Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166216 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів / О.Н. Нестеренко, О.Д. Тимошкевич, А.В. Чайковський // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 231-242. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166216 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662162020-02-19T01:25:24Z Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів Нестеренко, О.Н. Тимошкевич, Т.Д. Чайковський, А.В. Статті 2009 Article Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів / О.Н. Нестеренко, О.Д. Тимошкевич, А.В. Чайковський // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 231-242. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166216 517.518 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Нестеренко, О.Н. Тимошкевич, Т.Д. Чайковський, А.В. Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Нестеренко, О.Н. Тимошкевич, Т.Д. Чайковський, А.В. |
| author_facet |
Нестеренко, О.Н. Тимошкевич, Т.Д. Чайковський, А.В. |
| author_sort |
Нестеренко, О.Н. |
| title |
Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів |
| title_short |
Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів |
| title_full |
Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів |
| title_fullStr |
Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів |
| title_full_unstemmed |
Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів |
| title_sort |
посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166216 |
| citation_txt |
Посилення однієї нерівності для алгебраїчних многочленів / О.Н. Нестеренко, О.Д. Тимошкевич, А.В. Чайковський // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 231-242. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT nesterenkoon posilennâodníêínerívnostídlâalgebraíčnihmnogočlenív AT timoškevičtd posilennâodníêínerívnostídlâalgebraíčnihmnogočlenív AT čajkovsʹkijav posilennâodníêínerívnostídlâalgebraíčnihmnogočlenív |
| first_indexed |
2025-07-14T19:10:47Z |
| last_indexed |
2025-07-14T19:10:47Z |
| _version_ |
1837650671790194688 |
| fulltext |
UDK 517.518
O. N. Nesterenko, T. D. Tymoßkevyç, A. V. Çajkovs\kyj
(Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
POSYLENNQ ODNI{} NERIVNOSTI
DLQ ALHEBRA}ÇNYX MNOHOÇLENIV
We prove that the inequality g n L( / ) – ,⋅ [ ]1 1 1 Pn k L+ [ ]1 1 1– ,
≤ 2
1 1 1
gPn k L+ [ ]– ,
, where g : –1[ ,
1] → R is a monotone odd function and Pn k+ is an algebraic polynomial of degree not higher than
n + k, is true for all natural n if k = 0 and for all natural n ≥ 2 if k = 1. Other new pairs (n, k) are
found for which this inequality is also true. Some conditions on polynomials Pn k+ are established
under which the inequality becomes an equality. Some generalizations of the considered inequality are
obtained.
Dokazano, çto neravenstvo g n L( / ) – ,⋅ [ ]1 1 1 Pn k L+ [ ]1 1 1– ,
≤ 2
1 1 1
gPn k L+ [ ]– ,
, hde g : –1[ ,
1] → R � monotonnaq neçetnaq funkcyq, a Pn k+ � alhebrayçeskyj mnohoçlen stepeny ne
v¥ße n + k, v¥polnqetsq dlq vsex natural\n¥x n pry k = 0 y dlq vsex natural\n¥x n ≥ 2
pry k = 1, najden¥ druhye nov¥e par¥ (n, k), dlq kotor¥x ono ymeet mesto. Ustanovlen¥ ne-
kotor¥e uslovyq na mnohoçlen Pn k+ , pry kotor¥x πto neravenstvo prevrawaetsq v ravenstvo.
Poluçen¥ nekotor¥e obobwenyq πtoho neravenstva.
Vstup. Formulgvannq osnovnyx rezul\tativ. Nexaj g : R → R � monoton-
na neparna funkciq ta
g xn( ) : = g nx( ), n ∈N , x ∈R .
U roboti [1] (lema 5.1) dovedeno, wo dlq koΩnoho alhebra]çnoho mnohoçlena
P = Pn – 2 stepenq ne vywe n – 2, n ≥ 2, vykonu[t\sq nerivnist\
g PL L1 11 1 1 1– , – ,[ ] [ ] ≤ 2
1 1 1g Pn L – ,[ ] . (1)
U statti [2] otrymano posylennq ta uzahal\nennq ci[] nerivnosti. Zokrema, vsta-
novleno, wo pry n ≥ 7 nerivnist\ (1) spravdΩu[t\sq dlq alhebra]çnyx mnoho-
çleniv P stepenq ne vywe n. Metog dano] roboty [ dovedennq c\oho tverdΩen-
nq dlq vsix natural\nyx n, znaxodΩennq novyx par (n, k), dlq qkyx nerivnist\
(1) vykonu[t\sq u vypadku mnohoçlena P stepenq ne vywe n + k, uzahal\nennq
]] na vypadok funkcij bahat\ox zminnyx, a takoΩ vstanovlennq umov na mno-
hoçleny, dlq qkyx nerivnist\ peretvorg[t\sq na rivnist\.
Teorema 1. Nexaj n ∈N . Dlq koΩnoho alhebra]çnoho mnohoçlena Pn ste-
penq ne vywe n vykonu[t\sq nerivnist\
g PL n L1 11 1 1 1– , – ,[ ] [ ] ≤ 2
1 1 1g Pn n L – ,[ ]. (2)
Naslidok. Qkwo b > 0, to dlq koΩnoho alhebra]çnoho mnohoçlena Pn
stepenq ne vywe n vykonu[t\sq nerivnist\
g PL b b n L b b1 1– , – ,[ ] [ ] ≤ 2
1
b g Pn n L b b– ,[ ] .
Dlq formulgvannq inßyx rezul\tativ vvedemo take oznaçennq.
Oznaçennq. Vymirnu za Lebehom funkcig g : – ,1 1[ ] → R nazvemo dopusty-
mog zi stalog 1 / n, de n ∈N , qkwo:
1) g � parna funkciq na – ,1 1
n n
;
© O. N. NESTERENKO, T. D. TYMOÍKEVYÇ, A. V. ÇAJKOVS|KYJ, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 231
232 O. N. NESTERENKO, T. D. TYMOÍKEVYÇ, A. V. ÇAJKOVS|KYJ
2) g � nespadna na 0 1,
n
;
3) ess inf ( )
/1 1n x
g x
≤ ≤
≥ g
n
1
.
ZauvaΩymo, wo monotonna neparna funkciq [ dopustymog zi stalog 1 / n,
n ∈N .
Budemo doslidΩuvaty nerivnist\
g
n
P
L
L
⋅
[ ] [ ]
1
11 1
1 1
– ,
– , ≤ 2
1 1 1gP L – ,[ ], (3)
qka dlq neparnyx monotonnyx funkcij g : R → R ta mnohoçlena P [ rivno-
syl\nog nerivnosti (1) abo (2) v zaleΩnosti vid stepenq mnohoçleniv.
Teorema 2. 1. Dlq koΩnoho k ≥ – 1 isnu[ N k( ) ∈N take, wo dlq vsix n ≥
≥ N k( ) dovil\nyj alhebra]çnyj mnohoçlen P = Pn k+ stepenq ne vywe n + k
zadovol\nq[ nerivnist\ (3) dlq bud\-qko] funkci] g, dopustymo] zi stalog
1 / n.
2. Dlq koΩnoho n ∈N isnu[ K n( ) ∈N take, wo pry vsix n ≥ K n( ) dlq
deqkoho alhebra]çnoho mnohoçlena P = Pn k+ stepenq ne vywe n + k i deqko]
funkci] g, dopustymo] zi stalog 1 / n, nerivnist\ (3) [ xybnog.
ZauvaΩennq. 1. Qkwo dlq pary (n0 , k0) spravdΩu[t\sq tverdΩennq 1
teoremy 2, to vono spravdΩu[t\sq i dlq inßyx par (n0 , k) , de k ≤ k0.
2. Z lem 2 i 3, navedenyx nyΩçe, ta zauvaΩen\ do nyx vyplyva[, wo moΩna
poklasty N (– 1) = N (0) = 1, N (1) = 2, N (2) = 8, N (3) = 9, N (4) = 11, K (1) = 1,
K (2) = 2, K (3) = 3. Z lemy 2 takoΩ moΩna otrymaty qvnu ocinku dlq N k( ) pry
koΩnomu k ∈N .
3. Z dovedennq teoremy vyplyva[ navit\ bil\ß syl\ne tverdΩennq, niΩ tver-
dΩennq p. 1: dlq koΩnoho n ≥ – 1 isnu[ ˜ ( )N k ∈N take, wo dlq vsix n ≥ ˜ ( )N k
dovil\nyj alhebra]çnyj mnohoçlen Pn k+ stepenq ne vywe n + k zadovol\nq[
xoça b odnu z nerivnostej (4) � (6) dlq bud\-qko] funkci] g, dopustymo] zi sta-
log 1 / n.
n
k
n
k
– 1 0 1 2 3 4 – 1 0 1 2 3 4
1 + + � � � � 1 +
2 + + + � � � 2 +
3 + + + + � � 3 +
4 + + + + + 4 +
5 + + + + 5 +
6 + + + 6 +
7 + + + 7 + +
8 + + + + 8 + +
9 + + + + + 9 + +
10 + + + + + 10 + + +
11 + + + + + + 11 + + +
Dlq malyx znaçen\ par (n, k) u tablyci zliva znakom � + � poznaçeno pary,
dlq qkyx (3) vykonu[t\sq, znakom � – � � pary, dlq qkyx nerivnist\ (3) [ xybnog
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
POSYLENNQ ODNI{} NERIVNOSTI DLQ ALHEBRA}ÇNYX MNOHOÇLENIV 233
(poroΩni miscq � nevidomi vypadky). Dlq porivnqnnq u tablyci sprava navede-
no analohiçni rezul\taty z roboty [2].
Dovedennq teoremy 2 i zauvaΩennq 1 � 3 spyragt\sq na teoremy 3, 4, qki, od-
nak, magt\ i samostijnyj interes.
Teorema 3. Nexaj n ∈N , P ∈ L1 1 1– ,[ ], L x( ) : = P x( ) + P x(– ) ,
x ∈ – ,1 1[ ].
1. Nexaj funkciq g : – ,1 1[ ] → R dopustyma zi stalog 1 / n. Nerivnist\
(3) spravdΩu[t\sq todi j lyße todi, koly vykonu[t\sq nerivnist\
n g x dx L x dx
n
0
1
0
1/
( ) ( )∫ ∫ ≤
0
1
∫ L x g x dx( ) ( ) . (4)
2. Nerivnist\ (3) spravdΩu[t\sq dlq vsix funkcij g : – ,1 1[ ] → R , dopus-
tymyx zi stalog 1 / n, todi j lyße todi, koly vykonu[t\sq nerivnist\
P L u u1 – ,[ ] ≤ nu P L1 1 1– ,[ ], u
n
∈
0 1, . (5)
3. Dlq toho wob nerivnist\ (3) spravdΩuvalasq dlq vsix funkcij g : –1[ ,
1] → R, dopustymyx zi stalog 1 / n, dostatn\o, wob vykonuvalas\ nerivnist\
L x( ) ≤ n L t dt
0
1
∫ ( ) , x
n
∈
0 1, . (6)
Teorema 4. Nexaj N ∈N .
1. Dlq vymirno] za Lebehom funkci] g : – ,1 1[ ] → R tako], wo
–
( )
1
1
∫ g x dx ≠
≠ 0, velyçynu
P
gP
L
L
1
1
1 1
1 1
– ,
– ,
[ ]
[ ]
vyznaçeno dlq vsix nenul\ovyx mnohoçleniv P stepenq ne vywe N. Sered mno-
hoçleniv P, dlq qkyx cq velyçyna nabuva[ svoho najbil\ßoho znaçennq, moΩna
vybraty mnohoçlen P0, qkyj ma[ (z uraxuvannqm kratnosti) N koreniv na
– ,1 1[ ].
2. Pry fiksovanomu u ∈ 0 1,( ] velyçynu
P
P
L u u
L
1
1 1 1
– ,
– ,
[ ]
[ ]
vyznaçeno dlq vsix nenul\ovyx mnohoçleniv P stepenq ne vywe N. Sered mno-
hoçleniv P, dlq qkyx cq velyçyna nabuva[ svoho najbil\ßoho znaçennq, moΩna
vybraty mnohoçlen P0, qkyj ma[ (z uraxuvannqm kratnosti) N koreniv na
– ,1 1[ ].
3. Nexaj n ∈N . Velyçynu
sup ( )
( )
, /x n
L x
L t dt
∈[ ]
∫
0 1
0
1 ,
de L x( ) : = P x( ) + P x(– ) , x ∈ – ,1 1[ ], vyznaçeno dlq vsix nenul\ovyx mnoho-
çleniv P stepenq ne vywe N. Sered mnohoçleniv P, dlq qkyx cq velyçyna na-
buva[ svoho najbil\ßoho znaçennq, moΩna vybraty mnohoçlen P0, wo ma[ (z
uraxuvannqm kratnosti) N koreniv na – ,1 1[ ].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
234 O. N. NESTERENKO, T. D. TYMOÍKEVYÇ, A. V. ÇAJKOVS|KYJ
TverdΩennq p. 3 zalyßa[t\sq pravyl\nym, qkwo vkazanu velyçynu rozhlqda-
ty lyße na mnoΩyni nenul\ovyx parnyx mnohoçleniv stepenq ne vywe N abo na
mnoΩyni nenul\ovyx neparnyx mnohoçleniv stepenq ne vywe N.
ZauvaΩennq 4. Qkwo neobxidno dovesty, wo odyn iz drobiv, vkazanyx u
teoremi, ne perevywu[ zadanu stalu dlq vsix vidpovidnyx mnohoçleniv, dosyt\
dovodyty ce tverdΩennq lyße dlq mnohoçleniv, wo magt\ N riznyx koreniv na
– ,1 1[ ]. Dijsno, mnoΩyna takyx mnohoçleniv u rivnomirnij metryci [ wil\nog u
mnoΩyni vidpovidnyx mnohoçleniv, qki magt\ N koreniv na – ,1 1[ ].
Teorema 5. Nexaj m ∈N , kj ∈Z , kj ≥ – 1, N kj j( ) : = ˜ ( )N kj , ostanng ve-
lyçynu vyznaçeno v zauvaΩenni 3, nj ≥ N kj j( ) , j ∈ 1{ , 2, … , m} , a vymirna za
Lebehom funkciq g : – ,1 1[ ]m → R dlq koΩnoho j ∈ 1{ , 2, … , m} qk funkciq
odni[] j-] zminno] pry vsix fiksovanyx inßyx zminnyx [ dopustymog zi stalog
1/n . Todi dlq dovil\noho alhebra]çnoho mnohoçlena P, stepin\ qkoho po j-j
zminnij ne perevywu[ nj + kj pry koΩnomu j ∈ 1{ , 2, … , m} , vykonu[t\sq ne-
rivnist\
g
n n n
P
m L
L
m
m
⋅ ⋅ … ⋅
[ ]( )
[ ]( )
1 2 1 1
1 1
1
1
, , ,
– ,
– , ≤ 2
1 1 1
m
LgP m– ,[ ]( ). (7)
Teoremu 4 vstanovyv A. V. Çajkovs\kyj, lemu 3 � T. D. Tymoßkevyç, teore-
mu 5 � O. N. Nesterenko. Inßi rezul\taty otrymano spil\no.
Dovedennq osnovnyx rezul\tativ. Dovedennq teoremy 3. Qkwo Pg ∉
∉ L1 1 1– ,[ ], to prava çastyna nerivnosti (3) dorivng[ + ∞ i nerivnist\ vyko-
nu[t\sq, tomu nadali prypuska[mo, wo Pg ∈ L1 1 1– ,[ ]. Bez obmeΩennq zahal\-
nosti vvaΩatymemo, wo g x( ) = g
n
1
, x ∈
1 1
n
,
.
Ma[mo
Pg L1 1 1– ,[ ] =
0
1
∫ P x g x dx( ) ( ) +
0
1
∫ P x g x dx(– ) (– ) =
=
0
1
∫ +( )P x P x g x dx( ) (– ) ( ) =
0
1
∫ L x g x dx( ) ( ) .
Z inßoho boku,
g
n
P
L
L
⋅
[ ] [ ]
1
11 1
1 1
– ,
– , =
– –
( )
1
1
1
1
∫ ∫
g x
n
dx P x dx = 2
0
1
0
1
n g x dx L x dx
n/
( ) ( )∫ ∫ .
Zvidsy vyplyva[, wo nerivnosti (3) i (4) [ rivnosyl\nymy.
Nexaj vykonu[t\sq spivvidnoßennq (6). Nerivnist\ (4) rivnosyl\na nerivnosti
0
1
0
1/
( ) – ( ) ( )
n
L x n L t dt g x dx∫ ∫
+
1
1
/
( ) ( )
n
L x g x dx∫ ≥ 0. (8)
Vraxovugçy spivvidnoßennq (6) i dopustymist\ funkci] g, pomiça[mo, wo li-
va çastyna nerivnosti (8) bude najmenßog, qkwo g x( ) = g
n
1
= const, x ∈
∈ – ,1 1[ ]. Ale dlq takyx funkcij liva çastyna (8) dorivng[ nulg.
Nexaj vykonu[t\sq spivvidnoßennq (5). Bez obmeΩennq zahal\nosti vvaΩa-
tymemo, wo g x( ) ≥ 0, x ∈ – ,1 1[ ], g x( ) = 1, x ∈
1 1
n
,
, g( )0 = 0, a takoΩ wo g
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
POSYLENNQ ODNI{} NERIVNOSTI DLQ ALHEBRA}ÇNYX MNOHOÇLENIV 235
[ absolgtno neperervnog. Nexaj takoΩ P L1 1 1– ,[ ] = 1.
Z odnoho boku, ma[mo
g
n L
⋅
[ ]1 1 1– ,
= n g x dx
n
n
– /
/
( )
1
1
∫ = 2 1 1
0
1
n
n
g
n
xg x dx
n
′
∫– ( )
/
=
= 2 – 2
0
1
n xg x dx
n/
( )∫ ′ .
Z inßoho boku,
gP L1 1 1– ,[ ] = 1 –
–
– ( ) ( )
1
1
1∫ ( )g x P x dx =
= 1 –
– /
/
– ( ) ( )
1
1
1
n
n
g x P x dx∫ ( ) =
= 1 +
– / – /
( ) ( )
1
0
1n n
x
g u du P x dx∫ ∫ ′
–
0
1 1/ /
( ) ( )
n
x
n
g u du P x dx∫ ∫ ′
=
= 1 +
– /
( ) ( )
1
0 0
n u
P x dx g u du∫ ∫
′ –
0
1/
( ) ( )
n
u
u
P x dx g u du∫ ∫
′ =
= 1 –
0
1 0/
–
( ) ( )
n
u
P x dx g u du∫ ∫
′ –
0
1
0
/
( ) ( )
n u
P x dx g u du∫ ∫
′ =
= 1 –
0
1/
–
( ) ( )
n
u
u
P x dx g u du∫ ∫
′ .
Zvidsy z uraxuvannqm spivvidnoßennq (5) otrymu[mo nerivnist\ (3). Qkwo neriv-
nist\ (5) porußu[t\sq pry deqkomu u, moΩna vybraty funkcig g tak, wob ]]
poxidna na 0 1,[ ] bula vidminnog vid nulq lyße pry arhumentax, blyz\kyx do u.
Todi porußyt\sq nerivnist\ (3).
Teoremu 3 dovedeno.
Dovedennq teoremy 4. 1. MiΩ mnohoçlenamy vyhlqdu P x( ) = a0 + a1x + …
… + a xN
N i toçkamy (a0, a1, … , aN ) ∈ RN +1 isnu[ vza[mno odnoznaçna vidpo-
vidnist\. Mnohoçlen, wo vidpovida[ vektoru
r
a N∈ +R 1, poznaçatymemo çerez
Pa
r , a toçku, wo vidpovida[ mnohoçlenu P, � çerez
r
a P( ) . Rozhlqnemo funkcig
F : R
N + { }1 0\ → (0, + ∞), zadanu formulog
F a( )
r
=
P
gP
a L
a L
r
r
1
1
1 1
1 1
– ,
– ,
[ ]
[ ]
.
Oskil\ky F ne zming[ znaçennq pry domnoΩenni
r
a na nenul\ove çyslo, to vsi
znaçennq vona nabuva[ pry
r
a ∈ Ω : =
S
r
0 1,( ) � RN +1, de
S
r
0 1,( ) � odynyçna
sfera z centrom u poçatku koordynat. Na kompakti Ω funkciq F dosqha[ svo-
ho najbil\ßoho znaçennq. OtΩe, F dosqha[ najbil\ßoho znaçennq i na
R
N + { }1 0\ . Vyberemo odnu z toçok
r
a0, de vono dosqha[t\sq, tak, wob mnoho-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
236 O. N. NESTERENKO, T. D. TYMOÍKEVYÇ, A. V. ÇAJKOVS|KYJ
çlen Pa
r
0
mav maksymal\no moΩlyvu kil\kist\ koreniv na – ,1 1[ ] (z uraxuvan-
nqm kratnosti).
Nexaj
P xa
r
0
( ) = Q x0( ) R x0( ) , de Q x0( ) � mnohoçlen, vsi koreni qkoho le-
Ωat\ na – ,1 1[ ], R0 � mnohoçlen, vsi koreni qkoho leΩat\ na C \ – ,1 1[ ]. Bez ob-
meΩennq zahal\nosti vvaΩatymemo, wo R x0( ) > 0, x ∈ – ,1 1[ ]. Prypustymo, wo
R0 ne [ stalog. Qk i na poçatku dovedennq, vstanovymo vza[mno odnoznaçnu
vidpovidnist\ miΩ mnohoçlenamy R stepenq ne vywe s i toçkamy
r
b s∈ +R 1. Ne-
xaj R x0( ) =
R x
b
r
0
( ) = b0
0 + b x1
0 + … + b xs
s0 .
Poznaçymo
Ω1 : =
r
rb R x xs
b
∈ > ∈[ ]{ }+R 1 0 1 1( ) , – , .
MnoΩyna Ω1 [ vidkrytog. Dijsno, qkwo prypustyty, wo cq mnoΩyna ne [ vid-
krytog, to isnu[
r
b m{ : m ≥ 1} � Rs +1
\ Ω1 taka, wo
r
b m( ) →
r
′ ∈b Ω1 , m → ∞ .
Ale todi isnu[ mnoΩyna xm{ : m ≥ 1} � – ,1 1[ ] taka, wo
R x
b mm
r
( ) ( ) ≤ 0. Bez ob-
meΩennq zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo xm → x0 ∈ – ,1 1[ ], m → ∞ . Zvidsy
R x
b
r
′
( )0 ≤ 0. Ce supereçyt\ tomu, wo
r
′ ∈b Ω1 .
Rozhlqnemo funkcig
H b( )
r
= –
–
( )
( ) ( )
1
1 0
0 1
1
1 0
0 1
∫
∫
+ + … +( )
+ + … +( )
Q x b b x b x dx
Q x g x b b x b x dx
s
s
s
s
,
r
b s∈ +R 1
\ 0{ }.
U koΩnij toçci
r
b ∈Ω1 znaçennq H zbiha[t\sq z deqkym znaçennqm funkci] F,
tomu
sup ( )r
r
b
H b
∈Ω1
≤
sup ( )
r
r
a
F a
∈Ω
. Z inßoho boku, v toçci
r
b0
1∈Ω H b( )
r
0 = F a( )
r0 =
=
sup ( )
r
r
a
F a
∈Ω
. OtΩe,
H b( )
r
0 =
sup ( )r
r
b
H b
∈Ω1
=
sup ( )
r
r
a
F a
∈Ω
.
Zvidsy vyplyva[, wo v toçci
r
b0 funkciq H ma[ lokal\nyj (nestrohyj) maksy-
mum na Ω1. Ale dlq drobovo-linijno] funkci] ce moΩlyvo lyße qkwo H �
stala. V takomu vypadku znaçennq H b( )
r
0 dosqha[t\sq i na meΩax vidkryto]
mnoΩyny Ω1, tobto isnu[
r
b ∈∂Ω1 takyj, wo H b( )
r
= H b( )
r
0 ; pry c\omu
∃ ∈[ ]x – ,1 1 :
R x
b
r( ) = 0.
OtΩe, maksymum funkci] F dosqha[t\sq dlq mnohoçlena
Q R
b
0 r , qkyj ma[ na
– ,1 1[ ] bil\ße koreniv, niΩ
Pa
r
0
. Supereçnist\.
OtΩe, R0 � stala i
Pa
r
0
ma[ N koreniv na – ,1 1[ ].
2. Dovedennq povnistg povtorg[ dovedennq p. 1 z vidpovidnog zaminog
funkcij F, H.
3. Qk i pry dovedenni p. 1, pokazu[mo, wo cej drib dosqha[ maksymumu. Viz\-
memo mnohoçlen iz najbil\ßog kil\kistg koreniv, dlq qkoho maksymum dosqha-
[t\sq. Dlq n\oho vyberemo toçku x0 ∈ 0 1,
n
, v qkij dosqha[t\sq supremum u
çysel\nyku. Rozhlqdagçy funkcig
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
POSYLENNQ ODNI{} NERIVNOSTI DLQ ALHEBRA}ÇNYX MNOHOÇLENIV 237
H b( )
r
=
Q x R x Q x R x
Q x R x dx
b b
b
0
0 0
0
0 0
1
1 0
( ) ( ) (– ) (– )
( ) ( )
–
r r
r
+
∫
,
povtorg[mo mirkuvannq z dovedennq p. 1.
U vypadku, koly rozhlqdagt\sq lyße parni çy lyße neparni mnohoçleny,
mirkuvannq analohiçni, lyße mnohoçlen R0 obov�qzkovo [ parnym i ma[ vyhlqd
b0
0 + b x1
0 2 + … + b xs
s0 2 .
Teoremu 4 dovedeno.
Dovedennq teoremy 2 spyra[t\sq na rqd lem.
Lema 1. Nexaj n ∈N , n ≥ 2, εn : = arcsin 1
n
, ϕn : =
π ε– 2
4
n , Fn( )α = 1
sinα
+
+ 1
2sin( – )ϕ αn
, α ∈ ( , )0 2ϕ . Todi
∃ ∈( ]! ,α ϕn n0 : Fn n( )α = π
εn
.
Dovedennq. ZauvaΩymo, wo funkciq
Fn( )α = 1
sinα
+ 1
2sin( – )ϕ αn
=
2
2
sin
cos( – ) –
cos
cos( – )
ϕ
ϕ α ϕ
ϕ α
n
n
n
n
, α ϕ∈( ]0, n ,
spada[. Krim toho,
∀ ≥n 2: sinϕ ε
πn
n≥ 2
,
tobto Fn n( )ϕ ≤ π
εn
, otΩe,
∃ ∈( ]! ,α ϕn n0 : Fn n( )α = π
εn
.
Lema 2. Nexaj n ∈N , n ≥ 2, k ∈Z, k ≥ – 1 i v poznaçennqx poperedn\o]
lemy
ε
ε αn
n n
n k+ + +
+
3
2
1
2 cos( )
≤ π
2
. (9)
Todi dovil\nyj alhebra]çnyj mnohoçlen P = Pn k+ stepenq ne vywe n + k zado-
vol\nq[ nerivnist\ (5).
Dovedennq. Nexaj D um( ) = 1
2
+ cos u + cos 2u + … + cos m u =
sin /
sin( / )
m u
u
+( )1 2
2 2
,
u ∈R , m ∈N , � qdro Dirixle. Rozhlqnemo T tn k+ +1( ) : = sin t Pn k+ (cos t), t ∈R,
� neparnyj tryhonometryçnyj polinom porqdku ne vywe n + k + 1. Dlq n\oho
magt\ misce rivnosti
T xn k+ +1( ) = 1
1 1π
π
π
–
( – ) ( )∫ + + + +D x t T t dtn k n k =
= – ( ) ( )
–
1
1 1π
π
π
∫ + + + ++D x t T t dtn k n k , x ∈R ,
zvidky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
238 O. N. NESTERENKO, T. D. TYMOÍKEVYÇ, A. V. ÇAJKOVS|KYJ
T xn k+ +1( ) = 1
2
1 1
1π
π
π
–
( – ) – ( )
( )∫ + + + +
+ +
+D x t D x t
T t dtn k n k
n k , x ∈R .
ZauvaΩymo, wo z opuklosti donyzu funkci] arcsin na 0
2
, π
vyplyva[ ne-
rivnist\
arcsinu ≤ u
u
u
arcsin 0
0
, u u∈[ ]0 0, , 0 < u0 ≤ 1. (10)
Vykorystovugçy ]] ta poperedn[ zobraΩennq dlq Tn k+ +1, dlq u ∈ 0 1,
n
ma[mo
Tn k L u u+ + +[ ]1 2 21 π π/ – arcsin , / arcsin
=
=
π
π
π
π
π
/ – arcsin
/ arcsin
–
( – ) – ( )
( )
2
2
1 1
1
1
2
u
u
n k n k
n k
D x t D x t
T t dt dx
+
+ + + +
+ +∫ ∫
+
≤
≤ 1
21
0 2
2
1 1
1π π π π π
π
T
D x t D x t
dxn k L
t u
u
n k n k
+ + [ ] ∈[ ]
+
+ + + +∫
+
– ,
, / – arcsin
/ arcsin
sup
( – ) – ( )
≤
≤ 1
1
1π π π
T un k L+ + [ ]– ,
arcsin ×
× sup ( – ) – ( )
, , – / arcsint x u
n k n kD x t D x t
∈[ ] ≤
+ + + + +
0 2
1 1
π π
≤
≤ 1 1
1
1π π π
T nu
n
Kn k L n k+ + [ ] +– ,
arcsin = 1
1
1π
ε
π π
T nu Kn k L n n k+ + [ ] +– ,
,
de
Kn k+ : = sup ( – ) – ( )
, , – /t x
n k n k
n
D x t D x t
∈[ ] ≤
+ + + + +
0 2
1 1
π π ε
.
Vraxovugçy cg ocinku ta rivnosti
Tn k L+ + [ ]1
1 – ,π π
= 2
1 1 1
Pn k L+ [ ]– ,
,
Tn k L u u+ + +[ ]1 2 21 π π/ – arcsin , / arcsin
= Pn k L u u+ [ ]1 – ,
, u ∈ 0 1,
n
,
baçymo, wo dlq vstanovlennq nerivnosti (5) dosyt\ dovesty, wo
Kn k+ ≤ π
ε2 n
.
Rozhlqnemo mnoΩynu par
Ωn = ( , ) – – , –α β π α β ε β α π
2
0≤ ≤ ≤{ }n =
= ( , ) – , max( , – ), min( , – – )α β α π ϕ β α ϕ α α π π ϕ α≤ ∈ +[ ]{ }2
2 2n n n .
Poznaçymo α : =
x t–
2
, β : =
x t+
2
, de t ∈ 0, π[ ], x – π
2
≤ εn. Todi (α, β) ∈
∈ Ωn . Rozhlqnemo taki vypadky:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
POSYLENNQ ODNI{} NERIVNOSTI DLQ ALHEBRA}ÇNYX MNOHOÇLENIV 239
1) α < 0. Todi za vlastyvostqmy qdra Dirixle
D Dn k n k+ + + +1 12 2( ) – ( )α β = D Dn k n k+ + + +1 12 2 2(– ) – ( – )α π β ,
pryçomu (– α, π – β)∈ Ωn . Tomu cej vypadok zvodyt\sq do vypadku α ≥ 0.
2) α ∈ α ϕn n,[ ]. Todi β ∈ 2ϕn[ – α, π – 2ϕn – α] i
D Dn k n k+ + + +1 12 2( ) – ( )α β ≤ 1
2 sinα
+ 1
2 sinβ
≤ 1
2
Fn( )α ≤
≤ 1
2
Fn n( )α = π
ε2 n
.
3) α ∈ ϕn( , π
2
– ϕn]. Todi β ∈ α[ , π – 2ϕn – α] i
D Dn k n k+ + + +1 12 2( ) – ( )α β ≤ 1
2 sinα
+ 1
2 sinβ
≤ 1
sinα
≤ 1
sinϕn
≤ π
ε2 n
.
4) α ∈ 0, αn[ ) . Todi β ∈ 2ϕn[ – α, π – 2ϕn – α]. Poznaçymo δ : = β – π
2
. To-
di δ ∈ –εn[ – α, εn – α]. Zvidsy
D Dn k n k+ + + +1 12 2( ) – ( )α β ≤ Dn k+ +1 2( )α + Dn k+ +1 2( )β =
=
sin( )
sin
cos ( )
2 2 1
2
2 1
n k
n k
+ + + + +( )α
α
α +
cos ( )
cos
2 1
2
n k+ + +( )δ δ
δ
≤
≤
2 2 1
2
n k+ +
+ 1 + 1
2 cosδ
≤ n + k + 3
2
+ 1
2 cos( )ε αn n+
.
OtΩe, v usix vypadkax Kn k+ ≤ π
ε2 n
.
Lemu 2 dovedeno.
Dovedennq teoremy 2. P. 1 vyplyva[ z lemy 2, oskil\ky liva çastyna
nerivnosti (9) pry fiksovanomu k ≥ – 1 prqmu[ do 1 pry n → ∞.
Druhyj punkt ci[] teoremy vyplyva[ z toho, wo dlq funkcij
g x( ) =
0 0 1
2
1 1
2
1
, , ,
, , ,
x
n
x
n
∈
∈
P x( ) =
1 2 0 1
2
0 1
2
1
– , , ,
, , ,
nx x
n
x
n
∈
∈
nerivnist\ (3) [ xybnog, a funkcig P moΩna qk zavhodno dobre rivnomirno na-
blyzyty mnohoçlenamy.
Teoremu 2 dovedeno.
ZauvaΩennq. 5. Liva çastyna nerivnosti (9) [ zrostagçog funkci[g po k i
spadnog po n. Dijsno, n nε spada[ za nerivnistg (10), drib
ε
ε α
n
n ncos( )+
spa-
da[, tomu wo
∀ ≥n 2: ϕ ϕn n< +1, ∀α ∈ 0, ϕn( ]: Fn( )α > Fn +1( )α ,
otΩe,
∀ ≥n 2: Fn n( )α +1 > Fn n+ +1 1( )α = π
εn +1
> π
εn
= Fn n( )α .
Zvidsy z uraxuvannqm monotonnoho spadannq funkci] Fn ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
240 O. N. NESTERENKO, T. D. TYMOÍKEVYÇ, A. V. ÇAJKOVS|KYJ
∀ ≥n 2: αn +1 < αn.
Tomu qkwo nerivnist\ (9) spravdΩu[t\sq dlq deqko] pary (n0, k0), to vona
spravdΩu[t\sq dlq vsix par (n, k0), n ≥ n0, ta dlq vsix par (n0, k), – 1≤ k ≤ k0.
6. Bezposeredni pidraxunky livo] çastyny nerivnosti (9) pokazugt\, wo moΩ-
na poklasty N (– 1) = 3, N (0) = 4, N (1) = 6, N (2) = 8, N (3) = 9, N (4) = 11.
Lema 3. Nerivnist\ (3) spravdΩu[t\sq dlq dovil\no] dopustymo] zi stalog
1/n funkci] g i vsix mnohoçleniv stepenq ne vywe n + k, qkwo para ( n, k)
nabuva[ odnoho zi znaçen\ (1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 2). Ce tverdΩennq [
xybnym dlq par (1, 1), (2, 2), (3, 3).
Dovedennq. Nexaj P � mnohoçlen stepenq ne vywe n + k , a L x( ) =
= P x( ) + P x(– ) , x ∈ – ,1 1[ ].
1. U vypadku (n, k) = (1, 0) funkciq L [ monotonno nespadnog na 0 1,[ ], qk
i funkciq g . Tomu L zadovol\nq[ spivvidnoßennq (4), wo vyplyva[ z neriv-
nosti Çebyßova [3] (teorema 236), zvidky za teoremog 3 ma[mo nerivnist\ (3).
2. Z uraxuvannqm totoΩnostej a b+ + a b– = a + b + a b– ,
max ,a b{ } =
a b a b+ + –
2
, a, b ∈R , otryma[mo, wo koly P x( ) = P∗ + P∗∗, de
P∗ � neparnyj mnohoçlen, P∗∗ � parnyj mnohoçlen, to L x( ) = 2 max ( )P x∗{ ,
P x∗∗ }( ) , x ∈R .
Zvidsy vyplyva[, wo oskil\ky
max ( ) , ( )
0
1
0
1
∫ ∫
f x dx h x dx ≤
0
1
∫ { }max ( ), ( )f x h x dx , f, h ∈ C 0 1,[ ]( ),
to dlq dovedennq spivvidnoßennq (6) dosyt\ vstanovyty nerivnist\
P x( ) ≤ n P t dt
0
1
∫ ( ) , x
n
∈
0 1, , (11)
dlq vsix alhebra]çnyx mnohoçleniv P stepenq ne vywe n + k, qki [ abo parnymy,
abo neparnymy funkciqmy. Krim toho, perevirqty cg nerivnist\, z ohlqdu na za-
uvaΩennq 4, dostatn\o dlq mnohoçleniv, wo magt\ n + k riznyx koreniv na
– ,1 1[ ].
Oçevydno takoΩ, wo koly nerivnist\ (11) vykonu[t\sq dlq mnohoçlena P
pry deqkomu n = n0, to vona vykonu[t\sq dlq c\oho mnohoçlena i pry n ≥ n0.
3. Oçevydno, wo dlq P x( ) = x nerivnist\ (11) vykonu[t\sq pry n = 2. Dlq
P x( ) = x2 – b2 , b ∈ 0 1,( ], spivvidnoßennq (11) takoΩ spravdΩu[t\sq, oskil\ky
2
0
1 2∫ t – b dt2 = 8
3
3b + 2
3
– 2 2b ≥ max b2{ , 1
4
– b2} ≥ x b2 2– , x ∈ 0 1
2
,
(per-
ßa nerivnist\ dovodyt\sq metodamy dyferencial\noho çyslennq, a druha [ oçe-
vydnog). Takym çynom, vraxovugçy teoremu 3, oderΩu[mo nerivnist\ (3) u vy-
padku (n, k) = (2, 0).
4. Nexaj P x( ) = x3 – b x2 , b ∈ 0 1,( ]. Todi nerivnist\ (11) vykonu[t\sq, tomu
wo 2
0
1 3 2∫ t b t dt– = 2
0
2 3b
b t t dt∫ ( – ) + 2
1 3 2
b
t b t dt∫ ( – ) = 2
4
4b
– b4
4
+ b4
2
+ 1
4
–
– b2
2
= b4 + 1
2
– b2 ≥ x3 – b x2 , x ∈ 0 1
2
,
. Ostannq nerivnist\ [ pravyl\nog,
bo b4 + (x – 1)b2 + 1
2
– x3 ≥ 0 i b4 – (x + 1) b2 + 1
2
+ x3 ≥ 0, x ∈ 0 1
2
,
, wo
vstanovlg[t\sq metodamy analizu.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
POSYLENNQ ODNI{} NERIVNOSTI DLQ ALHEBRA}ÇNYX MNOHOÇLENIV 241
Takym çynom, vraxovugçy teoremu 3, otrymu[mo nerivnist\ (3) u vypadku (n,
k) = (2, 1) i u vypadku (n, k) = (3, 0).
5. Vstanovymo nerivnist\ (11) dlq neparnyx mnohoçleniv P t( ) = P tm2 1+ ( ) =
= t m2 1+ + am –1 t m2 1– + … + a t0 , t ∈R, m ∈N . Poznaçymo G s( ) : = sm +
+ am –1 sm –1 + … + a0, s ∈R . Dali vykonu[mo zaminu s = t2 i vykorystovu[mo
nerivnist\ Bernßtejna dlq poxidno] alhebra]çnoho mnohoçlena [4] (hl. V , § 2,
naslidok do teoremy 1):
n P t dt
0
1
∫ ( ) = n G s ds
2
0
1
∫ ( ) ≥ n G u du
s
s
2 1 1
0
max ( )
– ,∈[ ] ∫ ≥ n G u du
s
s
2 1 1
0
max ( )
– ,∈[ ] ∫ ≥
≥ n x
m
G u du x
s
2
1
1
2 2
0
2– ( )
( ) ( )
+
′
∫ = n x
m
G x
2
1
1
4
2–
( )
+
≥
≥ n
m n
x G x
2
4
2
2 1
1 1
( )
– ( )
+
=
n
m
P x
4 1
2 2
–
( )
+
, x
n
∈
0 1, .
Qkwo n = 4, k = 3, m ≤ 2, to
n
m
4 1
2 2
–
+
≥
80
2 3⋅
≥ 1. Qkwo n ≥ 3, k = 2, 2m + 1 ≤
≤ n + k, to
n
m
4 1
2 2
–
+
≥
n
n
4 1
3
–
+
≥ 1. Tomu nerivnist\ (11) vykonu[t\sq dlq vsix
neparnyx mnohoçleniv stepenq ne vywe n + k u vypadku (n, k) = (4, 3) ta pry
n ≥ 3 i k = 2.
6. Wob dovesty perßu çastynu lemy, zalyßylos\ pereviryty nerivnist\ (11)
dlq parnyx alhebra]çnyx mnohoçleniv stepenq 4 pry n = 3 i stepenq 6 pry n =
= 4.
Rozhlqnemo funkci]
R b c x1( , , ) = 3
0
1
2 2 2 2∫ ( – )( – )t b t c dt –
– ( – )( – )x b x c2 2 2 2 , b, c ∈[ ]0 1, , x ∈
0 1
3
, ,
R a b c x2( , , , ) = 4
0
1
2 2 2 2 2 2∫ ( – )( – )( – )t a t b t c dt –
� ( – )( – )( – )x a x b x c2 2 2 2 2 2 , a, b, c ∈[ ]0 1, , x ∈
0 1
4
, .
Dlq nyx z vykorystannqm komp�gtera dovedemo, wo vony nevid�[mni na svo]x
mnoΩynax vyznaçennq. Dlq c\oho pryrivng[mo do nulq poxidnu po x, z otryma-
noho rivnqnnq vyraΩa[mo x çerez inßi zminni, a zminni a, b, c perebyra[mo z
dostatn\o dribnym krokom. Zvidsy za teoremog 3 vyplyva[ perßa çastyna lemy.
7. Kontrpryklady dlq vidpovidnyx par: qkwo (n, k) = (1, 1), to g =
=
X – , – / / ,1 1 2 1 2 1[ ] [ ]U , P x( ) = 1 – x2; qkwo (n, k) = (2, 2), to g =
X – , – / / ,1 1 5 1 5 1[ ] [ ]U ,
P x( ) = (0,49 – x2) (0,81 – x2); qkwo (n, k) = (3, 3), to g =
X – , – / / ,1 1 30 1 30 1[ ] [ ]U ,
P x( ) = (0,25 – x2) (0,64 – x2) (0,81 – x2).
Lemu 3 dovedeno.
ZauvaΩennq 7. Na pidstavi zauvaΩennq 1 nerivnist\ (3) vykonu[t\sq takoΩ
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
242 O. N. NESTERENKO, T. D. TYMOÍKEVYÇ, A. V. ÇAJKOVS|KYJ
dlq par (1, – 1), (2, – 1), (2, 0), (3, 0), (3, 1), (4, 1), (4, 2), (5, 1) i [ xybnog dlq
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4). Ce razom iz zauvaΩennqm 6 svidçyt\ pro
pravyl\nist\ zapovnennq tablyci na poçatku statti.
Lema 4. Nexaj vykonu[t\sq umova teoremy 5. Nexaj takoΩ funkciq P ∈
∈ L m
1
11 1– , –[ ]( ) dlq koΩnoho j ∈ 1{ , 2, … , m} qk funkciq odni[] j-] zminno]
pry vsix fiksovanyx inßyx zminnyx zadovol\nq[ odnu z umov (4) � (6) z zaminog n
na nj , pryçomu ci umovy pry riznyx j moΩut\ buty riznymy, ale pry fiksova-
nomu j povynni zalyßatys\ tymy samymy pry riznomu fiksuvanni inßyx zmin-
nyx. Todi spravdΩu[t\sq nerivnist\ (7).
Dovedennq provodyt\sq indukci[g po m doslivnym povtorennqm mirkuvan\
z dovedennq lemy 5 z roboty [2], qkwo vraxuvaty, wo za umov dovodΩuvano] lemy
pry m ≥ 2 funkciq – ,1 1[ ] � y � g
n
⋅
1
,
⋅
n2
, … ,
⋅
nm –1
, y
L m
[ ]( )1 1 1– ,
[ dopusty-
mog zi stalog 1/nm, a funkciq – ,1 1[ ] � y � P ⋅( , … , ⋅ , y L m) [ ]( )1
11 1– , – zado-
vol\nq[ tu samu umovu z (4) � (6), wo j usi funkci] – ,1 1[ ] � y � P x( 1, … , xm –1,
y) pry riznyx (x1, … , xm – )1 ∈ – , –1 1 1[ ]m .
Dovedennq teoremy 5 vyplyva[ z lem 2 � 4.
1. Kopotun K. A., Levitan D., Shevchuk I. A. Coconvex approximation in the uniform norm: the final
frontier // Acta math. hung. – 2006. – 110, # 1 – 2. – P. 117 – 151.
2. Nesterenko O. N., Çajkovs\kyj A. V. Pro odnu nerivnist\ dlq alhebra]çnyx polinomiv ta
cilyx funkcij eksponencial\noho typu // Visn. Ky]v. un-tu. Matematyka. Mexanika. � 2004. �
Vyp. 11. � S. 13 � 19.
3. Xardy H. H., Lyttlvud D. E., Polya H. Neravenstva. � M.: KomKnyha, 2006. � 456 s.
4. Dzqd¥k V. K. Vvedenye v teoryg ravnomernoho pryblyΩenyq funkcyj polynomamy. � M.:
Nauka, 1977. � 512 s.
OderΩano 24.06.08,
pislq doopracgvannq � 30.10.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
|