Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области
Встановлено інтегральні зображення узагальнених осесиметричних потенцiалiв через аналітичні функції комплексної змінної, задані в довільній однозв'язній обмеженій області що є симетричною відносно дійсної осі. Доведено, що ці інтегральні зображення задають взаємно однозначну відповідність між а...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166213 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области / С.В. Грищук, С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 160-177. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166213 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662132020-02-19T01:25:25Z Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области Грищук, С.В. Плакса, С.А. Статті Встановлено інтегральні зображення узагальнених осесиметричних потенцiалiв через аналітичні функції комплексної змінної, задані в довільній однозв'язній обмеженій області що є симетричною відносно дійсної осі. Доведено, що ці інтегральні зображення задають взаємно однозначну відповідність між аналітичними функціями комплексної змінної, що набувають дійсних значень на дійсній осі, та узагальненими осесиметричними потенціалами певних класів. We obtain integral representations of generalized axially symmetric potentials via analytic functions of a complex variable that are defined in an arbitrary simply connected bounded domain symmetric with respect to the real axis. We prove that these integral representations establish a one-to-one correspondence between analytic functions of a complex variable that take real values on the real axis and generalized axially symmetric potentials of certain classes. 2009 Article Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области / С.В. Грищук, С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 160-177. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166213 517.96 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Грищук, С.В. Плакса, С.А. Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области Український математичний журнал |
| description |
Встановлено інтегральні зображення узагальнених осесиметричних потенцiалiв через аналітичні функції комплексної змінної, задані в довільній однозв'язній обмеженій області що є симетричною відносно дійсної осі. Доведено, що ці інтегральні зображення задають взаємно однозначну відповідність між аналітичними функціями комплексної змінної, що набувають дійсних значень на дійсній осі, та узагальненими осесиметричними потенціалами певних класів. |
| format |
Article |
| author |
Грищук, С.В. Плакса, С.А. |
| author_facet |
Грищук, С.В. Плакса, С.А. |
| author_sort |
Грищук, С.В. |
| title |
Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области |
| title_short |
Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области |
| title_full |
Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области |
| title_fullStr |
Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области |
| title_full_unstemmed |
Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области |
| title_sort |
интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166213 |
| citation_txt |
Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов в односвязной области / С.В. Грищук, С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 160-177. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT griŝuksv integralʹnyepredstavleniâobobŝennyhosesimmetričnyhpotencialovvodnosvâznojoblasti AT plaksasa integralʹnyepredstavleniâobobŝennyhosesimmetričnyhpotencialovvodnosvâznojoblasti |
| first_indexed |
2025-07-14T19:10:28Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:10:28Z |
| _version_ |
1837650651245445120 |
| fulltext |
УДК 517.96
C. В. Грищук, С. А. Плакса (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ОБОБЩЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
В ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ*
We obtain integral representations of generalized axial symmetric potentials via analytic functions of complex
variable that are defined in an arbitrary simply connected bounded domain symmetric with respect to the
real axis. We prove that these integral representations establish a one-to-one correspondence between analytic
functions of complex variable that take real values on the real axes and generalized axial symmetric potentials
belonging to certain classes.
Встановлено iнтегральнi зображення узагальнених осесиметричних потенцiалiв через аналiтичнi функ-
цiї комплексної змiнної, заданi в довiльнiй однозв’язнiй обмеженiй областi, що є симетричною вiд-
носно дiйсної осi. Доведено, що цi iнтегральнi зображення задають взаємно однозначну вiдповiднiсть
мiж аналiтичними функцiями комплексної змiнної, що набувають дiйсних значень на дiйснiй осi, та
узагальненими осесиметричними потенцiалами певних класiв.
Уравнение (
∂2
∂x2 +
∂2
∂y2
)
u(x, y) +
m
y
∂u(x, y)
∂y
= 0 (1)
с линией вырождения Ox имеет фундаментальное значение в теории обобщенно-
го оceсимметричного потенциала (см. [1 – 10]). Ряд эффективных методов иссле-
дования осесимметричных потенциальных полей основывается на интегральных
представлениях решений уравнения (1) через аналитические функции комплексной
переменной (см. [1, 3 – 6, 9, 11, 12]).
Известно также, что решение уравнения (1) является компонентой обобщенной
аналитической функции [13] или p-аналитической функции [7] комплексной пере-
менной, а приm = 1 — компонентой моногенной функции, принимающей значения
в бесконечномерной коммутативной банаховой алгебре [14].
Отметим, что большинство упомянутых интегральных представлений (см. [1,
3 – 7, 13, 14]) получены в областях специального вида (полностью содержащих
перпендикулярные к линии вырождения отрезки при условии, что их концы при-
надлежат самим областям) или в дополнении к замыканию указанных областей.
В работе [11] установлены интегральные представления решений уравнения (1)
приm = 1 через аналитические функции комплексной переменной в произвольной
ограниченной односвязной области, симметричной относительно осиOx. В данной
работе устанавливаются некоторые аналоги результатов работы [11] при m > 0 в
случае m 6= 1.
1. Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциа-
лов и краевые задачи. Пусть D — ограниченная односвязная область декартовой
плоскости xOy, симметричная относительно оси Ox. Обозначим через R дей-
ствительную ось, а через Dz — область комплексной плоскости C, конгруэнтную
области D при соответствии z = x+ iy.
Для каждой точки z ∈ Dz, для которой Im z 6= 0, зафиксируем произвольную
гладкую жорданову кривую Γzz̄, лежащую в области Dz и соединяющую точки
*Выполнена при частичной поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований
Украины (проект № 25.1/084) и Государственной программы Украины № 0107U002027.
c© C. В. ГРИЩУК, С. А. ПЛАКСА, 2009
160 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ... 161
z, z̄, при этом условимся началом кривой считать точку с отрицательной мнимой
частью.
Если z ∈ Dz, Im z 6= 0 и α ∈ R, то
(
(t− z)(t− z̄)
)α
понимаем как ветвь
аналитической функции L(t) :=
(
(t− z)(t− z̄)
)α
с разрезом вдоль жордановой
кривой, последовательно соединяющей точки z, ∞, z̄ и имеющей с множеством
Γzz̄ ∪ R общими только точки z, z̄, такую, что L(t) > 0 при всех t > max
τ∈Γzz̄
Re τ.
Если m > 0 и функция F голоморфна в области Dz, то функция
u(x, y) =
1
2πi|y|m−1
∫
Γzz̄
F (t)
(
(t− z)(t− z̄)
)m/2−1
dt , z = x+ iy, (2)
удовлетворяет уравнению (1) на множестве
{
(x, y) ∈ D : y 6= 0
}
. При этом сущест-
вует предел
lim
(x,y)→(x0,0)
u(x, y) =
B (m/2, 1/2)
2π
F (x0) ∀x0 ∈ R : (x0, 0) ∈ D , (3)
где B(p, q) — бета-функция Эйлера.
Отметим, что в работе [15] интегральные представления xk-аналитических
функций, схожие по своему виду с выражением (2), по-видимому, впервые рас-
пространены на произвольные области, симметричные относительно линии вырож-
дения соответствующих уравнений.
Обозначим D+ := {(x, y) ∈ D : y > 0}. Через Γ обозначим пересечение гра-
ницы ∂D области D с полуплоскостью {(x, y) : y ≥ 0}, а через b1 и b2 — точки
пересечения границы ∂Dz области Dz с действительной осью, полагая при этом
b1 < b2.
Из равенства (3) следует, что решение (2) уравнения (1) принадлежит классу
C2(D+) функций, непрерывных на множестве D+ ∪
{
(x, 0) ∈ D : b1 < x < b2
}
и
имеющих непрерывные частные производные до второго порядка включительно в
области D+. Кроме того, легко проверить, что функция (2) принадлежит подклассу
N2(D+) класса C2(D+), состоящему из функций, удовлетворяющих дополнитель-
ному условию
lim
(x0,y)→(x0,0)
ym
∂u(x, y)
∂y
= 0 ∀x0 ∈ (b1, b2) .
Целью данной работы является доказательство следующих результатов о пред-
ставлении решений уравнения (1) формулой (2).
Теорема 1. Для каждой действительнозначной функции u(x, y) класса
C2(D+), которая при m ∈ [1, 2) удовлетворяет уравнению (1) в области D+,
существует единственная голоморфная функция F : Dz −→ C, удовлетворяющая
условию
F (z̄) = F (z) ∀z ∈ Dz , (4)
такая, что равенство (2) выполняется при всех (x, y) ∈ D+.
Теорема 2. Для каждой действительнозначной функции u(x, y) класса
N2(D+), которая при m ∈ (0, 1) удовлетворяет уравнению (1) в области D+,
существует единственная голоморфная функция F : Dz −→ C, удовлетворяющая
условию (4), такая, что равенство (2) выполняется при всех (x, y) ∈ D+.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
162 C. В. ГРИЩУК, С. А. ПЛАКСА
Доказательство теорем 1, 2, которое приводится в п. 6, осуществляется методом,
разработанным в [11] для уравнения (1) при m = 1. Схема доказательства вклю-
чает, в частности, редукцию интегрального уравнения (2) с искомой функцией F
к интегральному уравнению Фредгольма второго рода на вещественной прямой
и позволяет получить (при некоторых естественных предположениях о границе
области и заданной функции) формулы решений следующих краевых задач для
уравнения (1):
задача E : при 1 ≤ m < 2 найти решение u : D+ −→ R уравнения (1) класса
C2(D+), которое принимает на Γ значения заданной непрерывной функции uΓ;
задача N0 : при m ∈ (0; 1) найти решение u : D+ −→ R уравнения (1) класса
N2(D+), которое принимает на Γ значения заданной непрерывной функции uΓ.
Известно, что заменой переменных ξ = x, η = y2/4 уравнение (1) приводится
к уравнению
η
∂2u
∂η2
+
∂2u
∂ξ2
+
(1 +m)
2
∂u
∂η
= 0 ,
для которого в работе [16] установлена однозначная разрешимость задачи E в
случае гладкой кривой Γ. Существование и единственность решения задачи N0 в
случае кусочно-гладкой кривой Γ установлены в работе [17].
2. Редукция вспомогательной задачи к сингулярному интегральному урав-
нению. Для функции uΓ : Γ −→ R, непрерывной на дуге Γ, введем в рассмотрение
функцию u∂D : ∂D −→ R, определяемую равенством u∂D(x, y) := uΓ(x, |y|) при
(x, y) ∈ ∂D.
Через Γγzz̄ обозначим дугу границы ∂Dz =: γ с концами z, z̄, содержащую
точку b1, при этом условимся считать началом кривой Γγzz̄ ту из точек z, z̄, мнимая
часть которой отрицательна.
Рассмотрим вспомогательную задачу для заданной граничной функции u∂D(x, y)
об отыскании голоморфной в Dz и непрерывной в Dz функции F, удовлетворяю-
щей дополнительному условию симметрии (4), такой, что ее граничные значения
удовлетворяют интегральному уравнению
1
2πi |y|m−1
∫
Γγzz̄
F (t)
(
(t− z)(t− z̄)
)m/2−1
dt = u∂D(x, y) , (5)
где (x, y) ∈ ∂D : y 6= 0, z = x+ iy.
При решении вспомогательной задачи будем использовать некоторое конформ-
ное отображение σ(Z) единичного круга {Z ∈ C : |Z| < 1} на область Dz такое,
что σ(−1) = b1, σ(1) = b2 и образом полукруга {Z ∈ C : |Z| < 1, ImZ > 0} при
отображении σ(Z) является область {z ∈ Dz : Im z > 0}. Легко видеть, что такое
отображение существует и при всех Z ∈ {Z ∈ C : |Z| ≤ 1} удовлетворяет условию
σ(Z̄) = σ(Z).
Введем в рассмотрение функцию
M(Z, T ) :=
(
(T − Z)(T − Z̄)
(σ(T )− σ(Z))(σ(T )− σ(Z̄))
)1−m/2
, (6)
которую при каждом фиксированном Z 6= −1 будем понимать как непрерывную
ветвь функции, аналитической в единичном круге по переменной T, такую, что
M(Z,−1) > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ... 163
Рассмотрим также функцию
m(ξ, τ) := −i exp (iπm/2)
41−m/2
(τ + i)2−m
τ + i
M
(
ξ − i
ξ + i
,
τ − i
τ + i
)
, ξ, τ ∈ R , (7)
где голоморфная ветвь функции (τ + i)2−m определена вне разреза {τ = iη : η ≤
≤ −1} и принимает значение − exp(−iπm/2) при τ = 0.
Пусть ω : [0,∞) −→ [0,∞) — неубывающая непрерывная функция, для которой
выполняется равенство ω(0) = 0 и существуют постоянные C и ν такие, что при
всех k > 1 и всех ξ > 0 выполняется неравенство ω(kξ) ≤ C kν ω(ξ). Тогда при α ∈
∈ (0; 1] введем в рассмотрение классHωα функций g : ∂Dz −→ C, удовлетворяющих
условию ∣∣g(z1)− g(z2)
∣∣ ≤ cω(rz1z2)
(
|z1 − z2|
rz1z2
)α
∀z1, z2 ∈ ∂Dz ,
где rz1z2 := max
{
|z1 − b1||z1 − b2|, |z2 − b1||z2 − b2|
}
и постоянная c не зависит от
z1, z2. Обозначим через Hωα(∂D) класс функций g∂D : ∂D −→ R, для каждой из
которых функция g, определяемая равенством g(x + iy) := g∂D(x, y) при (x, y) ∈
∈ ∂D, принадлежит классу Hωα.
Отметим, что если функция u∗ суммируема на отрезке [a, a1], а на отрезке
[a1, a2] удовлетворяет условию Гельдера
|u∗(ξ1)− u∗(ξ2)| ≤ c |ξ1 − ξ2|α ∀ξ1, ξ2 ∈ [a1, a2] ,
где α > µ, 0 < µ < 1, и постоянная c не зависит от ξ1, ξ2, то по стандартной схеме
[18, с. 573] при любом ξ ∈ (a1, a2) получаем равенство
d
dξ
ξ∫
a
su∗(s)
(ξ2 − s2)µ(s2 − a2)1−µ ds = −2µξ
ξ∫
a
s(u∗(s)− u∗(ξ))
(ξ2 − s2)1+µ(s2 − a2)1−µ ds (8)
и, кроме того, справедливо также равенство
lim
τ→ξ
ξ∫
τ
su∗(s)
(ξ2 − s2)µ(s2 − τ2)1−µ ds =
π
2 sin(πµ)
u∗(ξ) ∀ξ ∈ (a1, a2]. (9)
В следующей теореме, которая доказывается по схеме доказательства теоре-
мы 2 из [11], в случае 0 < m < 2 приведены достаточные условия редукции
вспомогательной задачи для заданной граничной функции u∂D(x, y) к сингулярно-
му интегральному уравнению на действительной оси.
Теорема 3. Пусть 0 < m < 2 и функция u∂D принадлежит классу Hωα(∂D),
m/2 < α ≤ 1. Пусть при этом отображение σ(Z) дифференцируемо в точках
множества {Z ∈ C : |Z| = 1, Z 6= ±1}, функция σ′(Z) в тех же точках непре-
рывна и не равна нулю, а в окрестности точек Z = ±1 удовлетворяет оценке
|σ′(Z)| ≤ c
(
|Z + 1|−β + |Z − 1|−β
)
,
где β ∈ (0; 1) и постоянная c не зависит от Z.
Пусть, кроме того, функция M(Z, T ) при любых A1, A2 ∈ (−1; 1), A1 < A2,
удовлетворяет условию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
164 C. В. ГРИЩУК, С. А. ПЛАКСА∣∣M(Z1, T )−M(Z2, T )
∣∣ ≤ c|Z1 − Z2|α
′
∀T, Z1, Z2 ∈ {Z ∈ C : |Z| = 1} : − 1 < ReT < A1 < ReZ1 < ReZ2 < A2,
ImZ1 ImT > 0, ImZ2 ImT > 0,
где m/2 < α′ ≤ 1 и постоянная c не зависит от Z1 и Z2.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) каждое решение F вспомогательной задачи для граничной функции u∂D
по формуле
Up(ξ) = Re
i
(
F
(
σ
(
ξ − i
ξ + i
))
− 2π u∂D(b2, 0)/B
(
m
2
,
1
2
))
σ′+
(
ξ − i
ξ + i
)
2 sin
πm
2
(ξ + i)
∀ξ > 0
порождает решение сингулярного интегрального уравнения
A(ξ, ξ)Up(ξ) +
2ξ
π
B(ξ, ξ)
∞∫
0
Up(τ)
τ2 − ξ2
dτ−
−
4m sin πm
2
π2
ξ
ξ∫
0
ξ∫
τ
s(B(s, τ)−B(ξ, τ))
(ξ2 − s2)1+m/2(s2 − τ2)1−m/2 ds
∞∫
0
τ Up(η)
η2 − τ2
dη
dτ−
−
2m sin πm
2
π
ξ
ξ∫
0
ξ∫
τ
Up(τ) s (A(s, τ)−A(ξ, τ))
(ξ2 − s2)1+m/2(s2 − τ2)1−m/2 ds dτ = f∗(ξ) ∀ξ > 0, (10)
в котором
A(ξ, τ) := 2 Rem(ξ, τ), B(ξ, τ) := 2 Imm(ξ, τ), (11)
f∗(ξ) := u∗(ξ)ξ1−m −mξ
ξ∫
0
s(u∗(s)− u∗(ξ))
(ξ2 − s2)1+m/2
ds (12)
и функция u∗ выражается через заданную функцию u∂D равенством
u∗(ξ) :=
|y|m−1
(ξ2 + 1)1−m/2
(
u∂D(x, y)− u∂D(b2, 0)
)
,
где x+ iy = σ
(
ξ − i
ξ + i
)
;
2) если в сингулярном интегральном уравнении (10) функции A, B, f∗ опреде-
ляются равенствами (11), (12) и функция Up является таким его решением, что
функция
F0(z) = −
2 sin
πm
2
(ξ + i)
π σ′+
(
ξ − i
ξ + i
) ∞∫
−∞
Up(|τ |)
τ − ξ
dτ, z = σ
(
ξ − i
ξ + i
)
, Im ξ > 0, (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ... 165
непрерывно продолжается из области Dz на границу ∂Dz, то функция
F (z) = F0(z) +
2π u∂D(b2, 0)
B
(
m
2
,
1
2
) (14)
является решением вспомогательной задачи для заданной граничной функции u∂D.
Доказательство. Перепишем интегральное уравнение (5) в виде
1
2πi|y|m−1
∫
Γγzz̄
F0(t)
(
(t− z)(t− z̄)
)m/2−1
dt = u∂D(x, y)− u∂D(b2, 0) , (15)
где F0(t) := F (t)− 2π u∂D(b2, 0)/B
(
m
2
,
1
2
)
.
Использовав конформное отображение z = σ(Z) единичного круга на область
Dz и обозначив через Czz̄ прообраз дуги Γγzz̄ при этом отображении, преобразуем
уравнение (15) к виду
1
2πi
∫
Czz̄
F0
(
σ(T )
)
σ′(T )(
(σ(T )− σ(Z)
)(
σ(T )− σ(Z̄))
)1−m/2 dT =
=
∣∣Imσ(Z)
∣∣m−1(
u∂D(Reσ(Z), Imσ(Z))− u∂D(b2, 0)
)
. (16)
Пусть Z ∈ C : ImZ 6= 0. Введем в рассмотрение непрерывную ветвь
(
(T −
−Z)(T −Z̄)
)1−m/2
функции Lm(T ) :=
(
(T −Z)(T −Z̄)
)1−m/2
, аналитической вне
разреза {T ∈ C : | ImT | ≥ | ImZ|}, такую, что Lm(T ) > 0 при всех T ∈ R : T > 1.
Легко устанавливается равенство
((
σ(T )− σ(Z))(σ(T )− σ(Z̄)
))1−m/2
=
(
(T − Z)(T − Z̄)
)1−m/2
M(Z, T )
,
с учетом которого уравнение (16) приводится к виду
1
2πi
∫
Czz̄
F+(T )M(Z, T )σ′(T )(
(T − Z)(T − Z̄)
)1−m/2 dT =
=
∣∣Imσ(Z)
∣∣m−1(
u∂D(Reσ(Z), Imσ(Z))− u∂D(b2, 0)
)
, (17)
где F+(T ) := F0(σ(T )).
Выполним теперь конформное отображение ξ = i
1 + Z
1− Z
комплексной плоскос-
ти. При этом отображении образом дуги Czz̄ является отрезок
[
− |ξ|, |ξ|
]
, причем
точки T, T̄ дуги Czz̄, симметричные относительно вещественной прямой, отобра-
жаются соответственно в точки τ и −τ отрезка [−|ξ|, |ξ|], симметричные относи-
тельно точки 0. Используя равенство
(
(T − Z)(T − Z̄)
)1−m/2 = −
41−m/2 exp
(
− iπm
2
)
(τ + i)2−m
(
ξ2 − τ2
)1−m/2
(ξ2 + 1)1−m/2 ∀T ∈ Czz̄ ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
166 C. В. ГРИЩУК, С. А. ПЛАКСА
в котором соответствующие точки T ∈ Czz̄ и τ ∈
[
−|ξ|, |ξ|
]
связаны соотношени-
ем T =
τ − i
τ + i
, указанным конформным отображением плоскости уравнение (17)
приводится к интегральному уравнению
1
π
|ξ|∫
−|ξ|
F∗(τ) m(ξ, τ)
(ξ2 − τ2)1−m/2 dτ = u∗(ξ) ∀ξ ∈ R \ {0}, (18)
где функция F∗(τ) := i F+(T )σ′(T )/(τ + i) голоморфна в полуплоскости {τ ∈
∈ C : Im τ > 0}, нерерывно продолжается на R \ {0} и равна нулю на бесконеч-
ности.
Вследствие четности функции u∗ уравнение (18) равносильно уравнению
1
π
ξ∫
0
F∗(τ)m(ξ, τ) + F∗(−τ)m(ξ,−τ)
(ξ2 − τ2)1−m/2 dτ = u∗(ξ) ∀ξ > 0. (19)
Полагая в равенстве (19) ξ = s, а затем умножая обе его части на s(ξ2 − s2)−m/2
и, наконец, интегрируя по переменной s на отрезке [0, ξ], имеем равенство
1
π
ξ∫
0
s
(ξ2 − s2)m/2
s∫
0
F∗(τ)m(s, τ) + F∗(−τ)m(s,−τ)
(s2 − τ2)1−m/2 dτ ds =
ξ∫
0
su∗(s)
(ξ2 − s2)m/2
ds.
Изменяя порядок интегрирования в повторном интеграле, из этого равенства полу-
чаем соотношение
1
π
ξ∫
0
ξ∫
τ
s
(
F∗(τ)m(s, τ) + F∗(−τ)m(s,−τ)
)
(ξ2 − s2)m/2(s2 − τ2)1−m/2 ds dτ =
ξ∫
0
s u∗(s)
(ξ2 − s2)m/2
ds. (20)
Далее, дифференцируя равенство (20) по переменной ξ и учитывая при этом ра-
венства (8), (9), находим
−mξ
π
ξ∫
0
ξ∫
τ
F∗(τ)
(
m(s, τ)−m(ξ, τ)
)
+ F∗(−τ)
(
m(s,−τ)−m(ξ,−τ)
)
(ξ2 − s2)1+m/2(s2 − τ2)1−m/2 ds dτ +
+
1
2 sin(πm/2)
(
F∗(ξ)m(ξ, ξ) + F∗(−ξ)m(ξ,−ξ)
)
= f∗(ξ) . (21)
Очевидно, что при всех τ ∈ R выполняется равенство
m(ξ,−τ) = m(ξ, τ). (22)
Функция F∗, в свою очередь, удовлетворяет соотношению (см. равенство (27)
работы [11])
F∗(−τ) = F∗(τ) ∀τ ∈ R \ {0}. (23)
Введем в рассмотрение функции Up(ξ) := ReF∗(ξ)/
(
2 sin
πm
2
)
, Vp(ξ) :=
:= ImF∗(ξ)/
(
2 sin
πm
2
)
и с учетом соотношений (22), (23) перепишем равенст-
во (21) в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ... 167
A(ξ, ξ)Up(ξ)−B(ξ, ξ)Vp(ξ)−
−
2m sin πm
2
π
ξ
ξ∫
0
ξ∫
τ
Up(τ) s
(
A(s, τ)−A(ξ, τ)
)
(ξ2 − s2)1+m/2(s2 − τ2)1−m/2 ds dτ+
+
2m sin πm
2
π
ξ
ξ∫
0
ξ∫
τ
Vp(τ) s (B(s, τ)−B(ξ, τ))
(ξ2 − s2)1+m/2(s2 − τ2)1−m/2 ds dτ = f∗(ξ). (24)
Используя формулу Гильберта для обращения сингулярного интеграла Коши
[18, с. 93], с учетом четности функции Up имеем равенства
Vp(ξ) = − 1
π
∞∫
−∞
Up(τ)
τ − ξ
dτ = −2ξ
π
∞∫
0
Up(τ)
τ2 − ξ2
dτ ∀ξ > 0 . (25)
Наконец, подставляя выражение (25) в равенство (24), получаем сингулярное инте-
гральное уравнение (10) для нахождения функции Up. Таким образом, утверждение
1 теоремы доказано, а для завершения доказательства утверждения 2 остается за-
метить, что функция F выражается через функцию Up по формуле (13) в результате
решения задачи Шварца для полуплоскости [19, с. 209].
3. Вспомогательные утверждения. Предположим, что конформное отобра-
жение σ(Z) имеет непрерывную контурную производную на единичной окруж-
ности, не равную нулю ни в одной точке окружности. В этом случае при всех
T,Z ∈ {Z ∈ C : |Z| = 1} выполняются неравенства
0 < c1 ≤
∣∣∣∣σ(T0)− σ(Z0)
T0 − Z0
∣∣∣∣ ≤ c2, (26)
где c1, c2 — некоторые абсолютные постоянные, и при всех T0, T1, Z1, Z0 ∈ {Z ∈
∈ C : |Z| = 1} таких, что −1 < ReT0 < ReT1 < ReZ1 < ReZ0 < 1, ImT1 ImT0 >
> 0, ImZ1 ImT0 > 0, ImZ0 ImT0 > 0, справедливы оценки∣∣∣∣σ(T0)− σ(Z1)
T0 − Z1
− σ(T0)− σ(Z0)
T0 − Z0
∣∣∣∣ ≤ cω(σ′, |T0 − Z0|)
|T0 − Z0|
|Z1 − Z0|, (27)
∣∣∣∣σ(T1)− σ(Z0)
T1 − Z0
− σ(T0)− σ(Z0)
T0 − Z0
∣∣∣∣ ≤ c ω(σ′, |T0 − Z0|)
|T0 − Z0|
|T1 − T0|. (28)
Здесь c — некоторая абсолютная постоянная и
ω(σ′, ε) := sup
|T1|=|T2|=1, |T1−T2|≤ε
|σ′(T1)− σ′(T2)| .
Лемма 1. Пусть 0 < m < 2, функция v : (0,∞) −→ C суммируема на интер-
вале (0, 1) и удовлетворяет условиям
lim
ξ→∞
v(ξ) = 0, (29)
|v(s)− v(ξ)| ≤ c ω(s−1)
(ξ − s)α
s ξα
∀s, ξ : 1 ≤ s < ξ, (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
168 C. В. ГРИЩУК, С. А. ПЛАКСА
где ω : (0, 2] −→ (0,∞) — неубывающая ограниченная функция, α ∈ (m/2; 1] и
постоянная c не зависит от s и ξ.
Тогда при всех ξ ≥ 2 справедливы оценки
∣∣∣v(ξ)ξ1−m
∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣ξ
ξ∫
0
s(v(s)− v(ξ))
(ξ2 − s2)1+m/2
ds
∣∣∣∣∣∣ ≤ c
ξ1+m
1∫
1/ξ
ω(η)
η2
dη , (31)
∣∣∣v(ξ + ε)(ξ + ε)1−m − v(ξ)ξ1−m
∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣(ξ + ε)
ξ+ε∫
0
s(v(s)− v(ξ + ε))
((ξ + ε)2 − s2)1+m/2
ds− ξ
ξ∫
0
s(v(s)− v(ξ))
(ξ2 − s2)1+m/2
ds
)∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ c
ξm
ω(2/ξ)
εα−m/2
ξα−m/2
+
ε
ξ2
1∫
1/ξ
ω(η)
η2
dη
∀ε ∈ (0; ξ/2], (32)
где постоянная c не зависит от ξ и ε.
Лемма 2. Пусть 0 < m < 2 и функция v : (0, 3) −→ C удовлетворяет усло-
вию ∣∣v(s)− v(ξ)
∣∣ ≤ cω(ξ)
(ξ − s)α
sα0
∀s, ξ : 0 < s < ξ < 3,
где ω : (0, 9/2) −→ (0,∞) — неубывающая ограниченная функция, α ∈ (m/2; 1],
α0 ∈ (−∞; 2) и постоянная c не зависит от s и ξ.
Тогда при всех ξ ∈ (0; 2) справедливы оценки∣∣∣∣∣∣ξ
ξ∫
0
s(v(s)− v(ξ))
(ξ2 − s2)1+m/2
ds
∣∣∣∣∣∣ ≤ c ω(ξ) ξ1+α−m−α0 , (33)
∣∣∣∣∣∣(ξ + ε)
ξ+ε∫
0
s(v(s)− v(ξ + ε))
((ξ + ε)2 − s2)1+m/2
ds− ξ
ξ∫
0
s(v(s)− v(ξ))
(ξ2 − s2)1+m/2
ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ cω(3ξ/2)
εα−m/2
ξα0+m/2−1
∀ε ∈ (0; ξ/2], (34)
где постоянная c не зависит от ξ и ε.
Оценки (31) – (34) устанавливаются аналогично соответствующим оценкам лем-
мы 3 из [20].
Лемма 3. Пусть 0 < m < 2 и функция u∂D принадлежит классу Hωα(∂D),
m/2 < α ≤ 1. Если при этом конформное отображение σ(Z) имеет непрерывную
контурную производную на окружности {Z ∈ C : |Z| = 1}, не равную нулю ни в
одной точке этой окружности, то функция (12) имеет предел
f∗(0) := lim
ξ→0
f∗(ξ) = (1 + a0)ϕ∗(0) ,
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ... 169
ϕ∗(0) := 2m−1 |σ′(−1)|m−1
(
u∂D(b1, 0)− u∂D(b2, 0)
)
,
a0 :=
1∫
0
τm − τ
(1− τ2)1+m/2
dτ ,
и при всех ξ ∈ (0; 2) справедливы оценки
|f∗(ξ)− f∗(0)| ≤ c (ω(ξ) + |m− 1|ω(σ′, ξ)) ,
|f∗(ξ + ε)− f∗(ξ)| ≤ c
(
ω(ξ)
εα−m/2
ξα−m/2
+ |m− 1|ω(σ′, ξ)
ε1−m/2
ξ1−m/2
)
∀ε ∈ (0, ξ/2],
а при всех ξ ≥ 2 — оценки
|f∗(ξ)| ≤
c
ξ1+m
1∫
1/ξ
ω(η)
η2
dη , (35)
|f∗(ξ + ε)− f∗(ξ)| ≤
c
ξm
ω(ξ−1)
εα−m/2
ξα−m/2
+
ε
ξ2
1∫
1/ξ
ω(η)
η2
dη
∀ε ∈ (0; ξ/2],
(36)
в которых постоянная c не зависит от ξ и ε.
Доказательство. Легко устанавливается равенство вида (29) для функции
u∗. Поскольку функция u∂D принадлежит классу Hωα(∂D), где α ∈ (m/2; 1], с
использованием оценок (26), (28) получаем неравенство (30) при v = u∗. Поэтому
оценки (35), (36) являются следствием оценок (31), (32).
Для доказательства других утверждений леммы представим функцию u∗ в виде
u∗(ξ) = ξm−1 ϕ∗(ξ), где
ϕ∗(ξ) :=
(
|y|
ξ
)m−1
(ξ2 + 1)m/2−1
(
u∂D(x, y)− u∂D(b2, 0)
)
.
Используя условие u∂D ∈ Hωα(∂D), m/2 < α ≤ 1, а также оценки (26), (27),
для функции ϕ∗ при всех s и ξ таких, что 0 < s < ξ < 3, получаем неравенство∣∣ϕ∗(s)− ϕ∗(ξ)∣∣ ≤ c (ω(ξ)
(ξ − s)α
ξα
+ |m− 1|ω(σ′, ξ)
ξ − s
ξ
)
, (37)
выполняя в котором предельный переход при s→ 0, имеем также∣∣ϕ∗(ξ)− ϕ∗(0)
∣∣ ≤ c (ω(ξ) + |m− 1|ω(σ′, ξ)) (38)
(здесь и далее в доказательстве через c обозначены постоянные, не зависящие
от ξ и s).
Представим теперь функцию f∗ в виде
f∗(ξ) = ϕ∗(ξ) + a0 ϕ∗(0) + ξ
ξ∫
0
s (ϕ̂∗(s)− ϕ̂∗(ξ))
(ξ2 − s2)1+m/2
ds ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
170 C. В. ГРИЩУК, С. А. ПЛАКСА
где ϕ̂∗(ξ) := ξm−1(ϕ∗(ξ)− ϕ∗(0)). С использованием оценок (37), (38) при всех s
и ξ таких, что 0 < s < ξ < 3, легко устанавливается неравенство∣∣ϕ̂∗(s)− ϕ̂∗(ξ)∣∣ ≤ c(ω(ξ)
(ξ − s)α
ξ1+α−m + |m− 1|
(
ω(ξ) + ω(σ′, ξ)
) ξ − s
ξ1+α∗ sα∗
)
,
в котором α∗ := min {0, 1−m}, α∗ := max {0, 1−m}.
Наконец, для завершения доказательства остается воспользоваться леммой 2
при v = ϕ̂∗.
Лемма доказана.
Следствием неравенства (26) и оценок (27), (28) являются аналогичные оценки
для функции (6):∣∣M(Z1, T0)−M(Z0, T0)
∣∣ ≤ c ω(σ′, |T0 − Z0|)
|T0 − Z0|
|Z1 − Z0|,
∣∣M(Z0, T1)−M(Z0, T0)
∣∣ ≤ c ω(σ′, |T0 − Z0|)
|T0 − Z0|
|T1 − T0|
∀T0, T1, Z1, Z0 ∈ {Z ∈ C : |Z| = 1} : − 1 < ReT0 < ReT1 < ReZ1 < ReZ0 < 1,
ImT1 ImT0 > 0, ImZ1 ImT0 > 0, ImZ0 ImT0 > 0
(здесь c — некоторая абсолютная постоянная), с использованием которых получаем
такие неравенства для функции (7):
∣∣m(ξ1, τ0)−m0(ξ0, τ0)
∣∣ ≤ c ω(σ′, |T0 − Z0|)
|T0 − Z0|
(τ0 + 1)1−m (ξ0 − ξ1)
(ξ0 + 1)(ξ1 + 1)
, (39)
∣∣m(ξ0, τ1)−m(ξ0, τ0)
∣∣ ≤ c(ω(σ′, |T0 − Z0|)
|T0 − Z0|
1
(τ1 + 1)
+ 1
)
(τ1 − τ0)
(τ0 + 1)m
(40)
∀τ0, τ1, ξ1, ξ0 : 0 < τ0 < τ1 < ξ1 < ξ0.
Здесь c — некоторая абсолютная постоянная, Z0 := (ξ0 − i)/(ξ0 + i), T0 := (τ0 −
− i)/(τ0 + i).
Лемма 4. Для функции
m̂(ξ, τ) =
2ξ
π
ξ∫
τ
s(m(s, τ)−m(ξ, τ))
(ξ2 − s2)1+m/2(s2 − τ2)1−m/2 ds
справедливы оценки∣∣m̂(ξ, τ)
∣∣ ≤ c ω(σ′, |T − Z|)
|T − Z|
1
(ξ + 1)1+m/2(τ + 1)m/2
∀ξ > τ > 0, (41)
∣∣m̂(ξ, τ)− m̂(ξ − ε, τ)
∣∣ ≤
≤ c ω(σ′, |T − Z|)
|T − Z|
1
(ξ + 1)1+m/2(τ + 1)m/2
(
ε
ξ − τ
)1−m/2
(42)
∀ε > 0 ∀τ > 0 ∀ξ > τ + 3ε,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ... 171∣∣m̂(ξ, τ + ε)− m̂(ξ, τ)
∣∣ ≤
≤ c
(
ω(σ′, |T − Z|)
|T − Z|
1
(τ + 1)m+1
+
1
(τ + 1)m
)(
ε
ξ − τ
)βm
(43)
∀ε ∈ (0; 1) ∀τ > 0 ∀ξ > τ + 3ε,
где T := (τ − i)/(τ + i), Z := (ξ − i)/(ξ + i), βm := min{m/2, 1 − m/2} и
постоянная c не зависит от τ, ξ, ε.
Доказательство леммы 4 проводится с использованием оценок (39), (40) анало-
гично доказательству леммы 3 из [11] или леммы 1 из [21].
Всюду в дальнейшем α∗ := max {0, 1−m}.
Лемма 5. Пусть модуль непрерывности контурной производной конформно-
го отображения σ(Z) на окружности {Z ∈ C : |Z| = 1} удовлетворяет условию
1∫
0
ω(σ′, η)
η
dη <∞ ,
а для функции m̂(ξ, τ) справедливы оценки (41), (42).
Тогда справедливы также оценки
ξ∫
0
|m̂(ξ, τ)|
(τ2 + 1)(1−α∗)/2 dτ ≤
≤ c
(ξ + 1)1+m/2+α∗
2∫
0
ω(σ′, η)
η((ξ + 1)m/2−1 + η1−m/2)
dη ∀ξ ≥ 1,
ξ∫
0
|m̂(ξ, τ)|
(τ2 + 1)(1−α∗)/2 dτ ≤ c
ξ∫
0
ω(σ′, η)
η
dη ∀ξ ∈ (0; 1] ,
∣∣∣∣∣∣
ξ+ε∫
0
|m̂(ξ + ε, τ)|
(τ2 + 1)(1−α∗)/2 dτ −
ξ∫
0
|m̂(ξ, τ)|
(τ2 + 1)(1−α∗)/2 dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ c ε
1−m/2
1
(ξ + 1)m+α∗
2∫
0
ω(σ′, η)
η(ε1−m/2
1 + η1−m/2)
dη ∀ξ > 4ε > 0,
где ε1 := ε/(ξ2 + 1) и постоянная c не зависит от ξ и ε.
Лемма 5 доказывается аналогично лемме 2 из [21].
Лемма 6. Пусть модуль непрерывности контурной производной конформно-
го отображения σ(Z) на окружности {Z ∈ C : |Z| = 1} удовлетворяет условию
1∫
0
ω(σ′, η)
η
ln
1
η
dη <∞ ,
а для функции m̂(ξ, τ) справедливы оценки (41) – (43).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
172 C. В. ГРИЩУК, С. А. ПЛАКСА
Тогда для функции
mp(ξ, τ) :=
ξ∫
0
m̂(ξ, s)
s− τ
ds ,
в свою очередь, справедливы оценки
∞∫
−∞
|mp(ξ, τ)|
(τ2 + 1)(1−α∗)/2 dτ ≤ c
ln(ξ + 1)
(ξ + 1)1+m/2+α∗
×
×
2∫
0
ω(σ′, η)
η
ln(3/η)
(ξ + 1)m/2−1 ln(ξ + 1) + η1−m/2 ln(3/η)
dη ∀ξ ≥ 1,
∞∫
−∞
|mp(ξ, τ)|
(τ2 + 1)(1−α∗)/2 dτ ≤ c
ξ∫
0
ω(σ′, η)
η
ln
3
η
dη ∀ξ ∈ (0, 1] ,
∞∫
−∞
|mp(ξ + ε, τ)−mp(ξ, τ)|
(τ2 + 1)(1−α∗)/2 dτ ≤ c
(ξ + 1)m+α∗
ε1
1−m/2 ln
(
1
ε1
)
×
×
2∫
0
ω(σ′, η)
η
ln(3/η)
ε1
1−m/2 ln(1/ε1) + η1−m/2 ln(3/η)
dη ∀ξ > 4ε > 0,
где ε1 := ε/(ξ2 + 1) и постоянная c не зависит от ξ и ε.
Доказательство леммы 6 проводится по схеме доказательства леммы 3 из [21].
4. Регуляризация сингулярного интегрального уравнения. Обозначим через
C(R) банахово пространство функций g∗ : R −→ C, непрерывных на расширенной
вещественной прямой R∪{∞}, с нормой ‖g∗‖C(R) := sup
τ∈R
∣∣g∗(τ)
∣∣. При этом введем
в рассмотрение локальный центрированный (относительно бесконечно удаленной
точки) модуль непрерывности
ωR,∞(g∗, ε) := sup
τ∈R:|τ |≥1/ε
∣∣g∗(τ1)− g∗(∞)
∣∣
функции g∗ ∈ C(R), а также ее модуль непрерывности
ωE(g∗, ε) := sup
τ1,τ2∈E: |τ1−τ1|≤ε
∣∣g∗(τ1)− g∗(τ2)
∣∣
на множестве E ⊂ R.
Теперь через D̃(R) обозначим класс функций g∗ ∈ C(R), модули непрерывнос-
ти которых удовлетворяют условиям Дини
1∫
0
ωR,∞(g∗, η)
η
dη <∞,
1∫
0
ωR\(−a,a)(g∗, η)
η
dη <∞
при всех a > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ... 173
Обозначим через Ce(R) подпространство банахова пространства C(R), состо-
ящее из четных функций, а через D̃e(R) множество четных функций класса D̃(R).
Введем в рассмотрение функции
m̂(ξ, τ) :=
:=
2ξ
π
ξ∫
τ
s(m(s, τ)−m(ξ, τ))
(ξ2 − s2)1+m/2(s2 − τ2)1−m/2 ds при ξτ > 0, |τ | < |ξ|,
0 при ξτ < 0 или ξτ > 0, |τ | > |ξ|,
Â(ξ, τ) := 2 Re m̂(ξ, τ) , B̂(ξ, τ) := 2 Im m̂(ξ, τ) ,
kp(ξ, τ) := − ξ
|ξ|
Â(ξ, τ) +
1
π
ξ∫
0
B̂(ξ, η)
η − τ
dη ,
f̂∗(τ) :=
f∗(τ) при τ ≥ 0 ,
f∗(−τ) при τ < 0,
а также интегральные операторы
(kpf)(ξ) :=
∞∫
−∞
kp(ξ, τ)
(τ2 + 1)(1−α∗)/2 f(τ) dτ ,
(Rf)(ξ) := (ξ2 + 1)(1−α∗)/2
A(ξ, ξ)
(A(ξ, ξ))2 + (B(ξ, ξ))2
f(ξ) +
+
P (ξ)
2m π
∞∫
−∞
(
(τ2 + 1)
∣∣Imσ
(
τ−i
τ+i
)∣∣
2 |τ |
)1−m/2
f(τ)
τ − ξ
dτ
,
где
P (ξ) := exp
(
− iπm
2
)
(ξ + i)m−1
(
σ′
(
ξ − i
ξ + i
))1−m/2
+
+ exp
(
iπm
2
)
(ξ − i)m−1
(
σ′
(
ξ + i
ξ − i
))1−m/2
,
при этом голоморфная ветвь функции (ξ + i)m−1 определена вне разреза {ξ =
= iη : η ≤ −1} и принимает значение exp
(
i
π
2
(m − 1)
)
при ξ = 0, голоморфная
ветвь функции (ξ − i)m−1 определена вне разреза {ξ = iη : η ≥ 1} и принимает
значение exp
(
i
π
2
(1 −m)
)
при ξ = 0, а значения голоморфных соответственно в
полуплоскостях {ξ ∈ C : Im ξ > 0}, {ξ ∈ C : Im ξ < 0} функций (σ′((ξ − i)/(ξ +
+ i)))1−m/2, (σ′((ξ + i)/(ξ − i)))1−m/2 положительны при ξ = 0.
В следующей теореме приведены условия, достаточные для регуляризации син-
гулярного интегрального уравнения (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
174 C. В. ГРИЩУК, С. А. ПЛАКСА
Теорема 4. Пусть 0 < m < 2 и функция u∂D принадлежит классу Hωα(∂D),
m/2 < α ≤ 1, при этом конформное отображение σ(Z) имеет на окружности
{Z ∈ C : |Z| = 1} непрерывную контурную производную, которая не равна нулю ни
в одной точке этой окружности и модуль непрерывности которой удовлетворяет
условию
1∫
0
ω(σ′, η)
η
ln3 1
η
dη <∞ .
Тогда каждое решение сингулярного интегрального уравнения (10) вида
Up(ξ) =
U0(ξ)
(ξ2 + 1)(1−α∗)/2 , (44)
где U0 ∈ D̃e(R), может быть получено в результате решения интегрального
уравнения Фредгольма
U0(ξ) + (R(kpU0))(ξ) = (Rf̂∗)(ξ) ∀ξ ∈ R, (45)
в котором оператор Rkp компактен в пространстве Ce(R). При этом уравне-
ние (45) имеет единственное решение в пространстве Ce(R), которое принадле-
жит классу D̃e(R).
Доказательство. Как и в случае m = 1 при доказательстве теоремы 3 из [11],
запишем сингулярное интегральное уравнение (10) в виде
A(ξ, ξ)Up(ξ)+
iB(ξ, ξ)
πi
∞∫
−∞
Up(τ)
τ − ξ
dτ+
∞∫
−∞
kp(ξ, τ)Up(τ) dτ = f̂∗(ξ) ∀ξ ∈ R , (46)
при этом вследствие четности обеих частей равенства (46) уравнения (46) и (10)
эквивалентны.
Рассмотрим соответствующее уравнению (46) характеристическое уравнение
[18]
A(ξ, ξ)U∗(ξ) +
iB(ξ, ξ)
πi
∞∫
−∞
U∗(τ)
τ − ξ
dτ = f(ξ) ∀ξ ∈ R , (47)
в котором f ∈ D̃e(R). Для нахождения решения уравнения (47) в классе функций,
представимых в виде U∗(ξ) = U0(ξ)/(ξ2+1)(1−α∗)/2, где U0 ∈∈ D̃e(R), используем
классический метод [18] приведения характеристического уравнения к краевой
задаче Римана
Φ+(ξ) = G(ξ)Φ−(ξ) + g(ξ) ∀ξ ∈ R , (48)
коэффициент G и свободный член g которой задаются равенствами
G(ξ) :=
A(ξ, ξ)− i B(ξ, ξ)
A(ξ, ξ) + i B(ξ, ξ)
, g(ξ) :=
f(ξ)
A(ξ, ξ) + i B(ξ, ξ)
.
Функция G представима в виде G(ξ) = X+(ξ)/X−(ξ), где
X+(ξ) = exp(−iπm)(ξ + i)m−1(σ′((ξ − i)/(ξ + i)))1−m/2,
X−(ξ) = −(ξ − i)m−1(σ′((ξ + i)/(ξ − i)))1−m/2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ... 175
Поэтому, используя решение краевой задачи (48) и формулы Сохоцкого для
предельных значений Ψ±(ξ) в точке ξ ∈ R функции
Ψ(ζ) =
1
2πi
∞∫
−∞
g(τ)
X+(τ)
dτ
τ − ζ
соответственно из полуплоскостей {ζ ∈ C : ± Im ζ > 0}, получаем
U∗(ξ) = Φ+(ξ)− Φ−(ξ) = X+(ξ)Ψ+(ξ)−X−(ξ)Ψ−(ξ) =
=
A(ξ, ξ)
(A(ξ, ξ))2 + (B(ξ, ξ))2
f(ξ) +
X+(ξ)−X−(ξ)
2πi
∞∫
−∞
g(τ)
X+(τ)
dτ
τ − ξ
=
=
(Rf)(ξ)
(ξ2 + 1)(1−α∗)/2 . (49)
Применяя метод Карлемана – Векуа регуляризации уравнения (46) и используя
при этом формулу (49) решения характеристического уравнения (47), получаем
интегральное уравнение (45), равносильное уравнению (46).
С использованием лемм 2, 3, 5, 6 так же, как и в случае m = 1 при дока-
зательстве теоремы 3 из [11], устанавливается, что оператор Rkp компактен в
пространстве Ce(R) и любое решение U0 уравнения (45) из этого пространства
принадлежит классу D̃e(R).
Докажем, наконец, что уравнение (45) имеет единственное решение в про-
странстве Ce(R). С этой целью покажем, что однородное уравнение
U0(ξ) + (R(kpU0))(ξ) = 0 ∀ξ ∈ R (50)
имеет в пространстве Ce(R) только нулевое решение.
Действительно, согласно теореме 3 уравнение (50) равносильно уравнению (5)
с нулевой правой частью. Тогда в силу единственности решения задач E и N0 при
всех (x, y) ∈ D+ выполняется равенство
1
2πi ym−1
∫
Γzz̄
F (t)(
(t− z)(t− z̄)
)1−m/2 dt = 0, z = x+ iy . (51)
Выберем теперь круг с центром в точке оси Ox, содержащийся в области D, и
рассмотрим равенство (51) при (x, y) из пересечения указанного круга с областью
D+. Без ограничения общности считая, что Γzz̄ является отрезком с началом в точке
z̄ и концом в точке z, и выполняя затем замену переменных t = x + iy(1 − 2τ),
получаем равенство
1∫
0
F (x+ iy(1− 2τ))(
τ(1− τ)
)1−m/2 dτ = 0 ,
на основании которого и теоремы из работы [5], а также с учетом теоремы единст-
венности аналитических функций [19, с. 68] заключаем, что функция F тождест-
венно равна нулю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
176 C. В. ГРИЩУК, С. А. ПЛАКСА
Единственному решению F (t) ≡ 0 уравнения (5) с нулевой правой частью
соответствует единственное решение U0(ξ) ≡ 0 однородного уравнения (50). Сле-
довательно, согласно альтернативе Фредгольма уравнение (45) имеет единственное
решение в пространстве Ce(R) и доказательство завершено.
Следствием теорем 3, 4 является следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть выполняются условия теоремы 4. Тогда решение задачи
E при m ∈ [1, 2) или же решение задачи N0 при m ∈ (0, 1) представляется
формулой (2), в которой F является единственным решением вспомогательной
задачи для заданной граничной функции u∂D и имеет вид (14), где голоморфная
функция F0 выражается равенством (13); при этом функция Up имеет вид (44),
где U0 является решением уравнения Фредгольма (45) в пространстве Ce(R).
6. Доказательство теорем 1 и 2. Пусть действительнозначная функция u(x, y)
принадлежит классу C2(D+) приm ∈ [1, 2) или же классуN2(D+) приm ∈ (0, 1) и
удовлетворяет уравнению (1) в области D+. Обозначим через γρ образ окружности
{Z ∈ C : |Z| = ρ < 1} при отображении σ(Z), а через Dz,ρ область, ограниченную
кривой γρ. Для каждой точки (x, y) ∈ D+ рассмотрим ту кривую γρ, которая
содержит точку z = x + iy, и через Γzz̄ обозначим одну из ее дуг с концами в
точках z, z̄.
Покажем, что существует единственная голоморфная в области Dz функция
F, удовлетворяющая условию (4) и равенству (2) при всех z ∈ γρ : Im z > 0 и
всех ρ ∈ (0; 1). Действительно, согласно теоремам 3, 4 существует единственная
голоморфная в области Dz,ρ функция Fρ, удовлетворяющая равенству (2) при F =
= Fρ и условию вида (4) в областиDz,ρ. Заметим, что при этом в силу соотношения
3 выполняется также равенство Fρ(x) = 2π u(x, 0)/B
(
m
2
,
1
2
)
при всех x ∈ Dz,ρ ∩
∩ R. С учетом последнего замечания становится очевидным, что функции Fρ при
различных значениях ρ ∈ (0; 1) являются сужением на область Dz,ρ единственной
функции F, голоморфной в области Dz.
Теоремы 1 и 2 доказаны.
1. Bateman H. Partial differential equations of mathematical physics. – Dover Publ., 1944. – 522 p.
2. Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory // Bull. Amer. Math. Soc. – 1953. – 59. –
P. 20 – 38.
3. Mackie A. G. Contour integral solutions of a class of differential equations // J. Ration. Mech. and
Anal. – 1955. – 4, № 5. – P. 733 – 750.
4. Henrici P. On the domain of regularity of generalized axially symmetric potentials // Proc. Amer. Math.
Soc. – 1957. – 8, № 1. – P. 29 – 31.
5. Кривенков Ю. П. О некотором представлении решений уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу //
Докл. АН СССР. – 1957. – 116, № 3. – С. 351 – 354.
6. Кривенков Ю. П. Представление решений уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу через аналитичес-
кие функции // Там же. – № 4. – С. 545 – 548.
7. Положий Г. Н. Теория и применение p-аналитических и (p, q)-аналитических функций. – Киев:
Наук. думка, 1973. – 423 с.
8. Gilbert R. P. Function theoretic methods in partial differential equations. – New York; London: Acad.
Press, 1969. – 311 p.
9. Раджабов Н. Некоторые краевые задачи для уравнения осесимметрической теории поля // Ис-
следования по краевым задачам теории функций и дифференциальных уравнений. – Душанбе:
АН ТаджССР. – 1965. – C. 79 – 128.
10. Раджабов Н. Построение потенциалов и исследование внутренних и внешних граничных за-
дач типа Дирихле и Неймана для уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу на плоскости // Докл.
АН ТаджССР. – 1974. – 17, № 8. – C. 7 – 11.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ... 177
11. Плакса С. А. Задача Дирихле для осесимметричного потенциала в односвязной области мериди-
анной плоскости // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 12. – С. 1623 – 1640.
12. Мельниченко И. П., Плакса С. А. Приложение аналитических функций к задачам обтекания осе-
симметричных тел идеальной жидкостью // Доп. НАН України. – 2003. – № 10. – С. 22 – 29.
13. Раджабов Н. Р. Интегральные представления и их обращение для обобщенной системы Коши –
Римана с сингулярной линией // Докл. АН ТаджССР. – 1968. – 11, № 4. – C. 14 – 18.
14. Мельниченко И. П., Плакса С. А. Потенциальные поля с осевой симметрией и алгебры моногенных
функций векторного аргумента. III // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 2. – C. 228 – 243.
15. Положiй Г. М. Зауваження до основного iнтегрального зображення p-аналiтичних функцiй з ха-
рактеристикою p = xk // Доп. АН УРСР. – 1964. – № 7. – С. 839 – 841.
16. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе
области // Докл. АН СССР. – 1951. – 77, № 2. – С. 181 – 183.
17. Кривенков Ю. П. Задача D для уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу // Исследованиe по механике
и прикладной математике: Тр. МФТИ. – 1960. – № 5. – С. 134 – 145.
18. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с.
19. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука,
1987. – 688 с.
20. Плакса С. А. Задачи Дирихле для осесимметричных потенциальных полей в круге меридианной
плоскости. I // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 4. – С. 491 – 511.
21. Плакса С. А. Задача Дирихле для функции тока Стокса в односвязной области меридианной
плоскости // Там же. – 2003. – 55, № 2. – С. 197 – 231.
Получено 17.06.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
|