Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа
Запропоновано нові нєо6хідні та достатні умови асимптотичної стійкості та локалiзацiї власних значень лінійних автономних систем із використанням функцій сліду матриць. Застосування цих методів зводиться до розв'язання двох скалярних нерівностей відносно симетричної додатно означеної матриці. Я...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166230 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа / А.Г. Мазко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1367–1378. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166230 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662302020-02-20T07:18:28Z Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа Мазко, А.Г. Статті Запропоновано нові нєо6хідні та достатні умови асимптотичної стійкості та локалiзацiї власних значень лінійних автономних систем із використанням функцій сліду матриць. Застосування цих методів зводиться до розв'язання двох скалярних нерівностей відносно симетричної додатно означеної матриці. Як наслідок, для лінійних систем керування наведено методику побудови множини стабілізуючих зворотних зв'язків по вимірюваному виходу. New necessary and sufficient conditions for the asymptotic stability and localization of the spectra of linear autonomous systems are proposed by using the matrix trace functions. The application of these conditions is reduced to the solution of two scalar inequalities for a symmetric positive-definite matrix. As a corollary, for linear control systems, we present a procedure aimed at the construction of the set of stabilizing measurable output feedbacks. 2014 Article Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа / А.Г. Мазко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1367–1378. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166230 512.643 517.925.51 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мазко, А.Г. Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа Український математичний журнал |
| description |
Запропоновано нові нєо6хідні та достатні умови асимптотичної стійкості та локалiзацiї власних значень лінійних автономних систем із використанням функцій сліду матриць. Застосування цих методів зводиться до розв'язання двох скалярних нерівностей відносно симетричної додатно означеної матриці. Як наслідок, для лінійних систем керування наведено методику побудови множини стабілізуючих зворотних зв'язків по вимірюваному виходу. |
| format |
Article |
| author |
Мазко, А.Г. |
| author_facet |
Мазко, А.Г. |
| author_sort |
Мазко, А.Г. |
| title |
Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа |
| title_short |
Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа |
| title_full |
Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа |
| title_fullStr |
Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа |
| title_full_unstemmed |
Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа |
| title_sort |
критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166230 |
| citation_txt |
Критерии устойчивости и локализация спектра матрицы в терминах функций следа / А.Г. Мазко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1367–1378. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mazkoag kriteriiustojčivostiilokalizaciâspektramatricyvterminahfunkcijsleda |
| first_indexed |
2025-07-14T21:02:50Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:02:50Z |
| _version_ |
1837657720709185536 |
| fulltext |
УДК 512.643, 517.925.51
А. Г. Мазко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ СПЕКТРА МАТРИЦЫ
В ТЕРМИНАХ ФУНКЦИЙ СЛЕДА
New necessary and sufficient conditions for the asymptotic stability and localization of the spectrum of linear autonomous
systems are proposed using the trace functions of matrices. The application of these conditions is reduced to the solution
of two scalar inequalities with respect to a symmetric positive-definite matrix. As a corollary, for linear control systems,
we present a method aimed at the construction of the set of stabilizing measurable output feedbacks.
Запропоновано новi необхiднi та достатнi умови асимптотичної стiйкостi та локалiзацiї власних значень лiнiйних
автономних систем iз використанням функцiй слiду матриць. Застосування цих методiв зводиться до розв’язання
двох скалярних нерiвностей вiдносно симетричної додатно означеної матрицi. Як наслiдок, для лiнiйних систем
керування наведено методику побудови множини стабiлiзуючих зворотних зв’язкiв по вимiрюваному виходу.
1. Введение. При проектировании объектов новой техники большое внимание уделяется ме-
тодам анализа устойчивости и стабилизации линеаризованных непрерывных или дискретных
моделей систем управления. Из современными и классическими методами теории устойчивос-
ти и стабилизации линейных динамических систем можно ознакомиться, например, в [1, 2].
В данной работе предлагаются новые необходимые и достаточные условия асимптотиче-
ской устойчивости и методы локализации собственных значений линейных автономных систем
с использованием функций следа матриц. Их практическое применение сводится к решению
двух скалярных неравенств относительно симметричной положительно определенной матри-
цы. В качестве следствия для линейных систем управления приводится методика построения
множества стабилизирующих управлений в виде обратной связи по измеряемому выходу.
Будем использовать следующие обозначения: Rn×m (Cn×m) — пространство веществен-
ных (комплексных) матриц размера n × m; In — единичная матрица порядка n; X∗ (XT ) —
комплексно-сопряженная (транспонированная) матрица к матрице X; X > Y и X ≥ Y —
матричные неравенства, обозначающие положительную и неотрицательную определенность
матрицы X − Y ; i(X) = {i+(X), i−(X), i0(X)} — инерция эрмитовой матрицы X = X∗, со-
ставленная из количеств ее положительных, отрицательных и нулевых собственных значений с
учетом кратностей; λmax(X) (λmin(X)) — максимальное (минимальное) собственное значение
эрмитовой матрицы X; trA, σ(A) и ρ(A) — след, спектр и спектральный радиус матрицы A
соответственно; ‖x‖ — евклидова норма вектора x.
2. Функции µ(A) и µ∗(A). В пространстве матриц A ∈ Cn×n введем скалярные функции
µ(A) = (trA)2 − ν trA2, µ∗(A) = trA trA∗ − ν tr(AA∗), (2.1)
где ν — заданное вещественное число. Поскольку след матрицы совпадает с суммой ее соб-
ственных значений, то
µ(A) = ϕ(z) ,
(
n∑
k=1
λk
)2
− ν
n∑
k=1
λ2k,
где z = ξ + iη, ξ = [ξ1, . . . , ξn]T , η = [η1, . . . , ηn]T , λk = ξk + iηk ∈ σ(A), k = 1, n. Если спектр
σ(A) вещественный, то µ(A) = ϕ(ξ) ∈ R1. Функция µ∗(A) всегда принимает вещественные
c© А. Г. МАЗКО, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10 1379
1380 А. Г. МАЗКО
значения и представляется в виде
µ∗(A) = µ(AR) + µ(AI), (2.2)
где AR = (A + A∗)/2 и AI = (A − A∗)/(2i) — эрмитовы составляющие в разложении A =
= AR + iAI .
Имеют место неравенства [3]
tr(AA∗) ≥
n∑
k=1
|λk|2, trA2
R ≥
n∑
k=1
ξ2k, trA2
I ≥
n∑
k=1
η2k, (2.3)
причем равенства в (2.3) выполняются в том и только в том случае, когда матрицаA нормальная,
т. е. AA∗ = A∗A. Соотношения (2.3) являются следствием более общих неравенств Вейля для
собственных и сингулярных чисел матрицы [4].
Используя соотношения (2.1) – (2.3), при ν ≥ 0 можно установить неравенства
µ(AR) ≤ ϕ(ξ), µ(AI) ≤ ϕ(η), µ∗(A) ≤ ϕ(ξ) + ϕ(η). (2.4)
Очевидно, что если ν ≤ 0, то ϕ(ξ) ≥ 0 для любого вектора ξ ∈ Rn. Если же ν ≥ n, то из
представления
ϕ(ξ) = (n− ν)
n∑
k=1
ξ2k −
∑
k<s≤n
(ξk − ξs)2 (2.5)
следует неравенство ϕ(ξ) ≤ 0. Далее будем предполагать, что 0 ≤ ν ≤ n.
Отметим, что представление (2.5) является следствием тождества Лагранжа(
n∑
k=1
ξ2k
)(
n∑
k=1
η2k
)
−
(
n∑
k=1
ξkηk
)2
≡
∑
k<s≤n
(ξkηs − ξsηk)2
в случае ηs = 1, s = 1, n [3].
Обозначим через p(A) и q(A) количества собственных значений матрицы A с учетом крат-
ностей соответственно с положительными и отрицательными вещественными частями.
Лемма 2.1. Если выполняются условия
trAR > 0, µ(AR) > 0, 0 ≤ ν < n, (2.6)
то p(A) > ν. Если же
trAR < 0, µ(AR) > 0, 0 ≤ ν < n, (2.7)
то q(A) > ν.
Доказательство. Поскольку trAR = ξ1 + . . . + ξn, из неравенства trAR > 0 следует, что
p(A) ≥ 1. Пусть ξk > 0, k = 1, p, и ξk ≤ 0, k = p+ 1, n, где p = p(A) < n. В случае p = n
неравенство p > ν выполняется согласно предположению ν < n.
Если µ(AR) > 0, то с учетом соотношений (2.5), (2.6) и
trAR =
p∑
k=1
ξk +
n∑
k=p+1
ξk > 0,
p∑
k=1
ξk
n∑
k=p+1
ξk ≤ −
n∑
k=p+1
ξk
2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ СПЕКТРА МАТРИЦЫ . . . 1381
получаем
0 < ϕ(ξ) =
(
p∑
k=1
ξk
)2
+
n∑
k=p+1
ξk
2
+ 2
p∑
k=1
ξk
n∑
k=p+1
ξk − ν
n∑
k=1
ξ2k ≤
≤
(
p∑
k=1
ξk
)2
− ν
p∑
k=1
ξ2k −
n∑
k=p+1
ξk
2
− ν
n∑
k=p+1
ξ2k =
= (p− ν)
p∑
k=1
ξ2k −
∑
k<s≤p
(ξk − ξs)2 −
n∑
k=p+1
ξk
2
− ν
n∑
k=p+1
ξ2k.
Отсюда следует необходимость выполнения неравенства p > ν.
Аналогично можно установить, что неравенство q > ν является следствием соотношений
(2.7). Кроме того, можно воспользоваться доказанным утверждением, так как q(A) = p(−A).
Лемма доказана.
Замечание 2.1. Из доказательства леммы 2.1 следует, что нестрогие неравенства p(A) ≥ ν
и q(A) ≥ ν выполняются при 0 < ν ≤ n, если µ(AR) ≥ 0 и соответственно trAR > 0 и
trAR < 0. Если же µ(AR) ≥ 0 при 0 ≤ ν ≤ n, то можно гарантировать, что q(A) ≤ n − ν и
p(A) ≤ n− ν, если соответственно trAR ≥ 0 и trAR ≤ 0.
Замечание 2.2. Если матрица A ∈ Cn×n имеет вещественный спектр или A ∈ Rn×n, то в
(2.4) ϕ(η) ≤ 0. В этом случае лемма 2.1 и замечание 2.1 сохраняют силу, если вместо µ(AR)
использовать функцию µ∗(A).
Если матрица A эрмитова, то ее спектр вещественный и функции µ(A), µ(AR) и µ∗(A)
совпадают. В этом случае имеем следующее утверждение.
Следствие 2.1. Пусть A = A∗ — эрмитова матрица и выполняются условия µ(A) > 0 и
n − 1 ≤ ν < n. Тогда она положительно (отрицательно) определена в том и только в том
случае, когда trA > 0 (trA < 0). Если же µ(A) ≥ 0 и n − 1 ≤ ν ≤ n, то неотрицательная
(неположительная) определенность матрицы A = A∗ эквивалентна неравенству trA ≥ 0
(trA ≤ 0).
3. Локализация и дихотомия спектра матрицы относительно аналитических кривых.
Пусть аналитическая кривая Λ0 разделяет комплексную плоскость C1 на две непустые откры-
тые области Λ+ и Λ−:
Λ0 = {λ : f(λ, λ) = 0}, Λ+ = {λ : f(λ, λ) > 0}, Λ− = {λ : f(λ, λ) < 0},
где f(λ, λ) =
∑r
i,j=1
γijfi(λ)fj(λ) — эрмитова функция, определяемая аналитическими функ-
циями fi(λ) и коэффициентами эрмитовой матрицы Γ = ‖γij‖r1. Например, если
f1(λ) ≡ 1, f2(λ) = λ, Γ =
[
−2α 1
1 0
]
,
то f(λ, λ) = 2(Reλ−α) и Λ0 является вертикальной прямой Reλ = α, разделяющей плоскость
C1 на две полуплоскости Λ±. Если
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1382 А. Г. МАЗКО
f1(λ) ≡ 1, f2(λ) = λ− λ0, Γ =
[
ρ2 0
0 −1
]
,
то f(λ, λ) = ρ2 − |λ− λ0|2 и Λ0 описывает окружность радиуса ρ с центром в точке λ0.
Поставим в соответствие матрице A ∈ Cn×n и функции f линейный оператор в пространст-
ве матриц Cn×n:
M : Cn×n → Cn×n, MX =
r∑
i,j=1
γijfi(A)Xf∗j (A), (3.1)
где fi(A) — аналитические функции от матрицы A. Очевидно, данный оператор сохраняет
подпространство эрмитовых матриц. Критерием обратимости оператора (3.1) является система
неравенств [5]
f(λi, λj) 6= 0, i, j = 1, n,
где σ(A) = {λ1, . . . , λn} — спектр матрицы A. Если оператор (3.1) обратим, то выполняется
условие дихотомии спектра σ(A) относительно кривой Λ0, т. е. σ(A) ∩ Λ0 = ∅.
Используя обобщенные теоремы Ляпунова и Островского – Шнайдера (см., например, [6]),
а также следствие 2.1, получаем следующие утверждения.
Теорема 3.1. Пусть ν ∈ [n−1, n) и для некоторой матрицы X = X∗ совместна система
неравенств
trMX > 0, µ(MX) > 0. (3.2)
Тогда выполняются следующие утверждения:
1) σ(A) ∩ Λ0 = ∅;
2) если X > 0, то σ(A) ⊂ Λ+;
3) если i+(Γ) = 1, то i0(X) = 0;
4) если i+(Γ) = i−(Γ) = 1, то в областях Λ+ и Λ− расположены соответственно i+(X)
и i−(X) собственных значений матрицы A с учетом кратностей.
Замечание 3.1. Если оператор M обратим, то система неравенств (3.2) имеет решение
X = X∗. Например, решение матричного уравнения
MX = Y, (3.3)
где Y = αIn, α > 0, удовлетворяет системе (3.2). Если для любой матрицы Y = Y ∗ > 0 урав-
нение (3.3) имеет решение X = X∗ > 0, то оператор M обладает свойством положительной
обратимости относительно конуса эрмитовых неотрицательно определенных матриц. Если
i+(Γ) = 1, то включение σ(A) ⊂ Λ+ выполняется в том и только в том случае, когда опе-
ратор M положительно обратим [6, с. 165]. В [6] выделен также максимально допустимый
класс эрмитовых функций Fm
0 , содержащий функции f указанной структуры при ограничении
i+(Γ) = 1 и для которого справедлив сформулированный критерий включения σ(A) ⊂ Λ+.
Таким образом, имеем следующий критерий локализации спектра матрицы.
Теорема 3.2. Пусть ν ∈ [n− 1, n) и i+(Γ) = 1. Тогда все собственные значения матрицы
A расположены в области Λ+ в том и только в том случае, когда система неравенств (3.2)
имеет решение X = X∗ > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ СПЕКТРА МАТРИЦЫ . . . 1383
Замечание 3.2. Условия локализации и распределения спектра матрицы A в теоремах 3.1
и 3.2 можно ослабить, используя свойства типа управляемости пары матриц (A, Y ), где Y =
= MX ≥ 0. Например, в утверждении 2 теоремы 3.1 вместо условий (3.2) можно использовать
соотношения
trY > 0, µ(Y ) ≥ 0, trWY > 0, µ(WY ) > 0,
где
Y = MX, WY =
q−1∑
k=0
AkY A∗k,
q = min{m,n − rankY + 1}, m — степень минимального полинома матрицы A, m ≤ n (см.
[6, с. 58]).
4. Условия асимптотической устойчивости линейных систем. Рассмотрим систему
линейных дифференциальных уравнений
Eẋ = Ax, x ∈ Rn, (4.1)
где E и A — матрицы размера n × n. Будем предполагать, что матрица E невырожденная и
ν = n− 1.
Теорема 4.1. Система (4.1) асимптотически устойчива в том и только в том случае,
когда для некоторой симметричной положительно определенной матрицы X = XT > 0 вы-
полняются неравенства
tr(AXET ) < 0, µ(AXET + EXAT ) > 0. (4.2)
Доказательство. Согласно теореме Ляпунова система (4.1) асимптотически устойчива в
том и только в том случае, когда для любой матрицы Y = Y T < 0 существует единственное
решение X = XT > 0 матричного уравнения
AXET + EXAT = Y. (4.3)
Если матрица X = XT > 0 удовлетворяет условиям (4.2), то для матрицы Y вида (4.3)
выполняются условия отрицательной определенности в следствии 2.1 и, следовательно, система
(4.1) асимптотически устойчива. Обратно, если система (4.1) асимптотически устойчива, то
существует матрицаX = XT > 0, удовлетворяющая условиям (4.2). Действительно, множество
симметричных отрицательно определенных матриц Y , удовлетворяющих неравенству µ(Y ) >
> 0, непустое. Например, можно положить Y = αIn, α < 0. При этом
tr (AXET ) = nα/2 < 0,
µ(AXET + EXAT ) = (nα)2 − ν nα2 = nα2 > 0,
где X = XT > 0 — решение уравнения Ляпунова (4.3), т. е. выполняются неравенства (4.2).
Теорема доказана.
Рассмотрим линейную систему управления
Eẋ = Ax+Bu, y = Cx, u = Ky, (4.4)
где x ∈ Rn, u ∈ Rm и y ∈ Rl — векторы соответственно состояния, управления и измеряемого
выхода системы, E,A,B, C иK — постоянные матрицы соответствующих размеров. Замкнутая
система имеет вид
Eẋ = (A+BKC)x. (4.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1384 А. Г. МАЗКО
Теорема 4.2. Пусть для некоторых матриц K0 и X = XT > 0 выполняются условия
tr(A0XE
T ) < 0, µ(A0XE
T + EXAT
0 ) > 0, (4.6)
где A0 = A + BK0C. Тогда для любой матрицы коэффициентов усиления обратной связи
K = K0 + K̃ такой, что
tr(BK̃CXET ) ≤ 0, µ(BK̃CXET + EXCT K̃TBT ) ≥ 0, (4.7)
замкнутая система (4.5) асимптотически устойчива. При этом v(x) = xTX−1x является
общей функцией Ляпунова системы для данного множества стабилизирующих управлений.
Доказательство. Замкнутая система (4.5) при K = K0 + K̃ асимптотически устойчива,
если для некоторой матрицы X = XT > 0 выполняется матричное неравенство Y0 +Y1 = Y <
< 0, где
Y0 = A0XE
T + EXAT
0 , Y1 = BK̃CXET + EXCT K̃TBT ,
обеспечивающее отрицательную определенность производной функции Ляпунова v(x) =
= xTX−1x в силу данной системы.
Покажем, что неравенство µ(Y0 + Y1) > 0 является следствием соотношений
tr Y0 tr Y1 ≥ 0, µ(Y0) > 0, µ(Y1) ≥ 0.
Действительно,
[tr(Y0 + Y1)]
2 = (trY0 + trY1)
2 = (trY0)
2 + (trY1)
2 + 2trY0 trY1 >
> ν trY 2
0 + ν trY 2
1 + 2ν
√
trY 2
0 trY 2
1 ≥
≥ ν [trY 2
0 + trY 2
1 + 2|tr(Y0Y1)|] ≥
≥ ν tr(Y0 + Y1)
2,
т. е. µ(Y0 + Y1) > 0. Здесь использовано также неравенство Коши – Буняковского для симмет-
ричных матриц [3]
|tr (Y0Y1)|2 ≤ tr Y 2
0 trY 2
1 .
Следовательно, согласно теореме 4.1 условия (4.6) и (4.7) обеспечивают асимптотическую
устойчивость замкнутой системы (4.5).
Теорема доказана.
Пример 4.1. Рассмотрим нелинейную систему управления, описывающую динамику ма-
ятника с маховиком [7],
Eẋ = A(x)x+B u, y = Cx, u = Ky, (4.8)
где
x =
ψ
ψ̇
ω
, B =
0
0
c1χ
, E =
1 0 0
0 Jχ Jr + Jmχ
0 Jrχ+ Jmχ
2 Jr + Jmχ
2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ СПЕКТРА МАТРИЦЫ . . . 1385
A(x) =
0 1 0
(m0b+m1h) gχϕ(ψ) 0 0
0 0 −c2
, ϕ(ψ) =
sinψ
ψ
, C = I3.
Здесь J = Jv + Jr + Jm + m1h
2 — полный момент инерции системы, а ϕ(ψ) — непрерывная
функция. В данном случае измеряемым выходом системы является ее вектор состояния.
Возьмем следующие значения механических параметров маятника и характеристик двига-
теля маховика:
m0 = 1 кг, m1 = 3 кг, b = 0, 1 м, h = 0, 13 м,
Jv = 0, 0392 кг · м2, Jm = 0, 03 кг · м2, Jr = 0, 0001 кг · м2,
χ = 0, 1, c1 = 0, 08 Н · м/В, c2 = 0, 0076 Н · м · с.
В окрестности нулевого состояния равновесия маятника функция ϕ(ψ) ≈ 1, а линейное
приближение замкнутой системы (4.8) имеет вид (4.5), где A = A(0) и detE 6= 0.
Используя систему MATHCAD, находим матрицы
K0 = [14, 1388 1, 856 1, 0375],
X =
1, 614 −0, 048 −30, 7606
−0, 048 49, 5901 −441, 8941
−30, 7606 −441, 8941 6082, 4
> 0,
удовлетворяющие условиям (4.6):
tr(A0XE
T ) = −0, 0963 < 0, µ(A0XE
T + EXAT
0 ) = 0, 0002 > 0,
где A0 = A(0) +BK0. При этом
σ(F ) = {−5, 0585;−2, 3712± 3, 4193i},
где F (λ) = A0 − λE — пучок матриц, является спектром системы (4.5).
Таким образом, в силу теоремы 4.1 и теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному
приближению состояние x ≡ 0 нелинейной системы (4.8) с управлением u = K0x асимптоти-
чески устойчиво. При этом v(x) = xTX−1x является функцией Ляпунова данной системы.
Отметим, что для системы (4.1) при условии регулярности det(A − λE) 6≡ 0 можно сфор-
мулировать достаточные условия асимптотической устойчивости в терминах функций следа
некоторых матриц, использовав следствие 2.1 и систему линейных матричных неравенств
AXET + EXAT + EY ET ≤ 0, EXET ≥ 0. (4.9)
При этом матрица E может быть вырожденной. Если существуют матрицы X = XT и Y =
= Y T > 0, удовлетворяющие соотношениям (4.9), то система (4.1) асимптотически устойчива.
Критерием асимптотической устойчивости данной системы является разрешимость системы
неравенств (4.9) в виде [6]
X = ZX̂ZT , Y = ZŶ ZT , Ŷ > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1386 А. Г. МАЗКО
где Z — решение максимального ранга алгебраической системы
AZE = EZA, Z = ZEZ.
Данные утверждения устанавливаются с помощью канонической формы Кронекера регулярно-
го пучка матриц A− λE [4].
1. Liao X., Wang L., Yu P. Stability of dynamical systems // Monograph Series on Nonlinear Sience and Complexity /
Eds A. C. J. Luo and G. Zaslavsky. – Amsterdam et al.: Elsevier, 2007. – Vol. 5. – 706 p.
2. Leonov G. A., Shumafov M. M. Stabilization of linear systems // Stability, Oscillations and Optimization of Systems. –
Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2011. – Vol. 5. – 430 p.
3. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. – 320 с.
4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.– 552 с.
5. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – М.: Наука, 1970. – 534 с.
6. Мазко А. Г. Локализация спектра и устойчивость динамических систем // Пр. Iн-ту математики НАН України. –
1999. – 28. – 216 с.
7. Андриевский Б. Р. Глобальная стабилизация неустойчивого маятника с маховичным управлением // Управление
большими системами. – 2009. – Вып. 24. – С. 258 – 280.
Получено 28.11.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
|