Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции
Уведено поняття вольтеррiвського квадратичного стохастичного оператора двополої популяцiї (ВКСОДП). Опис нерухомих точок ВКСОДП зведено до опису нерухомих точок операторiв вольтеррiвського типу. Побудовано кiлька функцiй Ляпунова для ВКСОДП. З використанням цих функцiй отримано оцiнку зверху для ω-г...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166256 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции / У.А. Розиков, У.У. Жамилов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 985–998. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166256 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662562020-02-19T01:27:42Z Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции Розиков, У.А. Жамилов, У.У. Статті Уведено поняття вольтеррiвського квадратичного стохастичного оператора двополої популяцiї (ВКСОДП). Опис нерухомих точок ВКСОДП зведено до опису нерухомих точок операторiв вольтеррiвського типу. Побудовано кiлька функцiй Ляпунова для ВКСОДП. З використанням цих функцiй отримано оцiнку зверху для ω-граничної множини траєкторiй. Показано, що множина всiх ВКСОДП є опуклим компактом, i знайдено крайнi точки цiєї множини. Побудовано ВКСОДП, що мають перiодичну орбiту (траєкторiю) з перiодом 2. We introduce the notion of Volterra quadratic stochastic operators of a bisexual population. The description of the fixed points of Volterra quadratic stochastic operators of a bisexual population is reduced to the description of the fixed points of Volterra-type operators. Several Lyapunov functions are constructed for the Volterra quadratic stochastic operators of a bisexual population. By using these functions, we obtain an upper bound for the ω-limit set of trajectories. It is shown that the set of all Volterra quadratic stochastic operators of a bisexual population is a convex compact set, and the extreme points of this set are found. Volterra quadratic stochastic operators of a bisexual population that have a 2-periodic orbit (trajectory) are constructed. 2011 Article Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции / У.А. Розиков, У.У. Жамилов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 985–998. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166256 517.98 + 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Розиков, У.А. Жамилов, У.У. Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции Український математичний журнал |
| description |
Уведено поняття вольтеррiвського квадратичного стохастичного оператора двополої популяцiї (ВКСОДП). Опис нерухомих точок ВКСОДП зведено до опису нерухомих точок операторiв вольтеррiвського типу. Побудовано кiлька функцiй Ляпунова для ВКСОДП. З використанням цих функцiй отримано оцiнку зверху для ω-граничної множини траєкторiй. Показано, що множина всiх ВКСОДП є опуклим компактом, i знайдено крайнi точки цiєї множини. Побудовано ВКСОДП, що мають перiодичну орбiту (траєкторiю) з перiодом 2. |
| format |
Article |
| author |
Розиков, У.А. Жамилов, У.У. |
| author_facet |
Розиков, У.А. Жамилов, У.У. |
| author_sort |
Розиков, У.А. |
| title |
Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции |
| title_short |
Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции |
| title_full |
Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции |
| title_fullStr |
Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции |
| title_full_unstemmed |
Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции |
| title_sort |
вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166256 |
| citation_txt |
Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции / У.А. Розиков, У.У. Жамилов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 985–998. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT rozikovua volʹterrovskiekvadratičnyestohastičeskieoperatorydvupolojpopulâcii AT žamilovuu volʹterrovskiekvadratičnyestohastičeskieoperatorydvupolojpopulâcii |
| first_indexed |
2025-07-14T21:04:25Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:04:25Z |
| _version_ |
1837657821695442944 |
| fulltext |
УДК 517.98 + 519.21
У. А. Розиков, У. У. Жамилов
(Ин-т математики и информ. технологий АН Узбекистана, Ташкент)
ВОЛЬТЕРРОВСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ ПОПУЛЯЦИИ*
We introduce the notion of Volterra quadratic stochastic operators of a bisexual population. The description of
the fixed points of Volterra quadratic stochastic operators of a bisexual population is reduced to the description
of the fixed points of Volterra-type operators. Several Lyapunov functions are constructed for the Volterra
quadratic stochastic operators of a bisexual population. By using these functions, we obtain an upper bound
for the ω-limit set of trajectories. It is shown that the set of all Volterra quadratic stochastic operators of a
bisexual population is a convex compact set, and the extreme points of this set are found. Volterra quadratic
stochastic operators of a bisexual population that have a 2-periodic orbit (trajectory) are constructed.
Уведено поняття вольтеррiвського квадратичного стохастичного оператора двополої популяцiї
(ВКСОДП). Опис нерухомих точок ВКСОДП зведено до опису нерухомих точок операторiв вольтер-
рiвського типу. Побудовано кiлька функцiй Ляпунова для ВКСОДП. З використанням цих функцiй
отримано оцiнку зверху для ω-граничної множини траєкторiй. Показано, що множина всiх ВКСОДП є
опуклим компактом, i знайдено крайнi точки цiєї множини. Побудовано ВКСОДП, що мають перiодичну
орбiту (траєкторiю) з перiодом 2.
1. Введение. Понятие квадратичных стохастических операторов было сформули-
ровано С. Н. Бернштейном [1]. Теория квадратичных стохастических операторов
развивалась в течение более 85 лет, и было опубликовано много работ (см., на-
пример, [1 – 13]). В последние годы возрос интерес к данной теории в связи с
многочисленными применениями к задачам математики, биологии и физики.
Квадратичный стохастический оператор (КСО) свободной популяции имеет сле-
дующий смысл. Предположим, что свободная популяция состоит из m элементов.
Множество
Sm−1 =
{
x = (x1, . . . , xm) ∈ Rm : xi ≥ 0,
m∑
i=1
xi = 1
}
(1)
называется (m− 1)-мерным симплексом.
КСО, отображающий симплекс V : Sm−1 → Sm−1 в себя, имеет вид
V : x′k =
m∑
i,j=1
pij,kxixj , k = 1, . . . ,m, (2)
где pij,k — коэффициент наследственности и
pij,k ≥ 0,
m∑
k=1
pij,k = 1, i, j, k = 1, . . . ,m. (3)
Траектория {x(n)}, n = 0, 1, 2, . . . , для x(0) ∈ Sm−1 под действием КСО (2)
определяется следующим образом: x(n+1) = V (x(n)), n = 0, 1, 2, . . . .
Одна из основных задач для данного оператора в математической биологии
состоит в изучении асимптотического поведения траекторий. Эта проблема была
*Частично поддержана грантом Research grant – Maths/ASI/ – UNESCO FR:3240230333, TWAS, Три-
ест, Италия.
c© У. А. РОЗИКОВ, У. У. ЖАМИЛОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7 985
986 У. А. РОЗИКОВ, У. У. ЖАМИЛОВ
полностью решена для вольтерровских КСО (см. [2 – 5]), которые определяются
равенствами (2), (3) и дополнительным предположением
pij,k = 0, если k /∈ {i, j}. (4)
С использованием теории функций Ляпунова и турниров теория КСО (2) – (4)
получила дальнейшее развитие (см. [2 – 5]). В настоящей работе мы рассматриваем
КСО двуполой популяции.
Опишем кратко структуру статьи. В п. 2 дано определение КСО двуполой попу-
ляции и определено ВКСОДП. Описан канонический вид произвольного ВКСОДП.
Изучению множества неподвижных точек ВКСОДП посвящен п. 3. Доказывается,
что множество неподвижных точек ВКСОДП совпадает с множеством неподвиж-
ных точек операторов вольтрерровского типа (см. [5]). В пункте 4 изучены функции
Ляпунова для ВКСОДП. В п. 5 описаны крайние точки множества ВКСОДП и по-
казано, что такие операторы могут иметь периодическую орбиту с периодом 2.
2. Определения.
Определение 1 [6]. Пусть F = {F1, F2, . . . , Fn} — множество женских ти-
пов,M = {M1,M2, . . . ,Mν} — мужских. Число n + ν называется размерностью
популяции. Состоянием популяции называется пара распределений вероятностей
x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yν) на множествах соответственно F иM:
xi ≥ 0,
n∑
i=1
xi = 1; yk ≥ 0,
ν∑
k=1
yk = 1. (5)
Пространством состояний данной популяции является Sn−1×Sν−1 — декартово
произведение (n− 1)-мерного симплекса Sn−1 на (ν − 1)-мерный симплекс Sν−1.
Дифференциация популяции называется наследственной, если при любом состоя-
нии (x, y) в поколении G однозначно определено состояние (x′, y′), возникающее
в следующем поколении G′ путем скрещиваний и отбора.
Отображение W : Sn−1 × Sν−1 → Sn−1 × Sν−1, определяемое равенством
(x′, y′) = W (x, y), (x, y) ∈ Sn−1 × Sν−1, (6)
называется эволюционным оператором. В координатах оно превращается в систему
равенств
x′i = fi(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yν), 1 ≤ i ≤ n,
y′k = gk(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yν), 1 ≤ k ≤ ν,
(7)
которые также называются эволюционными. Отображение (6) при любом началь-
ном состоянии (x0, y0) однозначно определяет траекторию
{(x(t), y(t))}∞t=0 : (x(t+1), y(t+1)) =
= W ((x(t), y(t))) = W (t+1)((x(0), y(0))), t = 0, 1, 2, . . . . (8)
Множество предельных точек траектории, начинающейся в точке (x0, y0), называ-
ется ее предельным множеством и обозначается через ω(x0, y0). Выведем эволю-
ционные уравнения двуполой популяции. Исходными данными для этого являются
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ВОЛЬТЕРРОВСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ . . . 987
коэффициенты наследственности p
(f)
ik,j , p
(m)
ik,l . Величина p(f)ik,j определяется как ве-
роятность рождения потомка женского типа Fj , 1 ≤ j ≤ n, у матери типа Fi,
1 ≤ i ≤ n, и отца типа Mk, 1 ≤ k ≤ ν. Аналогично определяется p(m)
ik,l , 1 ≤ i ≤ n,
1 ≤ k, l ≤ ν. Очевидно,
p
(f)
ik,j ≥ 0,
n∑
j=1
p
(f)
ik,j = 1,
p
(m)
ik,l ≥ 0,
ν∑
l=1
p
(m)
ik,l = 1.
(9)
Коэффициенты наследственности суммарно учитывают, например, такие факторы,
как рекомбинационный процесс, отбор гамет, мутации, дифференциальная рожда-
емость.
Пусть (x, y) — состояние в поколении G. В следующем поколении G′ в момент
его зарождения вероятности типов находятся по формуле полной вероятности:
W :
x′j =
∑n,ν
i,k=1
p
(f)
ik,jxiyk, 1 ≤ j ≤ n,
y′l =
∑n,ν
i,k=1
p
(m)
ik,lxiyk, 1 ≤ l ≤ ν.
(10)
Определение 2. Эволюционный оператор (10) назовем вольтерровским квад-
ратичным стохастическим оператором двуполой популяции (ВКСОДП), если ко-
эффициенты наследственности (9) удовлетворяют условию
p
(f)
ik,j = 0, если j /∈ {i, k} 1 ≤ i, j ≤ n, 1 ≤ k ≤ ν,
p
(m)
ik,l = 0, если l /∈ {i, k} 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k, l ≤ ν.
(11)
Для определенности предположим, что n ≤ ν. Тогда легко видеть, что произ-
вольный ВКСОДП имеет вид
W :
x′j = xj
(
1 +
∑ν
k=1
k 6=j
(p
(f)
jk,j − 1)yk
)
+ yj
(∑n
k=1
k 6=j
p
(f)
kj,jxk
)
, 1 ≤ j ≤ n,
y′l = yl
(
1 +
∑n
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)xk
)
+ xl
(∑ν
k=1
k 6=l
p
(m)
lk,l yk
)
, 1 ≤ l ≤ n,
y′l = yl
(
1 +
∑n
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)xk
)
, n < l ≤ ν.
(12)
3. Множество неподвижных точек. Множество Fix(W ) — неподвижные точ-
ки ВКСОДП. Неподвижные точки оператора W являются решениями уравнения
W ((x, y)) = (x, y), т. е.
xj = xj
(
1 +
ν∑
k=1
k 6=j
(p
(f)
jk,j − 1)yk
)
+ yj
(
n∑
k=1
k 6=j
p
(f)
kj,jxk
)
, 1 ≤ j ≤ n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
988 У. А. РОЗИКОВ, У. У. ЖАМИЛОВ
yl = yl
(
1 +
n∑
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)xk
)
+ xl
(
ν∑
k=1
k 6=l
p
(m)
lk,l yk
)
, 1 ≤ l ≤ n, (13)
yl = yl
(
1 +
n∑
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)xk
)
, n < l ≤ ν.
В системе уравнений (13) в первых n − 1 уравнениях xn заменим на xn =
= 1−
∑n−1
i=1
xi и получим[
ν∑
k=1
k 6=j
(1− p(f)jk,j)yk + yjp
(f)
nj,j
]
xj+
+
n−1∑
k=1
k 6=j
(
p
(f)
nj,j − p
(f)
kj,j
)
yjxk = yjp
(f)
nj,j , 1 ≤ j ≤ n− 1. (14)
Из системы линейных уравнений (относительно x1, x2, . . . , xn−1) (14) по методу
Крамера находим неизвестные x1, x2, . . . , xn−1.
Обозначим через C = (cij)
n−1
i,j=1 матрицу, состоящую из коффициентов системы
(14), и черезCs = (c
(s)
ij )n−1s=1 матрицу, полученную из матрицыC с помощью замены
s-го столбца столбцом свободных членов, где
cij =
∑ν
k=1
k 6=j
(1− p(f)jk,j)yk + yjp
(f)
nj,j , если i = j,
yj(p
(f)
nj,j − p
(f)
ij,j), если i 6= j,
(15)
c
(s)
ij =
cij , если j 6= s,
yjp
(f)
nj,j , если j = s, 1 ≤ i, j ≤ n− 1,
(16)
а определители обозначим через 4 = det(C), 4s = det(Cs).
Из (15), (16) следует, что в каждом элементе s — строке определителя 4s —
содержится множитель ys. Тогда детерминант 4s можно записать в виде 4s =
= ys4s, где 4s = det(C
(s)
), C
(s)
= (c
(s)
ij ) и
c
(s)
ij =
cij , если j 6= s,
p
(f)
nj,j , если j = s, 1 ≤ i, j ≤ n− 1.
Следовательно, если 4 6= 0, решение системы (14) единственно и имеет вид
xs =
4s
4
= ys
4s
4
, 1 ≤ s ≤ n− 1. (17)
Используя (17), из (13) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ВОЛЬТЕРРОВСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ . . . 989
yl = yl
[
1 +
n∑
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)yk
4k
4
+
4l
4
(
ν∑
k=1
k 6=l
p
(m)
lk,l yk
)]
. (18)
Обозначим
Al(y1, y2, . . . , yν) =
n∑
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)yk
4k
4
+
4l
4
(
ν∑
k=1
k 6=l
p
(m)
lk,l yk
)
, 1 ≤ l ≤ ν. (19)
Тогда (18) принимает вид
yl = yl(1 +Al(y)), 1 ≤ l ≤ ν. (20)
Таким образом, задача описания неподвижных точек оператора W сводится
к нахождению неподвижных точек оператора V : Sν−1 → Sν−1 с определенной
правой частью (20), т. е.
V : y′l = yl(1 +Al(y)), l = 1, . . . , ν. (21)
Замечание 1. Вершины симплекса Sν−1 будут неподвижными точками опера-
тора V, т. е. решениями системы уравнений (20).
Рассмотрим отображение A = (A1, . . . , Aν) : Sν−1 → Rν , где Ai, i = 1, ν,
определены по формуле (19). Пусть I = {1, 2, . . . , ν} и α ⊂ I — произвольное
подмножество. Множества
Γα =
{
y ∈ Sν−1 : yk = 0, k /∈ α
}
называются гранями симплекса. Множество
int(Γα) =
{
y ∈ Γα : yk > 0, k ∈ α
}
называется относительной внутренностью грани Γα.
Для векторов x, y ∈ Rν положим x �α y, если xi > yi при i ∈ α, и xi ≥ yi при
i /∈ α. Если α = ∅, то пишем x � y (см. [5]).
Теорема 1. 1◦. A = (A1, . . . , Aν) : Sν−1 → Rν непрерывно.
2◦. A(y) � −I = (−1,−1, . . . ,−1) для любого y ∈ Sν−1.
3◦. (A(y), y) = 0 для каждого y ∈ Sν−1.
4◦. Для любого α ⊂ I выполняется A(y) �α −I для любой y ∈ int(Γα).
Доказательство. 1◦. Следует из того, что 4 6= 0.
2◦. Для любого l, 1 ≤ l ≤ ν, и любого y ∈ Sν−1, учитывая (11) и (17), имеем
Al(y) =
n∑
k=1
k 6=l
(
p
(m)
kl,l − 1
)
yk
4k
4
+
4l
4
(
ν∑
k=1
k 6=l
p
(m)
lk,l yk
)
≥
≥
n∑
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)xk ≥ −
n∑
k=1
k 6=l
xk ≥ −1.
3◦. Используя (17) и (21), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
990 У. А. РОЗИКОВ, У. У. ЖАМИЛОВ
(A(y), y) =
ν∑
l=1
[
n∑
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)yk
4k
4
+
4l
4
(
ν∑
k=1
k 6=l
p
(m)
lk,l yk
)]
yl =
=
ν∑
l=1
[
n∑
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)xkyl + xl
(
ν∑
k=1
k 6=l
p
(m)
lk,l yk
)]
=
=
ν∑
l=1
(y′l − yl) =
ν∑
l=1
y′l −
ν∑
l=1
yl = 0.
4◦. Поскольку 4 6= 0 и y ∈ int(Γα), из свойства 20 следует, что A(y)α � −I
для каждого y ∈ int(Γα).
Теорема доказана.
Из теоремы 1 вытекают такие следствия.
Следствие 1. |Fix(W )| = |Fix(V )|, где | · | обозначает число элементов мно-
жества.
Следствие 2. Оператор V (см. (21)) является оператором вольтерровского
типа.
Такие операторы изучены в работе [5].
Определение 3. Неподвижная точка x ∈ Fix(W ) называется изолированной
неподвижной точкой оператора (12), если существует такая окрестность точки
x, в которой не существует неподвижных точек, кроме x.
Поскольку W — непрерывный компактный оператор, по теореме Брауэра он
имеет, по крайней мере, одну неподвижную точку. Поэтому если 4 = 0, то сис-
тема (14) имеет бесконечное множество решений, причем некоторые из них не
являются изолированными.
В главе 8 книги [6] найдены условия на коэффициенты оператора (2), при
которых оператор (2) имеет только изолированные неподвижные точки. Однако для
оператора (12) нет результатов, обеспечивающих изолированность неподвижных
точек. Этой проблеме будет посвящена другая работа авторов.
4. Функции Ляпунова.
Определение 4. Непрерывный функционал ϕ : Sn−1 × Sν−1 → R называет-
ся функцией Ляпунова, если для любой начальной точки (x0, y0) ∈ Sn−1 × Sν−1
существует limt→∞ ϕ(x(t), y(t)).
Ясно, что если limt→∞ ϕ(x(t), y(t)) = C, то ω(x0, y0) ⊂ ϕ−1(C).
Через int(Sn−1 × Sν−1) обозначим относительную внутренность симплекса
Sn−1 × Sν−1.
Теорема 2. Если n < ν, то:
i) ϕ(x, y) =
∏ν
j=n+1
yj является функцией Ляпунова;
ii) если p
(m)
ij,k 6= 1 при всех j = 1, . . . , r, k = r + 1, . . . , n, то ϕ(x, y) =
=
∏ν
j=n+1
y
bj
j является функцией Ляпунова, где (bn+1, . . . , bν) ∈ Sν−n−1, более
того,
∑∞
t=0
ϕ(x(t), y(t)) < +∞;
iii) если p
(m)
ij,k 6= 1 при всех j = 1, . . . , r, k = r + 1, . . . , n, то ω(x0, y0) ⊂
⊂ Sn−1 × Sn−1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ВОЛЬТЕРРОВСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ . . . 991
Доказательство. i) Из (12) и условия теоремы для функции ϕ(x, y) имеем
ϕ(x′, y′) =
ν∏
j=n+1
y′j = ϕ(x, y)
ν∏
j=n+1
(
1 +
ν∑
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − 1)xk
)
. (22)
Поскольку 0 ≤ p(m)
kj,j ≤ 1, то −1 <
∑ν
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − 1)xk ≤ 0. Тогда из (22) находим
ϕ(x′, y′) ≤ ϕ(x, y).
Следовательно, ϕ(x(t+1), y(t+1)) ≤ ϕ(x(t), y(t)) для любого t ≥ 0. Таким образом,
последовательность {ϕ(x(t), y(t))}t=0,1,... является убывающей и ограничена снизу
и, следовательно, существует предел этой последовательности.
ii) Из (12) и условия теоремы для функции ϕ(x, y) имеем
ϕ(x′, y′) =
ν∏
j=n+1
(y′j)
bj = ϕ(x, y)ψ(x), (23)
где
ψ(x) =
ν∏
j=n+1
(
1 +
ν∑
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − 1)xk
)bj
.
Используя неравенство Юнга (см. [13])
a
bn+1
n+1 . . . a
bν
ν ≤ an+1bn+1 + . . .+ aνbν ,
где ai > 0 и bj ≥ 0,
∑ν
j=n+1
bj = 1, для ψ(x) получаем
ψ(x) =
ν∏
j=n+1
(
1 +
ν∑
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − 1)xk
)bj
≤
≤
ν∑
j=n+1
(
1 +
ν∑
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − 1)xk
)
bj =
=
(
ν∑
j=n+1
ν∑
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − 1)xkbj +
ν∑
j=n+1
bj
)
. (24)
Поскольку
∑ν
j=n+1
∑ν
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − 1)xk ≤ 0, из (24) следует
ψ(x) ≤
ν∑
j=n+1
bj = 1.
Из (23) и неравенства ψ(x) ≤ 1 имеем
ϕ(x′, y′) ≤ ϕ(x, y). (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
992 У. А. РОЗИКОВ, У. У. ЖАМИЛОВ
Следовательно, ϕ(x(t+1), y(t+1)) ≤ ϕ(x(t), y(t)) для любого t ≥ 0.
Из (24) получаем
ϕ(x(t+1), y(t+1)) ≤ ϕ(x(t), y(t))
(
1 +
ν∑
j=n+1
(
ν∑
k=1
k 6=j
bj(p
(m)
kj,j − 1)
)
x
(t)
k
)
. (26)
Введем обозначение δ = max j=1,r
k=r+1,n
{p(m)
kj,j − 1} < 0 и при условии (x0, y0) ∈
∈ int(Sn−1 × Sν−1) получим
∑ν
k=1
k 6=j
x
(t)
k < 1. Тогда из (26) следует
ϕ(x(t+1), y(t+1)) ≤ ϕ(x(t), y(t))(1 + δ) < (1 + δ)tϕ(x(0), y(0)). (27)
Следовательно,
lim
t→∞
ϕ(x(t), y(t)) = 0 (28)
и
∞∑
t=0
ϕ(x(t+1), y(t+1)) ≤ ϕ(x(0), y(0))
∞∑
t=0
(1 + δ)t < +∞. (29)
iii) Используя (12), (28) и
∑ν
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − 1)xk ≤ 0, находим
y′j = yj
(
1 +
ν∑
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − 1)xk
)
≤ yj , n+ 1 ≤ j ≤ ν.
Следовательно, y(t+1)
j ≤ y
(t)
j , n + 1 ≤ j ≤ ν, для любого t ≥ 0 и limt→∞ y
(t)
j =
= yj ≥ 0.
При bj = 1, bp = 0, p 6= j, из (28) получаем yj = 0, n + 1 ≤ j ≤ ν, т. е.
limt→∞ y
(t)
j = 0, n+ 1 ≤ j ≤ ν ⇒ ω(x0, y0) ⊂ Sn−1 × Sn−1.
Tеорема доказана.
Теорема 3. Если n = ν и p(f)jk,j + p
(m)
jk,j < 1, p
(m)
kj,j + p
(f)
kj,j < 1, при всех j = 1, r,
k = r + 1, n, то для любого r < n функция ϕ(x, y) =
∑r
j=1
(xj + yj) является
функцией Ляпунова. Более того,
∑∞
t=0
ϕ(x(t), y(t)) < +∞.
Доказательство. Используя канонический вид оператора (12), для ϕ(W (x, y))
получаем
ϕ(x′, y′) =
r∑
j=1
(x′j + y′j) = ϕ(x, y) + ψ(x, y), (30)
где
ψ(x, y) =
r∑
j=1
[
xj
(
n∑
k=1
k 6=j
(p
(f)
jk,j + p
(m)
jk,j − 1)yk
)
+ yj
(
n∑
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j + p
(f)
kj,j − 1)xk
)]
.
(31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ВОЛЬТЕРРОВСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ . . . 993
Запишем (31) в виде
ψ(x, y) =
r∑
j=1
[
xj
(
r∑
k=1
k 6=j
(p
(f)
jk,j − p
(m)
jk,k)yk
)
+ yj
(
r∑
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − p
(f)
kj,k)xk
)]
+
+
r∑
j=1
[
xj
(
n∑
k=r+1
(p
(f)
jk,j − p
(m)
jk,k)yk
)
+ yj
(
n∑
k=r+1
(p
(m)
kj,j − p
(f)
kj,k)xk
)]
.
Первая сумма равна нулю, т. е.
r∑
j=1
[
xj
(
r∑
k=1
k 6=j
(p
(f)
jk,j − p
(m)
jk,k)yk
)
+ yj
(
r∑
k=1
k 6=j
(p
(m)
kj,j − p
(f)
kj,k)xk
)]
= 0.
Действительно,
r∑
j=1
[
xj
(
r∑
k=1
(p
(f)
jk,j − p
(m)
jk,k)yk
)
+ yj
(
r∑
k=1
(p
(m)
kj,j − p
(f)
kj,k)xk
)]
=
=
r∑
j=1
r∑
k=1
p
(f)
jk,jxjyk −
r∑
j=1
xjyj −
r∑
j=1
r∑
k=1
p
(f)
kj,kxjyk +
r∑
j=1
xjyj+
+
r∑
j=1
r∑
k=1
p
(m)
kj,jxjyk −
r∑
j=1
xjyj −
r∑
j=1
r∑
k=1
p
(m)
jk,kxjyk +
r∑
j=1
xjyj =
=
r∑
j=1
r∑
k=1
p
(f)
jk,jxjyk −
r∑
j=1
r∑
k=1
p
(f)
kj,kxjyk+
+
r∑
j=1
r∑
k=1
p
(m)
kj,jxjyk −
r∑
j=1
r∑
k=1
p
(m)
jk,kxjyk = 0.
Тогда (31) принимает вид
ψ(x, y) =
r∑
j=1
[
xj
(
n∑
k=r+1
(p
(f)
jk,j + p
(m)
jk,j − 1)yk
)
+
+yj
(
n∑
k=r+1
(p
(m)
kj,j + p
(f)
kj,k − 1)xk
)]
. (32)
По условию теоремы −1 < α = min j=1,r
k=r+1,n
{p(f)jk,j + p
(m)
jk,j − 1, p
(m)
kj,j + p
(f)
kj,j − 1} < 0,
тогда из (32) получаем
ψ(x, y) ≤ α
r∑
j=1
[
xj
(
n∑
k=r+1
yk
)
+ yj
(
n∑
k=r+1
xk
)]
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
994 У. А. РОЗИКОВ, У. У. ЖАМИЛОВ
= α
r∑
j=1
[
xj
(
1−
r∑
k=1
yk
)
+ yj
(
1−
r∑
k=1
xk
)]
=
= α
[
r∑
j=1
xj
(
1−
r∑
k=1
yk
)
+
r∑
j=1
yj
(
1−
r∑
k=1
xk
)]
=
= α
[
r∑
j=1
xj +
r∑
j=1
yj −
r∑
j=1
xj
r∑
k=1
yk −
r∑
j=1
yj
r∑
k=1
xk
]
.
Следовательно,
ψ(x, y) ≤ α
(
ϕ(x, y)− 2
r∑
j=1
r∑
k=1
xjyk
)
≤ αϕ(x, y). (33)
Из (30) и (33) находим
ϕ(x′, y′) ≤ (1 + α)ϕ(x, y), −1 < α < 0. (34)
Ясно, что ψ(x, y) ≤ 0 и, следовательно, ϕ(x, y) =
∑r
j=1
(xj + yj) — функция
Ляпунова для оператора (12).
Из (34) имеем
ϕ(x(t+1), y(t+1)) ≤ (1 + α)ϕ(x(t), y(t)) ≤ (1 + α)tϕ(x(0), y(0)). (35)
Поскольку ϕ(x(0), y(0)) < 2 и −1 < α < 0 для любого (x0, y0) ∈ int(Sn−1×Sν−1),
из (35) следует, что ϕ(x(t), y(t))→ 0, t→∞, и
∑∞
t=0
ϕ(x(t), y(t)) < +∞.
Теорема доказана.
Из теоремы 3 вытекает такое следствие.
Следствие 3. x
(t)
j → 0, y
(t)
j → 0 при t → ∞, j = 1, . . . , r, и ω(x(0), y(0)) ⊂
⊂ Γn−r × Γn−r.
Теорема 4. Если существуют l ∈ {n+ 1, . . . , ν} и q ∈ {1, . . . , n} такие, что
p
(m)
kl,l ≤ p
(f)
qk,q для любого k ∈ {1, . . . , ν}, то
ϕ(x, y) =
yl
xq
, (x, y) ∈ int(Sn−1 × Sν−1)
является функцией Ляпунова. Более того, ϕ(x, y) — монотонно убывающая функ-
ция вдоль любой траектории {x(t), y(t)}, где (x0, y0) ∈ int(Sn−1×Sν−1) и (x0, y0) /∈
/∈ Fix(W ).
Доказательство. Из (12) получаем
ϕ(x′, y′) =
yl
(∑ν
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)xk
)
xq
(
1 +
∑ν
k=1
k 6=q
(p
(f)
qk,q − 1)yk
)
+ yq
(∑n
k=1
k 6=q
p
(f)
kq,qxk
) =
=
yl
xq
∑ν
k=1
k 6=l
(p
(m)
kl,l − 1)xk
1 +
∑ν
k=1
k 6=q
(p
(f)
qk,q − 1)yk +
yq
xq
(∑n
k=1
k 6=q
p
(f)
kq,qxk
) . (36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ВОЛЬТЕРРОВСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ . . . 995
Из условия теоремы следует, что
1 +
ν∑
k=1
k 6=q
(p
(f)
qk,q − 1)yk +
yq
xq
(
n∑
k=1
k 6=q
p
(f)
kq,qxk
)
≥ 1 +
ν∑
k=1
k 6=q
(
p
(f)
qk,q − 1
)
yk ≥ yq > 0
и
α = max
(x,y)∈
int(Sn−1×Sν−1)
1 +
∑ν
k=1
k 6=l
(
p
(m)
kl,l − 1
)
xk
1 +
∑ν
k=1
k 6=q
(
p
(f)
qk,q − 1
)
yk
≤ 1. (37)
Тогда из (36) и (37) имеем
ϕ(x′, y′) < αϕ(x, y).
Следовательно, ϕ(x(t+1), y(t+1)) < αϕ(x(t), y(t)), и это показывает, что ϕ(x, y) —
функция Ляпунова, причем монотонно убывающая.
Теорема доказана.
5. Множество всех ВКСОДП. Через V обозначим множество всех ВКСОДП,
определенных на Sn−1 × Sν−1. Матрица P =
(
(p
(f)
ik,j), (p
(m)
ik,l )
)
(при условии (9))
оператора ВКСОДП определяется как точка в пространстве R2νn−(n+ν).
Теорема 5. 1. V — выпуклое компактное подмножество в R2νn−(n+ν).
2. Extr(V) — множество крайних точек множества V,
Extr(V) =
{
W ∈ V : P— матрица оператора W, состоящая только из 0 и 1
}
.
3. |Extr(V)| = 22nν−(n+ν).
Доказательство. 1. Пусть W1, W2 — два ВКСОДП, т. е. W1,W2 ∈ V . Покажем,
что W = λW1 + (1− λ)W2 ∈ V для любого λ ∈ [0, 1].
Пусть P — матрица оператора W1 и Q — матрица оператора W2, где
P =
(
(p
(f)
ik,j), (p
(m)
ik,l )
)
=
(
P (f), P (m)
)
,
Q =
(
(q
(f)
ik,j), (q
(m)
ik,l )
)
=
(
Q(f), Q(m)
)
, 1 ≤ i, j ≤ n, 1 ≤ k, l ≤ ν.
(38)
Тогда матрица оператора W имеет вид
P = λP + (1− λ)Q. (39)
По определению, элементы матриц P и Q удовлетворяют условию (11). С исполь-
зованием (39) легко проверяется, что элементы матрицы P также удовлетворяют
условию (11).
2. Предположим, что W ∈ V с матрицей P =
(
p̂ij,k
)
и с условием p̂
(f)
i0k0,j0
= α,
0 < α < 1, для некоторого i0, k0, j0.
Построим два оператора, соответствующие матрицам P (f) =
(
p
(f)
ik,j
)
, Q(f) =
=
(
q
(f)
ik,j
)
, следующим образом:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
996 У. А. РОЗИКОВ, У. У. ЖАМИЛОВ
p
(f)
ik,j =
p̂
(f)
ik,j , если (i, k) 6= (i0, k0),
1, если (i, k, j) = (i0, k0, j0),
0, если (i, k, j) = (i0, k0, j), j 6= j0,
q
(f)
ik,j =
p̂
(f)
ik,j , если (i, k) 6= (i0, k0),
0, если (i, k, j) = (i0, k0, j0),
p̂
(f)
ik,j
1− α
, если (i, k, j) = (i0, k0, j), j 6= j0.
Матрицы P (m) = Q(m) произвольные, элементы которых удовлетворяют усло-
вию (11).
Тогда
αp
(f)
ik,j + (1− α)q
(f)
ik,j =
=
p̂
(f)
ik,j , если (i, k) 6= (i0, k0),
α, если (i, k, j) = (i0, k0, j0),
p̂
(f)
ik,j , если (i, k, j) = (i0, k0, j), j 6= j0,
= p̂
(f)
ik,j , (40)
1 ≤ i, j ≤ n, 1 ≤ k ≤ ν.
Поскольку α > 0, из (40) получаем
p̂
(f)
ik,j = 0 ⇔ p
(f)
ik,j = 0 и q
(f)
ik,j = 0. (41)
Из (41) и из того, что W1, W2 — два ВКСОДП, следует, что W = αW1 + (1 −
− α)W2.
Таким образом, если 0 < p
(f)
ik,j < 1, 0 < p
(m)
ik,l < 1 для некоторого (i, k, j),
(i, k, l), то W — не экстремальная точка множества V.
Если p
(f)
ik,j = 0, p
(m)
ik,l = 0 или p
(f)
ik,j = 1, p
(m)
ik,l = 1 для любых (i, k, j), (i, k, l),
то представление W = λW1 + (1 − λ)W2, 0 < λ < 1, выполняется тогда и только
тогда, когда W = W1 = W2.
3. Применяя пункты 1, 2 и условия (11), легко вычисляем |Extr(V)| = 22nν−(ν+n).
Теорема доказана.
Теперь приведем пример крайних операторов.
Пример 1. Пусть n = ν = 2. В этом случае в силу пункта 3 теоремы 5
существуют 16 крайних ВКСОДП. Приведем полный список этих операторов:
W1(x1, x2, y1, y2) = (x1 + x2y1, x2y2, x1 + x2y1, x2y2),
W2(x1, x2, y1, y2) = (x1 + x2y1, x2y2, x1, x2),
W3(x1, x2, y1, y2) = (x1 + x2y1, x2y2, y1, y2),
W4(x1, x2, y1, y2) = (x1 + x2y1, x2y2, x1y1, x2y1 + y2),
W5(x1, x2, y1, y2) = (x1, x2, x1 + x2y1, x2y2),
W6(x1, x2, y1, y2) = (x1, x2, x1, x2),
W7(x1, x2, y1, y2) = (x1, x2, y1, y2),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ВОЛЬТЕРРОВСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ . . . 997
W8(x1, x2, y1, y2) = (x1, x2, x1y1, x2y1 + y2),
W9(x1, x2, y1, y2) = (y1, y2, y1 + x1y2, x2y2),
W10(x1, x2, y1, y2) = (y1, y2, x1, x2),
W11(x1, x2, y1, y2) = (y1, y2, y1, y2),
W12(x1, x2, y1, y2) = (y1, y2, x1y1, x2y1 + y2),
W13(x1, x2, y1, y2) = (x1y1, x2, x1 + x2y1, x2y2),
W14(x1, x2, y1, y2) = (x1y1, x2y1 + y2, x1, x2),
W15(x1, x2, y1, y2) = (x1y1, x2y1 + y2, y1, y2),
W16(x1, x2, y1, y2) = (x1y1, x2y1 + y2, x1y1, x2y1 + y2).
Введем обозначения ei = (δ1i, δ2i, . . . , δni) ∈ Sn−1, i = 1, . . . , n, и ẽj =
= (δ1j , δ2j , . . . , δνj) ∈ Sν−1, j = 1, . . . , ν, — вершины симплексов, где δij — символ
Кронекера. Пусть ηij = (ei, ẽj) — (n+ ν)-мерный вектор.
Теорема 6. 1. Если i = j, i, j = 1, 2, . . . ,min{n, ν}, то ηij — неподвижная
точка для любого ВКСОДП.
2. Если i 6= j i, j = 1, 2, . . . ,min{n, ν}, то существует оператор W(ij) ∈ V,
для которого {ηij , ηji} образует периодическую орбиту периода два.
Доказательство. 1. Поскольку произвольный вольтерровский КСО двуполой
популяции имеет вид (12), утверждение 1 очевидно.
2. Пусть i 6= j. Тогда, используя (12), для системы уравнений
W (ηij) = ηji,
W (ηji) = ηij
получаем
xj = xj(1 + (p
(f)
ji,j − 1)yi) + yjp
(f)
ij,jxi,
xi = xi(1 + (p
(f)
ij,i − 1)yj) + yip
(f)
ji,ixj ,
yi = yi(1 + (p
(m)
ji,i − 1)xj) + xip
(m)
ij,i yj ,
yj = yj(1 + (p
(m)
ij,j − 1)xi) + xjp
(m)
ji,j yi.
(42)
Если
p
(f)
ji,j = p
(m)
ji,j = p
(f)
ji,i = p
(m)
ji,i = 1 (43)
и остальные коэффициенты оператора (12) удовлетворяют условию (11), легко
убедиться, что для соответствующего оператора W(ij) имеем W(ij)(W(ij)(ηij)) =
= W(ij)(ηji) = ηij .
Теорема доказана.
Приведем пример ВКСОДП, который имеет периодическую орбиту с периодом
два.
Пример 2. Рассмотрим n = ν = 2 и η12 = (1, 0, 0, 1), η21 = (0, 1, 1, 0).
Оператор W : S1 × S1 → S1 × S1 определим следующим образом:
W (x1, x2, y1, y2) = (y1, y2, x1, x2). (44)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
998 У. А. РОЗИКОВ, У. У. ЖАМИЛОВ
Легко видеть, что W (W (η12)) = W (η21) = η12, т. е. {η12, η21} является перио-
дической орбитой.
1. Бернштейн С. Н. Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследования //
Уч. зап. Научно-исслед. каф. Укр. отд. мат. – 1924. – 1. – С. 83 – 115.
2. Ганиходжаев Р. Н. Квадратичные стохастические операторы, функция Ляпунова и турниры // Мат.
сб. – 1992. – 83, № 8. – C. 119 – 140.
3. Ганиходжаев Р. Н. Карта неподвижных точек и функции Ляпунова для одного класса дискретных
динамических систем // Мат. заметки. – 1994. – 56. – С. 1125 – 1131.
4. Ганиходжаев Р. Н., Эшмаматова Д. Б. Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое
поведение их траекторий // Владикавказ. мат. журн. – 2006. – 8. – С. 12 – 28.
5. Ганиходжаев Р. Н., Сабуров М. Х. Обобщенная модель нелинейных операторов вольтерровского
типа и функции Ляпунова // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. – 2008. – 2. – P. 188 – 196.
6. Lyubich Yu. I. Mathematical structures in population genetics // Biomathematics. – 1992. – 22.
7. Rozikov U. A., Shamsiddinov N. B. On non-Volterra quadratic stochastic operators generated by a product
measure // Stochast. Anal. and Appl. – 2009. – 27, № 2. – P. 353 – 362.
8. Розиков У. А., Жамилов У. У. F -квадратичные стохастические операторы // Мат. заметки. – 2008.
– 83, № 4. – С. 606 – 612.
9. Розиков У. А., Жамилов У. У. О динамике строго невольтерровских квадратичных стохастических
операторов на двумерном симплексе // Мат. сб. – 2009. – 200, № 9. – С. 81 – 94.
10. Rozikov U. A., Zada A. On `-Volterra quadratic stochastic operators // Dokl. Mat. – 2009. – 79, № 1. –
P. 32 – 34.
11. Жамилов У. У. Регулярность F -квадратичных стохастических операторов // Уз. мат. журн. – 2008.
– № 2. – С. 35 – 45.
12. Жамилов У. У., Мухитдинов Р. Т. Условные квадратичные стохастические операторы // Уз. мат.
журн. – 2010. – № 2. – С. 31 – 38.
13. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр. лит. 1948.
Получено 17.11.10,
после доработки — 20.05.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
|