Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении

Вивчається асимптотична поведінка розв'язків задачі що описує малi рухи в'язкої нестисливої рідини, яка заповнює об'єм Ω, з великою кількістю змулених у ній дрібних твердих взаємодіючих частинок, що концентруються у малому околі деякої гладкої поверхні Γ ⊂ Ω. Доведено, що при певних у...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Бережной, М.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2009
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166225
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении / М.А. Бережной // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 302-321. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166225
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1662252020-02-19T01:25:41Z Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении Бережной, М.А. Статті Вивчається асимптотична поведінка розв'язків задачі що описує малi рухи в'язкої нестисливої рідини, яка заповнює об'єм Ω, з великою кількістю змулених у ній дрібних твердих взаємодіючих частинок, що концентруються у малому околі деякої гладкої поверхні Γ ⊂ Ω. Доведено, що при певних умовах границя цих розв'язків задовольняє вихідні рівняння в області Ω\Γ та деякі усереднені крайові умови типу умов спряження на Γ. We study the asymptotic behavior of solutions of the problem that describes small motions of a viscous incompressible fluid filling a domain Ω with a large number of suspended small solid interacting particles concentrated in a small neighborhood of a certain smooth surface Γ ⊂ Ω. We prove that, under certain conditions, the limit of these solutions satisfies the original equations in the domain Ω\Γ and some averaged boundary conditions (conjugation conditions) on Γ. 2009 Article Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении / М.А. Бережной // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 302-321. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166225 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Бережной, М.А. Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении Український математичний журнал
description	Вивчається асимптотична поведінка розв'язків задачі що описує малi рухи в'язкої нестисливої рідини, яка заповнює об'єм Ω, з великою кількістю змулених у ній дрібних твердих взаємодіючих частинок, що концентруються у малому околі деякої гладкої поверхні Γ ⊂ Ω. Доведено, що при певних умовах границя цих розв'язків задовольняє вихідні рівняння в області Ω\Γ та деякі усереднені крайові умови типу умов спряження на Γ.
format	Article
author	Бережной, М.А.
author_facet	Бережной, М.А.
author_sort	Бережной, М.А.
title	Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении
title_short	Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении
title_full	Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении
title_fullStr	Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении
title_full_unstemmed	Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении
title_sort	малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166225
citation_txt	Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении / М.А. Бережной // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 302-321. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT berežnojma malyekolebaniâvâzkojnesžimaemojžidkostisbolʹšimčislommelkihvzaimodejstvuûŝihčasticpriihpoverhnostnomraspredelenii
first_indexed	2025-07-14T21:01:56Z
last_indexed	2025-07-14T21:01:56Z
_version_	1837657666787213312
fulltext	УДК 517.9 М. А. Бережной (Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков) МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ МЕЛКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ ПРИ ИХ ПОВЕРХНОСТНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ We study the asymptotic behavior of solutions of the problem describing small motions of viscous incompressi- ble fluid filling the domain Ω with a large number of suspended small solid interacting particles concentrated in a small neighborhood of some smooth surface Γ ⊂ Ω. We prove that, under certain conditions, the limit of these solutions satisfies the original equations in the domain Ω \Γ together with some homogenized boundary conditions (conjugation conditions) on Γ. Вивчається асимптотична поведiнка розв’язкiв задачi, що описує малi рухи в’язкої нестисливої рiдини, яка заповнює об’єм Ω, з великою кiлькiстю змулених у нiй дрiбних твердих взаємодiючих частинок, що концентруються у малому околi деякої гладкої поверхнi Γ ⊂ Ω. Доведено, що при певних умовах границя цих розв’язкiв задовольняє вихiднi рiвняння в областi Ω \Γ та деякi усередненi крайовi умови типу умов спряження на Γ. 1. Введение. В данной работе изучается асимптотическое поведение решений линеаризованной системы уравнений Навье – Стокса, описывающей нестационар- ные малые колебания вязкой несжимаемой жидкости в объеме с мелкими твер- дыми частицами, расположенными вблизи некоторой плоскости. Предполагается, что частицы взаимодействуют между собой посредством упругих сил. Подобные задачи возникают при изучении транспортировки жидкостей в раз- личных контейнерах. Для демпфирования колебаний жидкости используются раз- личные перегородки с дырками, сетки и т. д. (см. [1 – 4]). Так, в работе [4] показано, что перегородки с густо расположенными мелкими дырками вызывают уменьше- ние частот колебаний идеальной жидкости. Метод расчета колебаний жидкости в объемах с перегородками основывается на использовании эффективных граничных условий, эквивалентных действию перегородки. Задача, рассматриваемая в данной работе, описывает колебания вязкой жидкос- ти в области с упругой системой, действие которой подобно перегородкам. Предпо- лагается, что эта система образована маленькими твердыми шарообразными час- тицами, взаимодействующими между собой посредством упругих сил (например, пружин). Основной результат состоит в установлении эффективных граничных условий на поверхности, вблизи которой располагаются частицы. Используя такие условия, можно изучить возмущение частот колебаний жидкости, что предполага- ется сделать в следующей работе. Оказывается, что вид этих условий существенно зависит от соотношения меж- ду размерами частиц и средними расстояниями между ними (в случае критически малого размера частиц вид этих условий качественно меняется). Для вывода эф- фективных граничных условий изучается асимптотическое поведение малых ко- лебаний жидкости с частицами, когда средние расстояния между частицами и их размеры стремятся к нулю. Показывается, что главный член асимптотики опи- сывается исходными уравнениями Навье – Стокса с эффективными граничными условиями на плоскости, вблизи которой расположены частицы. c© М. А. БЕРЕЖНОЙ, 2009 302 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ... 303 В данной работе применяется вариационный метод, развитый в работах [5 – 7] при изучении задач о малых колебаниях ньютоновской жидкости с взаимодейству- ющими частицами, распределенными внутри всего объема, занятого жидкостью. Такие задачи, как правило, возникают при моделировании поведения неньютонов- ских жидкостей (см. также [8 – 11]). Опишем кратко содержание работы. В п. 2 дается постановка задачи и форму- лируется основной результат. В п. 3 вводится локальная энергетическая характе- ристика упругой системы, образованной взаимодействующими частицами. В пп. 4, 5 доказывается основная теорема, а в п. 6 коэффициенты в эффективном гранич- ном условии вычисляются в явном виде для случая периодического расположения частиц. 2. Постановка задачи и формулировка основного результата. Пусть Ω — ограниченная область в R3 с гладкой границей. Предположим, что эта область за- полнена вязкой несжимаемой жидкостью. Пусть, кроме того, в сколь угодно малой окрестности некоторой поверхности Γ внутри этой области содержится большое число Nε = ε−2 малых шарообразных твердых тел Qi ε, ограниченных сферами Si ε = ∂Qi ε, i = 1, 2, . . . , Nε. Параметр ε характеризует микроструктуру смеси та- ким образом, что расстояния между ближайшими частицами имеют порядок ε, а радиусы частиц — порядок εα, 1 ≤ α ≤ 2. Поскольку тела имеют малый размер, будем называть их частицами. Положения частиц Qi ε ∈ Ω определяются векто- рами xi их центров. Предположим, что частицы взаимодействуют между собой благодаря центральным силам и векторы xi ε соответствуют положению равно- весия, определяемому минимумом потенциальной энергии взаимодействия, т. е. H ε(xi ε) = minH ε(xi). Энергия взаимодействия состоит из сумм взаимодействий центров частиц xi ε ∈ ∈ Qi ε и xj ε ∈ Qj ε. Таким образом, энергия взаимодействия частиц в окрестности положения равновесия определяется равенством H ε(ui) = H ε(0) + 1 2 ∑ i,j j 6=i 〈 Cij ε [ui − uj ], [ui − uj ] 〉 , (2.1) где ui = xi−xi ε — смещения частиц, Cij ε — симметричная положительная матрица взаимодействия (см. далее), скобки 〈 , 〉 обозначают скалярное произведение в R3. Предположим также, что некоторые частицы Qj ε совпадают с частями ∂Ωj ε неподвижной границы ∂Ω, а соответствующие смещения uj ε равны нулю (в силу краевого условия на ∂Ω). Тогда система частиц имеет единственное положение равновесия {xi ε}Nε i=1. Введем такие обозначения: Ω ε = Ω \ ∪Nε i=1Q i ε — область, заполненная жидко- стью; ρ — удельная плотность жидкости; µ — динамическая вязкость жидкости; ρs — удельная плотность вещества частиц; mi ε = ρs\|Qi ε\| — масса частицы Qi ε; θ i ε — вектор угла поворота частицы Qi ε; r i ε — радиус частицы Qi ε; I i ε = 2 5 mi ε(r i ε) 2 — момент инерции частицы Qi ε. Тогда линеаризованная система уравнений, описывающих малые нестационар- ные движения жидкости с твердыми частицами, имеет вид ρ ∂v ε ∂t − µ∆v ε = ∇p ε, div v ε = 0 в Ω ε, (2.2) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 304 М. А. БЕРЕЖНОЙ v ε = u̇i ε + θ̇ i ε × (x− xi ε) на частицах, (2.3) mi εü i ε + ∫ Si ε σ[v ε]νds = −∇uiH ε, (2.4) Ii εθ̈ i ε + ∫ Si ε (x− xi ε)× σ[v ε]νds = −∇θiH ε(≡ 0), (2.5) где v ε = v ε(x, t) — скорость жидкости, p ε = p ε(x, t) — давление, ui ε — смещение центра i-й частицы, u̇i ε = dui ε dt — скорость центра i-й частицы, üi ε = d2ui ε dt2 — ускорение центра i-й частицы и θ̇ i ε — мгновенная угловая скорость i-й частицы. Через ν обозначен единичный вектор внутренней нормали к сфере Si ε, а через σ[ v ε] — тензор напряжений в жидкости. Компоненты этого тензора определяются как σ[ v ε]ij = µ [ ∂v εi ∂xj + ∂v εj ∂x i ] − p εδij , i, j = 1, 2, 3. Энергия взаимодействия H ε определяется в соответствии с формулой (2.1). Система (2.2) – (2.5) дополняется начальными условиями v ε(x, 0) = v ε0(x), x ∈ Ω ε, ui ε(0) = 0, u̇i ε(0) = ui ε1, θi ε(0) = 0, θ̇ i ε(0) = θi ε1 (2.6) и краевым условием на ∂Ω v ε(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω. (2.7) Существует единственное решение { v ε(x), u i ε, θ i ε, i = 1, 2, . . . , Nε } зада- чи (2.2) – (2.7). Основной целью настоящей работы является изучение асимптоти- ческого поведения этого решения при ε→ 0. Как уже отмечалось, предполагается, что радиусы частиц имеют порядок εα, 1 ≤ α ≤ 2. Оказывается, что в случае частиц некритического размера (1 ≤ α < 2) частицы движутся как бы „влипая” в несущую жидкость (средние скорости частиц и жидкости оказываются равными), а в случае частиц критического размера ε2 (час- тицы меньшего размера не оказывают влияния на жидкость) жидкость с частицами движется в режиме фильтрации (средние скорости частиц и жидкости оказываются различными). Приведем теперь качественную формулировку основного результата. В случае частиц некритического размера предельное поведение жидкости с частицами описывается системой ρ ∂v ∂t − µ∆v = ∇p, x ∈ Ω \ Γ, t > 0, (2.8) div v = 0, x ∈ Ω, t > 0, (2.9)[ µ ( ∂v1 ∂x3 + ∂v3 ∂x1 )]− + = = 2∑ p,q,r=1 ∂ ∂xp  t∫ 0 a1pqr(x, t− τ)eqr[v(x, τ)] dτ , x ∈ Γ, t > 0, (2.10) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ... 305 [ µ ( ∂v2 ∂x3 + ∂v3 ∂x2 )]− + = = 2∑ p,q,r=1 ∂ ∂xp  t∫ 0 a2pqr(x, t− τ)eqr [ v(x, τ) ] dτ , x ∈ Γ, t > 0, (2.11) 2µ [ ∂v3 ∂x3 ]− + = [p]−+, [v]−+ = 0, x ∈ Γ, t > 0, (2.12) v(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, (2.13) v(x, 0) = v0(x), x ∈ Ω. (2.14) В случае частиц критического размера предельное поведение жидкости с час- тицами описывается системой ρ ∂v ∂t − µ∆v = ∇p, x ∈ Ω \ Γ, t > 0, (2.15) div v = 0, x ∈ Ω, t > 0, (2.16)[ σn3[v] ]− + = C(x) ( wn − vn ) , n = 1, 2, 2µ [ ∂v3 ∂x3 ]− + = [p]−+, [v]−+ = 0, x ∈ Γ, t > 0, (2.17) 2∑ p,q,r=1 ∂ ∂xp bnpqr(x)eqr  t∫ 0 w(x, τ)  dτ  = = C(x) ( wn − vn ) , n = 1, 2, x ∈ Γ, t > 0, (2.18) v(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, (2.19) v(x, 0) = v0(x), x ∈ Ω, (2.20) где [•]−+ обозначает скачок функции на поверхности Γ при переходе из области Ω− в область Ω+, { anpqr(x, t) }2 n,p,q,r=1 — непрерывный по x ∈ Γ и локально интегри- руемый по t > 0 положительно определенный тензор в R2, { bnpqr(x) }2 n,p,q,r=1 — непрерывный по x ∈ Γ положительно определенный тензор в R2, а C(x) > 0 — не- прерывная функция. Заметим, что в случае периодического расположения частиц компоненты тензоров { anpqr(x, t) } и { bnpqr(x) } являются константами и выража- ются через коэффициенты жесткости связей между частицами. Ниже будет дано точное определение этих величин и приведена строгая формулировка основного результата. Доказательство приведем только для некритического случая. Но сначала введем некоторые обозначения и сделаем некоторые предположения. 3. Локальная энергетическая характеристика. Обозначим через di ε рас- стояние от частицы Qi ε до остальных частиц и границы ∂Ω, т. е. di ε = dist { Qi ε,⋃ j 6=i Qi ε ∪ ∂Ω } . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 306 М. А. БЕРЕЖНОЙ Предполагается, что выполняются следующие условия. I. Геометрические условия. 1. Существуют константы 0 < C1, C2, C3 <∞, не зависящие от ε и такие, что C1ε ≤ di ε ≤ C2ε, (3.1) ri ε ≤ C3ε α, 1 ≤ α < 2. (3.2) 2. Имеет место только близкое взаимодействие, так что центр каждой частицы xi ε (для простоты будем считать, что эти центры располагаются на поверхности Γ, а сама поверхность является плоскостью) связан ребрами некоторого плоско- го графа Γ̃ с центрами некоторых других частиц, находящихся на расстояниях, меньших Cε, где C > 0 — фиксированная постоянная, не зависящая от ε. Более того, рассматриваются графы, удовлетворяющие условию триангуляции. Именно, предполагается, что поверхность Γ может быть разбита на треугольники, верши- ны которых соответствуют частицам xi ε, а стороны — некоторым ребрам графа Γ̃, причем углы между сторонами этих треугольников раномерно по ε отделены от нуля. II. Условия на взаимодействия. 1. Частицы Qi ε i Qj ε взаимодействуют, если они находятся на расстоянии по- рядка O(ε) друг от друга. Таким образом, матрица взаимодействия Cij ε = 0, если dist(Qi ε, Q j ε) ≥ C1ε, C1 > 0. В частности, частицы, связанные общим ребром симплекса, обязательно взаимодействуют между собой. 2. Матрица взаимодействия Cij ε частиц Qi ε i Qj ε является матрицей оператора проектирования на вектор xi ε − xj ε с точностью до положительного скалярного множителя kij ε \|xi ε − xj ε\| , т. е. Cij ε u = kij ε 〈 u \|xi ε − xj ε\| , eij 〉 eij ∀u ∈ R3. (3.3) Здесь eij = xi ε − xj ε\| \|xi ε − xj ε\| , а коэффициенты kij ε определяются равенством kij ε = kijε, k1 ≤ kij ≤ k2, (3.4) где постоянные k2 ≥ k1 > 0 не зависят от ε. Введем теперь количественную характеристику упругой „сетки”, образован- ной взаимодействующими частицами. Как и ранее, полагаем для простоты, что поверхность Γ представляет собой кусок плоскости (например, x3 = 0) и разби- вает область Ω на подобласти Ω+ и Ω− (Ω = Ω+ ∪ Ω− ∪ Γ). Обозначим через K(y, h) = K y h квадрат в плоскости Γ со стороной длины h > 0, ε � h � 1, и центром в точке y ∈ Γ. Для определенности полагаем, что стороны квадрата параллельны координатным осям x1 и x2. Через все точки K(y, h) проведем пер- пендикуляры к Γ длиной δ > 0, ε � δ � h, в разные стороны от Γ (их концы образовывают квадраты K+ δ (y, h) и K− δ (y, h)). Слой в Ω, заполненный указанными отрезками перпендикуляров, обозначим T (K(y, h), δ). Введем теперь множество вектор-функций ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ... 307 J ϕ,T ε [ T (K(y, h), δ) ] = = { w ε ∈ H1 ( T (K(y, h), δ) ) : divw ε = 0, x ∈ T (K(y, h), δ); w ε(x) = wi ε + vi ε × (x− xi ε), x ∈ Qi ε; w ε(x) = 3∑ n,p=1 ϕnp(x− y)Tnp, x ∈ K± δ (y, h) } , где wi ε и vi ε — произвольные постоянные векторы, ϕnp(x) = 1 2 (xpe n + xne p)− δnp 3 3∑ k=1 xke k, (3.5) а T = {Tnp} — произвольный симметрический тензор второго ранга. Рассмотрим задачу минимизации в этом классе следующего функционала: Aτ εδh(w ε, y, λ, T ) = ET (K(y,h),δ)[w ε, w ε] + 1 λ Iε T (K(y,h),δ)[w ε, w ε] + + P ετT T (K(y,h),δ) [ w ε(x)− 3∑ n,p=1 Tnpϕ np(x− y), w ε(x)− 3∑ q,r=1 Tqrϕ qr(x− y) ] , (3.6) где EG[u ε, v ε] = 2µ ∫ G 3∑ k,l=1 ekl[u ε]ekl[v ε]dx, (3.7) Iε G[u ε, v ε] = 1 2 ∑ i,j G 〈 Cij ε [ u ε(x i ε)− u ε(x j ε) ] , v ε(x i ε)− v ε(x j ε) 〉 , (3.8) P ετT T (K(y,h),δ)[u ε, v ε] = = h−2−τε2 ∑ i T (K(y,h),δ) 〈 u ε(x i ε), v ε(x i ε) 〉 + h−2−τ ∫ T (K(y,h),δ) 〈 u ε(x), v ε(x) 〉 dx, (3.9) ekl[u] = 1 2 ( ∂uk ∂xl + ∂ul ∂xk ) , сумма ∑ i G соответствует суммированию по всем ча- стицам Qi ε ⊂ G, расположенным внутри области G, 0 < τ < 2, λ > 0. Можно показать, что существует единственная вектор-функция, минимизирующая функ- ционал (3.6); минимум этого функционала является квадратичной функцией ком- понент тензора T : min w ε∈J ϕ,T ε [T (K(y,h),δ)] Aτ εδh(w ε, y, λ, T ) = 3∑ n,p,q,r=1 aτ npqr(y, λ, ε, δ, h)TnpTqr, (3.10) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 308 М. А. БЕРЕЖНОЙ где aτ npqr(y, λ, ε, δ, h) — компоненты тензора четвертого ранга, определяемые ра- венством aτ npqr(y, λ, ε, δ, h) = ET (K(y,h),δ)[wnp, wqr] + 1 λ Iε T (K(y,h),δ)[w np, wqr]+ +P ετT T (K(y,h),δ) [ wnp(x)− ϕnp(x− y), wqr(x)− ϕqr(x− y) ] . (3.11) Здесь wnp(x) — вектор-функция из J ϕ,T ε [T (K(y, h), δ)], минимизирующая функ- ционал (3.6) при T = Tnp = 1 2 (en ⊗ ep + ep ⊗ en); en, n = 1, 2, 3, — ортонормиро- ванный базис в R3. Теперь по решению { v ε(x, t), u i ε, θ i ε, i = 1, N ε } задачи (2.2)−(2.7) построим вектор-функцию ṽ ε(x, t) = χ ε(x)v ε(x, t) + N ε∑ i=1 χi ε(x) [ u̇i ε + θ̇ i ε × (x− xi ε) ] , (3.12) где χ ε(x) — характеристическая функция области Ω ε, заполненной жидкостью, а χi ε(x) — характеристическая функция частицы Qi ε. Предположим, что выполнены следующие условия: 2.1) последовательность начальных вектор-функций ṽ ε0(x) = ṽ ε(x, 0) при ε → → 0 сходится в L2(Ω) к вектор-функции v0(x); 2.2) для каждого λ > 0 и некоторого вещественного τ > 0 равномерно по x ∈ Γ существуют пределы lim h→0 lim δ→0 lim ε→0 aτ npqr(x, λ, ε, δ, h) h2 = lim h→0 lim δ→0 lim ε→0 aτ npqr(x, λ, ε, δ, h) h2 = anpqr(x, λ), где { anpqr(x, λ) } — непрерывный по x ∈ Γ и λ > 0 положительно определенный тензор. Замечание. Учитывая (3.3) и (3.11), легко показать, что a3pqr = an3qr = = anp3r = anpq3 = 0, n, p, q, r = 1, 3. Основным результатом настоящей работы является следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполнены условия 2.1, 2.2. Тогда последовательность вектор-функций ṽ ε(x, t), определенная в (3.12), сходится слабо в L2(Ω × [0, T ]) (для любого T > 0) к вектор-функции v(x, t), являющейся решением задачи (2.8) – (2.14). Задача (2.8) – (2.14) имеет единственное решение. Эта теорема доказывается в пп. 3 – 5 с использованием преобразования Лапласа (п. 3), дающего стационарный аналог задачи (2.2) – (2.7) со спектральным парамет- ром λ. В п. 4 устанавливается сходимость решений этой стационарной задачи к решению предельной стационарной задачи. Затем изучаются аналитические свой- ства этих решений по параметру λ и их поведение при \|λ\| → ∞, после чего с использованием обратного преобразования Лапласа доказывается теорема 1 (п. 5). 4. Вариационная формулировка стационарной задачи. Используя преобра- зование Лапласа искомых вектор-функций (в дальнейшем будем сохранять за пре- образованиями те же обозначения: v ε(x, t) → v ε(x, λ), p ε(x, t) → p ε(x, λ), ui ε(t) → ui ε(λ), θi ε(t) → θi ε(λ)) и учитывая (2.1), записываем задачу (2.2) – (2.5) в ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ... 309 виде −µ∆v ε + λρv ε −∇p ε = ρv ε0(x), div v ε = 0, x ∈ Ω ε, (4.1) v ε = λ [ ui ε + θi ε × (x− xi ε) ] , x ∈ Si ε, (4.2) λ2mi εu i ε + ∫ Si ε σ[v ε]ν ds = − 1 λ ∑ j i Cij ε [ v ε(x i ε)− v ε(x j ε) ] +mi εv i ε, (4.3) λ2Ii εθ i ε + ∫ Si ε (x− xi ε)× σ[v ε]ν ds = Ii εθ i ε1, (4.4) v ε(x) = 0, x ∈ ∂Ω. (4.5) Здесь Reλ > 0, ∑ j i соответствует суммированию по всем частицам Qj ε, взаимо- действующим с частицейQi ε. Будем продолжать вектор-функцию скорости v ε(x, λ) на частицыQi ε в соответствии с (4.2), сохраняя то же обозначение за продолженной вектор-функцией. Обозначим через ρ ε(x) = ρχ ε(x) + ρs N ε∑ i=1 χi ε(x) удельную плотность суспензии „жидкость – частицы”. Зафиксируем λ > 0. Тогда задача (4.1) – (4.5) эквивалентна вариационной задаче Φ ε(v ε) = min v′ε∈ ◦ J ε(Ω) Φ ε(v′ε), (4.6) где ◦ J ε (Ω) обозначает класс соленоидальных вектор-функций из ◦ H 1(Ω), равных ai ε + biε × (x− xi ε) на частицах Qi ε (ai ε и biε — произвольные векторы), а Φ ε(v ε) = ∫ Ω 2µ 3∑ k,l=1 e2kl[v ε] + λ〈ρ εv ε, v ε〉 − 2〈ρ εv ε0, v ε〉  dx+ + 1 2λ N ε∑ i,j=1 〈 Cij ε [ v ε(x i ε)− v ε(x j ε) ] , v ε(x i ε)− v ε(x j ε) 〉 . (4.7) Рассмотрим задачу минимизации Φ0(v) = min v′∈ ◦ J(Ω) Φ0(v′), (4.8) где ◦ J (Ω) — класс соленоидальных вектор-функций из ◦ H 1(Ω), первые две компо- ненты которых также принадлежат классу ◦ H 1(Γ), а Φ0(v) = ∫ Ω 2µ 3∑ k,l=1 e2kl[v] + λ〈ρv, v〉 − 2〈ρv0, v〉  dx+ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 310 М. А. БЕРЕЖНОЙ + ∫ Γ 2∑ n,p,q,r=1 anpqr(x, λ)enp[v]eqr[v]. (4.9) Минимизант этой задачи является решением следующей краевой задачи: λρv − µ∆v = ρv0 +∇p, x ∈ Ω \ Γ, (4.10) div v = 0, x ∈ Ω, (4.11)[ µ ( ∂v1 ∂x3 + ∂v3 ∂x1 )]+ − = 2∑ p,q,r=1 ∂ ∂xp { a1pqr(x, λ)eqr [ v(x, λ) ] } , x ∈ Γ, (4.12) [ µ ( ∂v2 ∂x3 + ∂v3 ∂x2 )]+ − = 2∑ p,q,r=1 ∂ ∂xp { a2pqr(x, λ)eqr [ v(x, λ) ] } , x ∈ Γ, (4.13) 2µ [ ∂v3 ∂x3 ]− + = [ p ]− + , [ v ]− + = 0, x ∈ Γ, (4.14) v(x, λ) = 0, x ∈ ∂Ω. (4.15) Асимптотическое поведение при ε → 0 решений задачи (4.6) описывается следующей теоремой. Теорема 2. Пусть выполняются условия 2.1, 2.2. Тогда решение v ε(x, λ) задачи (4.6) для любого λ > 0 сходится при ε → 0 к решению v(x, λ) задачи (4.8) в следующем смысле: v ε(x, λ) −−−→ ε→0 v(x, λ) сильно в L2(Ω). Доказательство этой теоремы приведено в п. 5. 5. Теорема сходимости для вариационной задачи (4.6). Пусть v ε(x, λ) — решение задачи (4.6). Используя это решение, построим кусочно-линейный сплайн w ε(x, λ) = Nε∑ i=1 v ε(x i ε)L i ε(x) ≡ λ Nε∑ i=1 ui εL i ε, (5.1) где ui ε = ui ε(λ) определяется равенством λ−1v ε(x, λ) = ui ε(λ) + θi ε(λ) × (x− xi) для x ∈ Qi ε, а Li ε — конечный элемент треугольников, определенных в условии I.2 (п. 2). Функция Li ε непрерывна в R2, линейна в каждом треугольнике графа Γ̃ и Li ε(x j ε) = δij . Поскольку 0 ∈ ◦ J ε (Ω), то Φ ε(v ε) ≤ Φ ε(0) = 0. Отсюда ∫ Ω { 2µ 3∑ k.l=1 e2kl[v ε]dx+ λ〈ρ εv ε, v ε〉 } dx+ 1 λ I ε(v ε, v ε) ≤ ≤ 2‖ρ εV ε0‖L2(Ω)‖v ε‖L2(Ω), (5.2) где ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ... 311 I ε(v ε, w ε) = ∑ j 6=i 〈Cij ε [vi ε − vj ε], [w i ε − wj ε]〉, vi ε = vi ε(x i ε), wi ε = wi ε(x i ε). (5.3) Применим теперь второе неравенство Корна (см. [12]) ‖v ε‖2H1(Ω) ≤ C ∫ Ω 3∑ k,l=1 e2kl[v ε]dx+ ‖v ε‖2L2(Ω)  и дискретное неравенство Корна (см. [13]) ‖Pw ε‖2H1(Γ) ≤ C ∑ i,j ′ 〈 Cij ε [ui ε − uj ε], [u i ε − uj ε] 〉 , (5.4) где Pw ≡ P w1 w2 w3  = w1 w2 0 , константа C не зависит от ε, а сумма ∑ i,j ′ берется по всем парам (i, j), соответствующим сторонам (xi ε, x j ε) треугольников, триангу- лирующих область Ω. Учитывая, что µ > 0, λ > 0, ρ ε(x) ≥ min(ρ, ρs) > 0, из (5.2) – (5.4) получаем оценку ‖v ε‖2H1(Ω) + ‖Pw ε‖2H1(Γ) < C, где C не зависит от ε. Поэтому множества вектор-функций {v ε(x, λ), ε > 0} и {Pw ε(x, λ), ε > 0} (см. (5.1)) слабокомпактны в H1(Ω) и H1(Γ) соответственно. Выделим подпоследова- тельности v εk (x, λ) и Pw εk (x, λ), слабосходящиеся к некоторым вектор-функциям v ∈ H1 0 (Ω) и w0 = w1 w2 0 ∈ H1 0 (Γ) соответственно (при εk → 0). В силу теоремы вложения v εk (x, λ) сходится к v(x) сильно в L2(Ω). Как будет показано далее, след γΓPv вектор-функции Pv(x, λ) на поверхности Γ совпадает с w0(x, λ) (т. е. Pv ∈ H1 0 (Γ)), а сама предельная вектор-функция v(x, λ) является решением задачи (4.8). Но поскольку эта задача имеет единственное решение, то и вся последова- тельность {v ε(x, λ), ε > 0} также является сходящейся: v ε ⇀ v слабо в H1(Ω), v ε → v сильно в L2(Ω). (5.5) Ясно, что v(x) ∈ ◦ J (Ω). Докажем теперь, что∫ Γ ∣∣γΓPv(x, λ)− w0(x, λ) ∣∣2 dΓ = 0. (5.6) Имеем ∫ Γ ∣∣γΓPv(x, λ)− w0(x, λ) ∣∣2 dΓ ≤ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 312 М. А. БЕРЕЖНОЙ ≤ 1 2ε ∫ T (Γ,2ε) ∣∣Pv ε(x, λ)− Pw ε(x, λ) ∣∣2 dx + + 1 2ε ∫ T (Γ,2ε) ∣∣γΓPv ε(x, λ)− Pv ε(x, λ) ∣∣2 dx + + ∫ Γ ∣∣γΓPv(x, λ)− γΓPv ε(x, λ) ∣∣2 dΓ + + ∫ Γ ∣∣Pw ε(x, λ)− w0(x, λ) ∣∣2 dΓ. (5.7) Второе слагаемое в правой части последнего неравенства оценивается величиной ε‖v ε‖H1 ( T (Γ,2ε) ), которая стремится к нулю при ε → 0. Очевидно, что третье и четвертое слагаемые также стремятся к нулю. Оценим теперь первое слагаемое. Учитывая равномерную по ε ограниченность вектор-функций v ε и Pw ε в про- странствах H1 0 (Ω) и H1 0 (Γ) соответственно, легко показать, что 1 2ε ∫ T (Γ,2ε) ∣∣Pv ε(x, λ)− Pw ε(x, λ) ∣∣2 dx ≤ ≤ 1 2ε ∑ i ∫ Bi ε ∣∣〈v ε〉Bi ε − w ε(x i ε) ∣∣2 dx+ o(1), ε→ 0, где Bi ε = U i ε× [−ε, ε], U i ε = { x ∈ Γ: \|xi ε−x\| ≤ \|xj ε−x\| , j 6= i } — ячейка Вороного на поверхности Γ, а 〈•〉G — среднее значение вектор-функции на множестве G. Отсюда с учетом (4.2) и (5.1) находим lim ε→0 1 2ε ∫ T (Γ,2ε) ∣∣v ε(x, λ)− w ε(x, λ) ∣∣2 dx ≤ C lim ε→0 ε2 ∑ i ∣∣〈v ε〉Bi ε − 〈v ε〉Qi ε ∣∣2. Учитывая теперь, что Qi ε ⊂ Bi ε, и применяя неравенство (cм. [6]) ∣∣〈v ε〉Bi ε − 〈v ε〉Qi ε ∣∣ ≤ C ‖v ε‖H1(Bi ε)√ ri ε , получаем, что и первое слагаемое в правой части неравенства (5.7) стремится к нулю (ε → 0). Таким образом, соотношение (5.6) доказано, откуда следует, что Pv(x, λ) ∈ H1 0 (Γ). Покажем, что для любой вектор-функции w ∈ ◦ J (Ω) выполняется неравенство Φ0(v) ≤ Φ0(w). (5.8) Доказательство этого неравенства проведем в два этапа. 1. Для любой вектор-функции w ∈ ◦ J (Ω) ⋂ C2 0 (Ω) построим тестовую вектор- функцию w εδh ∈ ◦ J ε (Ω) такую, что ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ... 313 lim h→0 lim δ→0 lim ε→0 Φ ε(w εδh) ≤ Φ0(w). (5.9) Опишем эту конструкцию. Покроем плоскость Γ квадратами Kxα h с центрами в точках xα ∈ Γ и сторонами длины h, параллельными координатным осям: Γ ⊂ ⊂ ⋃ α∈ΛK xα h . Пусть центры xα ∈ Γ этих квадратов образовывают квадратную решетку периода h − h1+τ/2, 0 < τ < 2. Обозначим через Kxα h′ квадраты со сторонами длины h ′ = h−2h1+τ/2, концентрические кKxα h . Известно (см. [5]), что существует множество функций { φα(x) ∈ C∞0 (Γ) } α∈Λ (называемое специальным разбиением единицы) такое, что φα(x) = 1, x ∈ Kxα h′ , 0, x 6∈ Kxα h , 0 ≤ φα(x) ≤ 1, ∣∣∇φα(x) ∣∣ ≤ c h1+ τ 2 , ∑ α∈Λ φα(x) ≡ 1, x ∈ Γ, φα(x) = Ci ε, x ∈ BΓ(Qi ε), (5.10) где Ci ε, 0 ≤ Ci ε ≤ 1, — некоторые константы, а BΓ(Qi ε) — шары на плоскости Γ с центрами в точках xi ε, содержащие проекции частиц Qi ε на эту плоскость и имеющие радиусы di ε 3 (см. (3.1)). Для любой соленоидальной вектор-функции w(x) ∈ C2 0 (Ω) построим вектор- функцию w εδh(x) ∈ ◦ J ε (Ω), обладающую следующими свойствами. Во-первых, она аппроксимирует (в L2(Ω)) заданную вектор-функцию w(x) ∈ ◦ J (Ω) при малых ε, δ и h, а во-вторых, „почти” минимизирует функционал (3.6). Заметим, что любую вектор-функцию w(x) ∈ C2 ( T (K(xα, h), δ) ) можно пред- ставить в виде w(x) = w(xα) + 3∑ n,p=1 ( enp[w(xα)]ϕnp(x− xα) + + wnp[w(xα)]ψnp(x− xα) ) + g α (x), x ∈ T (K(xα, h), δ), (5.11) где εnp [ w(xα) ] = 1 2 ( ∂wn ∂xp (xα) + ∂wp ∂xn (xα) ) , wnp [ w(xα) ] = 1 2 ( ∂wn ∂xp (xα)− ∂wp ∂xn (xα) ) , вектор-функция ϕnp(x) определяется равенством (3.5), ψnp(x) = 1 2 (xne p − xpe n), (5.12) а Dkg α (x) = O(h2−k), k = 0, 2. Определим квазиминимизант w εδh(x) следующим образом: ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 314 М. А. БЕРЕЖНОЙ w εδh(x) = =  ∑ α∈Λ { w(xα) + 3∑ n,p=1 εnp[w(xα)]vnp α,εδh(x) + + 3∑ n,p=1 wnp[w(xα)]ψnp(x− xα) + g̃ α (x) } φα(xΓ), x ∈ T (Γ, δ), w(x), x ∈ Ω \ T (Γ, δ), + + ζ εδh (x) = z εδh(x) + ζ εδh (x). (5.13) Здесь xΓ — проекция точки x на плоскость Γ, а вектор-функция vnp α,εδh(x) — мини- мизант функционала (3.6) при T = Tnp = 1 2 (en ⊗ ep + ep ⊗ en). Вектор-функция g̃ α (x) соленоидальна и равна постоянным векторам gi αε на шарах Gi ε, содержащих частицы и имеющих радиусы (1 + β)ri ε = O(ε1+α), β > 0. Более того, векторы gi αε являются средними значениями вектор-функции g α (x) на шарах Gi ε, вектор- функции g̃ α (x) и g α (x) совпадают вне шаров радиуса (1+2β)ri ε, концентрических к Gi ε, и имеют место следующие оценки: ‖g̃ α − g α ‖L2(Ω) ≤ c max i {ri ε}, ∣∣g̃ α (xi ε)− g α (xi ε) ∣∣ ≤ c ri ε, ‖g̃ α ‖H1(G) ≤ c ‖g α ‖H1(G), ∣∣gi αε − gj αε ∣∣ ≤ c dist(Qi ε, Q j ε), (5.14) где константы c не зависят от ε, аG — любая подобласть области Ω. Существование такой вектор-функции g̃ α установлено в [5]. Вектор-функция ζ εδh (x) строится в соответствии со следующей леммой (см. [5]). Лемма 1. Для любой функции F ε(x) ∈ L2(Ω), удовлетворяющей условиям F ε(x) = 0, x ∈ ⋃ i B(Qi ε), ∫ Ω F ε(x) dx = 0, существует вектор-функция ζ ε (x) ∈ H1 0 (Ω) такая, что div ζ ε (x) = F ε(x), x ∈ Ω, ζ ε (x) = ζi ε , x ∈ B(Qi ε), ‖ζ ε ‖H1(Ω) ≤ C‖F ε(x)‖L2(Ω), где B(Qi ε) — шары с центрами в точках xi ε, содержащие частицы Qi ε и имеющие радиусы di ε 3 , ζi ε — постоянные векторы, а C не зависит от ε. В силу (5.13) вектор-функция z εδh(x) ∈ H1(Ω) равна нулю на границе ∂Ω, следовательно, ∫ Ω div z εδh(x) dx = 0. Более того, можно показать, что ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ... 315 div z εδh(x) = 0, x ∈ B(Qi ε). Применяя теперь лемму 1 к функции F ε(x) = −div z εδh(x), можно построить соленоидальную вектор-функцию ζ εδh (x), равную постоянным векторам ζi εδh на шарах B(Qi ε) и нулю на ∂Ω. Теперь очевидно, что w εδh(x) ∈ ◦ J ε (Ω). Вычислим значение функционала (4.7) на вектор-функции w εδh(x). Аналогич- но [6] можно показать, что lim h→0 lim δ→0 lim ε→0 ∥∥ζ εδh ∥∥ H1(Ω) = 0. Поскольку выражение I ε[ζ εδh , ζ εδh ] задает эквивалентную норму в H1 0 (Γ) для сплайна, построенного по векторам ζi εδh , из (5.6) следует, что lim h→0 lim δ→0 lim ε→0 I ε [ ζ εδh , ζ εδh ] = 0. Далее, аналогично [6] можно показать, что ET (Γ,δ)[w εδh, w εδh] = = ∑ α∈Λ 3∑ n,p,q,r=1 enp [ w(xα) ] eqr [ w(xα) ] ET (K(xα,h′ ), δ) [ vnp α,εδh, v qr α,εδh ] + L1(ε, δ, h), (5.15) I ε[w εδh, w εδh] ≤ ≤ ∑ α∈Λ 3∑ n,p,q,r=1 enp [ w(xα) ] eqr [ w(xα) ] Iε T (K(xα,h′ ), δ) [ vnp α,εh, v qr α,εh ] + L2(ε, δ, h), (5.16) где lim h→0 lim δ→0 lim ε→0 Li(ε, δ, h) = 0, i = 1, 2. Из (5.15) и (5.16) с учетом (3.11) получаем EΩ[w εδh, w εδh] + 1 λ Iε Ω[w εδh, w εδh] ≤ EΩ[w,w]+ + ∑ α∈Λ 3∑ n,p,q,r=1 aτ npqr(xα, λ, ε, δ, h)εnp[w(xα)]εqr[w(xα)] + o(1), ε� δ � h� 1. (5.17) Используем теперь неравенство (5.17) для оценки функционала (4.7): Φ ε(w εδh) ≤ ∫ Ω 2µ 3∑ k,l=1 e2kl[w] dx+ ∑ α∈Λ h2 3∑ n,p,q,r=1 aτ npqr(xα, λ, ε, δ, h) h2 εnp[w(xα)]× ×εqr[w(xα)] + λ ∫ Ω 〈ρ εw εδh, w εδh〉 − 2 ∫ Ω 〈ρ εv ε0, w εδh〉 dx+ ∆(ε, δ, h), (5.18) где ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 316 М. А. БЕРЕЖНОЙ lim h→0 lim δ→0 lim ε→0 ∆(ε, δ, h) = 0. Учитывая (5.13), можно показать, что lim h→0 lim δ→0 lim ε→0 ‖w εδh − w‖L2(Ω) = 0. Переходя в неравенстве (5.18) к пределу при ε → 0, δ → 0 и h → 0, с учетом условий 2.1, 2.2 и гладкости вектор-функции w ∈ ◦ J (Ω) ⋂ C2 0 (Ω) имеем lim h→0 lim δ→0 lim ε→0 Φ ε(w εδh) ≤ Φ0(w). Таким образом, неравенство (5.9) доказано. Далее, из (5.9) и очевидного нера- венства Φ ε(v ε) ≤ Φ ε(w εδh) следует оценка сверху lim ε→0 Φ ε(v ε) ≤ Φ0(w) ∀w ∈ ◦ J (Ω). (5.19) 2. Докажем теперь оценку снизу Φ0(v) ≤ lim ε→0 Φ ε(v ε), (5.20) где вектор-функция v(x) определена в (5.5). Доказательство неравенства (5.20) проведем в предположении достаточной гладкости предельной вектор-функции: v(x) ∈ ◦ J (Ω) ⋂ C2 0 (Ω). Рассмотрим разбиение плоскости Γ непересекающимися квадратами Kxα h , ори- ентированными вдоль координатных осей. В каждом слое T (K(xα, h), δ) вектор- функцию v(x) можно представить в виде v(x) = v(xα) + 3∑ n,p=1 ( enp[v(xα)]ϕnp(x− xα) + + wnp[v(xα)]ψnp(x− xα) ) + g α (x), x ∈ T (K(xα, h), δ), (5.21) где Dkg α (x) = O(h2−k), k = 0, 2. Рассмотрим теперь в этом слое вектор-функцию vα ε(x) = v ε(x)− rot { ũ ε(x)χδ(x3) } − v(xα)− 3∑ n,p=1 wnp[v(xα)]ψnp(x−xα)− g̃ α (x), (5.22) где вектор-функция g̃ α (x) определена в (5.14), χδ(x3) — гладкая функция, равная нулю при \|x3\| < δ 2 и единице при \|x3\| ≥ δ, а вектор-функция ũ ε(x) строится по вектор-функции u ε(x) = v ε(x) − v(x) в соответствии со следующей теоремой (см. [14]). Теорема 3. Пусть G — область в R3, являющаяся гомеоморфным образом шара, а J(G) — подпространство в L2(G), являющееся замыканием множества гладких соленоидальных вектор-функций. Тогда для любой вектор-функции u(x) ∈ ∈ J(G) имеет место представление u(x) = rot ũ(x), ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ... 317 где ũ(x) ∈ H1(G), div ũ = 0 в G, 〈ũ, n〉 = 0 на ∂G. Этими тремя условиями вектор-функция ũ(x) определяется однозначно. Если u(x) ∈ J(G) ⋂ Hm(G), то ũ(x) ∈ Hm+1(G), причем имеет место оценка ‖ũ‖Hm+1(G) ≤ C‖u‖Hm(G), где константа C зависит только от области G. Очевидно, что uα ε(x) ∈ J ϕ, e[v(xα)] ε [T (K(xα, h), δ)]. Тогда из (3.6) и (3.10) с учетом (5.22) при Tnp = enp[v(xα)] получаем ET (K(xα,h), δ)[v ε, v ε] + ET (K(xα,h), δ)[rot{ũ εχδ}, rot{ũ εχδ}]+ +Iε T (K(xα,h), δ)[v ε, v ε] + P εhγT T (K(xα,h), δ) [ uα ε(x)− − 3∑ n,p=1 enp[v(xα)]ϕnp(x− xα), uα ε(x)− − 3∑ n,p=1 enp[v(xα)]ϕnp(x− xα) ] +O(h4) ≥ ≥ 3∑ n,p,q,r=1 aτ npqr(xα, λ, ε, δ, h)εnp[v(xα)]εqr[v(xα)]. (5.23) Аналогично [6] можно показать, что четвертое слагаемое в левой части неравенства (5.23) имеет порядок O(h4−τ ). Очевидно, что первое слагаемое в левой части этого неравенства стремится к нулю при δ → 0. Для оценки второго слагаемого воспользуемся равенством rot{ũ εχδ} = (v ε−v)χδ+ũ ε×∇χδ, из которого находим ET (K(xα,h), δ)[rot{ũ εχδ}, rot{ũ εχδ}] ≤ ≤ C ( ‖v ε − v‖2H1(T (K(xα,h), δ)) + 1 δ2 ‖v ε − v‖2L2(T (K(xα,h), δ)) ) , что стремится к нулю при ε→ 0 и δ → 0. Просуммировав теперь неравенство (5.23) по всем квадратам разбиения, легко видеть, что Φ ε(v ε) ≥ ∫ Ω 2µ 3∑ k,l=1 e2kl[v ε] dx+ + ∑ α∈Λ h2 3∑ n,p,q,r=1 aτ npqr(xα, λ, ε, δ, h) h2 εnp[v(xα)]εqr[v(xα)] + + λ ∫ Ω 〈ρ εv ε, v ε〉 − 2 ∫ Ω 〈ρ εv ε0, v ε〉 dx+ o(1), ε� δ � h� 1. (5.24) Теперь, переходя к пределу в (5.24) при ε→ 0, δ → 0 и h→ 0, с учетом условий 2.1, 2.2 и гладкости вектор-функции v(x) ∈ C2(Ω) получаем ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 318 М. А. БЕРЕЖНОЙ lim ε→0 Φ ε(v ε) ≥ ∫ Ω { 2∑ n,p,q,r=1 anpqr(x)εnp[v(x)] · εqr[v(x)] dx + + λ〈ρv, v〉 − 2〈ρv0, v〉 } dx = Φ0(v). Таким образом, требуемое неравенство (5.20) получено в предположении гладкости предельной вектор-функции v(x). Доказательство этого неравенства без предположения гладкости для (v (x) ∈ ◦ J (Ω)) немного сложнее, хотя его схема остается той же: необходимо ввести гладкие аппроксимации vσ(x) предельной вектор-функции, затем получить неравенство для этих аппроксимаций, аналогич- ное неравенству (5.20), и перейти к пределу при σ → 0 (см. [5]). Неравенство (5.8) следует из (5.19) и (5.20). Теорема 2 доказана. Заметим, что сходимость в теореме 2 доказана только для λ > 0. Кроме то- го, коэффициенты anpqr(x, λ) были определены только для λ > 0. Следующая лемма (см. [6]) позволяет аналитически продолжить эти функции в комплексную плоскость и установить поведение продолженных функций при λ→∞. Лемма 2. Функции anpqr(x, λ), определенные при λ > 0, могут быть ана- литически продолжены в комплексную плоскость с разрезом вдоль полуоси λ ≤ 0. Более того, для любого δ > 0 в области Φδ = {λ ∈ C : \|arg λ− π\| ≥ δ > 0} имеет место следующая оценка: ∣∣anpqr(x, λ) ∣∣ < C \|λ\| , λ→∞, (5.25) где константа C > 0 не зависит от λ. Аналогично [7] можно доказать, что семейство решений v ε(x, λ) задачи (4.1) – (4.5) является аналитическим в области G ε = {Reλ > 0} ⋃{ Φδ ⋂ {\|λ\| > λ1(ε)} } , и в этой области имеют место следующие оценки:∥∥v ε(x, λ) ∥∥ L2(Ω) ≤ C Reλ , Reλ > 0, (5.26) ∥∥v ε(x, λ) ∥∥ L2(Ω) ≤ C1ε \|λ\| , (5.27) где константа C не зависит от ε. Подобное утверждение справедливо и для решения задачи (4.10) – (4.15). А именно, это решение является аналитическим в областиG = {Reλ > 0} ⋃{ Φπ/3 ⋂⋂ {\|λ\| > λ2} } , и в этой области ∥∥v(x, λ) ∥∥ L2(Ω) ≤ C \|λ\| . (5.28) Теперь, учитывая раномерную по ε оценку (5.26), можно применить теорему Витали (см. [15]) и доказать, что последовательность вектор-функций v ε(x, λ) схо- дится в L2(Ω) к вектор-функции v(x, λ) равномерно внутри области Reλ > 0. Используя этот факт и оценки (5.25), (5.27) и (5.28), можно применить обратное преобразование Лапласа и доказать теорему 1 (подробнее см. [5, 7]). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ... 319 6. Периодическое расположение частиц. Покажем существование пределов в условии 2.2 для частного примера плоской квадратной решетки. А именно, рас- смотрим периодическое расположение частиц Qi ε одинакового радиуса ri ε = rεα, r < 1/4, при котором центры частиц xi ε образовывают квадратную решетку пери- ода ε, где каждая вершина ячейки периодичности соединена пружиной со всеми остальными вершинами этой ячейки. Таким образом, каждая вершина соедине- на с 32 − 1 = 8 вершинами в решетке. Упругие константы kij (см. (3.4)) этих пружин в направлениях ребер и диагоналей ячейки периодичности равны k1 и k2 соответственно (см. рисунок). Периодическая ячейка На рисунке фиксированной частице Qi ε с центром в точке xi ε соответствует темный шар, а всем ее соседям — светлый. Имеет место следующая теорема. Теорема 4. Для квадратной решетки, описанной выше (см. также рисунок), коэффициенты anpqr(x, λ) в условии 2.2 являются константами относительно x : annnn(λ) = 1 λ ( 5 9 k1 + √ 2 18 k2 ) , annpp(λ) = 1 λ ( −4 9 k1 + √ 2 18 k2 ) , anpnp(λ) = √ 2 2λ k2, n, p = 1, 2, anpqr(λ) = 0 во всех остальных случаях. Доказательство. Рассмотрим частицу Qi ε, проекция которой на плоскость Γ расположена внутри квадрата Ki ε со стороной длины ε, а центром как частицы, так и квадрата, является точка xi ε ∈ Γ. Тогда Di ε = T ( Ki ε, ε 2 ) \ Qi ε — ячейка периодичности в слое T ( Γ, ε 2 ) , заполненная жидкостью. Для получения стандарт- ной единичной ячейки необходимо растянуть Di ε в ε−1 раз и перенести ее центр в начало координат. Тогда область D ε = T ( K, 1 2 ) \Q ε является единичной ячейкой ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 320 М. А. БЕРЕЖНОЙ периодичности в слое T ( Γ, 1 2 ) , где T ( K, 1 2 ) — куб со стороной длины 1 и центром в начале координат, а Q ε — шар в T ( K, 1 2 ) радиуса rεα, r < 1 4 . Рассмотрим в T ( K, 1 2 ) вектор-функцию unp ε (x) = rot ( φ ε(x)unp(x) ) , (6.1) где φ ε(x) = φ ( x rεα ) , φ(x) = 1, \|x\| ≤ 1, 0, \|x\| > 2, а unp(x) — гладкая вектор-функция такая, что rotunp(x) = −ψnp(x), \|unp(x)\| ≤ C\|x\|2. Поскольку вектор-функция unp ε (x) равна нулю на границе ∂K, ее можно про- должить периодическим образом в слое T ( Γ, 1 2 ) и нулем вне этого слоя. Пусть K y h — квадрат со стороной длины h, h� δ � ε, и центром в точке y ∈ Γ (для простоты полагаем, что точка y совпадает с центром одной из частиц xi ε). Будем искать вектор-функцию wnp(x, λ), минимизирующую функционал (3.6) при T = Tnp = 1 2 (en ⊗ ep + ep ⊗ en), в виде wnp(x, λ) = Unp ε (x) + vnp ε (x, λ), (6.2) где Unp ε (x) = ψnp(x− y) + εũnp ε ( x− y ε ) . (6.3) Здесь ũnp ε (x) — периодическое в слое T ( Γ, 1 2 ) и нулевое вне этого слоя продолже- ние вектор-функции unp ε (x). Используя свойства функций ψnp(x) и unp ε (x), имеем Unp ε (x) = ψnp(xj ε − y), x ∈ Qj ε, Unp ε (x) = ψnp(x− y), x ∈ ∂T (K y h , δ), (6.4) divUnp ε (x) = 0, x ∈ T (K y h , δ). (6.5) Для корректора vnp ε (x, λ) легко получить соответствующую вариационную за- дачу. Анализируя эту задачу, а затем подставляя (6.2) – (6.4) в (3.11) и учитывая периодичность структуры, получаем 1 h2 aτ npqr(y, λ, ε, δ, h) = 1 h2λ Iε T (K(y,h),δ)[ψ np ε , ψqr ε ] + o(1), ε� δ � h� 1, откуда следует утверждение теоремы 4. Как уже отмечалось, в случае частиц критического размера (с радиусом порядка ε2) усредненная модель становится качественно иной. А именно, аналогично [7] можно доказать такую теорему. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ... 321 Теорема 5. При описанном выше (см. рисунок) периодическом расположении частиц радиуса rε2 последовательность вектор-функций ṽ ε(x, t), определенная в (3.12), сходится слабо в L2(Ω × [0, T ]) (для любого T > 0) к вектор-функции v(x, t) такой, что пара { v(x, t), x ∈ Ω; w(x, t), x ∈ Γ } является решением задачи (2.15) – (2.20), где bnnnn = k1 + √ 2 2 k2, bnnpp = bnpnp = √ 2 2 k2, bnpqr = 0 во всех остальных случаях, а C(x) = 6πµr. Автор благодарит Е. Я. Хруслова за постановку задачи и плодотворные обсуж- дения результатов статьи. 1. Галицин Д. А., Троценко В. А. К расчету частот и присоединенных масс жидкости в прямоугольном контейнере с перегородками в поперечной плоскости его симметрии // Прикл. гiдромеханiка. – 2000. – № 1. – С. 20 – 27. 2. Троценко В. А. О влиянии кольцевых перегородок на эффективность гашения волновых движений жидкости в сосуде // Доп. НАН України. – 2005. – № 6. – С. 50 – 56. 3. Микишев Г. Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. – М.: Машино- строение, 1978. – 247 с. 4. Борисов Д. И. Малые движения идеальной жидкости в сосуде с перфорированными перегородками // Вiсн. Харкiв. нац. ун-ту. Сер. Математика, прикл. математика i механiка. – 2006. – № 749. – С. 86 – 95. 5. Berlyand L. V., Khruslov E. Ya. Homogenized non-Newtonian viscoelastic rheology of a suspension of interacting particles in a viscous Newtonian fluid // SIAM J. Appl. Math. – 2004. – 64, № 3. – P. 1002 – 1034. 6. Berezhnyi M. A. The asymptotic behaviour of viscous incompressible fluid small oscillations with solid interacting particles // J. Math. Phys., Anal., Geometry. – 2007. – 3, № 2. – P. 135 – 156. 7. Berezhnyi M., Berlyand L., Khruslov E. The homogenized model of complex fluids // NHM, Networks and Heterogeneous Media. – 2008. – 3, № 4. 8. Larson R. G. The structure and the rheology of complex fluids. – New York; Oxford: Oxford Univ. Press, 1999. – 688 p. 9. Pernin J. N., Jacquet E. Elasticity and viscoelasticity in highly heterogeneous composite medium: threshold phenomenon and homogenization // Int. J. Eng. Sci. – 2001. – 39. – P. 1655 – 1689. 10. Russel W. B., Saville D. A., Schowalter W. R. Colloidal dispersions. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 525 p. 11. Sanchez-Hubert J. Asymptotic study of the macroscopic behaviour of solid-liquid mixture // Math. Methods Appl. Sci. – 1980. – 2. – P. 1 – 11. 12. Oleinic O. A., Shamaev A. S., Iosif’yan G. A. Mathematical problems in elasticity and homogenization // Stud. Math. and Appl. – Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1982. – 26. – 398 p. 13. Berezhnyy M., Berlyand L. Continuum limit for three-dimensional mass-spring networks and discrete Korn’s inequality // J. Mech. and Phys. Solids. – 2006. – 54, № 3. – P. 635 – 669. 14. Bendali A., Dominguez J. M., Gallic S. A variational approach for the vector potential formulation of the Stokes and Navier – Stokes problems in three dimensional domains // J. Math. Anal. and Appl. – 1985. – 107. – P. 537 – 560. 15. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций: В 2 т. – М.: Наука, 1968. – Т. 2. – 624 с. Получено 17.04.08, после доработки — 23.12.08 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3

Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с большим числом мелких взаимодействующих частиц при их поверхностном распределении

Institution

Ähnliche Einträge