Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних
Получено интегральное представление четных функций двух переменных, для которых ядро [k₁(x+y)+k₂(x−y)], x,y∈R², положительно определено.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166249 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних / О.В. Лопотко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 844–853. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166249 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662492020-02-19T01:28:40Z Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних Лопотко, О.В. Короткі повідомлення Получено интегральное представление четных функций двух переменных, для которых ядро [k₁(x+y)+k₂(x−y)], x,y∈R², положительно определено. We obtain integral representation of even functions of two variables, for which the kernel [k₁(x+y)+k₂(x−y)], x,y∈R², is positive definite. 2011 Article Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних / О.В. Лопотко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 844–853. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166249 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Лопотко, О.В. Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних Український математичний журнал |
| description |
Получено интегральное представление четных функций двух переменных, для которых ядро [k₁(x+y)+k₂(x−y)], x,y∈R², положительно определено. |
| format |
Article |
| author |
Лопотко, О.В. |
| author_facet |
Лопотко, О.В. |
| author_sort |
Лопотко, О.В. |
| title |
Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_short |
Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_full |
Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_fullStr |
Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_full_unstemmed |
Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_sort |
інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166249 |
| citation_txt |
Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних / О.В. Лопотко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 844–853. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT lopotkoov íntegralʹnezobražennâparnihdodatnoviznačenihfunkcíjdvohzmínnih |
| first_indexed |
2025-07-14T21:03:55Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:03:55Z |
| _version_ |
1837657789719117824 |
| fulltext |
© О. В. ЛОПОТКО , 2011
844 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
УДК 517.9
О. В. Лопотко (Нац. лісотехн. ун-т України, Львів)
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО
ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ
We obtain integral representation of even functions of two variables, for which the kernel [k1 (x + y) +
+ k2 (x ! y)] , x, y ! R2 , is positive definite.
Получено интегральное представление четных функций двух переменных, для которых ядро [k1 (x +
+ y) + k2 (x ! y)] , x, y ! R2 , положительно определено.
У роботі [3] М. Г. Крейн застосував метод спрямованих функціоналів для
одержання інтегральних зображень додатно визначених ядер K(x, y) , x, y !R1 .
Ю. М. Березанський в [1] запропонував метод одержання інтегральних зображень
для додатно визначених ядер K(x, y) , x, y !R1 , за допомогою власних функцій
диференціальних операторів. Цей метод полягає у введенні за ядром K(x, y) ,
x, y !R1 , гільбертового простору і побудові розвинення за узагальненими
власними векторами самоспряжених операторів, які розглядаються у цьому
просторі; відповідна рівність Парсеваля дає потрібне зображення. У монографії
[2] за цією методикою доведено теорему про інтегральне зображення парних
додатно визначених (п.д.в.) функцій скінченної кількості змінних. У роботі [4]
побудовано інтегральне зображення для пари парних додатно визначених (п.п.д.в.)
функцій однієї змінної. У даній роботі доведено теорему для п.п.д.в. функцій двох
змінних. Ця теорема є узагальненням прикладів 3, 4 [2, с. 712].
Означення. Пару парних дійсних неперервних функцій k1(x) , k2 (x) , x !R2 ,
будемо називати додатно визначеними (п.п.д.в.), якщо для довільної фінітної
функції u(x) !C0" (R2 ) виконується нерівність
k1(x + y) + k2 (x ! y)[ ]
R2
"
R2
" u(y)u(x) dxdy # 0 , (1)
тобто неперервне ядро K(x, y) = k1(x + y) + k2 (x ! y)[ ] повинно бути додатно
визначеним.
Теорема. Кожна п.п.д.в. функцій k1(x) , k2 (x) , x !R2 , допускає зобра-
ження
k1(x1; x2 ) + k2 (0; 0) = 1+ cos !1x1
2
R2
"
1+ cos !2 x2
2
d#1(!1; !2 ) +
+ 1+ cos !1x1
2
R2
"
1# cos !2 x2
2!2
d$2 (!1; !2 ) +
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ … 845
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
+ 1! cos "1x1
2"1R2
#
1+ cos "2 x2
2
d$3("1; "2 ) +
+ 1! cos "1x1
2"1R2
#
1! cos "2 x2
2"2
d$4 ("1; "2 ) , (2)
k1(0; 0) + k2 (x1; x2 ) = 1+ cos !1x1
2
R2
"
1+ cos !2 x2
2
d#1(!1; !2 ) –
– 1+ cos !1x1
2
R2
"
1# cos !2 x2
2!2
d$2 (!1; !2 ) –
– 1! cos "1x1
2"1R2
#
1+ cos "2 x2
2
d$3("1; "2 ) +
+ 1! cos "1x1
2"1R2
#
1! cos "2 x2
2"2
d$4 ("1; "2 ) , (3)
де d!1("1; "2 ) , d!2 ("1; "2 ) , d!3("1; "2 ) , d!4 ("1; "2 ) — борелівські невід’ємні
міри, причому
d!4 ("1; "2 ) = "1"2d!1("1; "2 ) , (4)
!1d"2 (!1; !2 ) = !2d"3(!1; !2 ) . (5)
Якщо k1(x1; x2 ) ! Ce
N x12+x22( ) і k2 (x1; x2 ) ! Ce
N x12+x22( ) , C, N > 0 , для всіх
x !R2 , то міри у (2) і (3) визначаються однозначно. У випадку, коли k1(x) = 0 ,
міра d!1("1; "2 ) зосереджена на 0;![ ) " 0;![ ) і визначається однозначно, до
того ж
d!2 ("1; "2 ) = "2d!1("1; "2 ) , (6)
d!3("1; "2 ) = "1d!1("1; "2 ) , (7)
d!4 ("1; "2 ) = "1"2d!1("1; "2 ) . (8)
У випадку, коли k2 (x) = 0 , міра d!1("1; "2 ) зосереджена на !"; 0( ]# !"; 0( ]
і визначається однозначно, до того ж
d!2 ("1; "2 ) = #"2d!1("1; "2 ) , (9)
d!3("1; "2 ) = #"1d!1("1; "2 ) , (10)
d!4 ("1; "2 ) = "1"2d!1("1; "2 ) . (11)
Навпаки, функції виду (2), (3) з умовами (4), (5) є п.п.д.в. функціями.
Доведення. За функціями k1(x) , k2 (x) введемо квазіскалярний добуток у
просторі L2 (R2 , dx)
846 О. В. ЛОПОТКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
u, ! Hk
= K(x, y)
R1
" u(y) !(x) dxdy
R1
" , u, ! "C0# (R2 ) . (12)
Після проведення факторизації й поповнення відносно (12) одержимо
гільбертовий простір Hk .
Позначимо через Aj , j = 1, 2 , мінімальний оператор у просторі
H0 = L2 (R2; dx) , який відповідає виразу L1
( j) = ! "2
"x j2
, j = 1, 2 . Кожний із
операторів Aj , j = 1, 2 , допускає продовження оснащення з D = C0! (R2 ) .
Звуження Aj , j = 1, 2 , на D буде збігатися з відображенням u! L( j)+u ,
u !C0" (R2 ) , у просторі Hk . За оператори Bj , j = 1, 2 (див. [2, с. 702, 703],
VIII), можна прийняти оператори u! L( j)+u , u !C0" (R2 ) , які діють у просторі
H+
( j) = L2 R j ; p( j) (x j )dx j( ) , де p(x) вибираємо так, щоб
K(x, x)
R2! / p(x)dx < " . Роль операторів C j в H+ будуть відігравати
оператори вигляду u! L( j)+u , де u !D(C1) = H+
(1) "C0# (R1) і
D(C2 ) = C0! (R1)" H+
(1) . Оскільки комутативність K(x, y) і Aj еквівалентна
ермітовості C j в Hk , то можна обмежитись перевіркою ермітовості C j в
Hk , тобто рівності
L( j)+u, ! = u, L( j)+! , u, ! "C0# (R2 ) , j = 1, 2 . (13)
Для гладкого додатно визначеного ядра K(x, y) рівність (13) виконується.
Перевіримо (13) для довільного додатно визначеного ядра K(x, y) . Цю
перевірку достатньо здійснити на функціях виду u(x1) u(x2 ) , оскільки вони
щільні у L2 (R2; dx) .
Нехай j = 1 . Введемо допоміжні парні функції
f1(t) = K1(t, x2 + y2 )
R1
! u(y2 )u(x2 ) dx2dy2
R1
!
і
f2 (t) = K2 (t, x2 ! y2 )
R1
" u(y2 )u(x2 ) dx2dy2
R1
" ,
тоді
L(1)+u, ! = f1(x1 + y1)
!2
!y12R1
" u(y1)v(x1)dx1dy1
R1
" +
+ f2 (x1 ! y1)
"2
"y12R1
# u(y1)$(x1)dx1dy1
R1
# =
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ … 847
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
= f1
R1
! (y1)
"2
"y12
u(y1 # x1)$(x1)dx1
R1
!
%
&
''
(
)
**
dy1 +
+ f2
R1
! (y1)
"2
"y12
u(y1 + x1)#(x1)dx1
R1
!
$
%
&&
'
(
))
dy1 =
= f1(x1 + y1)u(y1)
!2
!x12R1
" #(x1)dx1dy1
R1
" +
+ f2 (x1 ! y1)u(y1)
"2
"x12R1
# $(x1)dx1dy1
R1
# = u, L(1)+$ .
Таким чином, K(x, y) комутує з ! "2
"x j2
, j = 1, 2 .
Тепер для ядра K(x, y) можна застосувати теорему 4.3 [2, с. 708, 709] і
одержати зображення
k1(x + y) + k2 (x ! y)[ ] = !" (x, y)d#(")
R2
$ =
= X!
!,"#A
$ (x, %)
R2
& X" (y, %) d'!" (%) , x, y !R2 , (14)
де
! "2
"x j2
#$ = $ j#$ , ! "2
"y j2
#$ = $ j#$ ,
d!"# ($) =
%"1+"2+#1+#2&$
%x1
"1%x2
"2%y1
#1%y2
#2
'
(
)
*
+
, (0; 0)d-($) ,
до того ж
!1
"2
"x2"y2
#! (0; 0) = !2
"2
"x1"y1
#! (0; 0) , (15)
!4
!x1!x2!y1!y2
"# (0; 0) = #1#2"# (0; 0) , (16)
і X! (x, ") = X!1
(1)(x1, "1)X!2
(2)(x2 , "2 ) , X0
( j) (x j , !) = cos ! j x j , X1
( j) (x j , !) =
=
sin ! j x j
! j
, j = 1, 2 , A — паралелепіпед з цілочисловими вершинами !1 = 0,1 ;
!2 = 0,1 .
Якщо тепер виконаємо у (14) заміну x1 = !x1 , y1 = !y1 і додамо отриману
848 О. В. ЛОПОТКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
рівність до (14), а потім в одержаній рівності виконаємо заміну x2 = !x2 ,
y2 = !y2 і додамо одержану рівність до попередньої рівності, отримаємо
зображення
k1(x1 + y1; x2 + y2 ) + k2 (x1 ! y1; x2 ! y2 )[ ] =
= cos !1x1 cos !2 x2
R2
" cos !1y1 cos !2 y2d#0000 (!1; !2 ) +
+ cos !1x1
sin !2 y2
!2
cos !1y1
sin !2 y2
!2
d"0101(!1; !2 )
R2
# +
+ sin !1x1
!1
cos !2 x2
sin !1y1
!1
cos !2 y2d"1010 (!1; !2 )
R2
# +
+ sin !1x1
!1
sin !2 x2
!2
sin !1y1
!1
sin !2 y2
!2
d"1111(!1; !2 )
R2
# , (17)
причому, завдяки (15), (16), d!1111("1; "2 ) = !1!2d"0000 (!1; !2 ) і 1 0101 1(d! " ! ;
2 )! = 2 1010 1 2( ; )d! " ! ! , тобто виконано умови (4), (5). Якщо тепер у (17)
покладемо 1 1y x= , 2 2y x= , то дістанемо зображення (2), а якщо покладемо
1 1y x= ! , 2 2y x= ! , то одержимо (3).
Однозначність мір у (2), (3), якщо 1( )k x , 2 ( )k x задовольняють оцінки,
випливає з того, що замикання в kH операторів jC , 1, 2j = , самоспряжене і
комутуюче.
Останнє твердження теореми доводиться таким чином.
Із зображення (2) знаходимо
1 1 1 2 2( ; ) (0; 0)k x y x y k+ + + =
=
2
1 1 1 2 2 2
1 1 2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
+ ! + + ! +
" ! !# +
+ 1+ cos !1 (x1 + y1)
2
R2
"
1# cos !2 (x2 + y2 )
2!2
d$2 (!1; !2 ) +
+ 1! cos "1 (x1 + y1)
2"1R2
#
1+ cos "2 (x2 + y2 )
2
d$3("1; "2 ) +
+ 1! cos "1 (x1 + y1)
2"1R2
#
1! cos "2 (x2 + y2 )
2"2
d$4 ("1; "2 ) . (18)
Із зображення (3) отримуємо
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ … 849
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
k1(0; 0) + k2 (x1 ! y1; x2 ! y2 ) =
=
2
1 1 1 2 2 2
1 1 2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
+ ! " + ! "
# ! !$ –
–
2
1 1 1 2 2 2
2 1 2
2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
+ ! " " ! "
# ! !
!$ –
–
2
1 1 1 2 2 2
3 1 2
1
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
! " ! + " !
# " "
"$ +
+
2
1 1 1 2 2 2
4 1 2
1 2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
! " ! ! " !
# " "
" "$ . (19)
Додавши (18) і (19), з урахуванням (4), (5) одержимо рівність
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2( ; ) ( ; ) (0; 0) (0; 0)k x y x y k x y x y k k+ + + ! ! + + =
=
2
1 1 2( ; )
R
d! " "# +
+ cos !1x1 cos !2 x2 cos !1y1 cos !2 y"#
R2
$ +
+ sin !1x1 sin !2 x2 sin !1y1 sin !2 y "# d$1(!1; !2 ) +
+ sin !1x1 sin !1y1 cos !2 x2 cos !2 y2
!2
"
#$
R2
% +
+ cos !1x1 cos !1y1 sin !2 x2 sin !2 y2
!2
"
#$
d%2 (!1; !2 ).
Тоді, оскільки 1 2(0; 0) (0; 0)k k+ = 2 1 1 2( ; )
R
d! " "# (це випливає з (18) або (19)), з
урахуванням (4), (5) отримуємо
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2( ; ) ( ; )k x y x y k x y x y+ + + ! ! =
=
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2cos cos cos cos ( ; )
R
x x y y d! ! ! ! " ! !# +
+
2
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 2
2 2
sin sin
cos cos ( ; )
R
x y
x y d
! !
! ! " ! !
! !# +
+
2
11 1 1
2 2 2 2 3 1 2
1 1
sin sincos cos ( ; )
R
x y
x y d
! !
! ! " ! !
! !# +
850 О. В. ЛОПОТКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
+
2
2 1 21 1 2 1 2
4 1 2
1 2 1 2
sin sin sin sin ( ; )
R
x x y y
d
! ! ! !
" ! !
! ! ! !# . (20)
За допомогою рівності (20) перевіряємо умову (1).
Теорему доведено.
У випадку, коли у нерівності (1) 2 ( ) 0k x = , оператори 0jA ! , 1, 2j = .
Дійсно, наприклад, для 1j = маємо
A1u, u = ! f1(x1 + y1) ""u (y1)u(x1)dx1dy1
R1
#
R1
# =
1 1 1 1 1 1( )x y t y t x+ = ! = "
= ! f1(t1) ""ut1 (t1 ! x1)dt1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
u (x1)dx1
R1
# =
= ! f1(t1) ""ut1 (t1 ! x1)dt1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
u (x1)dx1
R1
# =
= ! f1(t1) ""ut1 (t1 ! x1)u (x1)dx1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
R1
# dt1 =
=
!!ux1 (t1 " x1)u (x1) dx1 =
R1
#
= "u(x1) !ux1 (t1 " x1)$% &'"(
(
+ !ux1 (t1 " x1) !u (x1)dx1
R1
#
!!ux1 (t1 " x1) dx1 = d) * ) = " !ux1 (t1 " x1)
u(x1) = u * du = !u (x1) dx1
+
,
-
-
-
-
-
-
-
--
.
/
0
0
0
0
0
0
0
00
=
= ! f1(t1) "ux1 (t1 ! x1) "u (x1) dx1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
dt1
R1
# =
= ! f1(x1 + z1) "u (z1) "u (x1) dx1dz1 # 0
R1
$
R1
$ .
1 1 1 1 1 1( )t x z t x z! = " = +
Тому інтегрування у зображенні (17) буде здійснюватися по 2 1 1R R R! != " . Еле-
ментарне ядро буде мати вигляд
( ; )x y!" = 1 1 2 2 1 1 2 2ch ch ch chx x y y!" !" !" !" +
+ 1 1 2 2 1 1 2 2ch sh ch shx x y y!" !" !" !" +
+ 1 1 2 2 1 1 2 2sh ch sh chx x y y!" !" !" !" +
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ … 851
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
+ 1 1 2 2 1 1 2 2sh sh sh shx x y y!" !" !" !" , 2R! " ,
і міри у (17) будуть пов’язані співвідношеннями (9) – (11):
d!0000 ("1; "2 ) = #" (0; 0)d$("1; "2 ) = d$1("1; "2 ) ,
d!0101("1; "2 ) =
#2
#x2#y2
$" (0; 0)d%("1; "2 ) = &"2d%1("1; "2 ) = d%2 ("1; "2 ) ,
d!1010 ("1; "2 ) =
#2
#x1#y1
$" (0; 0)d%("1; "2 ) = &"1d%1("1; "2 ) = d%3("1; "2 ) ,
d!1111("1; "2 ) = !4
!x1!y1!x2!y2
"# (0; 0)d$(#1; #2 ) =
= !1!2d"1(!1; !2 ) = d!4 ("1; "2 ) .
Якщо тепер у зображенні (17) покладемо x1 = y1 , x2 = y2 , то одержимо
k1(x1; x2 ) = ch !"1x1ch !"2 x2
R2
# d$1("1; "2 ) і k1(0; 0) = d!1("1; "2 )
R2
# ,
тобто зображення (2) і (3).
У випадку, коли у нерівності (1) k1(x) = 0 , оператори Aj ! 0 , j = 1, 2 .
Дійсно, наприклад, для j = 1 маємо
A1u, u = ! f1(x1 ! y1) ""u (y1)u(x1)dx1dy1
R1
#
R1
# =
(x1 ! y1 = t1 " y1 = x1 ! t1)
= ! f2 (t1) ""ut1 (x1 ! t1)dt1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
R1
# u(x1)dx1 =
= ! f2 (t1) ""ux1 (x1 ! t1)dt1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
R1
# u(x1)dx1 =
= ! f2 (t1)
R1
" ##ut1 (x1 ! t1)u(x1)dx1
R1
"
$
%
&&
'
(
))
dt1 =
=
!!ux1 (x1 " t1)u (x1)dx1 =
R1
#
= u(x1) !ux1 (x1 " t1)$% &'"(
(
" !ux1 (x1 " t1) !u (x1)dx1
R1
#
!!ux1 (x1 " t1)dx1 = d) * ) = " !ux1 (x1 " t1)
u(x1) = u * du = !u (x1)
+
,
-
-
-
-
-
-
-
--
.
/
0
0
0
0
0
0
0
00
=
852 О. В. ЛОПОТКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
= f2 (t1) !ux1 (x1 " t1) !u (x1) dx1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
dt1
R1
# =
= f2 (x1 ! z1) "u (z1) "u (x1)dx1dz1 # 0
R1
$
R1
$ .
(x1 ! y1 = z1 " t1 = x1 ! z1)
Тому інтегрування у зображенні (17) буде здійснюватися по R+2 = R+1 ! R+1 .
Елементарне ядро буде мати вигляд
!" (x; y) = cos "1x1 cos "2 x2 cos "1y1 cos "2 y2 +
+ cos !1x1 sin !2 x2 cos !1y1 sin !2 y2 +
+ sin !1x1 cos !2 x2 sin !1y1 cos !2 y2 +
+ sin !1x1 sin !2 x2 sin !1y1 sin !2 y2 , ! "R+2 ,
і міри у (17) будуть пов’язані співвідношеннями (6) – (8):
d!0000 ("1; "2 ) = #" (0; 0)d$("1; "2 ) = d$1("1; "2 ) ,
d!0101("1; "2 ) =
#2
#x2#y2
$" (0; 0)d%("1; "2 ) = "2d%1("1; "2 ) = d%2 ("1; "2 ) ,
d!1010 ("1; "2 ) =
#2
#x1#y1
$" (0; 0)d%("1; "2 ) = "1d%1("1; "2 ) = d%3("1; "2 ) ,
d!1111("1; "2 ) = !4
!x1!y1!x2!y2
"# (0; 0)d$(#1; #2 ) =
= !1!2d"1(!1; !2 ) = d!4 ("1; "2 ) .
Якщо тепер у зображенні (17) покладемо x1 = y1 , x2 = y2 , то одержимо
k2 (x1; x2 ) = cos !1x1 cos !2 x2
R+2
" d#1(!1; !2 ) і k2 (0; 0) = d!1("1; "2 )
R+2
# ,
тобто зображення (2) і (3).
Зауваження. 1. Нехай k1(x) = k2 (x) =
1
2
k(x1; x2 ) , тоді з (2) і (3) випливає
1+ cos !1x1
2
R2
"
1# cos !2 x2
2!2
d$2 (!1; !2 ) +
+ 1! cos "1x1
2"1R2
#
1+ cos "2 x2
2
d$3("1; "2 ) = 0 .
Тому
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНИХ ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ФУНКЦІЙ … 853
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
1
2
k(x1; x2 ) +
1
2
k(0; 0) = 1+ cos !1x1
2
R2
"
1+ cos !2 x2
2
d#1(!1; !2 ) +
+ 1! cos "1x1
2"1R2
#
1! cos "2 x2
2"2
d$4 ("1; "2 ) .
З урахуванням (4) попереднє зображення набере вигляду
1
2
k(x1; x2 ) +
1
2
k(0; 0) = 2 + 2 cos !1x1 cos !2 x2
4
R2
" d#1(!1; !2 ) ,
або
k2 (x1; x2 ) = cos !1x1 cos !2 x2
R2
" d#1(!1; !2 ) ,
тобто одержимо зображення (4.22) із [2, с. 712].
2. Нехай k1(x) =
1
2
k(x) , k2 (x) = ! 1
2
k(x) , k(0; x2 ) = k(x1; 0) = 0 . Тоді у (2) і
(3) d!1("1; "2 ) = 0 , оскільки k(0; 0) = 0 . Міра d!2 ("1; "2 ) # 0 , позаяк
k(x1; 0) = 0 , і міра d!3("1; "2 ) # 0 , бо k(0; x2 ) = 0 . Тоді одержимо відоме
зображення з [2, с. 712]
k(x1; x2 ) =
1! cos "1x1
"1R2
#
1! cos "2 x2
"2
d$4 ("1; "2 ) .
1. Березанский Ю. М. Обобщение теоремы Бохнера на разложения по собственным функциям
дифферениальных операторов // Докл. АН СССР. – 1956. – 108, № 3. – С. 893 – 896.
2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев:
Наук. думка, 1965. – 798 с.
3. Крейн М. Г. Об одном общем методе разложения положительно определенных ядер на
элементарные произведения // Докл. АН СССР. – 1946. – 53, № 1. – С. 3 – 6.
4. Лопотко О. В. Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій однієї змінної // Укр.
мат. журн. – 2010. – 62, № 2. – С. 281 – 284.
Одержано 27.04.09,
після доопрацювання — 11.04.11
|