Дискретная модель несимметричной теории упругости

Розглядається дискретна сiтка, утворена великою кiлькiстю нескiнченно тонких однорiдних стрижнiв, орiєнтованих уздовж заданого вектора та з’єднаних мiж собою пружинами у кожнiй своїй точцi. Вивчається асимптотична поведiнка малих коливань такої дискретної системи, коли вiдстанi мiж найближчими стриж...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Бережной, М.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2011
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166245
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дискретная модель несимметричной теории упругости / М.А. Бережной // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 764–785. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166245
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1662452020-02-19T01:29:01Z Дискретная модель несимметричной теории упругости Бережной, М.А. Статті Розглядається дискретна сiтка, утворена великою кiлькiстю нескiнченно тонких однорiдних стрижнiв, орiєнтованих уздовж заданого вектора та з’єднаних мiж собою пружинами у кожнiй своїй точцi. Вивчається асимптотична поведiнка малих коливань такої дискретної системи, коли вiдстанi мiж найближчими стрижнями прямують до нуля. Для загальних неперiодичних розташувань стрижнiв виведено рiвняння, що описують усереднену модель системи. Показано, що усередненi рiвняння вiдповiдають несиметричнiй динамiцi пружного середовища. А саме, тензор напруг у середовищi лiнiйно залежить не лише вiд тензора деформацiй, але i вiд тензора обертань. We consider a discrete network of a large number of pin-type homogeneous rods oriented along a given vector and connected by elastic springs at each point. The asymptotic behavior of small oscillations of the discrete system is studied in the case where the distances between the nearest rods tend to zero. For generic non-periodic arrays of rods, we deduce equations describing the homogenized model of the system. It is shown that the homogenized equations correspond to a nonstandard dynamics of an elastic medium. Namely, the homogenized stress tensor in the medium depends linearly not only on the strain tensor but also on the rotation tensor. 2011 Article Дискретная модель несимметричной теории упругости / М.А. Бережной // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 764–785. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166245 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Бережной, М.А. Дискретная модель несимметричной теории упругости Український математичний журнал
description	Розглядається дискретна сiтка, утворена великою кiлькiстю нескiнченно тонких однорiдних стрижнiв, орiєнтованих уздовж заданого вектора та з’єднаних мiж собою пружинами у кожнiй своїй точцi. Вивчається асимптотична поведiнка малих коливань такої дискретної системи, коли вiдстанi мiж найближчими стрижнями прямують до нуля. Для загальних неперiодичних розташувань стрижнiв виведено рiвняння, що описують усереднену модель системи. Показано, що усередненi рiвняння вiдповiдають несиметричнiй динамiцi пружного середовища. А саме, тензор напруг у середовищi лiнiйно залежить не лише вiд тензора деформацiй, але i вiд тензора обертань.
format	Article
author	Бережной, М.А.
author_facet	Бережной, М.А.
author_sort	Бережной, М.А.
title	Дискретная модель несимметричной теории упругости
title_short	Дискретная модель несимметричной теории упругости
title_full	Дискретная модель несимметричной теории упругости
title_fullStr	Дискретная модель несимметричной теории упругости
title_full_unstemmed	Дискретная модель несимметричной теории упругости
title_sort	дискретная модель несимметричной теории упругости
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166245
citation_txt	Дискретная модель несимметричной теории упругости / М.А. Бережной // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 764–785. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT berežnojma diskretnaâmodelʹnesimmetričnojteoriiuprugosti
first_indexed	2025-07-14T21:03:42Z
last_indexed	2025-07-14T21:03:42Z
_version_	1837657776463020032
fulltext	УДК 517.9 М. А. Бережной (Технол. ун-т, Дармштадт, Германия; Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков) ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ* We consider a discrete network of a large number of pin-type homogeneous rods oriented along a given vector and connected by elastic springs at each point. The asymptotic behavior of small oscillations of the discrete system is studied in the case where the distances between the nearest rods tend to zero. For generic non-periodic arrays of rods, we deduce equations describing the homogenized model of the system. It is shown that the homogenized equations correspond to a nonstandard dynamics of an elastic medium. Namely, the homogenized stress tensor in the medium depends linearly not only on the strain tensor but also on the rotation tensor. Розглядається дискретна сiтка, утворена великою кiлькiстю нескiнченно тонких однорiдних стрижнiв, орiєнтованих уздовж заданого вектора та з’єднаних мiж собою пружинами у кожнiй своїй точцi. Вивча- ється асимптотична поведiнка малих коливань такої дискретної системи, коли вiдстанi мiж найближчими стрижнями прямують до нуля. Для загальних неперiодичних розташувань стрижнiв виведено рiвняння, що описують усереднену модель системи. Показано, що усередненi рiвняння вiдповiдають несиметрич- нiй динамiцi пружного середовища. А саме, тензор напруг у середовищi лiнiйно залежить не лише вiд тензора деформацiй, але i вiд тензора обертань. 1. Введение. Одним из фундаментальных постулатов механики упругой среды является утверждение о том, что при малых деформациях тензор напряжений в среде σ[u] = {σij [u]}3i,j=1 линейно зависит от тензора деформаций среды e[u] = = { eij [u] = 1 2 ( ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi )}3 i,j=1 . Такая зависимость представляется с помощью тензора упругости A = {anpqr(x, t)}3n,p,q,r=1. А именно, имеет место закон Гука σ[u] = Ae[u], (1.1) где u = u(x, t) — смещение среды, а тензор четвертого ранга A является симмет- ричным относительно перестановок пар индексов и индексов в парах. Этот закон подтверждается экспериментально для широкого класса однородных упругих ма- териалов. Однако в последнее время появилось много работ, посвященных изучению (как теоретическому, так и экспериментальному) сложных веществ, свойства которых существенно отличаются от свойств, постулируемых в классической теории упру- гости [1 – 6]. В частности, тензор напряжений в этих веществах зависит не только от тензора напряжений, но и от тензора вращений ω[u] = { ωij [u] = 1 2 ( ∂ui ∂xj − ∂uj ∂xi )}3 i,j=1 . А именно, для таких веществ выполняется закон Гука в нестандартной форме σ[u] = ADe[u] +ARω[u], (1.2) где тензоры четвертого ранга AD и AR могут рассматриваться как деформационная и вращательная части тензора упругости соответственно. Более того, эти части не *Выполнена при частичной поддержке фонда DAAD. c© М. А. БЕРЕЖНОЙ, 2011 764 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 765 имеют свойств симметрии, постулируемых в классической механике сплошной среды. Примерами таких веществ являются некоторые виды жидких кристаллов, поли- меры, поликристаллические материалы и др. [6]. Однако характерная особенность микроструктуры таких веществ практически нигде не обсуждалась, поэтому причи- ны упомянутого поведения этих веществ не были указаны. Таким образом, является необходимым построение микроскопических моделей таких веществ, усреднение которых приводит к нестандартному закону Гука (1.2). Так, в работе [7] в качестве такой модели был предложен композит, состоящий из упругого тела с большим числом мелких твердых частиц, ориентированных вдоль заданного направления. В настоящей статье предлагается простейшая дискретная модель, усреднение которой приводит к закону Гука вида (1.2). А именно, рассматривается дискретная система, состоящая из большого числа абсолютно тонких однородных стержней, взаимодействующих между собой и ориентированных вдоль заданного направле- ния l. В результате взаимодействия стержни двигаются трансляционно и не враща- ются, вследствие чего движение стержней однозначно определяется движением их центра масс. Такое движение может быть реализовано, например, в случае силь- но намагничивающихся стержней, подверженных воздействию сильного внешнего магнитного поля, когда стержни ориентируются вдоль направления поля (рис. 1). Рис. 1. Дискретная система ориентированных стержней. Изучается асимптотическое поведение такой дискретной системы, когда пара- метр микроструктуры, задающий расстояния между ближайшими стержнями и их размеры, стремится к нулю. Как результат, получена усредненная модель движения упругого континуального тела, для которого справедлив закон Гука вида (1.2). 2. Постановка задачи. Рассмотрим систему из N (N — большое число) аб- солютно тонких однородных стержней, расположенных в ограниченной области Ω ⊂ R 3 с гладкой границей ∂Ω и взаимодействующих между собой посредством упругих сил (например, пружин). Введем малый параметр ε = 1 3 √ N → 0 и обозна- чим через xiε центры стержней. Предположим, что размеры стержней и расстояния ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 766 М. А. БЕРЕЖНОЙ между ближайшими из них имеют порядок ε. Более того, будем полагать, что все стержни имеют одинаковую длину и ориентацию. Такая ситуация может быть реа- лизована, например, в случае сильно намагничивающихся стержней, помещенных в очень сильное внешнее магнитное поле, направленное вдоль постоянного вектора l. Тогда все стержни ориентируются вдоль l (см. [8]) и под действием упругих сил (пружин) движутся трансляционно. Опишем теперь дискретную сетку из стержней и пружин. Все стержни имеют конечные массы mi ε = M iε3 (0 < m1 ≤ M i ≤ m2 < ∞, где m1 и m2 не зависят от ε) и бесконечно малый объем, т. е. рассматривается система абсолютно тонких стержней. Предполагается, что некоторые соседние стержни (расстояния между ними имеют порядок ε) связаны между собой одинаковыми упругими пружина- ми в каждой своей точке. Поскольку все стержни движутся трансляционно, они могут быть отождествлены с их центрами xiε, взаимодействующими между со- бой с „эффективной” (нецентральной) силой, равной силе взаимодействия целых стержней. Таким образом, система из стержней и пружин образует трехмерный граф, вершины которого соответствуют центрам стержней xiε, а ребра — „эффек- тивным” связям между этими центрами. Единственным условием на регулярность описанного расположения является выполнение условия триангуляции (см. ниже). Предполагается также, что каждый стержень взаимодействует с конечным числом соседних стержней, не зависящим от ε. Определим взаимодействие между стержнями следующим образом. Обозна- чим смещение i-го стержня через uiε(t), i = 1, N, и предположим, что пружины, соединяющие каждую точку соседних стержней друг с другом, приводят к линей- ному упругому взаимодействию между соответствующими точками. Тогда упругая энергия двух соседних стержней определяется выражением 〈Cij ε (uiε − u j ε)), u i ε − ujε〉, где 〈·, ·〉 обозначает скалярное произведение в R3, а матрица упругости Cij ε для i- и j-го стержней (Cij ε ≡ 0, если эти стержни не взаимодействуют) определяется равенством Cij ε (uiε − ujε) = kij l2 lε/2 ∫ −lε/2 dti lε/2 ∫ −lε/2 dtj 〈 uiε − ujε \|xiε − x j ε\| , x− y \|xiε − x j ε\| 〉 x− y \|xiε − x j ε\| . (2.1) Здесь kij — упругие постоянные пружин (0 < k1 ≤ kij ≤ k2), соединяющих точ- ки i- и j-го стержней, l — длина стержней, ti и tj — натуральные параметры i- и j-го стержней ( ti, tj ∈ [ − l 2 ε, l 2 ε ]) , а через x и y обозначены точки на i- и j-м стержнях соответственно (x = xiε + til, y = xjε + tj l). Заметим, что условие k1 > 0 является ключевым в данном случае. Если k1 = 0, то из-за бесконечного значения постоянной Корна в (4.5) (см. далее) может возникнуть неустойчивость (см., например, [9]). Как было отмечено, все стержни могут быть отождествлены с их центрами xiε, взаимодействующими между собой с „эффективной” силой, определяемой равенством (2.1). Существенное же отличие такого взаимодействия от центрального взаимодействия, рассмотренного в работе [11] и определяемого матрицей ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 767 C ij ε,l=0(u i ε − ujε) = kijε2 〈 uiε − ujε \|xiε − x j ε\| , xiε − xjε \|xiε − x j ε\| 〉 xiε − xjε \|xiε − x j ε\| , (2.2) получаемой в пределе при l → 0, состоит в том, что матрица Cij ε в отличие от матрицы C ij ε,l=0 не является инвариантной относительно поворотов. Это обстоя- тельство и ведет к появлению зависимости напряжений в среде от вращений. Потенциальная энергия взаимодействия стержней имеет вид H(u1ε, . . . , u N ε ) = H0 + 1 2 ∑ i,j 〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 , (2.3) где суммирование ведется по всем парам взаимодействующих стержней, а H0 — произвольная постоянная. Поскольку энергия (2.3) инвариантна относительно перемещений множества стержней, минимизация энергии определяет множество положений равновесия. Единственный минимум определяется условием, что все стержни, отдаленные от неподвижной границы ∂Ω на расстояния, меньшие Cε (C — некоторая постоянная), жестко зажаты (соответствующие смещения uiε равны нулю). Таким образом, система стержней имеет единственное положение равнове- сия {xiε}Ni=1. Обозначим через M количество стержней, расположенных в граничном слое U ( ∂Ω, Cε ) , M = O(ε−2) << N = ε−3. Тогда движение дискретной сетки из взаимодействующих стержней описывается системой 3N обыкновенных диффе- ренциальных уравнений mi εü i ε = −∇ui ε H(u1ε, . . . , u N ε ), i = 1, N, (2.4) дополненных начальными и краевыми условиями соответственно: uiε(0) = 0, u̇iε(0) = aiε, i = 1, N, (2.5) uiε(t) ≡ 0, t > 0, i = 1,M, (2.6) где aiε, i = 1, N, — множество заданных постоянных таких, что кинетическая энергия N ∑ i=1 mi ε\|aiε\|2 ≤ C (2.7) является ограниченной равномерно по ε. Целью настоящего исследования является выведение континуального предела для задачи (2.4) – (2.6) при ε→ 0. Прежде чем сформулировать основной результат, введем некоторые обозначе- ния и сделаем определенные предположения. Обозначим через diε расстояние от стержня Qi ε с центром в точке xiε до остальных стержней и до границы ∂Ω, т. е. diε = dist { Qi ε, ⋃ j 6=i Qj ε ⋃ ∂Ω } . Предположим, что выполняются такие условия: ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 768 М. А. БЕРЕЖНОЙ I. Геометрические условия: 1) c1ε ≤ diε ≤ c2ε, i = 1, N, где постоянные c1, c2, 0 < c1, c2 < ∞, не зависят от ε; 2) предполагается, что центр каждого стержня связан ребрами графа ΓΩ с цент- рами некоторых других стержней, находящихся на расстояниях, меньших Cε, где C > 0 — фиксированная постоянная, не зависящая от ε; более того, рассматривают- ся графы, удовлетворяющие так называемому триангуляционному условию. Определение. Граф ΓΩ, вершины которого соответствуют центрам стерж- ней xiε, а ребра — „эффективным” связям между этими центрами, удовлетворяет триангуляционному условию, если он является сужением на область Ω графа Γ (если ребро Γ пересекает ∂Ω, то мы добавляем точку пересечения к графу ΓΩ), для которого существует подграф Γ′ ⊂ Γ, образующий триангуляцию R 3, т. е. разбивающий R 3 на симплексы с углами, равномерно ограниченными снизу посто- янной C > 0, не зависящей от ε. При этом Γ′ может и не содержать в себе всех вершин xiε. Эта триангуляция приводит к невырожденности эффективной упругой матрицы. II. Условия на взаимодействие: 1) стержни Qi ε i Qj ε могут взаимодействовать, если они находятся на расстояни- ях порядка O(ε) друг от друга; таким образом, матрица взаимодействия стержней Cij = 0, если dist(Qi ε, Q j ε) ≥ C1ε, C1 > 0; в частности, все стержни, центры которых соединены общим ребром симплекса, взаимодействуют между собой; 2) матрица взаимодействия стержней определяется равенством (2.1). При выполнении этих условий решение дискретной задачи (2.4) – (2.6) в опре- деленном смысле сходится к вектор-функции u(x, t), являющейся решением задачи несимметричной теории линейной упругости ρ ∂2u ∂t2 − 3 ∑ n,p,q,r=1 ∂ ∂xp [ aDnpqr(x)eqr[u] + aRnpqr(x)ωqr[u] ] en = 0, x ∈ Ω, t > 0, u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, u(x, 0) = 0, ∂u ∂t (x, t) ∣ ∣ ∣ ∣ t=0 = a(x), x ∈ Ω, где er, r = 1, 3, — ортонормированный базис в R3, функции ρ(x), aDnpqr(x), a R npqr(x) и вектор-функция a(x) определяются в пунктах 3 и 4 (формулы (3.9) – (3.11), (5.1), (5.2)). Для общих непериодических расположений стержней деформационная и вращательная части тензора упругости aDnpqr(x) и aRnpqr(x) определяются через мезохарактеристику, введенную в третьем пункте. Для периодического расположе- ния частиц эти коэффициенты являются константами и вычисляются в терминах упругих постоянных (см. п. 6). 3. Мезохарактеристика. Обозначим через Kx h = K(x, h) куб длины h > > 0 (ε ≪ h ≪ 1) с центром в точке x ∈ Ω. Ориентация куба произвольна и не зависит ни от x, ни от h. Для определенности предполагается, что ребра этого куба параллельны координатным осям. Введем функционал ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 769 Eτ εh[v;x;T ; Θ] = 1 2 ∑ i,j K x h 〈Cij ε (vi − vj), vi − vj〉+ +h−2−τε3 ∑ i K x h       vi − 3 ∑ j,k=1 T jkϕjk(xiε − x)− 3 ∑ j,k=1 Θjkψjk(xiε − x)       2 , (3.1) где ∑ i,jK x h обозначает суммирование по всем парам взаимодействующих стерж- ней, расположенных внутри куба Kx h (количество этих стержней обозначим че- рез p), v = (v1, . . . , vp), ϕjk(x) = 1 2 (xje k + xke j), ψjk(x) = 1 2 (xke j − xje k), а {T jk}3j,k=1 и {Θjk}3j,k=1 — произвольные тензоры второго ранга с постоян- ными компонентами, такие что T jk = T kj и Θjk = −Θkj соответственно. Пер- вая сумма в (3.1) представляет собой упругую энергию в K x h , вторая является штрафным членом, представляющим собой отклонения векторов vi от линейной части ∑3 j,k=1 T jkϕjk(xiε − x) + ∑3 j,k=1 Θjkψjk(xiε − x). Это выражение можно рассматривать как линейную часть (дифференциал) усредненной вектор-функции u(x) (см. (4.13)), 0 < τ < 2 — параметр. Ищется минимум этого функционала среди всех векторов, соответствующих стержням Qi ε ∈ K x h , i = 1, . . . , p. Миними- зирующие векторы обозначим через {wi}pi=1: min v Eτ εh [ v;x;T ; Θ ] = Eτ εh [ w;x;T ; Θ ] . Рассмотрим специальные множества тензоров: T(np) = 1 2 (en ⊗ ep + ep ⊗ en) = = { T jk (np) = 1 2 (δjnδkp + δjpδkn) }3 j,k=1 , n, p = 1, 3, и Θ(np) = 1 2 (ep ⊗ en − en ⊗ ep) = = { Θjk (np) = 1 2 (δjpδkn − δjnδkp) }3 j,k=1 , n, p = 1, 3. Если векторы {wi np}pi=1 минимизируют функционал Eτ εh [ v;x;T(np); 0 ] , в котором T jk = T jk (np) и Θjk = 0, j, k = 1, 3, а векторы {vinp}pi=1 минимизируют функционал Eτ εh[v;x; 0; Θ(np)], в котором T jk = 0, j, k = 1, 3, и Θjk = Θjk (np), то множест- ва векторов {wi np}, {vinp} и {wi} удовлетворяют таким алгебраическим системам уравнений соответственно (уравнениям Эйлера – Лагранжа): ∑ j i K x h Cij ε (wi np − wj np) + h−2−τε3wi np = h−2−τε3ϕnp(xiε − x), (3.2) ∑ j i K x h Cij ε (vinp − vjnp) + h−2−τε3vinp = h−2−τε3ψnp(xiε − x), (3.3) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 770 М. А. БЕРЕЖНОЙ ∑ j i K x h Cij ε (wi − wj) + h−2−τε3wi = = h−2−τε3    3 ∑ j,k=1 T jkϕjk(xiε − x) + 3 ∑ j,k=1 Θjkψjk(xiε − x)    (3.4) для всех стержней Qi ε ∈ K x h , где ∑ j i K x h обозначает суммирование по всем стерж- ням, расположенным в кубеKx h и взаимодействующим (т. е. связанным пружинами) с заданным стержнем Qi ε. Очевидно, wi np = wi pn и vinp = −vinp. Учитывая формулу (2.1), имеем wi = ∑3 n,p=1 wi npT np+ ∑3 n,p=1 vinpΘ np. Под- ставим эту формулу в (3.1). Тогда min v Eτ εh[v;x;T ; Θ] = = Eτ εh[w;x;T ; Θ] = 3 ∑ n,p,q,r=1 anpqr(x, ε, h, τ)T npT qr+ +2 3 ∑ n,p,q,r=1 bnpqr(x, ε, h, τ)T npΘqr + 3 ∑ n,p,q,r=1 cnpqr(x, ε, h, τ)Θ npΘqr, (3.5) где anpqr(x, ε, h, τ) = 1 2 ∑ i,j K x h 〈Cij ε (wi np − wj np), w i qr − wj qr〉+ +h−2−τε3 ∑ i K x h 〈wi np − ϕnp(xiε − x), wi qr − ϕqr(xiε − x)〉, (3.6) bnpqr(x, ε, h, τ) = 1 2 ∑ i,j K x h 〈Cij ε (wi np − wj np), v i qr − vjqr〉+ +h−2−τε3 ∑ i K x h 〈wi np − ϕnp(xiε − x), viqr − ψqr(xiε − x)〉, (3.7) cnpqr(x, ε, h, τ) = 1 2 ∑ i,j K x h 〈Cij ε (vinp − vjnp), v i qr − vjqr〉+ +h−2−τε3 ∑ i K x h 〈vinp − ψnp(xiε − x), viqr − ψqr(xiε − x)〉. (3.8) Эти коэффициенты играют важную роль и определяют эффективный тензор на- пряжений среды. А именно, предположим, что равномерно по x ∈ Ω существуют пределы anpqr(x) = lim h→0 lim ε→0 anpqr(x, ε, h, τ) h3 = lim h→0 lim ε→0 anpqr(x, ε, h, τ) h3 , (3.9) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 771 bnpqr(x) = lim h→0 lim ε→0 bnpqr(x, ε, h, τ) h3 = lim h→0 lim ε→0 bnpqr(x, ε, h, τ) h3 , (3.10) cnpqr(x) = lim h→0 lim ε→0 cnpqr(x, ε, h, τ) h3 = lim h→0 lim ε→0 cnpqr(x, ε, h, τ) h3 , (3.11) где anpqr(x), bnpqr(x), cnpqr(x) — непрерывные положительно определенные тен- зоры. Из (3.6) – (3.8) следует, что тензоры {anpqr(x)}, {bnpqr(x)} и {cnpqr(x)} обла- дают такими свойствами симметрии: anpqr = aqrnp = apnqr , bnpqr = bpnqr = −bnprq, cnpqr = cqrnp = −cpnqr = −cnprq = . . . . Замечание. Если пределы (3.9) – (3.11) существуют для некоторого τ > 0, то они существуют для любого τ > 0 и предельные тензоры не зависят от τ (см., например, [10]). В пункте 7 будет приведен пример периодического расположения стержней, когда пределы (3.9) – (3.11) вычисляются явно. Легко видеть, что в случае центрального взаимодействия, определяемого равен- ством (2.2), минимизанты vinp = ψnp(xiε − x), вследствие чего bnpqr(x, ε, h, τ) = = cnpqr(x, ε, h, τ) = 0. 4. Дискретное неравенство Корна и компактность семейства решений. Све- дем нестационарную задачу (2.4) – (2.6) к стационарной с помощью преобразования Лапласа по времени t. Обозначим преобразование Лапласа решений uiε(t) через uiε(λ) = Luiε(t). Применяя преобразование Лапласа к (2.4) – (2.6), получаем mi ελ 2uiε +∇ui ε H(u1ε, . . . , u N ε )−mi εa i ε = 0, i = 1, N, uiε(λ) ≡ 0, i = 1,M. (4.1) Зафиксируем λ > 0. Учитывая (2.3), устанавливаем, что решения задачи (4.1) минимизируют квадратичный функционал Φ ε(u ε) = 1 2 ∑ i,j 〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 + λ2 N ∑ i=1 mi ε\|uiε\|2 − 2 N ∑ i=1 mi ε〈aiε, uiε〉, (4.2) где u ε = (u1ε, . . . , u N ε ). Для установления компактности u ε необходимо получить равномерную по ε оценку на энергию взаимодействия ∑ i,j 〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 ≤ C, где C независит от ε. Из (4.2) следует, что Φ ε(u ε) ≤ Φ ε(0) = 0. Используя неравенство Коши – Шварца, имеем 1 2 ∑ i,j 〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 + λ2 N ∑ i=1 mi ε\|uiε\|2 ≤ 2 N ∑ i=1 mi ε\|〈aiε, uiε〉\| ≤ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 772 М. А. БЕРЕЖНОЙ ≤ 2 ( N ∑ i=1 mi ε\|aiε\|2 )1/2( N ∑ i=1 mi ε\|uiε\|2 )1/2 ≤ ≤ 2 ( N ∑ i=1 mi ε\|aiε\|2 )1/2   N ∑ i=1 mi ε\|uiε\|2 + 1 2λ2 ∑ i,j 〈Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε〉   1/2 = = 2 λ ( N ∑ i=1 mi ε\|aiε\|2 )1/2   1 2 ∑ i,j 〈Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε〉+ λ2 N ∑ i=1 mi ε\|uiε\|2   1/2 . Итак, учитывая (2.7), получаем 1 2 ∑ i,j 〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 + λ2 N ∑ i=1 mi ε\|uiε\|2 ≤ ≤ 4 λ2 N ∑ i=1 mi ε\|aiε\|2 ≤ 4 λ2 C = const . (4.3) Таким образом, сумма ∑ i,j 〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 является ограниченной рав- номерно по ε. Построим по векторам uiε кусочно-линейный сплайн u ε(x) = N ∑ i=1 uiεL i ε(x), (4.4) где Li ε — конечный элемент симплексов, определенных в геометрическом усло- вии I.2 второго пункта. Функция Li ε является непрерывной в R 3, линейной в каж- дом симплексе подграфа Γ′ i Li ε(x j ε) = δij . Легко видеть, что C1 w wu ε(x) w w 2 H1(Ω) ≤ ε ∑ i,j ′ \|uiε − ujε\|2 + ε3 ∑ i \|uiε\|2 ≤ C2 w wu ε(x) w w 2 H1(Ω) , где суммирование ∑′ i,j ведется по всем парам вершин (xiε, x j ε), связанных реб- рами симплексов, триангулирующих область Ω, а постоянные C1 i C2 не зависят от ε. Имеет место такой дискретный аналог неравенства Корна. Теорема 1. Предположим, что граф, вершины которого соответствуют центрам стержней xiε, а ребра — „эффективным” связям между этими центрами (см. (2.1)), удовлетворяет триангуляционному условию I.2. Пусть uiε обозначает преобразование Лапласа решений задачи (2.4) – (2.6). Тогда выполняется неравен- ство w wu ε(x) w w 2 H1(Ω) ≤ C ∑ i,j 〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 , (4.5) где постоянная C = 8c61 3k1c3 , c3 > 0, не зависит от ε (см. (2.1) и геометрическое условие I.1). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 773 Доказательство. Рассмотрим любой из симплексов Pαε, образующих триан- гуляцию области Ω, и обозначим через xαε его центр масс. Поскольку сплайн uε(x) является линейной вектор-функцией внутри этого симплекса, можно записать его в виде uε(x) = uε(x α ε)+ + 3 ∑ n,p=1 { enp[uε(x α ε)]ϕ np(x − xαε) + ωnp[uε(x α ε)]ψ np(x− xαε) } , x ∈ Pαε. (4.6) Обозначим через ∑α i,j суммирование по всем ребрам (xiε, x j ε) симплекса Pαε. Тогда с учетом (4.4) и (4.6) получаем ∑ i,j α 〈Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε〉 = = ∑ i,j α 〈Cij ε ( u ε(x i ε)− u ε(x j ε) ) , u ε(x i ε)− u ε(x j ε)〉 = = ∑ i,j α 〈 Cij ε 3 ∑ n,p=1 { enp[uε(x α ε)]ϕ np(xiε − xjε) + ωnp[uε(x α ε)]ψ np(xiε − xjε) } , 3 ∑ q,r=1 { eqr[uε(x α ε)]ϕ qr(xiε − xjε) + ωqr[uε(x α ε)]ψ qr(xiε − xjε) } 〉 . Далее, используя (2.1), можно показать, что 〈 Cij ε ϕ np(xiε − xjε), ϕ qr(xiε − xjε) 〉 = = kijε2 4\|xiε − x j ε\|3 ( 4(xinε − xjnε )(xipε − xjpε )(x iq ε − xjqε )(x ir ε − xjrε )+ + l2ε2 2 [ lplr(x in ε − xjnε )(xiqε − xjqε ) + lnlr(x ip ε − xjpε )(x iq ε − xjqε )+ +lq(x in ε − xjnε )(xirε − xjrε ) + lnlq(x ip ε − xjpε )(x ir ε − xjrε ) ] ) , (4.7) 〈 Cij ε ϕ np(xiε − xjε), ψ qr(xiε − xjε) 〉 = = kij l2ε4 8\|xiε − x j ε\|3 [ lplq(x in ε − xjnε )(xirε − xjrε ) + lnlq(x ip ε − xjpε )(x ir ε − xjrε )− −lr(xinε − xjnε )(xiqε − xjqε )− lnlr(x ip ε − xjpε )(x iq ε − xjqε ) ] , (4.8) 〈Cij ε ψ np(xiε − xjε), ψ qr(xiε − xjε)〉 = = kij l2ε4 8\|xiε − x j ε\|3 [ lnlq(x ip ε − xjpε )(x ir ε − xjrε )− lplq(x in ε − xjnε )(xirε − xjrε )+ +lr(x in ε − xjnε )(xiqε − xjqε )− lnlr(x ip ε − xjpε )(x iq ε − xjqε ) ] , (4.9) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 774 М. А. БЕРЕЖНОЙ откуда получаем оценку 〈 Cij ε ϕ np(xiε − xjε), ϕ qr(xiε − xjε) 〉 ≥ ≥ k1 c31ε 3 ∑ n,p,q,r=1 εnp[u ε(x α ε)]εqr[u ε(x α ε)]× × ∑ i,j α (xinε − xjnε )(xipε − xjpε )(x iq ε − xjqε )(x ir ε − xjrε )+ + l2k1 2c31 ε ( 3 ∑ n,p=1 ln(x ip ε − xjpε ) ∂uεn(x α ε) ∂xp )2 , (4.10) в которой величины uεn , ln и xinε , n = 1, 3, являются координатами вектор-функции u ε, вектора ориентации l и векторов xiε = (xi1ε , x i2 ε , x i3 ε ) соответственно. Отсюда следует, что (см. [11]) ∑ i,j α〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 ≥ k1c3 c31 3 ∑ n,p=1 ε2np[u ε(x α ε)]ε 3, c3 > 0. Поскольку вектор-функция u ε(x) является линейной внутри каждого из симплек- сов Pαε, εnp[u ε(x)] является константой в Pαε, а значит, ∑ i,j α〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 ≥ c ∫ Pαε 3 ∑ n,p=1 ε2np[u ε(x)] dx, где c = 6k1 c3 c61 . Суммируя по всем симплексам, образующим триангуляцию области Ω, и учитывая, что каждое ребро (xiε, x j ε) входит в эту сумму не более 8 раз, имеем 8 ∑ i,j 〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 ≥ ≥ 8 ∑ i,j ′ 〈 Cij ε (uiε − ujε), u i ε − ujε 〉 ≥ c ∫ Ω 3 ∑ n,p=1 ε2np[u ε(x)] dx. (4.11) Так как u ε(x i ε) = uiε = 0 для xiε ∈ U ( ∂Ω, Cε), сплайн u ε(x) принадлежит H1 0 (Ω). Теперь можно применить первое неравенство Корна (см., например, [12]) w wu ε(x) w w 2 H1 0 (Ω) ≤ 2 ∫ Ω 3 ∑ n,p=1 ε2np[u ε(x)] dx, u ε(x) ∈ H1 0 (Ω). (4.12) Из неравенств (4.11) и (4.12) следует (4.5). Теорема 1 доказана. Теперь установим компактность семейства {u ε(x)}. Поскольку u ε(x) ∈ H1 0 (Ω), из неравенств (4.3) и (4.5) следует, что последовательность сплайнов u ε(x) огра- ничена равномерно по ε в пространстве H1 0 (Ω): w wu ε(x) w w 2 H1 0 (Ω) ≤ const . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 775 Значит, эта последовательность является слабо компактной, и вследствие теоремы Реллиха (см., например, [13]) существует подпоследовательность последователь- ности u ε(x) (которую мы для удобства также будем обозначать u ε(x)) такая, что u ε(x)⇀ u(x) слабо в H1 0 (Ω), u ε(x) → u(x) сильно в L2(Ω), u(x) ∈ H1 0 (Ω). (4.13) Как будет показано в следующем пункте, предельная вектор-функция u(x) яв- ляется единственным решением усредненной задачи, вследствие чего вся после- довательность u ε(x) (а не только некоторая ее подпоследовательность) сходится к однозначно определенной вектор-функции u(x) в L2(Ω) (при λ > 0). 5. Минимизант усредненной задачи. Для того чтобы описать усредненную задачу, введем функцию ρ(x) > 0 и вектор-функцию a(x), определенные через ячейки Вороного Ui. Напомним, что для заданного множества вершин xi в области Ω разбиение Вороного определяется через ячейки Вороного Ui точек xi : Ui = {x ∈ ∈ Ω: \|xi−x\| ≤ \|xj−x\|, j 6= i}.Известно (см., например, [14]), что ячейки разбиения Вороного являются многогранниками — значит, получено разбиение области Ω многогранниками Ui. Определим предельные плотности распределения масс стержней ρ(x) > 0 и их начальных скоростей a(x). Для этого введем функцию распределения масс ρ ε(x) = ∑N i=1 mi ε \|Ui\| χUi (x) и вектор-функцию распределения начальных скоростей a ε(x) = ∑N i=1 aiεχUi (x), где χUi (x) обозначает характеристическую функцию множества Ui, а \|Ui\| — ее объем. Предполагается, что последовательность функций ρ ε(x) при ε→ 0 сходится ∗-слабо в L∞(Ω) к функции ρ(x) > 0: ρ ε(x)⇀ρ(x) (∗-слабо в L∞(Ω)), (5.1) а последовательность a ε(x) при ε→ 0 сходится сильно в L2(Ω) к вектор-функции a(x): a ε(x) L2(Ω)→ a(x). (5.2) Также предполагается, что ρ(x) и a(x) достаточно гладкие. Заметим, что существо- вание пределов (5.1), (5.2) является достаточно общим сужением на пространствен- ное распределение положений стержней и их начальных скоростей. Поскольку не предполагается никакой периодичности структуры, необходимо ввести некоторые условия на это пространственное распределение. Теорема 2. Пусть u(x) — предельная вектор-функция, определенная в (4.13), расположение стержней (т. е. их центров) удовлетворяет условию непериодиче- ской триангуляции в смысле определения I.2 и существуют пределы (3.9) – (3.11), (5.1), (5.2). Тогда u(x) минимизирует предельный (усредненный) функционал Φ0(v) = ∫ Ω { 3 ∑ n,p,q,r=1 anpqr(x)εnp[v]εqr[v]− −2 3 ∑ n,p=1 3 ∑ k=1 bnpk(x)enp[u] [ 1 2 rotu ] k + ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 776 М. А. БЕРЕЖНОЙ + 3 ∑ k,l=1 ckl(x) [ 1 2 rotu ] k [ 1 2 rotu ] l + λ2ρ(x)\|v(x)\|2 − 2ρ(x)〈a(x), v(x)〉 } dx (5.3) в классе вектор-функций из H1 0 (Ω). Здесь bnpk = 1 2 3 ∑ q,r=1 bnpqrǫkqr , ckl = 1 4 3 ∑ n,p,q,r=1 cnpqrǫknpǫlqr, (5.4) ǫkqr — компоненты тензора Леви-Чивита. Сначала вкратце приведем схему доказательства. Главной целью является уста- новление неравенства Φ0(u) ≤ Φ0(w) ∀w(x) ∈ H1 0 (Ω). (5.5) Сначала докажем это неравенство для гладких вектор-функций w ∈ C2 0 (Ω), а потом используем стандартную процедуру сглаживания. Доказательство состоит из двух шагов: 1) установление оценки сверху и 2) установление оценки снизу. На первом шаге устанавливается неравенство lim ε→0 Φ ε[u ε] ≤ Φ0[w] ∀w ∈ C2 0 (Ω), (5.6) где минимизант u ε = u ε(x i ε) определяется по формуле (4.4). Ключевым моментом на этом шаге является постороение дискретной вектор- функции w εh для любой w(x) ∈ C2 0 (Ω). Эта вектор-функция называется квази- минимизантом, поскольку если w = u (где u определяется в (4.13)), то полу- ченная вектор-функция uεh „почти” минимизирует функционал Φ ε. Эта вектор- функция строится с помощью „мезоразбиения” области Ω кубами со стороной h (ε << h << 1). Поскольку u ε минимизирует функционал Φ ε среди всех дискретных вектор- функций, то Φ ε[u ε] ≤ Φ ε[w εh]. Дискретная вектор-функцияw εh имеет следующие свойства. Во-первых, вектор- функция w εh(x) = N ∑ i=1 w εh(x i ε)χUi (x) аппроксимирует w(x) в таком смысле: lim h→0 lim ε→0 ‖w εh(x)− w(x)‖L2(Ω) = 0. (5.7) Более того, структура вектор-функцииw εh позволяет перейти к пределу в функ- ционале Φ ε[w εh] и получить неравенство lim h→0 lim ε→0 Φ ε[w εh] ≤ Φ0[w], (5.8) где Φ0 — усредненный функционал (5.3). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 777 Поскольку построение w εh является ключевым пунктом доказательства, сна- чала поясним его главную идею. В каждом кубе мезоразбиения эта дискретная вектор-функция имеет вид w xα εh (x i ε) = w(xα) + 3 ∑ n,p=1 εnp[w(xα)]w i,α np + 3 ∑ n,p=1 wnp[w(xα)]v i,α np , (5.9) где постоянные векторы wi,α np , i = 1, p, минимизируют функционал Eτ εh[v;xα;T ; Θ] (см. (3.1)) при T = Tnp и Θ = 0, а векторы vi,αnp , i = 1, p, минимизируют функцио- нал Eτ εh[v;xα;T ; Θ] при T = 0 и Θ = Θnp. Заметим, что при замене wi,α np на ϕnp(xiε−xα) и vi,αnp на ψnp(xiε−xα) квазими- нимизант становится линейной часть разложения Тейлора вектор-функции w(x) в мезокубе K xα h с центром в точке xα. Вектор-функция (5.9) имеет следующие свойства. Во-первых, она аппрокси- мирует (в некотором смысле) вектор-функцию w(x) в кубе Kxα h . Во-вторых, она „почти” минимизирует функционал локальной энергии (мезохарактеристику) (3.1), когда T jk = εjk[w(xα)] и Θjk = ωjk[w(xα)]. Последнее свойство позволяет пере- йти к пределу при ε→ 0 и вычислить предельный функционал Φ0 через мезохарак- теристику. Если кубы K x α h образуют разбиение области Ω, то глобальный квазиминими- зант можно построить, грубо говоря, склеивая вместе квазиминимизанты функ- ционала (3.1) с помощью соответствующего разбиения единицы. На втором шаге устанавливается неравенство Φ0[u] ≤ lim ε→0 Φ ε[u ε]. (5.10) Ясно, что из (5.10) и (5.6) следует (5.5). Доказательство теоремы 2. Установим оценку сверху. Возьмем любую вектор-функцию w(x) ∈ C2 0 (Ω). Выберем параметр h таким образом, чтобы существовало покрытие области Ω кубами K x α h с ребрами, парал- лельными координатным осям, и с центрами в точках xα, образующих кубическую решетку периода h− h1+τ/2, 0 < τ < 2: Ω ⊂ ⋃ α∈Λ K xα h . Таким образом, кубы пере- секаются, и вследствие такого пересечения можно выделить меньшие кубы K x α h′ с тем же центром xα и ребрами длины h ′ = h− 2h1+τ/2. Известно, что существует множество функций {φα(x) ∈ C∞ 0 (Ω)}α∈Λ (разбиение единицы) такое, что φα(x) =    1, x ∈ K xα h′ , 0, x 6∈ K x α h , 0 ≤ φα(x) ≤ 1, \|∇φα(x)\| ≤ c h1+τ/2 , ∑ α∈Λ φα(x) ≡ 1, x ∈ Ω. (5.11) Построим дискретную вектор-функцию w εh(x i ε) = ∑ α∈Λ { w(xα) + 3 ∑ n,p=1 εnp[w(xα)]w i,α np + 3 ∑ n,p=1 wnp[w(xα)]v i,α np } φα(x i ε), (5.12) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 778 М. А. БЕРЕЖНОЙ где wi,α np и vi,αnp , i = 1, p, — минимизанты функционала Eτ εh[v;xα;T ; Θ], определен- ного в (3.1), при T = Tnp, Θ = 0 и T = 0, Θ = Θnp соответственно. Используя теперь (3.1), (3.6) – (3.11), (5.11), (5.12), а также учитывая (5.4) и равенство [rotu]q = 3 ∑ n,p=1 ωnp[u]ǫnpq, (5.13) можно показать, что lim h→0 lim ε→0 1 2 ∑ i,j 〈Cij ε ( w εh(x i ε)− w εh(x j ε) ) , w εh(x i ε)− w εh(x j ε)〉 ≤ ≤ ∫ Ω { 3 ∑ n,p,q,r=1 anpqr(x)εnp[w(x)]εqr [w(x)]− −2 3 ∑ n,p,q=1 bnpq(x)enp [ u(x) ] [ 1 2 rotu(x) ] q + + 3 ∑ q,r=1 cqr(x) [ 1 2 rotu(x) ] q [ 1 2 rotu(x) ] r } dx. (5.14) Заметим, что в случае центрального взаимодействия, определяемого равенством (2.2) и инвариантного относительно вращений (Cij ε,l=0ψ np(xiε − xjε) = 0), миними- занты vi,αnp = ψnp(xiε − xα), вследствие чего bnpq = cqr = 0. Кроме того, используя (5.1), (5.2) и (5.7), аналогично [11] имеем lim h→0 lim ε→0 N ∑ i=1 mi ε〈aiε, w εh(x i ε)〉 = ∫ Ω ρ(x)〈a(x), w(x)〉 dx, (5.15) lim h→0 lim ε→0 N ∑ i=1 mi ε\|w εh(x i ε)\|2 = ∫ Ω ρ(x)\|w(x)\|2 dx. (5.16) Соединяя (4.2), (5.3), (5.14) – (5.16), получаем оценку сверху (5.8). Установим теперь оценку снизу. Предположим для простоты, что вектор-функция u(x), определенная в (4.13), принадлежит классу C2 0 (Ω). Разобьем область Ω на кубы K xα h , центры которых образуют кубическую решетку периода h (т. е. эти кубы не пересекаются): Ω ⊂ ⋃ α∈Λ K xα h , K xα h ⋂ K xβ h = ⊘, α 6= β. Заметим, что в отличие от покрытия, введенного на первом шаге доказательства, эти кубы образуют разбиение области Ω. Теперь в каждом кубе K x α h построим другой квазиминимизант wα ε(x), который „почти” минимизирует член взаимодействия в (4.2) (первое слагаемое): wα ε(x) = u ε(x)− u(xα). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 779 Тогда min vα Eτ εh[v α;x;T ; Θ] = = 3 ∑ n,p,q,r=1 anpqr(x, ε, h, τ)T npT qr+ +2 3 ∑ n,p,q,r=1 bnpqr(x, ε, h, τ)T npΘqr+ + 3 ∑ n,p,q,r=1 cnpqr(x, ε, h, τ)Θ npΘqr ≤ ≤ Eτ εh[w α ε;xα;T ; Θ]. Выбирая T np = εnp[u(xα)] и Θnp = ωnp[u(xα)], а также учитывая (5.4) и (5.13), получаем 3 ∑ n,p,q,r=1 anpqr(xα, ε, h, τ)εnp[u(xα)]εqr[u(xα)]− −2 3 ∑ n,p,q=1 bnpq(xα, ε, h, τ)enp[u(xα)] [ 1 2 rotu(xα) ] q + + 3 ∑ q,r=1 cqr(xα, ε, h, τ) [ 1 2 rotu(xα) ] q [ 1 2 rotu(xα) ] r ≤ ≤ 1 2 ∑ i,j K xα h 〈 Cij ε ( wα ε(x i ε)− wα ε(x j ε) ) , wα ε(x i ε)− wα ε(x j ε) 〉 + +h−2−τε3 ∑ i K xα h ∣ ∣ ∣ ∣ wα ε(x i ε)− 3 ∑ n,p=1 εnp[u(xα)]ϕ np(xiε − xα)− − 3 ∑ n,p=1 ωnp[u(xα)]ψ np(xiε − xα) ∣ ∣ ∣ ∣ 2 . (5.17) Используя (2.1) и очевидное равенство wα ε(x i ε)− wα ε(x j ε) = u ε(x i ε)− u ε(x j ε), видим, что 〈 Cij ε ( wα ε(x i ε)− wα ε(x j ε) ) , wα ε(x i ε)− wα ε(x j ε) 〉 = = 〈 Cij ε ( u ε(x i ε)− u ε(x j ε) ) , u ε(x i ε)− u ε(x j ε) 〉 . Отсюда, используя (3.9) – (3.11), (4.4) и (4.13), можно показать, что ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 780 М. А. БЕРЕЖНОЙ ∫ Ω { 3 ∑ n,p,q,r=1 anpqr(x)εnp[u(x)]εqr [u(x)]− −2 3 ∑ n,p,q=1 bnpq(x)enp[u(x)] [ 1 2 rotu(x) ] q + + 3 ∑ q,r=1 cqr(x) [ 1 2 rotu(x) ] q [ 1 2 rotu(x) ] r } dx ≤ ≤ lim ε→0 1 2 ∑ i,j 〈 Cij ε ( u ε(x i ε)− u ε(x j ε) ) , u ε(x i ε)− u ε(x j ε) 〉 . (5.18) Кроме того, несложно доказать предельное соотношение lim ε→0 { λ2 N ∑ i=1 mi ε\|uiε\|2 − 2 N ∑ i=1 mi ε〈aiε, uiε〉 } = = ∫ Ω [ λ2ρ(x)\|u(x)\|2 − 2ρ(x)〈a(x), u(x)〉 ] dx. (5.19) Объединяя теперь (5.18) и (5.19), имеем Φ0[u] ≤ lim ε→0 Φ ε[u ε] (5.20) в предположении, что предельная вектор-функция u(x) является гладкой ( C2 0 (Ω) ) . Поскольку это заранее неизвестно, необходимо ввести гладкие аппроксимации uσ(x) этой вектор-функции, для них получить неравенство, аналогичное (5.20), а затем выполнить предельный переход по σ (см. [15 – 17]). Окончательно, объединяя (5.8) и (5.10), получаем Φ0[u] ≤ lim ε→0 Φ ε[u ε] ≤ lim h→0 lim ε→0 Φ ε[w εh] ≤ Φ0[w] ∀w ∈ C2 0 (Ω). Вследствие плотности вложения C2 0 (Ω) ⊂ H1 0 (Ω) имеем Φ0[u] ≤ Φ0[w] ∀w ∈ H1 0 (Ω), т. е. оценка (5.10) установлена. 6. Теорема об усреднении. Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 3. Пусть выполняются геометрические условия I и условия на взаи- модействия II, а также существуют пределы (3.9) – (3.11), (5.1), (5.2). Тогда по- следовательность вектор-функций u ε(x, t), определенных в (4.4), сходится слабо в L2(Ω× [0,T]) (для любого T > 0) к вектор-функции u(x, t), являющейся реше- нием усредненной задачи ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 781 ρ ∂2u ∂t2 − 3 ∑ n,p,q,r=1 ∂ ∂xp [ aDnpqr(x, S d)eqr[u] + aRnpqr(x, S d)ωqr[u] ] en = ρf, (6.1) x ∈ Ω, t > 0; u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, (6.2) u(x, 0) = u0(x), ∂u ∂t (x, t) ∣ ∣ ∣ ∣ t=0 = v0(x), x ∈ Ω. (6.3) Здесь aDnpqr = anpqr + 1 2 3 ∑ l=1 bqrlǫlnp, aRnpqr = 1 4 3 ∑ l,m=1 clmǫlnpǫmqr + 1 2 3 ∑ l=1 bnplǫlqr . (6.4) Задача (6.1) – (6.3) имеет единственное решение. Доказательство. Заметим, что сходимость в теореме 2 была доказана только для λ > 0. Для доказательства теоремы 3 необходимо применить обратное пре- образование Лапласа для установления сходимости uε(x, t) к u(x, t). Для этого необходимо продолжить эти вектор-функции аналитически в комплексную правую полуплоскость и установить их поведение при λ→ ∞. Аналогично [11] можно показать, что семейство решений u ε(x, λ) задачи (4.1) является аналитическим в области {Reλ > 0}. Более того, в этой области имеет место оценка w wu ε(x, λ) w w L2(Ω) ≤ C \|λ\| , (6.5) где константа C не зависит от ε. Таким образом, учитывая теорему 2, аналитичность uε(x, λ) в {Reλ > 0} и равномерную оценку (6.5), с помощью теоремы Витали (см. [18]) заключаем, что uε(x, λ) сходится в L2(Ω) к некоторой вектор-функции w(x, λ) равномерно относи- тельно λ в любом компактном множестве области {Reλ > 0}. Предельная вектор- функция w(x, λ) является аналитической в области {Reλ > 0}, и в этой области w ww(x, λ) w w L2(Ω) ≤ C \|λ\| . (6.6) Более того, эта вектор-функция является минимизантом функционала (5.3), а сле- довательно, решением краевой задачи (при λ > 0): λ2ρu− 3 ∑ n,p,q,r=1 ∂ ∂xp [ aDnpqr(x)eqr[u] + aRnpqr(x)ωqr[u] ] en = ρa, x ∈ Ω, (6.7) u(x, λ) = 0, x ∈ ∂Ω. (6.8) Покажем теперь, что задача (6.7), (6.8) имеет единственное аналитическое ре- шение для всех Reλ > 0. Для этого нам понадобится следующая лемма. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 782 М. А. БЕРЕЖНОЙ Лемма 1. Для любой вектор-функции w ∈ H1 0 (Ω) имеет место неравенство C ∫ Ω [ aDnpqr + aRnpqr ]∂wn ∂xp ∂wq ∂xr dx ≥ ‖w‖2H1(Ω). (6.9) Доказательство. Для заданной вектор-функции w ∈ H1 0 (Ω) построим после- довательность дискретных вектор-функций wεh(x) в соответствии с (5.12). Исполь- зуя (5.14) и дискретное неравенство Корна (4.5), легко видеть, что lim h→0 lim ε→0 ‖wεh‖2H1(Ω) ≤ ≤ C ∫ Ω [ aDnpqr + aRnpqr ]∂wn ∂xp ∂wq ∂xr dx ≤ C‖w‖2H1(Ω). (6.10) Учитывая (6.10) и (5.7), заключаем, что последовательность wεh(x) (с точностью до подпоследовательности) сходится слабо в H1(Ω) к w(x). Поэтому ‖w‖2H1(Ω) ≤ lim h→0 lim ε→0 ‖wεh‖2H1(Ω) ≤ C ∫ Ω [ aDnpqr + aRnpqr ]∂wn ∂xp ∂wq ∂xr dx. Лемма доказана. Запишем теперь задачу (6.7), (6.8) в следующей слабой форме: Lλ[u, v] = Fλ[v] ∀v ∈ H1 0 (Ω), где Lλ[u, v] = λ ∫ Ω ρu · v dx+ 1 λ ∫ Ω [ aDnpqr + aRnpqr ]∂un ∂xp ∂vq ∂xr dx и Fλ[v] = 1 λ ∫ Ω 〈 ρa, v 〉 dx. Легко видеть, что \|Lλ[u, v]\| ≤ C‖u‖H1(Ω)‖v‖H1(Ω), \|Fλ[v]\| ≤ C‖v‖H1(Ω), Reλ > 0. (6.11) Более того, учитывая (6.9) и тождество aDnpqr + aRnpqr = aDqrnp + aRqrnp, приходим к выводу, что \|Lλ[u, v]\| ≥ C‖u‖2H1(Ω), Reλ > 0. (6.12) Объединяя теперь (6.11), (6.12) и используя теорему Лакса – Мильграма, заклю- чаем, что существует единственное решение u(x, λ) задачи (6.7), (6.8) для любого Reλ > 0. Более того, это решение является аналитическим в правой полуплоско- сти {Reλ > 0}, так как форма Lλ[u, v] аналитическая (см. [19]). Отсюда следует, что w(x, λ) = u(x, λ) в {Reλ > 0}. В силу оценок (6.5) и (6.6) можно применить обратное преобразование Лапласа (см., например, [18 – 20]]) и доказать теорему 3 (подробнее см. [11, 15 – 17, 21]). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 783 7. Периодическое расположение стержней. Приведем пример, когда условия I и II удовлетворяются, а коэффициенты anpqr(x), bnpqr(x) и cnpqr(x) могут быть вычислены точно. Напомним, что мы отождествляем все стержни (ориентирован- ные вдоль заданного направления l) с их центрами, взаимодействующими между собой посредством „эффективной” силы, определяемой равенством (2.1). Рассмотрим теперь периодическое расположение, при котором центры xiε стерж- ней Qi ε образуют кубическую решетку периода ε. Предполагается, что каждая вершина этой решетки взаимодействует посредством нецентральной силы (2.1) с „ближайшими” вершинами (в направлении ребер единичного куба периодичности), „ближними” вершинами (в направлении диагоналей граней куба) и „смежными” вершинами (в направлении диагоналей куба). То есть каждая вершина взаимодей- ствует с 33 − 1 = 26 другими вершинами решетки, причем предполагается, что упругие постоянные kij нецентральных сил взаимодействия (2.1) для „ближай- ших”, „ближних” и „смежных” вершин равны соответственно k1, k2 и k3 (рис. 2). На этом рисунке центр xiε фиксированного стержня изображен темным шаром, а Рис. 2. Основная периодическая решетка. центры стержней, с которыми он взаимодействует, отмечены светлыми шарами. Теорема 4. Для описанной кубической решетки (см. рис. 2) коэффициенты упругости anpqr(x), bnpqr(x) и cnpqr(x), определенные в (3.9) – (3.11), существуют и вычисляются с помощью формул annnn = ( k1 + √ 2k2 + 4 9 √ 3k3 ) 2 + l2nl 2 2 , annpp = 1 2 √ 2k2 + 4 9 √ 3k3, anpnp = 1 2 √ 2k2 + 4 9 √ 3k3 + ( k1 + √ 2k2 + 4 9 √ 3k3 ) (l2n + l2p)l 2 8 , annnp = ( k1 + √ 2k2 + 4 9 √ 3k3 ) lnlpl 2 4 , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 784 М. А. БЕРЕЖНОЙ anpnq = ( k1 + √ 2k2 + 4 9 √ 3k3 ) lplql 2 8 , bnnnp = − lnlpl 2 4 ( k1 + √ 2k2 + 4 9 √ 3k3 ) , bnpnq = − lplql 2 8 ( k1 + √ 2k2 + 4 9 √ 3k3 ) , bnpnp = (l2n − l2p)l 2 8 ( k1 + √ 2k2 + 4 9 √ 3k3 ) , cnpnq = lplql 2 8 ( k1 + √ 2k2 + 4 9 √ 3k3 ) , cnpnp = (l2n + l2p)l 2 8 ( k1 + √ 2k2 + 4 9 √ 3k3 ) , где индексы n, p, q, r различны. Во всех остальных случаях anpqr = bnpqr = = cnpqr = 0. Доказательство. Аналогично [11] можно показать, что имеют место равенства anpqr(x) = lim h→0 lim ε→0 1 2 ∑ i,jK x h 〈 Cij ε ϕ np(xiε − xjε), ϕ qr(xiε − xjε) 〉 h3 , bnpqr(x) = lim h→0 lim ε→0 1 2 ∑ i,jK x h 〈 Cij ε ϕ np(xiε − xjε), ψ qr(xiε − xjε) 〉 h3 , cnpqr(x) = lim h→0 lim ε→0 1 2 ∑ i,jK x h 〈 Cij ε ψ np(xiε − xjε), ψ qr(xiε − xjε) 〉 h3 , из которых с учетом формул (4.7) – (4.9) следует утверждение теоремы. Автор выражает благодарность Е. Я. Хруслову за плодотворные обсуждения результатов, изложенных в статье. 1. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps deformables. – Paris: Hermann, 1909. 2. Grioli G. Ellasticá asymmetrica // Ann. mat. pura ed appl. – 1960. – 4. – P. 389 – 418. 3. Mindlin R. D., Tiersten H. F. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1962. – 11. – P. 415 – 448. 4. Smolin I. Y., Makarov P. V., Shmick D. V., Savlevich I. V. A micropolar model of plastic deformation of polycrystals at the mesolevel // Comput. Mat. Sci. – 2000. – 19. – P. 133 – 142. 5. Zhang X., Sharma P. Inclusions and inhomogeneities in strain gradient elasticity with couple stresses and related problems // Int. J. Solids and Struct. – 2005. – 42. – P. 3833 – 3851. 6. Leonov A. I. Algebraic theory of linear viscoelastic nematodynamics // Math. Phys., Ana. and Geom. – 2008. – 11. – P. 87 – 116. 7. Berezhnyi M., Khruslov E. Non-standard dynamics of elastic composites // Networks and Heterogeneous Media. – 2011. – 6. – P. 89 – 109. 8. Landau L. D., Lifshitz E. M. Course of theoretical physics. quantum mechanics. Non-relativistic theory. – London: Pergamon, 1958. – 515 p. 9. Friesecke G., Theil F. Validity and failure of the Cauchy – Born rule in 2D mass-spring lattice // J. Nonlinear Sci. – 2002. – № 12. – P. 445 – 478. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 785 10. Marchenko V., Khruslov E. Homogenization of partial differential equations. – Boston: Birkhäuser, 2006. – 401 p. 11. Berezhnyy M. A., Berlyand L. V. Continuum limit for three-dimensional mass-spring networks and discrete Korn’s inequality // J. Mech. and Phys. Solids. – 2006. – 54. – P. 635 – 669. 12. Oleinic O. A., Shamaev A. S., Iosif’yan G. A. Mathematical problems in elasticity and homogenization // Stud. Math. and Appl. – Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1982. – 26. 13. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1977. – 504 с. 14. Косевич А. М. Теория кристаллической решетки (физическая механика кристалла). – Харьков: Вища шк., 1988. – 304 с. 15. Berezhnyi M. A. The asymptotic behavior of viscous incompressible fluid small oscillations with solid interacting particles // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2007. – 3. – P. 135 – 156. 16. Berezhnyi M., Berlyand L., Khruslov E. The homogenized model of small oscillations of complex fluids // Networks and Heterogeneous Media. – 2008. – 3. – P. 835 – 869. 17. Бережний М. А. Усередненi моделi структурованих рiдин: Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Харкiв, 2009. – 159 с. URL: http://www.lib.ua-ru.net/diss/cont/354154.html. 18. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. – М.: Наука, 1968. 19. Kato T. Perturbation theory for linear operators. – Springer, 1995. – 652 p. 20. Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Integral transforms and operational calculus. – Oxford; New York: Pergamon, 1965. – 529 p. 21. Berlyand L., Khruslov E. Homogenized non-Newtonian viscoelastic rheology of a suspension of interacting particles in a viscous Newtonian fluid // SIAM J. Appl. Math. – 2004. – 64. – P. 1002 – 1034. Получено 24.01.11, после доработки — 08.04.11 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6

Дискретная модель несимметричной теории упругости

Institution

Ähnliche Einträge