Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇
Доведено, що будь-яке шурівське зображення частково впорядкованої множини, що відповідає графу Ẽ₇, можна унітаризувати з деяким характером.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166173 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇ / Д.Ю. Якименко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 847–853. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166173 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661732020-02-19T01:27:09Z Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇ Якименко, Д.Ю. Статті Доведено, що будь-яке шурівське зображення частково впорядкованої множини, що відповідає графу Ẽ₇, можна унітаризувати з деяким характером. We prove that every Schur representation of a partially ordered set associated with graph Ẽ₇ can be unitarized with some character. 2010 Article Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇ / Д.Ю. Якименко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 847–853. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166173 513.88 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Якименко, Д.Ю. Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇ Український математичний журнал |
| description |
Доведено, що будь-яке шурівське зображення частково впорядкованої множини, що відповідає графу Ẽ₇, можна унітаризувати з деяким характером. |
| format |
Article |
| author |
Якименко, Д.Ю. |
| author_facet |
Якименко, Д.Ю. |
| author_sort |
Якименко, Д.Ю. |
| title |
Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇ |
| title_short |
Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇ |
| title_full |
Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇ |
| title_fullStr |
Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇ |
| title_full_unstemmed |
Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇ |
| title_sort |
унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует ẽ₇ |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166173 |
| citation_txt |
Унитаризация шуровских представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует Ẽ₇ / Д.Ю. Якименко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 847–853. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT âkimenkodû unitarizaciâšurovskihpredstavlenijčastičnouporâdočennogomnožestvakotoroesootvetstvuete7 |
| first_indexed |
2025-07-14T20:54:02Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:54:02Z |
| _version_ |
1837657174847782912 |
| fulltext |
УДК 513.88
Д. Ю. Якименко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
УНИТАРИЗАЦИЯ ШУРОВСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОГО МНОЖЕСТВА,
КОТОРОЕ СООТВЕТСТВУЕТ Ẽ7
We prove that every Schur representation of a partially ordered set that corresponds to the graph Ẽ7 is
unitarizable with some character.
Доведено, що будь-яке шурiвське зображення частково впорядкованої множини, що вiдповiдає графу
Ẽ7, можна унiтаризувати з деяким характером.
1. Введение. Описание представлений колчанов и частично упорядоченных мно-
жеств (сокращенно чум) в категории линейных пространств связано со многими
проблемами линейной алгебры, и работы в этом направлении стали классическими
(см. [1] и приведенную там библиографию).
Проблему описания представлений колчанов и чум изучают и в категории
гильбертовых пространств при введении дополнительных ограничений на пред-
ставления. На языке гильбертовых представлений соответствующих алгебр описа-
ние представлений, размерностей и другие результаты см. [2 – 4]. В [5] для колча-
нов изучались локально скалярные представления (позднее в [6] этот термин был
изменен на ортоскалярные). Для представлений чум в категории гильбертовых про-
странств также можно выделить ортоскалярные представления. При этом изучение
ортоскалярных представлений примитивных чум может быть сведено к изучению
ортоскалярных представлений для соответствующих колчанов и наоборот.
В настоящей статье продолжается изучение связи неразложимых линейных
представлений чума и его гильбертовых неприводимых ортоскалярных представ-
лений (см. [1, 7 – 9]). Неприводимому ортоскалярному представлению естествен-
но соответствует линейное представление, но линейному представлению может
соответствовать множество ортоскалярных представлений с различными характе-
рами. Линейное представление π унитаризуется с характером χ, если существу-
ет ортоскалярное представление π′ с χ, которое линейно изоморфно π (см. [1]).
Известно, что из неразложимых линейных представлений чума унитаризоваться
с каким-либо характером могут только шуровские (при этом если для фиксиро-
ванного характера унитаризация существует, то она единственна с точностью до
унитарной эквивалентности) [6]. Обратное неверно: в п. 2.6 статьи приводится
пример шуровской пятерки подпространств в линейном пространстве, которая не
унитаризуется ни с каким характером.
В [8] доказано, что все шуровские представления примитивных чум конечно-
го типа унитаризуются с некоторыми характерами, и дано описание всех таких
характеров. В [7] доказано, что все шуровские представления D̃4 унитаризуются,
а в [1] получено описание характеров, с которыми унитаризация возможна. В [9]
подобное сделано для чума, которое соответствует Ẽ6.
В данной статье мы покажем, что все шуровские представления чума, которое
соответствует Ẽ7, унитаризуются с некоторыми характерами.
2. Предварительные сведения. 2.1. Наборы линейных подпространств.
Будем рассматривать конечномерные линейные пространства над C. Линейные
c© Д. Ю. ЯКИМЕНКО, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 847
848 Д. Ю. ЯКИМЕНКО
пространства вместе с набором (системой) подпространств естественным образом
образуют аддитивную категорию. Конкретно, объектами категории Sysn являются
упорядоченные наборы (V ;V1, . . . , Vn), где Vi — подпространства V. Морфизмами
из (V ;V1, . . . , Vn) в (W ;W1, . . . ,Wn) являются линейные отображения φ : V →W
такие, что φ(Vi) ⊆ Wi. Изоморфизмом называется морфизм, для которого суще-
ствует обратный. Эндоморфизмом называется морфизм из объекта в себя. Объек-
ты называются изоморфными (эквивалентными), если между ними существует
изоморфизм. Прямой суммой объектов (V ;V1, . . . , Vn) и (W ;W1, . . . ,Wn) будет
(V ⊕W ;V1⊕W1, . . . , Vn⊕Wn). Объект называется неразложимым, если он не изо-
морфен прямой сумме ненулевых объектов. Объект называется шуровским, если
он имеет только тривиальные эндоморфизмы. Шуровские объекты неразложимы,
но не все неразложимые объекты являются шуровскими.
Задача классификации неразложимых неэквивалентных объектов является важ-
ной и активно изучалась. При n 6 3 существует конечное количество таких объек-
тов, при n = 4 — бесконечное, но возможно описание (см., например, [10] и
приведенную там библиографию), при n > 5 задача является дикой.
2.2. Наборы гильбертовых подпространств. Можно рассматривать набо-
ры гильбертовых подпространств. Определим категорию SysHn как подкатегорию
Sysn. Объектами будут такие наборы (V ;V1, . . . , Vn), что в V есть скалярное произ-
ведение. Морфизмы из (V ;V1, . . . , Vn) в (W ;W1, . . . ,Wn) оставим лишь такие, что
помимо φ(Vi) ⊆ Wi выполняется φ∗(Wi) ⊆ Vi. Можно показать, что два объекта
будут изоморфными тогда и только тогда, когда существует унитарный φ такой, что
φ(Vi) = Wi. Прямой суммой объектов в этой категории будет ортогональная сумма.
Понятно, что ортогональная разложимость влечет линейную разложимость, но не
наоборот. Отметим, что в этой категории шуровость эквивалентна неразложимости
и эквивалентна неприводимости соответствующего набора ортопроекторов.
2.3. Ортоскалярность. В SysHn морфизмов меньше, поэтому классов экви-
валентности больше и задача описания „труднее”. Действительно, уже для n = 3
задача описания неразложимых неэквивалентных объектов дикая. Однако при вве-
дении дополнительных ограничений задача описания становится содержатель-
ной. Набор (V ;V1, . . . , Vn) в SysHn назовем ортоскалярным с характером χ =
= (α0;α1, . . . , αn), αi > 0, если
α1P1 + . . .+ αnPn = α0I,
где Pi — ортогональные проекторы на подпространства Vi.
Все такие наборы составляют категорию SysHχ,n — полную подкатегорию в
SysHn. В этой категории задача описания (унитарно) неэквивалентных (ортого-
нально) неразложимых объектов подобна линейному случаю. При n 6 3 количе-
ство таких объектов при любом фиксированном характере χ конечно. При n = 4
есть характеры, для которых количество таких объектов бесконечно, но при этом
существует их описание для любого из характеров. При n = 5 существуют харак-
теры, для которых задача описания является дикой.
В [7] показано, что любая шуровская четверка подпространств в линейном
пространстве линейно изоморфна некоторой ортоскалярной четверке с характером
вида χ = (λ; 1, 1, 1, 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УНИТАРИЗАЦИЯ ШУРОВСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОГО . . . 849
2.4. Унитаризация набора линейных подпространств. SysHn — это подка-
тегория Sysn и любому ортоскалярному набору естественно соответствует линей-
ный. Однако обратная связь неоднозначна. Назовем объект π = (V ;V1, . . . , Vn) из
Sysn унитаризуемым с характером χ = (α0;α1, . . . , αn), если существует объект
π′ в SysHχ,n, ортоскалярный с характером χ и такой, что π ' π′ в Sysn. Иными
словами, в V можно так выбрать скалярное произведение, что набор π станет
ортоскалярным с характером χ. Здесь возникают 2 вопроса:
1. Какие наборы можно унитаризовать с каким-то характером?
2. С какими характерами можно унитаризовать конкретный набор?
Известно, что (ортогонально) неразложимый ортоскалярный набор подпро-
странств должен быть шуровским в категории линейных пространств [6]. Поэтому
из неразложимых наборов унитаризоваться с каким-то характером могут лишь шу-
ровские.
Для n ≤ 4 ответы на эти вопросы получены в [1].
2.5. Представления чум. Пусть N — конечное чум, состоящее из |N | = n
элементов. Можно рассматривать категорию SysN линейных представлений этого
чума. А именно, SysN — полная подкатегория Sysn, объектами которой являются
такие наборы подпространств (V ;V1, . . . , Vn), что Vi ⊆ Vj , если i ≺ j.
В этой категории задача классификации неразложимых неэквивалентных объек-
тов активно изучалась (см., например, [11, 12]). Определены список чум, для ко-
торых есть лишь конечное число неразложимых неэквивалентных представлений,
а также список чум, для которых есть бесконечное число представлений, но при
этом их можно описать.
Аналогично линейному случаю можно рассматривать гильбертовы представ-
ления чум (и, в частности, ортоскалярные представления), т. е. категории SysHN
и SysHχ,N . При этом в задаче классификации ортоскалярных представлений чум
возникают результаты, сравнимые с линейным случаем. См. [8] в случае прими-
тивных чум конечного типа.
2.6. Стабильность набора линейных подпространств. Пусть π = (V ;
V1, . . . , Vn) из Sysn. Набор π будем называть полустабильным с характером χ =
= (α0;α1, . . . , αn), если
α1 dimVi + . . .+ αn dimVn = α0 dimV,
α1 dim(Vi ∩ F ) + . . .+ αn dim(Vn ∩ F ) 6 α0 dimF
для любого подпространства F ⊂ V, и стабильным, если все неравенства строгие.
Набор π ∩ F = (F ;V1 ∩ F, . . . , Vn ∩ F ) будем называть поднабором набора π,
dim(π ∩ F ) — подразмерностью набора π.
Имеет место следующий критерий унитаризации (см. [13, 14], а также поясне-
ние в [15]).
Теорема 1. Шуровский набор π = (V ;V1, . . . , Vn) из Sysn унитаризуется с χ
тогда и только тогда, когда π = (V ;V1, . . . , Vn) стабилен с χ.
Используя этот критерий, можно установить, что не любой шуровский набор
унитаризуется с каким-то характером. Рассмотрим набор из пяти подпространств
размерности (4; 2, 2, 2, 2, 2): π = (E ⊕ E; (x, 0), (0, x), (x, x), (Ax, x), (Bx, x)),
dimE = 2, A : E → E, B : E → E. Можно подобрать A и B так, что A и B
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
850 Д. Ю. ЯКИМЕНКО
имеют общий собственный вектор, набор π шуровский и для π существует подна-
бор размерности (2;1,1,1,1,1). Но тогда условие на стабильность для π не может
выполняться ни для какого характера.
2.7. Описание представлений чума, которое соответствует Ẽ7. Факты,
которые приводятся в этом подпункте, являются классическими и содержатся, на-
пример, в [10] (см. также библиографию в [10]).
Пусть π = (R;W ;E1, F1, G1;E2, F2, G2) — представление чума, которое со-
ответствует Ẽ7, т. е. R — конечномерное линейное пространство и W ⊂ R,
G1 ⊂ F1 ⊂ E1 ⊂ R, G2 ⊂ F2 ⊂ E2 ⊂ R. Если π — неразложимый набор, то
квадратичная форма Титса размерности π равна либо 0, либо 1. Если она равна 1,
то размерность π называется действительным корнем, а такие наборы π называ-
ют дискретной серией. В такой размерности существует лишь одно неразложимое
представление. Шуровские представления в этом случае могут быть получены из
простейших функторов Кокстера. В этом случае существование унитаризации с
некоторым характером следует непосредственно из результатов [16].
Если форма Титса равна 0, то размерность π называется мнимым корнем, а
такие наборы π называют непрерывной серией. В этом случае размерность π мо-
жет быть только σk = (4k; 2k; 3k, 2k, k; 3k, 2k, k), k ∈ N. При этом неразложимый
набор размерности σk будет шуровским только при k = 1. Все шуровские пред-
ставления в этом случае (см., например, [10]) можно записать следующим образом:
Λ(1;−λ) =
(
〈e1234〉; 〈e2 + e3, e4 + e2〉; 〈e124〉, 〈e4, e1 + e2〉, 〈e4〉;
〈e123〉, 〈e13〉, 〈e3 + λe1〉
)
, λ ∈ C, λ 6= 0,−1,
Λ1(1; 0) =
(
〈e1234〉; 〈e2 + e3, e4 + e2〉; 〈e124〉, 〈e4, e1〉, 〈e4〉; 〈e123〉, 〈e13〉, 〈e3 + e1〉
)
,
Λ1(1;∞) =
(
〈e1234〉; 〈e2 + e3, e4 + e2〉; 〈e124〉, 〈e4, e2〉, 〈e4〉; 〈e123〉, 〈e13〉, 〈e3 + e1〉
)
,
Λ2(1; 0) =
(
〈e1234〉; 〈e2, e4 + e3〉; 〈e124〉, 〈e4, e1 + e2〉, 〈e4〉; 〈e123〉, 〈e13〉, 〈e3 + e1〉
)
,
Λ2(1;∞) = F↔Λ1(1;∞),
Λ3(1; 0) =
(
〈e1234〉; 〈e2 + e3, e4 + e2〉; 〈e124〉, 〈e4, e1 + e2〉, 〈e4〉; 〈e123〉, 〈e13〉, 〈e3〉
)
,
Λ3(1;∞) =
(
〈e1234〉; 〈e2 + e3, e4 + e2〉; 〈e124〉, 〈e4, e1 + e2〉, 〈e4〉; 〈e123〉, 〈e13〉, 〈e1〉
)
,
Λ4(1;∞) = F↔Λ3(1;∞),
Λ1(1; 1) =
(
〈e1234〉; 〈e2 + e3, e4 + e2〉; 〈e124〉,
〈e4, e1 + e2〉, 〈e4〉; 〈e123〉, 〈e13〉, 〈e3 − e1〉
)
,
Λ2(1; 1) = F↔Λ1(1; 1).
Здесь для краткости через eijk обозначен набор векторов ei, ej , ek, через F↔ —
функтор, который представлению π = (R;W ;E1, F1, G1;E2, F2, G2) чума Ẽ7 ста-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УНИТАРИЗАЦИЯ ШУРОВСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОГО . . . 851
вит в соответствие представление F↔π = (R;W ;E2, F2, G2;E1, F1, G1). Представ-
ления обозначены в соответствии с [10]. В приведенном описании для наглядности
подчеркнуты те подпространства, которые отличаются от соответствующих под-
пространств в Λ(1;−1).
3. Унитаризация непрерывных серий шуровских представлений Ẽ7. Основ-
ным результатом данной статьи является следующая теорема.
Теорема 2. Любое шуровское представление из непрерывной серии чума, ко-
торое соответствует Ẽ7, унитаризуется с некоторым характером.
Доказательство этой теоремы опирается на утверждения 1, 2.
Утверждение 1. Пусть π = (V ;V1, . . . , Vn) — шуровский набор подпро-
странств (Vi 6= 0) линейного пространства, который унитаризуется с неко-
торым характером. Тогда для любого Vn+1 ⊂ V набор подпространств π′ =
= (V ;V1, . . . , Vn, Vn+1) также унитаризуется с некоторым характером.
Доказательство. Обозначим σi = dimVi, i = 1, n+ 1, σ0 = dimV. Пусть π =
(V ;V1, . . . , Vn) унитаризуется с характером χ = (1;α1, . . . , αn). Тогда π стабилен
с χ, а значит, α1σ1 + . . .+αnσn = σ0 и α1d1 + . . .+αndn < d0 для всех подразмер-
ностей (d0; d1, . . . dn) набора π. Возьмем βi = αi, i = 2, n, β1 = α1 − βn+1
σn+1
σ1
.
Покажем, что если βn+1 взять достаточно малым
(
по крайней мере должно быть
βn+1 < α1
σ1
σn+1
, так как β1 > 0
)
, то π′ = (V ;V1, . . . , Vn, Vn+1) будет унита-
ризоваться с характером (1;β1, . . . , βn+1). Для унитаризации с (1;β1, . . . , βn+1)
необходимо и достаточно, чтобы π′ был стабилен с этим характером, т. е. что-
бы β1σ1 + . . . + βn+1σn+1 = σ0 (выполняется в силу подбора чисел βi), а так-
же чтобы для любой подразмерности (d0; d1, . . . dn+1) набора π′ выполнялось
β1d1 + . . .+ βn+1dn+1 < d0.
Если D =
{(
dF0 ; dF1 , . . . , d
F
n
)
| F ⊂ V
}
— все подразмерности π, то возможные
подразмерности π′ — это только⋃
F⊂V
{(
dF0 ; dF1 , . . . , d
F
n , 0
)
,
(
dF0 ; dF1 , . . . , d
F
n , 1
)
, . . . ,
(
dF0 ; dF1 , . . . , d
F
n , σn+1
)}
.
В самом худшем случае эти возможные подразмерности будут всеми подразмер-
ностями π′. Т. е. для βi должны выполняться неравенства β1d1 + . . . + βndn +
+ βn+1σn+1 < d0 ∀d ∈ D. Отсюда получаем условия
(
α1 − βn+1
σn+1
σ1
)
d1 +
+ α2d2 + . . . + αndn + βn+1σn+1 < d0, которые истинны при d1 = σ1 и экви-
валентны βn+1 <
(
d0 −
∑n
i=1
αidi
)
/ (σn+1(1− d1/σ1)) при d1 < σ1. Поэтому
если βn+1 < α1
σ1
σn+1
и βn+1 <
(
d0 −
∑n
i=1
αidi
)
/(σn+1(1 − d1/σ1)) для любо-
го d ∈ D, d1 < σ1, то для π′ должна существовать унитаpизация с характером
(1;β1, . . . , βn+1).
Замечание 1. Утверждение, аналогичное утверждению 1, независимо полу-
чено в [15].
Утверждение 2. Из любого шуровского представления в непрерывной серии
чума Ẽ7 можно удалить одно подпространство так, что полученный набор под-
пространств останется шуровским.
Для доказательства используем следующую лемму.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
852 Д. Ю. ЯКИМЕНКО
Лемма 1. Пусть V — конечномерное линейное пространство, dimV = n
и A — алгебра операторов в этом пространстве. Пусть {〈v1〉, 〈v2〉, . . . , 〈vk〉}
— набор одномерных подпространств, инвариантных относительно A, такой,
что для i = 1, k набор векторов {v1, v2, . . . , vk}\ vi линейно независим, а набор
{v1, v2, . . . , vk} линейно зависим. Тогда любое подпространство W пространства
〈v1, v2, . . . , vk〉 инвариантно относительно A, причем одномерные подпростран-
ства будут иметь одно и то же собственное значение для любого фиксированного
φ ∈ A.
Доказательство леммы. Из условия следует, что в V можно выбрать базис
{e1, . . . , en} так, что {〈v1〉, 〈v2〉, . . . , 〈vk〉} = {〈e1〉, 〈e2〉, . . . , 〈ek−1〉, 〈e1 + e2 + . . .
. . . + ek−1〉}. Отсюда следует, что для любого i = 1, k − 1 ei должны иметь одно
и то же собственное значение для любого фиксированного φ ∈ A. А значит, любое
подпространство W пространства 〈e1, e2, . . . , ek−1〉 будет инвариантным, причем
одномерные будут иметь то же собственное значение, что и ei.
Доказательство утверждения 2. Воспользуемся описанием представлений,
приведенным в п. 2.7. Однако отметим, что если утверждение 2 верно для π, то
оно верно и для F↔π. Так что Λ2(1;∞),Λ4(1;∞),Λ2(1; 1) мы рассматривать не
будем.
1. Для Λ(1;−λ), λ ∈ C, λ 6= 0,−1, Λ3(1; 0), Λ3(1;∞), Λ1(1; 1) можно удалить
подпространство G2 (заметим, что в этих случаях, удаляя G2, получаем одну и ту
же систему подпространств).
Действительно, покажем, что в этих случаях алгебра эндоморфизмов A полу-
ченной системы подпространств останется тривиальной. Напомним, что если под-
пространства Z1 и Z2 инвариантны относительно алгебры операторов, то Z1 ∩ Z2
и Z1 + Z2 также будут инвариантны.
В этом случае для A, в частности, будут инвариантны следующие подпро-
странства: F1 ∩ E2 = 〈e1 + e2〉, F2 ∩ E1 = 〈e1〉, G1 = 〈e4〉, W ∩ E1 = 〈e4 + e2〉,
W ∩ E2 = 〈e3 + e2〉.
Из того, что 〈e1 + e2〉, 〈e1〉, 〈e4〉, 〈e4 + e2〉 инвариантны, по лемме 1 следует,
что любое подпространство пространства 〈e1, e2, e4〉 также инвариантно, причем
〈e1〉, 〈e2〉, 〈e4〉 будут иметь одно и то же собственное значение для любого фикси-
рованного φ ∈ A.
〈e3〉 = (〈e3 +e2〉+ 〈e2〉)∩F2, поэтому 〈e3〉 инвариантно. Из того, что 〈e2〉, 〈e3〉,
〈e3 +e2〉 инвариантны, согласно лемме 1 следует, что 〈e2〉, 〈e3〉 имеют одно и то же
собственное значение для любого фиксированного φ ∈ A. Поэтому A тривиальна.
2. Для Λ1(1; 0), Λ1(1;∞) можно удалить F1.
Для алгебры эндоморфизмов A полученной системы инвариантны следующие
подпространства: F2 ∩ E1 = 〈e1〉, G1 = 〈e4〉, G2 = 〈e1 + e3〉, W ∩ E1 = 〈e4 + e2〉,
W ∩E2 = 〈e3 + e2〉. Эти пять подпространств удовлетворяют лемме 1, поэтому A
тривиальна.
3. Для Λ2(1; 0) можно удалить E1. Для алгебры эндоморфизмов A полученной
системы инвариантны следующие подпространства: F1∩E2 = 〈e1+e2〉, G1 = 〈e4〉,
G2 = 〈e1 +e3〉, W ∩E2 = 〈e2〉, (G1 +W )∩F2 = 〈e3〉, W ∩ (〈e4〉+ 〈e3〉) = 〈e4 +e3〉.
Рассуждая, как и выше, убеждаемся, что A тривиальна.
Замечание 2. Утверждение 2 можно доказать и другим способом. Поскольку
после удаления подпространства мы получали набор подпространств, который со-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
УНИТАРИЗАЦИЯ ШУРОВСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОГО . . . 853
ответствует представлению чума E7, то вместо прямого доказательства шуровости
полученного набора можно доказать эквивалентность этого набора одному из шу-
ровских представлений E7, воспользовавшись описанием представлений E7 (см.,
например, [11]).
Доказательство теоремы 2. Поскольку любое шуровское представление чума
E7 унитаризуется с некоторым характером (см. [8]), эта теорема является прямым
следствием утверждений 1, 2.
Замечание 3. Аналогично рассмотрению Ẽ6 в [9] можно пробовать описывать
характеры, с которыми возможна унитаризация представлений в случае чума Ẽ7.
Однако в случае Ẽ7 сложность подсчета возможных характеров возрастает, и авто-
ру, на момент написания этой статьи, не известно, как процедуру подсчета возмож-
ных характеров можно алгоритмизировать.
Автор благодарит Ю. С. Самойленко за постановку задачи, ценные советы и
замечания.
1. Samoilenko Yu. S., Yakymenko D. Yu. On n-tuples of subspaces in linear and unitary spaces // Meth.
Funct. Anal. and Top. – 2009. – 15, № 1. – P. 383 – 396.
2. Albeverio S., Ostrovskyi V., Samoilenko Y. On functions on graphs and representations of a certain class
of ∗-algebras // J. Algebra. – 2007. – 308, Issue 2. – P. 567 – 582.
3. Кругляк С. А., Рабанович В. И., Самойленко Ю. С. О суммах проекторов // Функцион. анализ и
его прил. – 2002. – 36, № 3. – С. 20 – 35.
4. Ostrovskyi V. L., Samoilenko Yu. S. On spectral theorems for families of linearly connected selfadjoint
operators with prescribed spectra associated with extended Dynkin graphs // Укр. мат. журн. – 2006. –
58, № 11. – P. 1556 – 1570.
5. Кругляк С. А., Ройтер А. В. Локально скалярные представления графов в категории гильбертовых
пространств // Функцион. анализ и его прил. – 2005. – 39, № 2. – С. 13 – 30.
6. Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные представления колчанов в категории
гильбертовых пространств // Вопросы теории представлений алгебр и групп. Зап. научн. сем.
ПОМИ. – 2006. – 338. – С. 180 – 201.
7. Moskaleva Yu. P., Samoilenko Yu. S. Systems of n subspaces and representations of ∗-algebras generated
by projections // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2006. – 12, № 1. – P. 57 – 73.
8. Grushevoy R., Yusenko K. On the unitarization of linear representations of primitive partially ordered
sets // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2009. – 190. – P. 279 – 294.
9. Якименко Д. Ю. Унитаризация представлений частично упорядоченного множества, которое со-
ответствует графу Ẽ6 // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 10. – С. 1424 – 1433.
10. Donovan P., Freislich M. The representation theory of finite graphs and associated algebras // Carleton
Univ. – 1974. – P. 1 – 83.
11. Клейнер М. М. Частично упорядоченные множества конечного типа // Зап. научн. сем. ЛОМИ. –
1972. – 28. – P. 32 – 41.
12. Назарова Л. А., Ройтер А. В. Представления частично упорядоченных множеств // Там же. – 1972.
– 28. – С. 5 – 31.
13. Klyachko A. A. Stable bundles, representation theory and Hermitian operators // Selecta Math. (N. S.).
– 1998. – 4, № 3. – P. 419 – 445.
14. Hu Yi. Stable configurations of linear subspaces and quotient coherent shieves // Pure and Appl. Math.
Quart. – 2005. – 1, № 1. – P. 127 – 164.
15. Grushevoy R., Yusenko K. Unitarization of linear representations of non-primitive posets,
http://arxiv.org/pdf/0807.0155.
16. Kruglyak S. A., Popovich S. V., Samoilenko Yu. S. The spectral problem and algebras associated with
extended Dynkin graphs. I. // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2005. – 11, № 4. – P. 383 – 396.
Получено 18.01.10,
после доработки — 16.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
|