Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів
Наблюдается выборка со смеси двух симметричных распределений, отличающихся только смещением. Построены оценки метода оценивающих уравнений параметров средних положений и концентраций (вероятностей смешивания) обеих компонент. Получены условия асимптотической нормальности этих оценок. Найдена точная...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166179 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів / Р.Є. Майборода, О.В. Сугакова // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 945–953. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166179 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661792020-02-19T01:25:52Z Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів Майборода, Р.Є. Сугакова, О.В. Статті Наблюдается выборка со смеси двух симметричных распределений, отличающихся только смещением. Построены оценки метода оценивающих уравнений параметров средних положений и концентраций (вероятностей смешивания) обеих компонент. Получены условия асимптотической нормальности этих оценок. Найдена точная нижняя грань для коэффициентов рассеяния оценок. A sample from a mixture of two symmetric distributions is observed. The considered distributions differ only by a shift. Estimates are constructed by the method of estimating equations for parameters of mean locations and concentrations (mixing probabilities) of both components. We obtain conditions for the asymptotic normality of these estimates. The greatest lower bounds for the coefficients of dispersion of the estimates are determined. 2010 Article Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів / Р.Є. Майборода, О.В. Сугакова // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 945–953. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166179 519.22 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Майборода, Р.Є. Сугакова, О.В. Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів Український математичний журнал |
| description |
Наблюдается выборка со смеси двух симметричных распределений, отличающихся только смещением. Построены оценки метода оценивающих уравнений параметров средних положений и концентраций (вероятностей смешивания) обеих компонент. Получены условия асимптотической нормальности этих оценок. Найдена точная нижняя грань для коэффициентов рассеяния оценок. |
| format |
Article |
| author |
Майборода, Р.Є. Сугакова, О.В. |
| author_facet |
Майборода, Р.Є. Сугакова, О.В. |
| author_sort |
Майборода, Р.Є. |
| title |
Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів |
| title_short |
Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів |
| title_full |
Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів |
| title_fullStr |
Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів |
| title_full_unstemmed |
Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів |
| title_sort |
оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166179 |
| citation_txt |
Оцінка евклідових параметрів суміші двох симетричних розподілів / Р.Є. Майборода, О.В. Сугакова // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 945–953. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT majborodarê ocínkaevklídovihparametrívsumíšídvohsimetričnihrozpodílív AT sugakovaov ocínkaevklídovihparametrívsumíšídvohsimetričnihrozpodílív |
| first_indexed |
2025-07-14T20:55:15Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:55:15Z |
| _version_ |
1837657256611545088 |
| fulltext |
УДК 519.22
Р. Є. Майборода, О. В. Сугакова (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ОЦIНКА ЕВКЛIДОВИХ ПАРАМЕТРIВ СУМIШI
ДВОХ СИМЕТРИЧНИХ РОЗПОДIЛIВ*
A sample from a mixture of two symmetric distributions is observed. The considered distributions differ by a
shift only. Estimates are constructed by the method of estimating equations of parameters of mean locations
and concentrations (mixing probabilities) of both components. Conditions of asymptotic normality of these
estimates are obtained. Greatest lower bounds for coefficients of dispersion of the estimates are obtained.
Наблюдается выборка со смеси двух симметричных распределений, отличающихся только смещением.
Построены оценки метода оценивающих уравнений параметров средних положений и концентраций
(вероятностей смешивания) обеих компонент. Получены условия асимптотической нормальности этих
оценок. Найдена точная нижняя грань для коэффициентов рассеяния оценок.
1. Вступ. Задача оцiнки параметрiв моделi сумiшi двох симетричних розподiлiв,
що вiдрiзняються лише зсувом, вивчалась у роботах [1, 2]. У цих роботах доведено
iдентифiковнiсть моделi та побудовано консистентнi оцiнки параметрiв. У роботi
[3] запропоновано моментнi оцiнки для евклiдових параметрiв i доведено їх асимп-
тотичну нормальнiсть. У данiй роботi розглянуто узагальнення моментних оцiнок
з використанням методу оцiнюючих рiвнянь. (Загальну теорiю оцiнюючих рiвнянь
описано у багатьох пiдручниках, див. [4].) У п. 2 наведено загальну схему побудови
незмiщених оцiнюючих рiвнянь для евклiдових параметрiв сумiшi двох симетрич-
них розподiлiв, у п. 3 — умови асимптотичної нормальностi отриманих оцiнок та
знайдено їх матрицю розсiювання (коварiацiйну матрицю граничного нормально-
го розподiлу). Оскiльки для рiзних оцiнюючих функцiй коефiцiєнти розсiювання
оцiнок можуть бути рiзними, виникає питання про точну нижню межу для цих кое-
фiцiєнтiв. Цю межу знайдено у п. 4. Питання пiдрахунку отриманих характеристик
та числовий приклад розглянуто у п. 5. Складнi доведення вмiщено у додатку.
2. Побудова оцiнюючих рiвнянь. Нехай спостерiгається вибiрка з незалежних
однаково розподiлених (н. о. р.) випадкових величин ξ1, . . . , ξn, якi мають щiльнiсть
розподiлу
ψ(x) = pf(x− a1) + (1− p)f(x− a2), (1)
де p — ймовiрнiсть спостерiгати першу компоненту сумiшi, 0 < p < 1/2, ai ∈ R,
i = 1, 2 — медiана i-ї компоненти сумiшi, f — симетрична щiльнiсть розподiлу
вiдхилення спостереження вiд медiани (однакова для обох компонент).
Модель (1) можна записати в iншiй формi:
ξj = a2−δj + ηj , (2)
де δj — iндикатор того, що спостережуваний об’єкт належить першiй компонентi,
P{δj = 1} = p, P{δj = 0} = 1− p, ηj — н. о. р. випадковi величини з щiльнiстю f.
У цiй моделi ϑ = (p, a1, a2)T є невiдомим евклiдовим параметром моделi, а
симетрична (парна) щiльнiсть f — невiдомою непараметричною складовою. Таким
чином, задача оцiнювання ϑ є семiпараметричною.
Для того щоб побудувати оцiнюючi рiвняння (generalized estimating equations,
GEE) для ϑ, розглянемо довiльну непарну функцiю g таку, що для всiх α ∈ R
Eg(ηj + α) <∞. Тодi
*Виконано за часткової пiдтримки Swedish Institute grant SI-01424/2007.
c© Р. Є. МАЙБОРОДА, О. В. СУГАКОВА, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7 945
946 Р. Є. МАЙБОРОДА, О. В. СУГАКОВА
Eg(ξj − a1) = pEg(ηj) + (1− p)Eg(ηj − a1 + a2) =
= (1− p)
+∞∫
−∞
g(x− (a1 − a2))f(x)dx = −(1− p)
+∞∫
−∞
g(x+ (a1 − a2))f(x)dx
та, аналогiчно,
Eg(ξj − a2) = p
+∞∫
−∞
g(x+ (a1 − a2))f(x)dx.
Тому
E[pg(ξj − a1) + (1− p)g(ξj − a2)] = 0. (3)
Щоб використати цю рiвнiсть для побудови системи незмiщених оцiнюючих рiв-
нянь, виберемо три непарнi функцiї g1, g2, g3 i позначимо ĝi(α) =
1
n
∑n
j=1
gi(ξj−
− α). Тодi система рiвнянь вiдносно невiдомих π, α1, α2,
πĝi(α1) + (1− π)ĝi(α2) = 0, i = 1, 2, 3, (4)
буде незмiщеним GEE для параметра ϑ. Статистику ϑ̂n = (p̂n, â1,n, â2,n)T будемо
називати оцiнкою евклiдового параметра ϑ з оцiнюючою трiйкою (g1, g2, g3), якщо
(3) виконується майже напевно (м. н.) при пiдстановцi π = p̂n, α1 = â1,n, α2 = â2,n.
Будемо також використовувати унiфiкований векторний запис
ϑ̂n =
(
ϑ̂1,n, ϑ̂2,n, ϑ̂3,n
)T
та векторну оцiнюючу функцiю h(x, t) = (h1(x, t), h2(x, t), h3(x, t))T , t = (π, α1,
α2), hi(t) = πgi(x− α1) + (1− π)gi(x− α2). У цих позначеннях (4) еквiвалентно
n∑
j=1
h(ξj , t) = 0. (5)
Приклад 1. Поклавши у (4) gi(x) = gµi (x) = x2i−1, отримаємо GEE-оцiнки
ϑ̂µn, якi дорiвнюють моментним оцiнкам, описаним у роботi [3]. У цiй роботi дове-
дено консистентнiсть та асимптотичну нормальнiсть моментних оцiнок.
Дослiдження консистентностi GEE-оцiнок ϑ̂n у загальному випадку вимагає пе-
ревiрки умови контрасту, яка полягає в тому, що справжнє значення ϑ = (p, a1, a2)T
має бути єдиним коренем рiвняння
Eϑh(ξj , t) = 0.
Легко бачити, що для багатьох оцiнюючих трiйок ця умова не виконується. Вiд-
повiдно у рiвняння (5) у таких ситуацiях можуть виникати „зайвi” коренi, що вiд-
повiдають неконсистентним оцiнкам ϑ. Для того щоб за допомогою таких оцiню-
ючих трiйок будувати консистентнi оцiнки, потрiбен додатковий алгоритм вибору
„правильного” кореня (5). Наприклад, серед усiх можливих розв’язкiв оцiнюючого
рiвняння можна вибрати той, який є найближчим (у звичайнiй евклiдовiй нормi)
до консиситентної моментної оцiнки ϑ̂µn (або до консистентних оцiнок, описаних у
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ОЦIНКА ЕВКЛIДОВИХ ПАРАМЕТРIВ СУМIШI ДВОХ СИМЕТРИЧНИХ РОЗПОДIЛIВ 947
[1, 2]). Така схема дозволяє будувати консистентнi GEE-оцiнки для досить широ-
кого класу оцiнюючих трiйок (g1, g2, g3).
3. Асимптотична нормальнiсть GEE-оцiнок. Для дослiдження асимптотично-
го розподiлу нормованих GEE-оцiнок введемо наступнi позначення:
b1(x) = p2f ′(x) + p(1− p)f ′(x− a2 + a1),
b2(x) = p(1− p)f ′(x− a1 + a2) + (1− p)2f ′(x),
b3(x) = (1− 2p)f(x) + f(x− a2 + a1).
(Тут i далi штрих позначає диференцiювання.) Далi, для будь-яких непарних функ-
цiй g1, g2 на R позначимо
〈g1, g2〉Q =
+∞∫
−∞
[
pg1(x− a1) + (1− p)g1(x− a2)
]
×
×
[
pg2(x− a1) + (1− p)g2(x− a2)
]
ψ(x)dx.
Для будь-якої оцiнюючої трiйки g = (g1, g2, g3) задамо матрицiQ(g) := (qik)3
i,k=1 =
= (〈gi, gk〉Q)3
k,i=1 та V (g) := (vik)3
i,k=1, vik =
∫ +∞
−∞
gi(x)bk(x)dx.
Теорема 1. Нехай ϑ̂n — GEE-оцiнка параметра ϑ з оцiнюючою трiйкою
(g1, g2, g3) i виконуються наступнi умови:
1) ϑ̂n — консистентна оцiнка;
2) Egi(ξ1 − ak)2 <∞ для i = 1, 2, 3, k = 1, 2;
3) Для деяких ε > 0, δ > 0 E supα:|α−ak|<ε |gi(ξ1 − α)|1+δ <∞,
E supα:|α−ak|<ε |g
′
i(ξ1 − α)|1+δ <∞ для i = 1, 2, 3, k = 1, 2;
4) g′i при i = 1, 2, 3 та f ′ є неперервними функцiями на R;
5) gi(x+ ∆)f(x)→ 0 при x→ ±∞ для всiх ∆ ∈ R;
6) всi елементи V (g) є скiнченними i detV (g) 6= 0.
Тодi
√
n(ϑ̂n − ϑ)→ N(0,Σ), де Σ = Σ(g1, g2, g3) = V (g)−1Q(g)(V (g)−1)T .
Для доведення теореми слiд застосувати теорему 5.14 з [4] до GEE-оцiнок, зада-
них рiвнянням (5). При цьому слiд враховувати, що cov(h(ϑ)) = Q(g), ∂Eh(ϑ)/∂ϑ =
= V (g).
Приклад 2. Для моментних оцiнок, використовуючи теорему 1, можна отри-
мати, наприклад, формулу для коефiцiєнта розсiювання p̂µn — Σ33. Зокрема, якщо
f — гауссова щiльнiсть з нульовим середнiм iз дисперсiєю s2, то отримуємо
Σ33 =
270
b10
+
75
2 b6
+
(
1 +
1350
b8
+
450
b6
+
225
2 b4
)
(1− p) p,
де b = |a1 − a2|/s.
4. Точна нижня межа для коефiцiєнтiв розсiювання оцiнок. Зрозумiло, що,
вибираючи рiзнi оцiнюючi трiйки, ми отримуємо рiзнi GEE-оцiнки з рiзними, взага-
лi кажучи, коефiцiєнтами розсiювання. Знайдемо точнi нижнi межi для коефiцiєнтiв
розсiювання, якi можуть бути у таких оцiнок.
Далi обмежимось розглядом випадку, коли f — неперервно диференцiйовна
функцiя i f(x) > 0 (а отже, ψ(x) > 0) для всiх дiйсних x. Це обмеження не є
принциповим, але воно дозволяє уникнути технiчних ускладнень.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
948 Р. Є. МАЙБОРОДА, О. В. СУГАКОВА
Розглянемо клас C2
bo(R) всiх дiйснозначних двiчi неперервних непарних функ-
цiй g : R→ R з обмеженим носiєм (тобто для всiх g ∈ C2
bo(R) iснують −∞ < a <
< b < +∞ такi, що g(x) = 0 ∀x 6∈ [a, b]). Зрозумiло, що C2
bo(R) з скалярним
добутком 〈·, ·〉Q є передгiльбертовим простором (над полем дiйсних чисел). Попов-
нимо його до гiльбертового простору LQ з нормою ‖g‖Q =
√
〈g, g〉Q.
Лема 1. 1. LQ складається з усiх вимiрних непарних функцiй g : R → R
таких, що 〈g, g〉Q <∞.
2. Для довiльних f, g ∈ LQ рiвнiсть f = g еквiвалентна f(x) = g(x) для x ∈ R
майже скрiзь (м. с.) за мiрою Лебега.
3. LQ зi скалярним добутком 〈·, ·, 〉Q є сепарабельним гiльбертовим простором.
Доведення пп. 1 i 3 можна провести, використовуючи стандартну схему набли-
ження вимiрних функцiй ступiнчастими (див. [5, с. 79]). Для перевiрки п. 2 прин-
циповим моментом є встановлення того, що для непарних функцiй з 〈g, g〉Q = 0
випливає g = 0 м. с. Доведення цього факту див. у додатку (лема 2).
Нехай σ2
i (g) = Σii(g1, g2, g3) — дисперсiя граничного нормального розподiлу
(коефiцiєнт розсiювання) для GEE-оцiнки ϑ̂i,n з оцiнюючою трiйкою g = (g1, g2, g3),
σ2
i∗ = inf σ2
i (g), де iнфiмум береться по всiх оцiнюючих трiйках, для яких вiдповiд-
ний коефiцiєнт розсiювання є визначеним. Через δik позначимо символ Кронекера:
δii = 1, δik = 0 при i 6= k. Для g ∈ LQ позначимо
Bi(g) =
+∞∫
−∞
g(x)bi(x)dx.
Зрозумiло, що Bi є лiнiйним функцiоналом на LQ, можливо, необмеженим. Позна-
чимо Li = {g ∈ LQ : Bk(g) = δik, k = 1, 2, 3}. Якщо Bi є обмеженими функцiона-
лами у LQ, то Li — афiнний пiдпростiр у LQ.
Теорема 2. Нехай функцiонали Bi, i = 1, 2, 3, є обмеженими у LQ. Тодi
σ2
i∗ = ‖g∗i ‖2Q, де g∗i — ортогональна проекцiя 0 на афiнний пiдпростiр Li.
Ключовим питанням застосування теореми 2 є перевiрка обмеженостi (непе-
рервностi) функцiоналiв Bi. Щоб отримати достатнi умови цього, позначимо
I1 =
+∞∫
−∞
p2(f ′(x− a1))2
ψ(x)
dx,
I2 =
+∞∫
−∞
(1− p)2(f ′(x− a2))2
ψ(x)
dx,
I3 =
+∞∫
−∞
(f(x− a1)− f(x− a2))2
ψ(x)
dx.
Теорема 3. Якщо
∫ +∞
−∞
x4f(x)dx < ∞ i для деякого i = 1, 2, 3 Ii < ∞, то
Bi — обмежений функцiонал у LQ i ‖Bi‖Q ≤
√
Ii.
Доведення теореми 3 див. у додатку.
Доведемо теорему 2. Нехай B = (βik)3
i,k=1 — довiльна невироджена матриця.
Зазначимо, що множина розв’язкiв оцiнюючого рiвняння (4) не змiнюється при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ОЦIНКА ЕВКЛIДОВИХ ПАРАМЕТРIВ СУМIШI ДВОХ СИМЕТРИЧНИХ РОЗПОДIЛIВ 949
переходi вiд оцiнюючої трiйки g = (g1, g2, g3) до трiйки g̃ = (g̃1, g̃2, g̃3), де g̃i =
=
∑3
k=1
βikgk. При цьому V (g̃) = BV (g). Таким чином, вибравши B = V (g)−1,
можна отримати оцiнюючу трiйку g̃, еквiвалентну початковiй, для якої V (g̃) =
= E, де E = (δik)3
i,k=1 — одинична матриця. Тому, шукаючи точну нижню межу
для коефiцiєнтiв розсiювання GEE-оцiнок, можна обмежитись трiйками, для яких
виконується умова нормування
V (g) = E. (6)
Для таких трiйок Σ(g) = Q(g) i, отже, σ2
i (g) = ‖gi‖2Q. Умова нормування (6)
еквiвалентна умовi gi ∈ Li. Як вiдомо, arg ming∈Li
‖g‖2 = g∗i . Тому σ2
i∗ ≥ ‖g∗i ‖2Q.
Якщо g∗ = (g∗1 , g
∗
2 , g
∗
3) задовольняє умови теореми 1, то, вибравши g∗ як оцi-
нюючу трiйку, отримаємо σ2
i (g∗) = ‖g∗i ‖2.
Якщо умови теореми 1 не виконанi для g∗, то, враховуючи те, що LQ є по-
повненням класу C2
bo(R) у ‖ · ‖Q, для будь-якого ε > 0 можна вибрати таку трiй-
ку gε = (gε1, g
ε
2, g
ε
3), яка задовольняє умови теореми 1, умови нормування (6) i
‖gεi − g∗i ‖Q < ε. Зрозумiло, що σ2
i∗ ≤ σ2
i (gε) < ‖g∗i ‖Q + ε. Внаслiдок довiльностi
ε > 0 отримуємо σ2
i (g∗) = ‖g∗i ‖2.
Теорему доведено.
5. Обчислення нижньої межi коефiцiєнтiв розсiювання. Для того щоб об-
числити σ2
i∗, виберемо деякий ортонормований базис u1, . . . , uj , . . . в LQ. Для
будь-яких gi ∈ LQ має мiсце розклад за базисом
gi =
∞∑
j=1
γijuj ,
де γij = 〈gi, uj〉Q. Зазначимо, що якщо Bk — обмежений функцiонал у LQ, то
Bk(gi) =
∑∞
j=1
γijβ
k
j , де βkj =
∫ +∞
−∞
uj(x)bk(x)dx. (Ця формула, вочевидь, є пра-
вильною для gi = uj i переноситься на довiльнi gi за лiнiйнiстю та неперервнiстю
Bk.) Отже, Bk можна ототожнити з елементом LQ B̃k =
∑∞
j=1
βkj uj :
Bk(gi) = 〈B̃k, gi〉Q.
Таким чином, задача мiнiмiзацiї ‖gi‖2 при обмеженнi gi ∈ Li еквiвалентна задачi
∞∑
j=1
(γij)
2 → min
γi
j
,
∞∑
j=1
βkj γ
i
j = δik, k = 1, 2, 3.
Розв’язуючи цю задачу методом множникiв Лагранжа, отримуємо γij = λi1β
1
j +
+ λi2β
2
j + λi3β
3
j , де вектор λi = (λi1, λ
i
2, λ
i
3)T є розв’язком рiвняння Bλi = ei,
ei = (δi1, δi2, δi3)T , B = (〈B̃i, B̃k〉Q)3
i,k=1, 〈B̃i, B̃k〉Q =
∑∞
j=1
βijβ
k
j . Пiдставляючи
цей вираз у формулу для ‖g∗i ‖2, отримуємо σ2
i∗ = ‖g∗i ‖2Q = eTi B−1ei, тобто σ2
i∗ —
i-й дiагональний елемент матрицi, оберненої до B.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
950 Р. Є. МАЙБОРОДА, О. В. СУГАКОВА
Коефiцiєнти розсiювання оцiнок
та вiдноснi асимптотичнi ефективностi
s 2 1,5 1 0,75 0,5 0,25 0,1
σ2
1∗ 1301,76 164,00 18,73 5,52 1,33 0,25 0,04
σ2
2∗ 1890,01 113,69 5,77 1,51 0,40 0,08 0,01
σ2
3∗ 409,32 27,06 1,57 0,46 0,21 0,19 0,19
σ2
1µ 1853,48 277,69 32,29 9,28 2,16 0,30 0,04
σ2
2µ 3109,46 302,59 17,91 3,58 0,66 0,23 0,01
σ2
3µ 666,27 69,10 4,66 1,06 0,30 0,21 0,19
e1 1,62 2,55 2,97 2,31 1,42 1,13 1,00
e2 1,42 1,69 1,72 1,68 1,62 1,18 1,03
e3 1,64 2,66 3,10 2,37 1,65 2,72 1,02
У числових розрахунках послiдовнiсть базисних функцiй u1, u2, . . . , uK можна
отримати ортогоналiзацiєю у скалярному добутку 〈·, ·〉Q деякої системи z1, z2, . . . ,
. . . , zK неперервно диференцiйовних непарних функцiй. В якостi таких функцiй
ми вибрали zk(x) = sin(kπx/T ), де k = 1, 2, . . . , а T доцiльно обирати достатньо
великим, щоб
〈ui, uk〉Q ≈
+T∫
−T
[pui(x−a1)+(1−p)ui(x−a2)]×[puk(x−a1)+(1−p)uk(x−a2)]ψ(x)dx.
При цьому нескiнченнi суми
∑∞
j=1
βijβ
k
j в означеннi B наближаються частковими
сумами
∑K
j=1
βijβ
k
j . Величину K можна вибирати за правилом Рунге.
Цю технiку було використано для обчислення нижнiх меж коефiцiєнтiв розсiю-
вання GEE-оцiнок у випадку, коли f є нормальною щiльнiстю з нульовим середнiм
та дисперсiєю s2. Результати для рiзних s та a1 = 0, a2 = 2, p = 0.25 наведено
у таблицi. Тут σ2
i∗ — точнi нижнi межi для коефiцiєнтiв розсiювання GEE-оцiнок
ϑi, σ
2
iµ — коефiцiєнти розсiювання моментних оцiнок ϑi, ei = σ2
iµ/σ
2
i∗ — вiдноснi
ефективностi моментних оцiнок.
Як видно з цiєї таблицi, моментнi оцiнки є близькими до найкращих можливих
GEE-оцiнок лише коли s значно менше за |a2 − a1|. Вибираючи оцiнюючi функцiї
бiльш близькими до оптимальних, можна у деяких випадках втричi покращити
дисперсiю оцiнок.
Графiки оптимальних оцiнюючих функцiй g∗i для випадку s = 0, 5 наведено на
рисунку.
6. Висновки. Ми побудували новi GEE-оцiнки для евклiдових параметрiв мо-
делi сумiшi двох симетричних розподiлiв, довели їх асимптотичну нормальнiсть
i знайшли точнi нижнi межi для коефiцiєнтiв розсiювання. Числовий приклад
показує, що використання GEE-оцiнок з оцiнюючими функцiями, близькими до
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ОЦIНКА ЕВКЛIДОВИХ ПАРАМЕТРIВ СУМIШI ДВОХ СИМЕТРИЧНИХ РОЗПОДIЛIВ 951
!3 !2 !1 1 2 3
!10
!5
5
10
!3 !2 !1 1 2 3
!2
!1
1
2
!3 !2 !1 1 2 3
!1.0
!0.5
0.5
1.0
g∗1 g∗2 g∗3
Оптимальна оцiнююча трiйка
оптимальних, може суттєво покращити точнiсть оцiнювання. На жаль, оптимальнi
оцiнюючi функцiї є рiзними для рiзних значень оцiнюваних параметрiв та рiзних
щiльностей розподiлу f. Тому є доцiльним застосування адаптивної технiки, ана-
логiчної запропонованiй у [6], для оцiнювання за спостереженнями з домiшкою.
При використаннi такої технiки на першому кроцi за даними будується оцiнка для
оптимальної оцiнюючої трiйки, а на другому — ця оцiнена трiйка використову-
ється для побудови „адаптованих” GEE-оцiнок. Питання про ефективнiсть таких
адаптованих оцiнок має бути предметом подальших дослiджень.
Додаток.
Лема 2. Нехай g — непарна вимiрна функцiя i 〈g, g〉Q = 0. Тодi g = 0 м. с. за
мiрою Лебега на R.
Доведення. Позначимо ∆ = a2 − a1, β = −(1 − p)/p. З 〈g, g〉Q = 0 випливає,
що pg(x− a1) + (1− p)g(x− a2) = 0 м. с. по x ∈ R, тобто g(x+ ∆) = βg(x) м. с.
Тому
g(x+ k∆) = βkg(x) (7)
м. с. для всiх k ∈ Z i, отже, функцiя g(x) м. с. на R визначається своїми значеннями
на iнтервалi x ∈ [0,∆].Покажемо, що функцiя, отримана за формулою (7), дорiвнює
0 м. с., якщо вона непарна.
Припустимо протилежне. Нехай iснує непарна функцiя g, для якої виконується
(7) i g не дорiвнює 0 на деякiй множинi додатної мiри. Тодi iснують c > 0 i
Ac ⊆ [0,∆] такi, що |g(x)| > c для всiх x ∈ Ac i ε := λ(Ac) > 0. Крiм того,
оскiльки функцiя g є вимiрною, то iснують C < ∞ та AC ⊆ [0,∆] такi, що
|g(x)| < C для всiх x ∈ AC i λ(AC) > ∆− ε.
Для довiльного k ∈ Z розглянемо x ∈ k∆+AC . Згiдно з (7), |g(x)| = |β|k|g(x−
−k∆)| < C|β|k для всiх таких x. Отже, для Bk− = {x ∈ [k∆, (k + 1)∆]: |g(x)| <
< C|β|k} λ(Bk−) > ∆− ε.
Аналогiчно, для x ∈ −(k + 1)∆ + Ac |g(x)| > c|β|−(k+1) i, враховуючи не-
парнiсть g, |g(−x)| > c|β|−(k+1). Отже, для Bk+ = {x ∈ [k∆, (k + 1)∆]: |g(x)| >
> c|β|−(k+1)}, λ(Bk+) ≥ ε.
Вибравши k ∈ Z так, щоб c|β|−(k+1) > C|β|k, отримаємо Bk+ ∩ Bk− = Ø
i, врахувавши отриманi вище нерiвностi, λ(Bk+ ∪ Bk−) = λ(Bk+) + λ(Bk−) >
> ε+∆−ε = ∆. Але за побудовою i Bk+, i Bk− належать iнтервалу [k∆, (k+1)∆].
Отже, λ(Bk+ ∪Bk−) ≤ ∆. Ця суперечнiсть доводить лему.
Доведення теореми 3 проведемо для i = 1 (для i = 2, 3 доведення аналогiчне).
Спочатку покажемо, що для будь-якої функцiї g ∈ C2
bo(R) виконано
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
952 Р. Є. МАЙБОРОДА, О. В. СУГАКОВА
+∞∫
−∞
g(x)b1(x)dx ≤
√
I1〈g, g〉Q. (8)
Для цього розглянемо задачу оцiнки параметра a1 у випадку, коли p, a2 i f є
вiдомими. Це задача параметричного оцiнювання, для якої iнформацiя Фiшера,
що припадає на одне спостереження ξj , дорiвнює I1. За наслiдком з теореми
11.2 роздiлу 2 в [7], якщо ǎ1 — регулярна, асимптотично нормальна оцiнка a1,
то
√
n(ǎ1 − a1)⇒ N(0, σ2
ǎ1) i
σ2
ǎ1 > 1/I1. (9)
Ми побудуємо регулярну оцiнку ǎ1, для якої σ2
ǎ1 = ‖g‖2Q/(B1(g))2. Тодi з (9)
випливатиме (8).
Почнемо з побудови незмiщеної оцiнки для a1. Позначимо ξ̄ =
1
n
∑n
j=1
ξj ,
ã1 =
1
p
(ξ̄−(1−p)a2). Легко бачити, що Eã1 = a1, тобто ã1 — незмiщена оцiнка a1.
Покладемо тепер H(x, α) = pg(x−α)+(1−p)g(x−a2), ĥ(α) =
1
n
∑n
j=1
H(ξj ,
α), b∗1(x) = p2f ′(x) + p(1− p)f ′(x− a2 + a∗1), де a∗1 ∈ R — деяке фiксоване число,
B∗1(g) =
∫ +∞
−∞
g(x)b∗1(x)dx,
ǎ1 = ã1 −
1
B∗1(g)
ĥ(ã1).
Покажемо, що ǎ1 — регулярна асимптотично нормальна оцiнка. Для цього зазна-
чимо, що √
n(ǎ1 − a1) = Sn + εn, (10)
де
Sn =
1
B∗1(g)
1√
n
n∑
j=1
H(ξj , a1),
εn — послiдовнiсть, що збiгається до 0 за ймовiрнiстю рiвномiрно по a1 у деякому
околi [a−, a+] точки a∗1 (тобто для всiх x > 0 supa1∈[a−,a+] P{|εn| > x} → 0).
Дiйсно, оскiльки g — двiчi неперервно диференцiйовна функцiя, то ĥ(ã1) =
= ĥ(a1)+ĥ′(a1)(ã1−a1)+
1
2
ĥ′′(τ)(ã1−a1)2. Тут штрих позначає диференцiювання
по α, а τ — промiжна точка мiж a1 та ã1.
Отже,
√
n(ǎ1 − a1) =
√
n
(
ã1 − a1 −
ĥ(ã1)
B∗1(g)
)
= Sn + ε1
n + ε2
n,
де
ε1
n =
√
n(ǎ1 − a1)
(
1− ĥ′(ã1)
B∗1(g)
)
,
ε2
n = − 1
2B∗1(g)
1
n
n∑
j=1
H ′′(ξn, τ)
√
n(ã1 − a1)2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ОЦIНКА ЕВКЛIДОВИХ ПАРАМЕТРIВ СУМIШI ДВОХ СИМЕТРИЧНИХ РОЗПОДIЛIВ 953
Враховуючи, що |H ′′(ξj , τ)| < C, де C <∞ — деяка константа, отримуємо
E|ε2
n| ≤
1
4(B∗1(g))2
C
√
nE(ã1 − a1)2 ≤ C
4(B∗1(g))2
1√
n
Var
ξ
p
.
Отже, за нерiвнiстю Чебишова ε2
n збiгається до 0 за ймовiрнiстю рiвномiрно по a1.
Для ε1
n аналогiчну збiжнiсть отримуємо з нерiвностей
E
(√
n(ã1 − a1)
)2 ≤ Var
ξ1
p
та
E
(
1− ĥ′(a1)
B∗1(g)
)2
=
1
nB∗1(g)
Varh′(ξ1, a1).
Рiвнiсть (10) доведено. З неї безпосередньо одержуємо
√
n(ǎ1 − a1)⇒ N(0, σ2
ǎ1(a)),
де
σ2
ǎ1(a) =
Varh(ξ, a1)
(B∗1(g))2
,
до того ж, за теоремами 7 i 10 з [7], ця збiжнiсть є рiвномiрною на [a−, a+]. Тому
ǎ1 є регулярною асимптотично нормальною оцiнкою i при a∗1 = a1 виконується
(9), а отже, i (8).
Таким чином, (8) доведено для g ∈ C2
bo(R). Оскiльки клас таких функцiй є
щiльним у LQ, то (8) виконується для всiх g ∈ LQ.
Теорему доведено.
1. Bordes L., Mottelet S. Vandekerkhove Semiparametric estimation of a two-component mixture model //
Ann. Statist. – 2006. – 34. – P. 1204 – 1232.
2. Hunter D. R., Wang S., Hettmansperger T. R. Inference for mixtures of symmetric distributions // Ibid. –
2007. – 35. – P. 224 – 251.
3. Maiboroda R. Estimation of locations and mixing probabilities by observations from two-component
mixture of symmetric distributions // Theory Probab. and Math. Statist. – 2008. – 78 – P. 133 – 141.
4. Shao J. Mathematical statistics. – New York: Springer, 1998. – 530 p.
5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. –
М.: Мир, 1977. – 357 c.
6. Майборода Р., Сугакова О. Адаптивнi оцiнюючi рiвняння для середнього положення за спостере-
женнями з домiшкою // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2009. – Вип. 80. – С. 91 – 99.
7. Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. З. Асимптотическая теория оценивания. – М.: Наука, 1979. –
527 c.
Одержано 03.11.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
|