Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием
Збережено в:
Дата: | 2009 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2009
|
Назва видання: | Український математичний журнал |
Теми: | |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166227 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием / Т.В. Маловичко // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 384-390. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-166227 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1662272020-02-19T01:25:29Z Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием Маловичко, Т.В. Статті 2009 Article Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием / Т.В. Маловичко // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 384-390. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166227 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Статті Статті |
spellingShingle |
Статті Статті Маловичко, Т.В. Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием Український математичний журнал |
format |
Article |
author |
Маловичко, Т.В. |
author_facet |
Маловичко, Т.В. |
author_sort |
Маловичко, Т.В. |
title |
Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием |
title_short |
Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием |
title_full |
Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием |
title_fullStr |
Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием |
title_full_unstemmed |
Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием |
title_sort |
теорема гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2009 |
topic_facet |
Статті |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166227 |
citation_txt |
Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием / Т.В. Маловичко // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 384-390. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT malovičkotv teoremagirsanovadlâstohastičeskihpotokovsovzaimodejstviem |
first_indexed |
2025-07-14T21:02:22Z |
last_indexed |
2025-07-14T21:02:22Z |
_version_ |
1837657697299726336 |
fulltext |
УДК 519.21
Т. В. Маловичко (Нац. техн. ун-т Украины „КПИ”, Киев)
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ
ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
An analogue of the Girsanov theorem is proved for stochastic differential equations with interaction given by
dz(u, t) = a(z(u, t), µt) dt +
∫
R
f(z(u, t)− p)W (dp, dt),
where W is a Wiener sheet on R× [0; +∞) and a function a(·) is of a special type.
Доведено аналог теореми Гiрсанова для стохастичних диференцiальних рiвнянь iз взаємодiєю
dz(u, t) = a(z(u, t), µt) dt +
∫
R
f(z(u, t)− p)W (dp, dt),
де W — вiнерiв листок на R× [0; +∞), а функцiя a(·) має спецiальний вигляд.
Стохастические потоки в настоящее время интенсивно исследуются (см., например,
[1]). Мерозначные процессы, соответствующие стохастическим потокам со взаимо-
действием, были получены с помощью предельного перехода от конечных систем
взаимодействующих частиц в работе [2], в которой рассматривались уравнения
dxi(t) =
N∑
j=1
ajf(xi(t), xj(t)) dt+
∫
Rd
g(xi(t)− p)W (dp, dt), i = 1, . . . , N, (1)
гдеW — винеровский лист. Это уравнение можно представить следующим образом:
dxi(t) =
∫
Rd
f(xi(t), v)µt
N (dv)dt+
∫
Rd
g(xi(t)− p)W (dp, dt), i = 1, . . . , N,
где
µt
N =
N∑
j=1
ajδxj(t).
В работе [2] доказаны существование и единственность решения (1). Затем рас-
сматривался слабый предел процессов {µt
N , t > 0} при приближении дискретными
мерами µN произвольной вероятностной меры µ. Было показано, что соответству-
ющий предел является марковским мерозначным процессом. В работе [3] этому
процессу поставлен в соответствие стохастический поток и введены уравнения со
взаимодействием. Эти уравнения имеют вид
dx(u, t) = a(x(u, t), µt, t) dt+
∫
Rd
b(x(u, t), µt, t, p)W (dp, dt),
x(u, 0) = u, u ∈ Rd,
µt = µ ◦ x(·, t)−1, t > 0,
где W — винеровский лист на R × [0;+∞). В возникающем потоке движение
отдельной частицы зависит от распределения всей массы по пространству.
c© Т. В. МАЛОВИЧКО, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 365
366 Т. В. МАЛОВИЧКО
Уравнениям со взаимодействием в настоящее время уделяется пристальное вни-
мание. В частности, вопрос существования решения уравнения со взаимодействием
исследовался в работах [3 – 5]. Более того, в [6] рассматривался и вопрос перено-
са стохастическим потоком со взаимодействием обобщенных функций. Для дока-
зательства существования сильного решения уравнения с обобщенной функцией
были показаны сначала существование слабого решения, а затем потраекторная
единственность. Для уравнений со взаимодействием такой подход можно найти
в [7]. В бесконечномерном случае результаты о существовании решения уравне-
ния, управляемого обобщенными функциями, получены в работе [8].
Данная статья посвящена доказательству аналога теоремы Гирсанова для сто-
хастических дифференциальных уравнений со взаимодействием вида
dz(u, t) = a(z(u, t), µt) dt+
∫
R
f(z(u, t)− p)W (dp, dt),
где функция a(·) имеет специальный вид, а именно
a(z(u, t), µt) =
∫
R
∫
R
b(v, p)µt(dv) f(z(u, t)− p)dp,
т. е. для решений x и y уравнений
dx(u, t) =
∫
R
f(x(u, t)− p)W (dp, dt),
x(u, 0) = u, u ∈ R,
(2)
и
dy(u, t) =
∫
R
∫
R
b(y(v, t), p)µ(dv) f(y(u, t)− p)dp dt+
∫
R
f(y(u, t)− p)W (dp, dt),
(3)
y(u, 0) = u, u ∈ R,
где µ — произвольная вероятностная мера, доказана абсолютная непрерывность
распределения потока y относительно распределения x и выведен вид соответству-
ющей плотности.
Будем предполагать, что функции f : R → R и b : R× R → R удовлетворяют
следующим условиям:
1) ∃B > 0 ∀ v ∈ R :
∫
R
b2(v, p) dp 6 B;
2) ∃C > 0 ∀ v, p ∈ R : |b(v, p)| 6 C;
3) ∃K > 0 ∀ p, v1, v2 ∈ R : |b(v1, p)− b(v2, p)| 6 K |v1 − v2|;
4) функция f трижды дифференцируема, причем f ′ и f ′′′ ограничены;
5) f, f ′ ∈ L1(R) ∩ L2(R);
6) функция f и ее преобразование Фурье отличны от нуля λ-почти наверное
(λ-п.н.), где λ — мера Лебега на прямой.
Прежде чем формулировать основной результат, необходимо проверить, что при
указанных технических условиях уравнения (2) и (3) действительно имеют реше-
ния. Воспользуемся теоремой о существовании решений стохастических диффе-
ренциальных уравнений со взаимодействием.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 367
Определение 1 [4]. Решением уравнения со взаимодействием
dx(u, t) = α(x(u, t), µt, t)dt+
∫
Rd
β(x(u, t), µt, t, p)W (dp, dt),
x(u, 0) = u, u ∈ Rd,
µt = µ0 ◦ x(·, t)−1, t ≥ 0,
где W — Rd-значный винеровский лист, соответствующим коэффициентам α,
β и начальной мере µ0, называется случайное Rd-значное поле x(u, t), u ∈ Rd,
t ∈ [0;+∞), такое, что:
1) для каждого t ≥ 0 ограничение x на отрезок [0; t] является B(Rd)×B([0; t])×
×Ft-измеримым;
2) для каждого u ∈ Rd и каждого t ≥ 0 с вероятностью 1
x(u, t) = u+
t∫
0
α(x(u, s), µs, s)ds+
t∫
0
∫
Rd
β(x(u, s), µs, s, p)W (dp, ds);
3) µt(A) = µ0
({
u : x(u, t) ∈ A
})
, A ∈ B(Rd).
Пусть M — множество всех вероятностных мер на B(Rd). Для произвольных
двух мер µ, ν ∈ M обозначим через C(µ, ν) множество всех вероятностных мер
на B(R2d), для которых меры µ и ν являются маргинальными распределениями.
Определение 2 [4]. Расстоянием (метрикой) Вассерштейна нулевого порядка
между µ и ν называется значение
γ(µ, ν) = inf
κ∈C(µ,ν)
∫
Rd
∫
Rd
‖u− v‖
1 + ‖u− v‖
κ(du, dv).
Следующий результат является частным случаем теоремы 2.1.1 [4].
Теорема 1. Пусть коэффициенты α и β удовлетворяют условию
∃C > 0 ∀u1, u2 ∈ Rd, ν1, ν2 ∈ M :
∥∥α(u1, ν1)− α(u2, ν2)
∥∥+
∫
Rd
∥∥β(u1, ν1, p)− β(u2, ν2, p)
∥∥2
dp
1/2
≤
≤ C
(
‖u1 − u2‖+ γ(ν1, ν2)
)
.
Тогда уравнение
dx(u, t) = α(x(u, t), µt)dt+
∫
Rd
β(x(u, t), µt, p)W (dp, dt),
x(u, 0) = u, u ∈ Rd,
µt = µ0 ◦ x(·, t)−1, t ≥ 0,
имеет решение, причем это решение единственно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
368 Т. В. МАЛОВИЧКО
Лемма 1. Решения уравнений (2) и (3) существуют и единственны.
Доказательство. Сначала докажем, что
∃L, L̃ > 0 ∀u1, u2 ∈ R :∫
R
|f(u1 − p)− f(u2 − p)|2dp
1/2
6 L |u1 − u2|,
∫
R
∣∣f(u1 − p)− f(u2 − p)
∣∣ dp 6 L̃|u1 − u2|.
(4)
Действительно, для u1 ≤ u2∫
R
∣∣f(u1 − p)− f(u2 − p)
∣∣2 dp =
=
∫
R
∣∣f(q)− f(q + u2 − u1)
∣∣2 dq =
∫
R
q+u2−u1∫
q
1 · f ′(v) dv
2
dq ≤
≤
∫
R
(u2 − u1)
q+u2−u1∫
q
(f ′(v))2dv dq =
= (u2 − u1)
∫
R
v∫
v−(u2−u1)
(f ′(v))2dq dv =
= (u2 − u1)2
∫
R
(f ′(v))2dv = ‖f ′‖2
2 (u2 − u1)2
и ∫
R
∣∣f(u1 − p)− f(u2 − p)
∣∣ dp =
∫
R
∣∣f(q)− f(q + u2 − u1)
∣∣ dq ≤
≤
∫
R
q+u2−u1∫
q
|f ′(v)| dv dq =
∫
R
v∫
v−(u2−u1)
|f ′(v)| dq dv =
= (u2 − u1)
∫
R
|f ′(v)| dv = ‖f ′‖1 (u2 − u1).
Поскольку уравнение (3) можно представить в виде
dy(u, t) =
∫
R
∫
R
b(v, p)µt(dv) f(y(u, t)− p)dp dt+
∫
R
f(y(u, t)− p)W (dp, dt),
y(u, 0) = u, u ∈ R,
µt = µ ◦ x(·, t)−1, t ≥ 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 369
для доказательства леммы достаточно показать, что найдется такая константа Ĉ >
> 0, что для любых u1, u2 ∈ R, для произвольных вероятностных мер ν1 и ν2 на
B(R) и для любого t ≥ 0∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v1, p) ν1(dv1) f(u1 − p) dp−
∫
R
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2) f(u2 − p) dp
∣∣∣∣∣∣+
+
∫
Rd
(f(u1 − p)− f(u2 − p))2 dq
1/2
≤
≤ Ĉ
(
|u1 − u2|+ γ(ν1, ν2)
)
,
после чего воспользоваться теоремой 1.
В силу условий 2 и 3
∀ v1, v2, p ∈ R :
∣∣b(v1, p)− b(v2, p)
∣∣ ≤ min
{
2C; K |v1 − v2|
}
≤ C̃
|v1 − v2|
1 + |v1 − v2|
,
где C̃ = 2C +K. Таким образом, для произвольной меры κ ∈ C(ν1, ν2)∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v1, p) ν1(dv1) f(u1 − p) dp−
∫
R
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2) f(u2 − p) dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v1, p) ν1(dv1) −
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2)
f(u1 − p) dp
∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2)
(f(u1 − p)− f(u2 − p)) dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∫
R
∫
R
∫
R
| b(v1, p)− b(v2, p)|κ(dv1, dv2)
|f(u1 − p)| dp +
+ C
∫
R
∣∣f(u1 − p)− f(u2 − p))
∣∣ dp ≤
≤ C̃
∫
R
∫
R
∫
R
|v1 − v2|
1 + |v1 − v2|
κ(dv1, dv2)
∣∣f(u1 − p)
∣∣ dp +
+ C
∫
R
|f(u1 − p)− f(u2 − p)| dp.
Следовательно, в силу условия 5 и неравенств (4)∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v1, p) ν1(dv1) f(u1 − p) dp−
∫
R
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2) f(u2 − p) dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
370 Т. В. МАЛОВИЧКО
≤ C̃ γ(ν1, ν2)
∫
R
|f(u1 − p)| dp+ C L̃ |u1 − u2|.
Отсюда видно, что∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v1, p) ν1(dv1) f(u1 − p) dp−
∫
R
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2) f(u2 − p) dp
∣∣∣∣∣∣+
+
∫
Rd
(f(u1 − p)− f(u2 − p))2 dq
1/2
≤
≤ Ĉ(|u1 − u2|+ γ(ν1, ν2)),
где
Ĉ = max
C̃
∫
R
|f(u)| du; C L̃+ L
.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть
{
X(∆, t) : t > 0, ∆ ∈ B(R), λ(∆) < +∞
}
является непре-
рывным квадратично интегрируемым мартингалом по t при каждом фиксирован-
ном ∆ относительно одного и того же потока σ-алгебр,
X(∆, 0) = 0
и взаимная характеристика мартингалов X(∆1, ·) и X(∆2, ·) равна〈
X(∆1), X(∆2)
〉
t
= λ(∆1 ∩∆2) t,
где λ — мера Лебега на прямой.
Тогда
X(∆, t) = W (∆× [0; t]),
где W — винеровский лист на R× [0;+∞).
Доказательство. Обозначим
W̃ (∆× [0; t]) df= X(∆, t).
Положим по определению
W̃ (∆× (t1; t2])
df= W̃ (∆× [0; t2])− W̃ (∆× [0; t1]) = X(∆, t2)−X(∆, t1).
Покажем конечную аддитивность функции множеств W̃ на множествах вида
∆× (t1; t2], ∆ ∈ B(R), где λ(∆) < +∞. Для множеств ∆ = ∆1∪∆2, ∆1∩∆2 = ∅
процесс X̃(·) df= X(∆, ·)−X(∆1, ·)−X(∆2, ·) является непрерывным квадратично
интегрируемым мартингалом c нулевой характеристикой. Поскольку X̃(0) = 0,
отсюда следует, что X̃ ≡ 0 и
W̃
(
∆× (t1; t2]
)
− W̃
(
∆1 × (t1; t2]
)
− W̃
(
∆2 × (t1; t2]
)
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 371
Так как для любых множеств ∆× (t01; t
0
2] таких, что
∆× (t01; t
0
2] =
∞⋃
k=1
(
∆k × (tk1 ; tk2 ]
)
,
имеем
E
∣∣∣∣∣W̃ (∆× (t01; t
0
2])−
n∑
k=1
W̃ (∆× (tk1 ; tk2 ])
∣∣∣∣∣
2
=
= E
∣∣∣∣∣W̃ (∆× (t01; t
0
2])− W̃
(
n⋃
k=1
(∆k × (tk1 ; tk2 ])
)∣∣∣∣∣
2
=
= λ(∆× (t01; t
0
2])− λ
(
n⋃
k=1
(∆k × (tk1 ; tk2 ])
)
−→ 0, n→∞,
W̃ является счетно-аддитивной функцией множеств.
Теперь проверим, что для произвольных значений n ∈ N, ∆1, ∆2, . . . ,∆n ∈
∈ B(R), t11 ≤ t12, t21 ≤ t22, . . . , tn1 ≤ tn2 случайные величины W̃
(
∆1× (t11; t12]
)
,
W̃
(
∆2 × (t21; t22]
)
, . . . , W̃
(
∆k × (tn1; tn2]
)
являются совместно гауссовскими. В
силу конечной аддитивности достаточно показать, что произвольная линейная ком-
бинация
n∑
k=1
ak W̃
(
∆k × (tk1; tk2]
)
=
n∑
k=1
ak (X(∆k, tk2)−X(∆k, tk1))
является гауссовской случайной величиной только для попарно непересекающихся
множеств ∆1, ∆2, . . . ,∆n ∈ B(R). Случайный процесс
X̂(·) df=
(
X(∆1, ·)√
λ(∆1)
,
X(∆2, ·)√
λ(∆2)
, . . . ,
X(∆n, ·)√
λ(∆n)
)
при λ(∆k) > 0, k = 1, n, является непрерывным квадратично интегрируемым
мартингалом c 〈
X̂i, X̂j
〉
t
= δij t, i, j = 1, n.
Следовательно, по теореме Леви [9] (гл. II, теорема 6.1) X̂ является n-мерным вине-
ровским процессом. Таким образом, случайные величины X(∆1, t12), X(∆1, t11),
X(∆2, t22), X(∆2, t21), . . . , X(∆n, tn2), X(∆n, tn1) являются совместно гауссов-
скими при любых непересекающихся ∆1, ∆2, . . . ,∆n ∈ B(R), а значит, линейная
комбинация
n∑
k=1
ak (X(∆k, tk2)−X(∆k, tk1))
также является гауссовской величиной.
Покажем теперь, что для множеств A и B вида ∆× (t1; t2]
EW̃ (A)W̃ (B) = λ2(A ∩B),
где λ2 — мера Лебега на плоскости.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
372 Т. В. МАЛОВИЧКО
Пусть для определенности s1 < t1 < s2 < t2. Тогда
EW̃
(
∆1 × (s1; s2])W̃ (∆2 × (t1; t2]
)
=
= E(X(∆1, s2)−X(∆1, s1))(X(∆2, t2)−X(∆2, t1)) =
= EX
(
∆1, s2)X(∆2, t2
)
− EX
(
∆1, s1)X(∆2, t2
)
−
−EX(∆1, s2)X(∆2, t1) + EX(∆1, s1)X(∆2, t1) =
= EX(∆1, s2)X(∆2, s2)− EX(∆1, s1)X(∆2, s1)−
−EX(∆1, t1)X(∆2, t1) + EX(∆1, s1)X(∆2, s1) =
= λ(∆1 ∩∆2)s2 − λ(∆1 ∩∆2)s1 − λ(∆1 ∩∆2)t1 + λ(∆1 ∩∆2)s1 =
= λ(∆1 ∩∆2)(s2 − t1) = λ2
(
(∆1 × (s1; s2]
)
∩
(
∆2 × (t1; t2])
)
,
поскольку
EX(∆1, s)X(∆2, t) = EX(∆1, 0)X(∆2, 0) + E〈X(∆1), X(∆2)〉s∧t =
= λ(∆1 ∩∆2) s ∧ t.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Следовательно, W̃ можно продолжить на B(R) × B
(
[0;+∞)
)
, причем ее про-
должение W — гауссовская мера с ортогональными значениями со структурной
мерой λ2. Таким образом, W — винеровский лист.
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Если преобразования Фурье функций f, h ∈ L1(R)∩L2(R) отличны
от нуля λ-почти всюду и h финитна, то линейные комбинации функций∫
R
f(u− · − v) h(v)1I[0; t](·) dv,
где u ∈ R, t ∈ [0;T ], плотны в L2
(
R× [0;T ]
)
.
Доказательство. Прежде всего покажем, что
A =
∫
R
f(u− · − v) h(v)1I[0; t](·) dv; u ∈ R, t ∈ [0;T ]
⊂ L2(R× [0;T ]).
Пусть [a; b] — некоторый отрезок такой, что
∀v /∈ [a; b] : h(v) = 0.
Тогда
∀u ∈ R ∀t ∈ (0;T ] :
T∫
0
∫
R
∫
R
f(u− p− v)h(v)1I[0; t](s)dv
2
dp ds =
=
T∫
0
∫
R
1I[0; t](s) ·
b∫
a
f(u− p− v) h(v) dv
2
dp ds ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 373
≤ (b− a)t
∫
R
b∫
a
f2(u− p− v) h2(v) dv dp =
= (b− a)t
b∫
a
∫
R
f2(u− p− v)dp
h2(v) dv =
= (b− a)t ‖f‖2
2
∫
R
h2(v) dv = (b− a)t · ‖f‖2
2 · ‖h‖2
2 < +∞.
Теперь предположим, что ϕ ∈ L2(R × [0;T ]) и ортогональна всем элементам
множества A, т. е.
∀u ∈ R ∀t ∈ (0;T ] :
T∫
0
∫
R
∫
R
f(u− p− v) h(v)1I[0; t](s) dv
· ϕ(p, s) dp ds = 0.
Тогда
T∫
0
∫
R
(f ∗ h)(u− p)ϕ(p, s) 1I[0; t](s) dp ds = 0,
т. е. для всех u и t
t∫
0
(f ∗ h ∗ ϕ(·, s))(u) ds = 0
и для всех u и почти всех t
f ∗ h ∗ ϕ(·, t) = 0.
Тогда для почти всех t
F (f) · F (h) · F (ϕ(·, t)) = F (f ∗ h ∗ ϕ(·, t)) = 0,
где F — преобразование Фурье. А поскольку преобразования Фурье функций f и
h отличны от нуля λ-почти всюду, для почти всех t
F (ϕ(·, t)) = 0 λ-п.н.
Следовательно, ϕ = 0 λ2-почти всюду.
Лемма 3 доказана.
Теорема 2. Пусть x — решение стохастического уравнения (2),
Fx
T = σ
{
x(u, t), u ∈ R, t ∈ [0;T ]
}
,
FW
T = σ
{
W (∆× [0; t]), ∆ ∈ B(R), t ∈ [0;T ]
}
.
Тогда для всех T > 0
Fx
T = FW
T .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
374 Т. В. МАЛОВИЧКО
Доказательство. Покажем сначала существование и непрерывность производ-
ной x′v(v, s), для чего воспользуемся результатом из [1]. Рассмотрим на множестве
функций ϕ, для которых существуют непрерывные производные
∂2
∂u∂v
ϕ(u, v),
норму
‖ϕ‖∼ = ‖ϕ‖∗ +
∥∥∥∥ ∂2
∂u∂v
ϕ
∥∥∥∥∗∗ ,
где
‖ϕ‖∗ = sup
u,v∈R
|ϕ(u, v)|
(1 + |u|)(1 + |v|)
+ sup
u,v∈R
∣∣∣∣ ∂2
∂u∂v
ϕ(u, v)
∣∣∣∣ ,
а
‖ϕ‖∗∗ = sup
u 6=u′, v 6=v′
|ϕ(u, v)− ϕ(u′, v)− ϕ(u, v′) + ϕ(u′, v′)|
|u− u′| |v − v′|
.
Для функции
ϕ(u, v) =
∫
R
f(u− p)f(v − p)dp
имеем
∂2
∂u∂v
ϕ(u, v) =
∫
R
f ′(u− p)f ′(v − p)dp,
так как f ′ ограничена, а f, f ′ ∈ L1(R), и
‖ϕ‖∗ = sup
u,v∈R
∣∣∣∣ ∫
R
f(u− p)f(v − p)dp
∣∣∣∣
(1 + |u|)(1 + |v|)
+ sup
u,v∈R
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′(u− p)f ′(v − p)dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ sup
u,v∈R
‖f‖2
2
(1 + |u|)(1 + |v|)
+ ‖f ′‖2
2 ≤ ‖f‖2
2 + ‖f ′‖2
2,∣∣∣∣ ∂2
∂u∂v
ϕ
∣∣∣∣∗∗ = sup
u 6=u′, v 6=v′
1
|u− u′| |v − v′|
×
×
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′(u− p)f ′(v − p)− f ′(u′ − p)f ′(v − p) −
− f ′(u− p)f ′(v′ − p) + f ′(u′ − p)f ′(v′ − p)dp
∣∣∣∣∣∣ =
= sup
u 6=u′, v 6=v′
1
|u− u′| |v − v′|
×
×
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′(u− v − p)f ′(−p)− f ′(u′ − v − p)f ′(−p) −
− f ′(u− v′ − p)f ′(−p) + f ′(u′ − v′ − p)f ′(−p)dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 375
≤ sup
u 6=u′, v 6=v′, |u−u′|≤|v−v′|
1
|u− u′| |v − v′|
×
×
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′′(u+ θu
1 (u− u′)− v − p)f ′(−p)(u− u′) −
− f ′′(u+ θu
2 (u− u′)− v′ − p)f ′(−p)(u− u′)dp
∣∣∣∣∣∣+
+ sup
u 6=u′, v 6=v′, |u−u′|>|v−v′|
1
|u− u′| |v − v′|
×
×
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′′(v + θv
1(v − v′)− u− p)f ′(−p)(v − v′) −
− f ′′(v + θv
2(v − v′)− u′ − p)f ′(−p)(v − v′)dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ sup
u 6=u′, v 6=v′
2
|u− u′| |v − v′|
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′′′(ξ(p))f ′(−p)(u− u′)(v − v′)dp
∣∣∣∣∣∣ =
= sup
u 6=u′, v 6=v′
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′′′(ξ(p))f ′(−p)dp
∣∣∣∣∣∣ ≤M
∫
R
|f ′(p)|dp = M‖f ′‖1,
где |f ′′′| ≤M .
Таким образом,
‖ϕ‖∼ ≤ ‖f‖2
2 + ‖f ′‖2
2 +M‖f ′‖1.
Отсюда следует, что с вероятностью 1 существует x′v(v, s), причем производная
x′v(v, s) непрерывна по (v, s) [1] (теорема 4.6.5), а также для любой гладкой функ-
ции q(·) такой, что q и q′ ограничены, а q′ липшицева, найдется положительная
константа C такая, что
E(x′v(q(v), s)− x′u(q(u), s′))4 ≤ C((v − u)4 + (s− s′)2),
E(x′v(q(v), s))4 ≤ C
для всех s, s′, v, u [1] (теорема 4.6.4).
Пусть
h(v) = (v + a)1I[−a; 0)(v) + (a− v)1I[0; a](v), a > 0.
Покажем, что для всех u ∈ R и t ∈ [0;T ] случайная величина
T∫
0
∫
R
∫
R
f(u− p− v) h(v)1I[0; t](s) dvW (dp, ds)
является Fx
T -измеримой. Поскольку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
376 Т. В. МАЛОВИЧКО∫
R
f(u− p− v) h(v)1I[0; t](s) dv = 1I[0; t](s)
∫
R
f(v1 − p)h(u− v1) dv1,
то
T∫
0
∫
R
∫
R
f(u− p− v) h(v)1I[0; t](s) dvW (dp, ds) =
=
t∫
0
∫
R
∫
R
f(v − p) h(u− v) dvW (dp, ds).
Для каждого фиксированного v случайный процесс x(v, ·) является семимар-
тингалом, поэтому существует интеграл
t∫
0
h(u− x(v, s))x′v(v, s) dx(v, s) =
= L2 − lim
|∆|→0
l−1∑
k=0
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)(x(v, sk+1)− x(v, sk)),
где ∆ = {0 = s0 < s1 < . . . < sl = t} — разбиение отрезка [0; t] с диаметром |∆|.
Покажем, что
t∫
0
h(u− x(v, s))x′v(v, s) dx(v, s) =
=
t∫
0
∫
R
f(x(v, s)− p)h(u− x(v, s))x′v(v, s)W (dp, ds). (5)
Выбрав функцию q(·) так, чтобы в некоторой окрестности точки v она совпада-
ла с тождественным отображением, получим, что для некоторой положительной
константы Cv
E(x′v(v, s)− x′v(v, s′))4 ≤ Cv(s− s′)2,
E(x′v(v, s))4 ≤ Cv
для всех s, s′. Тогда
E
(
l−1∑
k=0
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)(x(v, sk+1)− x(v, sk))−
−
t∫
0
∫
R
f(x(v, s)− p)h(u− x(v, s))x′v(v, s)W (dp, ds)
)2
=
= E
(
l−1∑
k=0
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)
sk+1∫
sk
∫
R
f(x(v, s)− p)W (dp, ds)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 377
−
t∫
0
∫
R
f(x(v, s)− p)h(u− x(v, s))x′v(v, s)W (dp, ds)
)2
=
= E
(
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
∫
R
[
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)− h(u− x(v, s))x′v(v, s)
]
×
×f(x(v, s)− p)W (dp, ds)
)2
=
=
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
∫
R
E
[
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)− h(u− x(v, s))x′v(v, s)
]2
×
×f(x(v, s)− p)2 dp ds =
=
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
E
[
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)− h(u− x(v, s))x′v(v, s)
]2
×
×
∫
R
f(x(v, s)− p)2 dp ds =
= ‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
E
[
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)− h(u− x(v, s))x′v(v, s)
]2
ds ≤
≤ 2‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
[
E(h(u− x(v, sk))− h(u− x(v, s)))2x′v(v, sk)2+
+ Eh(u− x(v, s))2(x′v(v, sk)− x′v(v, s))2
]
ds ≤
≤ 2‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
(E(x(v, sk)− x(v, s))2x′v(v, sk)2+
+ a2E(x′v(v, sk)− x′v(v, s))2) ds ≤
≤ 2‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
(
√
E(x(v, sk)− x(v, s))4Ex′v(v, sk)4+
+ a2
√
E(x′v(v, sk)− x′v(v, s))4) ds =
= 2‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
(
√
3(s− sk)‖f‖2
2
√
Ex′v(v, sk)4+
+ a2
√
E(x′v(v, sk)− x′v(v, s))4) ds ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
378 Т. В. МАЛОВИЧКО
≤ 2‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
(
√
3(s− sk)‖f‖2
2
√
Cv + a2
√
Cv(s− sk)2) ds ≤
≤ 2‖f‖2
√
Cv
(√
3‖f‖2
2 + a2
)
t|∆| → 0, |∆| → 0.
Таким образом, (5) доказано.
Обозначим
ψ(v, p, s) = f(x(v, s)− p)h(u− x(v, s))x′v(v, s)
и докажем, что
ψ(v1, p, s)ψ(v2, p, s) ∈ L1(Ω× R× R× R× [0;T ]).
Действительно,
E
∫
R
∫
R
∫
R
T∫
0
∣∣ψ(v1, p, s)ψ(v2, p, s)
∣∣ ds dp dv2 dv1 =
= E
T∫
0
∫
R
∫
R
∫
R
∣∣∣ f(x(v1, s)− p) f(x(v2, s)− p)h(u− x(v1, s))h(u− x(v2, s))×
×x′v1
(v1, s)x′v2
(v2, s)
∣∣∣ dp dv1 dv2 ds =
= E
T∫
0
∫
R
∫
R
∫
R
∣∣ f(x(v1, s)− p) f(x(v2, s)− p)
∣∣ dp
×
×h(u− x(v1, s))h(u− x(v2, s))x′v1
(v1, s)x′v2
(v2, s) dv1 dv2 ds ≤
≤ ‖f‖2
2 E
T∫
0
∫
R
h(u− x(v, s))x′v(v, s) dv
2
ds =
= ‖f‖2
2 E
T∫
0
∫
R
h(u− v) dv
2
ds = ‖f‖2
2 ‖h‖2
2 T < +∞.
Тогда
E
t∫
0
∫
R
∫
R
f(v − p) h(u− v) dvW (dp, ds) −
−
∫
R
t∫
0
h(u− x(v, s))x′v(v, s) dx(v, s) dv
2
=
= E
t∫
0
∫
R
∫
R
f(x(v, s)− p) h(u− x(v, s))x′v(v, s) dvW (dp, ds) −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 379
−
∫
R
t∫
0
∫
R
f(x(v, s)− p)h(u− x(v, s))x′v(v, s)W (dp, ds) dv
2
=
= E
t∫
0
∫
R
∫
R
ψ(v, p, s) dvW (dp, ds)−
∫
R
t∫
0
∫
R
ψ(v, p, s)W (dp, ds) dv
2
=
=
t∫
0
∫
R
E
∫
R
ψ(v1, p, s) dv1
∫
R
ψ(v2, p, s) dv2
dp ds−
−2E
∫
R
t∫
0
∫
R
∫
R
ψ(v1, p, s) dv1W (dp, ds)
t∫
0
∫
R
ψ(v2, p, s)W (dp, ds)
dv2+
+
∫
R
∫
R
E
t∫
0
∫
R
ψ(v1, p, s)W (dp, ds)
t∫
0
∫
R
ψ(v2, p, s)W (dp, ds)
dv1 dv2 =
=
t∫
0
∫
R
E
∫
R
∫
R
ψ(v1, p, s)ψ(v2, p, s) dv1 dv2
dp ds−
− 2
∫
R
t∫
0
∫
R
E
∫
R
ψ(v1, p, s)ψ(v2, p, s) dv1
dp ds dv2+
+
∫
R
∫
R
t∫
0
∫
R
Eψ(v1, p, s)ψ(v2, p, s) dp ds dv1 dv2 = 0
по теореме Фубини.
Таким образом,
T∫
0
∫
R
∫
R
f(u− p− v) h(v)1I[0; t](s) dvW (dp, ds) =
=
∫
R
t∫
0
h(u− x(v, s))x′v(v, s) dx(v, s) dv,
а значит, этот интеграл является Fx
T -измеримой случайной величиной.
Поскольку функция h финитна и ее преобразование Фурье равно
2
u2
(1−cos(au))
и λ-почти всюду отлично от нуля, в силу леммы 3 произвольную функцию g ∈
∈ L2(R× [0;T ]) можно приблизить линейными комбинациями функций вида∫
R
f(u− · − v) h(v) dv · 1I[0; t],
откуда следует, что случайная величина
∫ T
0
∫
R
g(p, s)W (dp, ds) Fx
T -измерима.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
380 Т. В. МАЛОВИЧКО
Положив
g(p, s) = 1I∆× [0; t)(p, s),
где ∆ — произвольное борелевское множество на прямой, получим
T∫
0
∫
R
g(p, s)W (dp, ds) = W (∆× [0; t)).
Таким образом,
FW
T ⊂ Fx
T .
Обратное включение очевидно, поскольку x — решение стохастического урав-
нения (2).
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть x и y являются решениями стохастических дифференци-
альных уравнений (2) и (3) соответственно, а νx и νy — распределения потоков x
и y в пространстве измеримых функций на R× [0;∞).
Тогда
νy � νx,
причем функция
exp
t∫
0
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)W (dp, ds) −
− 1
2
t∫
0
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)
2
dp ds
Fx
t -измерима и является плотностью
dνy
dνx
(x(·, ·), t).
Доказательство. Поскольку в силу условия 1
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)
2
dp =
=
∫
R
∫
R
∫
R
b(x(u, s), p) b(x(v, s), p) dpµ(du)µ(dv) 6
∫
R
∫
R
B dµdµ = B,
для любого
E exp
1
2
t∫
0
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)dµ
2
dp ds
6 exp
{
t
2
B
}
<∞
и по теореме Новикова [9] (гл. III, теорема 5.3)
Zt = exp
t∫
0
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)W (dp, ds) −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 381
− 1
2
t∫
0
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)
2
dp ds
является непрерывным P -мартингалом.
Тогда существует мера Q такая, что для всех t ≥ 0 ограничение Q на FW
t
абсолютно непрерывно относительно вероятности P с плотностью
dQ
dP
∣∣∣∣
FW
t
= Zt,
а случайный процесс
M∆
t −
t∫
0
1
Zs
d〈Z,M∆〉s,
где
M∆
t =
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p)W (dp, ds),
является локальным мартингалом относительно меры Q ([10, с. 109], теорема 20).
По формуле Ито
〈Z,M∆〉t =
t∫
0
Zs
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p) dµ
f(x(u, s)− p) dp ds.
Следовательно,
L∆
t
df=
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p)W (dp, ds)−
−
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p) dµ
f(x(u, s)− p) dp ds
является локальным мартингалом относительно меры Q.
Легко видеть, что характеристика L∆
t относительно меры Q имеет вид
〈L∆〉Qt =
t∫
0
∫
∆
f2(x(u, s)− p) dp ds,
а совместная характеристика L∆1 и L∆2 относительно этой же меры
〈L∆1 , L∆2〉Qt =
t∫
0
∫
∆1∩∆2
f2(x(u, s)− p) dp ds.
На ступенчатых функциях вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
382 Т. В. МАЛОВИЧКО
ϕ(p, s) =
n∑
k=0
n∑
j=0
αkj1I[tk;tk+1)(s)1I∆j (p),
где ∆j , j = 0, . . . , n, — непересекающиеся борелевские множества на прямой, име-
ющие конечную меру Лебега, а случайные величины αkj , j = 0, . . . , n, являются
FW
tk
-измеримыми, зададим интеграл по L как
t∫
0
∫
∆
ϕ(p, s)L(dp, ds) =
n∑
k=0
n∑
j=0
αkj(L
∆j
tk+1
− L
∆j
tk
).
Переходя к пределу в среднем квадратическом, получаем, что если для функции
g интегралы в правой части следующего равенства существуют, то
t∫
0
∫
∆
g(p, s)L(dp, ds) =
t∫
0
∫
∆
g(p, s)f(x(u, s)− p)W (dp, ds)−
−
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p) dµ
g(p, s)f(x(u, s)− p) dp ds.
Пусть
W̃ (∆× [0; t)) =
t∫
0
∫
∆
1
f(x(u, s)− p)
L(dp, ds) =
=
t∫
0
∫
∆
W (dp, ds)−
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv) dp ds =
= W (∆× [0; t))−
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv) dp ds.
Тогда W̃ (∆) при любом ∆ является непрерывным мартингалом относительно
меры Q, причем 〈
W̃ (∆1), W̃ (∆2)
〉Q
t
= λ(∆1 ∩∆2) t.
В силу леммы 2 W̃ является винеровским листом относительно меры Q.
При этом
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p) W̃ (dp, ds) =
t∫
0
∫
∆
L(dp, ds) =
=
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p)W (dp, ds)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 383
−
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)
f(x(u, s)− p) dp ds.
Таким образом,
x(u, t) =
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p)W (dp, ds) =
=
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)
f(x(u, s)− p) dp ds+
+
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p) W̃ (dp, ds).
В силу единственности решения уравнения (3)
Q ◦ x−1 = P ◦ y−1.
Следовательно,
νy � νx
и
dνy
dνx
(x(·, ·), t) = E{Zt | Fx
t }.
Используя теорему 2, окончательно получаем
dνy
dνx
(x(·, ·), t) = Zt.
Теорема 3 доказана.
1. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations // Text. Monograph, Cambridge Stud.
Adv. Math. – Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 1990. – 24. – 346 p.
2. Kotelenez P. A stochastic Navier – Stokes equation for the vorticity of a two-dimentional fluid // Ann.
Appl. Probab. – 1995. – 5, № 4. – P. 1126 – 1160.
3. Dorogovtsev A. A. Measure-valued Markov processes and stochastic flows on abstract spaces // Stochast.
and Stochast. Repts. – 2004. – 76, № 5. – P. 395 – 407.
4. Дороговцев А. А. Мерозначные процессы и стохастические потоки. — Киев: Ин-т математики НАН
Украины, 2007. – 289 с.
5. Карликова М. П. О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием //
Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 7. – С. 895 – 903.
6. Карликова М. П. О переносе обобщенных функций эволюционным потоком // Там же. – № 8. –
С. 1020 – 1029.
7. Пилипенко А. Ю. Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц
в случайной среде // Там же. – № 9. – С. 1289 – 1301.
8. Brayman V. B. On existence and uniqueness of a solution for differential equation with interaction
governed by generalized function in abstract Wiener space // Theory Stochas. Process. – 2005. – 11(27),
№ 3-4. – С. 29 – 41.
9. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процес-
сы. — М.: Наука, 1986. – 448 с.
10. Protter Philip. Stochastic integration and differential equations. A new approach // Appl. Math. – Berlin:
Springer, 1990. – 21. – 302 p.
Получено 14.02.07,
после доработки — 18.11.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
|