Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І

Розв'язано крайову задачу Рімана для розширених у порівнянні з попередніми результатами класів розімкнених жорданових слрямлюваних кривих та заданих на них функцій....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Кудьявина, Ю.В., Плакса, С.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166257
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І / Ю.В. Кудьявина, С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1511–1522. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166257
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1662572020-02-19T01:27:31Z Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І Кудьявина, Ю.В. Плакса, С.А. Статті Розв'язано крайову задачу Рімана для розширених у порівнянні з попередніми результатами класів розімкнених жорданових слрямлюваних кривих та заданих на них функцій. The Riemann boundary-value problem is solved for the classes of open rectifiable Jordan curves extended as compared with previous results and functions defined on these curves. 2010 Article Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І / Ю.В. Кудьявина, С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1511–1522. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166257 517.96 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Кудьявина, Ю.В. Плакса, С.А. Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І Український математичний журнал
description	Розв'язано крайову задачу Рімана для розширених у порівнянні з попередніми результатами класів розімкнених жорданових слрямлюваних кривих та заданих на них функцій.
format	Article
author	Кудьявина, Ю.В. Плакса, С.А.
author_facet	Кудьявина, Ю.В. Плакса, С.А.
author_sort	Кудьявина, Ю.В.
title	Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І
title_short	Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І
title_full	Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І
title_fullStr	Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І
title_full_unstemmed	Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І
title_sort	краевая задача римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. і
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166257
citation_txt	Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І / Ю.В. Кудьявина, С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1511–1522. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT kudʹâvinaûv kraevaâzadačarimananarazomknutojžordanovojsprâmlâemojkrivojí AT plaksasa kraevaâzadačarimananarazomknutojžordanovojsprâmlâemojkrivojí
first_indexed	2025-07-14T21:04:30Z
last_indexed	2025-07-14T21:04:30Z
_version_	1837657827351461888
fulltext	УДК 517.96 С. А. Плакса, Ю. В. Кудьявина (Ин-т математики НАН Украины, Киев) КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ СПРЯМЛЯЕМОЙ КРИВОЙ. I The Riemann boundary-value problem is solved for classes of open Jordan rectifiable curves extended in comparison with the previous results and for functions given on these curves. Розв’язано крайову задачу Рiмана для розширених у порiвняннi з попереднiми результатами класiв розiмкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцiй. Пусть в комплексной плоскости C задана ориентированная разомкнутая жорданова спрямляемая кривая γ = a1a2 ^ с началом в точке a1 и концом в точке a2. Обозначим T := {a1, a2}. Пусть множествоHT включает в себя голоморфные в C\γ функции F, имеющие предел в бесконечно удаленной точке и предельные значения F+(t) и F−(t) при всех t ∈ γ \ T соответственно слева и справа от γ, а также допускающие оценку \|F (z)\| ≤ c 2∑ j=1 \|z − aj \|−νF ∀z ∈ C \ γ, (1) в которой постоянная c не зависит от z, а νF — некоторое число из промежутка (0; 1), зависящее от функции F. Рассмотрим краевую задачу Римана об отыскании функции Φ ∈ HT , предель- ные значения Φ+ и Φ− которой удовлетворяют условию граничного сопряжения Φ+(t) = G(t)Φ−(t) + g(t) ∀ t ∈ γ \ T , (2) где G и g — заданные функции. При g(t) 6≡ 0 имеем неоднородную краевую задачу Римана, а при g(t) ≡ 0 — однородную краевую задачу Римана. В монографиях [1, 2] развита классическая теория краевой задачи Римана с гельдеровским коэффициентом на гладкой кривой. В этом случае индекс краевой задачи определяется исключительно свойствами аргумента коэффициента G. В работе [3] изучена краевая задача Римана с коэффициентом G, удовлетворя- ющим условию Дини на разомкнутой кривой, линейная мера порции которой в каждом круге с центром в точке кривой соизмерима с радиусом круга. При этом установлена формула индекса краевой задачи Римана, полностью описывающая влияние кривой γ, а также модуля и аргумента функцииG на разрешимость задачи. Зависимость разрешимости краевых задач от контура γ, модуля и аргумента коэффициента G исследовалась также в работах [4 – 14] как в случае замкнутой, так и разомкнутой кривой. В монографиях [1, 2] показано, что краевые задачи Римана на разомкнутой и замкнутой гладких кривых эквивалентны в том смысле, что задача на разомкнутой гладкой кривой приводится к соответствующей задаче на замкнутой кривой и, на- оборот, решение задачи на замкнутой кривой может быть получено путем решения краевых задач Римана для нескольких разомкнутых дуг, составляющих замкнутую кривую. c© С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА, 2010 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1511 1512 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА В п. 1 данной работы решение однородной краевой задачи Римана на произволь- ной разомкнутой жордановой спрямляемой кривой получено на основе соответст- вующего результата работы [14] для замкнутой кривой. При этом в п. 2 показано, что формула индекса однородной краевой задачи Римана, установленная в рабо- те [3], справедлива при более общих предположениях о кривой γ и функции G. Для решения неоднородной краевой задачи Римана на разомкнутых спрямля- емых кривых более общего, чем в работах [3, 12, 13], вида в отличие от гладких кривых требуется выполнение дополнительных (в сравнении со случаем замкнутой кривой) предположений. Соответствующие результаты о разрешимости неоднород- ной задачи получены в п. 4 с использованием специальных оценок интегралов типа Коши в окрестностях концов кривой γ, изложенных в п. 3. 1. Однородная краевая задача Римана. Покажем сначала, что произвольную разомкнутую жорданову спрямляемую дугу можно дополнить до замкнутой жор- дановой спрямляемой кривой. Пусть x ∈ γ\{a1, a2}. При j = 1, 2 введем в рассмотрение связную компоненту γj(x) множества {t ∈ γ : \| arg (t− aj) − arg (x− aj) \| < π/2}, содержащую точку x. Обозначим теперь через ρj(x) расстояние от точки x до γ \γj(x) в случае, когда γj(x) 6= γ, а в случае, когда γj(x) = γ, примем по определению ρj(x) := \|x− aj \|. С учетом того, что кривая γ жорданова, легко устанавливается, что для любой ее дуги γ0, концы которой отличны от точек a1 и a2, выполняются неравенства inf x∈γ0 ρj(x) > 0, j = 1, 2. Обозначим через N множество натуральных чисел, а также K (z, ε) := {t ∈ ∈ C : \|t− z\| < ε} и cε(z) := {t ∈ C : \|t− z\| = ε}. Лемма 1. Пусть γ = a1a2 ^ — разомкнутая жорданова спрямляемая кри- вая. Тогда существует разомкнутая жорданова спрямляемая кривая γ1 = a2a1 ^ такая, что γ̃ := γ ∪ γ1 является замкнутой жордановой спрямляемой кривой. Доказательство. Пусть l — длина кривой γ. Использовав натуральный пара- метр s ∈ [0, l], представим γ в виде γ = {t = t(s) : s ∈ [0, l]} так, что при этом a1 = t(0) и a2 = t(l). Введем в рассмотрение точки bn := t(l/2n+1) при n = 0, 1, . . . и cn := t((2n+1− − 1) l/2n+1) при n = 1, 2, . . . . Пусть ρ0 := min { 1 2 ρ1(b0), 1 2 ρ2(b0), inf k∈N {\|b0 − ck\|, \|b0 − bk\|} } , ρn := min { 1 2 ρ1(bn), 1 2 ρ2(bn), 1 2 ρ1(cn), 1 2 ρ2(cn), \|bn − b0\|, \|cn − b0\|, inf k∈N : k 6=n,m∈N {\|bn − bk\|, \|bn − cm\|, \|cn − ck\|, \|cn − bm\|} } , n = 1, 2, . . . . Выберем последовательность положительных чисел {δn}∞n=0, удовлетворяю- щих соотношениям δ0 < 1 2 ρ0, δn < 1 2 min {δn−1, ρn} , n = 1, 2, . . . . (3) При n = 0, 1, . . . рассмотрим множество {t ∈ γ : \|t − bn\| < δn} и выделим его связную компоненту, содержащую точку bn. При этом обозначим через B′n, B ′′ n ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1513 концы указанной компоненты так, чтобы точка B′n предшествовала точке B′′n при заданной ориентации кривой γ. Аналогично при n = 1, 2, . . . выделим связную компоненту множества {t ∈ γ : \|t− cn\| < δn}, содержащую точку cn, и обозначим через C ′n, C ′′ n концы указанной компоненты, при этом точка C ′n предшествует точке C ′′n при заданной ориентации кривой γ. При n ∈ N обозначим ωn := 1 2 min  min τ∈B′′nB ′ n−1 ^ , ξ∈a1B′n ^ ∪B′′n−1a2 ^ \|τ − ξ\|; min τ∈C′′n−1C ′ n ^ , ξ∈a1C′n−1 ^ ∪C′′na2 ^ \|τ − ξ\|; inf x∈B′′nB ′ n−1 ^ {ρ1(x), ρ2(x)}; inf x∈C′′n−1C ′ n ^ { ρ1(x), ρ2(x) }, где C ′′0 := B′′0 , C ′ 0 := B′0. Выберем последовательность положительных чисел {εn}∞n=1, удовлетворяю- щих соотношениям ε1 < 1 2 ω1, εn < 1 2 min {εn−1, ωn} , n = 2, 3, . . . . (4) При n = 1, 2, . . . рассмотрим дугу B′′nB ′ n−1 ^ и конечное покрытие ее открыты- ми кругами K(Bn,k, εn), центры которых Bn,k выбираем с помощью следующей процедуры. Пусть Bn,1 := B′′n. Рассмотрим теперь связную компоненту множества{ t ∈ B′′nB′n−1 ^ : \|t − Bn,1\| < εn } , содержащую точку Bn,1, и обозначим через Bn,2 тот ее конец, который следует за точкой Bn,1 при заданной ориентации кривой γ. Продолжим далее процедуру выбора точек Bn,k дуги B′′nB ′ n−1 ^ , при этом каждая следующая точка Bn,k+1 определяется путем рассмотрения связной компоненты множества { t ∈ B′′nB′n−1 ^ : \|t− Bn,k\| < εn } , содержащей точку Bn,k, и тогда через Bn,k+1 обозначается тот ее конец, который следует за точкой Bn,k при заданной ориентации кривой γ. Оценим число m′n точек Bn,k дуги B′′nB ′ n−1 ^ , полученных в результате описан- ной процедуры: m′n ≤ mesB′′nB ′ n−1 ^ εn + 1 < mes bnbn−1 ^ εn + 1 = l 2n+1 εn + 1, (5) где mes обозначает линейную меру Лебега на кривой γ. При каждом n = 1, 2, . . . аналогично покрывается дуга C ′′n−1C ′ n ^ конечным чис- лом открытых кругов K(Cn,k, εn) с центрами в точках Cn,k, при этом число m′′n указанных кругов, как и m′n, удовлетворяет оценке m′′n < l 2n+1 εn + 1. (6) Рассмотрим множество ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1514 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА 0 := ( ∞⋃ n=0 K(bn, δn) )⋃( ∞⋃ n=1 K(cn, δn) )⋃ ⋃( ∞⋃ n=1 (( m′n⋃ k=1 K(Bn,k, εn) )⋃( m′′n⋃ k=1 K(Cn,k, εn) ))) и обозначим через Γ границу неограниченной компоненты связности множества C\0.По построению Γ является замкнутой жордановой кривой, имеющей с кривой γ только две общие точки: a1 и a2. Оценивая длину кривой Γ с учетом соотношений (3) – (6) mes Γ ≤ ∞∑ n=0 mes cδn(bn) + ∞∑ n=1 mes cδn(cn)+ + ∞∑ n=1  m′n∑ k=1 mes cεn(Bn,k) + m′′n∑ k=1 mes cεn(Cn,k)  ≤ ≤ ∞∑ n=0 2π δ0 2n + ∞∑ n=1 2π δ0 2n + ∞∑ n=1 (m′n +m′′n) 2π εn ≤ ≤ 4πδ0 + 2πδ0 + 2π ( l + 2 ∞∑ n=1 εn ) = 2π(l + 3δ0 + 4ε1), заключаем, что Γ является спрямляемой кривой. Теперь для завершения доказательства достаточно заметить, что точки a1 и a2 разбивают кривую Γ на две дуги, одну из которых обозначим через γ1. Переходя к решению однородной краевой задачи Римана на произвольной ра- зомкнутой жордановой спрямляемой кривой, введем необходимые обозначения. Обозначим γε(X) := ⋃ x∈X {t ∈ γ : \|t − x\| ≤ ε}, где ε > 0 и X ⊂ γ. Если же X = {x}, то множество γε(X) обозначим через γε(x). Все интегралы по кривой γ понимаем в смысле их главного значения, т. е.∫ γ ϕ(t) dt := lim ε→0 ∫ γ\γε(X) ϕ(t) dt , где X — конечное множество особых точек функции ϕ. Рассмотрим интеграл типа Коши p̃(z) := 1 2πi ∫ γ p(t) t− z dt, z ∈ C \ γ . (7) Если функция p суммируема на γ или p = F+ − F−, где F ∈ HT , то функция p̃ голоморфна в C \ γ. Заметим, что функция p = F+−F−, где F ∈ HT , может быть не суммируемой на γ. В качестве примера рассмотрим кривую γ = ( ∞⋃ k=1 [−b2k−1,−b2k] )⋃( ∞⋃ k=1 [b2k+1, b2k] )⋃( ∞⋃ k=1 γk ) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1515 с началом в точке 0 и концом в точке 1, где bk := 1/k2 и γk := {t = bk e iϕ : 0 ≤ ≤ ϕ ≤ π}, и функцию p(t) = F+(t)−F−(t) при t ∈ γ \ {0, 1}, где F (z) = 1/ √ z — голоморфная в C \ γ ветвь аналитической функции 1/ √ z. При этом F ∈ HT , но p не суммируема на γ, поскольку ∫ γ\γε(0) \|p(t)\| \|dt\| ≥ [1/ √ ε]−1∑ k=1 ∫ γk \|p(t)\| \|dt\| = 2π [1/ √ ε]−1∑ k=1 1 k →∞, ε→ 0. В то же время интеграл (7) существует, поскольку, обозначив через Γε границу множества {z ∈ C \ γ : \|z\| > ε, \|z − 1\| > ε}, при z ∈ C \ γ с учетом интегральной формулы Коши будем иметь p̃(z) = 1 2πi lim ε→0 ∫ γ\(γε(0)∪γε(1)) p(t) t− z dt = 1 2πi lim ε→0 ∫ Γε F (t) t− z dt = F (z) . В каждой точке aj ∈ T произвольной разомкнутой жордановой спрямляемой кривой γ = a1a2 ^ определим числа ∆p(aj) := lim inf z→aj , z∈C\γ Re p̃ (z) ln \|z − aj \| , ∆p(aj) := lim inf r→0 1 ln r inf z∈C\γ: \|z−aj \|=r Re p̃ (z) и, кроме того, предположим, что выполняется соотношение (см. [14]) ∆p(aj) ≤ ∆p(aj) + c ∀ aj ∈ T , (8) где c — некоторая постоянная. Определим индекс κ краевой задачи Римана следующим образом. Если числа ∆p(aj) и ∆p(aj) конечны для всех aj ∈ T, то полагаем κ := 2∑ j=1 κj , (9) где κj := ∆p(aj) , если ∆p(aj) целое, [∆p(aj)] + 1 , если ∆p(aj) нецелое. В случае, когда среди значений ∆p(aj) есть +∞, но нет −∞, полагаем κ = +∞. Наконец, если среди значений ∆p(aj) есть −∞, то полагаем κ = −∞. Теорема 1. Пусть γ = a1a2 ^ — разомкнутая жорданова спрямляемая кривая и функция G имеет вид G(t) = exp(p(t)), при этом p̃ ∈ HT и, кроме того, выполняется соотношение (8). Тогда: 1) если −∞ ≤ κ < 0, то однородная краевая задача Римана не имеет нетри- виальных решений; 2) если κ = +∞, то однородная краевая задача Римана имеет бесконечное множество линейно независимых решений; ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1516 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА 3) если 0 ≤ κ <∞, то однородная краевая задача Римана имеет κ+1 линейно независимое решение и ее общее решение определяется формулой Φ(z) = exp(p̃ (z))Pκ(z) 2∏ j=1 (z − aj)−κj , z ∈ C \ γ, где Pκ — произвольный полином степени не выше κ. Для доказательства теоремы достаточно на основании леммы 1 дополнить кри- вую γ до замкнутой жордановой спрямляемой кривой разомкнутой дугой γ1 := := a2a1 ^ , положив при этом G(t) ≡ 1 на γ1, и применить теорему 1 из [14] о разрешимости однородной краевой задачи Римана на замкнутой кривой. 2. Однородная краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом. Распространим формулу индекса краевой задачи Римана, установленную в [3] для коэффициента G, удовлетворяющего условию Дини, на случай более общих пред- положений о кривой γ и функции G. Будем использовать следующую метрическую характеристику кривой γ (см. [15]): θ(ε) := sup z∈γ θz(ε) , где θz(ε) := mes {t ∈ γ : \|t− z\| ≤ ε}. Для функции f, заданной на γ \ T, и точки x ∈ γ \ T введем в рассмотрение локальные центрированные модули гладкости первого порядка Ωx(f, γ, ε) :=  sup t∈γ : \|t−x\|=ε \|f(t)− f(x)\|, если {t ∈ γ : \|t− x\| = ε} 6= Ø , 0 , если {t ∈ γ : \|t− x\| = ε} = Ø , ωx(f, γ, ε) := sup 0≤η≤ε Ωx(f, γ, η) . Далее, пусть ρ(z, γ) := inf t∈γ \|z−t\| — расстояние от точки z до γ и d := sup t1,t2∈γ \|t1− − t2\| — диаметр кривой γ. Докажем ряд вспомогательных утверждений. Лемма 2. Пусть γ — разомкнутая жорданова спрямляемая кривая с концами a1 и a2, а функция f непрерывна на γ \ {aj}, где j = 1 или j = 2, и суммируема на γ. Тогда при z ∈ C \ γ, \|z − aj \| = r ≤ \|a2 − a1\|/4, справедлива оценка∣∣∣∣∣∣∣ ∫ γ f(t)− f(x) t− z dt− ∫ γ \ γr(aj) f(t)− f(x) t− aj dt ∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ≤ c r ∫ [0,d]\{\|x−aj \|} Ωx(f, γ, η) η (r + η) dθx(η) + 1 r ∫ γ∩c\|x−aj \|(x) \|f(t)− f(x)\|\|dt\| , (10) где x — произвольная точка из γ ∩ cr(aj) при ρ(z, γ) ≥ r/2 и произвольная точка из γ ∩ cρ(z,γ)(z) при ρ(z, γ) < r/2, а c — универсальная постоянная. Доказательство. Справедливо равенство∫ γ f(t)− f(x) t− z dt− ∫ γ\γr(aj) f(t)− f(x) t− aj dt = (z − aj) ∫ γ\γ2r(aj) f(t)− f(x) (t− z)(t− aj) dt+ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1517 + ∫ γ2r(aj) f(t)− f(x) t− z dt− ∫ γ2r(aj)\γr(aj) f(t)− f(x) t− aj dt =: I1 + I2 − I3. (11) Рассмотрим сначала случай ρ(z, γ) ≥ r/2. Поскольку в этом случае \|t − x\| ≤ ≤ 3 2 \|t− aj \| ≤ 3\|t− z\| при всех t ∈ γ \ γ2r(aj), то \|I1\| ≤ 9 2 r ∫ γ\γ 2r (aj) \|f(t)− f(x)\| \|t− x\|2 \|dt\| ≤ ≤ 9 2 r ∫ (r, d] Ωx(f, γ, η) η2 dθx(η) ≤ 9 r ∫ (r, d] Ωx(f, γ, η) η (r + η) dθx(η). (12) Обозначая dr := sup t∈γ2r(aj) \|x − t\| и учитывая при этом неравенства dr ≤ 3 r и \|t− x\| ≤ 3 r ≤ 6 \|t− z\| при всех t ∈ γ2r(aj), получаем \|I2\| ≤ 6  ∫ γ2r(aj)\cr (x) \|f(t)− f(x)\| \|t− x\| \|dt\| + ∫ γ ∩ cr (x) \|f(t)− f(x)\| \|t− x\| \|dt\|  ≤ ≤ 6  ∫ [ 0, dr]\{r} Ωx(f, γ, η) η dθx(η) + 1 r ∫ γ ∩ cr (x) \|f(t)− f(x)\| \|dt\|  ≤ ≤ 24 r ∫ [ 0, dr]\{r} Ωx(f, γ, η) η (r + η) dθx(η) + 1 r ∫ γ ∩ cr(x) \|f(t)− f(x)\| \|dt\| . (13) С учетом неравенства \|t−x\| ≤ 2\|t−aj \| при всех t ∈ γ2r(aj)\γr(aj) аналогично оценке (13) получим \|I3\| ≤ 8 r ∫ [ 0, dr]\{r} Ωx(f, γ, η) η (r + η) dθx(η) + 1 r ∫ γ ∩ cr(x) \|f(t)− f(x)\| \|dt\| . (14) Из (11) – (14) следует неравенство (10) при ρ(z, γ) ≥ r/2. В случае ρ(z, γ) < r/2 интегралы I1, I2, I3 с учетом неравенств \|t − x\| ≤ ≤ 7 4 \|t−aj \| ≤ 7 2 \|t−z\| при всех t ∈ γ \ γ2r(aj), \|t−x\| ≤ 2\|t−z\| при всех t ∈ γ2r(aj), \|t− x\| ≤ 5 2 \|t− aj \| при всех t ∈ γ2r(aj) \ γr(aj) оцениваются аналогично. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть γ = a1a2 ^ — разомкнутая жорданова спрямляемая кривая, z ∈ C \ γ и \|z − aj \| = r ≤ \|a2 − a1\|/2 при j = 1 или j = 2. Тогда∣∣∣∣∣∣∣Re ∫ γ dt t− z − ∫ γ\γr(aj) dt t− aj  ∣∣∣∣∣∣∣ ≤ r \|a2 − a1\| . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1518 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА Доказательство. Рассмотрим случай j = 1 (случай j = 2 рассматривается ана- логично). Введем в рассмотрение связные компоненты множества γ \γr(a1). Через γ0 обозначим связную компоненту γ \ γr(a1), одним из концов которой является a2, а через γk, где k = 1, 2, . . . , p ≤ ∞, — другие связные компоненты множе- ства γ \ γr(a1). Поскольку оба конца каждой из кривых γk лежат на окружности cr(a1), то Re ∫ γk dt t− a1 = 0, k = 1, 2, . . . , p , и поэтому∣∣∣∣∣∣∣Re ∫ γ dt t− z − ∫ γ\γr(a1) dt t− a1  ∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣Re ∫ γ dt t− z − ∫ γ0 dt t− a1 ∣∣∣∣∣∣ = = ∣∣∣∣ln \|a2 − z\| \|a1 − z\| − ln \|a2 − a1\| r ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ln \|a2 − z\| \|a2 − a1\| ∣∣∣∣ = = ∣∣∣∣ln(1 + \|a2 − z\| − \|a2 − a1\| \|a2 − a1\| )∣∣∣∣ ≤ \|\|z − a2\| − \|a2 − a1\|\| \|a2 − a1\| ≤ r \|a2 − a1\| . Лемма доказана. Лемма 4. Пусть разомкнутая жорданова спрямляемая кривая γ = a1a2 ^ удовлетворяет условию θ(ε) = O(εν), ε→ 0, 0 < ν ≤ 1, (15) а функция v непрерывна на γ и при j = 1, 2 удовлетворяет условиям∫ [0,\|x−aj \|/4] Ωx(v, γ, η) η dθx(η) = o(\| ln \|x− aj \|\|), x→ aj , x ∈ γ, (16) \|v(x)− v(aj)\| = o(\|x− aj \|1−ν), x→ aj , x ∈ γ. (17) Тогда Re 1 2πi ∫ γ v(t) t− z dt = (−1)j 2π ( Im v(aj) ln \|z − aj \|+ Re v(aj) arg(z − aj) ) + +o(\| ln \|z − aj \|\|), z → aj , z ∈ C \ γ, j = 1, 2, (18) где arg(z−aj) — произвольная непрерывная вK ( aj , 1 2 \|a2 − a1\| ) \γ ветвь функции Arg(z − aj). Доказательство. Пусть \|z−aj \| =: r и точка x такая, как и в лемме 2. Справед- ливо равенство 1 2πi ∫ γ v(t) t− z dt = 1 2πi ∫ γ v(t)− v(x) t− z dt− ∫ γ\γr(aj) v(t)− v(x) t− aj dt + ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1519 + v(x) 2πi ∫ γ dt t− z − ∫ γ\γr(aj) dt t− aj + 1 2πi ∫ γ\γr(aj) v(t)− v(aj) t− aj dt+ + v(aj) 2πi ∫ γ\γr(aj) dt t− aj , поэтому Re 1 2πi ∫ γ v(t) t− z dt = Re 1 2πi ∫ γ v(t)− v(x) t− z dt− ∫ γ\γr(aj) v(t)− v(x) t− aj dt + + Im v(x) 2π Re ∫ γ dt t− z − ∫ γ\γr(aj) dt t− aj + Re 1 2πi ∫ γ\γr(aj) v(t)− v(aj) t− aj dt+ + Re(v(x)− v(aj)) 2π Im ∫ γ dt t− z − ∫ γ\γr(aj) dt t− aj + + Im v(aj) 2π Re ∫ γ\γr(aj) dt t− aj + Re v(aj) 2π Im ∫ γ dt t− z . Поскольку при любом η ≥ \|x − aj \|/4 и всех t ∈ γ ∩ cη(x) выполняется нера- венство \|t − aj \| ≤ 5η, то Ωx(v, γ, η) ≤ 2ωaj (v, γ, 5η). Поэтому, используя лемму 2 и оценивая при этом интеграл по множеству [\|x− aj \|/4, d ] с учетом предложения 1 работы [16] (см. также доказательство теоремы 1 работы [17]), а также учитывая соотношения (15) – (17), получаем∣∣∣∣∣∣∣ 1 2πi ∫ γ v(t)− v(x) t− z dt− 1 2πi ∫ γ\γr(aj) v(t)− v(x) t− aj dt ∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ≤ c r ∫ [0,d] Ωx(v, γ, η) η (r + η) dθx(η) + Ωx(v, γ, \|x− aj \|) ≤ ≤ c  ∫ [0,\|x−aj \|/4] Ωx(v, γ, η) η dθx(η) + r ∫ [\|x−aj \|/4,d] ωaj (v, γ, 5η) η2 dθx(η)  ≤ ≤ c  ∫ [0,\|x−aj \|/4] Ωx(v, γ, η) η dθx(η) + r 2d∫ \|x−aj \|/4 θ(η)ωaj (v, γ, 5η) η3 dη  = = o(\| ln r\|), r → 0. Аналогично с учетом соотношений (15), (17) имеем ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1520 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА∣∣∣∣∣∣∣Re 1 2πi ∫ γ\γr(aj) v(t)− v(aj) t− aj dt ∣∣∣∣∣∣∣ ≤ 1 2π ∫ γ\γr(aj) \|v(t)− v(aj)\| \|t− aj \| \|dt\| ≤ ≤ 1 2π ∫ [r,d] ωaj (v, γ, η) η dθaj (η) ≤ 1 2π 2d∫ r θ(η)ωaj (v, γ, η) η2 dη = o(\| ln r\|), r → 0 . Следствием леммы 2 из [16] является оценка∣∣∣∣∣∣∣ ∫ γ dt t− z − ∫ γ\γr(a1) dt t− a1 ∣∣∣∣∣∣∣ ≤ c r d1∫ r θa1(η) η3 dη (здесь c — универсальная постоянная), учитывая которую и соотношения (15), (17), получаем ∣∣∣∣∣∣∣ Re (v(x)− v(aj)) 2π Im ∫ γ dt t− z − ∫ γ\γr(aj) dt t− aj  ∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ≤ c r \|v(x)− v(aj)\| 2π d∫ r θaj (η) η3 dη → 0, r → 0. В силу леммы 3∣∣∣∣∣∣∣ Im v(x) 2π Re ∫ γ dt t− z − ∫ γ\γr(aj) dt t− aj  ∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ≤ \| Im v(x)\| 2π r \|a2 − a1\| → 0, r → 0. Наконец, Im v(aj) 2π Re ∫ γ\γr(aj) dt t− aj = (−1)j 1 2π Im v(aj) ln r +O(1) , r → 0 , Re v(aj) 2π Im ∫ γ dt t− z = (−1)j 1 2π Re v(aj) arg(z − aj) +O(1) , r → 0 . Следствием всех приведенных соотношений является асимптотическое равен- ство (18). Лемма доказана. Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть разомкнутая жорданова спрямляемая кривая γ = a1a2 ^ удовлетворяет условию (15), а функцияG имеет видG(t) = exp(v(t)), где функция v непрерывна на γ, удовлетворяет условиям (16), (17) и условию ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1521 sup x∈γ\γδ(T ) ∫ [0,ε] Ωx(v, γ, η) η dθx(η)→ 0, ε→ 0, ∀ δ > 0. (19) Пусть, кроме того, при j = 1, 2 выполняется соотношение lim inf r→0 1 ln r inf \|z−aj \|= r, z∈C\γ arg(z − aj) ≤ lim inf z→aj , z∈C\γ arg(z − aj) ln \|z − aj \| + c , (20) если (−1)j Re v(aj) > 0, или же соотношение lim inf r→0 1 \| ln r\| sup \|z−aj \|= r, z∈C\γ arg(z − aj) ≤ lim inf z→aj , z∈C\γ arg(z − aj) \| ln \|z − aj \|\| + c , (21) если (−1)j Re v(aj) < 0; здесь arg(z− aj) — произвольная непрерывная на множе- стве K ( aj , 1 2 \|a2 − a1\| ) \ γ ветвь функции Arg(z − aj) и постоянная c зависит только от γ. Тогда справедливы утверждения теоремы 1, при этом p = v и при j = 1, 2 выполняется равенство ∆v(aj) = 1 2π ( (−1)j Im v(aj) + lim inf z→aj , z∈C\γ (−1)j Re v(aj) arg(z − aj) ln \|z − aj \| ) . (22) Для доказательства теоремы достаточно заметить, что при условии (19) в силу леммы 1 и леммы 1 из [14] ṽ ∈ HT и, кроме того, следствием соотношений (18), (20), (21) являются соотношение (8) и равенство (22), а затем применить теорему 1. Отметим, что формула (22), полностью описывающая влияние кривой γ и коэф- фициента G(t) = exp(v(t)) на разрешимость однородной краевой задачи Римана, фактически установлена в работе [3] в случае, когда γ удовлетворяет условию (15) при ν = 1, а функция G удовлетворяет условию Дини. При этом в [3] установлено, что если γ удовлетворяет условию (15) при ν = 1, то выполняются неравенства∣∣ arg(z − aj) ∣∣ ≤ c ∣∣ ln \|z − aj \| ∣∣, j = 1, 2 (здесь постоянная c зависит только от γ), следствием которых являются соотношения (20), (21). Очевидно также, что при ν = 1 соотношение (17) является следствием непрерывности функции v на γ, а условия (16), (19) являются более слабыми ограничениями на коэффициент G(t) = exp(v(t)) краевой задачи Римана, чем условие Дини, наложенное в теоре- ме 1 из [3]. 1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с. 2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с. 3. Сейфуллаев Р. К. Краевая задача Римана на негладкой разомкнутой кривой // Мат. сб. – 1980. – 112, № 2. – C. 147 – 161. 4. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. – М.: Наука, 1986. – 239 с. 5. Кац Б. А. Об исключительном случае задачи Римана с осциллирующим коэффициентом // Изв. вузов. Математика. – 1981. – № 12. – С. 41 – 50. 6. Данилов Е. А. Зависимость числа решений однородной задачи Римана от контура и модуля коэф- фициента // Докл. АН СССР. – 1982. – 264, № 6. – C. 1305 – 1308. 7. Кац Б. А. Задача Римана на разомкнутой жордановой кривой // Изв. вузов. Математика. – 1983. – № 12. – С. 30 – 38. 8. Gonzalez B., Reyes J. The homogeneous Riemann boundary value problem on rectifiable open Jordan curves // Cience. Mat. Havana. – 1988. – 9, № 2. – P. 3 – 9. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1522 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА 9. Плакса С. А. Краевая задача Римана с осциллирующим коэффициентом и сингулярные интеграль- ные уравнения на спрямляемой кривой // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 1. – C. 116 – 121. 10. Кац Б. А. О краевой задаче Римана на фрактальных дугах и дугах бесконечной длины. I // Изв. вузов. Математика. – 1993. – № 6. – С. 7 – 16. 11. Кац Б. А. О краевой задаче Римана на фрактальных дугах и дугах бесконечной длины. II // Там же. – № 7. – С. 17 – 23. 12. Kutlu K. On Riemann boundary value problem // An. Univ. Timişoara. Ser. mat.-inform. – 2000. – 38, № 1. – P. 89 – 96. 13. Pena D., Reyes J. Riemann boundary value problem on a regular open curve // J. Natur. Geom. – 2002. – 22, № 1. – P. 1 – 17. 14. Васильева Ю. В., Плакса С. А. Кусочно-непрерывная краевая задача Римана на спрямляемой кривой // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – C. 616 – 628. 15. Салаев В. В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши по замкнутой кривой // Мат. заметки. – 1976. – 19, № 3. – C. 365 – 380. 16. Плакса С. А. Краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка на спиралеобразном контуре. I // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 11. – C. 1509 – 1517. 17. Герус О. Ф. Некоторые оценки модулей гладкости интегралов типа Коши // Там же. – 1978. – 30, № 5. – C. 594 – 601. Получено 19.01.10 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11

Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. І

Репозитарії

Схожі ресурси