Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166239 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения / В.А. Кофанов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 969–984. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166239 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662392020-02-19T01:27:30Z Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения Кофанов, В.А. Статті 2011 Article Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения / В.А. Кофанов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 969–984. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166239 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кофанов, В.А. Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Кофанов, В.А. |
| author_facet |
Кофанов, В.А. |
| author_sort |
Кофанов, В.А. |
| title |
Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения |
| title_short |
Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения |
| title_full |
Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения |
| title_fullStr |
Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения |
| title_full_unstemmed |
Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения |
| title_sort |
точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166239 |
| citation_txt |
Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения / В.А. Кофанов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 969–984. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kofanovva točnyeverhniegraninormfunkcijiihproizvodnyhnaklassahfunkcijszadannojfunkciejsravneniâ |
| first_indexed |
2025-07-14T21:03:20Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:03:20Z |
| _version_ |
1837657752406589440 |
| fulltext |
УДК 517.5
В. А. Кофанов (Днепропетр. нац. ун-т)
ТОЧНЫЕ ВЕРХНИЕ ГРАНИ НОРМ ФУНКЦИЙ
И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
С ЗАДАННОЙ ФУНКЦИЕЙ СРАВНЕНИЯ
For arbitrary [α, β] ⊂ R and p > 0, we solve the extremal problem
β∫
α
|x(k)(t)|qdt→ sup, q ≥ p, k = 0 or q ≥ 1, k ≥ 1,
on the set of functions Skϕ such that ϕ(i) is the comparison function for x(i), i = 0, 1, . . . , k, and (in the
case k = 0 ) L(x)p ≤ L(ϕ)p, where
L(x)p := sup
b∫
a
|x(t)|pdt
1/p
: a, b ∈ R, |x(t)| > 0, t ∈ (a, b)
.
In particular, we solve this extremal problem for Sobolev classes and for bounded sets of the spaces of
trigonometric polynomials and splines.
Для довiльних [α, β] ⊂ R i p > 0 розв’язанo екстремальну задачу
β∫
α
|x(k)(t)|qdt→ sup, q ≥ p, k = 0 або q ≥ 1, k ≥ 1,
на множинi функцiй Skϕ таких, що ϕ(i) — функцiя порiвняння для x(i), i = 0, 1, . . . , k, i (у випадку
k = 0 ) L(x)p ≤ L(ϕ)p , де
L(x)p := sup
b∫
a
|x(t)|pdt
1/p
: a, b ∈ R, |x(t)| > 0, t ∈ (a, b)
.
Як наслiдок, вказану задачу розв’язано на соболєвських класах та на обмежених пiдмножинах просторiв
тригонометричних полiномiв i сплайнiв.
1. Введение. Пусть G = R или G = [α, β]. Будем рассматривать пространства
Lp(G), 0 < p ≤ ∞, всех измеримых функций x : G→ R, для которых ‖x‖Lp(G) <
<∞, где
‖x‖Lp(G) :=
(∫
G
|x (t)|p dt
)1/p
, 0 < p <∞,
vrai sup
t∈G
|x (t)| , p =∞.
Для r ∈ N и p, s ∈ (0,∞] через Lrp,s обозначим пространство всех функций
x ∈ Lp(R), имеющих локально абсолютно непрерывные производные до (r − 1) -
го порядка, причем x(r) ∈ Ls(R). Будем писать ‖x‖p вместо ‖x‖Lp(R) и Lr∞
вместо Lr∞,∞.
Будем говорить, что f ∈ L1
∞ является функцией сравнения для x ∈ L1
∞,
если ‖x‖∞ ≤ ‖f‖∞ и из равенства x(ξ) = f(η), ξ, η ∈ R, следует неравенство
|x′(ξ)| ≤ |f ′(η)|, если указанные производные существуют.
Нечетную 2ω -периодическую функцию ϕ ∈ L1
∞ назовем S -функцией, если
она обладает свойствами: ϕ – четная относительно ω/2, |ϕ| — выпуклая вверх на
c© В. А. КОФАНОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7 969
970 В. А. КОФАНОВ
[0, ω] и строго монотонная на [0, ω/2]. Для k = 0, 1, 2, . . . и S -функции ϕ ∈ Lk+1
∞
через Skϕ обозначим класс функций x ∈ Lk+1
∞ таких, что ϕ(i) является функцией
сравнения для x(i), i = 0, 1, . . . , k. Примерами классов Skϕ являются соболевские
классы
{x ∈ Lr∞ : ‖x(r)‖∞ ≤ Ar, ‖x‖∞ ≤ A0},
а также ограниченные подмножества пространства Tn (тригонометрических полино-
мов порядка не выше n ) и пространства Sn,r (сплайнов порядка r дефекта 1 с
узлами в точках kπ/n, k ∈ Z ).
В настоящей работе решены некоторые модификации известной экстремальной
задачи
‖x(k)‖q → sup, 0 ≤ k ≤ r − 1, q ≥ 1, (1)
на классе функций x ∈ Lrp,s, удовлетворяющих ограничениям
‖x(r)‖s ≤ Ar, ‖x‖p ≤ A0.
Эта задача эквивалентна (см., например, [1, с. 47]) нахождению точной константы
C в неравенстве типа Колмогорова – Надя
‖x(k)‖q ≤ C ‖x‖αp
∥∥∥x(r)
∥∥∥1−α
s
, 0 ≤ k ≤ r − 1, (2)
на классе функций x ∈ Lrp,s, где α = (r − k + 1/q − 1/s)/(r + 1/p− 1/s).
Несмотря на большое количество работ, относящихся к данной тематике, точ-
ная константа в неравенстве (2) для всех r известна лишь в нескольких случаях.
Подробную библиографию можно найти в [1 – 3].
Для произвольного отрезка [α, β] ⊂ R Б. Бояновым и Н. Найденовым [4]
решена следующая задача:
β∫
α
Φ(|x(k)(t)|)dt→ sup, k = 1, 2, . . . ,
на классе Skϕ, где Φ — непрерывно дифференцируемая положительная функция на
(0,∞) такая, что Φ(t)/t не убывает и Φ(0) = 0.
Через W обозначим класс непрерывных, неотрицательных и выпуклых функ-
ций Φ на [0,∞) таких, что Φ(0) = 0. Для p > 0 положим [5]
L(x)p := sup
{
‖x‖Lp[a,b] : a, b ∈ R, |x(t)| > 0, t ∈ (a, b)
}
.
В настоящей работе для произвольного отрезка [α, β] ⊂ R решена экстремаль-
ная задача
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt→ sup, Φ ∈W, p > 0, (3)
на классе функций S0
ϕ, удовлетворяющих условию L(x)p ≤ L(ϕ)p. В качестве
следствия получено решение задачи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ТОЧНЫЕ ВЕРХНИЕ ГРАНИ НОРМ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ . . . 971
β∫
α
Φ(|x(k)(t)|)dt→ sup, Φ ∈W, k = 1, 2, . . . , (4)
на классах Skϕ. В частности, решены задачи (3) и (4) на классах
Ωrp := {x ∈ Lr∞ : ‖x(r)‖∞ ≤ Ar, L(x)p ≤ A0}
и на ограниченных подмножествах пространств Tn и Sn,r. Отметим, что решение
задач (3) и (4) на классах Ωrp было получено ранее в [6].
2. Вспомогательные утверждения. Заметим, что если функция x ∈ S0
ϕ удовлет-
воряет условию L(x)p <∞ для некоторого p > 0 и |x(t)| > 0, t ∈ (a, b), причем
a = −∞ или b = +∞, то x(t) → 0 при t → −∞ или t → +∞. В этом случае
будем полагать x(−∞) = 0 и x(+∞) = 0.
Символом r(x, t), t > 0, обозначим перестановку (см., например, [7], §1.3)
функции |x|, x ∈ L1[a, b]. При этом условимся, что r(x, t) = 0 для t ≥ b− a.
Лемма 1. Пусть ϕ — S -функция с периодом 2ω, p > 0, Φ ∈ W, а функция
x ∈ S0
ϕ и интервал (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞, таковы, что
L(x)p ≤ L(ϕ)p,
x(a) = x(b) = 0, |x(t)| > 0, t ∈ (a, b).
Тогда для любого измеримого множества E ⊂ (a, b), µE ≤ ω, выполнены нера-
венства
b∫
a
Φ(|x(t)|p)dt ≤
ω∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt (5)
и ∫
E
Φ(|x(t)|p)dt ≤
m+Θ∫
m−Θ
Φ(|ϕ(t)|p)dt, Θ =
µE
2
, (6)
где m — точка локального экстремума функции ϕ.
Кроме того, если −∞ < a < b <∞, то
1
b− a
b∫
a
Φ(|x(t)|p)dt ≤ 1
ω
ω∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt. (7)
Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию x ∈ S0
ϕ и интервал
(a, b), удовлетворяющие условиям леммы 1. В силу определения класса S0
ϕ
‖x‖∞ ≤ ‖ϕ‖∞. (8)
Докажем неравенство (5). Обозначим через x сужение функции x на [a, b], а
через ϕ сужение функции ϕ на [0, ω]. В силу теоремы Харди – Литтлвуда – Полиа
(см., например, [7], утверждение 1.3.11) для доказательства (5) достаточно показать,
что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
972 В. А. КОФАНОВ
ξ∫
0
r(|x|p, t)dt ≤
ξ∫
0
r(|ϕ|p, t)dt, ξ > 0. (9)
В силу (8) и условия x(a) = x(b) = 0 леммы 1 для любого z ∈ (0, ‖x‖L∞[a,b])
существуют точки ti ∈ (a, b), i = 1, . . . ,m, m ≥ 2, и две точки yj ∈ (c, c+ π/λ),
j = 1, 2, такие, что
z = |x(ti)| = |ϕ(yj)|. (10)
Поскольку ϕ является функцией сравнения для x, то
|x′(ti)| ≤ |ϕ′(yj)|.
Поэтому если точки θ1 и θ2 выбраны так, что
z = r(x, θ1) = r(ϕ, θ2),
то согласно теореме о производной перестановки (см., например, [7], предложе-
ние 1.3.2)
|r′(x, θ1)| =
[
m∑
i=1
|x′(ti)|−1
]−1
≤
2∑
j=1
|ϕ′(yj)|−1
−1
= |r′(ϕ, θ2)|.
Отсюда следует, что разность ∆(t) := r(x, t) − r(ϕ, t) меняет знак на [0,∞) не
более одного раза (с – на +). То же самое верно и для разности ∆p(t) := rp(x, t)−
− rp(ϕ, t). Рассмотрим интеграл
I(ξ) :=
ξ∫
0
∆p(t)dt.
Ясно, что I(0) = 0. Поскольку по условию леммы L(x)p ≤ L(ϕ)p, то для доста-
точно больших ξ
I(ξ) = L(x)pp − L(ϕ)pp ≤ 0.
Кроме того, производная I ′(t) = ∆p(t) меняет знак на [0,∞) не более одного раза
(с – на +). Следовательно, I(ξ) ≤ 0 для всех ξ ≥ 0. Таким образом, неравенства
(9) и (5) доказаны.
Докажем теперь (6). Для этого заметим, что доказательство (5) было основано на
том, что ϕ является функцией сравнения для функции x. Аналогичными рассужде-
ниями, используя (5) вместо условия L(x)p ≤ L(ϕ)p, можно доказать неравенство
ξ∫
0
r(Φ(|x|p, t))dt ≤
ξ∫
0
r(Φ(|ϕ|p, t))dt, ξ > 0.
Отсюда следует оценка
∫
E
Φ(|x(t)|p)dt ≤
µE∫
0
r(Φ(|x|p, t))dt ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ТОЧНЫЕ ВЕРХНИЕ ГРАНИ НОРМ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ . . . 973
≤
µE∫
0
r(Φ(|ϕ|p, t))dt =
m+Θ∫
m−Θ
Φ(|ϕ(t)|p)dt,
что и доказывает (6).
Осталось доказать (7). Пусть −∞ < a < b <∞. Выберем d ∈ (a, b) так, что
d∫
a
Φ(|x(t)|p)dt =
b∫
d
Φ(|x(t)|p)dt := I.
Тогда в силу (5) существует y ∈ [0, ω/2], для которого
I =
y∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt.
Поскольку ϕ является функцией сравнения для x, то d − a ≥ y, b − d ≥ y.
Следовательно,
b∫
a
Φ(|x(t)|p)dt =
d∫
a
Φ(|x(t)|p)dt+
b∫
d
Φ(|x(t)|p)dt ≤
≤ d− a
y
y∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt+
b− d
y
y∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt =
= (b− a)
1
y
y∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt.
Нетрудно видеть, что функция
1
y
y∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt
не убывает на [0, ω/2]. Поэтому
b∫
a
Φ(|x(t)|p)dt ≤ (b− a)
2
ω
ω/2∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt = (b− a)
1
ω
ω∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt,
что эквивалентно (7).
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть ϕ — S -функция с периодом 2ω, r ∈ N, p > 0, Φ ∈ W.
Предположим, что функция x ∈ S0
ϕ имеет нули и удовлетворяет условию
L(x)p ≤ L(ϕ)p.
Если t0 — нуль функции x, то для любого ξ ∈ (0, ω]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
974 В. А. КОФАНОВ
t0+ξ∫
t0
Φ(|x(t)|p)dt ≤
ξ∫
0
Φ(ϕ(t)|p)dt (11)
и
t0∫
t0−ξ
Φ(|x(t)|p)dt ≤
0∫
−ξ
Φ(|ϕ(t)|p)dt.
Доказательство. Переходя к сдвигу x(·+ τ), если нужно, можно считать, что
t0 = 0 (напомним, что ϕ(0) = 0).
Докажем (11). Второе неравенство леммы 2 доказывается аналогично. Посколь-
ку ϕ является функцией сравнения для функции x и t0 = 0, то |x(t)| ≤ |ϕ(t)|,
t ∈ (0, ω/2). Если последнее неравенство выполнено для всех t ∈ (0, ξ), то (11)
очевидно. Поэтому можно предположить, что разность ∆(t) := |x(t)| − |ϕ(t)| ме-
няет знак на (0, ξ). При этом она имеет не более одной перемены знака (с – на +) на
(0, ω), так как ϕ является функцией сравнения для x. Ясно, что то же самое спра-
ведливо для разности ∆Φ(t) := Φ(|x(t)|p)− Φ(|ϕ(t)|p). Пусть точка d ∈ (0, ξ) та-
кова, что ∆(t) ≤ 0, t ∈ (0, d), и ∆(t) ≥ 0, t ∈ (d, ω). Тогда ∆Φ(t) ≤ 0, t ∈ (0, d),
и ∆Φ(t) ≥ 0, t ∈ (d, ω).
Рассмотрим два случая: 1) |x(t)| > 0, t ∈ (0, ξ), 2) x(t) имеет нуль на (0, ξ).
Положим IΦ(t) :=
∫ t
0
∆Φ(u)du. Докажем неравенство IΦ(t) ≤ 0, t ∈ (0, ω),
которое эквивалентно (11).
Сначала предположим, что |x(t)| > 0, t ∈ (0, ξ). Согласно предположению
d < ξ. Поэтому |x(t)| ≥ |ϕ(t)| > 0, t ∈ (d, ω), и, следовательно, |x(t)| > 0,
t ∈ (0, ω). Но тогда согласно неравенству (5) IΦ(ω) ≤ 0. Кроме того, IΦ(0) = 0 и
производная I ′Φ(t) = ∆Φ(t) меняет знак на (0, ω) не более одного раза (с – на +).
Таким образом, IΦ(t) ≤ 0, t ∈ (0, ω).
Предположим теперь, что x(t) имеет нуль на (0, ξ). Положим c := sup{t ∈
∈ (0, ω) : x(t) = 0}. Ясно, что x(c) = 0 и |x(t)| ≤ |ϕ(t)|, t ∈ (0, c). Следовательно,
γ∫
0
Φ(|x(t)|p)dt ≤
γ∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt, γ ∈ [0, c]. (12)
Если ξ ≤ c, то (11) следует из (12). Пусть теперь c < ξ. Тогда |x(t)| > 0, t ∈ (c, ω).
В этом случае (11) уже доказано. Поэтому, полагая t0 := c и применяя (11) с ξ− c
вместо ξ, получаем
ξ∫
c
Φ(|x(t)|p)dt ≤
ξ−c∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt ≤
ξ∫
c
Φ(|ϕ(t)|p)dt. (13)
Последнее неравенство следует из очевидного соотношения
inf
a∈(0,ω−δ)
a+δ∫
a
Φ(|ϕ(t)|p)dt =
δ∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt, δ ≤ ω.
Складывая (13) и (12) с γ = c, получаем (11).
Лемма 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ТОЧНЫЕ ВЕРХНИЕ ГРАНИ НОРМ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ . . . 975
Лемма 3. Пусть ϕ — S -функция с периодом 2ω, p > 0, Φ ∈ W. Если
функция x ∈ S0
ϕ удовлетворяет условию L(x)p ≤ L(ϕ)p, то для любого отрезка
[a, b] ⊂ R, b− a ≤ ω, выполнено неравенство
b∫
a
Φ(|x(t)|p)dt ≤
m+Θ∫
m−Θ
Φ(|ϕ(t)|p)dt, Θ =
b− a
2
, (14)
где m — точка локального максимума сплайна ϕλ,r. В частности,
b∫
a
Φ(|x(t)|p)dt ≤
ω∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt.
Доказательство. Если |x(t)| > 0 для t ∈ (a, b), то (14) следует из неравенства
(6). Поэтому предположим, что x(t) имеет нуль t0 ∈ (a, b). Тогда согласно лемме 2
t0∫
a
Φ(|x(t)|p)dt ≤
0∫
a−t0
Φ(|ϕ(t)|p)dt
и
b∫
t0
Φ(|x(t)|p)dt ≤
b−t0∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt,
Складывая последние два неравенства, получаем (14), так как
sup
µE=δ
∫
E
Φ(|ϕ(t)|p)dt =
m+δ/2∫
m−δ/2
Φ(|ϕ(t)|p)dt, δ ≤ ω.
Лемма 3 доказана.
3. Основные результаты. Пусть ϕ — S -функция с периодом 2ω. Зафиксируем
произвольный отрезок [α, β] ⊂ R и p > 0. Воспользуемся конструкцией экстре-
мальной функции в задаче Б. Боянова и Н. Найденова [4]. Для этого представим
длину отрезка [α, β] в виде
β − α = nω + 2Θ, Θ ∈ (0, ω), (15)
где n ∈ N или n = 0, и рассмотрим функцию ϕ(t+ τ), где τ выбрано так, что
|ϕ(α+ Θ + τ)| = |ϕ(β −Θ + τ)| = ‖ϕ‖∞. (16)
Ясно, что ϕ(·+ τ) ∈ S0
ϕ.
Теорема 1. Пусть ϕ — S -функция, [α, β] ⊂ R, p > 0, Φ ∈W. Тогда
sup
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt : x ∈ S0
ϕ, L(x)p ≤ L(ϕ)p
=
β∫
α
Φ(|ϕ(t+ τ)|p)dt,
где τ выбрано из условия (16). В частности, для любого q ≥ p
sup
β∫
α
|x(t)|qdt : x ∈ S0
ϕ, L(x)p ≤ L(ϕ)p
=
β∫
α
|ϕ(t+ τ)|qdt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
976 В. А. КОФАНОВ
Доказательство. Зафиксируем функцию x ∈ S0
ϕ такую, что L(x)p ≤ L(ϕ)p.
Пусть 2ω — период функции ϕ, ak := α+ kω, k = 0, 1, . . . , n. По лемме 3
ak+1∫
ak
Φ(|x(t)|p)dt ≤
ω∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt, k = 0, 1, . . . , n− 1,
и
β∫
an
Φ(|x(t)|p)dt ≤
m+Θ∫
m−Θ
Φ(|ϕ(t)|p)dt,
где m — точка локального максимума сплайна ϕ, а Θ определено в (15). Таким
образом,
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt ≤ n
ω∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt+
m+Θ∫
m−Θ
Φ(|ϕ(t)|p)dt =
=
β∫
α
Φ(|ϕ(t+ τ)|p)dt.
Равенство здесь достигается для x(t) = ϕ(t+ τ). Отсюда следует первое утверж-
дение теоремы. Второе следует из первого, если положить Φ(t) = tq/p.
Теорема доказана.
Пусть k ∈ N и ϕ ∈ Lk+1
∞ . Для [α, β] ⊂ R рассмотрим функцию ϕ(·+ τ + τk),
где
τk :=
ω
4
(
1 + (−1)k+1
)
, (17)
а τ определено равенством (16). Ясно, что ϕ(·+ τ + τk) ∈ Skϕ и
ϕ(k)(α+ θ + τ + τk) = ϕ(k)(β − θ + τ + τk) = ‖ϕ(k)‖∞.
Теорема 2. Пусть k ∈ N, ϕ ∈ Lk+1
∞ — S -функция, [α, β] ⊂ R, Φ ∈ W.
Тогда
sup
β∫
α
Φ(|x(k)(t)|)dt : x ∈ Skϕ
=
β∫
α
Φ(|ϕ(k)(t+ τ + τk)|)dt,
где τ выбрано из условия (16). В частности, для любого q ≥ 1
sup
β∫
α
|x(k)(t)|qdt : x ∈ Skϕ
=
β∫
α
|ϕ(k)(t+ τ + τk)|qdt.
Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию x ∈ Skϕ. Поскольку
ϕ(i) является функцией сравнения для x(i), i = 0, 1, . . . , k, то
L(x(k))1 ≤ 2‖x(k−1)‖∞ ≤ 2‖ϕ(k−1)‖∞ = L(ϕ(k))1. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ТОЧНЫЕ ВЕРХНИЕ ГРАНИ НОРМ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ . . . 977
Поэтому, применяя теорему 1 с p = 1 к функции x(k) ∈ S0
ϕ(k) , получаем
β∫
α
Φ(|x(k)(t)|)dt ≤
β∫
α
Φ(|ϕ(k)(t+ τ + τk)|)dt.
Равенство здесь достигается для функции x = ϕ(t+ τ + τk). Первое утверждение
теоремы доказано. Второе непосредственно следует из первого.
Теорема доказана.
Замечание 1. Теорема 2 была доказана ранее Б. Бояновым и Н. Найдено-
вым [4].
Для функций, имеющих нули, справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть ϕ — S -функция с периодом 2ω, p > 0, Φ ∈ W. Тогда
если функция x ∈ S0
ϕ и отрезок [α, β] ⊂ R таковы, что L(x)p < L(ϕ)p и
x(α) = x(β) = 0, то
1
β − α
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt ≤ 1
ω
ω∫
0
Φ (|ϕ(t)|p ) dt.
В частности, для любого q ≥ p
1
β − α
β∫
α
|x(t)|qdt ≤ 1
ω
ω∫
0
|ϕ(t)|q dt.
Кроме того, если k ∈ N, ϕ ∈ Lk+1
∞ , а функция x ∈ Skϕ и отрезок [a, b] ⊂ R
удовлетворяют условиям x(k)(a) = x(k)(b) = 0, то
1
b− a
b∫
a
Φ(|x(k)(t)|p)dt ≤ 1
ω
ω∫
0
Φ
(∣∣∣ϕ(k)(t)
∣∣∣p ) dt.
В частности, для любого q ≥ 1
1
b− a
b∫
a
|x(k)(t)|qdt ≤ 1
ω
ω∫
0
∣∣∣ϕ(k)(t)
∣∣∣q dt.
Доказательство. Зафиксируем произвольный отрезок [α, β] ⊂ R и функцию
x ∈ S0
ϕ, удовлетворяющие условиям теоремы. Рассмотрим множество всех отрез-
ков [aj , bj ] ⊂ [α, β] таких, что
x(aj) = x(bj) = 0, |x(t)| > 0, t ∈ (aj , bj).
Ясно, что
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt =
∑
j
bj∫
aj
Φ(|x(t)|p)dt
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
978 В. А. КОФАНОВ∑
j
(bj − aj) ≤ β − α.
Заметим, что функция x на каждом из отрезков [aj , bj ] удовлетворяет условиям
леммы 1. Поэтому, оценивая интегралы
∫ bj
aj
Φ(|x(t)|p)dt с помощью неравенства
(7), получаем
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt ≤
∑
j
(bj − aj)
1
ω
ω∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt ≤
≤ (β − α)
1
ω
ω∫
0
Φ(|ϕ(t)|p)dt.
Отсюда следует первое утверждение теоремы.
Для доказательства второго утверждения зафиксируем произвольные отрезок
[a, b] ⊂ R и функцию x ∈ Skϕ, удовлетворяющие условиям второй части теоремы.
Поскольку ϕ(i) является функцией сравнения для x(i), i = 0, 1, . . . , k, то выпол-
нены соотношения (18). Поэтому для функции x(k) ∈ S0
ϕ(k) выполнены условия
теоремы 3 с p = 1. Применяя к x(k) первое утверждение этой теоремы, получаем
второе утверждение.
4. Решение экстремальных задач на соболевских классах. Символом ϕr(t),
r ∈ N, обозначим сдвиг r -го 2π -периодического интеграла с нулевым средним
значением на периоде от функции ϕ0 (t) = sgn sin t, удовлетворяющий условию
ϕ(0) = 0. Для λ > 0 положим ϕλ,r (t) := λ−rϕr (λt) . Пусть Ar, A0, p > 0.
Выберем λ > 0 так, чтобы
A0 = ArL(ϕλ,r)p, (19)
и положим
ϕ(t) := Arϕλ,r(t). (20)
Ясно, что ϕ является S -функцией с периодом 2ω = 2π/λ. В силу (19) и (20)
‖ϕ(r)‖∞ = Ar, L(ϕ)p = A0.
Рассмотрим класс функций
Ωrp := {x ∈ Lr∞ : ‖x(r)‖∞ ≤ Ar, L(x)p ≤ A0}.
Лемма 4. Пусть r ∈ N, A0, Ar, p > 0. Тогда для любого k = 0, 1, . . . , r− 1
Ωrp ⊂ Skϕ,
где функция ϕ определена равенством (20), а число λ — равенством (19).
Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию x ∈ Ωrp. Докажем сна-
чала неравенство
‖x‖∞ ≤ Ar‖ϕλ,r‖∞. (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ТОЧНЫЕ ВЕРХНИЕ ГРАНИ НОРМ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ . . . 979
Предположим, что (21) не выполнено. Тогда существует ω < λ такое, что
‖x‖∞ = Ar‖ϕω,r‖∞. (22)
Пусть t0 ∈ R удовлетворяет условию
‖ϕω,r‖∞ = ϕω,r(t0) (23)
и c — наибольший нуль сплайна ϕω,r в промежутке (−∞, t0). Зафиксируем про-
извольное ε > 0. Найдется точка tε ∈ (c, t0), для которой ϕω,r(tε) = ‖ϕω,r‖∞− ε.
Положим δ := t0 − tε. Ясно, что δ → 0 при ε→ 0. Для достаточно малого ε > 0
определим функцию ψε(t) на [c, c+ π/ω] следующим образом:
ψε(t) :=
ϕω,r(t− δ), t ∈ [c+ δ, t0],
ϕω,r(t+ δ), t ∈ [t0, c+ π/ω − δ],
0, t ∈ [c, c+ δ] ∪ [c+ π/ω − δ, c+ π/ω].
Очевидно, что ψε(t0) = ‖ϕω,r‖∞ − ε и ψε(t) → ϕω,r(t), t ∈ [c, c + π/ω], при
ε→ 0. Из (22) и (23) следует существование такого сдвига xε(t) := x(t+ τε), что
x′ε(t0) = 0 и
|xε(t0)| ≥ Ar (‖ϕω,r‖∞ − ε) = Arψε(t0). (24)
Согласно определению класса Ωrp выполнено неравенство ‖x(r)‖∞ ≤ Ar. Сле-
довательно, в силу (22) функция x удовлетворяет условиям теоремы сравнения
Колмогорова [8]. По этой теореме из (24) следует неравенство
|xε(t)| ≥ Arψε(t), t ∈ [c+ δ, c+ π/ω − δ].
Поэтому
L(x)p = L(xε)p ≥ Ar‖ψε‖Lp[c+δ, c+π/ω−δ].
Устремляя ε к нулю и учитывая (19), получаем
L(x)p ≥ ArL(ϕω,r)p > ArL(ϕλ,r)p = A0.
Но x ∈ Ωrp и, следовательно, L(x)p ≤ A0. Полученное противоречие доказывает
неравенство (21). Это неравенство вместе с неравенством ‖x(r)‖∞ ≤ Ar обеспечи-
вают выполнение условий теоремы сравнения Колмогорова. В силу этой теоремы
сплайн ϕ(t) := Arϕλ,r(t) является функцией сравнения для функции x, а про-
изводная ϕ(i) — функцией сравнения для x(i), i = 1, . . . , r − 1, т. е. x ∈ Skϕ,
k = 0, . . . , r − 1.
Лемма доказана.
Из теорем 1, 2 и леммы 4 вытекает следующее утверждение.
Теорема 4 [6]. Пусть k, r ∈ N, k < r, A0, Ar, p > 0, Φ ∈ W, [α, β] ⊂ R.
Тогда
sup
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt : x ∈ Ωrp
=
β∫
α
Φ(|Arϕλ,r(t+ τ)|p)dt
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
980 В. А. КОФАНОВ
и
sup
β∫
α
Φ(|x(k)(t)|)dt : x ∈ Ωrp
=
β∫
α
Φ(|ϕλ,r−k(t+ τ + τk)|)dt,
где λ, τ и τk определены равенствами (19), (16) и (17) соответственно.
Полагая Φ(t) = tq/p, q ≥ p, в первом соотношении теоремы и Φ(t) = tq,
q ≥ 1, во втором, получаем точные оценки норм ‖x(k)‖Lq [α,β], k = 0, 1, . . . , r − 1,
на классах Ωrp.
Для функций, имеющих нули, справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть r ∈ N, p > 0, Φ ∈ W. Если функция x ∈ Lr∞ и отрезок
[α, β] ⊂ R таковы, что L(x)p <∞ и x(α) = x(β) = 0, то
1
β − α
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt ≤ 1
π
π∫
0
Φ
( ∣∣∣∣∣
(
L(x)p
L(ϕr)p
) r
r+1/p ∥∥∥x(r)
∥∥∥ 1/p
r+1/p
∞
ϕr(t)
∣∣∣∣∣
p )
dt.
Кроме того, если k = 1, 2, . . . , r − 1, а функция x ∈ Lr∞ и отрезок [a, b] ⊂ R
удовлетворяют условию x(k)(a) = x(k)(b) = 0, то
1
β − α
β∫
α
Φ(|x(k)(t)|)dt ≤
≤ 1
π
π∫
0
Φ
( (
L(x)p
L(ϕr)p
) r−k
r+1/p ∥∥∥x(r)
∥∥∥ k+1/p
r+1/p
∞
|ϕr−k(t)|
)
dt.
Доказательство. Пусть функция x ∈ Lr∞ и отрезок [α, β] ⊂ R таковы, что
A0 := L(x)p < ∞, x(α) = x(β) = 0. Положим Ar :=
∥∥x(r)
∥∥
∞ и выберем λ > 0
из условия (19), т. е.
λ−1 =
(
L(x)p
ArL(ϕr)p
) 1
r+1/p
.
Тогда x ∈ Ωrp. В силу леммы 4 x ∈ Skϕ, k = 0, 1, . . . , r−1, где 2π/λ-периодическая
S -функция ϕ определена равенством (20), т. е. ϕ(t) := Arϕλ,r(t).
Докажем первое неравенство теоремы 5. В силу первого неравенства теоремы 3,
с учетом выбора λ и равенства ϕλ,r(t) = λ−rϕr(λt), имеем
1
β − α
β∫
α
Φ(|x(t)|p)dt ≤ λ
π
π/λ∫
0
Φ
(∣∣Arλ−rϕr(λt)∣∣p ) dt =
=
1
π
π∫
0
Φ
( ∣∣∣∣∣
(
L(x)p
L(ϕr)p
) r
r+1/p ∥∥∥x(r)
∥∥∥ 1/p
r+1/p
∞
ϕr(t)
∣∣∣∣∣
p )
dt.
Первое неравенство теоремы 5 доказано. Второе доказывается аналогично.
5. Решение экстремальных задач на пространствах тригонометрических
полиномов. Через Tn обозначим пространство тригонометрических полиномов
порядка не выше n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ТОЧНЫЕ ВЕРХНИЕ ГРАНИ НОРМ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ . . . 981
Теорема 6. Пусть p > 0, Φ ∈ W. Если полином tn ∈ Tn и отрезок [α, β] ⊂
⊂ R таковы, что tn(α) = tn(β) = 0, то
1
β − α
β∫
α
Φ(|tn(u)|p)du ≤ 1
π
π∫
0
Φ
(
n
∣∣∣∣ L(tn)p
L(sin(·))p
sinu
∣∣∣∣p ) du.
В частности, для любого q ≥ p 1
β − α
β∫
α
|tn(u)|q du
1/q
≤ n1/p
1
π
π∫
0
|sin(·)|q du
1/q
L(tn)p
L(sin(·))p
.
Доказательство. Применяя первое неравенство теоремы 5 к функции x(u) =
= tn(u) и оценивая ‖t(r)n ‖∞ с помощью нервенства Бернштейна ‖t(r)n ‖∞ ≤
≤ nr‖tn‖∞, имеем
1
β − α
β∫
α
Φ(|tn(u)|p)du ≤
≤ 1
π
π∫
0
Φ
( ∣∣∣∣∣
(
L(tn)p
L(ϕr)p
) r
r+1/p
(nr ‖tn‖∞)
1/p
r+1/p ϕr(u)
∣∣∣∣∣
p )
du.
Переходя в этом неравенстве к пределу при r = 2ν, ν → ∞, и учитывая соот-
ношение |ϕ2ν(u)| → 4
π
| sinu|, получаем первое неравенство теоремы. Положив в
нем Φ(t) = tq/p, получим второе утверждение.
Пусть полином tn ∈ Tn имеет нули и α — его нуль. Применяя к этому полиному
и отрезку [α, α+ 2π] теорему 6, получаем такое следствие.
Следствие 1. Пусть q ≥ p > 0. Для любого тригонометрического полино-
ма tn порядка не выше n, имеющего нули, выполняется точное на классе Tn
неравенство
‖tn‖Lq(T) ≤ n1/p‖ sin(·)‖Lq(T)
L(tn)p
L(sin(·))p
.
Неравенство обращается в равенство для полиномов tn(u) = a sin(nu+ b), a, b ∈
∈ R.
Для A0, p > 0 положим
Tn(A0, p) := {tn ∈ Tn : L(tn)p ≤ A0L(sinn(·))p}.
Любой полином tn ∈ Tn(A0, p) вследствие периодичности имеет нули, так как
L(tn)p <∞.
Лемма 5. Пусть n ∈ N. Для любого k = 0, 1, . . .
Tn(A0, p) ⊂ Skϕ,
где ϕ(u) = A0 sinnu.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
982 В. А. КОФАНОВ
Доказательство. Зафиксируем tn ∈ Tn(A0, p). Применяя следствие 1 при q =
=∞, получаем
‖tn‖∞ ≤ n1/p L(tn)p
L(sin(·))p
=
L(tn)p
L(sinn(·))p
.
Из этого неравенства и условия L(tn)p ≤ A0L(sinn(·))p следует, что ‖tn‖∞ ≤
≤ A0. Но тогда, как известно (см., например, доказательство теоремы 8.1.1 из [1]),
функция ϕ(u) = A0 sinnu является функцией сравнения для tn, а производная
ϕ(k) — функцией сравнения для t(k)
n , k = 0, 1, . . . .
Лемма доказана.
Из теорем 1, 2 и леммы 5 вытекает следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть A0, p > 0, Φ ∈W. Для любого отрезка [α, β] ⊂ R
sup
β∫
α
Φ(|tn(t)|p)dt : tn ∈ Tn(A0, p)
=
β∫
α
Φ(A0| sinn(t+ τ)|p)dt,
где τ выбрано так, что | sin(n(α + θ))| = | sin(n(β − θ))| = 1, а θ определено
равенством (15), т. е. β − α = mπ/n+ 2Θ, m ∈ N, Θ ∈ (0, π/(2n)).
Кроме того, для любого k ∈ N
sup
β∫
α
Φ(|t(k)
n (t)|)dt : tn ∈ Tn(A0, p)
=
β∫
α
Φ(nkA0| sinn(t+ τ + τk)|)dt,
где τk :=
π
4n
(
1 + (−1)k+1
)
.
Второе утверждение теоремы при p =∞ получено ранее Б. Бояновым и Н. Най-
деновым [4] и дает решение известной задачи Эрдеша.
6. Решение экстремальных задач на пространствах сплайнов. Через Sn,r
обозначим пространство 2π -периодических полиномиальных сплайнов порядка r
дефекта 1 с узлами в точках kπ/n, k ∈ Z.
Теорема 8. Пусть p > 0, Φ ∈ W. Для любого сплайна s ∈ Sn,r и отрезка
[α, β] ⊂ R такого, что s(α) = s(β) = 0, выполняется неравенство
1
β − α
β∫
α
Φ(|s(u)|p)du ≤ 1
π
π∫
0
Φ
(
n
∣∣∣∣ L(s)p
L(ϕr(·))p
ϕr(u)
∣∣∣∣p ) du.
В частности, для любого q ≥ p 1
β − α
β∫
α
|s(u)|q du
1/q
≤ n1/p
1
π
π∫
0
|ϕr(u)|q du
1/q
L(s)p
L(ϕr)p
.
Доказательство теоремы 8 аналогично доказательству теоремы 6, но вместо
неравенства Бернштейна нужно применить неравенство [10]
‖s(r)‖∞ ≤ nr+1/p L(s)p
L(ϕr)p
, s ∈ Sn,r, p > 0, r ∈ N,
и опустить предельный переход при r →∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ТОЧНЫЕ ВЕРХНИЕ ГРАНИ НОРМ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ . . . 983
Пусть сплайн s ∈ Sn,r имеет нули и α — его нуль. Применяя к этому сплайну
и отрезку [α, α+ 2π] теорему 8, получаем такое следствие.
Следствие 2. Пусть q ≥ p > 0. Для любого сплайна s ∈ Sn,r, имеющего
нули, выполняется точное на классе Sn,r неравенство
‖s‖Lq(T) ≤ n1/p‖ϕr‖Lq(T)
L(s)p
L(ϕr)p
.
Неравенство обращается в равенство для сплайнов s(t) = aϕr(nt), a ∈ R.
Для A0, p > 0 положим
Sn,r(A0, p) := {s(·+ τ) : s ∈ Sn,r, L(s)p ≤ A0L(ϕn,r)p, τ ∈ R}.
Любой сплайн s ∈ Sn,r(A0, p) вследствие периодичности имеет нули, так как
L(s)p <∞.
Лемма 6. Пусть r, n ∈ N. Для любого k = 0, 1, . . . , r − 1
Sn,r(A0, p) ⊂ Skϕ,
где ϕ(t) = A0ϕn,r(t).
Доказательство. Зафиксируем s ∈ Sn,r(A0, p). Применяя следствие 2 при
q =∞, получаем
‖s‖∞ ≤ n1/p‖ϕr‖∞
L(s)p
L(ϕr)p
.
Из этого неравенства и условия
L(s)p ≤ A0L(ϕn,r)p = A0n
−(r+1/p)L(ϕr)p
следует, что
‖s‖∞ ≤ n1/p‖ϕr‖∞A0n
−(r+1/p) = A0‖ϕn,r‖∞. (25)
Но тогда в силу неравенства Тихомирова (см., например, [1], лемма 8.2.1)
‖s(r)‖∞ ≤
‖s‖∞
‖ϕn,r‖∞
, s ∈ Sn,r,
имеем ‖s(r)‖∞ ≤ A0. Следовательно, в силу (25) выполнены условия теоремы
сравнения Колмогорова [8]. Согласно этой теореме ϕ(t) является функцией срав-
нения для s, а ϕ(k) — функцией сравнения для s(k), k = 0, 1, . . . , r − 1.
Лемма доказана.
Из теорем 1, 2 и леммы 6 вытекает следующее утверждение.
Теорема 9. Пусть A0, p > 0, Φ ∈W. Для любого отрезка [α, β] ⊂ R
sup
β∫
α
Φ(|s(t)|p)dt : s ∈ Sn,r(A0, p)
=
=
β∫
α
Φ(A0|ϕn,r(t+ τ)|p)dt,
где τ выбрано так, что |ϕn,r(α + τ + θ)| = |ϕn,r(β + τ − θ)| = ‖ϕn,r‖∞, а θ
определено равенством (15), т. е. β −α = mπ/n+ 2Θ, m ∈ N, Θ ∈ (0, π/(2n)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
984 В. А. КОФАНОВ
Кроме того, для любого k = 1, 2, . . . , r − 1
sup
β∫
α
Φ(|s(k)(t)|)dt : s ∈ Sn,r(A0, p)
=
=
β∫
α
Φ(nkA0|ϕn,r−k(t+ τ + τk)|)dt,
где τk :=
π
4n
(
1 + (−1)k+1
)
.
1. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их
приложения. – Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
2. Бабенко В. Ф. Исследования Днепропетровских математиков по неравенствам для производных
периодических функций и их приложениям // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С. 5 – 29.
3. Kwong M. K., Zettl A. Norm inequalities for derivatives and differences // Lect. Notes Math. – 1992. –
1536. – 150 p. .
4. Bojanov B., Naidenov N. An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem
of Erdos // J. d’Anal. Math. – 1999. – 78. – P. 263 – 280.
5. Pinkus A., Shisha O. Variations on the Chebyshev and Lq theories of best approximation // J. Approxim.
Theory. – 1982. – 35, № 2. – P. 148 – 168.
6. Кофанов В. А. О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функ-
ций на оси // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 6. – С. 765 – 776.
7. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. –
Киев: Наук. думка, 1992. – 304 с.
8. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функ-
ции на бесконечном интервале // Избр. труды. Математика, механика. – М.: Наука, 1985. – 470 c.
9. Ligun A. A. Inequalities for upper bounds of functionals // Anal. Math. – 1976. – 2, № 1. – C. 11 – 40.
10. Kofanov V. A. Some exact inequalities of Kolmogorov type // Мат. физика, анализ, геометрия. – 2002.
– 9, № 3. – С. 1 – 8.
Получено 25.02.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
|