Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром
Розглянуто задачу швидкодії для лінійних систем управління з нечіткою правою частиною. Для цієї задачі введено поняття оптимального розв'язку і встановлено необхідні та достатні умови оптимальності у формі принципу максимуму....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166223 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром / И.В. Молчанюк, А.В. Плотников // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 384-390. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166223 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662232020-02-19T01:25:42Z Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром Молчанюк, И.В. Плотников, А.В. Статті Розглянуто задачу швидкодії для лінійних систем управління з нечіткою правою частиною. Для цієї задачі введено поняття оптимального розв'язку і встановлено необхідні та достатні умови оптимальності у формі принципу максимуму. We study the problem of high-speed operation for linear control systems with fuzzy right-hand sides. For this problem, we introduce the notion of optimal solution and establish necessary and sufficient conditions of optimality in the form of the maximum principle. 2009 Article Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром / И.В. Молчанюк, А.В. Плотников // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 384-390. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166223 517.911.5 517.977.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Молчанюк, И.В. Плотников, А.В. Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром Український математичний журнал |
| description |
Розглянуто задачу швидкодії для лінійних систем управління з нечіткою правою частиною. Для цієї задачі введено поняття оптимального розв'язку і встановлено необхідні та достатні умови оптимальності у формі принципу максимуму. |
| format |
Article |
| author |
Молчанюк, И.В. Плотников, А.В. |
| author_facet |
Молчанюк, И.В. Плотников, А.В. |
| author_sort |
Молчанюк, И.В. |
| title |
Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром |
| title_short |
Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром |
| title_full |
Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром |
| title_fullStr |
Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром |
| title_full_unstemmed |
Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром |
| title_sort |
необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166223 |
| citation_txt |
Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления с нечетким параметром / И.В. Молчанюк, А.В. Плотников // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 384-390. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT molčanûkiv neobhodimyeidostatočnyeusloviâoptimalʹnostivzadačahupravleniâsnečetkimparametrom AT plotnikovav neobhodimyeidostatočnyeusloviâoptimalʹnostivzadačahupravleniâsnečetkimparametrom |
| first_indexed |
2025-07-14T21:01:21Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:01:21Z |
| _version_ |
1837657627567325184 |
| fulltext |
UDK 517.911.5 + 517.977.5
Y. V. Molçangk, A. V. Plotnykov (Odes. akad. str-va y arxytektur¥)
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ
OPTYMAL|NOSTY V ZADAÇAX UPRAVLENYQ
S NEÇETKYM PARAMETROM
A problem of the high-speed operation is considered for linear control systems with a fuzzy right-hand
side. For this problem, a notion of optimal solution is introduced and necessary and sufficient conditions
of the optimality are established in the form of the maximum principle.
Rozhlqnuto zadaçu ßvydkodi] dlq linijnyx system upravlinnq z neçitkog pravog çastynog.
Dlq ci[] zadaçi vvedeno ponqttq optymal\noho rozv�qzku i vstanovleno neobxidni ta dostatni
umovy optymal\nosti u formi pryncypu maksymumu.
1. Vvedenye. Ponqtye neçetkoho mnoΩestva b¥lo vvedeno v rabote [1]. V ra-
bote [2] vperv¥e rassmatryvalos\ neçetkoe dyfferencyal\noe uravnenye, koto-
roe v dal\nejßem yssledovalos\ v rabotax [3 – 11], a v rabotax [12 – 14] yzuça-
lys\ dyfferencyal\n¥e vklgçenyq s neçetkoj pravoj çast\g, kotor¥e zatem
rassmatryvalys\ v [15, 16].
V dannoj rabote prodolΩen¥ yssledovanyq, naçat¥e v [17]. V nej rassmat-
ryvaetsq odna yz zadaç teoryy optymal\noho upravlenyq � zadaça b¥strodej-
stvyq, kotoraq sformulyrovana dlq upravlqem¥x dyfferencyal\n¥x vklgçe-
nyj s neçetkoj pravoj çast\g. Poluçen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq
optymal\nosty v forme pryncypa maksymuma, kotor¥e obobwagt rezul\tat¥,
poluçenn¥e v [18] dlq ob¥çn¥x upravlqem¥x dyfferencyal\n¥x vklgçenyj.
2. Osnovn¥e opredelenyq y oboznaçenyq. Pust\ Comp( )Rn Conv( )( )Rn
� prostranstvo nepust¥x (v¥pukl¥x) kompaktn¥x podmnoΩestv evklydova
prostranstva Rn s metrykoj Xausdorfa
h A B( , ) = min ( ), ( )r A B S B A Sr r≥ ⊂ + ⊂ +{ }0 0 0 ,
hde A, B � Comp( )Rn (yly Conv( )Rn ), S ar( ) � ßar v Rn radyusa r s cent-
rom v toçke a Rn∈ .
Pust\ povedenye upravlqemoj system¥ opys¥vaetsq lynejn¥m dyfferen-
cyal\n¥m uravnenyem
ẋ = A t x( ) + B t u( ) + C t( )v, x(0) = x0, (1)
hde x Rn∈ � fazov¥j vektor; A t( ), B t( ), C t( ) � matryc¥ sootvetstvugwyx
razmernostej (n × n), (n × m), (n × k); u t( ) ∈ U t( ) � vektor upravlenyq; U( )⋅ :
R+
1 → Conv( )Rm � mnohoznaçnoe otobraΩenye; v( )t ∈ V � neçetkoe vneßnee
vozdejstvye (pomexa); V � neçetkoe mnoΩestvo s xarakterystyçeskoj funk-
cyej µ( )x , µ( )⋅ : Rk → 0 1,[ ], kotor¥e udovletvorqgt sledugwym uslovyqm.
PredpoloΩenye 1. 1. Matryc¥ A t( ), B t( ), C t( ) yzmerym¥ na R+
1 .
2. Suwestvugt summyruem¥e funkcyy a t( ) > 0, b t( ) > 0, c t( ) > 0 takye,
çto A t( ) ≤ a t( ), B t( ) ≤ b t( ), C t( ) ≤ c t( ) dlq poçty vsex t ∈ R+
1 .
3. Mnohoznaçnoe otobraΩenye U t( ) yzmerymo na R+
1 .
4. Suwestvuet summyruemaq funkcyq g t( ) > 0 takaq, çto h U t( )( , 0{ }) ≤
≤ g t( ) dlq poçty vsex t ∈ R+
1 .
5. Xarakterystyçeskaq funkcyq µ( )⋅ : Rk → 0 1,[ ] udovletvorqet uslo-
vyqm:
a) funkcyq µ( )⋅ modal\naq, t . e. suwestvuet xotq b¥ odno y Rk
0 ∈ t a -
koe, çto µ( )y0 = 1;
© Y. V. MOLÇANGK, A. V. PLOTNYKOV, 2009
384 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ OPTYMAL|NOSTY V ZADAÇAX … 385
b) funkcyq µ( )y neprer¥vna po y na Rk ;
v) dlq lgboho ε > 0 y y ∈ y Rk∈{ µ( )y ∈ ( , )0 1 } suwestvugt y1, y2 ∈
∈ Rk takye, çto y y– 1 < ε, y y– 2 < ε y µ( )y1 < µ( )y < µ( )y2 ;
h) mnoΩestvo V[ ]0 = cl y{ µ( )y > 0} kompaktno.
Opredelenye 1. MnoΩestvo vsex yzmerym¥x selektorov U( )⋅ n a 0, ∞[ ) bu-
dem naz¥vat\ mnoΩestvom dopustym¥x upravlenyj y oboznaçat\ U.
Vvedem neçetkoe upravlqemoe dyfferencyal\noe vklgçenye
˙ ( )x A t x∈ + B t u( ) + C t V( ) , x(0) = x0, (2)
kotoroe poluçaetsq yz system¥ (1) v rezul\tate zamen¥ parametra v( )t na ne-
çetkoe mnoΩestvo V.
Oboznaçym çerez X u( ) neçetkyj puçok traektoryj system¥ (2), sootvet-
stvugwyx dopustymomu upravlenyg u( )⋅ , a çerez X t u( , ) seçenye puçka X u( )
v moment vremeny t > 0, kotoroe qvlqetsq nekotor¥m neçetkym mnoΩestvom s
xarakterystyçeskoj funkcyej χ(x , t, u).
Zameçanye 1. Yz [17] yzvestno, çto pry v¥polnenyy uslovyj predpoloΩe-
nyq 1 neçetkoe mnohoznaçnoe otobraΩenye X u( , )⋅ ymeet vyd
X t u( , ) = Φ( )t x0 + Φ Φ( ) ( ) ( ) ( )–t s B s u s ds
t
0
1∫ + Φ Φ( ) ( ) ( )–t s C s V ds
t
0
1∫ (3)
y qvlqetsq neçetko v¥pukl¥m y neçetko kompaktn¥m v kaΩd¥j moment vreme-
ny t > 0 y absolgtno neprer¥vn¥m na R+
1 , xarakterystyçeskaq funkcyq χ(x ,
t, u) udovletvorqet uslovyg 5 predpoloΩenyq 1 po x dlq vsex t ≥ 0 y vsex do-
pustym¥x upravlenyj u( )⋅ , Φ( )t � matryca Koßy dyfferencyal\noho urav-
nenyq ẋ = A t x( ) , a yntehral v poslednem slahaemom ponymaetsq v sm¥sle [19].
Opredelenye 2. Neçetkym mnoΩestvom dostyΩymosty Y T( ) system¥ (2)
nazovem mnoΩestvo vsex neçetkyx mnoΩestv X(T, u), t. e.
Y T( ) = X T u u U( , ) ( )⋅ ∈{ }.
Zameçanye 2. Yz [17] yzvestno, çto pry v¥polnenyy uslovyj predpoloΩe-
nyq 1 neçetkoe mnoΩestvo dostyΩymosty Y T( ) qvlqetsq v¥pukl¥m y kom-
paktn¥m mnoΩestvom neçetkyx mnoΩestv.
3. Zadaçy b¥strodejstvyq neçetkymy puçkamy traektoryj. Rassmotrym
sledugwug zadaçu optymal\noho upravlenyq: opredelyt\ mynymal\nug vely-
çynu T > 0 y dopustymoe upravlenye u∗ ⋅( ) ∈ U takye, çto dlq sootvetstvug-
weho seçenyq puçka X T u( , )∗ system¥ (2) v¥polnqetsq odno yz uslovyj
X T u( , )∗ I Sk ≠ ∅, (4)
X T u( , )∗ � Sk , (5)
X T u( , )∗ � Sk , (6)
hde Sk � neçetkoe celevoe mnoΩestvo s xarakterystyçeskoj funkcyej ς( )x ,
udovletvorqgwej uslovyg 5 predpoloΩenyq 1.
Opredelenye 3. Budem hovoryt\, çto para u∗ ⋅( ( ) , X(T, u∗ )) udovletvorq-
et uslovyg maksymuma na otrezke 0, T[ ], esly suwestvuet dlq vsex t ∈ 0, T[ ]
vektornaq funkcyq ψ( )⋅ � reßenye soprqΩennoj system¥
ψ̇ = – ( ) ( )A t tT ψ , ψ( ) ( )0 01∈S , (7)
y v¥polnen¥ uslovyq:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
386 Y. V. MOLÇANGK, A. V. PLOTNYKOV
1) uslovye maksymuma: dlq poçty vsex t ∈ 0, T[ ]
u t t∗( )( ), ( )ψ = C B t U t t( ) ( ), ( )ψ( ); (8)
2) uslovye transversal\nosty na Sk :
a) dlq sluçaq (4)
C X T u t( , ) , ( )∗[ ]( )1
ψ = − [ ]( )C S Tk
1, – ( )ψ ; (9)
b) dlq sluçaq (5): dlq lgboho α ∈ 0 1,[ ]
C X T u t( , ) , ( )∗[ ]( )α
ψ ≤ C S Tk[ ]( )α ψ, ( )
y suwestvuet xotq b¥ odno ′α ∈ 0 1,[ ] takoe, çto
C X T u t( , ) , ( )∗[ ]( )α
ψ = C S Tk[ ]( )α ψ, ( ) ;
v) dlq sluçaq (6): dlq lgboho α ∈ 0 1,[ ]
C X T u t( , ) , – ( )∗[ ]( )α
ψ ≤ C S Tk[ ]( )α ψ, – ( )
y suwestvuet xotq b¥ odno ′α ∈ 0 1,[ ] takoe, çto
C X T u t( , ) , – ( )∗[ ]( )α
ψ = C S Tk[ ]( )α ψ, – ( ) ,
hde G[ ]α � α-srezka neçetkoho mnoΩestva [1], t. e.
G[ ]α =
y y
y y
β α α
β α
( ) , , ,
( ) , ,
≥{ } ∈( ]
>{ } =
0 1
0 0cl
β( )⋅ � xarakterystyçeskaq funkcyq neçetkoho mnoΩestva G, C X( , )ψ =
= max( , )
x X
x
∈
ψ � opornaq funkcyq mnoΩestva X ∈ Comp ( )Rn po vektoru ψ ∈
∈ Rn [20].
Oboznaçym
Z T( ) = Φ Φ( ) ( ) ( )–T s C s V ds
T
0
1∫ = Φ Φ( ) ( ) ( )–T s C s dsV
T
0
1∫ .
Teorema 1 (neobxodymoe uslovye optymal\nosty). Pust\ spravedlyv¥ uslo-
vyq predpoloΩenyq 1, u∗ ⋅( ) � optymal\noe upravlenye, a X u( , )⋅ ∗ � soot-
vetstvugwyj emu puçok system¥ (2).
Tohda para u∗ ⋅( ( ) , X( , )⋅ )∗u udovletvorqet sledugwym uslovyqm:
1) pryncypu maksymuma na 0, T[ ];
2) suwestvuet mnoΩestvo Κ ∈ Comp ( )Rn takoe, çto:
dlq sluçaq (5)
Κ = k R Z T k Sn
k∈ + ⊂{ }( ) , (10)
dlq sluçaq (6)
Κ = k R S Z T kn
k∈ ⊂ +{ }( ) (11)
y upravlenye u∗ ⋅( ) udovletvorqet uslovyg
Φ( )T x0 + Φ Φ Κ( ) ( ) ( ) ( )–T s B s u s ds
T
0
1∫ ∗ ∈ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ OPTYMAL|NOSTY V ZADAÇAX … 387
Dokazatel\stvo. Rassmotrym podrobno zadaçu (2), (4).
Dlq dokazatel\stva prymenym sxemu rassuΩdenyj, analohyçnug yspol\zue-
moj pry dokazatel\stve pryncypa maksymuma dlq lynejn¥x dyfferencyal\-
n¥x uravnenyj [20].
Pust\ u∗ ⋅( ) � optymal\noe upravlenye, X u( , )⋅ ∗ � sootvetstvugwyj emu
puçok system¥ (1), kotor¥j udovletvorqet hranyçn¥m uslovyqm:
1) X T u( , )∗ ∈ Y T( );
2) X T u( , )∗ I Sk ≠ ∅.
Oçevydno, çto yz predpoloΩenyq 1 uslovye X T u( , )∗[ ]1 I Sk[ ]1 ≠ ∅ haranty-
ruet v¥polnenye uslovyq 2. ∏to oznaçaet, çto dlq lgboho ψ ∈ S1 0( )
max ( , )
( )X Y T
C X
∈[ ]1
ψ ≥ – , –C Sk[ ]( )1 ψ . (12)
Sledovatel\no,
p ≡ max min ( , )
( ) ( )X Y T S
C X
∈[ ] ∈1
1 0ψ
ψ + C Sk[ ]( )1, –ψ ≥ 0. (13)
Dejstvytel\no, esly p < 0, to ne suwestvuet takoho mnoΩestva X ∈ Y T( )[ ]1,
çtob¥ dlq vsex ψ ∈ S1 0( ) v¥polnqlos\ neravenstvo
C X( , )ψ + C Sk[ ]( )1, –ψ ≥ 0,
çto protyvoreçyt neravenstvu (12).
PokaΩem, çto suwestvugt ψ = ψ ∈ S1 0( ) y X = X T u( , )∗[ ]1, pry kotor¥x
p < 0. Yz sootnoßenyq X T u( , )∗[ ]1 I Sk[ ]1 ≠ ∅ sleduet, çto dlq lgboho ψ ∈
∈ S1 0( )
q T( , )ψ = C X T u( , ) ,∗[ ]( )1 ψ + C Sk[ ]( )1, –ψ ≥ 0. (14)
Poskol\ku X T u( , )∗[ ]1 neprer¥vno zavysyt ot vremeny [17], funkcyq q T( , )ψ
neprer¥vna po ψ y T.
Esly predpoloΩyt\, çto q T( , )ψ > 0 dlq lgboho ψ ∈ S1 0( ), a sledovatel\-
no, y p > 0, to poluçym
q T0( ) = min ( , )
( )ψ
ψ
∈S
q T
1 0
≥ γ > 0,
hde funkcyq q T0( ) neprer¥vna. Sledovatel\no, najdetsq τ < T takoe, çto
q0( )τ ≥ 0. ∏to oznaçaet, çto dlq lgboho ψ ∈ S1 0( )
C X u( , ) ,τ ψ∗[ ]( )1 + C Sk[ ]( )1, –ψ ≥ 0,
t. e. X T u( , )∗[ ]1 I Sk[ ]1 ≠ ∅. ∏to protyvoreçyt optymal\nosty vremeny T.
Esly predpoloΩyt\, çto p > 0 y maksymum v (13) dostyhaetsq pry X ≠
≠ X T u( , )∗[ ]1, to analohyçno pred¥duwemu pryxodym k protyvoreçyg.
Takym obrazom, suwestvuet vektor ψ ∈ S1 0( ) takoj, çto
C X T u( , ) ,∗[ ]( )1 ψ = max ( , )
( )X Y T
C X
∈[ ]1
ψ , (15)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
388 Y. V. MOLÇANGK, A. V. PLOTNYKOV
C X T u( , ) ,∗[ ]( )1 ψ = – , –C Sk[ ]( )1 ψ . (16)
Yz sootnoßenyj (3) y (15) poluçaem
0
1
T
T s B s u s ds∫ ∗
Φ Φ( ) ( ) ( ) ( ) ,– ψ = max ( ) ( ) ( ) ( ) ,
( )
–
u U
T
T s B s u s ds
⋅ ∈ ∫
0
1Φ Φ ψ . (17)
Yz (17), yspol\zuq svojstva yntehrala y skalqrnoj funkcyy, poluçaem
Φ Φ( ) ( ) ( ) ( ),–T t B t u t1 ∗( )ψ = max ( ) ( ) ( ) ( ),
( )
–
u U
T t B t u t
⋅ ∈
( )Φ Φ 1 ψ (18)
dlq poçty vsex t ∈ 0, T[ ].
Uçyt¥vaq, çto ψ( )t = Φ Φ Φ Φ( ) ( ) ( ) ( )– –T t T t
T T1 1( ) ( )ψ ψ qvlqetsq reße-
nyem soprqΩennoj system¥ ψ̇ = – ( )A tT ψ( )t s naçal\n¥m uslovyem ψ (0) ∈
∈ S1 0( ) dlq poçty vsex t ∈ 0, T[ ], sootnoßenyq (16) y (18) moΩno zapysat\ v
forme sootvetstvugwyx sootnoßenyj pryncypa maksymuma.
Sluçay (5) y (6) dokaz¥vagtsq analohyçno s nebol\ßymy yzmenenyqmy uslo-
vyq (12):
dlq sluçaq (5): dlq lgboho α ∈ 0 1,[ ]
max – ( , – )
( )X Y T
C X
∈[ ]α
ψ + C Sk[ ]( )α ψ, – ≥ 0
y suwestvuet ′α ∈ 0 1,[ ] takoe, çto
max – ( , – )
( )X Y T
C X
∈[ ] ′α
ψ + C Sk[ ]( )′α ψ, – = 0;
dlq sluçaq (6): dlq lgboho α ∈ 0 1,[ ]
max ( , )
( )X Y T
C X
∈[ ]α
ψ + C Sk[ ]( )α ψ, ≥ 0
y suwestvuet ′α ∈ 0 1,[ ] takoe, çto
max ( , )
( )X Y T
C X
∈[ ] ′α
ψ + C Sk[ ]( )′α ψ, = 0.
Tem sam¥m uslovye 1 dokazano. Netrudno vydet\, çto uslovye 2 � harantyq to-
ho, çto X T u( , )∗ � Sk yly X T u( , )∗ � Sk .
Teorema dokazana.
Teorema 2 (dostatoçnoe uslovye optymal\nosty). Pust\ spravedlyv¥ uslo-
vyq predpoloΩenyq 1, u∗ ⋅( ) � dopustymoe upravlenye y para u∗ ⋅( ( ) , X T u( , )∗ )
udovletvorqet uslovyqm teorem¥ 1 na 0, T[ ]. Krome toho, pust\ X t u( , )∗
udovletvorqet usylennomu uslovyg transversal\nosty na mnoΩestve Sk s
funkcyej ψ( )⋅ , t. e. dlq vsex t ∈ 0, T[ ) v¥polnqgtsq neravenstva:
a) dlq sluçaq (4)
C X t u t( , ) , ( )∗[ ]( )1 ψ < – , – ( )C S tk[ ]( )1 ψ ; (19)
b) dlq sluçaq (5)
C X t u t( , ) , ( )∗[ ]( )α
ψ > C S tk[ ]( )α ψ, ( ) (20)
dlq lgboho α ∈ 0 1,[ ];
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
NEOBXODYMÁE Y DOSTATOÇNÁE USLOVYQ OPTYMAL|NOSTY V ZADAÇAX … 389
v) dlq sluçaq (6)
C X t u t( , ) , ( )∗[ ]( )α
ψ < C S tk[ ]( )α ψ, ( ) (21)
dlq lgboho α ∈ 0 1,[ ].
Tohda u∗ ⋅( ) � optymal\noe upravlenye.
Dokazatel\stvo provedem dlq sluçaev (2) y (4) (v sluçaqx (5) y (6) dokaza-
tel\stvo provodytsq analohyçno s nebol\ßymy yzmenenyqmy). V¥polnymost\
neobxodym¥x uslovyj optymal\nosty oçevydna. DokaΩem dopolnytel\noe us-
lovye optymal\nosty.
Zametym, çto esly uslovye (19) v¥polnqetsq dlq nekotoroho t ∈ 0, T[ ) , to
uslovye X t u( , )∗ I Sk ≠ ∅ ne ymeet mesta.
Voz\mem proyzvol\noe dopustymoe upravlenye u∗ ⋅( ) ∈ U na otrezke 0 1, t[ ],
t T1 < , y pust\ X u( , )⋅ � sootvetstvugwaq emu mnohoznaçnaq traektoryq.
Uçyt¥vaq v¥polnenye uslovyq maksymuma, poluçaem neravenstvo
C X t u t( , ) , ( )[ ]( )1 ψ ≤ C X t u t( , ) , ( )∗[ ]( )1 ψ , (22)
kotoroe spravedlyvo dlq vsex t ∈ 0 1, t[ ].
Pust\ teper\ zadan nekotor¥j moment vremeny τ ≤ t1 < T. Tohda yz (19) y
(22) sleduet, çto
C X u( , ) , ( )τ ψ τ[ ]( )1 < – , – ( )C Sk[ ]( )1 ψ τ ,
t. e. uslovye X u( , )τ I Sk ≠ ∅ ne v¥polnqetsq.
V sylu proyzvol\nosty v¥bora dopustymoho upravlenyq u( )⋅ ∈ U moΩno
utverΩdat\, çto ne suwestvuet ny odnoj mnohoznaçnosty traektoryy, udovlet-
vorqgwej pry τ < T uslovyg X u( , )τ I Sk ≠ ∅. Tem sam¥m upravlenye u∗ ⋅( )
optymal\no.
Teorema 2 dokazana.
Prymer. Pust\ povedenye obæekta opys¥vaetsq systemoj
ẋ1 = x2 + u1 + v1, x1(0) = 0,
ẋ2 = – x1 + u2 + v2 , x2(0) = 0,
hde (x1, x2) � fazovoe prostranstvo; u ∈ U = S1(0) � vektor upravlenyq;
v ∈R2 � vektor pomexy, kotor¥j prynadleΩyt neçetkomu mnoΩestvu V s xa-
rakterystyçeskoj funkcyej
ν( )v =
1 4 9 4 9 1
0 4 9 1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
– – , ,
, .
v v v v
v v
+ ≤
+ >
Rassmotrym zadaçu b¥strodejstvyq typa (4), t. e. neobxodymo najty takye
T∗ y u∗ ⋅( ) , çto T∗ = min T(u), X T u( , )∗ ∗ I Sk ≠ ∅, hde Sk � neçetkoe mno-
Ωestvo s xarakterystyçeskoj funkcyej
ς( )x =
1 2 1 1
1 2 1 1
1 2 1 1
0
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
– ( – ) – ( – ) , , ,
– ( – ) , , – ,
– ( – ) – ( ) , , – ,
, ,
x x x Q x
x x Q x
x x x Q x
x Q
π
π
π
∈ ≥
∈ < <
+ ∈ ≤
∉
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
390 Y. V. MOLÇANGK, A. V. PLOTNYKOV
Q = ( , )
– ,
– ( – ) – – ( – )
x x R
x
x x x
1 2
2
1
1
2
2 1
2
2 1 2 1
1 2 1 1 2 1
∈
≤ ≤ +
≤ ≤ +
π π
π π
.
Lehko proveryt\, çto optymal\naq para T∗ = 2π y u t∗( ) = (cos t, – sin t) udov-
letvorqet uslovyqm teorem¥ 1:
1) u t∗( ( ), ψ( )t ) = C U( , ψ( )t ) dlq poçty vsex t ∈ 0 2, π[ ];
2) C X T u( , )∗ ∗[ ]( 1
, ψ( )T∗ ) = –C Sk[ ]( 1
, – ( )ψ T∗ ),
hde ψ( )t = (cos t, – sin t) dlq poçty vsex t ∈ 0 2, π[ ], X T u( , )∗ ∗[ ]1 = T T∗ ∗( cos ,
– sinT T∗ ∗) = (2π, 0), Sk[ ]1 = ( , )x x1 2{ x1 = 2π, – 1 ≤ x2 ≤ 1} .
1. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Inf. Control. – 1965. – 8. – P. 338 – 353.
2. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 1987. – 24, # 3. – P. 301 –
317.
3. Komleva T. A., Plotnykov A. V., Plotnykova L. Y. Usrednenye neçetkyx dyfferencyal\-
n¥x uravnenyj // Tr. Odes. polytexn. un-ta. � 2007. � V¥p. 1 (27). � S. 185 � 190.
4. Komleva T. A., Plotnykov A. V., Skrypnyk N. V. Ω-prostranstvo y eho svqz\ s teoryej ne-
çetkyx mnoΩestv // Tam Ωe. � 2007. � V¥p. 2 (28). � S. 182 � 191.
5. Kaleva O. The Cauchy problem for fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 1990.
– 35. – P. 389 – 396.
6. Kaleva O. The Peano theorem for fuzzy differential equations revisited // Ibid. – 1998. – # 98. –
P. 147 – 148.
7. Kaleva O. O notes on fuzzy differential equations // Nonlinear Anal. – 2006. – # 64. – P. 895 –
900.
8. Lakshmikantham V., Granna Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of set differential equations
in metric spaces. – Cambridge Sci. Publ., 2006. – 204 p.
9. Park J. Y., Han H. K. Existence and uniqueness theorem for a solution of fuzzy differential equa-
tions // Int. J. Math. and Math. Sci. – 1999. – 22, # 2. – P. 271 – 279.
10. Park J. Y., Han H. K. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 2000. – # 110. –
P. 69 – 77.
11. Vorobiev D., Seikkala S. Towards the theory of fuzzy differential equations // Ibid. – 2002. –
# 125. – P. 231 – 237.
12. Aubin J. P. Fuzzy differential inclusions // Probl. Control and Inform. Theory. – 1990. – 19, # 1. –
P. 55 – 67.
13. Baidosov V. A. Differential inclusions with fuzzy right-hand side // Sov. Math. – 1990. – 40, # 3.
– P. 567 – 569.
14. Baidosov V. A. Fuzzy differential inclusions // J. Appl. Math. and Mech. – 1990. – 54, # 1. –
P. 8 – 13.
15. Hullermeier E. An approach to modeling and simulation of uncertain dynamical systems // Int. J.
Uncertainty Fuzziness Knowledge Based Systems. – 1997. – # 5. – P. 117 – 137.
16. Lakshmikantham V., Mohapatra R. Theory of fuzzy differential equations and inclusions // Ser.
Math. Anal. and Appl. – London: Taylor and Francis, Ltd., 2003. – 143 p.
17. Plotnykov A. V., Molçangk Y. V. Lynejn¥e system¥ upravlenyq s neçetkym parametrom //
Nelinijni kolyvannq. � 2006. � 9, # 1. � S. 63 � 73.
18. Plotnykov A. V. Lynejn¥e system¥ upravlenyq s mnohoznaçn¥my traektoryqmy // Kyber-
netyka. � 1987. � # 4. � S. 130 � 131.
19. Puri M. L., Ralescu D. A. Differential of fuzzy functions // J. Math. Anal. and Appl. – 1983. –
# 91. – P. 552 – 558.
20. Blahodatskyx V. Y. Lynejnaq teoryq optymal\noho upravlenyq. � M.: Yzd-vo Mosk. un-ta,
1978. � 95 s.
Poluçeno 17.09.07,
posle dorabotky � 28.05.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
|