Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией
Розглядається початково-крайова задача Неймана для рівняння ut=div(um−1|Du|λ−1Du)−up в областях з некомпактною межею та з початковою дельта-функцією Дірака. У випадку повільної дифузії (m+λ−2>0), і критичного показника абсорбції, (p=m+λ−1+λ+1N), доведено, що особливість у (0,0) є усувною....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166180 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией / О.М. Болдовская // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 894–912. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166180 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661802020-02-19T01:25:49Z Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией Болдовская, О.М. Статті Розглядається початково-крайова задача Неймана для рівняння ut=div(um−1|Du|λ−1Du)−up в областях з некомпактною межею та з початковою дельта-функцією Дірака. У випадку повільної дифузії (m+λ−2>0), і критичного показника абсорбції, (p=m+λ−1+λ+1N), доведено, що особливість у (0,0) є усувною. We consider the Neumann initial boundary-value problem for the equation ut=div(um−1|Du|λ−1Du)−up in domains with noncompact boundary and with initial Dirac delta function. In the case of slow diffusion (m + λ − 2 > 0) and critical absorption exponent (p = m + λ − 1 + (λ + 1)/N), we prove that the singularity at the point (0, 0) is removable. 2010 Article Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией / О.М. Болдовская // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 894–912. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166180 517.946 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Болдовская, О.М. Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией Український математичний журнал |
| description |
Розглядається початково-крайова задача Неймана для рівняння
ut=div(um−1|Du|λ−1Du)−up
в областях з некомпактною межею та з початковою дельта-функцією Дірака. У випадку повільної дифузії (m+λ−2>0), і критичного показника абсорбції, (p=m+λ−1+λ+1N), доведено, що особливість у (0,0) є усувною. |
| format |
Article |
| author |
Болдовская, О.М. |
| author_facet |
Болдовская, О.М. |
| author_sort |
Болдовская, О.М. |
| title |
Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией |
| title_short |
Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией |
| title_full |
Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией |
| title_fullStr |
Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией |
| title_full_unstemmed |
Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией |
| title_sort |
устранимость изолированной особенное решений задачи неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166180 |
| citation_txt |
Устранимость изолированной особенное решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение, с абсорбцией / О.М. Болдовская // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 894–912. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT boldovskaâom ustranimostʹizolirovannojosobennoerešenijzadačinejmanadlâkvazilinejnyhparaboličeskihuravnenijdopuskaûŝihdvojnoevyroždeniesabsorbciej |
| first_indexed |
2025-07-14T20:55:33Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:55:33Z |
| _version_ |
1837657262739423232 |
| fulltext |
УДК 517.946
О. М. Болдовская (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ
РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ
ДВОЙНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ, С АБСОРБЦИЕЙ
We consider the initial boundary-value Neumann problem for the equation
ut = div(um−1|Du|λ−1Du)− up
in domains with noncompact boundary and with the initial Dirac delta function. In the case where diffusion is
slow, m+ λ− 2 > 0, and the exponent of absorption is critical, p = m+ λ− 1+
λ+ 1
N
, we prove that the
singularity at the point (0, 0) is removable.
Розглядається початково-крайова задача Неймана для рiвняння
ut = div(um−1|Du|λ−1Du)− up
в областях з некомпактною межею та з початковою дельта-функцiєю Дiрака. У випадку повiльної
дифузiї, m + λ − 2 > 0, i критичного показника абсорбцiї, p = m + λ − 1 +
λ+ 1
N
, доведено, що
особливiсть у (0, 0) є усувною.
1. Введение. Пусть Ω ∈ RN , N > 1, — неограниченная область с достаточно глад-
кой некомпактной границей ∂Ω и |Ω|N = mesN Ω = ∞, −→n — внешняя единичная
нормаль к ∂Ω. Не ограничивая общности будем считать, что начало координат при-
надлежит Ω. Мы рассматриваем следующую начально-краевую задачу Неймана в
QT = Ω× (0, T ), T > 0:
ut = div(um−1|Du|λ−1Du)− up в QT , (1.1)
um−1|Du|λ−1 ∂u
∂−→n
= 0 на ∂Ω× (0, T ), (1.2)
u(x, 0) = δ(x), x ∈ Ω, (1.3)
где λ > 0, m + λ − 2 > 0, начальная мера — δ(x)-функция Дирака. Показатель
абсорбирующего слагаемого является критическим, а именно, p = m+λ−1+
λ+ 1
N
.
Классический результат работы [1], в которой рассматривалась задача Коши
ut = 4u− |u|p−1u в Q = RN × R+, (1.4)
u(x, 0) = δ(x) в RN , (1.5)
p > 0 — фиксированный параметр, заключался в установлении критического пока-
зателя p0 = 1 +
2
N
такого, что:
1) при p < p0 существует единственное решение u ∈ C2,1(Q)∩Lp(Q), удовлет-
воряющее уравнению (1.4) в смысле распределения, а начальному условию (1.5)
так, что
lim
t→0
∫
u(x, t) ϕ(x) dx = ϕ(0) ∀ϕ(x) ∈ C0(RN ); (1.6)
c© О. М. БОЛДОВСКАЯ, 2010
894 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 895
2) для p ≥ p0 задача Коши не имеет решения u ∈ Lploc(Q), удовлетворяющего
(1.4), (1.6).
А именно, вместо (1.6)
lim
t→0
∫
u(x, t) ϕ(x) dx = 0 ∀ϕ(x) ∈ C0
(
RN \ {0}
)
,
откуда следует, что u(x, 0) = 0 и u ≡ 0, т. е. особенность в (0, 0) устранима. Други-
ми словами, если функция удовлетворяет уравнению (1.4) и начальному условию
u(x, 0) = 0, x ∈ RN \ {0}, то задача, связанная с изолированной особенностью
в начале координат, состоит в том, что нужно определить поведение u(x, t) при
(x, t)→ (0, 0). В данном случае, при p ≥ p0, в точке (0, 0) функцию u(x, t) можно
доопределить нулем, т. е. особенность в (0, 0) устранима.
Подобный результат об устранимой особенности для уравнения
ut = div
(
|∇u|λ−1∇u
)
− |u|p−1u,
где λ > 1, был получен в [2] при условии p ≥ λ +
λ+ 1
N
. Вопросы устранимости
особенностей для параболического уравнения с абсорбцией более общего вида
(с измеримыми коэффициентами) изучались в работе [3] при тех же ограничениях
на критический показатель. Этот результат удалось распространить и на уравнения
высокого порядка [4].
Основная цель данной работы — показать несуществование слабого решения
u(x, t) задачи (1.1) – (1.3) в QT при дополнительных условиях на геометрию облас-
ти, или, что эквивалентно, доказать, что решение u(x, t) исходной задачи имеет
устранимую особенность в точке (0,0). Данная работа является продолжением ра-
боты [5], где изучена задача (1.1) – (1.3) и получены результаты существования при
p < m + λ − 1 +
λ+ 1
N
и несуществования при p > m + λ − 1 +
λ+ 1
N
слабого
решения. Методы работы [5] оказались непригодными при p = m+ λ− 1 +
λ+ 1
N
,
поэтому в настоящей работе основным инструментом доказательства являются ком-
бинации локальных подходов работы [3], связанной с устранимыми особенностями
решений.
Касаясь исследования начально-краевых задач в областях с некомпактными гра-
ницами, отметим работы [6] (случай задачи Неймана), [7] (случай третьей краевой
задачи) и [8] (случай задачи Дирихле). В этих работах изучался вопрос о качест-
венном поведении решений в зависимости от геометрии области.
В дальнейшем будем предполагать, что Ω удовлетворяет условиям изоперимет-
рического типа, которые необходимы для теорем вложения [6]. Перейдем к точному
описанию класса областей, удовлетворяющих условиям изопериметрического ти-
па. Введем функцию
l(v) = inf
{
|∂G ∩ Ω|N−1 : G ⊂ Ω, |G| = v, ∂G липшицева
}
.
Пусть g(v), v ∈ (0,∞), — положительная непрерывная функция, такая, что
v(N−1)/N
g(v)
не убывает при всех v > 0. (1.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
896 О. М. БОЛДОВСКАЯ
Определение 1.1. Пусть Ω ⊂ RN , N ≥ 2, — неограниченная область с
непрерывной по Липшицу границей ∂Ω и |Ω|N = ∞. Будем говорить, что Ω при-
надлежит классу B(g) (Ω ∈ B(g)), если для всех v > 0
l(v) ≥ g(v),
где g(v) > 0 удовлетворяет условию (1.7).
Классы B(g) и близкие к ним были введены в работе [9], а также [6]. Геометри-
чески области из класса B(g) характеризуются тем, что не сужаются на бесконеч-
ности. Типичным примером областей класса Ω является область типа бесконечного
параболоида [6].
Пусть 0 ≤ h ≤ 1 — фиксированное число. Определим
Ω =
{
x ∈ RN | |x′| < xhN
}
, x′ = (x1, . . . , xN−1).
Из результатов [6] следует, что Ω ∈ B(g) с
g(v) = γmin(v(N−1)N , vη), v > 0, η =
h(N − 1)
1 + h(N − 1)
≤ N − 1
N
.
При N = 2 различные примеры областей класса B(g) рассмотрены в [9].
Под пространством C(0, T ;V ) понимаем пространство непрерывных отобра-
жений f(t) из [0, T ] в банахово пространство V с нормой
‖f‖C(0,T ;V ) = max
t∈[0,T ]
‖f(t)‖V ,
Vloc(Ω) — пространство функций, принадлежащих пространству V (Ω′) для произ-
вольной ограниченной подобласти Ω′ : Ω′ ⊂ Ω.
Определение 1.2. Будем говорить, что u(x, t) — слабое решение задачи (1.1) –
(1.3), если u(x, t) ≥ 0 и для любого τ > 0
u(x, t) ∈ C
(
0, T ;L2
loc(Ω)
)
∩ L∞loc
(
Ω× (τ, T )
)
,
|Du(m+λ−1)/λ| ∈ Lλ+1
loc (Ω× (τ, T )),
T∫
0
∫
Ω
(
−uξt + um−1|Du|λ−1DuDξ + upξ
)
dx dt = 0 ∀ξ ∈ C1
0
(
RN × (τ, T )
)
,
lim
t→0
∫
Ω
u(x, t) X(x) dx = X(0) ∀X(x) ∈ C∞0 (RN ). (1.8)
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть Ω ∈ B(g). При p = m + λ − 1 +
λ+ 1
N
слабое решение
задачи (1.1) – (1.3) не существует.
Мы же в этой работе докажем эквивалентный результат в терминах устрани-
мых особенностей решений, т. е. начальное условие перепишем в виде u(x, 0) = 0,
x ∈ Ω \ {0}, и если особенность в начале координат будет устранима, то непре-
рывное решение в (0, 0) можно доопределить нулем, а в рассматриваемом случае
устранимость особенности будем понимать в следующем смысле:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 897
lim
t→0
∫
Ω
u(x, t) X(x) dx = 0 ∀X(x) ∈ C∞0 (RN ).
Таким образом, вместо (1.8) получим последнее равенство, что и будет означать
несуществование слабого решения задачи (1.1) – (1.3).
Говорим, что неотрицательная функция u(x, t) удовлетворяет условию U, если
выполняются два условия:
u1) u(x, t) ∈ C(0, T ;L2
loc(Ω)) ∩ L∞loc
(
Ω× (0, T )
)
, |Du(m+λ−1)/λ| ∈ Lλ+1
loc
(
Ω×
× (0, T )
)
;
u2) выполняется интегральное тождество∫
Ω
u(x, T )ϕ(x, T ) dx+
+
T∫
0
∫
Ω
(
− uϕt + um−1|Du|λ−1DuDϕ+ upϕ
)
dx dt = 0 (1.9)
с ϕ(x, t) = ψ(x, t)ζ(x, t), где ψ(x, t) ∈ C
(
0, T ;L2
loc(Ω)
)
∩ Lλ+1
loc
(
0, T ;W 1,λ+1
0 (Ω)
)
,
ψt ∈ L2
loc
(
Ω× (0, T )
)
, а функция ζ(x, t) принадлежит C∞(RN × [0, T ]) и исчезает
в окрестности (0, 0).
Здесь под C∞(RN × [0, T ]) понимаем пространство бесконечно дифференци-
руемых по двум переменным (x ∈ RN и t ∈ [0, T ]) функций.
Lp(0, T ;V ) — пространство отображений f(t) из (0, T ) в банахово пространство
V, суммируемых по Лебегу со степенью p > 1, с нормой
‖f‖Lp(0,T ;V ) =
T∫
0
‖f(t)‖pV dt
1/p
,
если p =∞, то с нормой
‖f‖L∞(0,T ;V ) = sup ess
0<t<T
∥∥f(t)
∥∥
V
.
Будем говорить, что точка (0,0) устранима для неотрицательных слабых реше-
ний задачи (1.1) – (1.3), если для любой неотрицательной функции u(x, t), удов-
летворяющей условию U, следует выполнение тождества (1.9) для любой функ-
ции ϕ(x, t) = ψ(x, t), где ψ(x, t) ∈ C
(
0, T ;L2
loc
(
Ω
))
∩ Lλ+1
loc
(
0, T ;W 1,λ+1
0 (Ω)
)
,
ψt ∈ L2
loc
(
Ω× (0, T )
)
.
Теорема 1.2. Пусть Ω ∈ B(g), p = m + λ − 1 +
λ+ 1
N
. Тогда точка (0, 0)
устранима для неотрицательных слабых решений задачи (1.1) – (1.3).
Замечание 1.1. Для простоты считаем, что ut ∈ L2
loc(Ω×(0, T )), т. е. u(x, t) —
сильное решение уравнения (1.1) (u(x, t) удовлетворяет уравнению (1.1) почти всю-
ду). Тогда для получения различных интегральных оценок можно интегрировать
по частям в уравнении (1.1), умноженном на различные тестирующие функции. В
общем же случае оправдание получающихся при этом интегральных соотношений
стандартно (см., например, [10]) и основывается на использовании сглаживания с
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
898 О. М. БОЛДОВСКАЯ
помощью стекловских усреднений и выборе сглаженных функций в качестве те-
стирующих с последующим предельным переходом по параметру усреднения в
окончательном интегральном соотношении.
Как отмечалось выше, мы докажем только теорему 1.2. Доказательство прове-
дем в три шага. Сначала в п. 3 установим некоторую поточечную оценку, затем
в п. 4 оценим градиент решения и, наконец, в п. 5 в окрестности (0, 0) получим
оценку вида
u(x, t) ≤ C
(
|x|+ t1/K
)β−N
,
где C — положительная постоянная, β > 0,
K = λ+ 1 +N(m+ λ− 2). (1.10)
Последняя оценка гарантирует выполнение равенства
lim
(x,t)→(0,0)
u(x, t)
(
|x|+ t1/K
)N
= 0. (1.11)
Если выполняется (1.11), то из работы [3] следует, что в точке (0, 0) особенность
устранима.
2. Вспомогательная лемма.
В процессе доказательства нам понадобится следующий результат о вложении.
Лемма 2.1 [6]. Пусть Ω ∈ B(g), v ∈ L∞(0, T ;Lr̃(Ω)), Dv ∈ (Lp̃(Ω))N , с
p̃ > 1, r̃ ≥ 1 и sup
(0,T )
|supp v(·, t)| <∞. Тогда
T∫
0
∫
Ω
|v|p̃(1+r̃/N) dx dt ≤
≤ γ sup
0<t<T
ω(|suppv(·, t)|)p̃
∫
Ω
|v(x, t)|r̃ dx
p̃/N
T∫
0
∫
Ω
|Dv|p̃ dx dt,
где γ = γ(p̃, r̃, N), ω : [0,∞)→ [0,∞) — неубывающая функция: ω(z) = z1−1/N/g(z).
Всюду в дальнейшем через γ, γi будем обозначать различные положительные
постоянные, зависящие только от известных параметров задачи.
3. Поточечные оценки решений. Пусть R0 > 0 — фиксированное число:
R0 ≤
1
2
min
{
1,dist(0, ∂Ω), T 1/K
}
,
где K представлена равенством (1.10). Для 0 < r ≤ R0 определим
D(r) =
{
(x, t) ∈ RN × R1
+ :
(
|x|
r
)λ+1
+
t
rK
≤ 1
}
⊂ RN × R1
+,
M(r) = sup
{
u(x, t) : (x, t) ∈ D(R0)\D(r)
}
,
R1
+ =
{
t ∈ R1 : t > 0
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 899
Предполагаем, что lim
r→0
M(r) = ∞, иначе устранимость особенности следует
из [3].
Для 0 < ρ < 3−1/(λ+1)R0, σ ∈ (0, 1/2) рассмотрим функцию
ϕσρ(x, t) = ωσ
((
|x|
ρ
)λ+1
+
t
ρK
)
,
где ωσ : R1 → R1, ωσ ∈ C∞:
ωσ(s) =
1, 1 ≤ s ≤ 2,
0 вне (1− σ)λ+1 ≤ s ≤ 3− (1− σ)λ+1,
0 ≤ ωσ(s) ≤ 1,
∣∣∣∣dωσ(s)
ds
∣∣∣∣ ≤ γ
σ
.
Заметим, что при ϕσρ(x, t) 6= 0 u(x, t) ≤M(ρ− σρ).
Для 0 < R < R0 определим uR(x, t) = (u(x, t) − M(R))+, где (y)+ =
= max{y, 0}; y ∈ R1.
Лемма 3.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда при 0 < ρ < 3−1/(λ+1)R0,
0 < R < R0, σ ∈ (0, 1/2) имеет место оценка
sup
0<t<T
∫
Ω
u2
Rϕ
λ+1
σρ dx+
+
∫∫
QT
um−1
R |DuR|λ+1ϕλ+1
σρ dx dt+
∫∫
QT
up+1
R ϕλ+1
σρ dx dt ≤
≤ γ
σλ+1
(
M2(ρ− σρ)ρN +Mm+λ(ρ− σρ)ρN+K−(λ+1)
)
. (3.1)
Доказательство. Умножая уравнение (1.1) на функцию
ϕ(x, t) =
(
u(x, t)−M(R)
)
+
ϕλ+1
σρ (x, t)
и интегрируя по QT с применением формулы интегрирования по частям, получаем
sup
0<t<T
∫
Ω
u2
Rϕ
λ+1
σρ dx+
+
∫∫
QT
um−1
R |DuR|λ+1ϕλ+1
σρ dx dt+
∫∫
QT
up+1
R ϕλ+1
σρ dx dt ≤
≤ γ
∫∫
QT
u2
Rϕ
λ
σρ(ϕσρ)
′
t dx dt+
∫∫
QT
umR |DuR|λϕλσρ|Dϕσρ| dx dt
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
900 О. М. БОЛДОВСКАЯ
Применяя неравенство Юнга с показателями λ + 1,
λ+ 1
λ
ко второму интегралу
справа в последнем неравенстве, имеем
sup
0<t<T
∫
Ω
u2
Rϕ
λ+1
σρ dx+
+
∫∫
QT
um−1
R |DuR|λ+1ϕλ+1
σρ dx dt+
∫∫
QT
up+1
R ϕλ+1
σρ dx dt ≤
≤ γ
∫∫
QT
u2
Rϕ
λ
σρ(ϕσρ)
′
t dx dt+
∫∫
QT
um+λ
R |Dϕσρ|λ+1 dx dt
,
откуда, учитывая свойства функции ϕσρ, получаем утверждение леммы 3.1.
Теорема 3.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда справедлива оценка
M(ρ) ≤ γρ−N при 0 < ρ < 3−1/(λ+1)R0. (3.2)
Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию
ϕ(x, t) =
(
u(x, t)−M(R)
)ν
+
ϕsσρ(x, t), ν ≥ 1, s ≥ λ+ 1.
Интегрируя по QT и выполняя стандартные вычисления, получаем
sup
0<t<T
∫
Ω
uν+1
R ϕsσρ dx+
+
∫∫
QT
∣∣∣D (uR(m+λ−1+ν)/(λ+1)ϕs/(λ+1)
σρ
)∣∣∣λ+1
dx dt +
∫∫
QT
up+νR ϕsσρ dx dt ≤
≤ γ
(
ν + s
σ
)λ1(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)
×
×
∫∫
QT
u
(ν−1)r′0
R ϕ
(s−(λ+1))r′0
σρ dx dt
1/r′0
, (3.3)
где r0 такое, что
N +K
r0
= (λ+ 1)(1− δ), δ ∈ (0, 1),
µ =
N +K
r0
, r′0 =
r0
r0 − 1
.
Применяя теорему вложения и лемму 2.1, для v = uR
(m+λ−1+ν)/(λ+1)ϕ
s/(λ+1)
σρ ,
p̃ = λ+ 1, r̃ =
(λ+ 1)(ν + 1)
m+ λ− 1 + ν
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 901
∫∫
QT
(
uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ
)(λ+1)(1+
(λ+1)(ν+1)
(m+λ−1+ν)N
)
dx dt ≤
≤ γ sup
0<t<T
ω(∣∣∣supp{uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ }(·, t)
∣∣∣)λ+1
∫
Ω
uν+1
R ϕsσρ dx
(λ+1)/N
×
×
∫∫
QT
|D(uR
m+λ−1+ν
λ+1 ϕ
s
λ+1
σρ )|λ+1 dx dt. (3.4)
Согласно свойствам функции ϕσρ мера носителя функции
{
uR
(m+λ−1+ν)/(λ+1) ×
× ϕ
s/(λ+1)
σρ
}
не превышает единицу, значит, в силу неубывания функции ω имеем
ω
(∣∣∣supp
{
uR
(m+λ−1+ν)/(λ+1)ϕs/(λ+1)
σρ
}
(·, t)
∣∣∣) ≤ ω(1) = const .
Пусть l, l1, l2, k, k1, k2 — произвольные положительные числа такие, что
l = l1 + l2, k = k1 + k2, l1 =
(
l2 + 2−m− λ
) λ+ 1
N
, k1 = k2
λ+ 1
N
.
Положим
p1 =
N
λ+ 1
, θ =
Nr′0
N + λ+ 1
, l′ =
2(λ+ 1) +N(m+ λ)
N + λ+ 1
r′0,
k′ = (λ+ 1)r′0.
Записывая (3.4) в новых обозначениях, а также применяя (3.3), получаем∫∫
QT
uR
l ϕkσρ dx dt ≤
≤ γ
sup
0<t<T
∫
Ω
u
l1p1
R ϕk1p1σρ dx
1/p1 ∫∫
QT
∣∣∣D(uR
l2/(λ+1)ϕk2/(λ+1)
σρ )
∣∣∣λ+1
dx dt ≤
≤ γ
(
l + k
σ
)(λ+1)(1/p1+2)(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)
×
×
∫∫
QT
ulθ−l
′
R ϕkθ−k
′
σρ dx dt
1/θ
. (3.5)
(
Мы воспользовались (3.4), выбрав l =
(λ+ 1)(ν + 1)
N
+ m + λ − 1 + ν, l2 =
= m + λ − 1 + ν, k2 = s. Не составляет труда убедиться, что при этом выборе
lθ − l′ = (ν − 1)r′0, kθ − k′ = (s− (λ+ 1))r′0.
)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
902 О. М. БОЛДОВСКАЯ
Пусть p1 — произвольное число такое, что
p1 >
λ+ 1
N + λ+ 1−Nr′0
, (3.6)
p2 =
p1
p1 − 1
.
Определим l1, l, l
′, k1, k, k
′, θ следующим образом:
r′0(l1p1 − p− 1) = lθ − l′, l = l1 + l
(
1− 1
p1
)
, l′ =
l′p1 + p2θ(p+ 1)
r′0p1 + p2θ
r′0,
r′0(k1p1 − λ− 1) = kθ − k′, k = k1 + k
(
1− 1
p1
)
, k′ =
k′p1 + p2θ(λ+ 1)
r′0p1 + p2θ
r′0,
θ =
θp1p2r
′
0
r′0p1 + p2θ
.
Применяя неравенство Гельдера, а также (3.3), (3.5), получаем∫∫
QT
ulRϕ
k
σρ dx dt ≤
≤
∫∫
QT
uR
l1p1 ϕk1p1σρ dx dt
1/p1 ∫∫
QT
uR
l ϕkσρ dx dt
1/p2
≤
≤ γ
(
l + k
σ
)λ+1
p1
+λ+1
p2
(λ+1
N +2)(M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
) 1
p1
+ 1
p2
(λ+1
N +1)
×
×
∫∫
QT
ulθ−l
′
R ϕkθ−k
′
σρ dx dt
1/θ
. (3.7)
(Мы воспользовались (3.3), выбрав l1p1 = p + ν, k1p1 = s; можно проверить, что
при этом lθ − l′ = (ν − 1)r′0, kθ − k′ = (s− (λ+ 1))r′0.)
Условие (3.6) гарантирует, что θ < 1, поэтому неравенство (3.7) позволяет
нам провести итерацию для оценки максимума uR(x, t) на множестве
{
(x, t) :
ϕσρ(x, t) = 1
}
. Рассмотрим последовательности
lj =
(
p+ 1 + l′
1
1− θ
)
θ−j − l′
1− θ
, kj =
(
λ+ 1 + k′
1
1− θ
)
θ−j − k′
1− θ
и положим
I(lj , kj) =
∫∫
QT
uR
lj ϕkjσρ dx dt
θ
j
.
Из неравенства (3.7) следует оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 903
I(lj , kj) ≤
≤ γ
{
(σ−1θ−j)
λ+1
p1
+λ+1
p2
(λ+1
N +2)
(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
) 1
p1
+ 1
p2
(λ+1
N +1)
}θj
×
×I(lj−1, kj−1),
откуда, итерируя, получаем
I(lj , kj) ≤
≤ γ
{
σ
−(λ+1)
(
N+λ+1
Np2
+1
)(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)1+ λ+1
Np2
} θ
1−θ (1−θj)
×
×I(l0, k0).
Устремляя j к бесконечности и применяя оценку (3.1), имеем
Mp+1+l′ 1
1−θ (ρ) ≤ γσ−γ1
(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)(1+ λ+1
Np2
)
θ
1−θ
×
×(M2(ρ− σρ)ρN +Mm+λ(ρ− σρ)ρN+K−(λ+1))
или
Mp+1+l′ 1
1−θ (ρ) ≤
≤ γσ−γ1ρN−µ+K
(
M2(ρ− σρ)
ρK−µ
+
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)(1+
θ(λ+1)
Np2
)
1
1−θ
. (3.8)
Далее рассмотрим два случая:
а) для фиксированного ρ существует такое σ ∈ (0, 1/2), что
M2(ρ− σρ) ≥ ρK−(λ+1)Mm+λ(ρ− σρ), (3.9)
т. е. M(ρ− σρ) ≤ ρ−N ;
б) для фиксированного ρ неравенство (3.9) не выполняется для каждого σ ∈
∈ (0, 1/2).
В первом случае сразу получаем
M(ρ) ≤M(ρ− σ′ρ) ≤ ρ−N
для некоторого σ′ ∈ (0, 1/2). Это и есть утверждение теоремы — оценка (3.2).
Во втором случае из (3.8) находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
904 О. М. БОЛДОВСКАЯ
Mp+1+l′ 1
1−θ (ρ) ≤ γσ−γ1ρN−µ+K
(
Mm+λ(ρ− σρ)
ρλ+1−µ
)(1+
θ(λ+1)
Np2
)
1
1−θ
(3.10)
для каждого σ ∈ (0, 1/2).
Обозначим
r1 = p+ 1 + l′
1
1− θ
= p+ 1 +
l′p1 + p2θ(p+ 1)
(r′0p1 + p2θ)(1− θ)
r′0,
r2 = (m+ λ)
(
1 +
θ(λ+ 1)
Np2
)
1
1− θ
,
r3 = N − µ+K − λ+ 1− µ
1− θ
(
1 +
θ(λ+ 1)
Np2
)
.
Подстановкой K, µ, проводя непосредственные вычисления, получаем равенство
(p−m− λ+ 1)r3 + (λ+ 1)(r1 − r2) = 0. (3.11)
И это равенство справедливо для каждого p1. Убедимся, что r1 > r2. Имеем
r1 − r2 = p+ 1 +
(m+ λ)(λ+ 1)
p2N
+
R(p1, p2)
1− θ
,
где
R(p1, p2) =
l′p1 + p2θ(p+ 1)
r′0p1 + p2θ
r′0 − (m+ λ)− (m+ λ)(λ+ 1)
p2N
.
Т. е. нужно доказать положительность R(p1, p2) для некоторого p1, удовлетворяю-
щего (3.6).
Возьмем p1 = p∗1 =
λ+ 1
N + λ+ 1−Nr′0
, p2 = p∗2 =
λ+ 1
Nr′0 −N
. Учитывая условия
на p и r0, вычисляем R(p∗1, p
∗
2):
R(p∗1, p
∗
2) = (m+ λ− 1)(1− r′0) +
λ+ 1
N
=
=
(λ+ 1)δ(N(m+ λ− 1) + λ+ 1)
N(N(m+ λ− 1) + δ(λ+ 1)
> 0.
Следовательно, в достаточно малой окрестности p∗1 найдется p1, зависящее только
от известных параметров и удовлетворяющее (3.6), такое, что r1 − r2 > 0.
С учетом обозначений r1, r2, r3 оценку (3.10) представим в виде
Mr1(ρ) ≤ γσ−γ1ρr3Mr2(ρ− σρ). (3.12)
Рассмотрим последовательность {σj = 2−(j−1), j = 1, 2, . . .}. Пусть Mj = M(ρ−
− (σ1 + . . .+ σj)ρ. Тогда из неравенства (3.12) следует оценка
Mj ≤ γ(2jγ1ρr3Mr2
j+1)1/r1 для j = 1, 2, . . . . (3.13)
Повторно применяя (3.13), учитывая (3.11), неравенство r1 > r2 > 0 и ограничен-
ность последовательности Mj , приходим к оценке
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 905
M(ρ) ≤ γρr3/(r1−r2) = γρ−N ,
что и завершает доказательство теоремы 3.1.
4. Интегральные оценки решений. В силу теоремы 3.1 и очевидного нера-
венства (
2|x|
|x|+ t1/K
)λ+1
+
2Kt
(|x|+ t1/K)K
≥ 1
для 0 < |x|+ t1/K < 3−1/(λ+1)R0 получаем оценку
u(x, t) ≤ γ
(
|x|+ t1/K
)−N
. (4.1)
Положим
D̃(r) = {(x, t) ∈ RN+1 : |x|K + t ≤ rK},
M̃(r) = sup
{
u(x, t) : (x, t) ∈ D̃(R̃0)\D̃(r)
}
+ r−1/2,
E(r) =
{
(x, t) ∈ QT \(0, 0) : u(x, t) > M̃(r)
}
,
ũr(x, t) =
(
u(x, t)− M̃(r)
)
+
, (x, t) ∈ QT \(0, 0).
Здесь
0 < r < R̃0, R̃0 = max{r : D̃(r) ⊂ D(R0)},
u(x, t) — решение уравнения (1.1) с особенностью в (0, 0).
Для r ∈ (0, R̃0) рассмотрим функцию
ψr(x, t) = ηr
(
|x|K + t
)
,
где ηr : R1 → R1:
ηr(s) =
1, s ≥ RK(r),
0, s ≤ rK ,
ηr(s) = −
(
(1− θ) ln ln
1
rK
)−1
s∫
rK
1
z ln z
dz, rK ≤ s ≤ RK(r).
Здесь θ ∈ (0, 1), R(r) определены равенством
ln
1
RK(r)
=
(
ln
1
rK
)θ
.
Обозначим
p = Np = N(m+ λ− 1) + λ+ 1.
Для r ∈ (0, R̃0) положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
906 О. М. БОЛДОВСКАЯ
F1(r) =
(
ln
1
r
)1−N(m+λ−1)/(λ+1)
, λ+ 1 > N(m+ λ− 1),
ln ln
1
r
, λ+ 1 = N(m+ λ− 1),(
ln
1
R(r)
)1−N(m+λ−1)/(λ+1)
, λ+ 1 < N(m+ λ− 1),
F2(r) =
ln2−p′ 1
r
, p′ < 2, p′ =
p
p− 1
,
ln ln
1
r
, p′ = 2,
ln2−p′ 1
R(r)
, p′ > 2.
Лемма 4.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда при 0 < R(r) < ρ < R̃0 справед-
лива следующая оценка:∫∫
E(ρ)
um−2 |Du|λ+1ψpr dx dt+
∫∫
E(ρ)
up ln
u
M̃(ρ)
ψpr dx dt ≤
≤ γ
([
ln ln
1
rK
]−p
F1(r) +
[
ln ln
1
rK
]−p′
F2(r)
)
. (4.2)
Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию ϕ(x, t) =
=
[
ln
u
M̃(ρ)
]
+
ψpr (x, t) и проинтегрируем по QT . Выполняя стандартные преоб-
разования и применяя неравенство Юнга, получаем∫∫
E(ρ)
um−2|Du|λ+1ψpr dx dt+
∫∫
E(ρ)
up ln
u
M̃(ρ)
ψpr dx dt ≤ γ(I1 + I2), (4.3)
где
I1 =
∫∫
E(ρ)
u∫
M̃(ρ)
ln
z
M̃(ρ)
dz ψp−1
r (ψr)
′
t dx dt,
I2 =
∫∫
E(ρ)
um+λ−1 ψp−(λ+1)
r lnλ+1 u
M̃(ρ)
|Dψr|λ+1 dx dt.
Применяя неравенство Юнга, определение функции ψr, а также (4.1), находим
оценку интеграла I1:
I1 −
1
4
∫∫
E(ρ)
up ln
u
M̃(ρ)
ψpr dx dt ≤ γ
∫∫
E(ρ)
ln
u
M̃(ρ)
ψp−p
′
r |(ψr)′t|p
′
dx dt ≤
≤ γ
(
ln ln
1
rK
)1−p′ ∫∫
D̃(R(r))\D̃(r)
ln1−p′ 1
|x|K + t
(|x|K + t)−p
′
dx dt ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 907
≤ γ
(
ln ln
1
rK
)−p′
F2(r). (4.4)
Аналогично оценим I2:
I2 −
1
4
∫∫
E(ρ)
up ln
u
M̃(ρ)
ψpr dx dt ≤ γ
∫∫
E(ρ)
(
ln
u
M̃(ρ)
)1+ λ
λ+1p
|Dψr|p dx dt ≤
≤ γ
(
ln ln
1
rK
)−p
F1(r). (4.5)
Объединяя (4.3) – (4.5), получаем оценку (4.2).
Лемма 4.1 доказана.
Для 0 < r < R̃0 положим
F3(r) = ln1−p′ 1
R(r)
, F4(r) = ln1−(λ+1) 1
R(r)
.
Далее определим функцию u(ρ)(x, t) и множество E(ρ, 4ρ):
u(ρ)(x, t) = min
{[
u(x, t)− M̃(4ρ)
]
+
, M̃(ρ)− M̃(4ρ)
}
, (x, t) ∈ QT \(0, 0),
E(ρ, 4ρ) =
{
(x, t) ∈ QT : M̃(4ρ) < u(x, t) < M̃(ρ)
}
.
Лемма 4.2. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда при 0 < R(r) < ρ < R̃0∫∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∣D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )
∣∣∣∣λ+1
dx dt −→
r→0
0. (4.6)
Доказательство. Умножим уравнение (1.1) на функцию ϕ(x, t) = u(ρ)(x, t)×
× ψpr (x, t) и проинтегрируем по QT . Аналогично лемме 4.1 получим∫∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∣D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )
∣∣∣∣λ+1
dx dt+
∫∫
E(4ρ)
upu(ρ)ψpr dx dt ≤ γ(I3 + I4 + I5), (4.7)
где
I3 =
∫∫
E(4ρ)
u(ρ)uψp−1
r (ψr)
′
t dx dt,
I4 =
∫∫
E(4ρ)
um−1 |Du|λ u(ρ) ψp−1
r |Dψr| dx dt,
I5 =
∫∫
E(4ρ)
um+λ ψp−(λ+1)
r |Dψr|λ+1 dx dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
908 О. М. БОЛДОВСКАЯ
Оценим I3, применив неравенство Юнга, а также определение функции ψr:
I3 −
1
4
∫∫
E(4ρ)
up u(ρ) ψpr dx dt ≤ γ
∫∫
E(4ρ)
u(ρ)ψp−p
′
r |(ψr)′t|p
′
dx dt ≤
≤ γM̃(ρ)
(
ln ln
1
rK
)−p′ ∫∫
D̃(R(r))\D̃(r)
ln−p
′ 1
|x|K + t
(|x|K + t)−p
′
dx dt ≤
≤ γM̃(ρ)F3(r).
Исходя из свойств функции ψr и применяя неравенство (4.1), оцениваем I5:
I5 ≤ M̃(ρ)
∫∫
E(4ρ)
um+λ−1 ψp−(λ+1)
r |Dψr|λ+1 dx dt ≤ γM̃(ρ)F4(r). (4.8)
Наконец, применяя неравенство Гельдера, неравенства (4.2) и (4.8), оцениваем I4:
I4 ≤ M̃(ρ)
∫∫
E(4ρ)
um−1|Du|λψp−1
r |Dψr| dx dt ≤
≤ M̃(ρ)
∫∫
E(4ρ)
um−2 |Du|λ+1 ψpr dx dt
λ/(λ+1)
×
×
∫∫
E(4ρ)
um+λ−1 ψp−(λ+1)
r |Dψr|λ+1 dx dt
1/(λ+1)
≤
≤ γM̃(ρ)
([
ln ln
1
rK
]−p
F1(r) +
[
ln ln
1
rK
]−p′
F2(r)
)λ/(λ+1)(
F4(r)
)1/(λ+1)
.
Объединяя (4.7) и полученные оценки интегралов I3 – I5, получаем∫∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∣D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )
∣∣∣∣λ+1
dx dt ≤
≤ γM̃(ρ)
{
F3(r) + F4(r)+
+
([
ln ln
1
rK
]−p
F1(r) +
[
ln ln
1
rK
]−p′
F2(r)
) λ
λ+1
(
F4(r)
) 1
λ+1
}
. (4.9)
Перейдем в (4.9) к пределу при r → 0. Из определения функций F3, F4 следует
lim
r→0
F3(r) = lim
r→0
F4(r) = 0.
Для функций F1, F2 рассмотрим 6 случаев:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 909
1) при λ+ 1 < N(m+ λ− 1) по определению lim
r→0
F1(r) = 0;
2) при p′ > 2 по определению lim
r→0
F2(r) = 0;
3) при λ+ 1 = N(m+ λ− 1) произведение lim
r→0
[
ln ln 1
rK
]−p
F1(r) = 0;
4) при p′ = 2 произведение limr→0
[
ln ln 1
rK
]−p′
F2(r) = 0;
5) при λ+ 1 > N(m+ λ− 1) рассмотрим
F1
λ(r)F4(r) ≤ γ
{
ln
1
r
}λ(1−N(m+λ−1)
λ+1 )−θλ
;
6) при p′ < 2 рассмотрим
F2
λ(r)F4(r) ≤ γ
{
ln
1
r
}λ(2−p′)−θλ
.
Правые части последних двух неравенств будут стремиться к нулю при r → 0,
если мы выберем
θ > max
{
1− N(m+ λ− 1)
λ+ 1
, 2− p′
}
.
Переходя в (4.9) к пределу при r → 0, получаем утверждение леммы 4.2.
5. Доказательство теоремы 1.2. Рассмотрим C∞-функцию ξρ : R1 → R1:
ξρ(s) =
1, s ≥ ρK ,
0, s ≤
(ρ
2
)K
,
0 ≤ ξρ(s) ≤ 1,
∣∣∣∣dξρ(s)ds
∣∣∣∣ ≤ (4
ρ
)K
.
Лемма 5.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда для 0 < ρ < R̃0 имеет место
оценка
M̃(ρ)− M̃(2ρ) ≤
≤ γ
(
M̃2
(
ρ
2
)
ρµ−K + M̃m+λ
(
ρ
2
)
ρµ−(λ+1)
)(1+λ+1
N ) θ
1−θ
1
β1+l′/(1−θ)
×
×
∫∫
QT
ũβ1
2ρ ξ
β2
ρ dx dt
1
β1+l′/(1−θ)
+ ρ−1/2, (5.1)
где
θ =
Nr′0
N + λ+ 1
, l′ =
2(λ+ 1) +N(m+ λ)
N + λ+ 1
r′0,
r0 такое, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
910 О. М. БОЛДОВСКАЯ
N +K
r0
= (λ+ 1)(1− δ), δ ∈ (0, 1),
µ =
N +K
r0
, r′0 =
r0
r0 − 1
,
β1 = (m+ λ)
(
1 +
λ+ 1
N
)
, β2 = (N(m+ λ− 1) + λ+ 1)
(
1 +
λ+ 1
N
)
.
Доказательство. Умножая уравнение (1.1) на функцию
ϕ(x, t) =
(
u(x, t)− M̃(2ρ)
)ν
+
ξsρ(|x|K + t), ν ≥ 1, s ≥ λ+ 1,
интегрируя по QT и выполняя стандартные вычисления, получаем
sup
0<t<T
∫
Ω
ũν+1
2ρ ξsρ dx+
∫∫
QT
∣∣∣∣D(ũ
m+λ−1+ν
λ+1
2ρ ξ
s
λ+1
ρ )
∣∣∣∣λ+1
dx dt ≤
≤ γ(ν + s)λ+1
(
M̃2
(
ρ
2
)
ρµ−K + M̃m+λ
(
ρ
2
)
ρµ−(λ+1)
)
×
×
(∫∫
QT
ũ
(ν−1)r′0
2ρ ξ
(s−(λ+1))r′0
ρ dx dt
)1/r′0
.
Аналогично доказательству неравенства (3.5) устанавливаем оценку∫∫
QT
ũl2ρ ξ
k
ρ dx dt ≤ γ(ν + s)(λ+1)((λ+1)/N+2)×
×
(
M̃2
(
ρ
2
)
ρµ−K + M̃m+λ
(
ρ
2
)
ρµ−(λ+1)
)1+(λ+1)/N
×
×
∫∫
QT
ũlθ−l
′
2ρ ξkθ−k
′
ρ dx dt
1/θ
, (5.2)
где k′ = (λ+ 1)r′0, а l, k — произвольные положительные числа, такие, что
lθ − l′ ≥ β1, kθ − k′ ≥ β2.
В силу неравенства (5.2) с помощью метода Мозера можно получить оценку мак-
симума функции ũ2ρ(x, t) на множестве {ξρ(x, t) = 1}. Оценка (5.1) доказывается
аналогично (3.8).
Лемма 5.1 доказана.
Лемма 5.2. Пусть выполняются условия теоремы 1.2, неотрицательная
функция u(x, t) удовлетворяет условию U. Тогда при 0 < ρ < R̃0, β > 0 име-
ет место оценка
M̃(ρ)− M̃(2ρ) ≤ γρβ−N . (5.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА . . . 911
Доказательство. Оценим правую часть неравенства (5.1). По определению
M̃(ρ)
u(x, t) ≤ M̃
(
ρ
2
)
для ξρ(x, t) 6= 0.
Применяя лемму 2.1 для v = (u(ρ/2))(m+λ)/(λ+1)ψ
p/(λ+1)
r , p̃ = r̃ = λ + 1, а также
лемму 4.2, получаем∫∫
QT
ũβ1
2ρξ
β2
ρ dx dt ≤
∫∫
QT
(u(ρ/2))β1ψβ2
r dx dt ≤
≤ γ sup
0<t<T
∫
Ω
(u(ρ/2))m+λ dx
(λ+1)/N
×
×
∫∫
E(ρ/2,2ρ)
∣∣∣∣D(u
m+λ
λ+1 ψ
p
λ+1
r )
∣∣∣∣λ+1
dx dt −→
r→0
0. (5.4)
Из (5.1) и (5.4) имеем
M̃(ρ)− M̃(2ρ) ≤ γρ−1/2,
откуда и следует утверждение леммы 5.2.
Доказательство теоремы 1.2. Рассмотрим последовательности {ρj},
{
M̃j
}
:
ρj =
R̃0
2j
, M̃j = M̃(ρj), j = 1, 2, . . . .
Из оценки (5.3) получаем
M̃j − M̃j−1 ≤ γ2j(N−β), j = 1, 2, . . . . (5.5)
Суммируя (5.5) по j от 2 до J, находим
M̃J − M̃1 ≤ γ2J(N−β),
откуда следует неравенство
M̃(ρ) ≤ γ
(
ρβ−N + M̃1
)
.
Последнее неравенство гарантирует выполнение поточечной оценки
u(x, t) ≤ γ
[(
|x|+ t1/K
)β−N
+ M̃1
]
.
Далее выполнение неравенства (1.11) очевидно и из [3] следует, что в точке (0, 0)
особенность устранима.
Теорема 1.2 доказана.
Автор выражает благодарность А. Ф. Тедееву и И. И. Скрыпнику за полезные
замечания.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
912 О. М. БОЛДОВСКАЯ
1. Bresis H., Friedman A. Nonlinear parabolic equations involving measures as initial conditions // J. math.
pures et appl. – 1983. – 62. – P. 73 – 97.
2. Gmira A. On quasilinear parabolic equations involving measure data // Asymptotic Anal. – 1990. – 3. –
P. 43 – 56.
3. Skrypnik I. I. Removability of isolated singularities of solutions of quasilinear parabolic equations with
absorption // Sb. Math. – 2005. – 196. – P. 1693 – 1713.
4. Galaktionov V. A., Shishkov A. E. Higher-order quasilinear parabolic equations with singular initial data
// Commun. Cont. Math. – 2006. – 8(3). – P. 331 – 354.
5. Болдовская О. М. Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вы-
рождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей.
Случай медленной диффузии // Тр. Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2008. –
16. – С. 33 – 54.
6. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with
noncompact boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543 – 567.
7. Ушаков В. И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения
второго порядка в нецилиндрической области // Мат. сб. – 1980. – 111 (153). – С. 95 – 115.
8. Мукминов Ф. Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения
второго порядка // Там же. – С. 503 – 521.
9. Гущин А. К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка
// Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1973. – 126. – C. 5 – 45.
10. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
Получено 16.09.08,
после доработки — 19.04.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
|