Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций
Отримано асимптотично точні оцінки найкращих (α,β) -наближень класів Wʳ₁;γ,δ для натуральних r алгебраїчними поліномами в середньому.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166251 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций / В.П. Моторный, А.Н. Пасько // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 798–808. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166251 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662512020-02-19T01:27:50Z Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций Моторный, В.П. Пасько, А.Н. Статті Отримано асимптотично точні оцінки найкращих (α,β) -наближень класів Wʳ₁;γ,δ для натуральних r алгебраїчними поліномами в середньому. Asymptotically sharp estimates are obtained for the best (α,β) -approximations of the classes Wʳ₁;γ,δ with natural r by algebraic polynomials in the mean. 2011 Article Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций / В.П. Моторный, А.Н. Пасько // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 798–808. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166251 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Моторный, В.П. Пасько, А.Н. Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций Український математичний журнал |
| description |
Отримано асимптотично точні оцінки найкращих (α,β) -наближень класів Wʳ₁;γ,δ для натуральних r алгебраїчними поліномами в середньому. |
| format |
Article |
| author |
Моторный, В.П. Пасько, А.Н. |
| author_facet |
Моторный, В.П. Пасько, А.Н. |
| author_sort |
Моторный, В.П. |
| title |
Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_short |
Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_full |
Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_fullStr |
Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_full_unstemmed |
Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| title_sort |
оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166251 |
| citation_txt |
Оценки наилучших несимметричных приближений несимметричных классов функций / В.П. Моторный, А.Н. Пасько // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 798–808. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT motornyjvp ocenkinailučšihnesimmetričnyhpribliženijnesimmetričnyhklassovfunkcij AT pasʹkoan ocenkinailučšihnesimmetričnyhpribliženijnesimmetričnyhklassovfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-14T21:04:09Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:04:09Z |
| _version_ |
1837657803505795072 |
| fulltext |
© В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО, 2011
798 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
УДК 517.5 ���
В. П. Моторный, А. Н. Пасько (Днепропетр. нац. ун-т)
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ
ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕСИММЕТРИЧНЫХ
КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
Asymptotically sharp estimates are obtained for the best (!, ") -approximations of the classes W1; ! ,"
r with
natural r by algebraic polynomials in the mean.
Отримано асимптотично точні оцінки найкращих (!, ") -наближень класів W1; ! ,"
r для натуральних r
алгебраїчними поліномами в середньому.
Введение. Рассмотрим пространство Lp[!1,1] , 1 ! p < " , ������������измеримых на [!1,1]
функций f , для которых f (x) p dx
!1
1
" < # , снабженное нормой
f p;[!1,1] = f (x) p dx
!1
1
"
#
$
%
&
'
(
1/ p
.
Под L!["1,1] понимается пространство всех существенно ограниченных на
[!1,1] функций f , снабженное нормой f !;["1,1] = vrai sup
x#["1,1]
f (x) .
Пусть f !L1["1,1] , !n — множество всех алгебраических многочленов сте-
пени не выше n . Величины En ( f )1 = inf
p!"n
f # p 1;[-1,1] называются наилучши-
ми приближениями функции f алгебраическими многочленами в среднем. Наи-
лучшие приближения в среднем алгебраическими полиномами класса функций
W ! L1["1,1] определяются равенством En (W )1 = sup
f!W
En ( f )1 .
Пусть W1r — класс заданных на отрезке [!1,1] функций f таких, что
f (r!1) абсолютно непрерывна на этом отрезке, а f (r)
1;[!1,1]
" 1 . С. М. Николь-
ский [1] установил асимптотически точную оценку наилучших приближений
класса W1r алгебраическими многочленами в среднем
En (W1r )1 = Kr
nr
+ o 1
nr
!
"#
$
%& , (1)
где Kr = 4
!
("1)k(r+1)
2k + 1( )r+1k=0
#$ — постоянная Фавара.
В. А. Кофанов [2] нашел точные значения наилучших приближений в среднем
класса W1r
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 799
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
En (W1r )1 = Sn,r !;["1,1]
для n ! r " 1 , где Sn,r — идеальный сплайн, определенный равенством
Sn,r (x) = 1
r ! 1( )! (x ! u)+r!1sign sin(n + 2)arccos u du
!1
1
" ,
а усеченная степенная функция (x ! u)+r!1 определяется так:
(x ! u)+r!1 :=
(x ! u)r!1, x > u,
0, x " u.
#
$
%
&%
Однако точные значения норм сплайнов Sn,r неизвестны, поэтому асимптоти-
чески точная оценка (1) не теряет актуальности.
Пусть f — суммируемая на [!1,1] функция. Рассмотрим величины
En+ ( f )1 = inf f ! p 1;[!1,1] : p "#n , p(x) $ f (x) %x "[ !1,1]{ } ,
En! ( f )1 = inf f ! p 1;[!1,1] : p "#n , p(x) $ f (x) %x "[ !1,1]{ } .
Величина En+ ( f )1 (соответственно En! ( f )1 ) называется наилучшим односто-
ронним приближением сверху (соответственно снизу) функции f алгебраически-
ми многочленами в среднем. В случае, если f не ограничена сверху, считаем,
что En+ f( ) 1 = ! , если же f не ограничена снизу, то полагаем, что En! ( f )1 =
= ! . Наилучшие односторонние приближения класса W определяются стан-
дартным образом:
En± (W )1 = sup
f!W
En± ( f )1 .
Точные значения наилучших односторон���них приближений классов W1r при
целых r ! 2 найдены В. Ф. Бабенко и В. А. Кофановым [3]:
En± (W1r )1 = max Sn,r+ !;["1,1]
, Sn,r" !;["1,1]{ } ,
где Sn,r+ (x) , Sn,r! (x) , n ! r " 1 , — некоторые сплайны. Однако точные значения
норм этих сплайнов неизвестны, поэтому в работе В. П. Моторного и А. Н. Пасько
[4] была получена асимптотически точная оценка величин En± (W1r )1 : при всех
целых r ! 1
En± (W1r )1 = 2
nr
sup
x
Br (x) + O 1
nr+1
!
"#
$
%& , (2)
800 В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
где Br (x) =
cos kx ! "r
2( )
krk=1
#$ — ядро Бернулли, а константа, определяющая
остаточный член, зависит только от r .
Пусть ! — весовая функция, т. е. функция, неотрицательная и суммируемая
на отрезке [!1,1] . Определим наилучшие односторонние приближения с весом !
следующим образом:
En+ ( f )1,! = inf p(x) " f (x)( )!(x)dx
"1
1
# : p $%n, p(x) & f (x) 'x $["1,1]
(
)
*
+*
,
-
*
.*
,
En! ( f )1," = inf f (x) ! p(x)( )"(x)dx
!1
1
# : p $%n , p(x) & f (x) 'x $[!1,1]
(
)
*
+*
,
-
*
.*
,
En± (W )1,! = sup
f"W
En± ( f )1,! .
В работе В. П. Моторного и А. Н. Пасько [5] оценка (2) была обобщена на слу-
чай наилучших односторонних приближений с весом: для любой весовой функции
! , удовлетворяющей неравенствам
1! x2 " # x( ) " 1
1! x2
, x !["1,1] ,
и любого целого r ! 1 имеет место равенство
En± (W1r )1,! = 2
nr
sup
x
Br (x) + O 1
nr+1
"
#$
%
&' ,
где константа, определяющая остаточный член, зависит только от r .
Пусть заданы положительные числа ! , ! . Рассмотрим определенный на
пространстве Lp[!1,1] , 1 ! p ! " , функционал
f p;[!1,1];(",#) = "f+ + #f! p;[!1,1] , где f± (x) = max ± f (x), 0{ } ,
называемый (!,") -нормой. Этот функционал является несимметричной нормой в
том смысле, что для него выполняются все аксиомы нормы, за исключением ра-
венства !f = ! f , которое выполняется лишь для положительных ! .
Символом Lp , 1 ! p < " , обозначим пространство измеримых 2! -периоди-
ческих функций f , для которых f (t) p dt
0
2!
" < # , снабженное нормой
f p = f (t) p dt
0
2!
"
#
$
%
&
'
(
1/ p
.
Под L! будем понимать пространство всех существенно ограниченных 2! -пе-
риодических функций f , снабженное нормой f ! = vrai sup
t
f (t) .
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 801
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
Для положительных чисел ! , ! на пространстве Lp , 1 ! p ! " , также
вводится называемый (!,") -нормой функционал f p;(!,") = !f+ + "f# p .
Для любой суммируемой на отрезке [!1,1] функции f определим наи-
лучшее (!,") -приближение в среднем алгебраическими полиномами как
En!," ( f )1 = inf
p#$n
f % p 1;[%1,1];(!,") .
Наилучшее (!,") -приближение в среднем класса W определяется равенст-
вом
En!," (W )1 = sup
f#W
En!," ( f )1 .
Для любых ! > 0 , ! > 0 рассмотрим класс W1;! ,"
r заданных на отрезке
[!1,1] функций f таких, что f (r!1) абсолютно непрерывна на этом отрезке, а
r -я производная удовлетворяет условию f (r)
1;[!1,1];(" ,#)
$ 1 .
В. Ф. Бабенко и В. А. Кофанов [3] доказали, что при всех целых r ! 2 и
n ! r " 1 имеет место равенство
En!," W1;# ,$
r( )1 = max 1
#
max Sn,r(!,")( )+ %;[&1,1]
, Sn,r(",!)( )& %;[&1,1]
'
(
)
*
+
,
'
(
)
,
1
!
max Sn,r(",#)( )+ $; %1,1[ ]
, Sn,r(#,")( )% $; %1,1[ ]
&
'
(
)
*
+
)
*
+
. (3)
Сплайны Sn,r(!,") в равенстве (3) определяются соотношением
Sn,r(!,") (x) = (x # t)+r#1
(r # 1)!
sn(!,") (t)dt
#1
1
$ ,
где
sn(!,") (x) = ! Pn+1
(!,") (x)( )+ # " Pn+1
(!,") (x)( )# ,
а Pn+1
(!,") (x) = (#1)n+1xn+1 # p(x) , где p(x) — полином из !n -наилучшего (!,") -
приближения функции (!1)n+1xn+1 . Однако и в этом случае аналитические вы-
ражения для норм сплайнов Sn,r(!,") неизвестны, что приводит к необходимости
получения асимптотически точной оценки величин En!," W1;# ,$
r( )1 .
Рассмотрим весовую функцию ! и определим наилучшие (!,") -приближе-
ния в среднем с весом функции f и класса W как
En!," ( f )1,# = inf
p$%n
! f (x) & p(x)( )+ + " f (x) & p(x)( )&( )#(x)dx
&1
1
' ,
802 В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
En!," (W )1,# = sup
f$W
En!," ( f )1,# .
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема. Пусть ! , ! , ! , ! — положительные числа, ! " 1 . Тогда для
любой весовой функции ! , удовлетворяющей неравенствам
1! x2( )" # $(x) # 1
1! x2
, x !["1,1] , (4)
и любого целого r ! 1 имеет место оценка
En!," W1;# ,$
r( )1,% = &n,r;!," '; # (1,$(1( ) + O 1
nr+1
)
*+
,
-. , (5)
где сплайн !n,r;(",#) определяется как r -й периодический интеграл, равный в
среднем нулю на периоде, от 2!
n
-периодической четной функции !n,0;(",#) , за-
данной на отрезке 0; !
n
"
#$
%
&'
равенством
!n,0;(",#) (t) =
", 0 $ t $ #%
(" + #)n
,
&#, #%
(" + #)n
< t $ %
n
.
'
(
)
)
*
)
)
Константа, определяющая остаточный член в (5), зависит только от r ,
! , ! , ! , ! и ! .
Отметим, что в случае постоянной весовой функции !(x) " 1 оценка (5) пред-
ставляет собой оценку наилучших (!,") -приближений в среднем класса W1;! ,"
r :
En!," W1;# ,$
r( )1 = %n,r;!," &; # '1,$'1( ) + O 1
nr+1
(
)*
+
,- .
Сведение доказательства теоремы к оценке наилучших несимметричных
приближений некоторых периодических функций. Обозначим через F2n+1
пространство всех тригонометрических многочленов порядка не выше n . Для
суммируемой на периоде 2! -периодической функции g обозначим через
!En!," (g)1 ее наилучшее (!,") -приближение в среднем тригонометрическими мно-
гочленами порядка не выше n , т. е.
!En!," (g)1 = inf
T#F2n+1
! g(t) $ T (t)( )+ + " g(t) $ T (t)( )$( ) dt
0
2%
& .
При ! = " = 1 получаем обычное наилучшее приближение
!En (g1) функции g
тригонометрическими полиномами в среднем.
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 803
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
Пусть !W rKV — класс 2! -периодических функций f , у которых f (r!1)
абсолютно непрерывна на [!", "] , V!"" f (r)( ) # K , K – постоянная. Тогда из
неравенства
!En!," ( f )1 # max !, "{ } !En ( f )1
следует, что для любой f !
!W rKV
!En!," ( f )1 #
CK
nr+1
. (6)
Замечание. Здесь и в дальнейшем через C будем обозначать постоянную,
значение которой может зависеть только от ! , ! , ! , ! и ! , указанных в
теореме. Константу, которая, кроме вышеперечисленных параметров, зависит и
от r , будем обозначать через Cr . Конкретные же значения этих констант в
разных местах могут быть различными.
Рассмотрим равенство
En!," W1;# ,$
r( )1,% = max 1
!
max
"1#a#1
En$,%
(x " a)+r"1
(r " 1)!
&
'(
)
*+1,,
-
.
/
0/
,
1
!
max
"1#a#1
En$,%
(x " a)+r"1
(r " 1)!
&
'(
)
*+1,,
-
.
/
0/
. (7)
В случае постоянного веса !(x) " 1 равенство (7) доказано в [3], в общем случае
его доказательство проводится аналогично. Будем изучать наилучшие несиммет-
ричные приближения усеченных степенных функций gr,a (x) = (x ! a)+
r!1
(r ! 1)!
. По
определению
En!," gr,a( )1,# = inf
p$%n
! gr,a (x) & p(x)( )+ + " gr,a (x) & p(x)( )&( )#(x)dx
&1
1
' .
Выполним в последнем интеграле замену x = cos t :
En!," (gr,a )1,# = inf
p$%n
! gr,a (cos t) & p(cos t)( )+( +
0
%
'
+ ! gr,a (cos t) " p(cos t)( )" )#(cos t) sin t dt =
= 1
2
inf
p!"n
# gr,a (cos t) $ p(cos t)( )+ +(
$"
"
%
+ ! gr,a (cos t) " p(cos t)( )" )#(cos t) sin t dt . (8)
804 В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
Подберем целое j , удовлетворяющее неравенству 2 j ! 1 " # . Тогда из (4) будет
следовать неравенство sin2 jt ! "(cos t) sin t ! 1 , и из (8) получим
1
2
!En+2 j
!," gr,a (cos t) sin2 jt( )1 # En!," (gr,a )1,$ # 1
2
!En!," gr,a (cos t)( )1 . (9)
Известно [6], что функция gr,a (cos t) при r ! 2 может быть представлена в
виде
gr,a (cos t) = fr,0 (t) + fr,1(t) ,
где fr,1(t) имеет абсолютно непрерывную на [!", "] (r ! 1) -ю производную, а
!"
"
V fr,1
(r)( ) # Crsinr!2$
для ! = arccos a и не зависящей от a константы Cr .
Функция fr,0 (t) имеет на [!", "] абсолютно непрерывную производную по-
рядка r ! 2 , а ее (r ! 1) -я производная
fr,0
(r!1)(t) =
!sin t( )r!1 ! "r , t #(!$, $),
!"r , t #[!%, %] \ (!$, $).
&
'
(
)(
Здесь !r — константа, подобранная из условия равенства fr,0
(r!1) нулю в среднем
на периоде.
В случае r = 1 положим g1,a (cos t) = f1,0 (t) .
Рассмотрим функцию
!",r (t) = sinr#1"
$
Br (t + ") + (#1)r Br (t # ")( ) .
Для всех натуральных r разность fr,0 (t) ! "#,r (t) имеет абсолютно непрерыв-
ную на [!", "] производную порядка r ! 1 , а
!"
"
V dr
dt r
fr,0 (t) ! #$,r (t)( )%
&'
(
)*
+ 4r sin(r!2)+$
(здесь (r ! 2)+ = max{r ! 2, 0} ).
Записав неравенство (6) для функции fr,1(t) и для разности fr,0 (t) ! "#,r (t) ,
получим, что
!En!," ( fr,1)1 # Cr /nr+1 ,
!En!," ( fr,0 # $%,r )1 ≤ Cr / nr+1 . Тогда из
неравенства (9) и полуаддитивности наилучшего (!,") -приближения следуют
неравенства
En!," (gr,a )1,# $ 1
2
!En!," (%&,r )1 + Cr
nr+1
, (10)
En!," (gr,a )1,# $ 1
2
!En+2 j
!," %&,rsin2 jt( )1 ' Cr
nr+1
. (11)
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 805
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
Наилучшие несимметричные приближения функций !",r (t) . Из нера-
венств (10), (11) следует, что для оценки наилучших (!,") -приближений усечен-
ных степенных функций необходимо исследовать наилучшие (!,") -приближения
тригонометрическими многочленами функций !",r (t) . Поскольку !",r (t) — ли-
нейная комбинация сдвигов ядер Бернулли, нам понадобятся найденные в [7, с. 70]
точные значения наилучших (!,") -приближений ядер Бернулли:
1
!
!En(",#) (Br )1 = maxt
$n+1,r;",# (t) = $n+1,r;",# (%0 ) , (12)
где !0 — лежащая на ! "
n
, "
n
#
$%
&
'( точка максимума сплайна !n+1,r;",# (t) .
Лемма 1. Для любого натурального r
!En(!,") (#$,r )1 % 2 sinr&1$ 'max
t
(n+1,r;!," (t) .
Доказательство. Пусть r — четное. Тогда, применив полуаддитивность
функционала наилучшего (!,") -приближения и соотношение (12), получим
!En(!,") (#$,r )1 % sinr&1$
'
!En(!,") Br (( + $)( )1 + !En(!,") Br (( & $)( )1( ) =
= 2sinr!1"
#
!En($,%) (Br )1 = 2sinr!1" &max
t
'n+1,r;$,% (t) .
Аналогичным образом, применяя полуаддитивность функционала наилучшего
(!,") -приближения и соотношение (12) в случае нечетного r , получаем
!En(!,") (#$,r )1 % sinr&1$
'
!En(!,") Br (( + $)( )1 + !En(!,") &Br (( & $)( )1( ) =
= sinr!1"
#
!En($,%) Br (& + ")( )1 + !En($,%) Br (" ! &)( )1( ) =
= sinr!1"
#
!En($,%)(Br (&))1 + !En($,%) Br (!&)( )1( ) =
= 2 sinr!1"
#
!En($,%) (Br )1 = 2 sinr!1 " & max
t
'n+1,r;$,% (t) .
Лемма доказана.
Лемма 2. Для любого натурального r выполняется неравенство
!En(!,") (#$k ,r )1 % 2sinr&1$k 'maxt
(n+1,r;!," (t) ,
где !k = !k,n,r = !0 +
2"k
n + 1
, k = 0,1, 2, ..., n .
Доказательство. В работе [8] доказано, что для любой суммируемой на пе-
806 В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
риоде 2! -периодической функции g
!En(!,") (g)1 = sup g(t)#(t) dt
0
2$
% : # & F2n+1, # '; !(1,"(1( ) ) 1
*
+
,
-,
.
/
,
0,
.
Функция !n+1,0;",# имеет период 2!
n + 1
и равна нулю в среднем на [0, 2!] .
Следовательно, она ортогональна всем тригонометрическим полиномам порядка не
выше n . Кроме того, !n+1,0;",# $; "%1,#%1( ) = 1 , поэтому
!En(!,") (#$k ,r )1 % #$k ,r (t)
0
2&
' (n+1,0;!," (t) dt =
= sinr!1"k
#
Br (t + "k ) + (!1)r Br (t ! "k )( )
0
2#
$ %n+1,0;&,' (t) dt =
= sinr!1"k
#
Br ("k + t)
0
2#
$ %n+1,0;&,' (t) dt + (!1)r Br (t ! "k )
0
2#
$ %n+1,0;&,' (t)dt
(
)
*
+
,
- .
Выполним в первом интеграле замену переменной t на !t и воспользуемся чет-
ностью функции !n+1,0;",# . Ко второму интегралу применим справедливое для
всех r равенство (!1)r Br (t ! "k ) = Br ("k ! t) . Получим
!En(!,") (#$k ,r )1 % 2sinr&1$k
'
Br ($k & t)
0
2'
( )n+1,0;!," (t) dt =
= 2sinr!1"k # $n+1,r;%,& ("k ) . (13)
Поскольку функция !n+1,r;",# 2!
n + 1
-периодична, !n+1,r;",# ($k ) =
= !n+1,r;",# ($0 ) . Тогда неравенство (13) с учетом второго из соотношений (12)
влечет справедливость леммы 2.
Лемма доказана.
Завершение доказательства теоремы. В силу неравенства (11) для оценки
снизу наилучших несимметричных приближений усеченных степенных функций
надо оценить снизу наилучшие несимметричные приближения тригонометрически-
ми полиномами функций !",r (t)sin2 jt .
Лемма 3. Для любого натурального r
!En+2 j
!," #$,r (t) sin2 jt( )1 % sin2 j$ & !En+2 j
!," #$,r (t)( )1 ' Cr
nr+1
. (14)
Доказательство. Применив к равенству
!",r (t) sin2 jt + !",r (t) sin2 j" # sin2 jt( ) = !",r (t) sin2 j"
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 807
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
полуаддитивность функционала наилучшего (!,") -приближения, получим
!En+2 j
!," #$,r (t) sin2 jt( )1 % sin2 j$ & !En+2 j
!," #$,r (t)( )1 '
! !En+2 j
",# $%,r (t) sin2 j% ! sin2 jt( )( )1 . (15)
Функция !",r (t) sin2 j" # sin2 jt( ) принадлежит !W rKV с некоторой константой
K , зависящей от j и r . Тогда в силу (6)
!En+2 j
!," #$,r (t) (sin2 j$ % sin2 jt)( )1 & Cr
nr+1
.
Из последнего неравенства и неравенства (15) следует неравенство (14).
Лемма доказана.
Отметим, что в силу равенства !n,r;",# $;(% &1,'&1)
= n!r "1,r;#,$ %;(& !1,'!1)
,
справедливого для всех натуральных n , оценка (5) эквивалентна оценке
En!," W1;# ,$
r( )1,% = &n+1,r;!," ';(# (1,$(1)
+ O 1
nr+1
)
*+
,
-. , (16)
получаемой заменой n на n + 1 в правой части (5). Для доказательства (16) не-
обходимо получить две оценки: оценку сверху
En!," W1;# ,$
r( )1,% & 'n+1,r;!," (;(# )1,$)1)
+ Cr
nr+1
(17)
и оценку снизу
En!," W1;# ,$
r( )1,% & 'n+1,r;!," (;(# )1,$)1)
) Cr
nr+1
. (18)
Докажем неравенство (17). Применив последовательно равенство (7), нера-
венство (10) и лемму 1, будем иметь
En!," W1;# ,$
r( )1,% &
! max " #1 max
t
$n+1,r;%,& (t), '#1 max
t
$n+1,r;&,% (t){ } + Cr
nr+1
. (19)
Нетрудно видеть, что !n+1,r;",# (t) = !"n+1,r;#,$ t ! %
n + 1
&
'(
)
*+ . Следовательно,
max
t
!n+1,r;",# (t) = $ min
t
!n+1,r;#," (t) .
Подставив последнее равенство в (19), получим оценку (17).
Перейдем к доказательству неравенства (18). Из лемм 2 и 3 следует, что для
любого k
808 В. П. МОТОРНЫЙ, А. Н. ПАСЬКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
!En+2 j
!," #$k ,r (t) sin
2 jt( )1 % 2 sinr+2 j&1$k 'maxt
(n+2 j+1,r;!," (t) &
Cr
nr+1
(20)
(считаем, что !k = !k,n+2 j,r ). Применив последовательно соотношение (7), нера-
венство (11) и неравенство (20), получим
En!," W1;# ,$
r( )1,% & sinr+2 j'1(k )n+2 j+1,r;!," *;(# '1,$'1)
' Cr
nr+1
. (21)
Неравенство имеет место для любого узла !k . Выберем теперь k0 так, чтобы
узел !k0 был ближайшим к точке !
2
из всех !k . Тогда !k0 "
#
2
$ #
n + 2 j
,
sin !k0 " cos #
n + 2 j
> 1 $ #2
2(n + 2 j)2
, sinr+2 j!1"k0 > 1 ! (r + 2 j ! 1)#
2
2(n + 2 j)2
.
С учетом последнего неравенства из (21) следует
En!," W1;# ,$
r( )1,% & 'n+2 j+1,r;!," (;(# )1,$)1)
) Cr
nr+1
.
Для получения оценки (18) осталось заметить, что
!n+2 j+1,r;",# $;(% &1,'&1)
& !n+1,r;",# $;(% &1,'&1)
= O 1
nr+1
(
)*
+
,- .
Теорема доказана.
1. Никольский С. М. О наилучшем приближении многочленами в среднем функций a ! x s // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1947. – 11, № 3. – С. 139 – 180.
2. Кофанов В. А. Приближение классов дифференцируемых функций в среднем // Изв. АН СССР.
Сер. мат. − 1983. − 47, № 5. − С. 1078 – 1090.
3. Бабенко В. Ф., Кофанов В. А. Несимметричные приближения классов дифференцируемых функ-
ций алгебраическими многочленами в среднем // Anal. Math. – 1988. – 14. – P. 193 – 217.
4. Motornyi V. P., Pasko A. N. On the best one-sided approximation of some classes of differentiable func-
tions in L1 // E. J. Approxim. − 2004. – 10, № 2. – P. 159 − 169.
5. Моторный В. П., Пасько А. Н. Наилучшее одностороннее приближение усеченных степеней и
оценки погрешностей квадратурных формул на некоторых классах функций // Вісн. Дніпропетр.
ун-ту. Математика. − 2003. − Вип. 8. − С. 74 − 80.
6. Моторная О. В. О наилучшем приближении дифференцируемых функций алгебраическими
многочленами в пространстве L1 . − Киев, 1993. – (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики;
93.20).
7. Бабенко В. Ф. Экстремальные задачи теории приближения и несимметричные нормы: Дис. … д-ра
физ.-мат. наук. – Днепропетровск, 1987.
8. Бабенко В. Ф. Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций // Укр мат.
журн. − 1982. − 34, № 4. − С. 409 − 416.
Получено 28.03.11
|