Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами

Изучается проблема оценивания состояния динамической системы, описываемой линейным операторным уравнением с неизвестными параметрами в гильбертовом пространстве. Для случая квадратичных ограничений на неизвестные параметры предложены формулы для априорных среднеквадратических и апостериорных линейны...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Жук, С.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2009
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166214
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами / С.М. Жук // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 178-194. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166214
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1662142020-02-19T01:25:43Z Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами Жук, С.М. Статті Изучается проблема оценивания состояния динамической системы, описываемой линейным операторным уравнением с неизвестными параметрами в гильбертовом пространстве. Для случая квадратичных ограничений на неизвестные параметры предложены формулы для априорных среднеквадратических и апостериорных линейных минимаксных оценок. Сформулирован критерий конечности минимаксной ошибки. Применение основных результатов проиллюстрировано на примере системы линейных алгебро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. We investigate the state estimation problem for a dynamical system described by a linear operator equation with unknown parameters in a Hilbert space. In the case of quadratic restrictions on the unknown parameters, we propose formulas for a priori mean-square minimax estimators and a posteriori linear minimax estimators. A criterion for the finiteness of the minimax error is formulated. As an example, the main results are applied to a system of linear algebraic-differential equations with constant coefficients. 2009 Article Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами / С.М. Жук // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 178-194. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166214 519.962.22 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Жук, С.М. Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами Український математичний журнал
description	Изучается проблема оценивания состояния динамической системы, описываемой линейным операторным уравнением с неизвестными параметрами в гильбертовом пространстве. Для случая квадратичных ограничений на неизвестные параметры предложены формулы для априорных среднеквадратических и апостериорных линейных минимаксных оценок. Сформулирован критерий конечности минимаксной ошибки. Применение основных результатов проиллюстрировано на примере системы линейных алгебро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
format	Article
author	Жук, С.М.
author_facet	Жук, С.М.
author_sort	Жук, С.М.
title	Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами
title_short	Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами
title_full	Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами
title_fullStr	Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами
title_full_unstemmed	Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами
title_sort	оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166214
citation_txt	Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами / С.М. Жук // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 178-194. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT žuksm ocínûvannâstanívdinamíčnoísistemiâkaopisuêtʹsâlíníjnimrívnânnâmznevídomimiparametrami
first_indexed	2025-07-14T19:10:35Z
last_indexed	2025-07-14T19:10:35Z
_version_	1837650658987081728
fulltext	UDK 519.962.22 S. M. Ûuk (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka) OCINGVANNQ STANIV DYNAMIÇNO} SYSTEMY, QKA OPYSU{T\|SQ LINIJNYM RIVNQNNQM Z NEVIDOMYMY PARAMETRAMY We investigate a state estimation problem for a dynamical system described by an uncertain linear operator equation in a Hilbert space. For the case of quadratic conditions on unknown parameters, we propose formulae for the a priori mean square and a posteriori linear minimax estimations. We formulate a criterion for the minimax estimation error to be finite. As an example, the principal results are applied to the minimax estimation of the system of linear algebraic differential equations with constant coefficients. Yzuçaetsq problema ocenyvanyq sostoqnyq dynamyçeskoj system¥, opys¥vaemoj lynejn¥m ope- ratorn¥m uravnenyem s neyzvestn¥my parametramy v hyl\bertovom prostranstve. Dlq sluçaq kvadratyçn¥x ohranyçenyj na neyzvestn¥e parametr¥ predloΩen¥ formul¥ dlq apryorn¥x srednekvadratyçeskyx y aposteryorn¥x lynejn¥x mynymaksn¥x ocenok. Sformulyrovan kry- teryj koneçnosty mynymaksnoj oßybky. Prymenenye osnovn¥x rezul\tatov proyllgstryrova- no na prymere system¥ lynejn¥x alhebro-dyfferencyal\n¥x uravnenyj s postoqnn¥my koπf- fycyentamy. Vstup. Odni[g z problem suçasno] prykladno] matematyky [ problema ocing- vannq stanu dynamiçno] systemy, wo opysu[t\sq linijnym rivnqnnqm z nevyzna- çenymy parametramy. Cq problema naleΩyt\ do ßyrokoho kola zadaç, ob�[dna- nyx pid nazvog �oberneni zadaçi v umovax nevyznaçenosti�. Matematyçno cej klas zadaç moΩna oxarakteryzuvaty tak: za zadanym elementom (spostereΩennq za stanom, vymiry vyxodu towo) y pevnoho funkcional\noho prostoru znajty ocinku elementa l( )θ za umovy, wo θ zadovol\nq[ spivvidnoßennq g( )θ = 0. Zmistovni zadaçi pro vyznaçennq l( )θ vynykagt\ u tomu vypadku, koly rivnqnnq g( )θ = 0 ma[ mnoΩynu rozv�qzkiv i pry c\omu y = C( )θ dlq deqkoho elementa θ ci[] mnoΩyny. Takym çynom, dlq c\oho vypadku zadaçu ocingvannq my moΩe- mo sformulgvaty takym çynom: po zadanomu y = C( )θ , θ ∈Θ , y Y∈ , znajty ocinku æ l( )θ elementa l( )θ za umovy, wo g( )θ = 0 i C( )⋅ , l( )⋅ [ vidomymy funkciqmy. ZauvaΩymo, wo u vypadku isnuvannq [dynoho rozv�qzku θ̂ rivnqnnq y = C( )θ zadaça ocingvannq vyrodΩu[t\sq v tomu sensi, wo [dynog ocinkog l( )θ bude vyraz l ( )θ̂ . Zadaçu ocingvannq nazvemo linijnog, qkwo Θ, Y [ linijnymy prostoramy, a C( )⋅ , l( )θ � linijnymy vidobraΩennqmy. Poßyrenym [ klas linijnyx zadaç, wo vyznaça[t\sq funkciqmy C( )θ = H Dϕ η+ , g( )θ = L B fϕ + , θ = ( , , )x f η ⊂ X × F × Y, de H, D, L, B � linijni operatory. Linijnu zadaçu ocingvannq budemo nazyva- ty zadaçeg ocingvannq v umovax nevyznaçenosti, qkwo D ≠ 0, L abo B vidmin- ni vid nulq, i qkwo B = 0, to N ( L ) = { ϕ : L ϕ = 0 } ≠ { 0 } . ZauvaΩymo, wo �typ nevyznaçenosti� obumovlg[ vybir metodu rozv�qzuvannq zadaçi ocingvannq: qkwo f , η [ realizaciqmy vypadkovyx elementiv, to pryrodno zastosuvaty sto- xastyçnyj pidxid. Pry c\omu potribno maty apriornu informacig pro xarakte- rystyky rozpodilu vypadkovyx elementiv. My budemo vvaΩaty, wo nevyznaçe- nist\ ma[ misce, qkwo rozpodil vypadkovyx elementiv abo Ω çastyna determino- vanyx parametriv çastkovo nevidomi. Bil\ß detal\no oznajomytys\ z rozma]ttqm postanovok zadaç ocingvannq v umovax nevyznaçenosti, ob�[dnanyx pid nazvog �teoriq harantovanoho ocingvannq�, dlq riznyx l, L , H , B, D ta special\nyx prostoriv moΩna, zokrema, za ohlqdom [1]. Klasyçni rezul\taty teori] haranto- vanoho ocingvannq vykladeno u monohrafiqx [2 – 4]. © S. M. ÛUK, 2009 178 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 OCINGVANNQ STANIV DYNAMIÇNO} SYSTEMY … 179 Dlq klasyçno] teori] sutt[vym [ prypuwennq pro isnuvannq obmeΩenoho obernenoho operatora u operatora systemy. Linijna zadaça ocingvannq v umovax nevyznaçenosti dlq rivnqn\ iz nein�[ktyvnym operatorom v abstraktnomu hil\- bertovomu prostori vyvçalas\, zokrema, v [5], de oderΩano ocinky dlq vypadku kvadratyçnyx obmeΩen\ na nevidomi parametry. U rozroblenij metodyci sutt[vo vykorystovugt\sq skinçennovymirnist\ qdra ta koqdra operatora systemy, a takoΩ joho normal\na rozv�qznist\. Vidtak ocinky moΩut\ buty zapysani, zo- krema, dlq krajovyx zadaç dlq system normal\nyx zvyçajnyx linijnyx dyfe- rencial\nyx rivnqn\. U roboti [6] zaproponovano kryterij rozv�qznosti netero- vyx krajovyx zadaç dlq linijnyx alhebra]çno-dyferencial\nyx rivnqn\ zi zmin- nymy koefici[ntamy (u literaturi ßyroko vΩyva[t\sq takoΩ termin �deskryp- torni systemy�) za umovy, wo alhebra]çno-dyferencial\ne rivnqnnq zvodyt\sq do central\no] kanoniçno] formy [7, c. 57]. Cq umova, zokrema, harantu[ odno- znaçnu rozv�qznist\ vidpovidno] zadaçi Koßi [7, c. 67]. Vidtak, kombinugçy ci re- zul\taty z oderΩanymy u [5], moΩna pobuduvaty zobraΩennq ocinok rozv�qzkiv neterovyx krajovyx zadaç dlq linijnyx deskryptornyx rivnqn\ special\no] struktury z nevidomymy parametramy. Z inßoho boku, u roboti [8] navedeno pryklad linijnoho deskryptornoho rivnqnnq z postijnymy koefici[ntamy, dlq qkoho odnoridna zadaça Koßi ma[ lyße tryvial\nyj rozv�qzok, v toj ças qk operator, indukovanyj zadaçeg Koßi [8], ma[ nezamknenu mnoΩynu znaçen\. Do takyx system metody ocingvannq, zaproponovani u [1 – 3, 5], ne moΩna zastosuva- ty bezposeredn\o. Osnovnym rezul\tatom, wo proponu[t\sq u cij statti, [ metod harantovanoho ocingvannq dlq rivnqn\ iz linijnym zamknenym wil\no vyznaçenym operatorom u abstraktnomu hil\bertovomu prostori. Osnovnog perevahog zaproponovanoho metodu [ te, wo taki vlastyvosti operatora systemy, qk neterovist\ i normal\na rozv�qznist\, ne [ neobxidnymy dlq joho zastosuvannq. Metod [ rozvytkom pid- xodu, zaproponovanoho avtorom u [9, 10] dlq linijnyx alhebra]çno-dyferenci- al\nyx rivnqn\ u prostori sumovnyx iz kvadratom vektor-funkcij, i uzahal\ng[ rezul\taty [1 – 3] na vypadok linijnyx rivnqn\ iz neobmeΩenym operatorom. Dlq vypadku neterovyx rivnqn\ oderΩani zobraΩennq ocinok [11] zbihagt\sq z opysanymy u [5]. Qk pryklad, navedeno zastosuvannq zaproponovanoho metodu do zadaçi ocingvannq staniv linijnoho alhebra]çno-dyferencial\noho rivnqnnq z postijnymy koefici[ntamy. Pry c\omu moΩlyvist\ zvedennq do central\no] kanoniçno] formy ne vymaha[t\sq. Vvedemo neobxidni poznaçennq: c G( , )⋅ = sup{( , ), }z f f G∈ � oporna funk- ciq mnoΩyny G, δ ( , )G ⋅ � indykator G , dom f = { }: ( )x f x∈ < ∞H � efek- tyvna mnoΩyna funkci] f, f x∗ ∗( ) = sup ( , ) ( ){ }x x x f x∗ − � peretvorennq Gnha � Fenxelq abo sprqΩena funkciq do f, cl f = f ∗∗ � zamykannq funkci] f, dlq vlasnyx f zbiha[t\sq z napivneperervnog znyzu rehulqryzaci[g f, ( )( )f L x = = f Lx( ) � obraz funkci] f pry linijnomu operatori L, ( )( )L c u∗ = inf ( , ),{c G z L z u∗ = } � proobraz funkci] c G( , )⋅ pry operatori L∗ , Arginfu f u( ) � sukup- nist\ toçok minimumu funkci] f, P L∗ � operator ortohonal\noho proektuvannq na R L( )∗ , ∂f x( ) � subdyferencial funkci] f u toçci x, ( , )⋅ ⋅ � skalqrnyj do- butok hil\bertovoho prostoru. Postanovka zadaçi. Nexaj vektor ϕ zadovol\nq[ umovu Lϕ ∈� i zadano vektor y, pov�qzanyj iz ϕ spivvidnoßennqm y = Hϕ η+ . (1) Operatory L, H ta mnoΩynu � vvaΩa[mo zadanymy, element η �modelg[� ne- vyznaçenist\ (skaΩimo, [ vypadkovym vektorom). Naßa meta polqha[ v tomu, wob ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 180 S. M. ÛUK rozv�qzaty obernenu zadaçu: po zadanomu y pobuduvaty operacig ocingvannq æ l( )ϕ vyrazu l ( )ϕ i obçyslyty poxybku ocingvannq σ . Nadamo vykladenomu strohoho zmistu. Budemo vvaΩaty L zamknenym operatorom, wo vidobraΩa[ skriz\ wil\nu pidmnoΩynu �( )L hil\bertovoho prostoru H u hil\bertiv prostir F , H ∈ ∈ �( , )H Y . Umovu Lϕ ∈� podamo v ekvivalentnomu vyhlqdi: vvaΩatymemo, wo ϕ zadovol\nq[ linijne operatorne rivnqnnq L ϕ = f , (2) de prava çastyna f [ deqkym napered nevidomym elementom � ⊂ F . Takym çy- nom, nam vidomo, wo odyn iz rozv�qzkiv ϕ rivnqnnq (2) pry deqkomu f ∈� vy- znaça[t\sq zadanym vektorom y z toçnistg do elementa η ta operatora H H y: ϕ η= − . NyΩçe vvaΩatymemo, wo element η modelg[ dva typy nevy- znaçenosti: poznaça[ realizacig vypadkovoho vektora zi znaçennqmy u Y , nu- l\ovym serednim ta korelqcijnym operatorom Rη ∈� , de � � zadana pidmno- Ωyna �( , )Y Y , η � determinovanyj vektor, i ( , )f η ∈G , de G � zadana pidmnoΩyna F Y× . ZauvaΩymo, wo realizaciq y vyznaça[t\sq ne lyße konkretnymy η , H ta f . U zahal\nomu vypadku N ( L ) = { ϕ ∈ � ( L ) : L ϕ = 0 } [ netryvial\nym linijnym mnohovydom, vidtak y = H( )ϕ ϕ η0 + + , de ϕ0 � dovil\nyj element neobmeΩe- no] mnoΩyny N ( L ) . Poklademo l l( ) ( , )ϕ ϕ= . Ocinku æ l( )ϕ budemo ßukaty u klasi afinnyx funkcionaliv æ l( )ϕ = ( , )u y c+ vid spostereΩen\. Tut my ne prypuska[mo, wo operatory L, H magt\ obmeΩeni oberneni, vidtak neznaçni vidxylennq u pravij çastyni (2) ta vymirax (1) moΩut\ spryçynyty neobmeΩeno velyku poxybku ocingvannq. ZvaΩagçy na ce, a takoΩ na rqd nevyznaçenostej, zhadanyx vywe, pobudu[mo operacig ocingvannq na osnovi minimaksnoho pidxodu. Ce dozvolyt\ zaproponuvaty harantovanu poxybku ocingvannq, qka xarakteryzu[ najbil\ße vidxylennq ocinky vid real\noho znaçennq i dlq dosyt\ ßyrokoho naboru par operatoriv L, H bude skinçennog. Zaznaçymo, wo zadaçu ocingvannq moΩna rozhlqdaty u dvox riznyx postanov- kax: aposteriornij i apriornij. Apriorne ocingvannq polqha[ v tomu, wo pid ças pobudovy operaci] ocingvannq my rozraxovu[mo na �najhirßu� realizacig y , pe- rebyragçy vsi dopustymi korelqcijni operatory Rη ta pravi çastyny f . Za ra- xunok c\oho optymal\na ocinka vyznaça[t\sq lyße naprqmkom l ta strukturog zadanyx mnoΩyn obmeΩen\. Oznaçennq 1. Afinnyj funkcional ææ l( )ϕ = ( ˆ, ) ˆu c⋅ + , qkyj znaxodyt\sq z umovy σ ( , ˆ)l u = inf ( , ) ,u c l uσ , σ ( , )l u : = sup ( ) , ( L R M l ϕ η ϕ ∈ ∈� � – ææ l( ))ϕ 2, nazvemo apriornog minimaksnog seredn\okvadratyçnog ocinkog vyrazu l ( )ϕ = = ( , )l ϕ . Minimaksnog seredn\okvadratyçnog poxybkog u naprqmku l nazvemo çyslo ˆ ( ) ( , ˆ)/σ σl l u= 1 2 . Natomist\ aposteriorna operaciq ocingvannq zistavlq[ konkretnij realizaci] y �çebyßovs\kyj centr� mnoΩyny X Hy ⊂ usix moΩlyvyx ϕ, koΩne z qkyx na pidstavi (1), (2) [ sumisnym iz �vymirqnym� y : ( ),L y Hϕ ϕ− ∈ G tak zvano] aposteriorno] mnoΩyny. Tomu ocinku dostatn\o ßukaty lyße sered elementiv Xy . ZauvaΩymo, wo vklgçennq ( ),L y Hϕ ϕ− ∈ G peredbaça[ neriv- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 OCINGVANNQ STANIV DYNAMIÇNO} SYSTEMY … 181 nist\ y < C, de konstanta C vyznaça[t\sq strukturog G . Vidtak u vypadku aposteriornoho ocingvannq nema[ sensu vvaΩaty nevyznaçenyj element η vy- padkovym procesom, oskil\ky nerivnist\ Rη < c dlq normy korelqcijnoho operatora ne zabezpeçu[ vykonannq y < C dlq konkretno] realizaci] η . Tomu vvaΩa[mo nevyznaçenyj element η determinovanym. Oznaçennq 2. MnoΩynu Xy = { ( ) }( ) : ,ϕ ϕ ϕ∈ − ∈� L L y H G nazyvagt\ aposteriornog mnoΩynog, vektor ϕ̂ � minimaksnog aposterior- nog ocinkog vektora ϕ u naprqmku l , qkwo ˆ( )d l : = inf sup ( , ) ( , ) ϕ ψ ϕ ψ ∈ ∈ − X Xy y l l = sup ( , ˆ ) ( , ) ψ ϕ ψ ∈ − Xy l l , vyraz ˆ( )d l � minimaksnog aposteriornog poxybkog u naprqmku l . Osnovni rezul\taty. NyΩçe opysano zahal\nyj vyhlqd apriorno] minimaks- no] seredn\okvadratyçno] ocinky ta sformul\ovano kryterij skinçennosti mini- maksno] seredn\okvadratyçno] poxybky ocingvannq. TverdΩennq 1. Nexaj �, � [ opuklymy, zamknenymy, obmeΩenymy pid- mnoΩynamy vidpovidno F, �( , )Y Y . Dlq zadanoho l ∈ H minimaksna poxybka ˆ ( )σ l [ skinçennog todi i lyße todi, koly dlq deqkoho u ∈ Y l H u L c L c− ∈ −∗ ∗ ∗dom cl dom cl( ) ( )( )I 1 i dlq takyx u, l σ ( , )l u = 1 4 2 cl cl( )( ) ( )( ) sup ( , )L c l H u L c l H u R u u R ∗ ∗ ∗ ∗ ∈ − + − +[ ] + η η � , (3) do toho Ω R L( )∗ ⊂ dom cl( )L c∗ ⊂ R L( )∗ . Qkwo Arginfu l uσ ( , ) ≠ ∅ , to ææ l( )ϕ = ( ˆ, ) ˆu y c+ , de ˆ ( , )u l uu∈Arginf σ , ĉ = 1 2 cl cl( )( ) ( )( )ˆ ˆL c l H u L c l H u∗ ∗ ∗ ∗− − − +( ) . Teorema 1. Nexaj � � opukla, zamknena, obmeΩena, symetryçna mnoΩyna, vnutrißnist\ qko] mistyt\ 0, i vypadkovyj element η zadovol\nq[ umovu η η η η∈ ≤{ }: ( , )M 1 . Todi dlq zadanoho l ∈H minimaksna poxybka ˆ ( )σ l [ skinçennog todi i lyße todi, koly l H u R L− ∈∗ ∗( ) dlq deqkoho u ∈Y . Dlq takyx l isnu[ [dyna minimaksna seredn\okvadratyçna ocinka ̂u l∈U , wo znaxodyt\sq z umovy σ ( , ˆ)l u = min ( , ) u l uσ , (4) σ ( , )l u = ( , ) min ( , ),{ }u u c z L z l H u z + = −∗ ∗2 � . Qkwo mnoΩyny R ( L ) , H ( N ( L )) [ zamknenymy, to û vyznaça[t\sq z umovy ˆ ( ˆ)u Hp H I H u− ∈ ∂( )∗ 0 2 , Lp0 = 0, (5) I w2( ) = min ( , ), ( ){ } z L c z L z P l w2 � ∗ = −∗ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 182 S. M. ÛUK Naslidok 1. Nexaj � = { }: ( , )f f f∈ ≤F 1 , η η η η∈ ≤{ }: ( , )M 1 i vykonu[t\sq odna z umov: 1) mnoΩyny R ( L ) , H ( N ( L )) [ zamknenymy: 2) mnoΩyna R ( T ) = { }[ , ], ( )Lx Hx x L∈� [ zamknenog. Todi dlq l R L R H∈ +∗ ∗( ) ( ) i lyße dlq nyx [dynu minimaksnu ocinku û moΩna podaty u vyhlqdi û = Hp̂, de p̂ � dovil\nyj rozv�qzok systemy L z∗ˆ = l H Hp− ∗ ˆ , (6) Lp̂ = ẑ . Minimaksna seredn\okvadratyçna poxybka ma[ vyhlqd ˆ ( )σ l = ( ), ˆ /l p 1 2. Naslidok 2. Nexaj linijni operatory L : H Fa , H ∈�( , )H Y zado- vol\nqgt\ umovu 1 abo 2 naslidku 1. Todi systema operatornyx rivnqn\ (6) ma[ rozv�qzok ̂ ( )z L∈ ∗� , ̂ ( )p L∈� lyße todi, koly l L z H u= +∗ ∗ dlq deqkyx z L∈ ∗�( ) , u ∈Y . Naslidok 3. V umovax naslidku 1 dlq dovil\noho l R L R H∈ +∗ ∗( ) ( ) ta re- alizaci] y( )⋅ ma[ misce zobraΩennq ( )ˆ,u y = ( ), ˆl ϕ , de ϕ̂ znaxodyt\sq z sys- temy L q∗ ˆ = H y H∗ −( )ϕ̂ , (7) Lϕ̂ = q̂ . Rozhlqnemo aposteriorni ocinky. TverdΩennq 2. Nexaj G � opukla, zamknena, obmeΩena pidmnoΩyna Y × F . Minimaksna aposteriorna poxybka u naprqmku l [ skinçennog lyße todi, koly l c cy y∈ ⋅ − ⋅dom dom( , ) ( ) ( , )X XI 1 i R L R H( ) ( )∗ ∗+ ⊂ dom domc cy y( , ) ( ) ( , )X X⋅ − ⋅I 1 ⊂ R L R H( ) ( )∗ ∗+ . (8) Dlq takyx l ocinka i poxybka zobraΩugt\sq u vyhlqdi ( ), ˆl ϕ = 1 2 c l c ly y( , ) ( , )X X− −( ) , ˆ ( )d l = 1 2 c l c ly y( , ) ( , )X X+ −( ) . Teorema 2. Nexaj G = ( , ) :f fη η2 2 1+ ≤{ } i operatory L, H zadovol\nqgt\ umovu 1 abo 2 naslidku 1. Todi dlq l ∈ ∈ R L R H( ) ( )∗ ∗+ �1 i lyße dlq nyx minimaksna aposteriorna ocinka ϕ̂ vekto- ra ϕ u naprqmku l isnu[ i znaxodyt\sq z sytemy (7). Aposteriorna poxybka zada[t\sq vyrazom ˆ ( )d l = 1 1 2− −( )( , ˆ ) ˆ ( )/y y H lϕ σ . (9) Naslidok 4. Nexaj v umovax teoremy 2 æ l( )ϕ = ( ), ˆl ϕ dlq dovil\noho na- prqmku l , de ϕ̂ znaxodyt\sq z (7). Todi vektor ϕ̂ [ minimaksnog ocinkog vektora ϕ u tomu sensi, wo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 OCINGVANNQ STANIV DYNAMIÇNO} SYSTEMY … 183 inf sup ϕ ϕ ∈ ∈ − X Xy yx x = sup ˆ x y x ∈ − X ϕ = 1 1 2 1 − −( ) = ( , ˆ ) max ˆ ( )/y y H l l ϕ σ . Prodemonstru[mo zastosuvannq naslidku 4. Ne zmenßugçy zahal\nosti (dyv. lemu pro synhulqrnyj rozklad [8]) vvaΩatymemo, wo matryci F, C vyznaça- gt\sq naborom blokiv F = E 0 0 0     , C = C C C C 1 2 3 4     uzhodΩeno] rozmirnosti. TverdΩennq 3. Nexaj t x t na ( ) ∈R znaxodyt\sq qk rozv�qzok rivnqnnq d dt Fx t Cx t( ) ( )− = f t( ) , Fx t( )0 = 0, i mnoΩyna G ma[ vyhlqd G = ( , ) : ( ) ( )f f t t dt t T η η2 2 0 1+( ) ≤         ∫ . Todi minimaksna aposteriorna ocinka funkci] x( )⋅ za spostereΩennqmy y ( t ) = = x ( t ) + η ( t ), t0 ≤ t ≤ T , zada[t\sq vyrazom ˆ( )x ⋅ , d e ˆ( )x t = [ ( ), ( )]x t x t1 2 , funkci] x1( )⋅ , x2( )⋅ znaxodqt\sq z rivnqn\ ˙ ( )x t1 = ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )C C E C C C C x t C E C C C E q t1 2 4 4 1 4 3 1 2 4 4 1 2 1− + ′ ′ + + ′ ′ +− − + + C E C C y t2 4 4 1 2( ) ( )+ ′ − , x t1 0( ) = 0, ˙ ( )q t1 = ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )− ′ + ′ + ′ ′ + ′ + ′ −− −C C C E C C C q t C C E C C y t y t1 3 4 4 4 1 2 1 3 4 4 4 1 2 1 + + ( ( ( ) ) ) ( )′ − + ′ ′ +−C E C E C C C C E x t3 4 4 4 1 4 3 1 , q T1( ) = 0, (10) x t2( ) = – ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))E C C C C x t E C C C q t y t+ ′ ′ + + ′ ′ +− − 4 4 1 4 3 1 4 4 1 2 1 2 , q t2( ) = – ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))E C E C C C C x t C E C C C q t y t− + ′ ′ − + ′ ′ +− − 4 4 4 1 4 3 1 4 4 4 1 2 1 2 . Minimaksna poxybka ma[ vyhlqd sup ˆ Xy x x− = 1 0 0 1 2 1 1 2 − −            ∫ ∫= t T l t T y y x dt l p dt( , ˆ) max ( , ) / / , de funkciq p( )⋅ vyznaça[t\sq z (10), qkwo poklasty y ( t ) = l ( t ) . TverdΩennq zalyßa[t\sq spravedlyvym i dlq nestacionarno] matryci C t( ). DopomiΩni rezul\taty i dovedennq. Vvedemo mnoΩyny Ul = u Y L z l H u∈ = −{ }∗ ∗: , D = l l∈ ≠ ∅{ }H U: , de pislq ototoΩnennq hil\bertovyx prostoriv H , F z ]xnimy sprqΩenymy operator L∗ di[ z F u H. Isnuvannq [dynoho sprqΩenoho L∗ zabezpeçu[t\sq [12, c. 40] wil\nog vyznaçenistg L . Nahada[mo, wo indykator δ ( , )G ⋅ mnoΩyny G vyznaça[t\sq tak: δ ( , )G f = 0, f ∈G , i δ ( , )G f = + ∞ , f ∉G . Nastupna lema leΩyt\ v osnovi dovedennq teorem pro isnuvannq, [dynist\ ta zobraΩennq minimaksnyx ocinok. Lema 1. Nexaj G � opukla, obmeΩena, zamknena pidmnoΩyna F , L � linijnyj, wil\no vyznaçenyj, zamknenyj operator z H u F. Todi ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 184 S. M. ÛUK ( )L c∗ ∗ = ( )δL , ( )L c∗ ∗∗ = ( )δL ∗, R L( )∗ ⊂ dom( )δL ∗ ⊂ R L( )∗ . Qkwo vnutrißnist\ G ma[ spil\ni toçky z R L( ), to dom( )δL ∗ = dom( )L c∗ = = R L( )∗ , funkcional ( )L c∗ [ vlasnym, L c∗ = ( )L c∗ ∗∗ i ( )( )L c x∗ = c z( , )G 0 = inf ( , )c z L z xG ∗ ={ }, x R L∈ ∗( ). Lema zalyßa[t\sq spravedlyvog, qkwo indykator opuklo] mnoΩyny zaminy- ty opuklog vlasnog funkci[g [9]. ZauvaΩennq. Umova int G I R ( L ) ≠ ∅ lemy 1 [ sutt[vog, bo moΩna vkazaty operator L i mnoΩynu G tak, wo R ( L ) ≠ R L( ), int G = ∅, dom ( L∗c ) = R ( L ) , dom ( δ L )∗ = R L( ) i ( L∗c ) ( x ) > ( δ L )∗ ( x ) dlq x ∈ R L( ) / R L( ). Spravdi, po- klademo F = 1 0 0 0     , C ( t ) ≡ 1 1 1 0 −    i vyznaçymo operator x a L x ∈ ( )[ , ]L2 20 1 sposobom, opysanym u dovedenni tverdΩennq 3. Rivnqnnq L x = 0 [ ekvivalentnym systemi alhebra]çno-dyfe- rencial\nyx rivnqn\ ˙ ( ) ( ) ( )x t x t x t1 1 2− + = 0, x1 0( ) = 0, – x t1( ) = 0, zvidky znaxodymo x t1 2, ( ) = 0 na [ 0, 1 ] , vidtak N ( L ) = { 0 } , tomu R L( )∗ = = ( )[ , ]L2 20 1 . Z inßoho boku, dlq rozv�qznosti alhebra]çno-dyferencial\noho rivnqnnq – ˙ ( ) ( ) ( )z t z t z t1 1 2− − = f t1( ), z1 1( ) = 0, z t1( ) = f t2( ) , neobxidno, wob f2( )⋅ bula absolgtno neperervnog, tomu R L( )∗ i R L( ) ne [ zamknenymy. Poklademo G = f f f f s ds f= ≤ =         ∫( , ) : ( ) ,1 2 1 2 0 1 21 0 . Todi int G = ∅ v ( )[ , ]L2 20 1 . Oskil\ky L p ∈ G ⇔ p1 = 0, p2 ≤ 1, to ( ) ( )δL x∗ = sup ( , ) ( , )x p Lp−{ }δ G = sup ( , ), ( )p x p s ds2 2 2 2 0 1 1∫ ≤         = x2 . OtΩe, dom ( δ L )∗ = R L( )∗ = ( )[ , ]L2 20 1 . Z inßoho boku, c z( , )G = c P z( ( ), )S1 0 = c P z( ( ), )S1 0 ∗ = z1 , S1 0( ) = f f∈ ≤{ }L2 2 0 1 1[ , ] : , de symvolom P poznaçeno operator mnoΩennq na matrycg 1 0 0 0     u prostori L2 2 0 1[ , ]. Zaznaçymo, wo vnaslidok in�[ktyvnosti L∗ ( L∗c ) ( x ) = inf ( , ) :c z L z xG ∗ ={ } = x2 , x1 2, ∈ W2 1 0 1[ , ]. Qkwo Ω xn = ( , ),x x n1 2 → x = ( ),x x1 ∗ , x∗ ∉ W2 1 0 1[ , ], to ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 OCINGVANNQ STANIV DYNAMIÇNO} SYSTEMY … 185 ( L∗c ) ( xn ) → x∗ = ( δ L )∗ ( x ) , ale ( L∗c ) ( x ) = + ∞ . Dovedennq lemy. Nexaj p L∈�( ). Oskil\ky p L∈�( ), to linijnyj funk- cional z a p ( z ) = ( p, L∗z ) [ obmeΩenym, vidtak joho moΩna poßyryty na ves\ prostir F za neperervnistg. Zvidsy ( L∗c ) ∗ ( p ) = sup ( , ) inf ( , ) ( )x R L p x c z L z x ∈ ∗ ∗ − ={ }{ }G = = sup sup ( , ) ( , ) ( ) ( )x R L z L x p x c z ∈ ∈∗ ∗− −{ } 1 G = sup ( , ) ( , ) ( )z L p L z c z ∈ ∗ ∗ −{ } � G = = sup ( , ) ( , ) z Lp z c z ∈ −{ } F G = c Lp∗ ⋅( , )( )G = δ( , )G Lp . Rozhlqnemo vypadok p L∉�( ). Za oznaçennqm sprqΩenoho do obmeΩenoho li- nijnoho operatora [12, c. 39] linijnyj funkcional z a p ( z ) = ( p, L∗z ) [ ne- obmeΩenym. Ce oznaça[, wo znajdet\sq poslidovnist\ { }zn taka, wo zn ≤ 1, z Ln ∈ ∗�( ) i p zn( ) → + ∞ . Z inßoho boku, oporna funkciq c( , )G ⋅ obmeΩeno] opuklo] mnoΩyny [ obmeΩenog v okoli dovil\no] toçky z ∈ F i tomu nepererv- nog [13, c. 21]. Ale todi sup ( , )n nc zG = M < + ∞ i ( L∗c )∗ ( p ) = sup ( , ) ( , ) ( )z L p L z c z ∈ ∗ ∗ −{ } � G ≥ sup ( ) n np z M−{ } = + ∞ . Z inßoho boku, za oznaçennqm ( δ L ) ( p ) = + ∞ . My pokazaly, wo ( L∗c )∗ ( p ) = = ( δ L ) ( p ) dlq vsix p, zvidky ( L∗c )∗∗ = ( δ L )∗ . Nexaj x N L∉ ⊥( ) i Lp ∈G dlq deqkoho p L∈�( ). Znajdet\sq p N L0 ∈ ( ) take, wo n p x( , )0 > 0, n ∈N . Ale todi ( δ L )∗ ( x ) = sup ( , ) ( , ) ( )q L q x Lq ∈ −{ } � δ G ≥ sup ( , ) n n p x ∈ { } N 0 = + ∞ . Tomu dom ( δ L )∗ ⊂ N L( )⊥ = R L( )∗ . Z inßoho boku, qkwo x = L∗z , to ( δ L )∗ ( x ) = sup ( , ) ( , ) ( )q L Lq z Lq ∈ −{ } � δ G ≤ ≤ sup ( , ) ( , ) f f z f ∈ −{ } F Gδ = c x( , )G < + ∞ vnaslidok obmeΩenosti G, vidtak R ( L∗ ) ⊂ dom ( δ L )∗ ⊂ R L( )∗ . Nexaj teper int G I R ( L ) ≠ ∅. PokaΩemo, wo c\oho dostatn\o dlq ( L∗c ) ≤ ≤ ( δ L )∗ . Spravdi, x∗ ∈ dom ( δ L )∗, x ∈ � ( L ) ⇒ ( x∗, x ) – ( δ L )∗ ( x∗ ) ≤ δ L ( x ) < + ∞ na pidstavi nerivnosti Gnha � Fenxelq [14]. Zafiksuvavßy x∗ ∈ dom ( δ L )∗, vve- demo mnoΩynu M ( x∗ ) = { ( z, µ )  Lx = z, µ = ( x∗, x ) – ( δ L )∗ ( x∗ ) } . ZauvaΩymo, wo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 186 S. M. ÛUK W : = int ( , )( )epi δ G ⋅ = int : ( )G M× ∈ >{ } ∗µ µR1 0 I x = ∅. Dijsno, qkwo ( z, µ ) ∈ W I M , to δ ( G, Lx ) < µ = ( x∗, x ) – ( δ L )∗ ( x∗ ) , Lx = z , wo supereçyt\ nerivnosti Gnha � Fenxelq. OtΩe, opukli mnoΩyny epi( )( , )δ G ⋅ , M( )x∗ moΩna rozdilyty nenul\ovym linijnym neperervnym funkcionalom ( ),z0 0β sup , ( , )( )z z z0 0+ ∈{ }β α α W ≤ inf , ( , ) ( )( )z z z x0 0+ ∈{ }∗β α α M . (11) Lehko peresvidçytys\, wo β0 < 0. Dijsno, qkwo β0 > 0, to supremum u (11) dorivng[ + ∞ . Z inßoho boku, supremum u (11) zavΩdy [ vidminnym vid – ∞ , wo harantu[ skinçennist\ infimumu v (11). Qkwo β0 = 0, to zhidno z (11) G ta R ( L ) rozdilqgt\sq funkcionalom ( ),z0 ⋅ , ale todi int G I R ( L ) = ∅. Za oznaçennqm M( )x∗ – ∞ < ( G, z 0 ) = sup , ( , )( )z z z0 0−{ }β δ G ≤ ≤ inf , ( , ) ( )( ) ( )z Lx x x L x0 0 0−{ } +∗ ∗ ∗β β δ , zvidky – ∞ < inf , ( , )( ) x z Lx x x0 0−{ }∗β ⇒ −[ ] ⊥ ∈{ }∗β0 0x z x Lx x L, [ , ], ( )� . Tomu, zvaΩagçy na vyhlqd [12, c. 40] ortohonal\noho dopovnennq hrafika L, otrymu[mo z L0 ∈ ∗�( ) , L z∗ 0 = β0 x∗ ⇒ ( L∗c ) ( x∗ ) ≤ c z( , )G β0 1 0− ≤ ( δ L )∗ ( x∗ ) . My pokazaly, wo na dom ( δ L )∗ vykonano ( L∗c ) = ( δ L )∗ i dom ( δ L )∗ ⊂ R ( L∗ ) . Za oznaçennqm R ( L∗ ) ⊂ dom ( L∗c ) . Raniße bulo dovedeno, wo R ( L∗ ) ⊂ ⊂ dom ( δ L )∗. Oskil\ky, vzahali kaΩuçy, ( L∗c ) ≥ ( L∗c )∗∗ = ( δ L )∗, to dom ( δ L )∗ ⊂ ⊂ dom ( L∗c ) . OtΩe, ( L∗c ) = ( δ L )∗, dom ( δ L )∗ = dom ( L∗c ) = R ( L∗ ) . Za teoremog Fenxelq � Moro ( L∗c ) = ( L∗c )∗∗ = ( δ L )∗ todi i lyße todi, koly ( L∗c ) ma[ zamknenyj nadhrafik, wo dlq vlasnyx opuklyx funkcionaliv ekviva- lentno napivneperervnosti znyzu [14, c. 178]. Lemu dovedeno. Dovedennq tverdΩennq 1. Beruçy do uvahy rivnist\ M ξ 2 = M ( ξ – M ξ ) 2 + + ( M ξ ) 2 ta (1), znaxodymo M l u y c( , ) ( , )ϕ − −( )2 = ( , ) ( , )l H u c M u− −[ ] +∗ ϕ η 2 2 , vidtak sup ( , ) ( , ) ( ),ϕ η ϕ ∈ ∈− − −( ) L R M l u y c 1 2 � R = sup ( , ) sup ( , ) ( )ϕ ηϕ η∈ ∗ ∈− − −[ ] + L R l H u c R u u 1 2 � R . Peretvorymo perßyj dodanok: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 OCINGVANNQ STANIV DYNAMIÇNO} SYSTEMY … 187 sup ( , ) ( )ϕ ϕ ∈ ∗ − − −[ ] L l H u c 1 � = 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )δ δL l H u L l H u∗ ∗ ∗ ∗− + − +( ) + + c L l H u L l H u− − − − +( )∗ ∗ ∗ ∗1 2 ( ) ( ) ( ) ( )δ δ . (12) ZvaΩagçy na formulu (12), vyvodymo, wo dlq zadanyx l, u, c sup ( , ) ( )ϕ ϕ ∈ ∗ − − −[ ] L l H u c 1 � < + ∞ ⇔ l H u− ∗ ∈ dom ( δ L )∗ I – dom ( δ L )∗. MnoΩyna dom ( δ L )∗ [ opuklym konusom z verßynog v nuli, vidtak dom ( δ L )∗ I I – dom ( δ L )∗ [ najbil\ßym linijnym mnohovydom, wo mistyt\sq v dom ( δ L )∗. Qkwo poklasty c = 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )δ δL l H u L l H u∗ ∗ ∗ ∗− − − +( ) , to z (12) ta lemy 1 distanemo vyraz dlq σ ( l, u ) . Vyraz sup ( , )R R u u η η∈R [ skinçennym dlq dovil\noho u . Spravdi, ( , )R u uη ≤ R uη 2 ≤ u 2, Rη ∈� , tomu σ ( l, u ) < + ∞ . Dlq zaverßennq dovedennq zalyßa[t\sq zastosuvaty ozna- çennq minimaksno] seredn\okvadratyçno] ocinky. Dovedennq teoremy 1. Zhidno z tverdΩennqm 1 dlq zadanoho l ∈H mini- maksna poxybka [ skinçennog todi i lyße todi, koly l H u− ∗ ∈ dom ( δ L )∗ I – dom ( δ L )∗. Oskil\ky 0 ∈� I R L( ), to vykonano umovy lemy 1, zvidky dom ( δ L )∗ = R ( L∗ ) i I u1 1 2/ ( ) : = cl( )( )L c l H u∗ ∗− = ( )( )L c l H u∗ ∗− . Zastosovugçy tverdΩennq 1, dista[mo tverdΩennq teoremy wodo skinçennosti minimaksno] poxybky. Obçyslymo ( , )R u uη = M u( , )η 2 ≤ M u u( , )( , )η η ⇒ sup ( , ) R R u u η η ∈R = ( , )u u . Todi z (3) otrymu[mo σ ( l, u ) = I1 ( u ) + ( u, u ) , i formula (4) [ pravyl\nog. Zaznaçymo, wo Ul = u l H u R L: ( )− ∈{ }∗ ∗ zhidno z oznaçennqm Ul . Funkcional I1 [ opuklym i slabkonapivneperervnym znyzu, qk ce vyplyva[ z lemy 1, vidtak u a σ ( l, u ) [ slabkonapivneperervnym, stroho opuklym ta koercytyvnym. Oskil\ky I1 ( u ) = + ∞ u dopovnenni Ul , to dlq dovil\no] minimizugço] poslidovnosti { }un vykonano un l∈U . Cq poslidovnist\ [ obmeΩenog vnaslidok koercytyvnosti u a σ ( l, u ) . Vydilymo slabkozbiΩnu pidposlidovnist\ { }un . Vnaslidok slabko] napivneperervnosti toçna nyΩnq hran\ u a σ ( l, u ) dosqha[t\sq na slabkij hranyci poslidovnosti { }un . OtΩe, mnoΩyna toçok minimumu [ neporoΩn\og i vnaslidok stroho] opuklosti sklada- [t\sq z [dyno] toçky û . Oskil\ky I1 ( u ) = + ∞ dlq u Ul∉ , to vykonu[t\sq vklgçennq l H u R L− ∈∗ ∗ˆ ( ). OtΩe, my dovely isnuvannq ta [dynist\ minimaksno] ocinky. Nexaj vykonano umovu druho] çastyny teoremy. Todi ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 188 S. M. ÛUK Ul = u P H u P lN L N L: ( ) ( ) ∗ ={ } , de çerez PN L( ) poznaçeno ortoproektor na N L( ). Rozhlqnemo funkcional I w2( ) = min , , ( )( ) z L c z L z P l w2 � ∗ = −{ }∗ . Za lemog 1 I2( )⋅ dosqha[ minimumu ˆ( )z w u koΩnij toçci w, tomu na pidstavi vlastyvostej oporno] funkci] I w2 1 2/ ( ) = c z w( ), ˆ( )� ≤ c z w c z( ) ( ), ( ) ,� �+ 2 0 , de L z∗ 0 = 0, L z w∗ ( ) = P l w L∗ −( ), z w R L( ) ( )∈ . Liva çastyna poperedn\o] neriv- nosti ne zaleΩyt\ vid z0, tomu I w2 1 2/ ( ) ≤ c z w c z z N L ( ) ( ), ( ) min , ( ) � �+ ∈ ∗ 0 0 = c z w( ), ( )� , oskil\ky c( ),� ⋅ ≥ 0, c( ),� 0 = 0. Teper dlq dovil\noho w obmeΩenist\ I2( )⋅ u deqkomu okoli V w( ) vyplyva[ z toho, wo z w( ) neperervno zaleΩyt\ vid w ( L [ normal\no rozv�qznym) ta vlastyvostej mnoΩyny � . OtΩe, I2( )⋅ [ neperervnog funkci[g. Ale todi ∂I u3( ˆ) = H I H u∂ ∗ 2( )ˆ , I u3( ) = I H u2( )∗ , za teoremog pro subdyferencial obrazu opuklo] funkci] pry linijnomu opera- tori [14, c. 212]. Z inßoho boku, na Ul P l H u L∗ − ∗( ) = l H u− ∗ ⇒ I u1( ) = I H u2( )∗ = I u3( ), tomu toçka minimumu û funkcionala σ( , )l ⋅ [ vodnoças rozv�qzkom zadaçi umov- no] optymizaci] I u4( ) = ( , ) ( )u u I u+ 3 → min, u Ul∈ . Oskil\ky afinnyj mnohovyd Ul [ paralel\nym linijnomu pidprostoru U0 = = u P H uN L: ( ) ∗ ={ }0 , to neobxidna i dostatnq umova ekstremumu [14, c. 89] I4 na Ul ma[ vyhlqd ∂ ⊥I u4 0( ˆ) ( )I U ≠ ∅. Za teoremog Moro � Rokafellara ∂I u4( ˆ) = ∂ +I u u3 2( ˆ) ˆ{ }. Z inßoho boku, zhidno z umovog teoremy ( )U0 ⊥ = N P HN L ⊥ ∗( )( ) = R P HN L( )( ) ∗ ∗ = H N L( )( ) . Takym çynom, znajdet\sq take p0 : Lp0 = 0, wo ˆ ˆ( )u Hp H I H u− ∈ ∂ ∗ 0 2 , I w2( ) = min , , ( )( ) z L c z L z P l w2 � ∗ = −{ }∗ , ̂u l∈U . Teoremu dovedeno. Dovedennq naslidku 1. Zaznaçymo, wo mnoΩyny � , { }( ) ≤η η η: ,M 1 zado- vol\nqgt\ umovy teoremy 1, vidtak isnu[ [dyna minimaksna seredn\okvadratyçna ocinka ̂u l∈U . Nexaj vykonano umovu 1. Todi za teoremog 1 ˆ ˆ ˆ( ( ))u Hp H I u− ∈ ∂ 2 , û Ul∈ , I w2( ) = min , , ( )( ) z L c z L z P l w2 � ∗ = −{ }∗ . Obçyslymo subdyferencial I2. Vvedemo dodatkovi poznaçennq. Symvolom L̃1 ∗ poznaçymo linijnyj operator, vyznaçenyj na R L( )∗ za pravylom ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 OCINGVANNQ STANIV DYNAMIÇNO} SYSTEMY … 189 L̃ w1 ∗ = z, z R L L∈ ∗( ) ( )I � , L z∗ = w . PokaΩemo, wo L̃1 ∗ [ zamknenym operatorom. Spravdi, nexaj wn → w, wn ∈ R L( )∗ , L̃ wn1 ∗ = zn → z . Todi w R L∈ ∗( ) i L zn ∗ = wn → w, zn → z. Oskil\ky z R Ln ∈ ( ) za oznaçennqm L̃1 ∗ , to z R L∈ ( ). Vykorystavßy zamknenist\ L∗ , distanemo z R L L∈ ∗( ) ( )I � i L z∗ = w , tobto w L∈ ∗�( )˜ 1 i L̃ w1 ∗ = z . Teper, z ohlqdu na teoremu pro zamknenyj hrafik [12], vyvodymo obmeΩe- nist\ L̃1 ∗ . ProdovΩymo L̃1 ∗ na uves\ F takym çynom: L w1 ∗ = ˜ ( )( )L I P wN L1 ∗ − , w ∈F . Zistavymo operator L1 operatoru L po analohi] z pobudovog L1 ∗ . Distanemo ( )L1 ∗ = L1 ∗ . Spravdi, dlq dovil\nyx p ∈F , w ∈H ma[mo ( ) ( ), ,L w p L p w1 1 ∗ + = ( , ) ( , )z p q w+ = ( ) ( ), ,z Lq q L z+ ∗ = 0, de z R L L∈ ∗( ) ( )I � , L z∗ = w i q R L L∈ ∗( ) ( )I � , Lq = p . Zaznaçymo, wo c z( ),� = z , i tomu dlq l w R L− ∈ ∗( ) za oznaçennqm L1 ∗ vykonu[t\sq rivnist\ I w2 1 2/ ( ) = L l w1 ∗ −( ) = min , , ( )( ) z L c z L z P l w� ∗ = −{ }∗ . Qkwo poklasty k q( ) = L l q1 2∗ − , to I w2( ) = L l w1 2∗ −( ) = k L w( )1 ∗ = ( )( )kL w1 ∗ . ZauvaΩymo, wo q k qa ( ) [ opuklym neperervnym funkcionalom na vs\omu prostori F i vidtak zadovol\nq[ umovy teoremy [14, c. 212] pro subdyferencial obrazu opukloho funkcionala pry linijnomu neperervnomu operatori, tomu ∂ ∗( )( )kL w1 = L k L w1 1∂ ∗( ) = L L l w1 1 2 ∂ −∗ ( ) . Poklademo w = H u∗ ˆ . Oskil\ky ̂u l∈U , to L z∗ˆ = l H u− ∗ ˆ , de ẑ = L l H u1 ∗ ∗−( )ˆ . OtΩe, ∂ ∗I H u2( )ˆ = ∂ ∗ ∗( )( )ˆkL H u1 = L z1 2∂ ˆ = 2 1 1ˆ ˆ( ( ))z L z� , de �1( )z = f f z z∈ ={ }� : ( , ) . Qkwo ẑ = 0, to 0 = L l H u1 ∗ ∗−( )ˆ = ˜ ˆ( )L l H u1 ∗ ∗− , i vnaslidok in�[ktyvnosti L̃1 ∗ vyvodymo l = H u∗ ˆ . Umova (5) nabere vyhlqdu Hp0 = û , Lp0 = 0, vidtak 0 = l H Hp− ∗ 0 , Lp0 = 0, otΩe, û vyraΩa[t\sq çerez rozv�qzky (6). Nexaj ẑ ≠ 0. Todi za oznaçennqm operatora L1 HL z1 1( ( ))ˆ� = Hp Lp z z p R L, ˆ ˆ , ( )= ∈      ∗ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 190 S. M. ÛUK OtΩe, umova (5) nabyra[ vyhlqdu û Hp− 0 = 2 ẑ Hp , L z∗ˆ = l H u− ∗ ˆ, ˆ ( )z R L∈ , (13) Lp = ˆ ˆ z z , p R L∈ ∗( ), dlq deqkoho p N L0 ∈ ( ). Poklademo p̃ = 2 1ẑ p− . Todi z (13) znaxodymo û = = H p p( )˜ + 0 , de L p p( )˜ + 0 = ẑ , Lp0 = 0, L z∗ˆ = l H H p p− +∗ ( )˜ 0 . Qkwo teper poklasty p̂ = p̃ p+ 0 dlq p̃ , p0 , to p̂ , ẑ zadovol\nqgt\ (6). Vidpovidno û = Hp̂ . PokaΩemo, wo p̂ moΩe obyratys\ qk dovil\nyj rozv�qzok (6). Spravdi, vve- demo linijnyj operator Tx = [ Lx, Hx ] z H u dekartovyj dobutok F × Y . Zrozumilo, wo N ( T ) = N L N H( ) ( )I i T u z∗( , ) = L z H u∗ ∗+ . Nexaj ( ),p z0 0 znaxodyt\sq z umov Lp0 = z0, (14) L z H Hp∗ ∗+0 0 = 0. Poklademo u0 = Hp0 . Todi T u z∗( , )0 0 = 0 i Tp0 = [ , ]z u0 0 , vidtak Tp0 ∈ ∈ N T( )∗ . Ale Ω R T N T( ) ( )I ∗ = { }0 , zvidky p0 ∈ N T( ) = N L N H( ) ( )I , tobto u0 = 0. Zalyßylos\ zauvaΩyty, wo dva dovil\nyx rozv�qzky ( , )p z1 1 , ( , )p z2 2 linijnoho rivnqnnq (6) rozriznqgt\sq miΩ sobog na rozv�qzok (14), tomu H p p( )1 2− = 0 za dovedenym. Nexaj teper vykonano umovu 2. Todi [dynyj rozv�qzok [ , ]u z∗ ∗ zadaçi opty- mizaci] [ , ]z u 2 → inf, T z u∗[ , ] = l (15) ortohonal\nyj do nul\-mnohovydu T∗ i tomu naleΩyt\ mnoΩyni znaçen\ opera- tora T, tobto vodnoças [ , ]u z∗ ∗ = Tx , T u z∗ ∗ ∗[ , ] = l, zvidky za oznaçennqm T znaxodymo Lx = z∗, Hx = u∗ , L z H u∗ ∗ ∗ ∗+ = l. Zvidsy v svog çerhu u l ∗ ∈U ⇒ σ( ˆ, )u l ≤ σ( , )u l∗ . Z inßoho boku, l = L z H u∗ ∗+ˆ ˆ i L p = ẑ vnaslidok (6) dlq deqkoho p L∈�( ), vidtak T u z l∗ =[ ˆ, ˆ] , i tomu na pidstavi (15) σ( , ˆ)l u = [ ˆ, ˆ]u z 2 ≥ [ , ]u z∗ ∗ 2 . Ale za formulog (15) σ( , )u l∗ = ( , ) min ,u u z L z l H u z ∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ = −{ }2 ≤ ( , ) ( , )u u z z∗ ∗ ∗ ∗+ ≤ σ( ˆ, )u l . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 OCINGVANNQ STANIV DYNAMIÇNO} SYSTEMY … 191 Tomu σ( , ˆ)l u = σ( , )l u∗ , zvidky vnaslidok stroho] opuklosti u u∗ = ˆ . Z uraxuvannnqm (6) znajdemo σ( , )l u = ( ˆ, ˆ) ( ˆ, ˆ)z z u u+ = ( , )l p , zvidky ˆ ( )σ l = = ( , ˆ ) /l p 1 2. Naslidok 1 dovedeno. Dovedennq naslidku 2. Qkwo systema operatornyx rivnqn\ (6) ma[ rozv�q- zok ̂ ( )z L∈ ∗� , ̂ ( )p L∈� , to l L z H u= +∗ ∗ dlq ẑ , û , ˆ ˆu Hp= . Nexaj teper vykonano umovy naslidku i l R L R H∈ +∗ ∗( ) ( ). Todi operatory L , H ta vektor l zadovol\nqgt\ umovy naslidku 1. Tomu minimaksna ocinka û zobraΩu[t\sq qk ˆ ˆu Hp= , de p̂ znaxodyt\sq qk rozv�qzok (6). Naslidok 2 dovedeno. Dovedennq naslidku 3. Nasampered zaznaçymo, wo (7) ma[ neporoΩng mno- Ωynu rozv�qzkiv ( , )q ϕ . Ce vyplyva[ z toho, wo dlq dovil\noho y ∈Y vektor H y∗ naleΩyt\ mnoΩyni R L R H( ) ( )∗ ∗+ i naslidku 2. Nexaj teper ˆ ˆu Hp= , de p̂ znaxodyt\sq qk rozv�qzok (6), ϕ̂ � qk rozv�qzok (7). Bezposerednim obçys- lennqm lehko vstanovyty rivnist\ ( ˆ, ) ( , ˆ )u y l= ϕ . Naslidok 3 dovedeno. Dovedennq tverdΩennq 2. Zapyßemo – c ly( , )X − ≤ ( , )l ψ ≤ c ly( , )X , ψ ∈Xy , zvidky ( , )l ψ ≤ 1 2 c l c ly y( , ) ( , )X X+ −( ) , ψ ∈Xy , vidtak sup ( , ) ( , ) ψ ϕ ψ ∈ − Xy l l = 1 2 c l c ly y( , ) ( , )X X+ −( ) + + ( , ) ( , ) ( , )l c l c ly yϕ − − −( )1 2 X X . (16) Vyraz (16) ma[ sens lyße todi, koly l c cy y∈ ⋅ − ⋅dom dom( , ) ( ) ( , )X XI 1 . Poka- Ωemo, wo R L R H( ) ( )∗ ∗+ ⊂ domc y( , )X ⋅ ⊂ R L R H( ) ( )∗ ∗+ . Perße vklgçennq [ naslidkom toho, wo dlq dovil\noho l L z H u= +∗ ∗ ma[mo c ly( , )X = sup ( , ) ( , ) ( , ) x y Lx z u y Hx u y ∈ − −{ } + X ≤ c z u u y( , [ , ]) ( , )G + < + ∞ vnaslidok obmeΩenosti G . Z inßoho boku, c ly( , )X ≥ sup ( , ), ,l x Lx Hx= ={ }0 0 = + ∞ dlq koΩnoho l R L R H∉ +∗ ∗( ) ( ). OtΩe, vyraz (16) ne pozbavlenyj sensu lyße todi, koly vykonano umovu (8), qku dali vvaΩa[mo vykonanog. Iz (16) vydno, wo sup ( , ) ( , ) ψ ϕ ψ ∈ − Xy l l ≥ 1 2 c l c ly y( , ) ( , )X X+ −( ) dlq dovil\noho ϕ ∈Xy i rivnist\ dosqha[t\sq dlq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 192 S. M. ÛUK ( , ˆ )l ϕ = 1 2 c l c ly y( , ) ( , )X X− −( ) , ϕ̂ ∈Xy , vnaslidok opuklosti G ta neperervnosti skalqrnoho dobutku. TverdΩennq 2 dovedeno. Dovedennq teoremy 2. Prypustymo, wo operatory L, H zadovol\nqgt\ umovy teoremy. Todi zadaça proektuvannq �( )x = ( , ) ( , )Lx Lx y Hx y Hx+ − − → min ( )x L∈� (17) ma[ rozv�qzok ϕ̂ . Spravdi, dlq dovil\noho y ∈Y mnoΩyna rozv�qzkiv (17) [ vodnoças [15, c. 23] sukupnistg rozv�qzkiv variacijno] rivnosti – ( , ) ( , )L Lx y H Hxϕ ϕ+ − = 0, x L∈�( ), (18) qka mistyt\, zokrema, ϕ̂ -rozv�qzok sumisno] (dyv. naslidok 2) systemy L q∗ ˆ = H y H∗ −( ˆ )ϕ , Lϕ̂ = q̂ . Poklademo X0 = x x: ( ) ( ˆ )� �1 1+ ≤{ }ϕ , �1( )x = ( , ) ( , )Lx Lx Hx Hx+ . Zaznaçymo, wo �( ˆ )ϕ − x = � �1 2 2( ) ( ˆ ) ( ˆ , ) ( ˆ , )x L Lx y H Hx+ − + −ϕ ϕ ϕ = � �1( ) ( ˆ )x + ϕ dlq x L∈�( ) za rivnistg (18). Nexaj x ∈X0. Todi �( ˆ )ϕ − x = � �1( ) ( ˆ )x + ϕ ≤ 1, vidtak ̂ ( )ϕ + −1 0X = ̂ϕ + X0 ⊂ Xy . Navpaky, qkwo x y∈X , to x̃ : = ϕ̂ − x ∈ �( )L i 1 ≥ �( )x = �( ˆ ˜)ϕ − x = � �1( ˆ ) ( ˆ )ϕ ϕ− +x , tomu – x + ∈ϕ̂ X0 , x y∈X ⇒ Xy ⊂ ̂ϕ + X0 . OtΩe, c ly( , )X = ( , ˆ ) ( , )l c lϕ + X0 . ZauvaΩymo, wo c l( , )X0 = sup ( , ) ( , ) x l x S Tx−{ }δ β 0 = inf ( , [ , ])c S z u L z H u lβ 0 ∗ ∗+ ={ }, (19) de Tx = [ ],Lx Hx , δ β( , )S0 ⋅ � indykator kuli Sβ 0 = [ , ] : ( , )p q s p q ≤{ }β , s p q( , ) = ( , ) ( , )p p q q+ , β = 1 − �( ˆ )ϕ ≥ 0. Spravdi, za oznaçennqm x ∈X0 ⇔ s Tx( ) ≤ β ⇔ δ β( , )S Tx0 ≤ 0. OtΩe, opuklyj funkcional x a δT x( ) = δ β( , )S Tx0 [ indykatorom X0 . Oskil\- ky linijnyj operator T i mnoΩyna Sβ 0 zadovol\nqgt\ umovy lemy 1, to c( , )X0 ⋅ = ( ) ( )δT ∗ ⋅ = T c S∗ ⋅( , )β 0 , de c S w( , )β 0 = ( , ) / /w w 1 2 1 2β zhidno z nerivnistg Ívarca. Takym çynom, zhidno z (19) ma[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 OCINGVANNQ STANIV DYNAMIÇNO} SYSTEMY … 193 c ly( , )X = ( , ˆ ) inf ,/ / l z u L z H u lϕ β+ + + ={ }[ ]∗ ∗1 2 2 2 1 2 dlq dovil\noho l ∈H . Ale inf { }⋅ u pravij çastyni ostann\o] rivnosti [ ni çym inßym, qk minimaksnog apriornog poxybkog (dyv. mirkuvannq, vykladeni pry rozv�qzanni zadaçi optymizaci] (15)). Tomu c ly( , )X = ( , ˆ ) ˆ ( )/l lϕ β σ+ 1 2 . Dlq zaverßennq dovedennq zalyßylos\ zauvaΩyty (dyv. formulu (9)), wo β = 1 − �( ˆ )ϕ = 1 − −( , ˆ )y y Hϕ , i zastosuvaty tverdΩennq 2. Dovedennq naslidku 4. Za teoremog 2 inf sup ϕ ϕ ∈ ∈ − X Xy yx x = inf sup sup ( , ˆ ) ϕ ϕ ∈ ∈ = − X Xy yx l l x 1 ≥ ≥ sup inf sup l xy y x = ∈ ∈ − 1 ϕ ϕ X X = sup ˆ( ) l d l =1 = ( )− − = 1 1 2 1 ( , ˆ ) max ˆ ( )/y y H l l ϕ σ . Zrozumilo, wo sup ˆ x y x ∈ − X ϕ ≥ inf sup ϕ ϕ ∈ ∈ − X Xy yx x , zvidky zhidno z umovamy naslidku sup ˆ x y x ∈ − X ϕ = sup sup ( , ˆ ) l x y l x = ∈ − 1 X ϕ = sup ˆ( ) l d l =1 ≥ inf sup ϕ ϕ ∈ ∈ − X Xy yx x . Naslidok 4 dovedeno. Dovedennq tverdΩennq 3. Operator, porodΩenyj [8] linijnym deskryp- tornym rivnqnnqm z matrycqmy F, C, poznaçymo çerez D . Operator H u c\o- mu vypadku di[ qk Hx = x. Todi operatory D , H ta mnoΩyna � zadovol\nq- gt\ umovu 2, tomu zhidno z teoremog 2 minimaksna aposteriorna ocinka x̂ roz- v�qzku x deskryptornoho rivnqnnq u naprqmku l isnu[ dlq dovil\noho l ∈ ∈ R L R H( ) ( )∗ ∗+ = L2 0 n t T( ), i znaxodyt\sq z operatornoho rivnqnnq L q∗ ˆ = H y Hx∗ −( ˆ), (20) Lx̂ = q̂ . Aposteriorna poxybka zada[t\sq vyrazom ˆ( )d l = 1 1 2 1 2− −( )( , ˆ) ( , ˆ)/ /y y Hx l p . Zaznaçymo, wo (20) ekvivalentna systemi alhebra]çno-dyferencial\nyx rivnqn\ ˙ ( )x t1 = C x t C x t q t1 1 2 2 1( ) ( ) ( )+ + , x t1 0( ) = 0, 0 = C x t C x t q t3 1 4 2 2( ) ( ) ( )+ + , (21) ˙ ( )q t1 = – ′ − ′ + −C q t C q t x t y t1 1 3 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ), q T1( ) = 0, 0 = – ′ − ′ + −C q t C q t x t y t2 1 4 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ). Spravdi, zvaΩagçy na bloçnu strukturu matryc\ F, C, zapysu[mo x = ( , )x x1 2 , z = ( , )z z1 2 . Todi ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 194 S. M. ÛUK Fx t( ) = x t1 0 ( )    , ′F z t( ) = z t1 0 ( )    , Cx t( ) = C x t C x t C x t C x t 1 1 2 2 3 1 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + +     . Teper, beruçy do uvahy konkretnyj vyhlqd L , L∗ , vyvodymo ekvivalentnist\ (20) ta (21). Zapyßemo alhebra]çni rivnqnnq z (21) u vyhlqdi C E E C x t q t 4 4 2 2− ′         ( ) ( ) = − ′ +     C x t C q t y t 3 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , zvidky, pomnoΩyvßy poperedng rivnist\ zliva na ( ) ( ) ( ) ( ) E C C C E C C E C E C C C C E C C + ′ ′ + ′ − + ′ ′ − + ′     − − − − 4 4 1 4 4 4 1 4 4 4 1 4 4 4 4 1 , oderΩymo navedeni u tverdΩenni zobraΩennq dlq x2 , q2 . Vyrazy dlq x1 , q1 znaxodymo pidstanovkog oderΩanyx zobraΩen\ u (21). 1. Nakoneçnyj O. H. Ocingvannq parametriv v umovax nevyznaçenosti // Nauk. zap. KNU im. T. Íevçenka. � 2004. � 7. � S. 102 � 111. 2. Krasovskyj N. Teoryq upravlenyq dvyΩenyem. � M.: Nauka, 1968. � 476 s. 3. KurΩanskyj A. B. Upravlenye y nablgdenye v uslovyqx neopredelennosty. � M.: Nauka, 1977. � 392 s. 4. Nakoneçnyj O. H. Optymal\ne keruvannq ta ocingvannq v rivnqnnqx z çastynnymy poxidny- my: navç. pos. � VPC �Ky]v. un-t�, 2004. � 103 s. 5. Podlypenko G. Mynymaksnoe ocenyvanye prav¥x çastej neterov¥x uravnenyj v hyl\ber- tovom prostranstve v uslovyqx neopredelennosty // Dop. NAN Ukra]ny. � 2005. � # 12. � S. 36 � 44. 6. Bojçuk O., Íehda L. VyrodΩeni neterovi krajovi zadaçi // Nelinijni kolyvannq. � 2007. � 10, # 3. � S. 303 � 312. 7. Samojlenko A., Íkil\ M., Qkovec\ V. Linijni systemy dyferencial\nyx rivnqn\ z vyrod- Ωennqm. � Ky]v: Vywa ßk., 2000. � 294 s. 8. Ûuk S. M. Zamknenist\ ta normal\na rozv�qznist\ operatora, porodΩenoho vyrodΩenym li- nijnym dyferencial\nym rivnqnnqm zi zminnymy koefici[ntamy // Nelinijni kolyvannq. � 2007. � 10, # 4. � S. 464 � 480. 9. Ûuk S. M. Minimaksni zadaçi spostereΩennq dlq linijnyx deskryptornyx dyferencial\nyx rivnqn\ // Ûurn. prykl. matematyky. � 2005. � 2. � S. 39 � 46. 10. Ûuk S. M. Zadaçi minimaksnoho spostereΩennq dlq linijnyx deskryptornyx system: Avto- ref. dys. … kand. fiz.-mat. nauk. � Ky]v, 2006. 11. Ûuk S. M., Demydenko S., Nakoneçnyj O. H. Do problemy minimaksnoho ocingvannq rozv�qz- kiv odnovymirnyx krajovyx zadaç // Tavr. visn. informatyky i matematyky. � 2007. � 1. � S. 7 � 24. 12. Lqnce V., StoroΩ O. Metod¥ teoryy neohranyçenn¥x operatorov. � Kyev: Nauk. dumka, 1983. � 344 s. 13. ∏kland Y., Temam R. V¥pukl¥j analyz y varyacyonn¥e problem¥: Per. s franc. � M.: Myr, 1979. � 396 s. 14. Yoffe A., Tyxomyrov V. Teoryq πkstremal\n¥x zadaç. � M.: Nauka, 1974. � 477 s. 15. Balakryßnan A. Prykladnoj funkcyonal\n¥j analyz: Per. s anhl. � M.: Nauka, 1980. � 384 s. OderΩano 22.05.08 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2

Оцінювання станів динамічної системи, яка описується лінійним рівнянням з невідомими параметрами

Institution

Ähnliche Einträge