A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній

Объектом исследования в работе являются бесконечно малые ареальиые деформации (A-деформации) первого порядка, при которых сохраняются длины LGT-линий поверхности в E₃ - пространстве. Доказано, что любая регулярная поверхность класса C⁴ ненулевой полной кривизны без омбилических точек допускает нетри...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Безкоровайна, Л.Л., Вашпанова, Т.Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166175
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній / Л.Л. Безкоровайна, Т.Ю. Вашпанова // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 878–884. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166175
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1661752020-02-19T01:26:20Z A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній Безкоровайна, Л.Л. Вашпанова, Т.Ю. Статті Объектом исследования в работе являются бесконечно малые ареальиые деформации (A-деформации) первого порядка, при которых сохраняются длины LGT-линий поверхности в E₃ - пространстве. Доказано, что любая регулярная поверхность класса C⁴ ненулевой полной кривизны без омбилических точек допускает нетривиальные A-деформации со стационарными длинами LGT-лттй. We investigate infinitesimal areal deformations (A-deformations) of the first order under which the lengths of LGT-lines of a surface are preserved in the E₃ -space. We prove that any regular surface of the class C⁴ of nonzero Gaussian curvature without umbilical points admits nontrivial A-deformations with stationary lengths of LGT-lines. 2010 Article A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній / Л.Л. Безкоровайна, Т.Ю. Вашпанова // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 878–884. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166175 514.75 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Безкоровайна, Л.Л. Вашпанова, Т.Ю. A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній Український математичний журнал
description	Объектом исследования в работе являются бесконечно малые ареальиые деформации (A-деформации) первого порядка, при которых сохраняются длины LGT-линий поверхности в E₃ - пространстве. Доказано, что любая регулярная поверхность класса C⁴ ненулевой полной кривизны без омбилических точек допускает нетривиальные A-деформации со стационарными длинами LGT-лттй.
format	Article
author	Безкоровайна, Л.Л. Вашпанова, Т.Ю.
author_facet	Безкоровайна, Л.Л. Вашпанова, Т.Ю.
author_sort	Безкоровайна, Л.Л.
title	A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній
title_short	A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній
title_full	A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній
title_fullStr	A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній
title_full_unstemmed	A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній
title_sort	-деформації поверхні зі стаціонарною довжиною lgt-ліній
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166175
citation_txt	A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній / Л.Л. Безкоровайна, Т.Ю. Вашпанова // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 878–884. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT bezkorovajnall adeformacíípoverhnízístacíonarnoûdovžinoûlgtlíníj AT vašpanovatû adeformacíípoverhnízístacíonarnoûdovžinoûlgtlíníj AT bezkorovajnall deformacíípoverhnízístacíonarnoûdovžinoûlgtlíníj AT vašpanovatû deformacíípoverhnízístacíonarnoûdovžinoûlgtlíníj
first_indexed	2025-07-14T20:54:13Z
last_indexed	2025-07-14T20:54:13Z
_version_	1837657205770289152
fulltext	UDK 514.75 L. L. Bezkorovajna, T. G. Vaßpanova (Odes. nac. un-t im. I.�I. Meçnykova) A -DEFORMACI} POVERXNI ZI STACIONARNOG DOVÛYNOG LGT-LINIJ The present paper deals with the investigation of infinitesimal areal deformations (A-deformations) of the first order under which lengths of LGT-lines of a surface are preserved in the E3 -space. It is proved that any regular surface belonging to the class C 4 of nonzero Gauss curvature without umbilical points tolerates nontrivial A-deformations with stationary lengths of LGT-lines. Obæektom yssledovanyq v rabote qvlqgtsq beskoneçno mal¥e areal\n¥e deformacyy ( A-de- formacyy) pervoho porqdka, pry kotor¥x soxranqgtsq dlyn¥ L GT-lynyj poverxnosty v E3 - prostranstve. Dokazano, çto lgbaq rehulqrnaq poverxnost\ klassa C 4 nenulevoj polnoj kry- vyzn¥ bez ombylyçeskyx toçek dopuskaet netryvyal\n¥e A-deformacyy so stacyonarn¥my dly- namy LGT-lynyj. Klas neskinçenno malyx deformacij, wo zberihagt\ element plowi poverxni, [ dostatn\o ßyrokym. Taki deformaci] uzahal\nggt\ neskinçenno mali zhynannq. Osnovni rivnqnnq A -deformaci] (4), qkymy my korystu[mosq v roboti, [ uzahal\- nennqm vidomyx rivnqn\ dlq polq zhynannq [1]. A -deformaci] vyvçalysq, napry- klad, u robotax [2 – 9]. 1. Ponqttq LGT-sitky poverxni. Nexaj S — rehulqrna poverxnq klasu C 3 , homeomorfna oblasti G plowyny, zadana vektorno-parametryçnym riv- nqnnqm r = r( , )x x1 2 , de r — radius-vektor toçky poverxni, ( , )x x1 2 — vnut- rißni koordynaty ci[] toçky. Formula dlq heodezyçnoho skrutu lini] na po- verxni ma[ vyhlqd [9] τs = ραβ α β γϑ γ ϑ dx dx g dx dx , (1) de g dx dxγϑ γ ϑ — perßa, a ραβ α βdx dx — çetverta osnovni kvadratyçni formy poverxni, ρij = 1 2 c b c bi j j iα α α α+( ) , bi α = b gk ik α , b kα — koefici[nty druho] osnovno] kvadratyçno] formy, ciα — dyskryminantnyj tenzor poverxni ( c c11 22 0= = , c c g12 21= − = , g g g g= −11 22 12 2 ) . Z (1) vyplyva[, wo znaçennq heodezyçnoho skrutu zaleΩyt\ vid toçky poverxni i naprqmu dx1 : dx2 . Ekstremal\ni znaçennq heodezyçnoho skrutu v danij toçci poverxni budemo nazyvaty holovnymy heodezyçnymy skrutamy, a naprqmy na poverxni, u qkyx heo- dezyçnyj skrut dosqha[ ekstremal\nyx znaçen\, — holovnymy naprqmamy heode- zyçnoho skrutu. Holovni naprqmy heodezyçnoho skrutu poverxni moΩna vyzna- çyty z rivnqnnq [10] h dx dxαβ α β = 0, (2) de hαβ = 2( )H g bαβ αβ− , (3) H — serednq kryvyna poverxni S. Dali vsi indeksy nabuvagt\ znaçen\��1,�2. Ma[ misce taka teorema. © L. L. BEZKOROVAJNA, T. G. VAÍPANOVA, 2010 878 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7 A-DEFORMACI} POVERXNI ZI STACIONARNOG DOVÛYNOG … 879 Teorema.1 [10]. U bud\-qkij toçci rehulqrno] C 3 -poverxni, za vynqtkom ombiliçnyx toçok, isnugt\ dva riznyx dijsnyx holovnyx naprqmy heodezyçnoho skrutu. Linig na poverxni, naprqm qko] v koΩnij toçci zbiha[t\sq z holovnym naprq- mom heodezyçnoho skrutu, budemo nazyvaty lini[g heodezyçnoho skrutu ( LGT- lini[g ) . Lini] heodezyçnoho skrutu poverxni vyznaçagt\sq rivnqnnqm (2) i v su- kupnosti vyznaçagt\ sitku linij heodezyçnoho skrutu ( LGT-sitku ) . Teorema.2 [10]. Na rehulqrnij poverxni klasu C 3 bez ombiliçnyx toçok is- nu[ dijsna rehulqrna LGT-sitka, do toho Ω cq sitka [ ortohonal\nog. 2. Postanovka zadaçi. Rozhlqnemo neskinçenno malu areal\nu deformacig perßoho porqdku poverxni S z polem zmiwennq y( , )x x1 2 i parametrom defor- maci] t → 0 : r∗∗( , )x x1 2 = r y( , ) ( , )x x t x x1 2 1 2+ . Çastynni poxidni vektora zmiwennq za bazysom r1 , r2 , n rozklademo u vyhlqdi yi = c T c Ti iα αβ β α αr n+ , de T αβ , T α — deqki tenzorni polq na S (polq deformaci]). U vypadku A -de- formaci] vony [ rozv’qzkamy systemy rivnqn\ (dyv., napryklad, [9]) T b Tk k ,α α α α− = 0, b T Tαβ αβ α α+ , = 0, c Tαβ αβ = 0, (4) v qkij komog poznaçeno kovariantnu poxidnu na bazi metryçnoho tenzora gij poverxni S. Teorema.3. Neobxidnog i dostatn\og umovog toho, wob pry A- deformaci] poverxni LGT-lini] zberihaly svog dovΩynu, [ rivnist\ 2 2T c g T c gγδ αγ βδ γδ βγ αδ+ = 2µ αβ αβ( )b H g− , (5) de µ ( , )x x1 2 — deqka funkciq. Dovedennq. Pry A-deformaci] kvadrat elementa duhy ds2 kryvo] na po- verxni S ma[ pryrist perßoho porqdku vidnosno t (velyçynamy vywyx porqdkiv nextu[mo): ds ds∗ − 2 2 = t dx dx t⋅ +2 2εαβ α β , do toho Ω variacig 2εαβ koefici[ntiv perßo] kvadratyçno] formy poverxni moΩna vyrazyty çerez tenzorne pole T αβ [9]: 2εαβ = T c g c gγδ αγ βδ βγ αδ( )+ . Vidomo, wo na S isnugt\ dvi rizni dijsni sim’] linij stacionarno] dovΩyny pry A -deformaci]. Pry c\omu lini] riznyx simej zavΩdy ortohonal\ni [5, 6]. Dyferencial\ne rivnqnnq sitky linij stacionarno] dovΩyny moΩna podaty u vy- hlqdi [6] εαβ α βdx dx = 0. (6) Budemo vymahaty, wob pry A -deformaci] poverxni dyferencial\ni rivnqnnq LGT-linij (2) i linij stacionarno] dovΩyny (6) vyznaçaly odyn i toj samyj heo- metryçnyj obraz. Zvidsy otryma[mo neobxidnu i dostatng umovu toho, wob pry A -deformaci] poverxni LGT-lini] zberihaly svog dovΩynu: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7 880 L. L. BEZKOROVAJNA, T. G. VAÍPANOVA 4εαβ = – µ αβh . (7) 3. Vypadok tryvial\nyx deformacij. Rozhlqnemo vypadok εαβ = 0, todi T c g c gγδ αγ βδ βγ αδ( )+ = 0. (8) C\omu prypuwenng vidpovida[ neskinçenno male zhynannq, pry qkomu bud\-qka kryva na poverxni zberiha[ element dovΩyny. A -deformaciq, qka zadovol\nq[ (8) u danij toçci (oblasti) poverxni, nazyva[t\sq tryvial\nog v cij toçci (ob- lasti). Magt\ misce taki lemy. Lema.1. A-deformaciq poverxni, wo zberiha[ dovΩyny LGT-linij, bude try- vial\nog todi i lyße todi, koly µ = 0. Lema.2. A -deformaciq poverxni, wo zberiha[ dovΩyny LGT-linij, bude ne- tryvial\nog todi i lyße todi, koly µ ≠ 0. Vypadok hαβ = 0 vyklgça[mo z rozhlqdu, oskil\ky cq rivnist\ vykonu[t\sq vynqtkovo v ombiliçnyx toçkax. Dali budemo vvaΩaty, wo hαβ ≠ 0. Takym çynom, zadaça pro isnuvannq A -deformaci] poverxni zi stacionarnymy dovΩynamy LGT-linij analityçno zvodyt\sq do rozhlqdu systemy rivnqn\ (4), (7). Cq systema sklada[t\sq z ßesty dyferencial\nyx rivnqn\ vidnosno ßesty nevidomyx funkcij — symetryçnoho tenzora T αβ , komponent vektora T α ta funkci] µ ( , )x x1 2 . Ma[ misce taka teorema. Teorema.4. Dlq toho wob odnozv’qzna poverxnq S klasu C 3 dopuskala ne- tryvial\ni A-deformaci] zi stacionarnog dovΩynog LGT-linij, neobxidno i dostatn\o, wob systema rivnqn\ (4), (7) mala rozv’qzok za umovy µ ≠ 0. 4. Isnuvannq A-deformaci] minimal\no] poverxni zi stacionarnog dov- Ωynog LGT-linij. Nexaj S — minimal\na poverxnq ( )H = 0 . Zhidno z for- mulog (3) otryma[mo, wo LGT-sitka zbihatymet\sq z sitkog asymptotyçnyx linij, a umova (5) nabere vyhlqdu 2εαβ = µ αβb . OtΩe, dlq minimal\no] poverxni zadaça pro isnuvannq neskinçenno malyx areal\nyx deformacij zi stacionarnog dovΩynog LGT-linij zvodyt\sq do roz- v’qzuvannq zadaçi pro isnuvannq A -deformacij poverxni, wo zberihagt\ dovΩy- nu asymptotyçnyx linij, qka rozhlqdalasq v [6]. Vraxovugçy otrymani v [6] rezul\taty, otrymu[mo taku teoremu. Teorema.5. Minimal\na poverxnq dopuska[ netryvial\ni A -deformaci], wo ne zminggt\ dovΩynu LGT-linij. Tenzory deformaci] zaleΩat\ vid odni[] do- vil\no] funkci] dvox zminnyx klasu C2 ta dvox dovil\nyx funkcij odni[] zminno] klasu C2 . 5. Pro isnuvannq A-deformaci] zi stacionarnog dovΩynog LGT-linij neminimal\no] poverxni. Vidnesemo poverxng S do linij kryvyny, todi g12 = = b12 = 0, i porqd z (5) rozhlqnemo alhebra]çne rivnqnnq (4)2 vidnosno T αβ : g T g T11 11 22 22− = 0, b T b T11 11 22 22+ = – T, γ γ , T12 = µ 4 22 22g h g = – µ 4 11 11g h g . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7 A-DEFORMACI} POVERXNI ZI STACIONARNOG DOVÛYNOG … 881 Pry H ≠ 0 znajdemo rozv’qzok ci[] alhebra]çno] systemy rivnqn\ vidnosno T11 , T 22 , T12 : T11 = – T H g , γ γ 2 11 , T 22 = – T H g , γ γ 2 22 , T12 = µ 4 22 22g h g = – µ 4 11 11g h g , qkomu nadamo tenzornoho vyhlqdu T αβ = g Aαβ αβϕ µ− , (9) de funkciq ϕ ( , )x x1 2 ma[ vyhlqd ϕ = – T H , γ γ 2 , (10) a tenzor Aαβ = 1 2 Hc c bk k βα α β−( ) . Tenzor Aαβ [ symetryçnym, oskil\ky rivnist\ c Aαβ αβ = 0 dlq n\oho vykonu- [t\sq totoΩno. Oçevydno, tenzor deformaci] T αβ povynen zadovol\nqty systemu riv- nqn\�(4)1 . Znajdemo kovariantnu poxidnu vid T αβ i pidstavymo ]] v systemu riv- nqn\ (4)1 : b Tα β α = g A Aαβ α α αβ αβ αϕ µ µ,− − . Dali, pomnoΩyvßy otrymanu rivnist\ na d k β , oderΩymo ßukanyj vyraz dlq ten- zora T α : T α = d A d A dk k k k k kα β β α β β αϕ µ µ,− − , (11) de d kα = 1 K c c bki j ij α , K ≠ 0, k, α = 1, 2, — elementy matryci, oberneno] do bkα , µk = ∂ ∂ µ xk . Z (11) vyraz T α pidstavymo v (10). Otryma[mo odne linijne dyferencial\ne rivnqnnq z çastynnymy poxidnymy druhoho porqdku vidnosno funkcij µ ta ϕ : ( ),d Hk k α αϕ ϕ+ 2 = A d A d A d A dk k k k k k k kβ β α α β β α α β β α α β βµ µ µ, , , ,( ) (+ + + αα α µ), . (12) Takym çynom, dovedeno taku teoremu. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7 882 L. L. BEZKOROVAJNA, T. G. VAÍPANOVA Teorema.6. Qkwo funkci] µ ( , )x x1 2 ≠ 0 ta ϕ ( , )x x1 2 [ rozv’qzkamy dy- ferencial\noho rivnqnnq (12), to isnu[ netryvial\na A -deformaciq zi stacio- narnog dovΩynog LGT-linij poverxni klasu C 4 za umov K ≠ 0, H ≠ 0 bez ombiliçnyx toçok. Pry c\omu tenzory deformaci] T αβ , T α çerez funkci] µ ta ϕ vyraΩagt\sq u qvnomu vyhlqdi za formulamy (9), (11) vidpovidno. 6. Pro isnuvannq okremyx lokal\nyx rozv’qzkiv zadaçi. Prypustymo, wo µ ( , )x x1 2 ≠ 0 [ zazdalehid\ zadanog funkci[g toçky poverxni klasu C2 . Todi rivnqnnq (12) u zahal\nomu vyhlqdi [ neodnoridnym dyferencial\nym rivnqnnqm z çastynnymy poxidnymy druhoho porqdku vidnosno funkci] ϕ ( , )x x1 2 . Dyskry- minant c\oho rivnqnnq ∆ = 1 gK . OtΩe, vono ma[ eliptyçnyj typ pry K > 0 i hiperboliçnyj pry K < 0. Zaznaçymo, wo rivnqnnq (12) uzahal\ng[ vidome riv- nqnnq Vejnhartena [1] ( ),d Hk k α αϕ ϕ+ 2 = 0, (13) qke nazyva[t\sq xarakterystyçnym rivnqnnqm polq obertan\ pry neskinçenno malyx zhynannqx poverxni, a joho rozv’qzky nazyvagt\sq xarakterystyçnymy funkciqmy. Qkwo S C∈ 4 — poverxnq eliptyçnoho typu, to koefici[nty rivnqnnq (13) [ rehulqrnymy funkciqmy klasu C 3 i rivnqnnq (12) v dostatn\o malij oblasti G zavΩdy ma[ rozv’qzok, qkyj zaleΩyt\ vid dovil\no] funkci] ω ( , )x x C1 2 3∈ [11]. Zvidsy vyplyva[ taka teorema. Teorema.7. Bud\-qka poverxnq S C∈ 4 eliptyçnoho typu bez ombiliçnyx toçok dopuska[ netryvial\ni A -deformaci], wo zberihagt\ dovΩynu LGT-li- nij v dostatno malij oblasti G . Tenzory deformaci] zaleΩat\ vid dvox do- vil\nyx rehulqrnyx funkcij µ ( , )x x C1 2 2∈ , µ ≠ 0, ta ω ( , ) ( )x x C G1 2 3∈ . Navpaky, qkwo ϕ ( , )x x1 2 [ pevnog xarakterystyçnog funkci[g, to rivnqn- nq (12) nabyra[ vyhlqdu A d A d A d A dk k k k k k k kβ β α α β β α α β β α α β βµ µ µ, , , ,( ) (+ + + αα α µ), = 0 (14) abo, inakße, D A d A d A dk k k k k k k kα α β β α α β β α α β β αµ µ µ, , , , ,( ) ( )+ + + αα µ = 0 (15) de D kα = 1 2 A d A dk kβ β α αβ β+( ) . Otrymaly dyferencial\ne rivnqnnq z çastyn- nymy poxidnymy druhoho porqdku vidnosno funkci] µ ( , )x x1 2 . U koΩnij toçci poverxni S ( K ≠ 0 ) dyskryminant c\oho rivnqnnq ∆ = – H K E g     2 4 < 0, de E = H K2 − — ejlerova riznycq. Zvidsy vyplyva[, wo rivnqnnq (15) [ rivnqn- nqm hiperboliçnoho typu. Ma[ misce taka teorema. Teorema.8. Qkwo µ ( , )x x C1 2 2∈ [ nenul\ovym rozv’qzkom dyferencial\no- ho rivnqnnq (14), a ϕ ( , )x x1 2 — xarakterystyçnog funkci[g na S C∈ 4 , to isnu[ netryvial\na A -deformaciq zi stacionarnog dovΩynog LGT -linij po- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7 A-DEFORMACI} POVERXNI ZI STACIONARNOG DOVÛYNOG … 883 verxni klasu C 4 za umov K ≠ 0, H ≠ 0 bez ombiliçnyx toçok. Pry c\omu tenzory deformaci] vyraΩagt\sq u qvnomu vyhlqdi za formulamy (9), (11) vid- povidno. Zokrema, pry ϕ = 0 otryma[mo taki vyrazy komponent tenzoriv deformaci]: T αβ = – Aαβµ , (16) T α = – A d A dk k k kβ β α β β αµ µ,− , (17) qki vyznaçagt\ netryvial\ni neskinçenno mali areal\ni deformaci] z nezminnog dovΩynog LGT-linij. OtΩe, ma[ misce taka teorema. Teorema.9. Poverxnq S C∈ 4 nenul\ovyx povno] i seredn\o] kryvyn bez om- biliçnyx toçok dopuska[ netryvial\ni A -deformaci] zi stacionarnymy dovΩy- namy LGT-linij. Tenzory deformaci] T αβ , T α podano u vyhlqdi (16) ta (17) vidpovidno çerez odnu funkcig µ ( , )x x C1 2 2∈ , qka [ rozv’qzkom dyferencial\- noho rivnqnnq (14). 7. Pryklad. Nexaj rivnqnnq eliptyçnoho parabolo]da zadano u vyhlqdi r = u u u cos , sin ,v v 2 2         . Obçyslymo g u11 21= + , g12 0= , g u22 2= , b u 11 2 1 1 = + , b12 0= , b u u 22 2 21 = + , ρ ρ11 22 0= = , ρ12 3 22 1 = + u u( ) , h u u 11 2 21 = + , h12 0= , h u u 22 4 2 31 = − +( ) , b u 1 1 2 3 1 1 = +( ) , b u 2 2 2 1 1 = + , b b2 1 1 2 0= = , Γ Γ11 2 22 2 0= = , Γ22 1 21 = − + u u , Γ11 1 21 = + u u , Γ Γ12 1 21 1 0= = , Γ Γ12 2 21 2 1 = = u , K u = + 1 1 2 2( ) , 2 2 1 2 2 3 H u u = + +( ) . Rozhlqnemo A -deformaci], wo zberihagt\ dovΩynu LGT-linij dlq eliptyç- noho parabolo]da, za umovy ϕ = 0 . Rivnqnnq (14) dlq ci[] poverxni nabere vy- hlqdu ∂ ∂ ∂ + − + +     ∂ ∂ 2 2 2 2 4 1 2 1 µ µ u u u u uv v ( ) ( )( ) = 0. (18) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7 884 L. L. BEZKOROVAJNA, T. G. VAÍPANOVA Zvedemo ce rivnqnnq do vyhlqdu ∂ ∂ ψ u = – ψ ξ( , ) ( )u uv , (19) de ∂ ∂ µ v = ψ( , )u v , ξ( )u = 4 1 2 1 2 2 2 ( ) ( )( ) − + + u u u u . NevaΩko znajty rozv’qzok rivnqnnq (19): µ ( , )u v = e c u dx−∫ ξ( ) ( )v , de c( )v = c d1( )v v∫ — dovil\na funkciq vid odni[] zminno] v. Zahal\nyj rozv’qzok rivnqnnq (18) matyme vyhlqd µ ( , )u v = ( ) ( ) ( ) u u u c 2 4 2 2 3 1 2 + + v , a dlq tenzoriv A -deformaci], wo zberiha[ dovΩyny LGT-linij, distanemo taki vyrazy: T T11 22 0= = , T T u u u c12 21 2 2 2 3 1 4 2 = = − + + ( ) ( ) ( )v , (20) T u u u c1 2 72 2 3 1 4 2 = − + + ′ ( ) ( ) ( )v , T u u u c2 2 32 2 2 4 1 1 2 2 = − + − + ( ) ( ) ( ) ( )v . (21) Oçevydno, wo cq deformaciq ne [ tryvial\nog. OtΩe, pravyl\nog [ taka teo- rema. Teorema.10. Poverxnq eliptyçnoho parabolo]da dopuska[ netryvial\ni A- deformaci], pry qkyx zberihagt\sq dovΩyny LGT-linij. Tenzory deformaci] T αβ , T α vyraΩagt\sq u qvnomu vyhlqdi za formulamy (20) i (21). 1. Vekua Y. N. Obobwenn¥e analytyçeskye funkcyy. – M.: Nauka, 1988. – 512 s. 2. Paul Vincensini. Sur les déformations équivalents infinitésimales des surfaces // Rev. Unuv. nac. Tucumán A. – 1962. – 14, # 2. – P. 177 – 188. 3. Aleksandrov A. D. V¥pukl¥e mnohohrannyky. – M.; L., 1950. – 428 s. 4. Fomenko V. T. Nekotor¥e rezul\tat¥ teoryy beskoneçno mal¥x yzhybanyj poverxnostej // Mat. sb. – 1967. – 72 (114), # 3. – S.�388 – 411. 5. Kolobov P. H. O beskoneçno mal¥x deformacyqx poverxnosty s soxranenyem plowady // Uç. zap. Kabardyno-Balkar. un-ta. Ser. mat. – 1966. – V¥p.�30. – S.�65 – 68. 6. Bezkorovajna L. L. Pro neskinçenno mali deformaci], wo zberihagt\ dovΩynu asymptotyç- nyx linij // Mat. nauk. konf. mol. uçenyx (pryrod. nauky). – Odesa, 1970. – S.�104 – 109. 7. Bezkorovajnaq L. L. Kanonyçeskye A-deformacyy, soxranqgwye dlyn¥ lynyj kryvyzn¥ poverxnosty // Mat. sb. – 1975. – 97 (139), # 2 (6). – S.�163 – 176. 8. Dermanec N. V. O prodolΩenyy beskoneçno mal¥x areal\n¥x deformacyj pervoho porqd- ka poverxnosty poloΩytel\noj kryvyzn¥ s kraem v analytyçeskye. – Odessa, 1985. – 46�s. – Dep. v UkrNYYNTY, #�813 Uk-85. 9. Bezkorovajna L. L. Areal\ni neskinçenno mali deformaci] i vrivnovaΩeni stany pruΩno] obolonky: Navç. pos. – Odesa: Astroprynt, 1999. – 168 s. 10. Vaßpanova T. G., Bezkorovajna L. L. Heodezyçnyj skrut ta joho ekstremal\ni znaçennq // Mat. nauk. konf. mol. uçenyx i studentiv z dyferenc. rivnqn\ ta ]x zastosuvan\ (Donec\k, 6–7 hrudnq�2006 r.). – Donec\k, 2006. – S.�28 – 29. 11. Bycadze A. V. Kraev¥e zadaçy dlq πllyptyçeskyx uravnenyj vtoroho porqdka. – M.: Nauka, 1966. OderΩano 19.03.10 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7

A -деформації поверхні зі стаціонарною довжиною LGT-ліній

Репозитарії

Схожі ресурси