Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп
Досліджено Z G-модуль A у випадку, коли група G є локально розв'язною i задовольняє умову min-naz, а її коцентралiзатор в A не є артиновим Z-модулем. Доведено, що при виконанні вказаних умов група G є розв'язною. Будову групи G вивчено 6ільш детально у випадку, коли вона не є черніковською...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166206 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп / О.Ю. Дашкова // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 1. — С. 44-51. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166206 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662062020-02-20T01:25:47Z Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп Дашкова, О.Ю. Статті Досліджено Z G-модуль A у випадку, коли група G є локально розв'язною i задовольняє умову min-naz, а її коцентралiзатор в A не є артиновим Z-модулем. Доведено, що при виконанні вказаних умов група G є розв'язною. Будову групи G вивчено 6ільш детально у випадку, коли вона не є черніковською. We study a ZG-module A in the case where the group G is locally solvable and satisfies the condition min–naz and its cocentralizer in A is not an Artinian Z-module. We prove that the group G is solvable under the conditions indicated above. The structure of the group G is studied in detail in the case where this group is not a Chernikov group. 2009 Article Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп / О.Ю. Дашкова // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 1. — С. 44-51. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166206 512.544 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Дашкова, О.Ю. Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп Український математичний журнал |
| description |
Досліджено Z G-модуль A у випадку, коли група G є локально розв'язною i задовольняє умову min-naz, а її коцентралiзатор в A не є артиновим Z-модулем. Доведено, що при виконанні вказаних умов група G є розв'язною. Будову групи G вивчено 6ільш детально у випадку, коли вона не є черніковською. |
| format |
Article |
| author |
Дашкова, О.Ю. |
| author_facet |
Дашкова, О.Ю. |
| author_sort |
Дашкова, О.Ю. |
| title |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп |
| title_short |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп |
| title_full |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп |
| title_fullStr |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп |
| title_full_unstemmed |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп |
| title_sort |
об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166206 |
| citation_txt |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп / О.Ю. Дашкова // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 1. — С. 44-51. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT daškovaoû obodnomklassemodulejnadceločislennymigruppovymikolʹcamilokalʹnorazrešimyhgrupp |
| first_indexed |
2025-07-14T19:09:19Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:09:19Z |
| _version_ |
1837650590412308480 |
| fulltext |
УДК 512.544
О. Ю. Дашкова (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко)
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МОДУЛЕЙ
НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ
ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП
We study the ZG-module A in the case where a group G is locally soluble and satisfies the condition min – naz,
and its cocentralizer in A is not an artinian Z-module. We prove that under above-mentioned conditions, the
group G is soluble. The structure of the group G is studied in more details in the case where this group is not
the Chernikov group.
Дослiджено ZG-модуль A у випадку, коли група G є локально розв’язною i задовольняє умову min – naz,
а її коцентралiзатор в A не є артиновим Z-модулем. Доведено, що при виконаннi вказаних умов група
G є розв’язною. Будову групи G вивчено бiльш детально у випадку, коли вона не є чернiковською.
1. Введение. Пусть F — поле, A — векторное пространство над полем F, GL(F,A)
— группа всех F -автоморфизмов векторного пространства A. Группа GL(F,A) и
все ее подгруппы называются линейными группами. В случае, когда векторное
пространство A имеет бесконечную размерность над полем F, группа GL(F,A)
исследовалась совсем мало.
Если H — подгруппа группы GL(F,A), то H реально действует на фактор-
пространствеA/CA(H) естественным образом. Если размерность dimF (A/CA(H))
конечна (бесконечна), говорят, что H имеет конечную (бесконечную) центральную
размерность. Это определение впервые было введено в [1]. В [2] изучались ли-
нейные группы бесконечной центральной размерности и бесконечного ранга, у
которых любая собственная подгруппа бесконечного ранга имеет конечную цен-
тральную размерность. В [1] изучались подгруппы G группы GL(F,A), которые
обладают тем свойством, что семейство всех подгрупп группы G, имеющих бес-
конечную центральную размерность, удовлетворяет условию минимальности для
подгрупп.
Если G — подгруппа группы GL(F,A), то A может быть рассмотрено как
FG-модуль. Обобщением этой ситуации является случай RG-модуля, где R — ком-
мутативное кольцо, достаточно близкое к полю (область целостности, дедекиндова
область, область главных идеалов и т. д.). Одним из обобщений конечномерного
векторного пространства являются R-модули с условием минимальности (арти-
новы модули). В настоящей работе исследуется ZG-модуль A такой, что фактор-
модульA/CA(G) не является артиновым Z-модулем. В этом случае будем говорить,
что коцентрализатор группыG в модуле A не является артиновым Z-модулем. Обо-
значим символом Lnaz(G) семейство всех подгрупп группы G, коцентрализаторы
которых в модуле A не являются артиновыми Z-модулями. Если Lnaz(G) удов-
летворяет условию минимальности, будем говорить, что группа G удовлетворяет
условию минимальности для подгрупп, коцентрализаторы которых в модуле A не
являются артиновыми Z-модулями, или, просто, что группа G удовлетворяет усло-
вию min – naz.
Основными результатами работы являются следующие теоремы 1.1 и 1.2.
Теорема 1.1. Пусть G — локально разрешимая группа, удовлетворяющая
условию min – naz. Если существует ZG-модуль A такой, что коцентрализатор
G в A не является артиновым Z-модулем, то G является разрешимой.
c© О. Ю. ДАШКОВА, 2009
44 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МОДУЛЕЙ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ ... 45
Теорема 1.2. Пусть G и A — те же, что и в теореме 1.1. Тогда G содер-
жит нормальную нильпотентную подгруппу H такую, что фактор-группа G/H
черниковская.
2. Предварительные результаты. Приведем некоторые элементарные факты
о ZG-модулях, которые будут использоваться в дальнейшем. Отметим, что если
K ≤ H ≤ G, и коцентрализатор подгруппы H в модуле A является артиновым Z-
модулем, то коцентрализатор подгруппы K в модуле A также является артиновым
Z-модулем. Если U, V ≤ G такие, что их коцентрализаторы в модуле A являются
артиновыми Z-модулями, то фактор-модуль A/(CA(U) ∩ CA(V )) также является
артиновым Z-модулем. Следовательно, коцентрализатор подгруппы 〈U, V 〉 в моду-
ле A является артиновым Z-модулем.
Предположим, что группа G удовлетворяет условию min – naz. Если H1 >
> H2 > H3 > . . . — бесконечный строго убывающий ряд подгрупп группы G,
то существует натуральное число n такое, что коцентрализатор подгруппы Hn в
модуле A является артиновым Z-модулем. Кроме того, если N — нормальная под-
группа группы G и коцентрализатор подгруппы N в модуле A не является арти-
новым Z-модулем, то фактор-группа G/N удовлетворяет условию минимальности
для подгрупп.
Приведем следующие три леммы.
Лемма 2.1. Пусть A — ZG-модуль. Предположим, что G удовлетворяет
условию min – naz, X,H — подгруппы группы G и Λ — множество индексов, для
которых выполняются следующие условия:
i) X = Drλ∈ΛXλ, где 1 6= Xλ — H-инвариантная подгруппа X для каждого
λ ∈ Λ;
ii) H ∩X ≤ Drλ∈ΓXλ для некоторого подмножества Γ из Λ.
Если множество Ω = Λ \ Γ бесконечно, то коцентрализатор подгруппы H в
модуле A является артиновым Z-модулем.
Доказательство. Предположим, что множество Ω бесконечно и Ω1 ⊇ Ω2 ⊇ . . .
— строго убывающий ряд подмножеств множества Ω.ПосколькуH∩Drλ∈ΩXλ = 1,
ряд подгрупп 〈H,Xλ | λ ∈ Ω1〉 > 〈H,Xλ | λ ∈ Ω2〉 > . . . строго убывает. Отсю-
да следует, что для некоторого натурального числа d коцентрализатор подгруппы
〈H,Xλ | λ ∈ Ωd〉 является артиновым. Следовательно, коцентрализатор подгруппы
H также является артиновым.
Лемма доказана.
Лемма 2.2. Пусть A — ZG-модуль, группа G удовлетворяет условию
min – naz и H, K — подгруппы группы G такие, что K — нормальная подгруп-
па H. Предположим, что существует множество индексов Λ и подгруппы Hλ
группы G такие, что H/K = Drλ∈ΛHλ/K и множество Λ бесконечно. Тогда
коцентрализатор подгруппы H в модуле A является артиновым Z-модулем.
Доказательство. Предположим, что множество Λ бесконечно. Пусть Γ и Ω —
бесконечные непересекающиеся подмножества множества Λ такие, что Λ = Γ∪Ω.
Пусть U/K = Drλ∈ΓHλ/K, V/K = Drλ∈ΩHλ/K и Γ1 ⊇ Γ2 ⊇ . . . — строго
убывающий ряд подмножеств множества Γ. В результате получаем бесконечный
убывающий ряд подгрупп
〈U,Hλ | λ ∈ Γ1〉 > 〈U,Hλ | λ ∈ Γ2〉 > . . . .
Из условия min – naz следует, что коцентрализатор подгруппы U в модуле A
является артиновым Z-модулем. Аналогично получаем, что коцентрализатор под-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
46 О. Ю. ДАШКОВА
группы V в модуле A является артиновым Z-модулем. Из равенства H = UV
следует, что коцентрализатор подгруппы H в модуле A также является артиновым
Z-модулем.
Лемма доказана.
Лемма 2.3. Пусть A — ZG-модуль и группа G удовлетворяет условию
min – naz. Если элемент g ∈ G имеет бесконечный порядок, то коцентрализатор
подгруппы 〈g〉 в модуле A является артиновым Z-модулем.
Доказательство. Пусть p и q — различные простые числа, большие 3,
и u = gp, v = gq. Тогда существует бесконечный убывающий ряд подгрупп
〈u〉 > 〈u2〉 > 〈u4〉 > . . . . Из условия min – naz вытекает, что существует на-
туральное число k, для которого коцентрализатор подгруппы 〈u2k〉 в модуле A
является артиновым Z-модулем. Аналогично, существует натуральное число l, для
которого коцентрализатор подгруппы < v3l
> в модуле A также является арти-
новым Z-модулем. Следовательно, коцентрализатор подгруппы 〈g〉 = 〈u2k〉〈v3l〉 в
модуле A является артиновым Z-модулем.
Лемма доказана.
Следующий результат дает важную информацию о строении фактор-группы по
ее коммутанту в случае выполнения условия min – naz.
Лемма 2.4. Пусть A — ZG-модуль и группа G удовлетворяет условию
min – naz. Если коцентрализатор группы G в модуле A не является артиновым
Z-модулем, то фактор-группа G/G′ является черниковской группой.
Доказательство. Предположим, что фактор-группа G/G′ не является чер-
никовской группой. Обозначим через S семейство подгрупп H ≤ G таких, что
фактор-группа H/H ′ не является черниковской и коцентрализатор подгруппы H в
модуле A не является артиновым Z-модулем. Поскольку G ∈ S, то S 6= ∅. Так как
множество S удовлетворяет условию минимальности, оно содержит минимальный
элемент, обозначим его через D. Если U и V — собственные подгруппы группы
D такие, что D = UV и U ∩ V = D′, то по крайней мере одна из подгрупп,
например U, такова, что ее коцентрализатор в модуле A не является артиновым Z-
модулем. Из выбора подгруппы D следует, что фактор-группа U/U ′ черниковская.
Отсюда и из изоморфизма U/D′ ' (U/U ′)/(D′/U ′) следует, что фактор-группа
U/D′ также является черниковской. Поскольку коцентрализатор подгруппы U в
модуле A не является артиновым Z-модулем, абелева фактор-группа D/U также
является черниковской. Следовательно, фактор-группа D/D′ является черников-
ской. Противоречие с выбором подгруппы D. Отсюда вытекает, что фактор-группу
D/D′ нельзя представить в виде произведения двух собственных подгрупп. Сле-
довательно, фактор-группа D/D′ изоморфна подгруппе квазициклической группы
Cq∞ для некоторого простого числа q. Противоречие.
Лемма доказана.
Пусть A — ZG-модуль и группа G удовлетворяет условию min – naz. Символом
AD(G) обозначим множество элементов x ∈ G таких, что коцентрализатор группы
〈x〉 в модуле A является артиновым Z-модулем. Поскольку CA(xg) = CA(x)g
для всех x, g ∈ G, отсюда следует, что AD(G) является нормальной подгруппой
группы G.
Лемма 2.5. Пусть A — ZG-модуль, группа G удовлетворяет условию
min – naz и ее коцентрализатор в модуле A не является артиновым Z-модулем.
Тогда либо группа G является периодической, либо G = AD(G).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МОДУЛЕЙ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ ... 47
Доказательство. Предположим противное. Пусть группа G не является
периодической и G 6= AD(G). Обозначим через S семейство подгрупп H ≤ G
таких, что H не является периодической и H 6= AD(H). S не является
пустым. Если H 6= AD(H), то существует элемент h ∈ H, для которого
фактор-модуль A/CA(h) не является артиновым Z-модулем. Следовательно, S ⊆
⊆ Lnaz(G), и поэтому S удовлетворяет условию минимальности. Пусть D —
минимальный элемент множества S и L = AD(D). Отметим, что L 6= 1, так
как D не является периодической подгруппой. Если L ≤ S ≤ D и S 6= D,
то S = AD(S), и поэтому S ≤ L. Следовательно, D/L имеет порядок q для
некоторого простого числа q. Пусть x ∈ D \ L. Если элемент a имеет
бесконечный порядок, то из выбора D следует, что 〈x, a〉 = D. Отсюда
вытекает, что L конечно порождена, и поскольку L = AD(L), фактор-модуль
A/CA(L) является артиновым Z-модулем. Поскольку подгруппа L нормальна в
группе D, C = CA(L) является ZD-подмодулем модуля A. Если R = CD(A/C),
то R — нормальная подгруппа группы D, и фактор-группа D/R изоморфна под-
группе группы GL(r,M), где M является конечной прямой суммой колец Zp∞
целых p-адических чисел, возможно, по различным простым числам p. Следова-
тельно, фактор-группа D/R финитно аппроксимируема. Пусть U — нормальная
подгруппа конечного индекса группы D. Подгруппа U не является периодичес-
кой, и поэтому подгруппа 〈U, x〉 также непериодическая и 〈U, x〉 6= AD
(
〈U, x〉
)
.
Из выбора D следует, что D = 〈U, x〉, и поэтому фактор-группа D/U абелева.
Если E — конечный резидуал группы D, то фактор-группа D/E абелева. Отсю-
да с учетом включения E ≤ R вытекает, что фактор-группа D/R также абелева.
Следовательно, фактор-группа D/(R∩L) абелева. Подгруппа R∩L является под-
группой стабилизатора ряда длины 2, и поэтому она абелева. Отсюда следует, что
D является конечнопорожденной метабелевой группой. По теореме Ф. Холла (тео-
рема 9.51 [3]) группа D финитно аппроксимируема. Как и ранее, устанавливаем,
что D абелева. Поскольку D = U〈x〉 для любой подгруппы U конечного индекса,
группа D — бесконечная циклическая. Согласно лемме 2.3, D = AD(D). Противо-
речие с выбором подгруппы D.
Лемма доказана.
3. Локально разрешимые группы с условием min − naz. Если группа G
локально разрешима и фактор-модуль A/CA(G) является артиновым Z-модулем,
то фактор-группа G/CG(A/CA(G)) изоморфна локально разрешимой подгруппе
группы GL(r,M), где M является конечной прямой суммой колец Zp∞ целых p-
адических чисел, возможно, по различным простым числам p. Поскольку M явля-
ется целостным кольцом, его можно вложить в поле F. Отсюда следует, что фактор-
группа G/CG(A/CA(G)) изоморфна некоторой локально разрешимой подгруппе
линейной группы GL(r, F ). Следовательно, согласно следствию 3.8 [4], фактор-
группа G/CG(A/CA(G)) разрешима, и, поскольку централизатор CG(A/CA(G))
абелев, отсюда следует разрешимость группы G. Поэтому при изучении локально
разрешимых групп с условием min – naz необходимо сосредоточить внимание на ис-
следовании локально разрешимых групп G, для которых фактор-модуль A/CA(G)
не является артиновым Z-модулем.
Лемма 3.1. Пусть A — ZG-модуль, группа G периодическая, локально раз-
решимая, удовлетворяет условию min – naz и ее коцентрализатор в модуле A не
является артиновым Z-модулем. Тогда либо группа G удовлетворяет условию
минимальности для подгрупп, либо G = AD(G).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
48 О. Ю. ДАШКОВА
Доказательство. Предположим противное. Пусть группа G не удовлетворяет
условию минимальности и G 6= AD(G). Обозначим через S семейство подгрупп
H ≤ G таких, что H не удовлетворяет условию минимальности и H 6= AD(H).
Тогда S 6= ∅ и удовлетворяет условию минимальности. Пусть D — минималь-
ный элемент S и L = AD(D). Существует бесконечный строго убывающий ряд
подгрупп группы D:
H1 > H2 > H3 > . . . .
Поскольку группа D удовлетворяет условию min – naz, существует натуральное
число d такое, что коцентрализатор подгруппы Hd в модуле A является артино-
вым Z-модулем. Следовательно, Hd ≤ L, и поэтому L не удовлетворяет условию
минимальности. Отсюда вытекает, что если x ∈ D \ L, то 〈x, L〉 = D в силу
выбора подгруппы D. Следовательно, фактор-группа D/L имеет порядок q для
некоторого простого числа q. Заменяя x, если это необходимо, подходящей степе-
нью, можно положить, что x имеет порядок qr для некоторого натурального числа
r. Так как группа D не является черниковской, согласно теореме Д. И. Зайцева
[5], D содержит 〈x〉-инвариантную абелеву подгруппу B = Drn∈N〈bn〉, и можно
считать, что элементы bn имеют простые порядки для каждого n ∈ N. Пусть
1 6= c1 ∈ B и C1 = 〈c1〉〈x〉. Тогда C1 конечна и существует подгруппа E1 такая,
что B = C1 × E1. Пусть U1 = core〈x〉E1. Тогда U1 имеет конечный индекс в B.
Если 1 6= c2 ∈ U1 и C2 = 〈c2〉〈x〉, то C2 — конечная 〈x〉-инвариантная подгруппа и
〈C1, C2〉 = C1 × C2. Продолжая это построение, можно построить семейство под-
групп {Cn | n ∈ N} = Drn∈NCn. Из леммы 2.1 следует, что x ∈ L. Противоречие.
Лемма доказана.
Из лемм 2.5 и 3.1 вытекает справедливость следующей теоремы.
Теорема 3.1. Пусть A — ZG-модуль, группа G локально разрешима, удов-
летворяет условию min – naz и ее коцентрализатор в модуле A не является арти-
новым Z-модулем. Тогда либо группа G удовлетворяет условию минимальности
для подгрупп, либо G = AD(G).
Лемма 3.2. Пусть A — ZG-модуль, группа G локально разрешима, удовле-
творяет условию min – naz и коцентрализатор группы G в модуле A не является
артиновым Z-модулем. Тогда либо группа G разрешима, либо G имеет возраста-
ющий ряд нормальных подгрупп 1 = S0 ≤ S1 ≤ . . . ≤ Sω = ∪n∈NSn ≤ G такой,
что коцентрализатор подгруппы Sn в модуле A является артиновым Z-модулем,
факторы Sn+1/Sn абелевы для n ≥ 0, а фактор-группа G/Sω — разрешимая
черниковская группа.
Доказательство. Покажем сначала, что группа G гиперабелева. Для этого
достаточно показать, что каждый нетривиальный гомоморфный образ G содержит
нетривиальную нормальную абелеву подгруппу.
Пусть H — собственная нормальная подгруппа группы G. Предположим сна-
чала, что коцентрализатор подгруппы H в модуле A не является артиновым Z-
модулем. Тогда фактор-группа G/H удовлетворяет условию минимальности для
подгрупп. Следовательно, она является черниковской и поэтому имеет нетриви-
альную нормальную абелеву подгруппу. Рассмотрим теперь случай, когда коцен-
трализатор подгруппы H в модуле A является артиновым Z-модулем. По теореме
А. И. Мальцева (см., например, следствие к теореме 8.23 [3]), G/H имеет нормаль-
ную систему с абелевыми факторами:
S =
{
Λσ/H, Vσ/H | σ ∈ Σ
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МОДУЛЕЙ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ ... 49
Пусть Σ1 — подмножество, состоящее из тех σ, для которых коцентрализаторы
Λσ не являются артиновыми Z-модулями, Σ2 — соответствующее подмножество
для Vσ. Поскольку G удовлетворяет условию min – naz, множества {Λσ | σ ∈ Σ1}
и {Vσ | σ ∈ Σ2} имеют минимальные элементы. Обозначим их Λµ и Vν соответ-
ственно. Ранее отмечалось, что локально разрешимые группы, коцентрализаторы
которых в модуле A являются артиновыми Z-модулями, разрешимы. Следователь-
но, Λσ, σ < µ, и Vσ, σ < ν, разрешимы. Отсюда вытекает, что фактор-группа G/H
содержит нетривиальную нормальную абелеву подгруппу. Следовательно, группа
G гиперабелева.
Пусть 1 = H0 ≤ H1 ≤ . . . ≤ Hα ≤ . . . ≤ G — возрастающий нормальный
ряд с абелевыми факторами и α — наименьшее порядковое число, для которого
коцентрализатор подгруппы Hα в модуле A не является артиновым Z-модулем.
Тогда, как и ранее, подгруппа Hβ разрешима для всех β < α. Кроме того, фактор-
группа G/Hα удовлетворяет условию минимальности для подгрупп и поэтому
является разрешимой черниковской группой.
Предположим сначала, что α — непредельное порядковое число. Отсюда сле-
дует, что подгруппа Hα разрешима, и поэтому разрешима группа G. Предположим
теперь, что α — предельное порядковое число и группа G не является разрешимой.
Для каждого положительного целого числа d существует порядковое число βd та-
кое, что βd < α, Hβd
имеет ступень разрешимости, не превышающую d. Более того,
можно считать, что βi < βi+1 для каждого положительного целого числа i. Для
каждого i положим Ti = Hβi
. Поэтому группаG имеет возрастающий ряд нормаль-
ных подгрупп 1 = T0 ≤ T1 ≤ . . . ≤ G . Подгруппа Tω = ∪n∈NTn не является разре-
шимой, и поэтому Tω = Hα. Нужный ряд 1 = S0 ≤ S1 ≤ . . . ≤ Sω = ∪n∈NSn ≤ G
может быть получен уплотнением ряда 1 = T0 ≤ T1 ≤ . . . ≤ Tω ≤ G.
Лемма доказана.
Лемма 3.3. Пусть A — ZG-модуль, группа G удовлетворяет условию
min – naz, коцентрализатор группы G в модуле A не является артиновым Z-
модулем и G = AD(G). Тогда фактор-группа G/G= конечна.
Доказательство. Предположим противное. Пусть фактор-группаG/G= беско-
нечна. Тогда группа G имеет бесконечный убывающий ряд нормальных подгрупп
G ≥ N1 ≥ N2 ≥ . . . такой, что фактор-группы G/Ni конечны для каждого номера
i. Следовательно, существует номер k, для которого фактор-группа G/Nk коне-
чна, и коцентрализатор подгруппы Nk в модуле A является артиновым Z-модулем.
Поскольку G = AD(G), можно выбрать подгруппу H такую, что H = AD(H) и
G = HNk. Следовательно, коцентрализатор группы G в модуле A является арти-
новым Z-модулем. Противоречие.
Лемма доказана.
Лемма 3.4. Пусть A — ZG-модуль, группа G удовлетворяет условию
min – naz и ее коцентрализатор в модуле A не является артиновым Z-модулем.
Если G имеет возрастающий ряд нормальных подгрупп 1 = S0 ≤ S1 ≤ . . .
. . . ≤ Sn ≤ . . . ≤ ∪n≥1Sn = G такой, что коцентрализатор каждой подгруп-
пы Sn в модуле A является артиновым Z-модулем и каждый фактор Sn+1/Sn
абелев, то группа G разрешима.
Доказательство. Поскольку фактор-модуль A/CA(Sk) является артиновым
Z-модулем, существует конечный ряд ZG-подмодулей A = A0 ≥ A1 ≥ . . .
. . . ≥ An(k) = CA(Sk), каждый фактор которого является либо конечным ZG-
модулем, либо квазиконечным ZG-модулем. Поскольку коцентрализатор подгруп-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
50 О. Ю. ДАШКОВА
пы Sk+1 в модуле A является артиновым Z-модулем, можно продолжить постро-
енный ряд ZG-подмодулей A = A0 ≥ A1 ≥ . . . ≥ An(k) ≥ . . . ≥ An(k+1) =
= CA(Sk+1), каждый фактор которого является либо конечным ZG-модулем, ли-
бо квазиконечным ZG-модулем. Продолжая это построение, получаем ряд ZG-
подмодулей A = A0 ≥ A1 ≥ A2 ≥ . . . ≥ Aω = CA(G), каждый фактор которого
является либо конечным ZG-модулем, либо квазиконечным ZG-модулем.
ПустьH = ∩j≥0CG(Aj/Aj+1). Согласно лемме 16.19 [6], для каждого j фактор-
группа G/CG(Aj/Aj+1) почти абелева. Поскольку G/H вкладывается в декартово
произведение фактор-групп G/CG(Aj/Aj+1), G/H является расширением абеле-
вой группы с помощью финитно аппроксимируемой. Кроме того, группаG является
объединением подгрупп, коцентрализаторы которых в модуле A являются артино-
выми Z-модулями. Следовательно, G = AD(G). По лемме 3.3 фактор-группа G/H
почти абелева. Пусть K/H — нормальная абелева подгруппа фактор-группы G/H
такая, что фактор-группа G/K конечна. Так как G = AD(G), коцентрализатор
подгруппы K в модуле A не является артиновым Z-модулем. Если коцентрали-
затор подгруппы H в модуле A является артиновым Z-модулем, то, поскольку
подгруппа H локально разрешима, фактор-группа H/CH(A/CA(G)) изоморфна
локально разрешимой подгруппе группы GL(r,M), где M является конечной пря-
мой суммой колец Zp∞ целых p-адических чисел, возможно, по различным про-
стым числам p. Поскольку M является целостным кольцом, его можно вложить в
поле F. Отсюда следует, что фактор-группа H/CH(A/CA(H)) изоморфна некото-
рой локально разрешимой подгруппе линейной группы GL(r, F ). Согласно след-
ствию 3.8 [4], фактор-группа H/CH(A/CA(H)) разрешима. Поскольку подгруппа
CH(A/CA(H)) является подгруппой стабилизатора ряда длины 2, она абелева.
Следовательно, H разрешима, и поэтому разрешима группа G.
Рассмотрим теперь случай, когда коцентрализатор подгруппы H в модуле A
не является артиновым Z-модулем. Покажем, что и в этом случае подгруппа H
разрешима. Положим Lj = CH(A/Aj), j = 1, 2, . . . . Пусть H 6= Lj для некоторо-
го j. Предположим сначала, что существует номер t, для которого фактор-группа
H/Lt бесконечна. Тогда найдется номер k ≥ j, k ≥ t, для которого среди факто-
ров ряда A/Ak = A0/Ak ≥ A1/Ak ≥ A2/Ak ≥ . . . ≥ Aj/Ak ≥ . . . ≥ Ak/Ak есть
бесконечные. Тогда в силу результатов главы 8 [7] H имеет нильпотентный непери-
одический образ. Отсюда следует, что в H можно выбрать нормальную подгруппу
H1, для которой фактор-группа H/H1 — нильпотентная непериодическая группа, и
поэтому найдется нормальная подгруппа H2, для которой фактор-группа H/H2 —
абелева группа без кручения. Противоречие с леммой 2.4. Следовательно, H = Lj
для любого номера j, j = 1, 2, . . . . Пусть теперь для любого номера j, j = 1, 2, . . . ,
фактор-группа H/Lj конечна. Предположим, что существует номер j, для кото-
рого коцентрализатор подгруппы Lj в модуле A является артиновым Z-модулем.
Пусть j — наименьший номер с указанным свойством, и поэтому коцентрализатор
подгруппы Lj−1 в модуле A не является артиновым Z-модулем. Поскольку фактор-
группа Lj−1/Lj конечна иG = AD(G), коцентрализатор подгруппы Lj−1 в модуле
A является артиновым Z-модулем. Противоречие. Следовательно, коцентрализатор
каждой подгруппы Lj в модуле A не является артиновым Z-модулем. Поскольку H
удовлетворяет условию min – naz, существует номер m, для которого Lj = Lm для
всех j ≥ m. Отсюда с учетом выбора Lj следует, что подгруппа Lm разрешима.
Так как фактор-группа H/Lm конечна, H также разрешима.
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МОДУЛЕЙ НАД ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ ... 51
Из полученных результатов вытекает справедливость теоремы 1.1.
Доказательство теоремы 1.2. Отметим, что по теореме 1.1 группа G разре-
шима. Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случай, когда группа
G не является черниковской.
Пусть G = D0 ≥ D1 ≥ D2 ≥ . . . ≥ Dn = 1 — произвольный ряд подгруппы
S. Согласно лемме 2.4, существует номер m такой, что коцентрализатор подгруп-
пы Dm в модуле A не является артиновым Z-модулем, а коцентрализатор под-
группы Dm+1 в модуле A является артиновым Z-модулем. По лемме 2.4 фактор-
группы Di/Dj+1, i = 0, 1, . . . ,m, являются черниковскими. Пусть U = Dm+1,
тогда фактор-группа G/U черниковская. Положим C = CA(U). C является ZG-
подмодулем модуля A. Поскольку коцентрализатор подгруппы U в модуле A явля-
ется артиновым Z-модулем, фактор-модуль A/C является артиновым Z-модулем,
и поэтому существует ряд подмодулей
0 = C0 ≤ C = C1 ≤ C2 ≤ . . . ≤ Ct = A,
у которого каждый фактор Ci+1/Ci, i = 1, . . . , t − 1, является либо конечным,
либо квазиконечным ZG-модулем. Отсюда с учетом леммы 16.19 [6] следует,
что фактор-группы G/CG(Ci+1/Ci), i = 1, . . . , t − 1, почти абелевы. Посколь-
ку фактор-группа G/U черниковская и U ≤ CG(C1), фактор-группа G/CG(C1)
также является черниковской. Следовательно, G/CG(C1) — почти абелева группа.
Пусть H = CG(C1) ∩ CG(C2/C1) ∩ . . . ∩ CG(Ct/Ct−1). Отметим, что фактор-
группа G/H почти абелева. Обозначим через V/H нормальную абелеву подгруппу
фактор-группыG/H такую, что фактор-группаG/V конечна. С учетом теоремы 3.1
получаем, что коцентрализатор подгруппы V в модуле A не является артиновым
Z-модулем. По лемме 2.4 фактор-группа V/H черниковская. Следовательно, G/H
также черниковская. Подгруппа H действует тривиально в каждом факторе ряда
0 = C0 ≤ C = C1 ≤ C2 ≤ . . . ≤ Ct = A. Следовательно, H нильпотентна.
Теорема доказана.
1. Dixon M. R., Evans M. J., Kurdachenko L. A. Linear groups with the minimal condition on subgroups
of infinite central dimension // J. Algebra. – 2004. – 277, № 1. – P. 172 – 186.
2. Dashkova O. Yu., Dixon M. R., Kurdachenko L. A. Linear groups with rank restrictions on the subgroups
of infinite central dimension // J. Pure and Appl. Algebra. – 2007. – 208, № 3. – P. 785 – 795.
3. Robinson D. J. R. Finiteness conditions and generalized soluble groups. – Berlin etc.: Springer, 1972. –
Vols 1, 2. – 464 p.
4. Wehrfritz B. A. F. Infinite linear groups. – New York etc.: Springer, 1973. – 229 p.
5. Зайцев Д. И. О разрешимых подгруппах локально разрешимых групп // Докл. АН СССР. – 1974.
– 214, № 6. – С. 1250 – 1253.
6. Kurdachenko L. A., Otal J., Subbotin I. Ya. Artinian modules over group rings. – Basel etc.: Birkhäuser,
2007. – 248 p.
7. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. – М.: Мир, 1973. – Т. 1. – 229 с.
Получено 08.04.08,
после доработки — 11.07.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 1
|