Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств
Розв’язано екстремальну задачу про знаходження максимуму функцiонала.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166250 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств / А.К. Бахтин // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 867–879. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166250 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662502020-02-19T01:28:19Z Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств Бахтин, А.К. Статті Розв’язано екстремальну задачу про знаходження максимуму функцiонала. We solve the extremal problem of finding the maximum of the functional. 2011 Article Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств / А.К. Бахтин // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 867–879. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166250 517.54 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бахтин, А.К. Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств Український математичний журнал |
| description |
Розв’язано екстремальну задачу про знаходження максимуму функцiонала. |
| format |
Article |
| author |
Бахтин, А.К. |
| author_facet |
Бахтин, А.К. |
| author_sort |
Бахтин, А.К. |
| title |
Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств |
| title_short |
Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств |
| title_full |
Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств |
| title_fullStr |
Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств |
| title_full_unstemmed |
Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств |
| title_sort |
обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166250 |
| citation_txt |
Обобщенные (n, d)-лучевые системы точек и неравенства для неналегающих областей и открытых множеств / А.К. Бахтин // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 867–879. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak obobŝennyendlučevyesistemytočekineravenstvadlânenalegaûŝihoblastejiotkrytyhmnožestv |
| first_indexed |
2025-07-14T21:04:03Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:04:03Z |
| _version_ |
1837657799048298496 |
| fulltext |
УДК 517.54
А. К. Бахтин, А. Л. Таргонский (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ОБОБЩЕННЫЕ (n, d)-ЛУЧЕВЫЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК
И НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЕЙ
И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ
We solve the extremal problem of finding the maximum of the functional
n∏
k=1
mk∏
p=1
r(Bk,p, ak,p),
where
mk ∈ N,
n∑
k=1
mk = m, n,m ∈ N, 0 < |ak,1| < . . . < |ak,mk | <∞,
arg ak,1 = arg ak,2 = . . . = arg ak,mk =: θk, k = 1, n,
0 = θ1 < θ2 < . . . < θn < θn+1 := 2π,
and r(B, a) is the inner radius of a domain B with respect to a point a ∈ B. The points ak,p, k = 1, n,
p = 1,mk, are not fixed. Some generalizations of these results are also considered.
Розв’язано екстремальну задачу про знаходження максимуму функцiонала
n∏
k=1
mk∏
p=1
r(Bk,p, ak,p),
де
mk ∈ N,
n∑
k=1
mk = m, n,m ∈ N, 0 < |ak,1| < . . . < |ak,mk | <∞,
arg ak,1 = arg ak,2 = . . . = arg ak,mk =: θk, k = 1, n,
0 = θ1 < θ2 < . . . < θn < θn+1 := 2π,
r(B, a) — внутрiшнiй радiус областi B вiдносно точки a ∈ B. Точки ak,p, k = 1, n, p = 1,mk, не
фiксованi. Також розглянуто деякi узагальнення цих результатiв.
Целью данной работы является получение точных оценок произведений внутрен-
них радиусов наборов взаимно неналегающих областей. Задачи такого типа впер-
вые возникли в работе [1], в которой, в частности, поставлена и решена задача
о произведении конформных радиусов двух взаимно непересекающихся односвяз-
ных областей. Этот результат привлек внимание специалистов по геометрической
теории функций комплексной переменной и вызвал поток исследований, посвя-
щенных его обобщению и усилению (см., например, [2 – 15]).
На современном этапе большое внимание уделяется изучению экстремальных
задач о неналегающих областях со свободными полюсами соответствующих квад-
ратичных дифференциалов (см., например, [3 – 7]). Совокупность свободных по-
люсов образует систему точек комплексной плоскости, от геометрических свойств
которой зависит возможность полного решения конкретной экстремальной задачи.
c© А. К. БАХТИН, А. Л. ТАРГОНСКИЙ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7 867
868 А. К. БАХТИН, А. Л. ТАРГОНСКИЙ
Замечено, что в случае расположения свободных полюсов на некоторой фиксиро-
ванной окружности удается полностью решить некоторые экстремальные задачи
для неналегающих областей и их обобщений. В работах [7, 8, 10] были введе-
ны более общие системы точек, названные n-лучевыми. В данной работе удалось
обобщить понятие n-лучевой системы точек.
Пусть N, R — множества натуральных и вещественных чисел соответственно,
C — комплексная плоскость, C = C
⋃
{∞} — ее одноточечная компактификация
или сфера Римана, R+ = (0,∞).
Пусть n,m, d ∈ N, m = nd. Рассмотрим все возможные наборы натуральных
чисел {mk}nk=1 такие, что
n∑
k=1
mk = m. (1)
Систему точек
An,d =
{
ak,p ∈ C : k = 1, n, p = 1,mk
}
,
где {mk}nk=1 — произвольный набор вида (1), назовем обобщенной (n, d)-лучевой
системой точек, если при всех k = 1, n, p = 1,mk выполняются соотношения
0 < |ak,1| < . . . < |ak,mk | <∞,
arg ak,1 = arg ak,2 = . . . = arg ak,mk =: θk,
0 = θ1 < θ2 < . . . < θn < θn+1 := 2π.
(2)
Для таких систем точек рассмотрим следующие величины:
αk =
1
π
[θk+1 − θk] , k = 1, n, αn+1 := α1, α0 := αn,
n∑
k=1
αk = 2.
Если mk = d, k = 1, n, то обобщенная система точек совпадает с обычной (n, d)-
лучевой системой. При n = m (d = 1,mk = 1, k = 1, n) получаем n-лучевую
систему точек (см. [7 – 11]).
При выполнении условий αk =
2
n
, k = 1, n, систему точек An,d будем называть
равноугольной.
Рассмотрим систему угловых областей:
Pk = {w ∈ C : θk < argw < θk+1}, k = 1, n.
Умножение обобщенной (n, d)-лучевой системы An,d = {ak,p} на число t ∈ R+
определим следующим образом: tAn,d = {tak,p}.
Для произвольной обобщенной (n, d)-лучевой системы рассмотрим „управля-
ющий” функционал
µ := µ (An,d) :=
n∏
k=1
mk∏
p=1
[
χ
(
|ak,p|1/αk
)
χ
(
|ak,p|1/αk−1
)]1/2
|ak,p|,
где χ(t) =
1
2
(
t+
1
t
)
, t ∈ R+.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБОБЩЕННЫЕ (n, d)-ЛУЧЕВЫЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК И НЕРАВЕНСТВА . . . 869
ПустьD,D ⊂ C,— произвольное открытое множество иw = a ∈ D. ТогдаD(a)
обозначает связную компоненту D, содержащую a. Для произвольной обобщенной
(n, d)-лучевой системы An,d = {ak,p} и открытого множества D, An,d ⊂ D, обо-
значим через Dk(ap,s) связную компоненту множества D(ap,s)
⋂
Pk, содержащую
точку ap,s, k = 1, n, p = k, k + 1, s = 1,mk, an+1,s := a1,s.
На множестве пар целочисленных индексов (k, p) определим равенство следу-
ющим образом: (k, p) = (q, s)⇔ k = q и p = s.
Будем говорить, что открытое множество D, An,d ⊂ D, удовлетворяет усло-
вию неналегания относительно заданной обобщенной (n, d)-лучевой системыAn,d,
если
Dk(ap,l)
⋂
Dk(aq,s) = ∅
при каждом фиксированном k = 1, n и для всех различных точек ap,l и aq,s,
принадлежащих P k.
Обозначим через r(B, a) внутренний радиус области B ⊂ C относительно
точки a ∈ B (см. [4 – 6, 14]).
Пусть для произвольных n, d ∈ N, n ≥ 2, A
(1)
n,d обозначает (n, d)-лучевую равно-
угольную систему точек, образованную полюсами квадратичного дифференциала
Q(w)dw2, где
Q(w) = − wn−2(1 + wn)2d−2[(
1− iwn/2
)2d
+
(
1 + iwn/2
)2d]2 . (3)
Для системы A
(1)
n,d в соотношениях (2) выполняется условие mk = d, k = 1, n.
Более того, система точек A
(1)
n,d обладает симметрией относительно окружности
|w| = 1. Эти свойства нетрудно получить из общей теории квадратичных диффе-
ренциалов [15].
В настоящей работе изучаются следующие задачи.
Задача 1. Пусть n,m, d ∈ N, m = nd, n ≥ 2. Определить максимум величины
J =
n∏
k=1
mk∏
p=1
r(Bk,p, ak,p), k = 1, n, p = 1,mk,
где An,d = {ak,p} — любая обобщенная (n, d)-лучевая система точек вида (2), а
{Bk,p} — произвольный набор попарно непересекающихся областей, ak,p ∈ Bk,p ⊂
⊂ C, и описать все экстремали.
Задача 2. Пусть n,m, d ∈ N, m = nd, n ≥ 2. Определить максимум величины
I =
n∏
k=1
mk∏
p=1
r(D, ak,p), k = 1, n, p = 1,mk,
где An,d = {ak,p} — любая обобщенная (n, d)-лучевая система точек вида (2), а
D — произвольное открытое множество, удовлетворяющее условию неналегания
относительно заданной обобщенной (n, d)-лучевой системы An,d, ak,p ∈ D ⊂ C, и
описать все экстремали.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
870 А. К. БАХТИН, А. Л. ТАРГОНСКИЙ
Ясно, что эти задачи обобщают соответствующие постановки задач, рассмот-
ренных в [7 – 11].
Теорема 1. Пусть n,m, d ∈ N, m = nd, n ≥ 2. Тогда для любой обобщенной
(n, d)-лучевой системы точек An,d = {ak,p}, µ(An,d) = µ(A
(1)
n,d) и произвольного
набора взаимно непересекающихся областей {Bk,p}, ak,p ∈ Bk,p ⊂ C, выполняется
неравенство
n∏
k=1
mk∏
p=1
r(Bk,p, ak,p) ≤
(
4
nd
)nd
µ
(
A
(1)
n,d
)
. (4)
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда точки ak,p и области
Bk,p являются, соответственно, полюсами и круговыми областями квадратично-
го дифференциала (3).
Неравенство (4) дает оценку функционала J на всем классе систем точек, рас-
смотренных в задаче 1. Для обобщенных (n, d)-лучевых систем с учетом конкре-
тики условия (1) получено несколько более сильное утверждение.
Теорема 2. Пусть n,m, d ∈ N, m = nd, n ≥ 2. Тогда для произвольной обоб-
щенной (n, d)-лучевой системы точек An,d = {ak,p}, µ(An,d) = µ(A
(1)
n,d), имеющей
конкретную совокупность чисел {mk}nk=1 вида (1), и произвольного набора попарно
непересекающихся областей {Bk,p}, ak,p ∈ Bk,p ⊂ C, выполняется неравенство
J ≤
(
2
d
)nd n∏
k=1
α
(mk+mk+1)/2
k µ
(
A
(1)
n,d
)
, (5)
где mn+1 := m1. Знак равенства в этом неравенстве достигается при тех же
условиях, что и в теореме 1.
При обобщении предыдущих теорем на открытые множества удается получить
следующие утверждения.
Теорема 3. Пусть n,m, d ∈ N, m = nd, n ≥ 2. Тогда для произвольной
обобщенной (n, d)-лучевой системы точек An,d = {ak,p}, µ(An,d) = µ(A
(1)
n,d), и
любого открытого множества D, An,d ⊂ D ⊂ C, удовлетворяющего условию
неналегания относительно системы An,d, выполняется неравенство
n∏
k=1
mk∏
p=1
r(D; ak,p) ≤
(
4
nd
)nd
µ
(
A
(1)
n,d
)
,
гдеmn+1 := m1. Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда открытое
множество D =
n⋃
k=1
mk⋃
s=1
Bk,s, где Bk,s — система круговых областей квадратич-
ного дифференциала (3).
Теорема 4. Пусть n,m, d ∈ N, m = nd, n ≥ 2. Тогда для произвольной обоб-
щенной (n, d)-лучевой системы точек An,d = {ak,p}, µ(An,d) = µ(A
(1)
n,d), имеющей
конкретную совокупность чисел {mk}nk=1 вида (1), и любого открытого множе-
ства D, An,d ⊂ D ⊂ C, удовлетворяющего условию неналегания относительно
системы An,d, выполняется неравенство
n∏
k=1
mk∏
p=1
r(D, ak,p) ≤
(
2
d
)nd n∏
k=1
α
(mk+mk+1)/2
k µ
(
A
(1)
n,d
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБОБЩЕННЫЕ (n, d)-ЛУЧЕВЫЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК И НЕРАВЕНСТВА . . . 871
гдеmn+1 := m1. Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда открытое
множество D =
n⋃
k=1
mk⋃
s=1
Bk,s, где Bk,s — система круговых областей квадратич-
ного дифференциала (3).
Из теоремы 1 при m = n (d = 1) получаем такое утверждение для n-лучевых
систем точек [7 – 10].
Следствие 1. Пусть n ∈ N, n ≥ 2. Для произвольной n-лучевой системы
точек An = {ak}nk=1 такой, что
n∏
k=1
[
χ
(
|ak|1/αk
)
χ
(
|ak|1/αk−1
)]1/2
|ak| = 1,
и любого набора взаимно непересекающихся областей {Bk,p}, ak,p ∈ Bk,p ⊂ C,
k = 1, n, выполняется неравенство
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤
(
4
n
)n
,
знак равенства в котором достигается, когда ak и Bk являются полюсами и
круговыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = − wn−2
(wn − 1)
2 dw
2.
Из теоремы 2 при m = n, d = 1,mk = 1, k = 1, n, получаем следующий
результат.
Следствие 2. При выполнении условий следствия 1 выполняется неравенство
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤ 2n
n∏
k=1
αk,
знак равенства в котором достигается при тех же условиях, что и в следствии 1.
Для случая n-лучевых систем точек, расположенных на окружности |w| = 1,
следствия 1 и 2 представляют известные результаты В. Н. Дубинина [4, 6, 9].
Доказательство теоремы 2 опирается на метод кусочно-разделяющего пре-
образования (см. [4 – 6]).
Рассмотрим однозначную ветвь многозначной аналитической функции
zk(w) = −i
(
e−iθkw
)1/αk
, (6)
которая при каждом k = 1, n реализует однолистное и конформное отображение
области Pk на правую полуплоскость Re z > 0, при этом луч argw =
1
2
(θk + θk+1)
преобразуется в положительную действительную полуось.
Тогда функция
ζk(w) :=
1− zk(w)
1 + zk(w)
(7)
однолистно и конформно отображает область Pk на единичный круг U = {z : |z| <
< 1}, k = 1, n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
872 А. К. БАХТИН, А. Л. ТАРГОНСКИЙ
Обозначим ω
(1)
k,p := ζk (ak,p), ω
(2)
k−1,p := ζk−1 (ak,p), an+1,p := a1,p, ω
(2)
0,p := ω
(2)
n,p,
ζ0 := ζn, k = 1, n, p = 1,mk.
Семейство функций {ζk(w)}nk=1, заданных равенством (7), является допусти-
мым для кусочно-разделяющего преобразования (см., например, [4 – 6]) областей{
Bk,p : k = 1, n, p = 1,mk
}
относительно системы углов {Pk}nk=1. Для любого
множества ∆ ∈ C обозначим (∆)∗ :=
{
w ∈ C :
1
w
∈ ∆
}
. Пусть Ω
(1)
k,p обознача-
ет связную компоненту множества ζk
(
Bk,p
⋂
P k
)⋃ (
ζk
(
Bk,p
⋂
P k
))∗
, содержа-
щую точку ω(1)
k,p, а Ω
(2)
k−1,p — связную компоненту множества ζk−1
(
Bk,p
⋂
P k−1
)⋃⋃(
ζk−1
(
Bk,p
⋂
P k−1
))∗
, содержащую точку ω(2)
k−1,p, k = 1, n, p = 1,mk, P 0 :=
:= Pn, Ω
(2)
0,p := Ω
(2)
n,p. Ясно, что Ω
(s)
k,p, k = 1, n, p = 1,mk, s = 1, 2, являются,
вообще говоря, многосвязными областями. Пара областей Ω
(2)
k−1,p и Ω
(1)
k,p является
результатом разделяющего преобразования области Bk,p относительно семейств
{Pk−1, Pk}, {ζk−1, ζk} в точке ak,p, k = 1, n, p = 1,mk.
Из формулы (7) получаем следующие асимптотические выражения:∣∣∣ζk(w)− ζk(ak,p)
∣∣∣ ∼ [αkχ(|ak,p|1/αk) |ak,p|]−1 |w − ak,p|,
w → ak,p, w ∈ P k,∣∣∣ζk−1(w)− ζk−1(ak,p)
∣∣∣ ∼ [αk−1χ(|ak,p|1/αk−1
)
|ak,p|
]−1
|w − ak,p|,
w → ak,p, w ∈ P k−1, k = 1, n, p = 1,mk.
(8)
Из теоремы 1.9 [6] (см. также [4, 5]) и формул (8) следуют неравенства
r (Bk,p, ak,p) 6
6
{
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)
r
(
Ω
(2)
k−1,p, ω
(2)
k−1,p
) [
αkχ
(
|ak,p|1/αk
)
|ak,p|
]
×
×
[
αk−1χ
(
|ak,p|1/αk−1
)
|ak,p|
]}1/2
, k = 1, n, p = 1,mk. (9)
Тогда из (9) находим
n∏
k=1
mk∏
p=1
r (Bk,p, ak,p) ≤
≤
n∏
k=1
mk∏
p=1
[
αk−1αkχ
(
|ak,p|1/αk
)
χ
(
|ak,p|1/αk−1
)
|ak,p|2
]1/2
×
×
n∏
k=1
mk∏
p=1
[
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)
r
(
Ω
(2)
k−1,p, ω
(2)
k−1,p
)]1/2
. (10)
Отметим, что
n∏
k=1
mk∏
p=1
[
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)
r
(
Ω
(2)
k−1,p, ω
(2)
k−1,p
)]1/2
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБОБЩЕННЫЕ (n, d)-ЛУЧЕВЫЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК И НЕРАВЕНСТВА . . . 873
=
n∏
k=1
[
mk∏
p=1
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
) mk∏
p=1
r
(
Ω
(2)
k−1,p, ω
(2)
k−1,p
)]1/2
=
=
n∏
k=1
{
mk∏
p=1
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)mk+1∏
t=1
r
(
Ω
(2)
k,t , ω
(2)
k,t
)}1/2
, (11)
n∏
k=1
mk∏
p=1
(αk−1αk)
1/2
=
n∏
k=1
α
(mk+mk+1)/2
k , (12)
где mn+1 := m1, k = 1, n, и
∑n
k=1
αk = 2.
Из (10), учитывая (11), (12), получаем соотношение
n∏
k=1
mk∏
p=1
r (Bk,p, ak,p) ≤
≤
n∏
k=1
α
(mk+mk+1)/2
k µ(A
(1)
n,d)
n∏
k=1
{
mk∏
p=1
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)mk+1∏
t=1
r
(
Ω
(2)
k,t , ω
(2)
k,t
)}1/2
. (13)
Из теоремы 3 [4] (см. также [5, 6]) следует неравенство
mk∏
p=1
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)mk+1∏
t=1
r
(
Ω
(2)
k,t , ω
(2)
k,t
)
≤
mk+mk+1∏
s=1
r
(
G(k)
s , e
i 2π
mk+mk+1
(s−1)
)
, (14)
где G(k)
s — круговые области квадратичного дифференциала
Q (ζk) dζ2k = −
ζ
mk+mk+1−2
k(
ζ
mk+mk+1
k − 1
)2 dζ2k .
Другими словами,
G(k)
s =
{
ζk :
π
mk +mk+1
(2s− 3) <
< arg ζk <
π
mk +mk+1
(2s− 1)
∣∣∣ s = 1,mk +mk+1
}
при каждом k = 1, n.
Используя неравенства (14), из (13) получаем
n∏
k=1
mk∏
p=1
r (Bk,p, ak,p) ≤
≤
n∏
k=1
α
(mk+mk+1)/2
k µ(A
(1)
n,d)
n∏
k=1
{
mk+mk+1∏
s=1
r
(
G(k)
s , e
i 2π
mk+mk+1
(s−1)
)}1/2
. (15)
Далее, рассмотрим семейство функций
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
874 А. К. БАХТИН, А. Л. ТАРГОНСКИЙ
ξk = n
√
ζke
i 2πn (k−1), k = 1, n,
отображающих комплексную плоскость с разрезом от 0 до∞ на угол раствора
2π
n
.
При этом области G(k)
s , k = 1, n, s = 1,mk +mk+1, преобразуются в области Σ
(k)
s ,
где
Σ(k)
s =
{
ξk :
2π
n
(
2s− 3
2 (mk +mk+1)
+ k − 1
)
<
< arg ξk <
2π
n
(
2s− 1
2 (mk +mk+1)
+ k − 1
)}
,
при каждом k = 1, n, s = 1,mk +mk+1, а точки e
i 2π
mk+mk+1
(s−1)
перейдут в точки
e
i 2πn
(
s−1
mk+mk+1
+k−1
)
. При объединении этих n углов получим область C, содержа-
щую 2m попарно непересекающихся областей Σ
(k)
s , k = 1, n, s = 1,mk +mk+1.
Тогда
r
(
G(k)
s , e
i 2π
mk+mk+1
(s−1)
)
≤ nr
(
Σ(k)
s , e
i 2πn
(
s−1
mk+mk+1
+k−1
))
. (16)
Из соотношений (15) с учетом неравенства (16) получаем
n∏
k=1
mk∏
p=1
r (Bk,p, ak,p) ≤ nm
n∏
k=1
α
(mk+mk+1)/2
k µ(A
(1)
n,d)×
×
{
n∏
k=1
mk+mk+1∏
s=1
r
(
Σ(k)
s , e
i 2πn
(
s−1
mk+mk+1
+k−1
))}1/2
. (17)
Используя теорему 3 [4] (см. также [5, 6]), можно сделать вывод о выполнении
неравенства
n∏
k=1
mk+mk+1∏
s=1
r
(
Σ(k)
s , e
i 2πn
(
s−1
mk+mk+1
+k−1
))
≤
2m∏
t=1
r (Bt, bt) =
(
2
m
)2m
, (18)
причем знак равенства в (18) достигается тогда и только тогда, когда области Bt и
точки bt являются, соответственно, круговыми областями и полюсами квадратич-
ного дифференциала
Q (ξ) dξ2 =
ξ2m−2
(ξ2m + 1)
2 dξ
2.
Другими словами,
Bt =
{
ξ :
π
m
(t− 1) < arg ξ <
π
m
t
}
, bt = exp
{
i
π
2m
(2t− 1)
}
, t = 1, 2m.
Применяя неравенство (18), из выражения (17) окончательно получаем
n∏
k=1
mk∏
p=1
r (Bk,p, ak,p) ≤
(
2n
m
)m n∏
k=1
α
(mk+mk+1)/2
k µ(A
(1)
n,d). (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБОБЩЕННЫЕ (n, d)-ЛУЧЕВЫЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК И НЕРАВЕНСТВА . . . 875
Используя неравенство (19) и условия, при которых в нем достигается знак
равенства, а также непосредственно преобразовывая систему A
(1)
n,d изложенным
выше методом, завершаем доказательство теоремы.
Доказательство теоремы 1. Если при доказательстве теоремы 2 использовать
то, что для системы A
(1)
n,d
n∏
k=1
α
(mk+mk+1)/2
k =
(
2
n
)nd
,
то непосредственно из (5) получим теорему 1.
Доказательство теоремы 4. Отметим, что из условия неналегания следует,
что множество D имеет обобщенную функцию Грина gD(z, a), где
gD(z, a) =
gD(a)(z, a), z ∈ D(a),
0, z ∈ C\D(a),
lim
ζ→z
gD(a)(ζ, a), ζ ∈ D(a), z ∈ ∂D(a),
— обобщенная функция Грина открытого множества D относительно точки a ∈ D,
а gD(a)(z, a) — функция Грина области D(a) относительно точки a ∈ D(a).
В дальнейшем будем использовать методы из работ [6, 8, 9]. Рассмотрим мно-
жества E0 = C\D; E(ak,p, t) = {w ∈ C : |w − ak,p| 6 t} , k = 1, n, p = 1,mk,
n > 2, n,mk ∈ N, t ∈ R+. Для достаточно малых t > 0 введем в рассмотрение
конденсатор
C (t, D, An,d) = {E0, E1} ,
где E1 =
n⋃
k=1
mk⋃
p=1
E(ak,p, t). Емкостью конденсатора C (t, D, An,d) называется ве-
личина (см. [5])
capC (t, D, An,d) = inf
∫ ∫ [
(G′x)2 + (G′y)2
]
dxdy,
где нижняя грань берется по всем вещественным, непрерывным и липшицевым в
C функциям G = G(z) таким, что G
∣∣∣
E0
= 0, G
∣∣∣
E1
= 1.
Величина, обратная емкости конденсатора C, называется модулем этого кон-
денсатора:
|C| = [capC]
−1
.
Из теоремы 1 [6] получаем
|C (t,D,An,d) | =
1
2πm
log
1
t
+M(D,An,d) + o(1), t→ 0, (20)
где
M(D,An,d) =
1
2πm2
n∑
k=1
mk∑
p=1
log r(D, ak,p) +
∑
(k,p) 6=(q,s)
gD(ak,p, aq,s)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
876 А. К. БАХТИН, А. Л. ТАРГОНСКИЙ
Используем функции (6), (7) и обозначения ω(1)
k,p, ω
(2)
k−1,p, an+1,p, ω
(2)
0,p, ζ0, ∆,
(∆)∗, введенные при доказательстве теоремы 2. Пусть также Ω
(1)
k,p обозначает
связную компоненту множества ζk
(
D
⋂
P k
)⋃ (
ζk
(
D
⋂
P k
))∗
, содержащую точ-
ку ω(1)
k,p, а Ω
(2)
k−1,p — связную компоненту множества ζk−1
(
D
⋂
P k−1
)⋃ (
ζk−1
(
D
⋂⋂
P k−1
))∗
, содержащую точку ω
(2)
k−1,p, k = 1, n, p = 1,mk, P 0 := Pn, Ω
(2)
0,p :=
:= Ω
(2)
n,p. Ясно, что Ω
(s)
k,p, k = 1, n, p = 1,mk, s = 1, 2, являются, вообще го-
воря, многосвязными областями. Пара областей Ω
(2)
k−1,p и Ω
(1)
k,p является результа-
том разделяющего преобразования открытого множества D относительно семейств
{Pk−1, Pk} , {ζk−1, ζk} в точке ak,p, k = 1, n, p = 1,mk.
Рассмотрим конденсаторы
Ck (t, D, An,d) =
(
E
(k)
0 , E
(k)
1
)
,
где
E(k)
s = ζk
(
Es
⋂
P k(An,d)
)⋃[
ζk
(
Es
⋂
P k(An,d)
)]∗
, k = 1, n, s = 0, 1,
{Pk}nk=1 — система углов, соответствующая системе точек An,d, операция [A]∗
сопоставляет любому множеству A ⊂ C множество, симметричное множеству A
относительно окружности |w| = 1.Отсюда следует, что конденсаторуC (t, D, An,d)
при разделяющем преобразовании относительно P (An,d) и {ζk}nk=1 соответству-
ет набор конденсаторов {Ck (t, D, An,d)}nk=1, симметричных относительно ∂U =
= {z : |z| = 1}. В соответствии с работами [6, 8, 9] получим
capC (t,D,An,d) >
1
2
n∑
k=1
capCk (t,D,An,d) . (21)
Отсюда следует, что
|C (t,D,An,d) | 6 2
(
n∑
k=1
|Ck (t,D,An,d) |−1
)−1
. (22)
Формула (20) дает асимптотику модуля C (t, D, An,d) при t → 0, а величи-
на M (D,An,d) является приведенным модулем множества D относительно An,d.
Используя формулы (8) и тот факт, что D удовлетворяет условию неналегания
относительно системы An,d, получаем аналогичные асимптотические представле-
ния для конденсаторов Ck (t,D,An,d) , k = 1, n :∣∣Ck(t,D,An,d)
∣∣ =
=
1
2π (mk +mk+1)
log
1
t
+Mk (D,An,d) + o(1), t→ 0, mn+1 := m1, (23)
где
Mk (D,An,d) =
1
2π (mk +mk+1)
2
mk∑
p=1
log
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)
[
αkχ
(
|ak,p|1/αk
)
|ak,p|
]−1 +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБОБЩЕННЫЕ (n, d)-ЛУЧЕВЫЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК И НЕРАВЕНСТВА . . . 877
+
mk+1∑
t=1
log
r
(
Ω
(2)
k,t , ω
(2)
k,t
)
[
αkχ
(
|ak+1,t|1/αk
)
|ak+1,t|
]−1
, k = 1, n.
С помощью (23) получаем
|Ck (t,D,An,d)|−1 =
2π (mk +mk+1)
log (1/t)
×
×
(
1 +
2π (mk +mk+1)
log (1/t)
Mk (D,An,d) + o
(
1
log (1/t)
))−1
=
=
2π (mk +mk+1)
log (1/t)
−
(
2π (mk +mk+1)
log (1/t)
)2
Mk (D,An,d) +
+o
((
1
log (1/t)
)2)
, t→ 0. (24)
Далее, учитывая, что
∑n
k=1
mk = m, из (24) имеем
n∑
k=1
∣∣Ck (t,D,An,d)
∣∣−1 =
=
4πm
log (1/t)
−
(
2π
log (1/t)
)2 n∑
k=1
(mk +mk+1)
2
Mk (D,An,d) +
+o
((
1
log (1/t)
)2)
, t→ 0. (25)
В свою очередь, (25) позволяет получить асимптотическое соотношение(
n∑
k=1
|Ck (t,D,An,d)|−1
)−1
=
=
log (1/t)
4πm
(
1− π
m
1
log (1/t)
n∑
k=1
(mk +mk+1)
2
Mk (D,An,d) + o
(
1
log (1/t)
))−1
=
=
log (1/t)
4πm
+
1
4m2
n∑
k=1
(mk +mk+1)
2
Mk (D,An,d) + o(1), t→ 0. (26)
Неравенства (21) и (22) с учетом (20) и (26) позволяют заметить, что
1
2πm
log
1
t
+M (D,An,d) + o(1) 6
6
1
2πm
log
1
t
+
1
2m2
n∑
k=1
(mk +mk+1)
2
Mk (D,An,d) + o(1). (27)
Из (27) при t→ 0 получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
878 А. К. БАХТИН, А. Л. ТАРГОНСКИЙ
M(D,An,d) 6
1
2m2
n∑
k=1
(mk +mk+1)
2
Mk (D,An,d) . (28)
Формулы (20), (23) и (28) приводят к выражению
1
2πm2
n∑
k=1
mk∑
p=1
log r (D, ak,p) +
∑
(k,p)6=(q,s)
gD(ak,p, aq,s)
6
6
1
4πm2
n∑
k=1
mk∑
p=1
log
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)
[
αkχ
(
|ak,p|1/αk
)
|ak,p|
]−1 +
+
mk+1∑
t=1
log
r
(
Ω
(2)
k,t , ω
(2)
k,t
)
[
αkχ
(
|ak+1,t|1/αk
)
|ak+1,t|
]−1
.
Таким образом,
n∏
k=1
mk∏
p=1
r (D, ak,p) ≤
≤ µ
n∏
k=1
α
(mk+mk+1)/2
k
n∏
k=1
{
mk∏
p=1
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)mk+1∏
t=1
r
(
Ω
(2)
k,t , ω
(2)
k,t
)}1/2
.
Доказательство теоремы завершается таким же образом, как и доказательство
теоремы 2.
Доказательство следствия 1. Поскольку для n-лучевой системы точек
n = m, d = 1, mk = 1, k = 1, n,
получаем (
4
nd
)nd
=
(
4
n
)n
.
Отсюда и из формул (3), (4) при µ = 1 и получаем необходимое утверждение.
Доказательство следствия 2. Поскольку для n-лучевой системы точек
n = m, d = 1, mk = 1, k = 1, n,
имеем (
2
d
)nd
= 2n,
1
2
(mk +mk+1) = 1.
Отсюда и из формул (3), (5) при µ = 1 и получаем необходимое утверждение.
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 1.
1. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159 – 245.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБОБЩЕННЫЕ (n, d)-ЛУЧЕВЫЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК И НЕРАВЕНСТВА . . . 879
2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М: Наука, 1966. –
628 с.
3. Бахтина Г. П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
4. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении //
Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48 – 66.
5. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного перемен-
ного // Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3 – 76.
6. Дубинин В. Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения
// Зап. науч. сем. ПОМИ. – 1997. – 237. – С. 56 – 73.
7. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические структуры и геометри-
ческие методы в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 73. –
308 с.
8. Бахтiн О. К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей та вiдкритих множин //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 5. – С. 596 – 610.
9. Дубинин В. Н. О квадратичных формах, порожденных функциями Грина и Робена // Мат. сб. –
2009. – 200, № 10. – С. 25 – 38.
10. Бахтин А. К., Таргонский А. Л. Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы // Нелiнiйнi
коливання. – 2005. – 8, № 3. – С. 298 – 303.
11. Таргонский А. Л. Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере
// Доп. НАН України. – 2008. – № 9. – С. 31 – 36.
12. Кузьмина Г. В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. науч. сем. ПОМИ.
– 2001. – 276. – С. 253 – 275.
13. Емельянов Е. Г. К задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов неналегаю-
щих областей // Зап. науч. сем. ПОМИ. – 2002. – 286. – С. 103 – 114.
14. Хейман В. К. Многолистные функции. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
15. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1962. – 256 с.
Получено 08.06.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
|