Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений
У плоскій обмеженій області з гладкою межею розглядаються проблеми фредгольмовості і коректності загальної диференціальної граничної задачі для загального неправильно еліптичного рівняння....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166160 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений / В.П. Бурский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 754–761. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166160 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661602020-02-24T16:57:56Z Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений Бурский, В.П. Статті У плоскій обмеженій області з гладкою межею розглядаються проблеми фредгольмовості і коректності загальної диференціальної граничної задачі для загального неправильно еліптичного рівняння. The Fredholm property and well-posedness of a general differential boundary-value problem for a general improperly elliptic equation are analyzed in a two-dimensional bounded domain with smooth boundary. 2010 Article Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений / В.П. Бурский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 754–761. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166160 517.95 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бурский, В.П. Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений Український математичний журнал |
| description |
У плоскій обмеженій області з гладкою межею розглядаються проблеми фредгольмовості і коректності загальної диференціальної граничної задачі для загального неправильно еліптичного рівняння. |
| format |
Article |
| author |
Бурский, В.П. |
| author_facet |
Бурский, В.П. |
| author_sort |
Бурский, В.П. |
| title |
Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений |
| title_short |
Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений |
| title_full |
Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений |
| title_fullStr |
Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений |
| title_full_unstemmed |
Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений |
| title_sort |
условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166160 |
| citation_txt |
Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптических уравнений / В.П. Бурский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 754–761. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT burskijvp usloviâregulârnostiobŝejdifferencialʹnojgraničnojzadačidlânepravilʹnoélliptičeskihuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-14T20:49:22Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:49:22Z |
| _version_ |
1837656873504866304 |
| fulltext |
УДК 517.95
В. П. Бурский (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ ОБЩЕЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
In a plane bounded domain with smooth boundary, we consider problems of the Fredholm property and
well-posedness of a general differential boundary-value problem for the general nonproperly elliptic equation.
У плоскiй обмеженiй областi з гладкою межею розглядаються проблеми фредгольмовостi i коректностi
загальної диференцiальної граничної задачi для загального неправильно елiптичного рiвняння.
1. Введение. Известно, что математическое моделирование протяженных процес-
сов приводит, как правило, к постановке граничной задачи для дифференциального
уравнения или системы дифференциальных уравнений. И прежде чем приступать
к использованию полученной математической модели, следует убедиться, что гра-
ничная задача хорошо поставлена. Исследования корректности граничных задач
восходят к Ж. Адамару, впервые заметившему, что зависимость решения задачи
Коши для уравнения Лапласа в полуплоскости от начальных данных не является
непрерывной. Этот пример позволил Ж. Адамару дать общепринятое сегодня опре-
деление корректности линейной граничной задачи
Lu = f, Bu|∂Ω = g (1.1)
с линейными (возможно, матричными) дифференциальными операторами L и B в
виде оценки
‖u‖S ≤ ‖f‖R + ‖g‖B , (1.2)
где S,R и B− банаховы пространства решений и правых частей уравнения и
граничных данных соответственно. Неединственность решения граничной задачи
(1.1), т. е. существование нетривиального решения u ∈ S однородной задачи (1.1)
с f = 0, g = 0, означает отсутствие оценки (1.2) и потому некорректность такой
граничной задачи.
Во многих случаях не удается доказать корректность, но удается получить
свойство фредгольмовости (в советской литературе — нетеровости) граничной за-
дачи, что означает конечномерность ядра и коядра оператора граничной задачи
LB : SB → R, где SB — подпространство функций из S таких, что Bu|∂Ω = 0, а
LB = L|SB . Именно свойство фредгольмовости считается признаком хорошо по-
ставленной граничной задачи для дифференциального уравнения, в котором млад-
шие члены не подчинены специально оговоренным условиям, поскольку, например,
спектральные задачи дают многочисленные примеры нарушения единственности
решения. Напомним, что критерием фредгольмовости линейной дифференциаль-
ной граничной задачи для правильно эллиптического уравнения в ограниченной
области является условие Я .Б. Лопатинского (см. ниже).
В настоящей работе получен критерий фредгольмовости линейной дифферен-
циальной граничной задачи для скалярного неправильно эллиптического уравнения
в ограниченной области с гладкой границей.
Напомним основные определения.
c© В. П. БУРСКИЙ, 2010
754 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ ОБЩЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ . . . 755
2. Условие Лопатинского. Линейный дифференциальный оператор L =
=
∑
|α|≤m aα(x)Dα называется эллиптическим в области Ω ⊆ Rn , если его стар-
ший символ l(x, ξ) =
∑
|α|=m aα(x)ξα 6= 0 для всех x ∈ Ω, ξ ∈ Rn \ {0}, и
правильно (или собственно) эллиптическим в открытой или замкнутой области
Ω ⊆ Rn, если m четно, m = 2k, и для любого x ∈ Ω, для каждой пары линей-
но независимых векторов действительных векторов ξ и η среди корней полинома
l(x, ξ + tη) от параметра t имеется ровно k корней t1+, t
2
+, . . . , t
k
+ с положитель-
ной мнимой частью Im t j+ > 0 и k корней t 1
−, t
2
−, . . . , t
k
− с отрицательной мни-
мой частью Im t j− < 0. Ясно, что каждый правильно эллиптический линейный
дифференциальный оператор является эллиптическим. Отметим, что при n ≥ 3
каждый эллиптический линейный дифференциальный оператор является правиль-
но эллиптическим, но при n = 2 это не так (пример: оператор Коши – Римана
∂/∂z̄ = (∂/∂x− i∂/∂y)/2), и что то же справедливо для любых n в случае, когда
коэффициенты оператора вещественны [1] (см. также [2, 3]).
Пусть даны: ограниченная область Ω с гладкой границей ∂Ω, ν(x)− векторное
поле единичной нормали к ∂Ω, заданное в некоторой окрестности границы, ли-
нейный дифференциальный оператор L порядка m = 2k и некоторый набор из k
линейных дифференциальных операторов Bj =
∑
|βj |≤mj bjβ(x)Dβ , j = 1, . . . , k ,
с гладкими комплекснозначными коэффициентами bjβ(x), заданными на границе
(и которые мы при желании можем считать гладко продолженными на некоторую
окрестность границы). При этом граничная задача Bu|∂Ω = g из (1.1) записывается
в виде
Bju =
∑
|βj |≤mj
bjβ(x)Dβu = gj , j = 1, . . . , k. (2.1)
Говорят, что набор Bj , j = 1, . . . , k, нормален на ∂Ω, если mi 6= mj при i 6= j и
выполнены условия ∀x ∈ ∂Ω ∀ν ∈ Rn \ {0} : B̃j(x, ν) =
∑
|βj |=mj bjβ(x)νβ 6= 0,
j = 1, . . . , k.
Далее, для заданного правильно эллиптического в области Ω оператора L со
старшим символом l(x, ξ) для любого x ∈ Ω и для каждой пары линейно независи-
мых действительных векторов ξ и η введем полином l+(x, ξ, η, t) одной переменной
t, построенный как l+(x, ξ, η, t) =
∏k
i=1(t− ti+(x, ξ, η)), где ti+(x, ξ, η) – набор кор-
ней полинома l(x, ξ + tη) одной переменной t, имеющих положительную мнимую
часть. Говорят, что набор Bj , j = 1, . . . , k, накрывает оператор L на ∂Ω, или что
система операторов {L,Bj} удовлетворяет условию дополнительности, или что
граничная задача (1.1) с выражениями (2.1) удовлетворяет условию Лопатинско-
го в узком смысле, если для любого x ∈ ∂Ω, для любого касательного в точке x
к ∂Ω (вещественного) вектора τ и для нормального в точке x к ∂Ω (веществен-
ного) вектора ν набор полиномов B̃j(x, τ + tν) =
∑
|βj |=mj bjβ(x)(τ + tν)β , j =
= 1, . . . , k, одной переменной t является линейно независимым по модулю полино-
ма l+(x, τ, ν, t), т. е. никакая линейная комбинация полиномов одной переменной
B̃j(x, τ + tν), j = 1, . . . , k, не делится на l+(x, τ, ν, t).
Говорят, что граничная задача (1.1) с выражениями (2.1) регулярна или что
она удовлетворяет условию Лопатинского (в широком смысле), если [2]:
1) оператор L правильно эллиптический в области Ω,
2) набор Bj , j = 1, . . . , k, нормален на ∂Ω и 0 ≤ mj ≤ 2k − 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
756 В. П. БУРСКИЙ
3) набор Bj , j = 1, . . . , k, накрывает оператор L на ∂Ω.
Условие Лопатинского в различных его формах было введено в 1953 г. как
достаточное условие сводимости граничной задачи (1.1) с выражениями (2.1) к си-
стеме интегральных уравнений [1]. Позже было показано, что это условие является
и необходимым [4] (точнее, что условие 3 при выполнении условий 1, 2 необходимо
для фредгольмовости оператора граничной задачи). Независимо и почти одновре-
менно это же условие, используемое с той же целью, но для частного случая, было
опубликовано представительницей московской школы З. Я. Шапиро, поэтому часто
условие Лопатинского называют условием Шапиро – Лопатинского. Это же условие
часто называют условием регулярности граничной задачи, условием дополнитель-
ности, условием согласования или условием накрывания. Наиболее часто условие
Лопатинского используется в форме априорных оценок в пространствах Соболе-
ва W q
p и Бесова Bqp или в классических пространствах Гельдера Cq+γ . А именно,
имеет место следующая теорема.
Теорема 1 [2, 4]. Если граничная задача (1.1) вида (2.1) удовлетворяет усло-
вию Лопатинского, то для любого q ≥ 2k и p > 1 существует постоянная C > 0
такая, что для каждой u ∈ W q
p (Ω) выполнена оценка (называемая оценкой коэр-
цитивности)
‖u‖W q
p (Ω) ≤ C
(
‖Lu‖W q−2k
p (Ω) +
k∑
j=1
‖Bju‖
B
q−mj−1/p
p (∂Ω)
+ ‖u‖Lp(Ω)
)
. (2.2)
Наоборот, если для правильно эллиптического уравнения задана граничная задача
(1.1) вида (2.1) с нормальным наборомBj и выполнена оценка (2.2) для каких-нибудь
q ≥ 2k и p > 1, то набор Bj , j = 1, . . . , k, накрывает оператор L на ∂Ω, т. е.
выполнено условие Лопатинского. Вместо (2.2) можно использовать оценку (на-
зываемую шаудеровской оценкой, здесь 0 < γ < 1 — любое, q — неотрицательное
целое число)
‖u‖C q+γ(Ω) ≤ Cq+γ
(
‖Lu‖C q−2k+γ(Ω) +
k∑
j=1
‖Bju‖C q−mj+γ(∂Ω) + ‖u‖C(Ω)
)
. (2.3)
Из теоремы 1 непосредственно следует фредгольмовость оператора рассма-
триваемой граничной задачи LB, q : W q
p (Ω) → W q−2k
p (Ω) ×
∏k
j=1B
q−mj
p (∂Ω) и,
аналогично, фредгольмовость оператора в классических пространствах. Здесь под
фредгольмовостью мы понимаем конечномерность и ядра, и коядра, а индекс зада-
чи есть разность их размерностей.
3. Некоторые факты общей теории. Пусть L =
∑
|α|≤m aα(x)Dα, aα ∈
∈ C∞(Ω̄), Dα =
(−i∂)|α|
∂xα
— дифференциальная операция общего вида с (j × l)-
матрицами aα, элементами которых являются гладкие комплекснозначные функ-
ции, и Ω — произвольная ограниченная область в Rn. Операция L порожда-
ет формально сопряженную операцию L+ =
∑
|α|≤lD
α(a∗α(x) ·), где a∗α(x) —
сопряженная матрица. Минимальный оператор L0, определяемый как замыка-
ние оператора L, первоначально заданного на C∞0 (Ω), в норме графика ‖u‖2L =
= ‖u‖2
Lj2(Ω)
+ ‖Lu‖2
Ll2(Ω)
и аналогичный минимальный оператор L+
0 порождают
максимальные операторы L = (L+
0 )∗, L+ = L∗0 с помощью сопряжения в гиль-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ ОБЩЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ . . . 757
бертовых пространствах. Области определения D(L0), D(L+
0 ), D(L), D(L+) этих
операторов являются гильбертовыми пространствами в соответствующей норме
графика.
Введем (см. [5]) граничное пространство C(L) = D(L)/D(L0), а также фактор-
отображение Γ : D(L) → C(L) и аналогично C(L+) = D(L+)/D(L+
0 ) и Γ+ :
D(L+)→ C(L+). Рассмотрим следующие условия [6]):
i) оператор L0 : D(L0)→ Ll2(Ω) имеет непрерывный левый обратный;
ii) оператор L+
0 : D(L+
0 )→ Lj2(Ω) имеет непрерывный левый обратный.
Заметим, что условие ii) равносильно сюрьективности оператора L : D(L) →
→ Ll2(Ω), а условие i) — сюрьективности оператора L+ : D(L+)→ Lj2(Ω).
Однородной граничной задачей [5, 6] называется задача нахождения решения
соотношений
Lu = f, Γu ∈ B, (3.1)
где B — линейное подпространство в пространстве C(L), определяющее гранич-
ную задачу. Задача (3.1) называется корректной, если оператор LB = L |D(LB),
D(LB) = Γ−1B является разрешимым расширением оператора L0, т. е. если опе-
ратор LB : D(LB) → Ll2(Ω) имеет непрерывный обратный (который является
правым обратным к L). Известно [6] (в интерпретации [5]), что оператор L0 имеет
разрешимое расширение (и для оператора L существует корректная граничная за-
дача (3.1)) тогда и только тогда, когда выполнены условия i) и ii). Сопряженной к
(3.1) называется граничная задача
L+v = g, Γ+v ∈ B+,
где пространство B+ = Γ+D(L+
B+) ⊂ C(L+) = D(L+)/D(L+
0 ) и область опре-
деления D(L+
B+) = {v ∈ D(L+)| ∀u ∈ Γ−1(B), [u, v] = 0} соответствующего
расширения L+
B+ = L+|D(L+
B+ ) минимального оператора L+
0 порождены формой
Грина
[u, v] =
∫
Ω
(Lu · v̄ − u · L+v) dx =
m−1∑
k=0
∫
∂Ω
L(m−k−1)u ∂
k
ν v(s) dsx
с некоторыми линейными дифференциальными выражениями L(p)u порядка p .
Граничную задачу (3.1) будем называть дифференциальной и говорить, что
граничное условие Γu ∈ B записано в виде
Bju =
∑
|βj |≤mj
bjβ(x)Dβu = 0, j = 1, . . . , k, (3.2)
где bjβ(x) — гладкие функции на ∂Ω, если область определенияD(LB) расширения
LB получена замыканием в норме графика ‖ · ‖L линейного пространства гладких
функций из C∞(Ω̄), удовлетворяющих на границе условиям (3.2).
Теорема 2. Если граничная задача (3.1) дифференциальна, т. е. задана выра-
жениями (3.2), и набор Bj нормален, то сопряженная граничная задача также
дифференциальна, т. е. может быть задана выражениями типа (3.2):
B+
j u =
∑
|βj |≤mj
b+jβ(x)Dβu = 0, j = 1, . . . ,m− k, (3.3)
с гладкими b+jβ и набор B+
j нормален.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
758 В. П. БУРСКИЙ
Доказательство. В книге [2] (теорема 2.1 гл. 2) приводится доказательство
этого факта для случая k = m, но при этом ограничение k = m нигде в доказатель-
стве этой теоремы не используется (хотя и является существенным в следствиях).
Поэтому мы лишь отметим, что нужное доказательство получится некоторым изме-
нением обозначений в доказательстве указанной теоремы из [2].
Рассмотрим теперь обобщенные постановки граничных задач. Ниже будут рас-
смотрены граничные задачи в обобщенной постановке для уравнений вида
L+ ◦ Lu = f (3.4)
и их связь с теорией расширений операторов L и L+ (подробности см. в [7]). Задача
(3.1) порождает следующую граничную задачу для уравнения (3.4):
найти функцию u ∈ D(LB), называемую обобщенным решением этой задачи,
такую, что для любой v ∈ D(LB) выполнено интегральное тождество
〈LB u, LB v〉 = 〈f, v〉, f ∈ D′(LB), (3.5)
которое можно понимать как задачу решения уравнения Qu := L′B ◦ LB u = f,
где L′B : Ll2(Ω) → D′(LB)− дуальный оператор в сопряженных оснащенных
пространствах [3].
Если функция u такова, что Lu ∈ D(L+), то граничное условие здесь можно
записать в виде Γu ∈ B, Γ+ Lu ∈ B+, и если задача (1.1) дифференциальная, а
граничное условие записано как (2.1) с gj = 0, то в силу теоремы 2 граничное
условие в задаче (3.5) (для уравнения (3.4) ) будет иметь вид
B+
j Lu =
∑
|βj |≤mj
b+jβ(x)DβLu = 0, j = 1, . . . ,m− k. (3.6)
Задачу (3.5) естественно назвать задачей Дирихле, если B = {0} (т. е. Γu = 0,
условие Γ+ Lu ∈ B+ опускается), и задачей Неймана, если B = C(L) (т.е.
Γ+ Lu = 0, условие Γu ∈ B опускается), как это принято в обобщенных по-
становках для эллиптических уравнений.
Ясно, что пространство ImQ ⊂ D′(LB) ортогонально ядру kerLB ∈ D(L)
через скалярное произведение центрального пространства Lj2(Ω). Задачу (3.5) на-
зовем нормально разрешимой, если пространство ImQ ⊂ D′(LB) совпадает с про-
странством K, ортогональным к ядру kerLB , и существует непрерывный оператор
R : K → D(LB), правый обратный к оператору Q : D(LB) → K. Задачу (3.5)
назовем корректной, если оператор Q : D(LB) → D′(LB) имеет непрерывный
двусторонний обратный Q−1.
Теорема 3. 1. Задача (3.5) нормально разрешима тогда и только тогда,
когда оператор LB нормально разрешим.
2. Задача (3.5) корректна тогда и только тогда, когда она нормально разре-
шима и ядро kerLB тривиально.
3. Задача (3.5) фредгольмова тогда и только тогда, когда оператор LB нор-
мально разрешим и ядро kerLB конечномерно, в этом случае ее индекс равен нулю.
Доказательство. 1. Пусть оператор LB нормально разрешим, т. е. его образ
замкнут, и пусть мы построили прямое разложение D(L) = kerL ⊕ E с неко-
торым линейным замкнутым подпространством E, что возможно в силу гиль-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ ОБЩЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ . . . 759
бертовости D(L) и замкнутости kerL. Тогда оператор M = pImLB ◦ LB ◦ iE ,
где iE : E → D(LB) — вложение, а pImLB : Ll2(Ω) → ImLB − ортопроекция,
осуществляет изоморфизм (в категории линейных топологических пространств)
между пространствами E и ImLB , а потому дуальный оператор M ′ : ImLB → E′
— изоморфизм. Значит, оператор R = (M ′M)−1 является правым обратным к Q.
Кроме того, пространство E′ является прямым слагаемым в сопряженном прямом
разложении D′(LB) = (kerLB)′ ⊕ E′, откуда следует, что E′ замнуто в D′(LB).
Осталось заметить, что E′ = ImL′B = ImQ = K, поскольку, как отмечалось выше,
M ′ = i′E ◦ L′B ◦ p′ImLB
− изоморфизм. Здесь p′ImLB
: ImLB → Ll2(Ω)− вложение,
а i′E : D′(LB)→ E′− проекция.
Наоборот, пусть задача (3.5) нормально разрешима. Если теперь последователь-
ность un ∈ ImLB сходится к некоторому v ∈ Ll2(Ω), то, применяя к ней непрерыв-
ный оператор R̃ = LB ◦R ◦L′B , получаем последовательность vn ∈ ImLB , которая
должна совпадать с un. Действительно, L′Bun = L′Bvn, поэтому un − vn ∈ kerL′B ,
но образ ImLB , в котором находятся элементы un и vn, ортогонален ядру kerL′B .
Итак, un = vn. Но тогда vn → v и v = R̃v ∈ ImLB , т. е. образ ImLB замкнут.
Второе утверждение следует из п. 1 и определений.
Третье утверждение следует из п. 1 и того факта, что dim kerLB = dim(kerLB)′.
Теорема доказана.
Из теоремы 3 вытекают полезные следствия.
Следствие 1. Задача Дирихле (3.5) (где D(LB) = D(L0)) корректна тогда и
только тогда, когда выполнено условие Вишика i).
Доказательство. Условие Вишика i) означает, что для финитных u выполнена
априорная оценка ‖u‖Lj2(Ω) ≤ C‖Lu‖Ll2(Ω), откуда следует и тривиальность ядра,
и замкнутость образа оператора L0. Осталось применить п. 2 теоремы. Обратное
очевидно.
Следствие 2. Задача Неймана (3.5) (где D(LB) = D(L)) нормально разреши-
ма тогда и только тогда, когда оператор L нормально разрешим; в частности,
это так, если выполнено условие Вишика ii) (в этом случае ImL = Ll2(Ω)).
Пример 1. Рассмотрим обобщенную задачу Дирихле для уравнения Пуассона
∆u = f : L = grad,L+ = div, D(L) = W 1
2 (Ω), D(L0) =
◦
W 1
2(Ω), f ∈ [
◦
W 1
2(Ω)]′.
Согласно следствию 1 в этом случае обобщенная задача Дирихле корректна, если и
только если в области Ω выполняется неравенство Фридрихса ‖∇u‖ ≥ C‖u‖ ∀u ∈
∈ C∞0 (Ω), которое равносильно условию i) для оператора ∇ и выполнено в любой
ограниченной области.
Пример 2. Рассмотрим обобщенную задачу Неймана для уравнения Пуассо-
на. Из следствия 2 вытекает, в частности, что эта задача нормально разрешима
в области Ω с конечномерным пространством первых вещественных когомологий
(например, в области с гладкой границей). Действительно, в этом случае по те-
ореме де Рама замкнутое в Ll2(Ω) ядро непрерывного оператора rot (= внешний
дифференциал d1) шире образа оператора grad (= внешний дифференциал d0) на
конечномерное пространство, поэтому пространство потенциальных векторных по-
лей ∇W 1
2 (Ω) замкнуто в Ll2(Ω). При этом ядро kerL = ker∇ одномерно и состоит
из констант.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
760 В. П. БУРСКИЙ
4. Фредгольмовость общей граничной задачи для неправильно эллипти-
ческих уравнений. Наряду с граничной задачей (3.5) в обобщенной постановке
рассмотрим также похожую задачу:
найти функцию v ∈ D(L+
B+), называемую обобщенным решением этой задачи,
такую, что для любой w ∈ D(L+
B+) выполнено интегральное тождество
〈L+
B+ u, L
+
B+ v〉 = 〈f, v〉, f ∈ D′(L+
B+), (4.1)
которое можно понимать как задачу решения уравнения Q̃u := (L+
B+)′◦L+
B+ v = g,
где (L+
B+)′ : Ll2(Ω) → D′(LB)− дуальный оператор в сопряженных оснащенных
пространствах.
Из основной теоремы 3 вытекает следующая теорема.
Теорема 4. 1. Ядро kerLB (ядро задачи (3.1)) конечномерно (тривиально)
тогда и только тогда, когда задача (3.5) фредгольмова (соответственно кор-
ректна).
2. Коядро coker LB (коядро задачи (3.1)) конечномерно (тривиально) тогда и
только тогда, когда задача (4.1) фредгольмова (соответственно корректна).
3. Задача (3.1) фредгольмова тогда и только тогда, когда обе задачи (3.5) и
(4.1) фредгольмовы.
4. Задача (3.1) корректна тогда и только тогда, когда обе задачи (3.5) и (4.1)
корректны.
Пусть теперь скалярный линейный дифференциальный оператор L =
=
∑
|α|≤m aα(x)Dα эллиптичен в области Ω ⊆ Rn, но не является правильно эл-
липтическим. Тогда оператор L+ ◦L является правильно эллиптическим. Действи-
тельно, его старшим символом является произведение l+(x, ξ)l(x, ξ), где l+(x, ξ)
— старший символ оператора L+, порядок четен и для каждой пары линейно неза-
висимых векторов действительных векторов ξ и η для каждого корня t+0 полинома
l(x, ξ+tη) с положительной мнимой частью Im t+0 > 0 сопряженное число t+0 будет
корнем полинома l+(x, ξ + tη) с отрицательной мнимой частью. Ясно, что в этом
случае оператор L ◦ L+ также является правильно эллиптическим.
Если граничная задача (3.1) дифференциальна, т. е. задана выражениями (3.2),
и набор Bj нормален, то ее фредгольмовость, согласно п. 3 теоремы 4, равносильна
фредгольмовости обеих задач (3.5) и (4.1).
Рассмотрим сначала задачу (3.5) и порожденный ею оператор Q2m гранич-
ной задачи (3.2), (3.6) для уравнения (3.4), определенный на функциях из про-
странства W 2m
2 (Ω). Фредгольмовость задачи (3.5), т. е. фредгольмовость операто-
ра Q : D(LB) → D′(LB) (причем, как отмечалось выше, с нулевым индексом),
влечет конечномерность ядра оператора Q2m+r : W 2m+r
2 (Ω) ⊃ D(Q2m)→W r
2 (Ω)
для r ≥ 0. Но, как показано в книге [2], (гл. 2, пп. 5 – 7), это ядро, как и коядро,
состоит из гладких функций и не зависит от r, более того, оператор Q2m+r продол-
жается на соболевские пространства с любым вещественным r и теми же ядром и
коядром. В частности, при r = −m получим Qm = Q, так как в силу эллиптичнос-
ти D(L) ⊂Wm
2 (Ω). Коядро оператора Q изоморфно ядру и потому конечномерно.
И, значит, выполнено условие Лопатинского 3 для задачи (3.2), (3.6) с уравнением
(3.4). Отметим, что задача (3.2), (3.6) нормальна.
Точно так же выполнено условие Лопатинского 3 для похожей граничной зада-
чи, порожденной обобщенной задачей (4.1), с уравнением L ◦ L+ v = g.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ ОБЩЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ . . . 761
Наоборот, пусть выполнено условие Лопатинского 3 для задачи (3.2), (3.6) с
уравнением (3.4). Тогда согласно п. 1 теоремы 4 ядро задачи (3.1) конечномерно.
Аналогично, условие Лопатинского для граничной задачи (4.1) дает конечномер-
ность коядра по п. 2 теоремы 4.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 5. Для того чтобы дифференциальная нормальная граничная зада-
ча (3.1) была фредгольмовой, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены
условие Лопатинского для задачи (3.2), (3.6) с уравнением (3.4) и условие Лопа-
тинского для граничной задачи, порожденной обобщенной задачей (4.1).
Кроме того, как отмечалось в теореме 4, корректность задачи (3.1) эквивалентна
корректности обеих обобщенных задач.
Пример 3. Рассмотрим граничную задачу u|∂Ω = 0, u′′νν |∂Ω = 0 для уравне-
ния Lu := (∂/∂x1 − µ1∂/∂x2)(∂/∂x1 − µ2∂/∂x2)(∂/∂x1 − µ3∂/∂x2)u = f, где
µ1, µ2, µ3 — комплексные числа с Imµj < 0. Согласно определению сопряжен-
ной задачи сопряженная задача имеет вид L+v = g, L+
(1)v|∂Ω = 0 . Здесь L+ =
= L, L+
(1)v = l(x, ν(x)) ∂νv + α(x) v с некоторой гладкой функцией α. Тогда
задача (3.2), (3.6) для уравнения (3.4) будет иметь вид u|∂Ω = 0, u′′νν |∂Ω =
= 0, l(x, ν(x)) ∂νL
+u + α(x)L+u|∂Ω = 0. Теперь полином l+(x, τ, ν, t) с точ-
ностью до множителя β, не зависящего от t, совпадет с полинимом L+(x, τ +
+ tν), а полиномы B̃j(x, τ + tν) имеют вид B̃0(x, τ + tν) = 1, B̃1(x, τ + tν) =
= l(x, ν(x))β l+(x, τ, ν, t) t, B̃2(x, τ + tν) = t2. Линейная зависимость полиномов
B̃j по модулю полинома l+(x, τ, ν, t) эквивалентна линейной зависимости полино-
мов 1, t, t2, что, очевидно, невозможно. Таким образом, задача (3.2), (3.6) для урав-
нения (3.4) удовлетворяет условию Лопатинского. Граничная задача, порожденная
обобщенной задачей (4.1), такова: Lv|∂Ω = 0, (Lv)′′νν |∂Ω = 0, l(x, ν(x)) ∂νv +
+α(x)v|∂Ω = 0. Соответствующие полиномы B̃+ имеют вид B̃+
0 (x, τ + tν) =
= L(x, τ + tν), B̃+
1 (x, τ + tν) = l(x, ν(x)) t, B̃+
2 (x, τ + tν) = L(x, τ + tν) t2, они
линейно независимы по модулю полинома l+(x, τ, ν, t), поэтому исходная грани-
чная задача фредгольмова.
1. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференциальных
уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. мат. журн. – 1953.
– 5, № 2. – С. 123 – 151.
2. Лионc Ж.-М., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Mир, 1971.
3. Березанский Ю. M. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев:
Наук. думка, 1965.
4. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. –
М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
5. Хермандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. – М.:
Изд-во иностр. лит., 1959.
6. Вишик М. Й. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений // Тр.
Моск. мат. о-ва. – 1952. – 1. – С. 187 – 246.
7. Бурский В. П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений.
– Киев: Наук. думка, 2002.
Получено 27.08.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
|