Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків
Для разрывной динамической системы с дискретным временем на двумерном цилиндре, порождаемой квазипериодически управляемым отображением сдвига отрезков с перекрытием, доказаны существование и единственность полуинвариантного предельного абсорбирующего пояса, ширина которого содержится в тех же предел...
Gespeichert in:
Datum: | 2009 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Ukrainian |
Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2009
|
Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166228 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків / О.Ю. Теплінський // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 408-417. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-166228 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1662282020-02-19T01:25:14Z Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків Теплінський, О.Ю. Статті Для разрывной динамической системы с дискретным временем на двумерном цилиндре, порождаемой квазипериодически управляемым отображением сдвига отрезков с перекрытием, доказаны существование и единственность полуинвариантного предельного абсорбирующего пояса, ширина которого содержится в тех же пределах, что и ширина перекрытия. В случае перекрытия постоянной ширины этот пояс является инвариантным, и динамика внутри него эквивалентна косому сдвигу на двумерном торе. For a discontinuous dynamical system with discrete time on a two-dimensional cylinder generated by a quasiperiodically driven mapping of the shift of intervals with overlapping, we prove the existence and uniqueness of a limiting semiinvariant absorbing belt whose width lies within the same limits as the width of overlapping. In the case of overlapping of constant width, this belt is invariant, and the dynamics inside the belt is equivalent to a skew shift on a two-dimensional torus. 2009 Article Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків / О.Ю. Теплінський // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 408-417. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166228 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
topic |
Статті Статті |
spellingShingle |
Статті Статті Теплінський, О.Ю. Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків Український математичний журнал |
description |
Для разрывной динамической системы с дискретным временем на двумерном цилиндре, порождаемой квазипериодически управляемым отображением сдвига отрезков с перекрытием, доказаны существование и единственность полуинвариантного предельного абсорбирующего пояса, ширина которого содержится в тех же пределах, что и ширина перекрытия. В случае перекрытия постоянной ширины этот пояс является инвариантным, и динамика внутри него эквивалентна косому сдвигу на двумерном торе. |
format |
Article |
author |
Теплінський, О.Ю. |
author_facet |
Теплінський, О.Ю. |
author_sort |
Теплінський, О.Ю. |
title |
Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків |
title_short |
Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків |
title_full |
Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків |
title_fullStr |
Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків |
title_full_unstemmed |
Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків |
title_sort |
граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2009 |
topic_facet |
Статті |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166228 |
citation_txt |
Граничний абсорбуючий пояс для квазіперіодично керованого відображення зсуву відрізків / О.Ю. Теплінський // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 408-417. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT teplínsʹkijoû graničnijabsorbuûčijpoâsdlâkvazíperíodičnokerovanogovídobražennâzsuvuvídrízkív |
first_indexed |
2025-07-14T21:02:31Z |
last_indexed |
2025-07-14T21:02:31Z |
_version_ |
1837657701216157696 |
fulltext |
УДК 517.5
О. Ю. Теплiнський (Iн-т математики НАН України, Київ)
ГРАНИЧНИЙ АБСОРБУЮЧИЙ ПОЯС
ДЛЯ КВАЗIПЕРIОДИЧНО КЕРОВАНОГО
ВIДОБРАЖЕННЯ ЗСУВУ ВIДРIЗКIВ
For a discontinuous discrete-time dynamical system on a two-dimensional cylinder generated by a quasi-
periodically driven interval shift map with overlapping, we prove the existence and uniqueness of a limit
half-invariant absorbing belt, whose width is confined in the same bounds as the width of overlapping. In the
case of constant overlapping width, this belt is invariant, and the dynamics inside it is equivalent to a skew
translation on a two-dimensional torus.
Для разрывной динамической системы с дискретным временем на двумерном цилиндре, порождаемой
квазипериодически управляемым отображением сдвига отрезков с перекрытием, доказаны существо-
вание и единственность полуинвариантного предельного абсорбирующего пояса, ширина которого со-
держится в тех же пределах, что и ширина перекрытия. В случае перекрытия постоянной ширины этот
пояс является инвариантным, и динамика внутри него эквивалентна косому сдвигу на двумерном торе.
1. Вступ. Зсув вiдрiзкiв (або iнтервальний зсув) — це розривне вiдображення пев-
ного, скiнченного чи нескiнченного, промiжку дiйсної прямої R в себе, яке полягає
в його розбиттi на скiнченну кiлькiсть пiдпромiжкiв i жорсткому зсувi кожного з
них на певну вiдстань. Iнакше кажучи, це є одновимiрне кусково-афiнне вiдобра-
ження таке, що кутовий коефiцiєнт кожного з його афiнних кускiв дорiвнює 1. Зсув
вiдрiзкiв є природним узагальненням перекладення вiдрiзкiв (яке можна означити
як взаємно однозначний зсув) — добре вивченого класу вiдображень, що породжує
одновимiрнi динамiчнi системи з нетривiальними ергодичними властивостями [1].
Динамiчнi властивостi iнтервальних зсувiв є ще бiльш складними, i навiть питання
про геометрiю їхнiх граничних множин у загальному виглядi є дуже нетривiаль-
ним [2]. У цiй статтi ми обмежимося вивченням найпростiшого випадку зсуву
лише двох iнтервалiв, але додане квазiперiодичне керування (форсинг) перетворює
систему на двовимiрну, фазовим простором якої є не пряма, а цилiндр.
Одним iз факторiв, що мотивують iнтерес до вивчення динамiки iнтервальних
зсувiв i пов’язаних iз ними вiдображень, є стрiмкий розвиток цифрової електронi-
ки, який природним чином породжує низку моделей, якi, на вiдмiну вiд моделей
вiдповiдних аналогових пристроїв, описуються саме розривними вiдображеннями,
неперервнi куски яких дiють зi збереженням як мiри, так i орiєнтацiї простору (до-
кладнiше див. в оглядi [3]). В одновимiрному випадку таке вiдображення є нiчим
iншим як зсувом вiдрiзкiв. Зауважимо, що з практичної точки зору цiкавим є лише
випадок глобально дисипативних систем, тобто таких, в яких усi як завгодно далекi
траєкторiї з часом втягуються до певного обмеженого регiону фазового простору, i
вже в цьому „абсорбуючому” регiонi виявляють свою складну динамiку.
Iншою мотивацiєю до дослiдження квазiперiодично керованого iнтервального
зсуву є iнтерес математикiв, який розвинувся в останнi 10 – 15 рокiв щодо три-
кутних вiдображень (косих добуткiв) з iррацiональним поворотом кола в якостi
бази. В таких динамiчних системах було виявлено досить специфiчнi ефекти, як-
то iснування дивних нехаотичних атракторiв [4]. У неперервному випадку для
таких систем було нещодавно доведено аналог теореми Шарковського [5]. Об’єк-
том дослiдження у данiй статтi фактично є динамiка найпростiшого розривного
c© О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ, 2009
408 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ГРАНИЧНИЙ АБСОРБУЮЧИЙ ПОЯС ДЛЯ КВАЗIПЕРIОДИЧНО КЕРОВАНОГО ... 409
трикутного вiдображення iз зазначеною базою. Ми не вивчатимемо властивостей
його граничної множини, але доведемо iснування та в певному сенсi єдинiсть
граничного поясу, який охоплює цю множину i межi якого задаються неперервни-
ми розв’язками певних функцiональних рiвнянь на колi.
Перейдемо до формального викладу. Спочатку розглянемо просту динамiчну
систему на R, породжену iнтервальним зсувом
f̃(x) =
x− d1, x ≥ c,
x+ d2, x < c,
x ∈ R,
з дiйсними параметрами d1, d2 i c. Тут є два промiжки, що зсуваються: (−∞, c) та
[c,+∞). Динамiку цiєї системи легко описати. Якщо d1 = 0 (d2 = 0), то другий
(перший) iз цих промiжкiв складається з нерухомих точок. Якщо хоча б одне з
чисел d1 i d2 є вiд’ємним, а друге — вiдмiнним вiд нуля, то всi траєкторiї прямують
до +∞ або −∞. Єдиним дисипативним, а отже, нетривiальним є випадок, коли
d1, d2 > 0. Дiйсно, в цьому випадку на прямiй iснує множинаB = [c−d1, c+d2),що
є iнварiантною, тобто f̃(B) = B, i абсорбуючою, тобто для кожного початкового
значення x0 ∈ R знайдеться таке N ≥ 0, що f̃n(x0) ∈ B для всiх n ≥ N. (Тут i далi
для заданого вiдображення f запис fn позначає його n-ту iтерацiю f ◦ f ◦ . . . ◦ f
(n разiв).) Всерединi iнварiантного абсорбуючого промiжку B вiдображення f̃ є
перекладенням вiдрiзкiв [c − d1, c) i [c, c + d2), i його динамiка є еквiвалентною
до динамiки жорсткого поворота кола з числом обертання d2/(d1 + d2) (щоб у
цьому переконатися, достатньо лише ототожнити мiж собою кiнцi пiвiнтервалу B,
отримавши коло довжиною d1 + d2).
Розглянемо тепер цiлу однопараметричну сiм’ю iнтервальних зсувiв
f̃θ(x) =
x− d1(θ), x ≥ c(θ),
x+ d2(θ), x < c(θ),
x ∈ R,
в яких значення чисел d1, d2 та c залежать вiд дiйсного параметра θ неперервним
чином. Цей параметр ми примусимо змiнюватися квазiперiодично. Тобто будемо
вважати, що θ ∈ T1, де T1 = R/Z — коло одиничної довжини, i динамiка змiни
параметра θ визначається поворотом цього кола
T (θ) = θ + ρ mod 1, θ ∈ T1, (1)
на певне iррацiональне число обертання ρ ∈ (0, 1). Отже, динамiчну систему в
цiлому задано на двовимiрному цилiндрi T1 × R трикутним вiдображенням
F̃ (θ, x) = (Tθ, f̃θ(x)), θ ∈ T1, x ∈ R. (2)
Зауваження 1. Замiсть жорсткого повороту кола можна розглянути будь-який
гомеоморфiзм, що є топологiчно еквiвалентним до такого повороту. Зокрема, згiдно
з теоремою Данжуа, на мiсцi T може стояти довiльний C2-гладкий зберiгаючий
орiєнтацiю дифеоморфiзм кола з iррацiональним числом обертання ρ. Далi явний
вигляд вiдображення T не будемо використовувати.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
410 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
Виконавши нескладну замiну змiнних
(θ, x) 7→ (T−1θ, x− c(θ)),
для вiдображення (2) отримаємо iншу форму запису, яку нам зручнiше буде вико-
ристовувати, а саме (позначаючи новi змiннi знову як θ та x)
F (θ, x) = (Tθ, fTθ(x)), θ ∈ T1, x ∈ R, (3)
де iнтервальнi зсуви задаються виразами
fθ(x) = x+ a(θ)− b(θ) sgnx, x ∈ R,
в яких функцiї a =
1
2
(d2 − d1) + c − c ◦ T−1 та b =
1
2
(d2 + d1) неперервно
вiдображають T1 в R, а функцiя знаку sgn набуває лише двох значень:
sgnx =
1, x ≥ 0,
−1, x < 0.
У подальшому викладi умови на вiдображення (3) будуть накладатися вже у термi-
нах функцiй a та b. Зауважимо, що образи промiжкiв, що зсуваються вiдображенням
fθ, перекриваються на ширину 2b(θ), θ ∈ T1.
Множину у фазовому просторi T1×R, яку можна задати у виглядi
{
(θ, u) | u =
= φ(θ), θ ∈ M
}
, де M — якась пiдмножина кола T1, а φ — дiйсна функцiя на нiй,
називатимемо графiком над M i позначатимемо тiєю ж самою лiтерою φ. Конту-
ром назвемо графiк над суцiльним колом T1. У геометричних описах уявлятимемо
фазовий простiр як нескiнченний цилiндр, дiйсна вiсь якого спрямована вертикаль-
но вгору. Отже, кажучи, що над певною множиноюM ⊂ T1 графiк φ1 лежить вище
за графiк φ2, матимемо на увазi, що φ1(θ) ≥ φ2(θ) для кожного θ ∈ M. Якщо у
наведеному випадку M = T1, то множину, обмежену контурами φ1 та φ2, назвемо
поясом, а вiдстань мiж ними φ1(θ)− φ2(θ) ≥ 0 — його шириною в точцi θ ∈ T1.
Для неперервної функцiї φ : T1 → R визначатимемо її найбiльше, найменше
i середнє значення φmax = maxθ∈T1 φ(θ), φmin = minθ∈T1 φ(θ), φave =
∫
T1
φdµ
вiдповiдно (тут µ — нормована iнварiантна мiра, що вiдповiдає гомеоморфiзму T ;
для лiнiйного повороту (1) це просто мiра Лебега). З вiдомих фактiв [1] щодо
ергодичностi гомеоморфiзму кола T випливає, що
1
n
n−1∑
k=0
φ(T kθ) → φave при n→ +∞ (4)
(середнє за часом дорiвнює середньому за простором), до того ж збiжнiсть (4) є
рiвномiрною за θ ∈ T1.
2. Граничний абсорбуючий пояс. Уведемо для s > 0, t ∈ R позначення
ξs(t) = min{t+ s,max{t− s, s}} =
t− s, t ≥ 2s,
s, 0 ≤ t ≤ 2s,
t+ s, t ≤ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ГРАНИЧНИЙ АБСОРБУЮЧИЙ ПОЯС ДЛЯ КВАЗIПЕРIОДИЧНО КЕРОВАНОГО ... 411
Дiйсна функцiя ξ двох змiнних s та t має наступнi важливi властивостi: є неперерв-
ною; вiдносно t ∈ R — неспадною i задовольняє нерiвнiсть нестрогого стискання
0 ≤ ξs(t2)− ξs(t1) ≤ t2 − t1 для −∞ < t1 ≤ t2 < +∞, s ≥ 0; (5)
має симетрiю
ξs(t) + ξs(2s− t) ≡ 2s, s ≥ 0, t ∈ R, (6)
i, бiльш загально, задовольняє нерiвнiсть
2s1 ≤ ξs2(t) + ξs2(2s1 − t) ≤ 2s2 для s2 ≥ s1 ≥ 0, t ∈ R. (7)
Теорема 1. Якщо b(θ) > 0 для кожного θ ∈ T1, а |aave| < bave, то iснує
єдиний пояс
B =
{
(θ, x)
∣∣∣L(θ) ≤ x < U(θ), θ ∈ T1
}
,
межi якого U та L є неперервними контурами, що задовольняють функцiональнi
рiвняння
U(θ) = ξb(θ)(U(T−1θ)) + a(θ), (8)
L(θ) = −ξb(θ)(−L(T−1θ)) + a(θ) (9)
для всiх θ ∈ T1. Цей пояс має наступнi властивостi:
1) є напiвiнварiантним вiдносно F, тобто
F (B) ⊂ B;
2) його ширина ∆(θ) = U(θ)−L(θ) знаходиться у межах перекриття образiв
промiжкiв, що зсуваються, тобто задовольняє нерiвностi
2bmin ≤ ∆(θ) ≤ 2bmax, θ ∈ T1;
3) абсорбує всi траєкторiї в динамiчнiй системi рiвномiрно на обмежених
множинах початкових даних, тобто для кожного C > 0 iснує таке натуральне
N = N(C), що з нерiвностi |x0| ≤ C випливає включення Fn(θ0, x0) ∈ B для всiх
n ≥ N, θ0 ∈ T1;
4) межовi контури U та L складаються з частин скiнченної кiлькостi кривих,
заданих формулами
C+
1 : x = a(θ) + b(θ), C−1 : x = a(θ)− b(θ), (10)
C+
n = F (C+
n−1), C−n = F (C−n−1), n ≥ 2. (11)
Доведення. План доведення є таким: спочатку конструктивно будуємо пояс
B, межi якого є неперервними i задовольняють спiввiдношення (8) та (9), потiм
для нього послiдовно доводимо властивостi 1 – 4 i наприкiнцi (з використанням
доведених властивостей побудованого поясу) показуємо, що iнших неперервних
контурiв, якi задовольняють (8) та (9), не iснує.
У першiй частинi доведення буде побудовано послiдовнiсть напiвiнварiантних
поясiв
Bn =
{
(θ, x)
∣∣Ln(θ) ≤ x < Un(θ)
}
, n ≥ 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
412 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
з неперервними межами Un та Ln шляхом iндуктивної процедури.
Розглянемо розклад числа обертання у ланцюговий дрiб [6]:
ρ = [k1, k2, . . . , kn, . . .] =
1
k1 +
1
k2 +
1
· · ·
kn +
1
· · ·
∈ (0, 1). (12)
Оскiльки за припущенням число ρ є iррацiональним, то послiдовнiсть натуральних
неповних часток kn, n ≥ 1, у дробi (12) є нескiнченною i визначається однознач-
но. Нескiнченна послiдовнiсть рацiональних наближень pn/qn = [k1, k2, . . . , kn]
прямує до ρ при n → +∞. Взаємопростi натуральнi числа pn та qn, n ≥ 1,
задовольнять рекурентнi спiввiдношення pn = knpn−1 +pn−2, qn = knqn−1 +qn−2,
де для зручностi покладено p0 = 0, q0 = 1 та p−1 = 1, q−1 = 0. Рацiональнi
наближення pn/qn наближаються до iррацiонального числа ρ почергово з двох
бокiв:
0 =
p0
q0
<
p2
q2
< . . . <
p2m
q2m
< ρ <
p2m−1
q2m−1
< . . . <
p3
q3
<
p1
q1
≤ 1. (13)
Вiдповiдним чином для гомеоморфiзму кола T з числом обертання ρ, якщо вiдмi-
чено певну точку θ∗ ∈ T1, її динамiчнi наближення T qnθ∗ розташованi на колi у
наступному циклiчному порядку:
T q0θ∗ ≤ T q1θ∗ < T q3θ∗ < . . . < T q2m−1θ∗ < θ∗ < T q2mθ∗ < . . . < T q2θ∗ < T q0θ∗.
(14)
Також наслiдком комбiнаторного сенсу розкладу числа ρ у ланцюговий дрiб є
наступний факт: набiр напiввiдкритих дуг {T kI1 | 0 ≤ k < q2m}∪ {TnI2 | 0 ≤ n <
< q2m−1}, де I1 = [T q2m−1θ∗, θ∗), I2 = [θ∗, T q2mθ∗), є диз’юнктним розбиттям кола
T1, тобто покриває його цiлком i без перекриттiв. При цьому I1 ∪ I2 = T q2m−1I2 ∪
∪T q2mI1 = [T q2m−1θ∗, T q2mθ∗). Це означає, що T q2m на I1 та T q2m−1 на I2 є нiчим
iншим як двома неперервними компонентами вiдображення першого повернення
траєкторiй (яке ще називають перерiзом Пуанкаре) гомеоморфiзму T на промiжок
I = [T q2m−1θ∗, T q2mθ∗).
З нерiвностi |aave| < bave i ергодичної властивостi (4) випливає iснування такого
N ≥ 1, що для всiх n ≥ N та θ ∈ T1 виконується оцiнка∣∣∣∣∣ 1
n
n−1∑
k=0
a(T kθ)
∣∣∣∣∣ < 1
n
n−1∑
k=0
b(T kθ),
а отже, мають мiсце нерiвностi
n−1∑
k=0
(−b(T kθ) + a(T kθ)) < 0 <
n−1∑
k=0
(b(T kθ) + a(T kθ)). (15)
З огляду на викладене вище зафiксуємо довiльну точку θ∗ ∈ T1, таке досить
велике натуральне m, що q2m−1 ≥ N, а також досить велике дiйсне число
A > (2q2m − 1)(bmax + max
θ∈T1
|a(θ)|) + 2bmax (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ГРАНИЧНИЙ АБСОРБУЮЧИЙ ПОЯС ДЛЯ КВАЗIПЕРIОДИЧНО КЕРОВАНОГО ... 413
i розглянемо у фазовому просторi T1×R графiки J∗1 = I1×{A} та J∗2 = I2×{A}.
Вiдповiдно до нашої конструкцiї, перше повернення точок на I пiд дiєю T
вiдбувається пiсля не менш нiж N iтерацiй, отже, графiки F q2m(J∗1 ) та F q2m−1(J∗2 )
лежать строго нижче за графiк I × {A} = J∗1 ∪ J∗2 внаслiдок (15). Тепер виберемо
довiльним чином такi неперервнi графiки J1 над I1 та J2 над I2, що з’єднують
послiдовно точки F q2m−1(θ∗, A), (θ∗, A) та F q2m(θ∗, A) i лежать строго мiж I×{A}
та F q2m(J∗1 ) ∪ F q2m−1(J∗2 ). Як неважко переконатися, множина
U1 =
q2m−1⋃
n=0
Fn(J1)
q2m−1−1⋃
n=0
Fn(J2)
є неперервним контуром, який внаслiдок (16) лежить вище за контур 2bmax. Контур
F (U1) збiгається з U1 над T1\I i лежить нижче за U1 над I. Аналогiчно, викорис-
товуючи −A замiсть A, отримуємо неперервний контур L1, що лежить нижче за
−2bmax, при цьому контур F (L1) збiгається з L1 над T1\I i лежить вище за L1 над
I. Таким чином, щойно побудований пояс B1 з неперервними межами U1 та L1
насправдi є напiвiнварiантним, i його ширина ∆1(θ) = U1(θ) − L1(θ) > 4bmax >
> 2bmin для кожного θ ∈ T1.
Прослiдкувавши за дiєю вiдображення F (в усiх випадках, що з’являються),
можна бачити, що
−ξb(θ)(−x′) + a(θ) ≤ fθ(x) < ξb(θ)(x′′) + a(θ) для x′ ≤ x < x′′, θ ∈ T1. (17)
Для n ≥ 1 та θ ∈ T1 покладемо
Un+1(θ) = ξb(θ)(Un(T−1θ)) + a(θ), (18)
Ln+1(θ) = −ξb(θ)(−Ln(T−1θ)) + a(θ) (19)
i покажемо iндукцiєю по n, що контури Un та Ln є неперервними, вiдстань мiж
ними ∆n(θ) = Un(θ)− Ln(θ) є не меншою за 2gmin i
Un(θ) ≥ Un+1(θ) > Ln+1(θ) ≥ Ln(θ)
для кожного n ≥ 1 та θ ∈ T1. База iндукцiї (n = 1) виконується згiдно з про-
веденою вище побудовою поясу B1. Неперервнiсть Un та Ln обумовлює таку
саму властивiсть для Un+1 та Ln+1, оскiльки ξ, b та a в (18) та (19) є не-
перервними функцiями. З нерiвностi Un+1 ≤ Un випливає, що Un+2 ≤ Un+1
згiдно з (18), оскiльки функцiя ξ є неспадною; вiдповiдний факт також має мiс-
це для L. Зрештою, ширина ∆n+1(θ) = ξb(θ)(Un(T−1θ)) + ξb(θ)(−Ln(T−1θ)) ≥
≥ ξ(Un(T−1θ)) + ξ(2bmin − Un(T−1θ)) ≥ 2bmin, θ ∈ T1. (Тут ми використали
послiдовно (18) та (19); (5) та припущення iндукцiї у виглядi ∆n(T−1θ) ≥ 2bmin;
насамкiнець (7).) Тепер пояси Bn, n ≥ 1, є коректно означеними. Нерiвнiсть (17)
разом iз (18) та (19) доводить, що F (Bn) ⊂ Bn+1 для кожного n ≥ 1.
Монотоннi обмеженi послiдовностi функцiй {Un}+∞n=1 та {Ln}+∞n=1 мають поточ-
ковi границi
U(θ) = lim
n→+∞
Un(θ), L(θ) = lim
n→+∞
Ln(θ), θ ∈ T1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
414 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
Контури U та L обмежують граничний пояс B. Граничний перехiд у (18), (19) при
n → +∞ дає спiввiдношення (8), (9) для кожного θ ∈ T1, що й завершує першу
частину доведення.
Припустимо, що верхнiй межовий контур U не є неперервним. Це означає, що
в якiйсь точцi θ̄ ∈ T1 функцiя U має ненульовий стрибок:
jmpU(θ̄) = lim sup
θ→θ̄
U(θ)− lim inf
θ→θ̄
U(θ) = c > 0.
Внаслiдок властивостi стискання (5) разом iз (8) маємо нерiвнiсть
jmpU(θ) ≤ jmpU(T−1θ), θ ∈ T1.
Отже, jmpU(T−nθ̄) ≥ c для кожного n ≥ 0. Нехай Umin = infθ∈T1 U(θ). Знай-
деться точка θ̃ ∈ T1 така, що U(θ̃) < m + c, а отже, Uk(θ̃) < m + c для певного
натурального k. Оскiльки контур Uk неперервний, нерiвнiсть Uk(θ) < m + c ви-
конується в деякому околi θ ∈ (θ̃ − ε, θ̃ + ε), ε > 0, а отже, в цьому околi маємо
m ≤ U(θ) < m + c, звiдки jmpU(θ) < c. Але ж множина {T−nθ̄ |n ≥ 0} є скрiзь
щiльною на T1, зокрема T−ñθ̄ ∈ (θ̃− ε, θ̃+ ε) для певного натурального ñ, i, згiдно
з викладеним вище, jmpU(T−ñθ̄) ≥ c. Дана суперечнiсть показує, що контур U є
неперервним. Неперервнiсть L доводиться аналогiчно.
Доведемо тепер, що побудований пояс B задовольняє твердження 1 – 4 теореми.
Одразу зазначимо, що
∆(θ) = lim
n→+∞
∆n(θ) ≥ 2bmin > 0, θ ∈ T1. (20)
Нерiвнiсть (17) разом iз (8) та (9) доводить твердження 1.
Якби для всiх θ ∈ T1 виконувалася нерiвнiсть U(θ) ≤ 0, то з (8) випливала б
рiвнiсть U(θ) = U(T−1θ) + a(θ) + b(θ) для всiх θ ∈ T1, а тому i Uave = Uave +
+aave +bave, що є неможливим внаслiдок умови теореми |aave| < bave. Аналогiчно,
не може для всiх θ ∈ T1 виконуватися нерiвнiсть U(θ) ≥ 2b(Tθ), бо iнакше з (8)
випливатиме U(Tθ) = U(θ)+a(Tθ)− b(Tθ) для всiх θ ∈ T1, а отже, Uave = Uave +
+ aave − bave, що є неможливим внаслiдок умови теореми |aave| < bave. Оскiльки
з двох неперервних контурiв 0 та 2b ◦ T (тобто T1 × {0} та {(θ, 2b(Tθ)) | θ ∈
∈ T1}) другий лежить строго вище за перший, а контур U теж неперервний, то з
викладеного випливає iснування такої замкненої дуги IU ⊂ T1 ненульової довжини,
що над нею контур U лежить строго мiж 0 та 2b ◦ T, тобто для кожного θ ∈ IU
виконуються нерiвностi 0 < U(θ) < 2b(Tθ).
Введемо до розгляду неперервну функцiю l(θ) = max{∆(θ), 2bmax}, θ ∈ T1. У
випадку, коли ∆(T−1θ) ≥ 2b(θ),
∆(θ) = ξb(θ)(U(T−1θ)) + ξb(θ)(−L(T−1θ)) =
= ξb(θ)(U(T−1θ))− ξb(θ)(2b(θ) + L(T−1θ)) + 2b(θ) ≤
≤ U(T−1θ)− (2b(θ) + L(T−1θ)) + 2b(θ) = ∆(T−1θ), θ ∈ T1, (21)
внаслiдок (8), (9), (6) та (5). У випадку ∆(T−1θ) ≤ 2b(θ) замiсть (21) маємо
∆(θ) = ξb(θ)(U(T−1θ))− ξb(θ)(2b(θ) + L(T−1θ)) + 2b(θ) ≤ 2b(θ)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ГРАНИЧНИЙ АБСОРБУЮЧИЙ ПОЯС ДЛЯ КВАЗIПЕРIОДИЧНО КЕРОВАНОГО ... 415
внаслiдок неспадностi ξb(θ), отже, в обох випадках виконується нерiвнiсть
l(θ) ≤ l(T−1θ). (22)
Знайдеться α ∈ T1 таке, що l(α) = lmax. Внаслiдок (22) i згiдно з вибором α
маємо l(T−nα) = lmax для всiх n ≥ 0. Оскiльки множина {T−nα |n ≥ 0} є скрiзь
щiльною на T1, а функцiя l неперервна, то звiдси випливає l(θ) = lmax для всiх
θ ∈ T1, тобто насправдi l є сталою. Припустимо, що l > 2bmax. Тодi за означенням
цiєї величини робимо висновок, що ширина ∆ також є сталою (i дорiвнює l). Легко
перевiрити, що нерiвнiсть (5) перетворюється на строгу у випадку, коли 0 < t2 < 2s
i t1 < t2, внаслiдок чого нерiвнiсть (21) у випадку T−1θ ∈ IU стає строгою, а це
суперечить висновку, що ∆ є сталою. Отже, l = 2bmax, звiдки ∆(θ) ≤ 2bmax для
будь-якого θ ∈ T1, а це разом iз (20) доводить твердження 2.
Щоб довести твердження 3, зазначимо, що для будь-яких θ ∈ T1, d ≥ 0 можна
записати рiвнiсть
fθ(U(T−1θ) + d) = U(θ) + d′,
де
d− d′ =
2b(θ) для U(T−1θ) < 0 ≤ U(T−1θ) + d,
0 для U(T−1θ) + d < 0 або U(T−1θ) ≥ 2b(θ),
2b(θ)− U(T−1θ) для 0 ≤ U(T−1θ) ≤ 2b(θ).
В усiх випадках d − d′ ≥ 0. Для довiльної точки (θ, x), θ ∈ IU , яка лежить на
вiдстанi d ≥ 0 над поясом B, ця вiдстань пiд дiєю F зменшиться на d − d′ ≥
≥ minθ∈IU
{2b(Tθ) − U(θ)} = δU > 0. Iснує таке натуральне NU , що для будь-
якого θ ∈ T1 перетин {T kθ}NU
k=1 ∩ IU є непорожнiм (оскiльки скiнченна кiлькiсть
прообразiв будь-якої дуги пiд дiєю T покриває все коло T1). Крiм того, точка
не може пiд дiєю F перестрибнути через пояс B згори донизу, не потрапивши
всередину (щоб у цьому переконатись, досить покласти x′ = U(T−1θ) в нерiвностi
(17) i порiвняти її лiву частину з L(θ) з огляду на (9) i неспаднiсть ξb(θ)). Отже, пiсля
щонайбiльшеNUd/δU iтерацiй всi точки, що знаходилися на вiдстанi не бiльше нiж
d над поясом B, потраплять всередину B. Аналогiчним чином знаходимо дугу IL
кола, числа NL, δL i одержуємо, що пiсля не бiльш нiж NLd/δL iтерацiй всi точки,
що знаходилися на вiдстанi не бiльше нiж d пiд поясом B, потраплять всередину
B. З цього випливає твердження 3.
Покажемо нарештi, що межi U та L поясу B складаються з частин скiнченної
кiлькостi лiнiй (10) та (11). З формули (8) випливає, що U ⊂ F (U) ∪ C+
1 i, зокре-
ма, над дугою TIU має мiсце рiвнiсть U = C+
1 . Отже, простими iндуктивними
мiркуваннями доводимо, що для кожного n ≥ 1 над
⋃n
k=1 T
kIU виконується вклю-
чення U ⊂
⋃n
k=1 C
+
k . Оскiльки
⋃NU
k=1 T
kIU = T1, то U ⊂
⋃NU
k=1 C
+
k i аналогiчно
L ⊂
⋃NL
k=1 C
−
k , що разом доводить твердження 4.
Залишилося довести єдинiсть неперервних розв’язкiв функцiональних рiвнянь
(8) та (9). Припустимо, що iснує вiдмiнний вiд U неперервний контур Ũ , який також
задовольняє спiввiдношення (8). Розглянемо точку θ∗ ∈ T1, в якiй Ũ(θ∗) 6= U(θ∗).
Нехай, для визначеностi, Ũ(θ∗) > U(θ∗) (у протилежному випадку доведення ана-
логiчне). Тодi над якимось околом точки θ∗ — дугою I∗ — має мiсце строга не-
рiвнiсть Ũ > U. З рiвностi Ũ(θ) − U(θ) = ξb(θ)(Ũ(T−1θ)) − ξb(θ)(U(T−1θ)) i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
416 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
властивостi (5) випливає, що нерiвнiсть Ũ > U має мiсце i над прообразом T−1I∗,
а отже (знову ж оскiльки скiнченна кiлькiсть прообразiв будь-якої дуги пiд дiєю T
покриває все коло T1), нерiвнiсть Ũ > U виконується скрiзь над T1. Таким чином,
на всьому колi виконується нерiвнiсть Ũ(θ)−U(θ) ≤ Ũ(T−1θ)−U(T−1θ), до того
ж для θ ∈ IU вона є строгою. Iнтегруючи, дiстаємо суперечнiсть: Ũave − Uave <
< Ũave − Uave. Для контуру L доведення аналогiчне.
Теорему доведено.
Зауваження 2. Функцiональнi рiвняння (8) та (9) на колi T1 є подiбними до
вiдомого гомологiчного рiвняння, властивостi загальних розв’язкiв якого вивчалися
в 70-тi роки [7, 8]. Розвинувши iдею останньої частини доведення теореми 1, не-
важко переконатися, що за її умов кожний розв’язок рiвняння (8) або не є вимiрним
на жоднiй пiдмножинi додатної мiри, або збiгається з неперервним майже скрiзь.
Зауваження 3. Поведiнка траєкторiй всерединi напiвiнварiантного абсорбу-
ючого поясуB може бути досить складною i важко пiддається опису. Не виключено,
що гранична множина Ω =
⋂+∞
k=0 F
k(B) у загальному випадку може бути дивним
нехаотичним атрактором [4].
На окрему увагу заслуговує випадок, коли ширина перекриття є сталою, тобто
b(θ) ≡ b > 0. Наступне твердження було використано у прикладнiй роботi [9] з
дослiдження поширеного радiоелектронного пристрою — сигма-дельта-модулятора.
Наслiдок. Якщо величина перекриття b > 0 не залежить вiд θ, то абсорбую-
чий пояс B є iнварiантним, тобто F (B) = B, а його ширина є сталою: ∆(θ) ≡ 2b.
Якщо iдентифiкувати мiж собою точки (θ, U(θ)) та (θ, L(θ)) фазового простору
для кожного θ ∈ T1, то обмеження вiдображення F на зiмкнений таким чином
пояс B є косим зсувом на двовимiрному торi.
Доведення. Те, що ∆(θ) ≡ 2b, випливає безпосередньо з пункту 2 теореми 1.
Отже, маємо
U(θ) = L(θ) + 2b, θ ∈ T1.
Вияснимо, як дiє fθ на промiжок S = [L(T−1θ), U(T−1θ)), що має довжину 2b.
Якщо 0 6∈ (L(T−1θ), U(T−1θ)), то fθ зсуває цей промiжок цiлком на певну вiд-
стань. У протилежному випадку промiжок S дiлиться точкою 0 на два промiжки:
S1 = [L(T−1θ), 0) та S2 = [0, U(T−1θ)), перший з яких зсувається на a(θ) + b, а
другий — на a(θ) − b. Оскiльки рiзниця мiж зсувами дорiвнює 2b, то об’єднання
fθ(S1) ∪ fθ(S2) є знову ж таки цiлим напiввiдкритим промiжком довжини 2b. В
обох випадках множина fθ(S) є цiлим напiввiдкритим промiжком довжини 2b, а
внаслiдок пункту 1 теореми 1 вона є пiдмножиною промiжку [L(θ), U(θ)) тої ж са-
мої довжини. Тому fθ(S) = [L(θ), U(θ)) для кожного θ ∈ T1, тобто пояс B дiйсно
є iнварiантним.
Якщо перетворити B на топологiчний двовимiрний тор, для кожного θ ∈ T1
iдентифiкувавши мiж собою точки (θ, U(θ)) та (θ, L(θ)) фазового простору T1×R,
то легко переконатися, що бiєкцiя ψ : B → T2 = (R/Z)2, задана таким чином:
ψ(θ, x) =
(
θ,
1
2b
(x− L(θ))
)
,
є гомеоморфiзмом, який спрягає вiдображення F iз косим зсувом F̃ : T2 → T2,
заданим як
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ГРАНИЧНИЙ АБСОРБУЮЧИЙ ПОЯС ДЛЯ КВАЗIПЕРIОДИЧНО КЕРОВАНОГО ... 417
F̃ : (θ, ω) 7→
(
Tθ, ω +
1
2b
(a(Tθ) + L(θ)− L(Tθ)) +
1
2
mod 1
)
,
у сенсi
ψ−1 ◦ F̃ ◦ ψ = F.
Наслiдок доведено.
1. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. – М.: Наука, 1980. – 383 с.
2. Boshernitzan M., Kornfeld I. Interval translation mappings // Erg. Theory and Dynam. Syst. – 1995. –
15, № 5. – P. 821 – 832.
3. Теплiнський О. Ю. Вiдображення зсуву iнтервалiв як об’єднавчий пiдхiд до вивчення динамiки
ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв // Доп. НАН України. – 2008. – № 12. –
С. 40 – 45.
4. Grebogi C., Ott E., Pelikan S., Yorke J. A. Strange attractors that are not chaotic // Physica D. – 1984. –
13, № 1-2. – P. 261 – 268.
5. Fabbri R., Jager T., Johnson R., Keller R. A Sharkovskii-type theorem for minimally forced interval
maps // Top. Meth. Nonlinear Anal. – 2005. – 26, № 1. – P. 163 – 188.
6. Хинчин А. Я. Цепные дроби. – М.: Физматгиз, 1960. – 112 с.
7. Аносов Д. В. Об аддитивном функциональном гомологическом уравнении, связанном с эргодиче-
ским поворотом окружности // Изв. АН СССР. – 1973. – 37, № 6. – С. 1259 – 1274.
8. Корнфельд И. П. Об аддитивном гомологическом уравнении // Функцион. анализ и его прил. –
1976. – 10, № 2. – С. 73 – 74.
9. Teplinsky A., Condon E., Feely O. Driven interval shift dynamics in sigma-delta modulators and phase-
locked loops // IEEE Trans. Circuits and Syst. Pt I. – 2005. – 52, № 6. – P. 1224 – 1235.
Одержано 11.03.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
|