Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних
Получены точные по порядку оценки наилучших билинейных приближений классов SΩp,θB периодических функций многих переменных в пространстве Lq для некоторых соотношений между параметрами p,q,θ....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166255 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних / К.В. Соліч // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 809–826. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166255 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662552020-02-19T01:27:19Z Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних Соліч, К.В. Статті Получены точные по порядку оценки наилучших билинейных приближений классов SΩp,θB периодических функций многих переменных в пространстве Lq для некоторых соотношений между параметрами p,q,θ. We obtain exact-order estimates of the best bilinear approximations of classes SΩp,θB of periodic functions of many variables in the space Lq for some relations between parameters p,q,θ. 2011 Article Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних / К.В. Соліч // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 809–826. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166255 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Соліч, К.В. Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних Український математичний журнал |
| description |
Получены точные по порядку оценки наилучших билинейных приближений классов SΩp,θB периодических функций многих переменных в пространстве Lq для некоторых соотношений между параметрами p,q,θ. |
| format |
Article |
| author |
Соліч, К.В. |
| author_facet |
Соліч, К.В. |
| author_sort |
Соліч, К.В. |
| title |
Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних |
| title_short |
Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full |
Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних |
| title_fullStr |
Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full_unstemmed |
Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних |
| title_sort |
найкращі білінійні наближення класів sωp,θb періодичних функцій багатьох змінних |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166255 |
| citation_txt |
Найкращі білінійні наближення класів SΩp,θB періодичних функцій багатьох змінних / К.В. Соліч // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 809–826. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT solíčkv najkraŝíbílíníjnínabližennâklasívsōpthbperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |
| first_indexed |
2025-07-14T21:04:20Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:04:20Z |
| _version_ |
1837657817231654912 |
| fulltext |
УДК 517.5
К. В. Солiч (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
We obtain exact-order estimates of the best bilinear approximations of classes S Ω
p, θB of periodic functions of
many variables in the space Lq for some relations between parameters p, q, θ.
Получены точные по порядку оценки наилучших билинейных приближений классов S Ω
p, θB периодиче-
ских функций многих переменных в пространстве Lq для некоторых соотношений между параметрами
p, q, θ.
Вступ. Роботу присвячено дослiдженню найкращих бiлiнiйних наближень перiо-
дичних функцiй багатьох змiнних у просторi Lq при деяких спiввiдношеннях мiж
праметрами p, q, θ. Вона складається зi вступу та двох пунктiв. У вступi наве-
дено необхiднi позначення i дано означення класiв, що дослiджуються. Перший
пункт має допомiжний характер. В ньому, зокрема, сформульовано та доведено
теорему про оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень. Отри-
манi результати використано у другому пунктi для встановлення оцiнок зверху
найкращих бiлiнiйних наближень функцiй 2d змiнних вигляду f(x− y), x, y ∈ πd,
що породжуються з функцiй f(x) ∈ S Ω
p, θB.
Наведемо необхiднi означення та позначення.
Нехай R d, d ≥ 1, — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd)
i Lp(πd), πd =
∏d
j=1
[−π;π], — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй i сумов-
них у степенi p, 1 ≤ p < ∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при p = ∞), функцiй
f(x) = f(x1, . . . , xd). Норма в цьому просторi визначається таким чином:
||f ||p =
(2π)−d
∫
πd
|f(x) |pdx
1/p
, 1 ≤ p <∞,
||f ||∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Пiдмножину функцiй f ∈ Lp(πd), для яких виконується умова
π∫
−π
f(x)dxj = 0, j = 1, d,
позначимо через L◦p(πd).
Означимо простори SΩ
p,θB ⊂ Lp(πd), властивостi яких визначаються за допо-
могою мажорантної функцiї Ω(t), t = (t1, . . . , td) ∈ Rd+, для мiшаного модуля
неперервностi l-го порядку (l ∈ N) функцiї f ∈ Lp(πd), числових параметрiв p i θ,
1 ≤ p, θ ≤ ∞.
Отже, нехай для довiльної функцiї f ∈ Lp(πd)
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj
j=1,d
‖∆l
hf(·)‖p
c© К. В. СОЛIЧ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6 809
810 К. В. СОЛIЧ
— мiшаний модуль неперервностi порядку l функцiї f, де ∆l
hf(x) = ∆l
hd
. . .
. . .∆l
h1
f(x) = ∆l
hd
(. . . (∆l
h1
f(x))), h = (h1, . . . , hd), — мiшана l-та рiзниця з кро-
ком hj за змiнною xj , j = 1, d, i
∆l
hjf(x) =
l∑
n=o
(−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . xd).
Нехай далi Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного модуля непе-
рервностi порядку l, яка задовольняє наступнi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,
∏d
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) неперервна на Rd+;
3) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй tj ≥ 0, j = 1, d, при будь-яких фiксованих
значеннях iнших змiнних ti, i 6= j;
4) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤ C
(∏d
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d, C > 0 — деяка
стала.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl,d. У випадку d = 1 пишемо Ψl.
Зауважимо, що якщо f ∈ Lp(πd), то Ωl(f, ·) ∈ Ψl,d.
Пiдпорядкуємо функцiї Ω ∈ Ψl,d додатковим умовам, якi опишемо у термiнах
двох понять, запроваджених С.Н. Бернштейном [1]:
а) невiд’ємна функцiя ϕ(τ), τ ∈ [0;∞), майже зростає, якщо iснує стала C1 > 0
така, що ϕ(τ1) ≤ C1ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 ≤ τ1 < τ2;
б) додатна функцiя ϕ(τ), τ ∈ (0;∞), майже спадає, якщо iснує стала C2 > 0
така, що ϕ(τ1) ≥ C2ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 < τ1 < τ2.
Нехай d = 1 i Ω ∈ Ψ
(1,2)
l , тобто для Ω(t), t ≥ 0, виконуються, принаймнi, умови
1 i 2.
Будемо писати:
i) Ω ∈ Sα, α > 0, якщо функцiя
Ω(τ)
τα
майже зростає при τ > 0;
ii) Ω ∈ Sl, якщо iснує γ, 0 < γ < l, таке, що функцiя
Ω(τ)
τγ
майже спадає при
τ > 0.
Умови належностi функцiї Ω до множин Sα i Sl часто називають у лiтературi
умовами Барi – Стєчкiна [2].
При d > 1 для функцiї Ω ∈ Ψ
(1,2)
l,d будемо вважати, що Ω ∈ Sα, α = (α1, . . . , αd),
αj > 0, j = 1, d (вiдповiдно Ω ∈ Sl, l ∈ N), якщо Ω(t1, . . . , td), як функцiя змiнної
tj , j = 1, d, при будь-яких значеннях iнших змiнних ti, i 6= j, належить множинi
Sαj (вiдповiдно Sl).
Покладемо також Φdα,l = Ψl,d ∩ Sα ∩ Sl.
Отже, нехай 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i Ω ∈ Φdα,l. Тодi
SΩ
p,θB =
{
f ∈ Lp(πd) : |f |SΩ
p,θB
<∞
}
,
де напiвнорма |f |SΩ
p,θB
визначається спiввiдношенням
|f |SΩ
p,θB
=
(∫
πd
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
t≥0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
, θ =∞.
(1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 811
Визначимо норму в просторi SΩ
p,θB таким чином:
‖f‖SΩ
p,θB
:= ‖f‖p + |f |SΩ
p,θB
, 1 ≤ p, θ ≤ ∞.
Наведене означення просторiв SΩ
p,θB (з незначною модифiкацiєю) взято з робо-
ти [3]. При θ =∞ простори SΩ
p,θB (з позначенням SΩ
p H) уведено в роботi [4].
Шкала просторiв SΩ
p,θB є природним узагальненням шкали просторiв Нiколь-
ського – Бєсова Brp,θ, r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d (див., наприклад, [5]), i
SΩ
p,θB ≡ Brp,θ при Ω(t) =
∏d
j=1
t
rj
j , rj < l, j = 1, d (зазначимо, що при θ = ∞
Brp,θ — простори Нiкольського Hr
p [6]).
У наступних мiркуваннях ми будемо використовувати порядковi спiввiдношен-
ня. ЗаписA � B означає двосторонню нерiвнiсть мiж виразамиA iB, тобто C3B ≤
≤ A ≤ C4B, де C3, C4 > 0 — сталi, значення яких можуть бути рiзними в рiзних
мiсцях. Також, якщо A ≤ C5B, C5 > 0 та A ≥ C6B, C6 > 0, будемо писати A� B
i A � B вiдповiдно. Iз контексту буде зрозумiло, вiд яких параметрiв цi сталi
не залежать. Ми не будемо акцентувати на цьому увагу щоразу при використаннi
символiв �,� i� .
Сформулюємо необхiднi при доведеннi одержаних у роботi результатiв вiдомi
твердження, що стосуються еквiвалентного зображення норми ‖f‖SΩ
p,θB
функцiй
f ∈ SΩ
p,θB, 1 ≤ p, θ ≤ ∞, Ω ∈ Φdα,l. Цi зображення подаються у термiнах визначе-
ного порядку росту p-норм деяких тригонометричних полiномiв, якi будуються на
основi розкладу функцiї f ∈ Lp(πd) в ряд Фур’є за тригонометричною системою.
Отже, нехай f ∈ Lp(πd) i
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x), (k, x) = k1x1 + . . .+ kdxd,
де f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f i для кожного
вектора s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d,
ρ(s) := {k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d}.
В роботi [3] встановлено, що при 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω ∈ Φdα,l для
f ∈ SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd)
‖f‖SΩ
p,θB
�
(∑
s
Ω(2−s)−θ‖δs(f, ·)‖θp
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
s
‖δs(f, ·)‖p
Ω(2−s)
, θ =∞,
(2)
де Ω(2−s) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Як бачимо, таке зображення норми не охоплює випадки p = 1 i p = ∞. Деяка
модифiкацiя правої частини (2) дозволяє встановити подiбне зображення i в цих
випадках. Для цього введемо необхiднi позначення.
Нехай
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
(
2n− k
n
)
cos kt
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
812 К. В. СОЛIЧ
— ядро Валле Пуссена порядку 2n i в точцi x = (x1, . . . , xd)
As(x) =
d∏
j=1
(V2sj (xj)− V2sj−1(xj)), s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d. (3)
Якщо f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, то покладемо
As(f, x) := f ∗As.
В роботi [7] встановлено, що при 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ < ∞ i Ω ∈ Φdα,l для
f ∈ SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd) має мiсце спiввiдношення
‖f‖SΩ
p,θB
�
(∑
s
Ω(2−s)−θ‖As(f, ·)‖θp
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞, (4)
i вiдповiдно в [4] при θ =∞
‖f‖SΩ
p,∞B
� sup
s
‖As(f, ·)‖p
Ω(2−s)
. (5)
У подальшому, в формулюваннях тверджень використовуються простори SΩ
p,θB
у випадку, коли функцiя Ω має спецiальний вигляд
Ω(t) = ω
d∏
j=1
tj
, ω ∈ Φ1
α,l, α > 0. (6)
Отже, тут ω(·) — довiльна функцiя (однiєї змiнної) типу модуля неперервностi
порядку l i ω ∈ Φ1
α,l. Згiдно з попереднiми означеннями зрозумiло, що
ω ∈ Φ1
α,l =⇒ Ω ∈ Φdα,l, α = (α, . . . , α︸ ︷︷ ︸
d
).
Зауважимо, що до множини Φ1
α,l, l ∈ N, належить, наприклад, функцiя
ω(u) =
ur(
log+ 1
u
)β , u > 0,
0, u = 0,
де log+ τ = max{1, log τ}, 0 < r < l, β ∈ R.
Далi для одиничної кулi у просторi SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd) будемо використовувати те
ж позначення, що i для самого простору SΩ
p,θB, тобто
SΩ
p,θB := {f ∈ SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd) : ‖f‖SΩ
p,θB
≤ 1}.
1. Допомiжнi твердження. Наведемо деякi допомiжнi твердження, якi будемо
використовувати при доведеннi основних результатiв. Спочатку встановимо точнi
за порядком оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень функцiй
з класiв SΩ
∞,θB.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 813
Для f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, покладемо
eM (f)q := inf
kj , cj
∥∥∥∥f(·)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,·)
∥∥∥∥
q
, (7)
де {kj}Mj=1 — система векторiв kj = (kj1, . . . , k
j
d) з цiлочисловими координатами,
cj — довiльнi комплекснi числа. Величину (7) називають найкращим M -членним
тригонометричним наближенням функцiї f у просторi Lq. Якщо F ⊂ Lq(πd) —
деякий функцiональний клас, то позначимо
eM (F )q := sup
f∈F
eM (f)q. (8)
Величина eM (f)2 для функцiї однiєї змiнної була введена С.Б. Стєчкiним [8] при
формулюваннi критерiю абсолютної збiжностi тригонометричних рядiв. Пiзнiше
величини eM (f)q i eM (F )q дослiджувалися вже з точки зору апроксимацiї. Зокрема,
поведiнка величини (8) для деяких класiв функцiй багатьох змiнних дослiджувалась
у роботах [9, 10], де можна ознайомитись з бiльш детальною бiблiографiєю в
цьому напрямi. Зазначимо також, що поведiнка величин найкращих M -членних
наближень класiв SΩ
p,θB, якi розглядаються у данiй роботi, вивчалась в [11 – 13].
Для f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, означимо величину
e⊥M (f)q := inf
kj
∥∥∥∥∥∥f(·)−
M∑
j=1
f̂(kj)ei(k
j ,·)
∥∥∥∥∥∥
q
,
яка називається найкращим M -членним ортогональним тригонометричним набли-
женням функцiї f у просторi Lq. Якщо F ⊂ Lq(πd) — деякий функцiональний клас,
то покладемо
e⊥M (F )q := sup
f∈F
e⊥M (f)q. (9)
Згiдно з означеннями величини (8) та (9) пов’язанi спiввiднoшенням
eM (F )q ≤ e⊥M (F )q. (10)
Теорема А (Лiттлвуда – Пелi, див., наприклад, [6, с. 65]). Нехай задано 1 <
< p <∞. Iснують додатнi числа C7, C8 такi, що для кожної функцiї f ∈ Lp(πd)
виконуються спiввiдношення
C7‖f‖p ≤
∥∥∥∥{∑
s
|δs(f ; ·)|2
}1/2∥∥∥∥
p
≤ C8‖f‖p. (11)
З нерiвностей (11) легко отримується (див., наприклад, [14, c. 17]) спiввiдно-
шення
‖f‖p �
{∑
s
‖δs(f ; ·)‖p0
p
}1/p0
, (12)
де p0 = min{2; p}.
Справедливим є наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
814 К. В. СОЛIЧ
Теорема 1. Нехай 1 < q < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω
(∏d
j=1
tj
)
, де
ω ∈ Φ1
α,l, α > max
{
0;
1
θ
− 1
2
}
. Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn)∞n=1
натуральних чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2nnd−1, має мiсце
порядкова рiвнiсть
eM (SΩ
∞,θB)q � e⊥M (SΩ
∞,θB)q � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ). (13)
Доведення. Оцiнку зверху для eM (SΩ
∞,θB)q отримаємо на пiдставi нерiвностi
(10), вкладення SΩ
∞,θB ⊂ SΩ
p,θB, 1 ≤ p < ∞, та встановленої в [15] оцiнки зверху
для e⊥M (SΩ
p,θB)q, 1 < q ≤ p <∞, p ≥ 2. В результатi одержимо
eM (SΩ
∞,θB)q ≤ e⊥M (SΩ
∞,θB)q ≤ e⊥M (SΩ
p,θB)q � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ).
В роботi [12] було встановлено порядкове спiввiдношення
eM (SΩ
∞,θB)q � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ), 1 < q ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, M � 2nnd−1.
Тому, враховуючи властивiсть монотонностi норми ‖ · ‖q по параметру 2 ≤ q <∞,
маємо
eM (SΩ
∞,θB)q ≥ eM (SΩ
∞,θB)2 � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ), M � 2nnd−1.
Теорему доведено.
Зауваження 1. Теорема 1 доповнює оцiнки, отриманi в роботах [12, 13].
2. Найкращi бiлiнiйнi наближення. Означимо величину, яка буде дослiджува-
тись в даному пунктi роботи.
Нехай Lq(π2d), q = (q1, q2) — множина функцiй f(x, y), x, y ∈ πd, зi скiнченною
мiшаною нормою
‖f(x, y)‖q1,q2 = ‖ ‖f(·, y)‖q1‖q2 ,
де норма обчислюється спочатку в просторi Lq1(πd) по змiннiй x ∈ πd, а потiм
вiд результату по змiннiй y ∈ πd у просторi Lq2(πd). Для f ∈ Lq(π2d) oзначимо
найкраще бiлiнiйне наближення порядку M :
τM (f)q1,q2 := inf
uj(x),vj(y)
∥∥∥∥∥∥f(x, y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)
∥∥∥∥∥∥
q1,q2
,
де uj ∈ Lq1(πd), vj ∈ Lq2(πd).
Якщо F ⊂ Lq(π2d) — клас функцiй, то покладемо
τM (F )q1,q2 := sup
f∈F
τM (f)q1,q2 . (14)
Метою цього пункту є встановлення тoчних за порядком оцiнок величини
τM (SΩ
p,θB)q1,q2 = sup
f∈SΩ
p,θB
τM (f)q1,q2 ,
де бiлiнiйнi наближення τM (f)q1,q2 розглядаються для функцiй вигляду f(x− y),
x, y ∈ πd.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 815
Зазначимо, що класичний результат про бiлiнiйнi наближення належить Шмiдту
[17]. В дещо бiльш загальнiй, нiж в [17], формi цей результат сформульовано
В. М. Темляковим в роботi [9, с. 10].
Лема А. Нехай ‖K(x, y)‖2,2 < ∞, K — iнтегральний оператор з ядром
K(x, y), K∗ — оператор, спряжений до оператора K, i λj — незростаюча по-
слiдовнiсть власних чисел оператора K∗K. Тодi
inf
ui(x),vi(y)
∥∥∥∥∥K(x, y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥∥
2,2
=
∞∑
j=M+1
λj
1/2
.
Дослiдженню величини (14), де в якостi F фiгурують класи Wr
p,α i Hr
p , при-
свячено працi В. М. Темлякова [9, 18 – 20], в яких можна знайти вiдповiдну бiб-
лiографiю. Що стосується бiлiнiйних наближень класiв Бєсова Brp,θ, то вони до-
слiджувались у роботах А. С. Романюка, В. С. Романюка [16] i А. С. Романюка
[21].
Отриманi результати будемо коментувати, спiвставляючи їх з оцiнками колмо-
горовських поперечникiв.
Нагадаємо, що M -вимiрним колмогоровським поперечником центрально-си-
метричної множини Φ банахового простору X називається величина
dM (Φ,X ) := inf
LM
sup
f∈Φ
inf
u∈LM
‖f − u‖X , (15)
де LM — довiльний пiдпростiр в X розмiрностi M.
Нехай F — деякий клас функцiй i f(x) — фiксована функцiя з F. Позначимо
через Ff множину, що складається з функцiй вигляду f(x − y), якi отримуємо з
f(x) зсувами її аргументу x на довiльний вектор y ∈ πd. Тодi має мiсце рiвнiсть
(див., наприклад, [9, c. 85])
τM (f(x− y))q1,∞ = dM (Ff , Lq1). (16)
Таким чином, якщо функцiональний клас F iнварiантний вiдносно зсуву аргументу
функцiї f ∈ F, то згiдно з (16) значення величини τM (f(x− y))q1,∞ можуть бути
оцiнками знизу для колмогоровських поперечникiв dM (Ff , Lq1).
Справедливим є наступне твердження.
Теорема 2. Нехай 2 ≤ q1 ≤ ∞, 1 ≤ q2, θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω
d∏
j=1
tj
, де
ω ∈ Φ1
α,l, α > max
{
0,
1
θ
− 1
2
}
. Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn)∞n=1
натуральних чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2nnd−1, має мiсце
порядкова рiвнiсть
τM (SΩ
∞,θB)q1,q2 � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ). (17)
Доведення. Оцiнки зверху в (17) можна легко отримати як наслiдок результатiв
теореми 1.
З одного боку, згiдно з оцiнкою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
816 К. В. СОЛIЧ
eM (SΩ
∞,θB)q1 � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ), M � 2nnd−1,
для довiльної функцiї f з класу SΩ
∞,θB знайдеться множина векторiв k1, . . . , kM ,
kj = (kj1, . . . , k
j
d), k
j ∈ Zd, j = 1,M, i чисел c1, . . . , cM таких, що∥∥∥∥∥∥f(x)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,x)
∥∥∥∥∥∥
q1
� ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ). (18)
З iншого боку, лiву частину (18) можна подати у виглядi∥∥∥∥∥∥f(x)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,x)
∥∥∥∥∥∥
q1
=
∥∥∥∥∥∥f(x− y)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,x−y)
∥∥∥∥∥∥
q1,∞
=
=
∥∥∥∥∥∥f(x− y)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,x)e−i(k
j ,y)
∥∥∥∥∥∥
q1,∞
. (19)
З (18) i (19) одержимо∥∥∥∥∥∥f(x− y)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,x)e−i(k
j ,y)
∥∥∥∥∥∥
q1,∞
� ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ). (20)
Тепер, поклавши в (20) cjei(k
j ,x) = uj(x) i e−i(k
j ,y) = vj(y), отримаємо шукану
оцiнку зверху величини τM (SΩ
∞,θB)q1,∞ i, як наслiдок, величини τM (SΩ
∞,θB)q1,q2 .
Перейдемо до встановлення в (17) оцiнки знизу.
НехайM — довiльне натуральне число, а n ∈ N пiдберемо таким чином, щоб для
кiлькостi елементiв множини Qn =
⋃
‖s‖1=n
ρ(s) виконувалось спiввiдношення
|Qn| > 4M. Зауважимо також, що |Qn| � 2nnd−1.
Розглянемо функцiї
f1(x) = C9ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj), C9 > 0,
при 1 ≤ θ <∞ i
f2(x) = C10ω(2−n)2−n/2
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj), C10 > 0, θ =∞,
де Rsj (xj) =
∑2sj−1
l=2sj−1
εle
ilx, εl = ±1, j = 1, d, — полiноми Рудiна – Шапiро, для
яких, як вiдомо, виконується порядкова нерiвнiсть ‖Rsj‖∞ � 2sj/2 (див., напри-
клад, [22, c. 155]).
Покладемо
Fn(x) =
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 817
Покажемо, що при деякому значеннi сталої C9 функцiя f1 належить класу
SΩ
∞,θB, 1 ≤ θ <∞, а функцiя f2 з деякою сталою C10 — класу SΩ
∞,∞B. Для цього
спочатку знайдемо норму функцiї Fn у вiдповiдних просторах. При 1 ≤ θ <∞
маємо
‖Fn‖SΩ
∞,θB
�
(∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)‖As(Fn, x)‖θ∞
)1/θ
=
=
∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)
∥∥∥∥∥∥As(x) ∗
∑
‖s−s′‖∞≤1
δs′(Fn, x)
∥∥∥∥∥∥
θ
∞
1/θ
≤
≤
∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)‖As‖θ1
∥∥∥∥∥∥
∑
‖s−s′‖∞≤1
δs′(Fn, x)
∥∥∥∥∥∥
θ
∞
1/θ
.
Враховуючи, що ‖As‖1 ≤ 6 (див., наприклад, [14, c. 35]), продовжимо оцiнку:
‖Fn‖SΩ
∞,θB
�
∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)
∥∥∥∥∥∥
∑
‖s−s′‖∞≤1
δs′(Fn, x)
∥∥∥∥∥∥
θ
∞
1/θ
≤
≤
∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)
∑
‖s−s′‖∞≤1
‖δs′(Fn, x)‖∞
θ
1/θ
=
=
∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)
∑
‖s−s′‖∞≤1
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
Rs′j (xj)
∥∥∥∥∥∥
∞
θ
1/θ
�
�
∑
‖s‖1≤n+d
ω−θ(2−‖s‖1)
∑
‖s−s′‖∞≤1
2
‖s′‖1
2
θ
1/θ
�
�
∑
‖s‖1≤n+d
ω−θ(2−‖s‖1)2
‖s‖1θ
2
1/θ
=
=
∑
‖s‖1≤n+d
ω−θ(2−‖s‖1)
2αθ‖s‖1
2
‖s‖1θ
2 2αθ‖s‖1
1/θ
�
� ω−1(2−(n+d))
2α(n+d)
∑
‖s‖1≤n+d
2‖s‖1θ(1/2+α)
1/θ
�
� ω−1(2−(n+d))
2α(n+d)
2(n+d)(1/2+α)(n+ d)(d−1)/θ � ω−1(2−n)2n/2n(d−1)/θ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
818 К. В. СОЛIЧ
Якщо ж θ =∞, то
‖Fn‖SΩ
∞,∞B
� ω−1(2−n)2n/2.
Цим самим показано, що функцiї f1 i f2 при певних значеннях сталих C9 i C10
належать до класiв SΩ
∞,θB, 1 ≤ θ <∞, та SΩ
∞,∞B вiдповiдно.
Далi ми будемо використовувати допомiжне твердження.
Лема Б [9, с. 98]. Нехай задано число M, а число n ∈ N таке, що для кiлькостi
елементiв множини Qn =
⋃
‖s‖1=n
ρ(s) виконується умова |Qn| > 4M. Тодi для
довiльної функцiї
g(x) =
∑
k∈Qn
ĝ(k)ei(k,x)
такої, що |ĝ(k)| = 1, виконується спiввiдношення
inf
uj(x), υj(y)
∥∥∥∥∥∥g(x− y)−
M∑
j=1
uj(x) υj(y)
∥∥∥∥∥∥
2,1
�M1/2.
Оскiльки функцiя Fn задовольняє умови леми Б, то для τM (f1(x− y))2,1 маємо
τM (f1(x− y))2,1 � ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θτM (Fn(x− y))2,1 �
�M1/2ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ).
Провiвши подiбнi мiркування для функцiї f2, отримаємо
τM (f2(x− y))2,1 � ω(2−n)n(d−1)/2.
Оцiнку знизу i теорему доведено.
Зауваження 2. При ω(u) = ur, тобто Ω(t) =
∏d
j=1
trj , i певних обмеженнях
на параметр r з теорем 1 i 2 можна отримати вiдповiднi результати для класiв Br∞,θ,
якi встановлено в роботi [16].
Зауваження 3. Спiвставивши теорему 2 з оцiнкою колмогоровського попереч-
ника dM (SΩ
∞,θB,Lq1) [23], бачимо, що справджуються порядковi рiвностi
τM (SΩ
∞,θB)q1,∞ � dM (SΩ
∞,θB,Lq1)
при 2 ≤ θ <∞ та
τM (SΩ
∞,θB)q1,∞ � dM (SΩ
∞,θB,Lq1)(logd−1M)(1/2−1/θ)
при 1 ≤ θ < 2.
Теорема 3. Нехай 1 ≤ p ≤ 2 ≤ q1 <∞, 1 ≤ q2, θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω
(∏d
j=1
tj
)
,
де ω ∈ Φ1
α,l, α >
1
p
, l >
[
1
p
]
. Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn)∞n=1 на-
туральних чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2nnd−1, має мiсце
порядкова рiвнiсть
τM (SΩ
p,θB)q1,q2 � ω(2−n)2n(1/p−1/2)n(d−1)(1/2−1/θ). (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 819
Доведення. Оцiнки зверху отримаємо, як i в попереднiй теоремi, використавши
оцiнки величини eM (SΩ
p,θB), знайденi у роботах [12, 13].
Далi покажемо, що при 1 ≤ p ≤ 2, α >
1
p
− 1
2
i 1 ≤ θ ≤ ∞ виконується
порядкова нерiвнiсть
τM (SΩ
p,θB)2,1 � ω(2−n)2n(1/p−1/2)n(d−1)(1/2−1/θ), M � 2nnd−1, (22)
з якої буде випливати оцiнка знизу в (21).
Розглянемо випадок p = 1. За даним M пiдберемо натуральне n таким чином,
щоб для кiлькостi елементiв множини Qn =
⋃
‖s‖1=n
ρ(s) виконувались спiввiд-
ношення |Qn| > 2M, |Qn| �M.
Розглянемо функцiї
g1(x) = C11n
−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
ei(k,x), C11 > 0, 1 ≤ θ <∞,
та
g2(x) = C12
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
ei(k,x), C12 > 0, θ =∞,
де ρ+(s) =
{
k : k = (k1, . . . , kd), 2sj−1 ≤ kj < 2sj , j = 1, d
}
.
При вiдповiдному виборi сталих C11 та C12 функцiя g1 належить класу SΩ
1,θB,
1 ≤ θ <∞, а g2 — класу SΩ
1,∞B. Дiйсно,
‖g1‖SΩ
1,θB
�
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω−θ(2−‖s‖1)‖As(g1, x)‖θ1
1/θ
�
� n−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω−θ(2−‖s‖1)ωθ(2−‖s‖1)
1/θ
=
= n−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
1
1/θ
� n−(d−1)/θn(d−1)/θ = 1,
‖g2‖SΩ
1,∞B
� sup
n≤‖s‖1≤n+d
‖As(g2, x)‖1
ω(2−‖s‖1)
� sup
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
ω(2−‖s‖1)
= 1.
Використовуючи функцiю g (тут для зручностi функцiю будемо позначати g,
маючи на увазi g1 при 1 ≤ θ <∞ та g2 у випадку θ =∞) в якостi ядра, розглянемо
iнтегральний оператор G : L2 −→ L2:
(Gf)(x) = (2π)−d
∫
πd
g(x− y)f(y)dy.
Нехай G∗ — спряжений до G оператор, а λj — власнi числа оператора G∗G,
якi розташованi в порядку незростання. Оскiльки числа λj збiгаються з числа-
ми bn−
2(d−1)
θ ω2(2−‖s‖1), b > 0 (вiдповiдно з числами bω2(2−‖s‖1) при θ = ∞), то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
820 К. В. СОЛIЧ
за лемою А отримаємо
inf
ui(x),vi(y)
‖g1(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)‖2,2 =
∑
j≥M+1
λj
1/2
�
�
∑
‖s‖1≥n+1
n−
2(d−1)
θ ω2(2−‖s‖1)
1/2
�
� n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1≥n+1
ω2(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
1
1/2
�
� n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1≥n+1
ω2(2−‖s‖1)2‖s‖1
1/2
=
= n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1≥n+1
ω2(2−‖s‖1)
2−2α‖s‖1
2(1−2α)‖s‖1
1/2
�
� n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
∑
‖s‖1≥n+1
2(1−2α)‖s‖1
1/2
�
� n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
2(1−2α)n/2n(d−1)/2 =
= ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ)2n/2. (23)
Аналогiчно у випадку θ =∞
inf
ui(x),vi(y)
∥∥∥∥∥g2(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥∥
2,2
� ω(2−n)2n/2n(d−1)/2.
Далi, нехай задано деякi системи функцiй {uj(x)}Mj=1 ∈ L2(πd) i {vj(y)}Mj=1 ∈
∈ L1(πd). Не обмежуючи загальностi можемо вважати функцiї vj(y), j = 1,M,
неперервними. Позначимо через ug(x, y) ортогональну проекцiю функцiї g(x− y)
при фiксованому y на пiдпростiр U = L({uj(x)}Mj=1) — лiнiйну оболонку функцiй
uj(x), j = 1,M. Покладемо
r(x, y) = g(x− y)− ug(x, y).
Оскiльки функцiя ug(x, y) має вигляд
ug(x, y) =
M∑
j=1
uj(x)ϕj(y), (24)
то для довiльного y ∈ πd матимемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 821∥∥∥∥∥∥g(· − y)−
M∑
j=1
uj(·)vj(y)
∥∥∥∥∥∥
2
≥ ‖r(·, y)‖2, (25)
‖r(·, y)‖2 ≤ ‖g(· − y)‖2. (26)
Для функцiї r(x, y) виконується нерiвнiсть
‖r(x, y)‖22,2 ≤ ‖r(x, y)‖2,1‖r(x, y)‖2,∞. (27)
З одного боку, враховуючи (24), аналогiчно до (23), отримуємо
‖r(x, y)‖2,2 = ‖g(x− y)− ug(x, y)‖2,2 � ω(2−n)2n/2n(d−1)(1/2−1/θ), (28)
а з iншого — можемо оцiнити ‖r(x, y)‖2,∞ зверху. З нерiвностi (26) випливає, що
‖r(x, y)‖2,∞ ≤ ‖g‖2. (29)
Оцiнимо ‖g‖2. Покладаючи g = g1, знаходимо
‖g1‖2 =
∥∥∥∥∥∥C11n
−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
2
�
� n−(d−1)/θ
∥∥∥∥∥∥
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
2
�
� n−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω2(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
1
1/2
�
� n−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω2(2−‖s‖1)2‖s‖1
1/2
=
= n−(d−1)/θ
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω2(2−‖s‖1)
2−2α‖s‖1
2(1−2α)‖s‖1
1/2
�
� n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
∑
n≤‖s‖1≤n+d
2(1−2α)‖s‖1
1/2
=
= n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
n+d∑
j=n
∑
‖s‖1=j
2(1−2α)‖s‖1
1/2
�
� n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
n+d∑
j=n
2(1−2α)jjd−1
1/2
�
� n−(d−1)/θ ω(2−n)
2−αn
2(1−2α)n/2n(d−1)/2 = ω(2−n)2n/2n(d−1)(1/2−1/θ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
822 К. В. СОЛIЧ
Якщо покласти g = g2, то
‖g2‖2 =
∥∥∥∥∥∥C12
∑
n≤‖s‖1≤n+d
ω(2−‖s‖1)
∑
k∈ρ+(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
2
� ω(2−n)2n/2n(d−1)/2.
Iз оцiнок ‖g1‖2 i ‖g2‖2 на пiдставi нерiвностi (29) для довiльного 1 ≤ θ ≤ ∞
отримуємо
‖r(x, y)‖2,∞ ≤ ‖g‖2 � ω(2−n)2n/2n(d−1)(1/2−1/θ). (30)
З (27) – (30) випливає нерiвнiсть
‖r(x, y)‖2,1 � ω(2−n)2n/2n(d−1)(1/2−1/θ).
Тепер скористаємось нерiвнiстю (25) i отримаємо необхiдну оцiнку при p = 1.
Розглянемо випадок 1 < p ≤ 2. Знову ж за заданим M пiдберемо n ∈ N так,
щоб для Qn =
⋃
‖s‖1=n
ρ(s) : |Qn| > 4M, |Qn| �M. Розглянемо функцiї
f3(x) = C13ω(2−n)2−n(1−1/p)n−(d−1)/θdn(x), 1 ≤ θ <∞,
f4(x) = C14ω(2−n)2−n(1−1/p)dn(x), θ =∞,
де dn(x) =
∑
k∈Qn
ei(k,x), C13, C14 — додатнi сталi.
Оскiльки ∥∥∥∥∥∥
2sj−1∑
kj=2sj−1
eikjxj
∥∥∥∥∥∥
p
� 2sj(1−1/p), j = 1, d,
то
‖δs(dn, x)‖p =
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
p
=
d∏
j=1
∥∥∥∥∥∥
2sj−1∑
k=2sj−1
eikjxj
∥∥∥∥∥∥
p
�
�
d∏
j=1
2sj(1−1/p) = 2‖s‖1(1−1/p).
Згiдно з (2) при 1 ≤ θ <∞ маємо
‖f3‖SΩ
p,θB
�
∑
‖s‖1=n
ω−θ(2−‖s‖1)‖δs(f, x)‖θp
1/θ
�
� ω(2−n)2−n(1−1/p)n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
ω−θ(2−‖s‖1)‖δs(dn, x)‖θp
1/θ
�
� ω(2−n)2−n(1−1/p)n−(d−1)/θ
ω−θ(2−n)
∑
‖s‖1=n
‖δs(dn, x)‖θp
1/θ
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 823
� 2−n(1−1/p)n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
2θ‖s‖1(1−1/p)
1/θ
�
� 2−n(1−1/p)2n(1−1/p)n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
1
1/θ
� 1.
При θ =∞
‖f4‖SΩ
p,∞B
� sup
‖s‖1=n
‖δs(f, x)‖p
ω(2−‖s‖1)
� ω(2−n)2−n(1−1/p) sup
‖s‖1=n
‖δs(dn, x)‖p
ω(2−‖s‖1)
�
� ω(2−n)2−n(1−1/p) sup
‖s‖1=n
2‖s‖1(1−1/p)
ω(2−‖s‖1)
�
� ω(2−n)2−n(1−1/p)ω−1(2−n)2n(1−1/p) = 1.
Таким чином, функцiї f3 та f4 належать вiдповiдно до класiв SΩ
p,θB, 1 ≤ θ <∞,
та SΩ
p,∞B при деяких значеннях сталих C13, C14 > 0. Оскiльки функцiя dn задо-
вольняє умови леми Б, то для функцiй f3, f4 матимемо
τM (f3)2,1 � ω(2−n)2−n(1−1/p)n−(d−1)/θM1/2 �
� ω(2−n)2−n(1−1/p)n−(d−1)/θ2n/2n(d−1)/2 =
= ω(2−n)2n(1/p−1/2)n(d−1)(1/2−1/θ),
τM (f4)2,1 � ω(2−n)2−n(1−1/p)M1/2 � ω(2−n)2n(1/p−1/2)n(d−1)/2.
Оцiнку знизу i теорему доведено.
Зауваження 4. Спiвставивши теорему 3 з оцiнкою колмогоровського попе-
речника dM (SΩ
p,θB,Lq1) [3], приходимо до висновку, що мають мiсце порядковi
рiвностi
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)
при 2 ≤ θ <∞ та
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)(logd−1M)(1/2−1/θ)
при 1 ≤ θ < 2.
Теорема 4. Нехай 2 ≤ p < q1 < ∞, 1 ≤ q2, θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω
(∏d
j=1
tj
)
,
де ω ∈ Φ1
α,l, α >
1
2
. Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn)∞n=1 натуральних
чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2nnd−1, справджується оцiнка
τM (SΩ
p,θB)q1,q2 � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ).
Доведення. Оцiнку зверху отримаємо, як i в попереднiх теоремах, з оцiнки
величини eM (SΩ
p,θB)p, 2 ≤ p < q1 <∞ [13].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
824 К. В. СОЛIЧ
Тепер перейдемо до встановлення оцiнок знизу. За даним M пiдберемо n так,
щоб виконувались спiввiдношення: а) M � 2nnd−1; б) 2nnd−1 > 4M.
Розглянемо функцiї
f5(x) = C15ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj), C15 > 0, 1 ≤ θ <∞,
f6(x) = C16ω(2−n)2−n/2
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj), C16 > 0, θ =∞,
де Rsj (xj) =
∑2s
j
−1
l=2sj−1
εle
ilxj , εl = ±1, j = 1, d, — полiноми Рудiна – Шапiро, для
яких, як зазначалось вище, ‖Rsj‖∞ � 2sj/2.
Покажемо, що при деякому виборi додатних сталих C15, C16 цi функцiї нале-
жать класам SΩ
p,θB, 1 ≤ θ <∞, та SΩ
p,∞B вiдповiдно. Оскiльки
δs(f5, x) = C15ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ
d∏
j=1
Rsj (xj),
δs(f6, x) = C16ω(2−n)2−n/2
d∏
j=1
Rsj (xj),
то при 1 ≤ θ <∞ матимемо
‖f5‖SΩ
p,θB
�
(∑
s
ω−θ(2−‖s‖1)‖δs(f5, x)‖θp
)1/θ
�
� ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
ω−θ(2−‖s‖1)
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
Rsj (xj)
∥∥∥∥∥∥
θ
p
1/θ
�
� ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ
∑
‖s‖1=n
ω−θ(2−‖s‖1)2
‖s‖1·θ
2
1/θ
�
� ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θω−1(2−‖s‖1)2n/2
∑
‖s‖1=n
1
1/θ
�
� n−(d−1)/θn(d−1)/θ = 1.
Вiдповiдно при θ =∞
‖f6‖SΩ
p,∞B
� sup
s
‖δs(f6, x)‖p
ω(2−‖s‖1)
� ω(2−n)2−n/2 sup
‖s‖1=n
∥∥∥∥∏d
j=1
Rsj (xj)
∥∥∥∥
p
ω(2−‖s‖1)
<
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
НАЙКРАЩI БIЛIНIЙНI НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ SΩ
p,θB . . . 825
< ω(2−n)2−n/2 sup
‖s‖1=n
∥∥∥∥∏d
j=1
Rsj (xj)
∥∥∥∥
∞
ω(2−‖s‖1)
� ω(2−n)2−n/2 sup
‖s‖1=n
2
‖s‖1
2
ω(2−‖s‖1)
= 1.
Тепер, врахувавши, що функцiя
υ(x) =
∑
‖s‖1=n
d∏
j=1
Rsj (xj)
задовольняє умови леми Б, отримаємо
τM (f5)2,1 �M1/2ω(2−n)2−n/2n−(d−1)/θ � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ),
τM (f6)2,1 �M1/2ω(2−n)2−n/2 � ω(2−n)n(d−1)/2.
Теорему доведено.
Зауваження 5. Спiвставляючи оцiнку колмогоровського поперечника
dM (SΩ
p,θB,Lq1) [3] з теоремою 4, бачимо, що при 2 ≤ θ <∞
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)
i
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)(logd−1M)(1/2−1/θ)
при 1 ≤ θ < 2.
Теорема 5. Нехай 2 ≤ q1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q2, θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω
(∏d
j=1
tj
)
,
ω ∈ Φ1
α,l, α > max
{
0;
1
θ
− 1
2
}
. Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn)∞n=1
натуральних чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2nnd−1, має мiсце
порядкова рiвнiсть
τM (SΩ
p,θB)q1,q2 � ω(2−n)n(d−1)(1/2−1/θ).
Доведення. Оцiнка зверху випливає з оцiнки величини e⊥M (SΩ
p,θB)q, 1 < q1 ≤
≤ p <∞, p ≥ 2, встановленої в [15]. Оцiнку знизу отримуємо, як i в теоремi 4.
Зауваження 6. Спiвставляючи оцiнку колмогоровського поперечника
dM (SΩ
p,θB,Lq1) [24] з теоремою 5, бачимо, що при θ ≥ 2
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)
i
τM (SΩ
p,θB)q1,∞ � dM (SΩ
p,θB,Lq1)(logd−1M)(1/2−1/θ)
при 1 ≤ θ < 2.
Зауваження 7. У випадку Ω(t) =
∏d
j=1
trj i певних обмеженнях на параметр
r з теорем 3 – 5 отримуємо вiдповiднi результати для класiв Brp,θ, якi встановленi в
роботi [21].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
826 К. В. СОЛIЧ
1. Бернштейн С. Н. Конструктивная теория функций (1931 – 1953): Собр. соч. – М.: Изд. АН СССР,
1954. – Т. 2. – 626 с.
2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопря-
женных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
3. Sun Youngsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic functions
with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – C. 356 – 377.
4. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных
с заданным смешанным модулем непрерывности // Anal. math. – 1994. – 20, № 1. – P. 35 – 48.
5. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозици-
онной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – C. 143 – 161.
6. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука,
1969. – 480 c.
7. Стасюк С. А., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй
багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – C. 692 – 704.
8. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. – 1955. – 102,
№ 1. – C. 37 – 40.
9. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. – 1986. – 178. – С. 1 – 112.
10. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова перио-
дических функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – C. 61 – 100.
11. Стасюк С. А. Приближение функций многих переменных классов HΩ
p полиномами по системе
Хаара // Anal. math. – 2009. – 35. – P. 257 – 271.
12. Конограй А.Ф., Стасюк С. А. Найкращi M -членнi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p,θ
перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi Lq // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 9. – C.
1196 – 1214.
13. Стасюк С. А. НайкращiM -членнi тригонометричнi наближення класiв функцiй багатьох змiнних
BΩ
p,θ // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 3. – C. 381 – 394.
14. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 419 p.
15. Стасюк С. А. Найкращi M -членнi ортогональнi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p,θ перiо-
дичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – C. 647 – 656.
16. Романюк А. С., Романюк В. С. Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и
билинейных приближений классов функций нескольких переменных // Укр. мат. журн. – 2010. –
62, № 4. – C. 536 – 551.
17. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I // Math. Ann. – 1907. –
63. – S. 433 – 476.
18. Темляков В. М. Билинейная аппроксимация и близкие вопросы // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1991. –
194. – C. 229 – 248.
19. Темляков В. Н. Приближение периодических функций многих переменных комбинациями функ-
ций, зависящих от меньшего числа переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1986. – 173. –
С. 243 – 252.
20. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений функций двух переменных и
некоторые их приложения // Мат. сб. – 1987. – 176, №1. – C. 16 – 33.
21. Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Brp,θ периоди-
ческих функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2006. – 70, №2. – С. 69 – 98.
22. Кашин С. Б., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 495 с.
23. Конограй А. Ф. Поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Мат. студ. –
2008. – 29, № 2. – С. 192 – 206.
24. Стасюк C .A. Найкращi наближення, колмогоровськi та тригонометричнi поперечники класiв
BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 11. – С. 1557 – 1568.
Одержано 01.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
|