе пространств аналитических функций // Мат. заметки. – 1977. – 21, № 2. –
С. 141 – 150.
8. Duren P. L., Romberg B. W., Shields A. L. Linear functionals on Hp spaces with 0 < p < 1 // J. reine und angew.
Math. – 1969. – 238. – S. 32 – 60.
9. Гварадзе М. И. Множители одного класа аналитических функций, определенных на полидиске // Тр. Тбил.
мат. ин-та. – 1980. – 66. – С. 15 – 21.
10. Гварадзе М. И. Об одном классе пространств аналитических функций: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Тбилиси,
1975. – 135 с.
11. Шеремета М. Н. О связи между ростом максимума модуля целой функции и модулями коэффициентов ее
степенного разложения // Изв. вузов. Математика. – 1967. – № 2. – С. 100 – 108.
12. Шеремета М. Н. О связи между ростом целых или аналитических в круге функций нулевого порядка и
коэффициентами их степенных разложений // Изв. вузов. Математика. – 1968. – № 6. – С. 115 – 121.
13. Гольдберг А. А. Элементарные замечания о формулах для определения порядка и типа целых функций многих
комплексных переменных // Докл. АН АрмССР. – 1959. – 29, № 4. – С. 145 – 151.
14. Фукс Б. А. Введение в теорю аналитических функций многих комплексных переменных. – М.: Физматгиз,
1962. – 420 с.
15. Levenberg N. Approximation in CN // Surv. Approxim. Theory. – 2006. – 2. – P. 92 – 140.
16. Картан А. Элементарная теория аналитических функций многих комплексных переменных. – М.: Изд-во
иностр. лит., 1963. – 296 с.
17. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. – М.: Мир, 1965. – 166 с.
18. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. – М.; Л.: Физматгиз, 1963. – 358 с.
19. Varga R. S. On an extension of a result of S. N. Bernstein // J. Approxim. Theory. – 1968. – 1, № 2. – P. 176 – 179.
20. Батырев А. В. К опросу о наилучшем приближении аналитических функций полиномами // Докл. АН СССР. –
1951. – 76, № 2. – С. 173 – 175.
21. Shah S. M. Polinomial approximation of an entire function and generalized orders // J. Approxim. Theory. – 1977. –
19, № 4. – P. 315 – 324.
22. Reddy A. R. Approximation of an entire function // J. Approxim. Theory. – 1970. – 3, № 1. – P. 128 – 137.
23. Ибрагимов И. И., Шихалиев Н. И. О наилучшем полиномиальном приближении в одном пространстве анали-
тических функций // Докл. АН СССР. – 1976. – 227, № 2. – С. 280 – 283.
Получено 20.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
|