Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два
Побудовано напівланцюгові артинові кільця та черепичні порядки ширини два найбільшої скінченної глобальної розмірності.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166212 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два / Н.А. Броницкая // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 154-159. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166212 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662122020-02-19T01:25:29Z Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два Броницкая, Н.А. Статті Побудовано напівланцюгові артинові кільця та черепичні порядки ширини два найбільшої скінченної глобальної розмірності. We construct Artinian serial rings and tiled orders of width two with maximal finite global dimension. 2009 Article Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два / Н.А. Броницкая // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 154-159. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166212 512.552.1 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Броницкая, Н.А. Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два Український математичний журнал |
| description |
Побудовано напівланцюгові артинові кільця та черепичні порядки ширини два найбільшої скінченної глобальної розмірності. |
| format |
Article |
| author |
Броницкая, Н.А. |
| author_facet |
Броницкая, Н.А. |
| author_sort |
Броницкая, Н.А. |
| title |
Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два |
| title_short |
Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два |
| title_full |
Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два |
| title_fullStr |
Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два |
| title_full_unstemmed |
Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два |
| title_sort |
полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166212 |
| citation_txt |
Полуцепные кольца и черепичные порядки ширины два / Н.А. Броницкая // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 154-159. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bronickaâna polucepnyekolʹcaičerepičnyeporâdkiširinydva |
| first_indexed |
2025-07-14T19:10:08Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:10:08Z |
| _version_ |
1837650640521658368 |
| fulltext |
UDK 512.552.1
N. A. Bronyckaq (Kyev. nac. un-t ym. T. Íevçenko)
POLUCEPNÁE KOL|CA
Y ÇEREPYÇNÁE PORQDKY ÍYRYNÁ DVA
Artinian serial rings and tiled orders of the width two with maximal finite global dimension are
constructed.
Pobudovano napivlancghovi artynovi kil\cq ta çerepyçni porqdky ßyryny dva najbil\ßo] skin-
çenno] hlobal\no] rozmirnosti.
Vvedenye. V nastoqwej stat\e yzuçagtsq svqzy meΩdu polucepn¥my artyno-
v¥my kol\camy y çerepyçn¥my porqdkamy ßyryn¥ dva. Otmetym, çto çerepyç-
n¥m porqdkom naz¥vaetsq neterovo pervyçnoe polusoverßennoe y poludystry-
butyvnoe kol\co s nenulev¥m radykalom DΩekobsona [1] (hl. 14).
V stat\e [2] dokazana teorema, kotoraq opys¥vaet svojstva polucepn¥x ar-
tynov¥x kolec s koneçnoj hlobal\noj razmernost\g.
Osnovn¥e rezul\tat¥ dannoj stat\y � postroenye polucepn¥x artynov¥x
kolec, udovletvorqgwyx uslovyqm osnovnoj teorem¥ stat\y [2] (ysxodq yz çe-
repyçnoho porqdka ßyryn¥ 1), y çerepyçn¥x porqdkov ßyryn¥ dva s naybol\-
ßej hlobal\noj razmernost\g (s yspol\zovanyem metodov [3]). Vse kol\ca, ras-
smatryvaem¥e v stat\e, qvlqgtsq assocyatyvn¥my s edynycej 1 ≠ 0, a moduly
� lev¥my.
Pust\ R � radykal DΩekobsona artynova kol\ca A. Radykal DΩekobsona
artynova kol\ca nyl\potenten, t. e. suwestvuet natural\noe çyslo t takoe, çto
Rt ≠ 0 , a Rt + =1 0 . Cepoçka podmodulej modulq M
M RM⊃ � R M2 � … � R Mm � 0,
hde R Mm ≠ 0, a R Mm +1 = 0, naz¥vaetsq rqdom Levy levoho modulq M.
Poskol\ku vse moduly Q 1, … , Qn cepn¥e, dlyn¥ kompozycyonn¥x rqdov
l Qi( ) = LL Qi( ), hde LL Qi( ) � dlyna rqda Levy modulq Qi , i = 1, … , n. Dlynoj
rqda Levy LL A( ) kol\ca A naz¥vaetsq max ( )
1≤ ≤i n
il Q = LL Qi( ).
V rabote [2] dokazana sledugwaq teorema.
Teorema Hustafsona. Pust\ A � polucepnoe artynovo kol\co y hlobal\-
naq razmernost\ gl. dim A qvlqetsq koneçnoj. Tohda :
1) LL A( ) ≤ 2n – 1,
2) gl. dim A ≤ 2n – 2.
Otmetym, çto v sylu teorem¥ Auslendera (sm., naprymer, [4], teorema 5.1.16)
pravaq y levaq hlobal\n¥e razmernosty dlq neterov¥x s dvux storon kolec
sovpadagt. Sledovatel\no, dlq polucepn¥x artynov¥x kolec dostatoçno ras-
smatryvat\ levug hlobal\nug razmernost\.
1. Polucepn¥e kol\ca. Napomnym, çto modul\ naz¥vaetsq cepn¥m, esly
eho podmoduly lynejno uporqdoçen¥ po vklgçenyg. Kol\co A naz¥vaetsq
cepn¥m sprava (sleva), esly prav¥j (lev¥j) rehulqrn¥j modul\ AA ( )A A qv-
lqetsq cepn¥m modulem. Kol\co A naz¥vaetsq cepn¥m, esly ono qvlqetsq
cepn¥m sprava y sleva.
Modul\ M naz¥vaetsq polucepn¥m, esly on qvlqetsq prqmoj summoj cep-
n¥x modulej. Kol\co A naz¥vaetsq polucepn¥m sprava (sleva), esly prav¥j
(lev¥j) rehulqrn¥j modul\ AA ( )A A qvlqetsq polucepn¥m modulem. Polu-
cepnoe sprava y sleva kol\co naz¥vaetsq polucepn¥m.
∏ta termynolohyq beret naçalo ot stat\y [5]. Polucepn¥e artynov¥ kol\ca
© N. A. BRONYCKAQ, 2009
154 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
POLUCEPNÁE KOL|CA Y ÇEREPYÇNÁE PORQDKY ÍYRYNÁ DVA 155
naz¥valys\ �obobwenno odnorqdn¥my kol\camy� y b¥ly vveden¥ qponskym al-
hebraystom T. Nakaqmoj v 1940 hodu. Bolee podrobnug ynformacyg o polu-
cepn¥x kol\cax moΩno najty v monohrafyqx [6] (hl. 25), [7], [1] (hl. 11 � 13),
[4] (hl. V).
Hovorq neterovo, artynovo, nasledstvennoe y t. d. kol\co, m¥ sçytaem, çto
πto neterovo, artynovo, nasledstvennoe y t. d. s dvux storon kol\co.
Oboznaçym çerez R radykal DΩekobsona kol\ca A.
Napomnym, çto kol\co O naz¥vaetsq dyskretno normyrovann¥m, esly ono
lokal\noe cepnoe neterovo kol\co, kotoroe ne qvlqetsq artynov¥m. ∏to πkvy-
valentno tomu [8], çto O qvlqetsq lokal\n¥m kol\com s edynstvenn¥m maksy-
mal\n¥m ydealom M takym, çto:
1) O / M qvlqetsq telom;
2)
n
n
>0I M = 0;
3) M
n ≠ 0 dlq vsex n > 0, y M
n
/ M
n +1 qvlqetsq prost¥m kak lev¥m, tak
y prav¥m O -modulem.
Kol\co O ymeet klassyçeskoe telo çastn¥x D. Oboznaçym çerez M Dn( )
kol\co kvadratn¥x matryc porqdka n nad telom D. Rassmotrym v kol\ce
M Dn( ) sledugwee podkol\co:
Hn( )O =
O O O
O O
O
…
…
…
M
M M
M M O M
.
Napomnym, çto assocyatyvnoe kol\co A s edynycej 1 ≠ 0 naz¥vagt neraz-
loΩym¥m, esly ono ne qvlqetsq prqm¥m proyzvedenyem dvux nenulev¥x kolec.
Otmetym, çto teorema [9] ymeet mesto, esly zamenyt\ kol\co Hn( )O na
kol\co Hn
T( )O , hde
Hn
T( )O =
O
O O
O O O
M M
M
…
…
…
M M O M
Ymenno πto kol\co m¥ budem rassmatryvat\ v dal\nejßem. Dlq kratkosty
budem oboznaçat\ eho çerez Λn , a eho radykal DΩekobsona � çerez Rn . V sy-
lu teorem¥ Myxlera [10] lgboe neterovo s dvux storon nasledstvennoe pervyç-
noe polusoverßennoe kol\co πkvyvalentno v sm¥sle Moryt¥ kol\cu Λn . Yz
predloΩenyj 6.10.2 y 6.10.3 [4] sleduet, çto πto polucepnoe nasledstvennoe
kol\co, kotoroe ne qvlqetsq artynov¥m.
Pust\ A � nerazloΩymoe pryvedennoe polucepnoe artynovo kol\co, R �
eho radykal DΩekobsona. V πtom sluçae faktor-kol\co A / R qvlqetsq koneç-
n¥m prqm¥m proyzvedenyem tel y AA = Q1¯ … ¯ Qn � razloΩenye levoho re-
hulqrnoho modulq A v prqmug summu poparno neyzomorfn¥x nerazloΩym¥x
lev¥x proektyvn¥x A-modulej. V πtom sluçae kolçan Q A( ) kol\ca A ymeet
n verßyn.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
156 N. A. BRONYCKAQ
Ymegt mesto sledugwye teorem¥: teorema [1] (hl. 12) y teorema, kotoraq
daet kryteryj nerazloΩymosty neterova polusoverßennoho kol\ca A s pomo-
w\g eho kolçana Q A( ) [1] (teorema 11.1.9). Otsgda poluçaem, çto kolçan ne-
razloΩymoho polucepnoho neterova kol\ca qvlqetsq lybo prost¥m cyklom,
lybo prostoj cep\g.
V sluçae, kohda kolçan polucepnoho neterova kol\ca A qvlqetsq prostoj
cep\g 1 → 2 → 3 → … → n – 1 → n, kak sleduet yz teorem¥ Holdy [12], lgboe
takoe kol\co yzomorfno faktor-kol\cu kol\ca verxnyx treuhol\n¥x matryc
T Dn( ) po nekotoromu ydealu. Hlobal\naq razmernost\ takyx kolec vsehda
koneçna y ne prev¥ßaet n – 1. Poπtomu budem predpolahat\, çto kolçan Q A( )
kol\ca A qvlqetsq prost¥m cyklom. Prostoj cykl, soderΩawyj n verßyn,
oboznaçaetsq çerez Cn y ymeet vyd
V rabote [2] ukazan¥ dlyn¥ modulej Q1, … , Qn polucepn¥x artynov¥x
pryvedenn¥x nerazloΩym¥x kolec, kolçan¥ kotor¥x qvlqgtsq prost¥my
cyklamy, soderΩawymy n verßyn, dlq v¥polnenyq ravenstv v uslovyqx 1 y 2
teorem¥ Hustafsona.
Pry πtom v sluçae 1 dostatoçno rassmotret\ kol\co A1, udovletvorqgwee
ukazann¥m v¥ße uslovyqm, so sledugwymy dlynamy cepn¥x proektyvn¥x A1-
modulej: l Qk( ) = 2n – k dlq 1 ≤ k ≤ n. V [2] pokazano, çto gl. dim A1 = 2.
V sluçae 2 dostatoçno rassmotret\ kol\co A2 s temy Ωe uslovyqmy, s dly-
namy cepn¥x proektyvn¥x A2-modulej: l Qi( ) = n + 1 dlq i = 1, … , n – 1 y
l Qn( ) = n.
M¥, yspol\zuq kol\co Λn , stroym prymer¥ polucepn¥x artynov¥x kolec,
dlq kotor¥x v¥polnqgtsq ravenstva v uslovyqx 1 y 2.
Poskol\ku lgboe faktor-kol\co polucepnoho kol\ca qvlqetsq polucep-
n¥m, lgboe faktor-kol\co kol\ca Λn qvlqetsq polucepn¥m. Postroym pry-
mer¥ kolec, dlq kotor¥x v¥polnqgtsq ravenstva v uslovyqx 1 y 2, kak fak-
tor-kol\ca kol\ca Λn . Dlq πtoho v sluçae 1 rassmotrym sledugwyj dvusto-
ronnyj ydeal kol\ca Λn :
I1 =
π π π π π
π π π π π
π π π π π
π π π π π
π π π π π
O O O O O
O O O O O
O O O O O
O O O O O
O O O O O
…
…
…
…
…
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
L L L O L L
.
Oboznaçym çerez A1 faktor-kol\co Λn / I1. Kol\co A1 qvlqetsq polucep-
n¥m artynov¥m nerazloΩym¥m y pryvedenn¥m. Dlyn¥ cepn¥x proektyvn¥x A1
modulej Qk = Λn kke / I ekk1 ravn¥ 2n – k . Qsno, çto LL A( )1 = 2n – 1 y
gl. dim A1 = 2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
POLUCEPNÁE KOL|CA Y ÇEREPYÇNÁE PORQDKY ÍYRYNÁ DVA 157
V sluçae 2 rassmotrym ydeal I2 kol\ca Λn vyda
I2 =
π π π π π
π π π π π
π π π π π
π π π π π
π π π π π
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
O O O O O
O O O O
O O O O O
O O O O O
O O O O O
O
…
…
…
…
…
L L L O L L
.
Oboznaçym çerez A2 faktor-kol\co Λn / I2. Kol\co A2 qvlqetsq nerazlo-
Ωym¥m pryvedenn¥m polucepn¥m artynov¥m kol\com. Ono udovletvorqet us-
lovyqm Hustafsona y poπtomu gl. dim A2 = 2n – 2.
Otmetym, çto v sluçae n = 1 oba ydeala sovpadagt: I1 = I2 = π O.
2. Çerepyçn¥e porqdky ßyryn¥ dva. Napomnym, çto çerepyçn¥j porq-
dok A � πto neterovo pervyçnoe polusoverßennoe y poludystrybutyvnoe
kol\co s nenulev¥m radykalom DΩekobsona R.
Sledugwye rezul\tat¥ soderΩatsq v [1] (hl. 14) y [4] (hl. 6).
Pust\ O � dyskretno normyrovannoe kol\co s edynstvenn¥m maksymal\-
n¥m ydealom π O = O π, D � eho klassyçeskoe kol\co çastn¥x, � = ( )αij ∈
∈ Mn( )Z � matryca pokazatelej, t. e. αij + α jk ≥ αik y αii = 0 dlq i, j, k =
= 1, … , n. Oboznaçym çerez M Dn( ) kol\co vsex kvadratn¥x matryc porqdka n
s πlementamy yz tela D, ei j , i , j = 1, … , n, � matryçn¥e edynyc¥ πtoho
kol\ca.
Oboznaçym çerez Λ =
O{ , � = ( )αi j } podkol\co v M Dn( ) : Λ =
=
i j
n
ije
, =∑{ 1
πα ij
O}. Matrycu � = ( )αij oboznaçagt �( )Λ . Esly Λ qvlqetsq
pryvedenn¥m kol\com, to αi j + α ji > 0 pry i ≠ j. Naoborot, esly πto uslovye
v¥polneno, to Λ � pryvedenn¥j çerepyçn¥j porqdok. Lgboj çerepyçn¥j po-
rqdok yzomorfen porqdku vyda Λ, hde O � kol\co πndomorfyzmov nerazlo-
Ωymoho proektyvnoho Λ-modulq.
Pust\ Λ = O{ , �( )Λ } � çerepyçn¥j porqdok. Pravoj (levoj) Λ-reßet-
koj naz¥vaetsq prav¥j (lev¥j) Λ-modul\, kotor¥j qvlqetsq koneçnoporoΩ-
denn¥m svobodn¥m O -modulem. V çastnosty, vse koneçnoporoΩdenn¥e proek-
tyvn¥e Λ-moduly qvlqgtsq Λ-reßetkamy.
Oboznaçym Q = M Dn( ) , U V( ) � prostoj prav¥j (lev¥j) Q-modul\. Sredy
vsex Λ-reßetok v¥delqgtsq tak naz¥vaem¥e nepryvodym¥e Λ-reßetky, t. e.
prav¥e (lev¥e) Λ-reßetky, leΩawye v U V( ).
Pust\ Λ � çerepyçn¥j porqdok ßyryn¥ 2 (sm. [13, 4]).
Ymeet mesto sledugwaq teorema [4] (teorema 6.10.4).
Teorema 1. Sledugwye uslovyq πkvyvalentn¥ dlq çerepyçnoho porqdka Λ:
a) kol\co πndomorfyzmov lgboj nerazloΩymoj Λ-reßetky qvlqetsq dys-
kretno normyrovann¥m kol\com;
b) kaΩdaq Λ-reßetka M qvlqetsq prqmoj summoj nepryvodym¥x Λ -re-
ßetok;
v) kaΩdaq nepryvodymaq Λ-reßetka ymeet ne bolee dvux maksymal\n¥x
podmodulej;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
158 N. A. BRONYCKAQ
h) ßyryna Λ ne prev¥ßaet dvux.
Sohlasno πtoj teoreme, esly Λ � çerepyçn¥j porqdok ßyryn¥ ne bol\ße
2, to lgbaq Λ-reßetka qvlqetsq prqmoj summoj nepryvodym¥x Λ-reßetok, y
poπtomu dlq opredelenyq hlobal\noj razmernosty Λ dostatoçno proveryt\
proektyvn¥e razmernosty nepryvodym¥x Λ-reßetok [4] (teorema 5.1.13).
Çerepyçn¥j porqdok Λn ymeet matrycu pokazatelej �( )Λn sledugweho
vyda:
�n = �( )Λn =
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
…
…
…
…
…
M M M O M M
. (1)
Poskol\ku lgboj dvustoronnyj ydeal I çerepyçnoho porqdka Λ = O{ ,
�( )Λ } ymeet vyd I =
i j
n
ije
, =∑{ 1
πδ ij
O} , matrycu ( )δij estestvenno naz¥vat\
matrycej pokazatelej ydeala I y oboznaçat\ �( )I .
Rassmotrym ydeal I2 yz pred¥duweho punkta. Oçevydno, pry n = 1 matryca
�( )I2 ymeet vyd (1), pry n = 2 �( )I2 =
2 2
1 1
y pry n = 3 �( )I2 =
=
2 2 2
1 2 2
1 1 1
. V obwem sluçae
�( )I2 =
2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
…
…
…
…
…
…
M M M O M M M .
Rassmotrym çerepyçn¥j porqdok ∆2n =
O{ , �( )∆2n } s matrycej pokazate-
lej �( )∆2n = M n2 , hde
M n2 =
� �
� �
n n
nI( )2
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
POLUCEPNÁE KOL|CA Y ÇEREPYÇNÁE PORQDKY ÍYRYNÁ DVA 159
V sylu rezul\tatov [13] πto çerepyçn¥j porqdok ßyryn¥ 2.
Ymeet mesto takaq teorema [4] (teorema 6.10.8).
Teorema 2. Pust\ Λ � çerepyçn¥j porqdok v M Dn( ) ßyryn¥ ne bol\ße
dvux. Esly gl. dim Λ < ∞, to gl. dim Λ ≤ n – 1.
Sledugwee predloΩenye m¥ yspol\zuem dlq opredelenyq hlobal\noj raz-
mernosty çerepyçnoho porqdka ∆2n.
PredloΩenye [3]. Pust\ Λ � çerepyçn¥j porqdok y e � takoj ydempo-
tent kol\ca Λ, çto kol\co e Λ e � nasledstvennoe kol\co y I = Λ e Λ. Tohda
gl. dim (Λ / I ) ≤ gl. dim Λ ≤ gl. dim (Λ / I ) + 2.
Yz teorem¥ 2 y predloΩenyq poluçaem takoe sledstvye.
Sledstvye. Hlobal\naq razmernost\ çerepyçnoho porqdka ∆2n s matry-
cej pokazatelej M n2 udovletvorqet neravenstvu
2n – 2 ≤ gl. dim ∆2n ≤ 2n – 1.
Dokazatel\stvo. Oçevydno, çto ∆2n qvlqetsq çerepyçn¥m porqdkom v
M Dn2 ( ), hde D � telo çastn¥x O . Pust\ e = e11 + … + enn . Tohda e en∆2 =
= Λn � nasledstvennoe kol\co y I = ∆2n e n∆2 qvlqetsq ydempotentn¥m ydea-
lom s matrycej pokazatelej �( )I =
� �
� �
n n
I I( ) ( )2 2
. Poπtomu Λ / I � Λn I/ 2 . ∏to
kol\co ymeet hlobal\nug razmernost\ 2n – 2. Sohlasno predloΩenyg
gl. dim ∆2n ≥ 2n – 2. V sylu teorem¥ 2 gl. dim ∆2n ≤ 2n – 1.
Sledstvye dokazano.
Bolee podrobn¥j analyz pokaz¥vaet, çto gl. dim ∆2n = 2n – 1.
1. Hazewinkel M., Gubareni N., Kirichenko V. V. Algebras, rings and modules // Math. and Appl. –
2004. – # 575. – 380 p.
2. Gustafson W. H. Global dimension in serial rings // J. Algebra. – 1985. – # 97. – P. 14 – 16.
3. Kirkman E., Kuzmanovich I. Global dimension a class of tiled orders // Ibid. – 1989. – # 127. –
P. 57 – 92.
4. Hazewinkel M., Gubareni N., Kirichenko V. V. Algebras, rings and modules // Math. and Appl. –
2007. – 2, # 586. – 400 p.
5. Skornqkov L. A. Kohda vse moduly polucepn¥e // Mat. zametky. � 1969. � 5, # 2. � S. 173 �
182.
6. Fejs K. Alhebra: kol\ca, moduly y katehoryy: V 2 t. � M.: Myr, 1979. � T. 2. � 464 s.
7. Puninski G. Serial rings. – Kluwer Acad. Publ., 2001. – 226 p.
8. Warfield R. B. Jr. Serial rings and finitely presented modules // J. Algebra. – 1975. – 37. – P. 187
– 222.
9. Dokuchaev M. A., Kirichenko V. V., Novikov B. V., Petravchuk A. P. On incidence modulo ideal
rings // J. Algebra and Appl. – 2007. – 6, # 4. – P. 553 – 586.
10. Michler G. Structure of semi-perfect hereditary Noetherian rings // J. Algebra. – 1969. – 13, # 3.
– P. 327 – 344.
11. Eisenbud D., Griffith P. The structure of serial rings // Pacif. J. Math. – 1971. – 36. – P. 173 – 182.
12. Goldie A. W. Torsionfree modules and rings // J. Algebra. – 1964. – 1. – P. 268 – 287.
13. Zavadskyj A. H., Kyryçenko V. V. Moduly bez kruçenyq nad pervyçn¥my kol\camy // Zap.
nauç. sem. LOMY. � 1976. � 57. � S. 100 � 116.
Poluçeno 12.12.07,
posle dorabotky � 17.07.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
|