О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций
Встановлено достатні умови повноти частини кореневих векторів одного класу операторних жмутків другого порядку, що відповідають характеристичним числам із деякого сектора, та доведено теорему про повноту системи елементарних голоморфних розв'язків відповідного однорідного операторно-диферен-ціа...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166167 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций / С.Г. Велиев, С.С. Мирзоев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 801–813. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166167 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661672020-02-24T16:31:06Z О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций Велиев, С.Г. Мирзоев, С.С. Статті Встановлено достатні умови повноти частини кореневих векторів одного класу операторних жмутків другого порядку, що відповідають характеристичним числам із деякого сектора, та доведено теорему про повноту системи елементарних голоморфних розв'язків відповідного однорідного операторно-диферен-ціального рівняння другого порядку. При цьому вказано коректну та однозначну розв'язність крайової задачі для даного рівняння, крайова умова якої містить лінійний оператор, та проведено оцінку норми оператора проміжної похідної, що входить до збуреної частини рівняння. We establish sufficient conditions for the completeness of a part of root vectors of one class of the second-order operator bundles corresponding to the characteristic numbers from a certain sector and prove the theorem on completeness of a system of elementary holomorphic solutions of the corresponding second-order homogeneous operator differential equations. We also indicate the conditions of correct and unique solvability of a boundary-value problem for the analyzed equation with linear operator in the boundary condition and estimate the norm of the operator of the intermediate derivative in the perturbed part of the equation. 2010 Article О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций / С.Г. Велиев, С.С. Мирзоев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 801–813. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166167 517.946 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Велиев, С.Г. Мирзоев, С.С. О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций Український математичний журнал |
| description |
Встановлено достатні умови повноти частини кореневих векторів одного класу операторних жмутків другого порядку, що відповідають характеристичним числам із деякого сектора, та доведено теорему про повноту системи елементарних голоморфних розв'язків відповідного однорідного операторно-диферен-ціального рівняння другого порядку. При цьому вказано коректну та однозначну розв'язність крайової задачі для даного рівняння, крайова умова якої містить лінійний оператор, та проведено оцінку норми оператора проміжної похідної, що входить до збуреної частини рівняння. |
| format |
Article |
| author |
Велиев, С.Г. Мирзоев, С.С. |
| author_facet |
Велиев, С.Г. Мирзоев, С.С. |
| author_sort |
Велиев, С.Г. |
| title |
О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций |
| title_short |
О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций |
| title_full |
О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций |
| title_fullStr |
О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций |
| title_full_unstemmed |
О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций |
| title_sort |
о решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166167 |
| citation_txt |
О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в классе голоморфных вектор-функций / С.Г. Велиев, С.С. Мирзоев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 801–813. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT velievsg orešeniâhodnogoklassaoperatornodifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkavklassegolomorfnyhvektorfunkcij AT mirzoevss orešeniâhodnogoklassaoperatornodifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkavklassegolomorfnyhvektorfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-14T20:52:51Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:52:51Z |
| _version_ |
1837657092432855040 |
| fulltext |
УДК 517.946
С. С. Мирзоев, С. Г. Велиев (Бак. гос. ун-т, Азербайджан)
О РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА
ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА В КЛАССЕ ГОЛОМОРФНЫХ
ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
We establish sufficient conditions of the completeness of a part of root vectors of one class of second-order
operator bundles, corresponding to the characteristic numbers from a certain sector, and prove the theorem on
the completeness of a system of elementary holomorphic solutions of corresponding second-order homogeneous
operator differential equations. We also indicate the correct and one-valued solvability of a boundary-value
problem for the considered equation, whose boundary condition contains a linear operator, and estimate the
norm of an operator of intermediate derivative present in the perturbed part of the equation.
Встановлено достатнi умови повноти частини кореневих векторiв одного класу операторних жмуткiв
другого порядку, що вiдповiдають характеристичним числам iз деякого сектора, та доведено теорему про
повноту системи елементарних голоморфних розв’язкiв вiдповiдного однорiдного операторно-диферен-
цiального рiвняння другого порядку. При цьому вказано коректну та однозначну розв’язнiсть крайової
задачi для даного рiвняння, крайова умова якої мiстить лiнiйний оператор, та проведено оцiнку норми
оператора промiжної похiдної, що входить до збуреної частини рiвняння.
В сепарабельном гильбертовом пространстве H рассмотрим полиномиальный опе-
раторный пучок второго порядка
P (λ) = −λ2E + λA1 +A2, (1)
где E — единичный оператор, а остальные операторные коэффициенты удовлет-
воряют следующим условиям:
1) A — положительно определенный самосопряженный оператор с вполне не-
прерывным обратным A−1;
2) оператор B1 = A1A
−1 ограничен в H.
Очевидно, что область определения оператора Aγ , γ ≥ 0, является гиль-
бертовым пространством Hγ относительно скалярного произведения (x, y)γ =
= (Aγx,Aγy), x, y ∈ Hγ , а при γ = 0 полагаем H0 = H.
Обозначим через L2(R+;H) гильбертово пространство всех вектор-функций
f(t), определенных почти всюду в R+ = (0,∞) со значениями в H, для которых
‖f‖L2(R+;H) =
∞∫
0
‖f(t)‖2 dt
1/2
<∞.
Далее, определим пространство
W 2
2 (R+;H) =
{
u(t) : u′′(t) ∈ L2(R+;H), A2u(t) ∈ L2(R+;H)
}
с нормой (см. [1, 2])
‖u‖W 2
2 (R+;H) =
(∥∥A2u
∥∥2
L2(R+;H)
+ ‖u′′‖2L2(R+;H)
)1/2
.
Здесь производные понимаются в смысле теории распределений [1].
c© С. С. МИРЗОЕВ, С. Г. ВЕЛИЕВ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 801
802 С. С. МИРЗОЕВ, С. Г. ВЕЛИЕВ
Следуя работе [3], обозначим через H2,α линейное множество вектор-функций
f(z) со значениями в H, которые голоморфны в секторе
Sα =
{
z : |arg z| < α
}
, 0 ≤ α < π
2
,
и при каждом β ∈ (−α, α) вектор-функция fβ(t) = f
(
teiβ
)
∈ L2(R+;H), причем
sup
|β|<α
∞∫
0
∥∥f (teiβ)∥∥2
dt <∞.
Оказывается, функции f(z) из H2,α имеют граничные значения (почти всю-
ду или в L2(R+;H)) f±α(t) ∈ L2(R+;H) на лучах Γ±α = te±iα, t> 0, и H2,α
превращается в гильбертово пространство относительно нормы
‖f‖H2,α
=
1√
2
(
‖fα(t)‖2L2(R+;H) + ‖f−α(t)‖2L2(R+;H)
)1/2
.
При α = 0 считаем, что H2,0 = L2(R+;H).
Далее, пусть L(X;Y ) — пространство линейных ограниченных операторов,
действующих из пространства X в пространство Y, σ∞ — идеал вполне непре-
рывных операторов в L(H;H), а σρ — идеал вполне непрерывных операторов
Шаттена [4].
Введем гильбертово пространство
W 2
2,α =
{
u(z) : u′′(z) ∈ H2,α, A
2u ∈ H2,α
}
с нормой
‖u‖W 2
2,α
=
(
‖u′′(z)‖2H2,α
+
∥∥A2u(z)
∥∥2
H2,α
)1/2
.
Предположим выполнение следующего условия: 3) линейный оператор T принад-
лежит L
(
H1/2, H3/2
)
и введем подпространство пространства W 2
2,α
W 2
2,α(T ) =
{
u(z) : u(z) ∈W2,α, u(0) = Tu′(0)
}
.
Отметим, что подпространство W 2
2,α(T ) определено корректно, поскольку для
вектор-функции из W 2
2,α имеют место аналоги теорем о промежуточных производ-
ных и о следах, т. е. если u ∈W 2
2,α, то Au′(z) ∈ H2,α, u(0) ∈ H3/2, u
′(0) ∈ H1/2 и
имеют место неравенства
‖Au′‖H2,α
≤ const ‖u‖W 2
2,α
,
∥∥∥u(j)(0)
∥∥∥
2−j− 1
2
≤ const ‖u‖W 2
2,α
, j = 0, 1.
С другой стороны, при u ∈W 2
2,α граничные значения u±α(t) ∈W 2
2 (R+;H). Необ-
ходимо отметить, что если e−zA — полугруппа ограниченных операторов, то e−zAϕ
принадлежит W 2
2,α тогда и только тогда, когда ϕ принадлежит H3/2. Этот факт до-
казывается элементарно, с использованием аналогичных выкладок из книги [2].
Теперь свяжем пучок операторов (1) с краевой задачей
P (d/dz)u(z) = 0, z ∈ Sα, (2)
u(0)− Tu′(0) = ϕ, ϕ ∈ H3/2, (3)
где производные понимаются в смысле комплексного анализа в пространстве H, а
оператор T удовлетворяет условию 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 803
Определение 1. Если при ϕ ∈ H3/2 существует вектор-функция u(z) ∈
∈W 2
2,α, удовлетворяющая уравнению (2) тождественно в Sα, то будем называть
ее регулярным решением уравнения (2).
Определение 2. Если при любом ϕ ∈ H3/2 существует регулярное решение
уравнения (2), удовлетворяющее граничному условию (3) в смысле сходимости
lim
z→0
| arg z|<α
‖u(z)− Tu′(z)− ϕ‖3/2 = 0
и имеет место оценка
‖u‖W 2
2,α
≤ const ‖f‖H2,α
,
то задачу (2), (3) будем называть регулярно разрешимой.
Определение 3. Если уравнение P (λn)x0,n,j = 0 имеет ненулевое реше-
ние x0,n,j , то λn называется характеристическим числом, а x0,n,j — собствен-
ным вектором операторного пучка P (λ), соответствующим λn. Если векторы
x0,n,j , x1,n,j , . . . , xh,n,j , h = 0,mn,j , j = 1, qn, удовлетворяют уравнениям
P (λn)x0,n,j = 0, P (λn)x1,n,j + P ′ (λn)x0,n,j = 0,
P (λn)xh,n,j + P ′ (λn)xh−1,n,j − 2xh−2,n,j = 0, h = 2, . . . ,mn,j ,
то x0,n,j , x1,n,j , . . . , xh,n,j называют корневыми векторами пучка P (λ), соответ-
ствующими характеристическому числу λn.
Очевидно, что если
λn ∈ S̃α =
{
λ : |arg λ− π| < α
}
,
то вектор-функции
uh,n,j(z) = eλnz
(
zh
h!
x0,n,j +
zh−1
(h− 1)!
x1,n,j + . . .+ xh,n,j
)
,
h = 0,mn,j , j = 1, qn,
принадлежат пространству W 2
2,α, удовлетворяют уравнению (2) и называются эле-
ментарными голоморфными в секторе Sα решениями уравнения (2). Обратно, если
uh,n,j(z) принадлежатW 2
2,α, h = 0,mn,j , j = 1, qn, и удовлетворяют уравнению (2),
то λn принадлежат S̃α, а векторы x0,n,j , x1,n,j , . . . , xh,n,j являются корневыми век-
торами пучка P (λ), соответствующими собственному числу λn.
Очевидно, что если uh,n,j(z) принадлежат W 2
2,α, то их следы удовлетворяют
следующим условиям:
u0,n,j(0)− Tu′0,n,j(0) = x0,n,j − λnTx0,n,j ≡ ψ0,n,j ,
uh,n,j(0)− Tu′h,n,j(0) = xh,n,j − λnTxh−1,n,j ≡ ψh,n,j ,
h = 1,mn,j , j = 1, qn.
Наша цель состоит в том, чтобы доказать полноту системы K
(
S̃α
)
=
=
{
ψh,n,j
}∞
n=1,h=1,mn,j ,j=1,qn
в пространстве H3/2 и полноту системы элемен-
тарных голоморфных в секторе Sα решений
{
uh,n,j(z)
}∞
n=1,h=1,mn,j ,j=1,q
в прос-
транстве регулярных решений задачи (2), (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
804 С. С. МИРЗОЕВ, С. Г. ВЕЛИЕВ
Отметим, что при T = 0 полнота системы {xh,n,j} в пространстве H с конечно-
мерным дефектом при условии A−1 ∈ σ∞ доказана в работах [3, 5]. А при α = 0
полнота системы K
(
S̃0
)
и полнота элементарных убывающих решений доказаны
в работе [6].
Обозначим
<0u ≡ P0 (d/dz)u(z) = −u′′(z) +A2u(z), <1u = A1u
′(z), u ∈W 2
2,α(T ),
и
P0(λ) = −λ2E +A2, P1(λ) = λA1.
Сперва исследуем некоторые аналитические свойства операторного пучка P (λ).
Лемма 1. Пусть выполняются условия 1, 2 и имеет место неравенство
‖B1‖ < 2 cosα. (4)
Тогда на лучах Γ± =
{
λ : λ = te±i(π/2+α), t ≥ 0
}
имеет место оценка
2∑
j=0
∥∥λjAn−jP−1(λ)
∥∥ ≤ const . (5)
Доказательство. Пусть для определенности λ ∈ Γ+, λ = tei(π/2+α). Тогда
операторный пучок P0(λ) = −λ2E+A2 = t2e2iα+A2 обратим и из представления
P (λ) = P0(λ) + P1(λ) =
(
E + P1(λ)P−1
0 (λ)
)
P0(λ), λ ∈ Γ+, (6)
получаем, что операторный пучок P (λ) также обратим на луче Γ+, если∥∥P1(λ)P−1
0 (λ)
∥∥ < θ < 1 при λ ∈ Γ+. Поскольку при λ ∈ Γ+ выполняется не-
равенство ∥∥P1(λ)P−1
0 (λ)
∥∥ ≤ ∥∥A1λP
−1
0 (λ)
∥∥ ≤ ‖B1‖
∥∥λAP−1
0 (λ)
∥∥ , (7)
используя спектральное разложение оператора A, находим∥∥λAP−1
0 (λ)
∥∥ = sup
µ∈σ(A)
∣∣∣µt (t2e2iα + µ2
)−1
∣∣∣ ≤
≤ sup
µ≥0
∣∣∣µt (t4 + µ4 + 2µ2t2 cos 2α
)−1/2
∣∣∣ ≤
≤ sup
µ≥0
∣∣∣µt (2µ2t2 + 2µ2t2 cos 2α
)−1/2
∣∣∣ =
1
2 cosα
. (8)
Тогда с учетом этого неравенства из (7) получаем, что при λ ∈ Γ+ имеет место
оценка ∥∥P1(λ)P−1
0 (λ)
∥∥ ≤ ‖B1‖
1
2 cosα
= k(α)< 1.
Таким образом, на луче Γ+ резольвента P−1(λ) существует и из (6) следует, что
P−1(λ) = P−1
0 (λ)
(
E + P1(λ)P−1
0 (λ)
)−1
. (9)
Отсюда имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 805∥∥λ2P−1(λ)
∥∥+
∥∥λAP−1(λ)
∥∥+
∥∥A2P−1(λ)
∥∥ ≤
≤
(∥∥λ2P−1
0 (λ)
∥∥+
∥∥λAP−1
0 (λ)
∥∥+
∥∥A2P−1
0 (λ)
∥∥) 1
1− k(α)
.
Таким образом, из неравенства (8) следует, что мы должны оценить нормы∥∥A2P−1
0 (λ)
∥∥ и
∥∥λ2P−1
0 (λ)
∥∥ . Оценим, например, норму
∥∥A2P−1
0 (λ)
∥∥ (
норма∥∥λ2P−1
0 (λ)
∥∥ оценивается аналогично
)
. Очевидно, что∥∥A2P−1
0 (λ)
∥∥ ≤ sup
µ∈σ(A)
∣∣∣µ2
(
t4 + µ4 + 2µ2t2 cos 2α
)−1/2
∣∣∣ .
При α ∈
[
0,
π
4
]
cos 2α ≥ 0, следовательно, при α ∈
[
0,
π
4
]
∥∥A2P−1
0 (λ)
∥∥ ≤ 1,
а при α ∈
[π
4
,
π
2
)
cos 2α < 0, следовательно,
∥∥A2P−1
0 (λ)
∥∥ ≤ sup
µ∈σ(A)
∣∣∣µ2
(
t4 + µ4 + 2µ2t2 cos 2α
)−1
∣∣∣ ≤
≤ 1√
2 cosα
sup
µ≥0
µ2√
t4 + µ4
≤ 1√
2 cosα
.
Аналогично доказывается, что
∥∥λ2P−1
0 (λ)
∥∥ ≤ c0(α) =
1, 0 ≤ α ≤ π
4
,
1√
2 cosα
,
π
4
≤ α < π
2
.
Лемма доказана.
Имеет место следующая лемма.
Лемма 2. Пусть выполняются условия леммы 1. Тогда операторный пучок
P (λ) имеет только дискретный спектр с единственной предельной точкой в бес-
конечности. Кроме того, если A−1 ∈ σρ, 0 < ρ < ∞, то A2P−1(λ) представ-
ляется в виде двух целых функций конечного порядка ρ и минимального типа при
порядке ρ.
Доказательство. Имеем
P (λ) = −λ2E+λA1 +A2 =
(
−λ2A−2 + λB1A
−1 + E
)
A2 = (E + L(λ))A2. (10)
Поскольку коэффициенты пучка L(λ) — вполне непрерывные операторы, а L(0) +
+ E = E обратим, первая часть леммы следует из леммы М. В. Келдыша [7].
С другой стороны, при A−1 ∈ σρ, A−2 ∈ σρ/2, B1A
−1 ∈ σρ, следовательно,
используя лемму М. В. Келдыша [7, 8], получаем, что (E + L(λ))
−1 представляется
в виде отношения двух целых функций порядка не выше ρ и минимального типа
при порядке ρ. Из представления (10) следует, что это относится и к A2P−1(λ).
Лемма доказана.
Теперь займемся разрешимостью задачи (2), (3).
Имеет место следующая лемма.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
806 С. С. МИРЗОЕВ, С. Г. ВЕЛИЕВ
Лемма 3. Пусть выполняются условия 1 – 3, оператор E + TA обратим в
пространстве H3/2, т. е. (E + TA)
−1 ∈ L
(
H3/2;H3/2
)
. Тогда задача
P0 (d/dz)u(z) = −u′′(z) +A2u(z) = 0, z ∈ Sα, (11)
u(0)− Tu′(0) = ϕ, ϕ ∈ H3/2, (12)
регулярно разрешима.
Доказательство. При x ∈ H3/2 вектор-функция u0(z) = e−zAx является об-
щим решением уравнения (11) из пространства W 2
2,α. Из условия (12) следует,
что (E + TA)x = ϕ или x = (E + TA)
−1
ϕ. Таким образом, вектор-функция
u0(z) = e−zA (E + TA)
−1
ϕ будет регулярным решением задачи (11), (12).
Для решения задачи (2), (3) после замены u(z) → u(z) − u0(z), где u0(z) —
регулярное решение задачи (11), (12), получаем следующую краевую задачу:
P (d/dz)u(z) = f(z), z ∈ Sα, (13)
u(0)− Tu′(0) = 0, (14)
где f(z) = A1Ae
−zA (E + TA)
−1
ϕ.
Очевидно, что
‖f(z)‖H2,α
=
∥∥∥A1A
−1A2e−zA (E + TA)
−1
ϕ
∥∥∥ ≤
≤ ‖B1‖
∥∥∥A2e−zA (E + TA)
−1
ϕ
∥∥∥
H2,α
≤
∥∥∥e−zA (E + TA)
−1
ϕ
∥∥∥
W 2
2,α
≤
≤ const
∥∥∥(E + TA)
−1
ϕ
∥∥∥
3/2
≤ const ‖ϕ‖3/2 , (15)
т. е. f(z) ∈ H2,α.
Таким образом, если мы докажем, что при любом f(z) ∈ H2,α задача (13), (14)
имеет регулярное решение, причем
‖u(z)‖W 2
2,α
≤ const ‖f(z)‖H2,α
,
то мы докажем регулярную разрешимость задачи (2), (3) (регулярная разрешимость
задачи (13), (14) определяется аналогично определению 2).
Сначала займемся регулярной разрешимостью простой задачи
P0 (d/dz)u(z) = f(z), (16)
u(0)− Tu′(0) = 0. (17)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполняются условия 1, 3 и оператор E + TA ограни-
ченно обратим в H3/2. Тогда оператор <0 ≡ P0 (d/dz) изоморфно отображает
пространство W 2
2,α(T ) на H2,α.
Доказательство. Из леммы 3 следует, что <0u = 0 имеет только нулевое
решение из пространства W 2
2,α(T ). С другой стороны, легко видеть, что вектор-
функция
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 807
u0(z) =
1
2πi
2∑
k=1
∫
Γk
(−1)
k
P−1
0 (λ)f̂(λ)eλzdλ, Γ1 = Γ+, Γ2 = Γ−,
где f̂(λ) — преобразование Лапласа вектор-функции f(z), есть частное регулярное
решение уравнения (16). Здесь мы принимаем во внимание, что f̂(λ) будет голо-
морфной вектор-функцией в секторе
{
λ : −π
2
− α< argλ <
π
2
+ α
}
. Из леммы 1,
в частности, следует, что u0(z) ∈W 2
2,α. Тогда общее решение уравнения
P0(d/dz)u(z) = u0(z) + e−zAx,
где x ∈ H3/2. Отсюда, учитывая, что u(0)− Tu′(0) = 0, получаем относительно x
уравнение
x+ TAx = −u0(0)− TAu′(0)
или
(E + TA)x = − (u0(0) + TAu′(0)) .
Так как u0(z) ∈ W 2
2,α, то u0(0) ∈ H3/2, TAu
′(0) ∈ H3/2, следовательно, x =
= −(E+TA)−1(u0(0)+TAu′(0)) ∈ H3/2 и u(z) ∈W 2
2,α(T ). Таким образом, образ
оператора <0 совпадает с пространствомH2,α. С другой стороны, при u ∈W 2
2,α(T )
имеет место неравенство
‖<0u‖H2,α
=
∥∥−u′′ +A2u
∥∥
H2,α
≤ const ‖u‖W 2
2,α
,
поэтому из теоремы Банаха об обратном операторе следует, что оператор <0 явля-
ется изоморфизмом.
Теорема доказана.
Для разрешимости задачи (13), (14) запишем его как уравнение
<u = <0u+ <1u = f, (18)
где u ∈W 2
2,α(T ), f ∈ H2,α.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполняются условия 1 – 3, E + TA обратим в H3/2 и
имеет место неравенство
‖B1‖< N−1
1,T(α), (19)
где
N1,T(α) = sup
0 6=u∈W 2
2,α(T )
‖Au′‖H2,α
‖<0u‖−1
H2,α
. (20)
Тогда уравнение (18) корректно и однозначно разрешимо.
Доказательство. Из теоремы 1 следует, что нормы ‖u‖W 2
2,α
и ‖<0u‖H2,α
экви-
валентны в пространстве W 2
2,α(T ), поэтому по теореме о промежуточных про-
изводных число, определенное равенством (20), конечно. Поскольку оператор <0
изоморфно отображает пространство W 2
2,α(T ) на H2,α, после замены u = <−1
0 v
получаем относительно v уравнение
v + <1<−1
0 v = f
в H2,α. А в силу того, что при любом v ∈ H2,α
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
808 С. С. МИРЗОЕВ, С. Г. ВЕЛИЕВ∥∥<1<−1
0 v
∥∥
H2,α
= ‖A1u
′‖H2,α
≤ ‖B1‖ ‖Au′‖H2,α
≤
≤ ‖B1‖N1,T (α) ‖<0u‖H2,α
= N1,T (α) ‖B1‖ ‖v‖H2,α
< k1 ‖v‖H2,α
,
где k1 <1, оператор E + <1<−1
0 обратим в H2,α и
u = <−1
0
(
E + <1<−1
0
)−1
f.
Отсюда следует, что
‖u‖W 2
2,α
≤ const ‖f‖H2,α
.
Теорема доказана.
Из этой теоремы видно, что для нахождения условия разрешимости задачи (13),
(14) надо найти точное значение N1,T (α) или оценить его сверху.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Пусть выполняются условия 1 – 3, оператор E + TA обратим в
H3/2. Тогда имеет место следующая оценка:
N1,T (α) ≤ αT =
=
1
2 cosα
при ReAT ≥ 0 в H1/2,
1
2 cosα
1− 4
∣∣∣∣∣ inf
‖y‖1/2=1
Re(ATy, y)1/2
‖ATy‖21/2 + 1
∣∣∣∣∣
2
−1/2
в противном случае.
(21)
Доказательство. Сначала покажем, что при u ∈ W 2
2,α(T ) и u′(0) = y ∈ H1/2
справедливо равенство
‖<0u‖2H2,α
= ‖u‖2W 2
2,α
+ 2 cos 2α ‖Au′‖2H2,α
+ 2 cosαRe (ATy, y)1/2 . (22)
Действительно,
‖<0u‖2H2,α
=
∥∥−u′′(z) +A2u(z)
∥∥2
H2,α
=
=
1
2
(∥∥−u′′α(t)e−2iα +A2uα(t)
∥∥2
L2(R+;H)
+
+
∥∥−u−α(t)e2iα +A2u−α(t)
∥∥2
L2(R+;H)
)
=
=
1
2
(
‖u′′α(t)‖2L2(R+;H) +
∥∥A2uα(t)
∥∥2
L2(R+;H)
+
+
∥∥u′′−α(t)
∥∥2
L2(R+;H)
+
∥∥A2u−α(t)
∥∥2
L2(R+;H)
)
+
+
1
2
(
2 Re
(
−u′′α(t)e−2iα, A2uα(t)
)
L2(R+;H)
+
+2 Re
(
u′′−α(t)e2iα, A2u−α(t)
)
L2(R+;H)
)
. (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 809
После интегрирования по частям имеем
−2 Re
(
u′′α(t)e−2iα, A2uα(t)
)
L2(R+;H)
=
= 2 Re
(
A1/2u′α(0)e−2iα, A3/2uα(0)
)
+ 2 cos 2α ‖Au′α‖
2
L2(R+;H) =
= 2 Re
(
A1/2u′(0)e−iα, A3/2u(0)
)
+ 2 cos 2α ‖Au′α‖
2
L2(R+;H) . (24)
Аналогично получаем
−2 Re
(
u′′−α(t)e2iα, A2u−α(t)
)
L2(R+;H)
=
= 2 Re
(
A1/2u′(0)eiα, A3/2u(0)
)
+ 2 cos 2α
∥∥Au′−α∥∥2
L2(R+;H)
. (25)
Учитывая (24) и (25), из (23) имеем
‖<0u‖2H2,α
= ‖u‖2W 2
2,α
+ 2 cos 2α ‖Au′‖2H2,α
+ 2 cosαRe
(
A1/2u′(0), A3/2u(0)
)
=
= ‖u‖2W 2
2,α
+ 2 cos 2α ‖Au′‖2H2,α
+ 2 cosαRe
(
A1/2u′(0), A3/2Tu′(0)
)
=
= ‖u‖2W 2
2,α
+ 2 cos 2α ‖Au′‖2H2,α
+ 2 cosαRe (ATy, y)1/2 .
Теперь предположим, что параметр s принадлежит
[
0, 4 cos2 α
)
, и определим
операторный пучок в H2:
Φ (λ; s;A) = λ2E +
√
4 cos2 α− sλA+A2.
Используя пучок Φ(λ; s;A), получаем следующее тождество, которое справедливо
при всех s ∈
[
0, 4 cos2 α
)
и u ∈W 2
2,α(T ):
‖<0u‖2H2,α
− s ‖Au′‖2H2,α
=
=
1
2
(
‖Φ (d/dt; s;A)uα(t)‖2L2(R+;H) +
+ ‖Φ (d/dt; s;A)u−α(t)‖2L2(R+;H)
)
+Q(s, y), y = u′(0). (26)
Здесь
Q(s, y) = 4 cosαRe (ATy, y)1/2 +
√
4 cos2 α− s
(
‖ATy‖21/2 + ‖y‖21/2
)
. (27)
Действительно,
‖Φ (d/dt; s;A)uα‖2L2(R+;H) =
∥∥∥u′′α +
√
4 cos2 α− sAu′α +A2uα
∥∥∥2
L2(R+;H)
=
= ‖u′′α‖
2
L2(R+;H) +
∥∥A2uα
∥∥2
L2(R+;H)
+
(
4 cos2 α− s
)
‖Au′α‖
2
L2(R+;H) +
+2 Re
(
u′′α, A
2uα
)
L2(R+;H)
+
√
4 cos2 α− s2 Re (u′′α, Au
′
α)L2(R+;H) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
810 С. С. МИРЗОЕВ, С. Г. ВЕЛИЕВ
+
√
4 cos2 α− s2 Re
(
Au′α, A
2uα
)
L2(R+;H)
. (28)
После интегрирования по частям имеем
(u′′α, Au
′
α)L2(R+;H) = −
∥∥∥A1/2u′α(0)
∥∥∥2
− (Au′α, u
′′
α)L2(R+;H) ,
т. е.
2 Re (u′′α, Au
′
α) = −
∥∥∥A1/2u′α(0)
∥∥∥2
= −
∥∥∥A1/2eiαu′(0)
∥∥∥2
= −‖y‖21/2. (29)
Далее,
Re
(
u′′α, A
2uα
)
= −Re
(
A1/2u′α(0), A3/2u(0)
)
− ‖Au′α‖
2
=
= −Re
(
A1/2eiαu′(0), A3/2Tu′(0)
)
−
−‖Au′α‖
2
L2(R+;H) = −Re eiα (y,ATy)1/2 − ‖Au
′
α‖
2
L2(R+;H) , (30)
2 Re
(
Au′α, A
2uα
)
= −
∥∥∥A3/2uα(0)
∥∥∥2
= −
∥∥∥A3/2u(0)
∥∥∥2
=
= −
∥∥∥A3/2Tu′(0)
∥∥∥2
= −‖ATy‖21/2. (31)
Таким образом, учитывая равенства (29) – (31), из равенства (28) получаем
‖Φ (d/dt; s;A)uα‖2L2(R+;H) = ‖uα‖2W 2
2 (R+;H) + (2 cos 2α− s) ‖Au′α‖
2
L2(R+;H)−
−2 Re eiα (ATy, y)1/2 −
√
4 cos2 α− s
(
‖y‖21/2 + ‖ATy‖21/2
)
. (32)
Аналогично
‖Φ (d/dt; s;A)u−α‖2L2(R+;H) =
= ‖u−α‖2W 2
2 (R+;H) + (2 cos 2α− s)
∥∥Au′−α∥∥2
L2(R+;H)
−
−2 Re e−iα (ATy, y)1/2 −
√
4 cos2 α− s
(
‖ATy‖21/2 + ‖y‖21/2
)
. (33)
Принимая во внимание (32) и (33), из равенства (22) находим
1
2
(
‖Φ (d/dt; s;A)uα‖2L2(R+;H) + ‖Φ (d/dt; s;A)u−α‖2L2(R+;H)
)
=
= ‖<0u‖2H2,α
− s‖Au′‖2H2,α
−
−4 cosαRe (ATy, y)1/2 −
√
4 cos2 α− s
(
‖ATy‖21/2 + ‖y‖21/2
)
,
следовательно, равенство (26) доказано. Из равенства (26) следует, что если
Re (ATy, y)1/2 ≥ 0, то Q(s, y) ≥ 0 при s ∈
[
0, 4 cos2 α
)
. Следовательно, при
s ∈
(
0, 4 cos2 α
)
для любого u ∈W 2
2,α(T )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 811
‖<0u‖2W 2
2,α
− s ‖Au′‖2H2,α
≥ 0.
Значит, при s ∈
(
0, 4 cos2 α
)
для любого u ∈W 2
2,α(T ) выполняется неравенство
‖Au′‖H2,α
≤ 1√
s
‖<0u‖H2,α
.
Переходя к пределу при s→ 4 cos2 α, получаем
‖Au′‖H2,α
≤ 1
2 cosα
‖<0u‖H2,α
,
т. е.
N1,T (α) ≤ αT =
1
2 cosα
.
Теперь предположим обратное, т. е. существует вектор y0 ∈ H1/2 такой, что
Re (ATy0, y0) < 0. В этом случае легко видеть, что min
‖y‖1/2=1
Q
(
α−2
T , y
)
= 0. Очевид-
но, что α−2
T ∈
(
0, 4 cos2 α
)
. С другой стороны, Q(0, y) > 0. Действительно, при
s = 0
Q(0, y) = 4 cosαRe (ATy, y)1/2 + 2 cosα
(
‖ATy‖21/2 + ‖y‖21/2
)
≥
≥ 2 cosα
(
‖ATy‖21/2 + ‖y‖21/2
)
− 4 cosα
∣∣∣(ATy, y)1/2
∣∣∣2 ≥
≥ 2 cosα
(
‖ATy‖21/2 + ‖y‖21/2
)
− 2 cosα
(
‖ATy‖21/2 + ‖y‖21/2
)
= 0,
но по теореме Коши – Буняковского здесь равенство имеет место тогда и только
тогда, когда 1) Im (ATy, y)1/2 = 0; 2) ATy = λy; 3) ‖ATy‖ = ‖y‖. Тогда получаем,
что AT — самосопряженный оператор в H1/2, поэтому λ = ±1. Но при ATy = y
имеем
Q(0, y) = 4 cosα‖y‖21/2 + 4 cosα‖y‖21/2 = 8 cosα‖y‖21/2 > 0.
Поэтому λ = −1. В этом случае ATy = −y, т. е. существует вектор y ∈ H1/2 такой,
что ATy+ y = 0. Тогда, полагая y = Aϕ, где ϕ ∈ H3/2, получаем Aϕ+ATAϕ = 0
или ϕ+TAϕ = 0 при ϕ ∈ H3/2, а это противоречит условию обратимости E+TA
в H3/2. Таким образом, Q(0, y) > 0 при всех y ∈ H1/2. Тогда при малых s > 0(
s ∈
(
0, 4 cos2 α
))
Q(s, y) > 0. С другой стороны, если N1,T (α) >
1
2 cosα
, то
N−2
1,T (α) ∈
(
0, 4 cos2 α
)
. Тогда при s ∈
(
N−2
1,T (α), 4 cos2 α
)
, по определению N1,T ,
существует вектор-функция us(z) ∈W 2
2,α(T ) такая, что∥∥<0us(z)
∥∥2
H2,α
− s
∥∥Au′s(z)∥∥2
H2,α
< 0.
Следовательно, для таких s из формулы (26) имеем inf
‖y‖1/2=1
Q(s, y) < 0.
Поскольку inf
‖y‖1/2=1
Q
(
α−2
T , y
)
= 0, N−2
1,T ≥ α
−2
T , следовательно, N1,T (α) ≤ αT .
Теорема доказана.
Таким образом, получаем следующую теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
812 С. С. МИРЗОЕВ, С. Г. ВЕЛИЕВ
Теорема 4. Пусть выполняются условия 1 – 3, оператор E + TA обратим в
H3/2 и оператор B1 удовлетворяет условию
‖B 1‖ ≤ α−1/2
T ,
где αT определено из теоремы 3. Тогда задача (2), (3) регулярно разрешима.
Теперь докажем теорему о полноте системы K
(
S̃α
)
.
Теорема 5. Пусть выполняются условия теоремы 4 и одно из следующих
условий: а) A−1 ∈ σρ, 0 < ρ ≤ π
π−2α
, или б) B1 ∈ σ∞, A−1 ∈ σρ, 0 < ρ < ∞.
Тогда система K
(
S̃α
)
полна в H3/2.
Доказательство. Допустим противное. Пусть система K(S̃α) = {ψh,n,j} не
полна в H3/2. Тогда существует вектор ψ ∈ H3/2 такой, что (ψ,ψh,n,j) = 0, n =
= 1,∞, h = 1,mn,j , j = 1, qn. В этом случае из разложения резольвенты в окрест-
ности характеристических чисел (см. [7, 8]) следует, что вектор-функция R(λ) =
=
(
A3/2(E − T λ̄)P−1
(
λ̄
))∗ (
A3/2ψ
)
будет голоморфной вектор-функцией в сек-
торе S̃α =
{
λ : |arg λ− π| < α
}
. С другой стороны, при любом ϕ ∈ H3/2 задача (2),
(3) регулярно разрешима. Поэтому решение задачи (2), (3) можно представить в
виде
u(z) =
2∑
k=1
(−1)
k
∫
Γk
û(λ)eλzdλ,
где û(λ) = P−1(λ)
(
(λE + A1)u(0) + u′(0)
)
. Поскольку A−1 ∈ σρ, из леммы 2
следует, что
(u(z)− Tu′(z), ψ)3/2 =
(
A3/2u(z)−A3/2Tu′(z), A3/2ψ
)
=
=
1
2π
2∑
k=1
(−1)k
∫
Γk
((
λE +A1
)
u(0) + u′(0),
(
A3/2 (E − λT )P−1(λ)
)∗
A3/2ψ
)
eλzdz.
Используя в случае а) леммы 1 и 2, а в случае б) лемму 2 и лемму М. В. Кел-
дыша [7], получаем, что подынтегральная функция, стоящая перед eλz, является
полиномом, поэтому его интеграл равен нулю при z ∈ Sα, z 6= 0. Далее, переходя
к пределу при z → 0, получаем (ϕ,ψ)3/2 = 0 ∀ϕ ∈ H3/2. Следовательно, ψ = 0,
т. е. K(S̃α) полна в H3/2.
Теперь докажем полноту элементарных голоморфных в секторе Sα решений.
Теорема 6. Пусть выполняются условия теоремы 5. Тогда система элемен-
тарных голоморфных в секторе Sα решений полна в пространстве регулярных
решений задачи (2), (3).
Доказательство. Очевидно, что пространство W (P ) голоморфных регуляр-
ных решений задачи (2), (3) замкнуто. Далее, из теорем о следах и единственности
регулярных решений следует, что
c2 ‖ϕ‖3/2 ≤ ‖u‖W 2
2,α
≤ c1 ‖ϕ‖3/2 .
Поскольку система K(S̃α) полна в H3/2, для заданного ε > 0 существуют нату-
ральное число N и числа cNh,n,j (ε) такие, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 813∥∥∥∥∥∥ϕ−
N∑
n=1
∑
(h,j)
cNh,n,j (ε)ψh,n,j
∥∥∥∥∥∥
3/2
< ε.
Тогда, учитывая, что ϕ = u(0) − Tu′(0), а ψh,n,j = uh,n,j(0) − Tu′h,n,j(0), из
последнего неравенства получаем∥∥∥∥∥∥u(z)−
N∑
n=1
∑
(h,j)
cNh,n,j (ε)uh,n,j(z)
∥∥∥∥∥∥
W 2
2,α
< ε1, ε1 = c1ε.
Теорема доказана.
1. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971.
– 371 с.
2. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений.
– Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с.
3. Гасымов М. Г. О разрешимости краевых задач для одного класса операторно-дифференциальных
уравнений // Докл. АН СССР. – 1977. – 235, № 3. – С. 505 – 508.
4. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов в гильбертовом
пространстве. – М.: Наука, 1965. – 448 с.
5. Радзиевский Г. В. Задача о полноте корневых векторов в спектральной теории оператор-функций
// Успехи мат. наук. – 1982. – 37, № 2. – С. 81 – 145.
6. Гасымов М. Г., Мирзоев С. С. О разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных
уравнений эллиптического типа второго порядка // Дифференц. уравнения. – 1992. – 28, № 4. –
С. 651 – 661.
7. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных
операторов // Успехи мат. наук. – 1971. – Вып. 4 (160). – С. 15 – 41.
8. Гасымов М. Г. О кратной полноте части собственных и присоединенных векторов полиномиальных
операторных пучков // Изв. АН. АрмССР. Математика. – 1971. – 6, № 2-3. – С. 131 – 147.
Получено 27.08.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
|