Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные
Розглядаються так звані кільцеві Q-відображення, що є природним узагальненням квазірегулярних відображень у сенсі геометричного визначення за Ю. Вяйсяля, в якому використано термінологію модулів. Доведено, що внутрішня дилатація зазначених відображень за умови їх невиродженості мажорується функцією...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166260 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные / Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1531–1537. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166260 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662602020-02-19T01:27:58Z Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. Статті Розглядаються так звані кільцеві Q-відображення, що є природним узагальненням квазірегулярних відображень у сенсі геометричного визначення за Ю. Вяйсяля, в якому використано термінологію модулів. Доведено, що внутрішня дилатація зазначених відображень за умови їх невиродженості мажорується функцією Q(x) з точністю до сталої, що залежить лише від вимірності простору. We consider the so-called ring Q-mappings, which are natural generalizations of quasiregular mappings in a sense of Väisälä’s geometric definition of moduli. It is shown that, under the condition of nondegeneracy of these mappings, their inner dilatation is majorized by a function Q(x) to within a constant depending solely on the dimension of the space. 2010 Article Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные / Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1531–1537. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166260 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные Український математичний журнал |
| description |
Розглядаються так звані кільцеві Q-відображення, що є природним узагальненням квазірегулярних відображень у сенсі геометричного визначення за Ю. Вяйсяля, в якому використано термінологію модулів. Доведено, що внутрішня дилатація зазначених відображень за умови їх невиродженості мажорується функцією Q(x) з точністю до сталої, що залежить лише від вимірності простору. |
| format |
Article |
| author |
Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. |
| author_facet |
Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. |
| author_sort |
Салимов, Р.Р. |
| title |
Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные |
| title_short |
Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные |
| title_full |
Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные |
| title_fullStr |
Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные |
| title_full_unstemmed |
Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные |
| title_sort |
об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166260 |
| citation_txt |
Об оценке дилатаций для отображений, более общих, чем квазирегулярные / Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1531–1537. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT salimovrr obocenkedilatacijdlâotobraženijboleeobŝihčemkvaziregulârnye AT sevostʹânovea obocenkedilatacijdlâotobraženijboleeobŝihčemkvaziregulârnye |
| first_indexed |
2025-07-14T21:04:45Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:04:45Z |
| _version_ |
1837657841317445632 |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов
(Ин-т прик. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ОБ ОЦЕНКЕ ДИЛАТАЦИЙ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ,
БОЛЕЕ ОБЩИХ, ЧЕМ КВАЗИРЕГУЛЯРНЫЕ
We consider the so-called ring Q-mappings which are the natural generalizations of quasiregular mappings
in the sense of geometric definition according to J. Väisälä in terms of modules. We prove that, under the
condition of degeneracy of the considered mappings, their inner dilatation is majorized by the function Q(x)
up to a constant depending only on the dimension of a space.
Розглядаються так званi кiльцевi Q-вiдображення, що є природним узагальненням квазiрегулярних вi-
дображень у сенсi геометричного визначення за Ю. Вяйсяля, в якому використано термiнологiю модулiв.
Доведено, що внутрiшня дилатацiя зазначених вiдображень за умови їх невиродженостi мажорується
функцiєю Q(x) з точнiстю до сталої, що залежить лише вiд вимiрностi простору.
1. Введение. Как известно, в основу геометрического определения квазиконформ-
ных отображений по Ю. Вяйсяля, заданных в области D из Rn, n ≥ 2 , положено
условие
M (f(Γ)) ≤ KM(Γ) (1)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области D, где M — конформный
модуль семейства кривых (внешняя мера, определенная на семействах кривых в
Rn), а K ≥ 1 — некоторая постоянная (см. определение 13.1 в [1], раздел 13, гл. II,
а также теорему 34.3 там же (гл. IV)). Другими словами, модуль любого семейства
кривых при квазиконформных отображениях всегда искажается не более чем в K
раз, где K < ∞ — некоторая постоянная. В [1] доказано следующее утверждение
(см. теорему 34.6 гл. IV).
Утверждение 1. Предположим, что гомеоморфизм f : D → Rn, n ≥ 2,
удовлетворяет соотношению (1) в областиD для произвольного семейства кривых
Γ. Тогда для почти всех x ∈ D имеет место оценка
|J(x, f)| ≤ K · l (f ′(x)) , (2)
где J(x, f) обозначает якобиан отображения f в точке x, а l (f ′(x)) :=
:= min
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h|
.
Утверждение 1 играет важную роль в теории квазиконформных отображений,
так как связывает условие (1), являющееся чисто геометрическим, с некоторым
аналитическим условием (2). Пусть теперь в основе определения рассматриваемого
класса отображений вместо соотношения (1) лежит неравенство вида
M (f(Γ)) ≤
∫
D
Q(x) · ρn(x)dm(x), (3)
гдеm— мера Лебега в Rn, ρ— произвольная неотрицательная борелевская функция,
такая, что произвольная кривая γ семейства Γ имеет длину, не меньшую 1, в
метрике ρ, другими словами,
∫
γ
ρ(x)|dx| ≥ 1 для всех кривых γ ∈ Γ, а Q : D →
→ [1,∞] — наперед заданная функция, измеримая по Лебегу (см., например, [2]).
Определим внутреннюю дилатацию KI(x, f) отображения f отношением
c© Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1531
1532 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
KI(x, f) =
|J(x, f)|
l (f ′(x))
n ,
если якобиан J(x, f) : = det f ′(x) 6= 0, KI(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KI(x, f) =
= ∞, если матрица Якоби f ′(x) отображения f в точке x ненулевая, а якоби-
ан J(x, f) = 0. Основным результатом настоящей работы является следующее
утверждение.
Утверждение 2. Предположим, что некоторое открытое и дискретное
отображение f : D → Rn, n ≥ 2, удовлетворяет оценке вида (3) при некото-
рой измеримой по Лебегу функции Q ∈ L1
loc. Тогда при некоторой постоянной cn,
зависящей только от n, для почти всех x ∈ D выполнено
KI(x, f) ≤ cn ·Q(x).
2. Предварительные сведения. По-видимому, впервые неравенство вида (3)
было установлено О. Лехто и К. Вертаненом для квазиконформных отображений
на плоскости в [3, с. 221] (раздел 6.3, гл. V), и Ю. Ф. Струговым в работе [4] для
так называемых отображений, квазиконформных в среднем в пространстве. Со-
отношение (3) установлено В. Я. Гутлянским (совместно с К. Бишопом, О. Мартио
и М. Вуориненом) в работе [5] для квазиконформных отображений в пространстве,
где Q равно KI(x, f). В монографии В. М. Миклюкова [6] исследовались дру-
гие классы отображений, удовлетворяющих оценкам, которые имеют некоторые
сходства с упомянутым выше неравенством.
В дальнейшем будем предполагать, что контролируемым образом искажаются
не все кривые семейства Γ, а только „некоторые”. Именно, ограничимся рассмотре-
нием только тех семейств кривых Γ, которые соединяют концентрические сферы с
центром в фиксированной точке заданной области; для наших целей, в частности
доказательства утверждения 2, таких семейств Γ вполне достаточно. Неравенство
вида (3), выполненное для упомянутых выше семейств кривых, положено в основу
определения кольцевых Q-отображений (см., например, [2], раздел 7.1, гл. VII).
ВсюдуD — область в Rn, n ≥ 2, B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r}, S(x0, r) =
= {x ∈ Rn : |x− x0| = r} , A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x − x0| < r2}, m —
мера Лебега в Rn, Ωn — объем единичного шара Bn := B(0, 1) в Rn. Запись
f : D → Rn предполагает, что отображение f задано в области D и непрерывно.
Отображение f : D → Rn называется дискретным, если прообраз f−1 (y) каждой
точки y ∈ Rn состоит из изолированных точек, и открытым, если образ любого
открытого множества U ⊂ D является открытым множеством в Rn. Приведенные
выше понятия естественным образом распространяются на отображения f : D →
→ Rn , где Rn = Rn ∪ {∞} — одноточечная компактификация Rn . Борелева
функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства Γ кривых γ в Rn,
если
∫
γ
ρ(x)|dx| ≥ 1 для всех кривых γ ∈ Γ. В этом случае пишем ρ ∈ adm Γ.
Модулем семейства кривых Γ называется величина
M(Γ) = inf
ρ∈ adm Γ
∫
D
ρn(x) dm(x).
Пусть E, F ⊂ Rn — произвольные множества. Обозначим через Γ(E,F,D) семей-
ство всех кривых γ : [a, b] → Rn , которые соединяют E и F в D , т. е. γ(a) ∈ E,
γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
ОБ ОЦЕНКЕ ДИЛАТАЦИЙ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, БОЛЕЕ ОБЩИХ . . . 1533
В работе [7] (раздел 13) Ф. Геринг определил K-квазиконформное отображение
как гомеоморфизм, изменяющий модуль кольцевой области не более чем в K раз.
Исходя из изложенного, введем в рассмотрение некоторый класс отображений (см.,
например, [2], раздел 7.1, гл. VII). Пусть r0 = dist (x0, ∂D), Q : D → [0,∞] —
измеримая по Лебегу функция, Si := S(x0, ri). Говорят, что f : D → Rn является
кольцевым Q-отображением в точке x0 ∈ D, если соотношение
M
(
f (Γ (S1, S2, A))
)
≤
∫
A
Q(x) · ηn(|x− x0|) dm(x) (4)
выполнено для любого кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < r0, и для каждой
измеримой функции η : (r1, r2)→ [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1 . (5)
Условимся говорить, что f является кольцевым Q-отображением в области D,
если для f соотношения (4), (5) выполнены в каждой точке x0 области D. Слово
„кольцевое” в данном выше определении указывает на происхождение семейства
кривых Γ (S1, S2, A) , входящих в левую часть неравенства (4), а „Q-отображение”
— на заданную вещественнозначную функцию Q в правой части (4).
Изучение кольцевых Q-отображений, в частности, связано с исследованием
классов Соболева, а также с исследованием уравнений типа Бельтрами, решения
которых удовлетворяют соотношениям вида (4) (см., например, [2], раздел 11.5,
гл. XI). Заметим, что K-квазиконформные отображения удовлетворяют соотноше-
ниям вида (3), (4) при Q(x) ≡ K ∈ [1,∞). Обратно, если f — гомеоморфизм,
удовлетворяющий соотношению вида (3) при Q(x) ≡ K ∈ [1,∞), то f является
K-квазиконформным отображением (см. теорему 34.3 в [1]).
В случае, когда открытое дискретное отображение f удовлетворяет соотно-
шению вида (3) при Q(x) ≡ K ∈ [1,∞), функция Q выносится из-под знака
интеграла в (3) и в правой части (3) появляется модуль Γ, умноженный на K. В
последнем случае f называется отображением с ограниченным искажением; по
поводу определений и свойств квазирегулярных отображений (или отображений с
ограниченным искажением) подробнее см., например, в монографиях [8, 9]. Отме-
тим, что основная трудность при доказательстве какого-либо свойства отображения
f, удовлетворяющего соотношению вида (3) или (4), при неограниченной функции
Q(x) состоит в том, чтобы проследить поведение правой части соответствующего
неравенства в зависимости от поведения функции Q. При изучении отображений
с ограниченным искажением подобная трудность, понятно, возникать не будет.
Следующие важные определения можно найти в [9] (см. раздел 3, гл. II).
Пусть f : D → Rn, β : [a, b) → Rn — некоторая кривая и x ∈ f−1 (β(a)) . Кри-
вая α : [a, c) → D называется максимальным поднятием кривой β при отобра-
жении f с началом в точке x, если: (i) α(a) = x; (ii) f ◦ α = β|[a, c); (iii) если
c < c′ ≤ b, то не существует кривой α′ : [a, c′) → D такой, что α = α ′|[a, c) и
f ◦ α ′ = β|[a, c′). Пусть f — открытое дискретное отображение и x ∈ f−1 (β(a)) .
Тогда кривая β : [a, b) → Rn имеет максимальное поднятие при отображении f с
началом в точке x (см. следствие 3.3 в [9], гл. II). Конденсатором в Rn, n ≥ 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1534 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
называем пару E = (A, C) , где A — открытое множество в Rn, а C — компактное
подмножество A. Напомним, что отображение f : D → Rn называется абсолютно
непрерывным на линиях (пишем f ∈ ACL), если в любом n-мерном параллеле-
пипеде P с ребрами, параллельными осям координат, и таком, что P ⊂ D , все
координатные функции f = (f1, . . . , fn) абсолютно непрерывны на почти всех
прямых, параллельных осям координат. Известно, что если f ∈ ACL, то f име-
ет почти всюду частные производные в D. Емкостью конденсатора E называется
величина capE = cap (A, C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|ndm(x), где W0(E) = W0 (A, C)
— семейство неотрицательных непрерывных функций u : A → R с компактным
носителем в A таких, что u(x) ≥ 1 при x ∈ C и u ∈ ACL.
Для отображения f : D → Rn, имеющего в D частные производные почти
всюду, пусть f ′(x) — якобиева матрица отображения f в точке x, ‖f ′(x)‖ =
= max
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h|
. Внешняя дилатация отображения f в точке x есть вели-
чина KO(x, f) =
‖f ′(x)‖n
|J(x, f)|
, если J(x, f) 6= 0, KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и
KO(x, f) =∞ в остальных точках. Линейная дилатация f в точке x есть величина
H(x, f) = n
√
KI(x, f)KO(x, f). Известно (см., например, [8], § 3 гл. I), что
KI(x, f) ≤ Kn−1
O (x, f), KO(x, f) ≤ Kn−1
I (x, f).
В работе [10] установлено свойство ACL для гомеоморфизмов в Rn, n ≥ 2,
удовлетворяющих соотношению вида (3) при локально интегрируемой Q. Там же
показана принадлежность таких гомеоморфизмов классу W 1,1
loc , дифференцируе-
мость почти всюду и оценка внешней дилатации
KO(x, f) ≤ Cn ·Qn−1(x) (6)
для почти всех x ∈ D. Более того, открытые дискретные отображения f : D → Rn,
удовлетворяющие оценке вида (4) в области D для произвольной неотрицательной
измеримой функции η, удовлетворяющей условию „нормировки” (5), и функции
Q ∈ L1
loc(D) дифференцируемы почти всюду (теорема 3.1 в [11]) и удовлетворя-
ют оценке (6) (следствие 3.2 в [11]). В частности, из изложенного выше следует,
что внутренняя KI(x, f) и внешняя KO(x, f) дилатации для открытых дискретных
кольцевых Q-отображений f определены корректно, по крайней мере, при усло-
вии локальной интегрируемости функции Q(x) в правой части определяющего
соотношения (4) и условии J(x, f) 6= 0 почти всюду (см. там же).
Известно, что для конденсатора E = (A,C)
capE ≥ (inf mn−1 S)
n
[m(A \ C)]
n−1 , (7)
где mn−1 S — (n− 1)-мерная мера Лебега C∞-многообразия S, являющегося гра-
ницей S = ∂U ограниченного открытого множества U, содержащего C и содержа-
щегося вместе со своим замыканием U в A; в (7) точная нижняя грань берется по
всем таким S (см. предложение 5 из [12]).
Предложение 1. Пусть E = (A, C) — произвольный конденсатор в Rn и ΓE
— семейство всех кривых вида γ : [a, b) → A с γ(a) ∈ C и |γ| ∩ (A \ F ) 6= ∅ для
произвольного компакта F ⊂ A . Тогда capE = M(ΓE) (см. предложение 10.2
в [9], гл. II).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
ОБ ОЦЕНКЕ ДИЛАТАЦИЙ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, БОЛЕЕ ОБЩИХ . . . 1535
3. Формулировка и доказательство основного результата. Следствия.
Теорема 1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-ото-
бражение. Предположим, что Q ∈ L1
loc(D) и J(x, f) 6= 0 почти всюду. Тогда при
почти всех x ∈ D выполнено соотношение
KI(x, f) ≤ cn ·Q(x) ,
где константа cn зависит только от n.
Доказательство. Согласно теореме 3.1 в [11], f дифференцируемо почти всю-
ду в области D. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что ∞ /∈
/∈ D ′ = f(D) и J(x, f) > 0 всюду, где f имеет производную, не равную нулю,
и где J(x, f) 6= 0. В каждой точке x ∈ D дифференцируемости отображения f,
где J(x, f) 6= 0, рассмотрим конденсатор Er = (Ar, Gr), Ar = {y : |x− y| < 2r}
и Gr = {y : |x− y| ≤ r} . Поскольку f — открытое и непрерывное отображение,
f(Er) также является конденсатором в Rn. Пусть ΓEr и Γf(Er) — семейства кри-
вых в смысле предложения 1 и Γ ∗r — семейство максимальных поднятий Γf(Er)
при отображении f с началом в Gr. Покажем, что Γ ∗r ⊂ ΓEr .
Предположим противное, т. е. что существует кривая β : [a, b) → Rn семей-
ства Γf(Er), для которой соответствующее максимальное поднятие α : [a, c)→ Ar
лежит в некотором компакте K внутри Ar. Следовательно, его замыкание α — ком-
пакт в Ar. Заметим, что c 6= b, так как в противном случае β — компакт в f(Ar),
что противоречит условию β ∈ Γf(Er). Рассмотрим множество
G =
{
x ∈ Rn : x = lim
k→∞
α(tk)
}
tk ∈ [a, c), lim
k→∞
tk = c.
Отметим, что переходя к подпоследовательностям, здесь можно ограничиться мо-
нотонными последовательностями tk. Для x ∈ G в силу непрерывности f будем
иметь f (α(tk)) → f(x) при k → ∞, где tk ∈ [a, c), tk → c при k → ∞. Однако
f (α(tk)) = β(tk) → β(c) при k → ∞. Отсюда заключаем, что f постоянна на G
в Ar. С другой стороны, по условию Кантора в компакте α (см. [13], раздел 3.6,
гл. I)
G =
∞⋂
k=1
α ([tk, c)) = lim sup
k→∞
α ([tk, c)) = lim inf
k→∞
α ([tk, c)) 6= ∅
в силу монотонности относительно последовательности связных множеств
α ([tk, c)) и, таким образом, G является связным согласно [13] (п. 9.12, гл. I).
Таким образом, в силу дискретности f множество G не может состоять более
чем из одной точки, и кривая α : [a, c) → Ar продолжается до замкнутой кри-
вой α : [a, c] → K ⊂ Ar и f (α(c)) = β(c). Снова согласно следствию 3.3 в [9]
(гл. II) можно построить максимальное поднятие α′ кривой β|[c, b) с началом в точке
α(c). Объединяя поднятия α и α ′, получаем новое поднятие α ′′ кривой β, которое
определено на [a, c ′), c ′ ∈ (c, b), что противоречит максимальности поднятия α.
Таким образом, Γ∗ ⊂ ΓEr
. Заметим, что Γf(Er) > f(Γ∗r), и, следовательно, по
предложению 1
cap f(Er) = M
(
Γf(Er)
)
≤M (f(Γ∗r)) ≤M (f(ΓEr
)) . (8)
Поскольку f является кольцевым Q-отображением в области D, из (8) следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
1536 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
cap f(Er) ≤
∫
r<|x−y|<2r
Q(y) η n(|x− y|) dm(y)
для любой неотрицательной измеримой функции η : (r, 2r) → [0,∞] такой, что∫ 2r
r
η(t)dt ≥ 1. В частности, рассмотрим однопараметрическое семейство веще-
ственнозначных функций
ηr(t) =
1
r
, если t ∈ (r, 2r),
0, если t ∈ R \ (r, 2r).
Тогда
cap f(Er) ≤
2nΩn
m(Ar)
∫
Ar
Q(y) dm(y) . (9)
С другой стороны, по неравенству (7)
cap f(Er) ≥
(inf mn−1 S)
n[
m (f(Ar) \ f(Gr))
]n−1 , (10)
где инфимум берется по всевозможным C∞-многообразиям S, являющимся грани-
цей S = ∂U ограниченного открытого множества U, содержащего f(Gr) и содер-
жащегося вместе со своим замыканием U в f(Ar). Комбинируя (9) и (10), получаем
(inf mn−1 S)
n ≤ 2nΩn [m(f(Ar) \ f(Gr))]
n−1
m(Ar)
∫
Ar
Q(y) dm(y). (11)
При r → 0 множество f(Gr) с точностью до o(r) представляет собой эллипсоид
f ′(Gr), являющийся образом шараGr при линейном отображении f ′. Если данный
эллипсоид имеет полуоси 0 < a1r ≤ . . . ≤ anr, то m (f ′(Gr)) = Ωna1 . . . anr
n =
= ΩnJ(x, f)rn. Разместим эллипсоид таким образом, чтобы его центр совпал
с началом координат, а главные направления совпали с координатными осями
e1, . . . , en. Тогда площадь его поверхности допускает нижнюю оценку
mn−1 (∂f ′(Gr)) ≥ 2mn−1
(
Pr1 (f ′(Gr))
)
=
= 2Ωn−1 · a2 . . . anr
n−1 = 2Ωn−1
J(x, f)
l (f ′(x))
r n−1, (12)
где Pr1(·) обозначает проекцию на гиперплоскость, перпендикулярную вектору e1.
Следовательно, согласно (11) и (12)[
2Ωn−1
J(x, f)
l (f ′(x))
rn−1 − o(r n−1)
]n
≤
[
mn−1∂f
′ (Gr)− o
(
rn−1
)]n ≤
≤ 2nΩn [m (f(Ar) \ f(Gr))]
n−1
m(Ar)
∫
Ar
Q(y) dm(y). (13)
Разделив неравенство (13) на r n(n−1), устремив r к 0 и применив теорему Лебега
о дифференцируемости неопределенного интеграла (см. [14]), будем иметь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
ОБ ОЦЕНКЕ ДИЛАТАЦИЙ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, БОЛЕЕ ОБЩИХ . . . 1537[
J(x, f)
l (f ′(x))
]n
≤ [J(x, f)]
n−1
cn ·Q(x)
для почти всех x ∈ D. Следовательно, поскольку по условию теоремы 1 выполнено
условие J(x, f) 6= 0 почти всюду, получаем
KI(x, f) =
J(x, f)
(l (f ′(x)))
n ≤ cn ·Q(x)
для почти всех x ∈ D.
Следствие 1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-
отображение в области D. Предположим, что Q ∈ L1
loc(D) и J(x, f) 6= 0 почти
всюду. Тогда почти всюду
H(x, f) ≤ cn ·Q(x),
где константа cn зависит только от n.
Следствие 2. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-
отображение в области D. Предположим, что Q ∈ L1
loc(D) и J(x, f) 6= 0 почти
всюду. Тогда H(x, f) ∈ L1
loc(D) и KI(x, f) ∈ L1
loc(D).
Следствие 3. Если, дополнительно, f в условиях теоремы 1 и следствий 1, 2
удовлетворяет более сильной оценке вида (3) для произвольных кривых γ семейства
Γ и ρ ∈ adm Γ, то и без дополнительного условия J(x, f) 6= 0 почти всюду имеют
место соответствующие заключения; последнее условие автоматически следует
из (3) при Q ∈ L1
loc (см., например, следствие 3.5 в [11]).
1. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – Berlin etc.:
Springer, 1971. – 229.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer
Sci. + Business Media, LLC, 2009.
3. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. – New York etc.: Springer, 1973.
4. Стругов Ю. Ф. Компактность классов отображений, квазиконформных в среднем // Докл. АН
СССР. – 1978. – 243, № 4. – C. 859 – 861.
5. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
6. Миклюков В. М. Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения. – Вол-
гоград: Изд-во Волгоград. ун-та, 2005.
7. Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103.
– P. 353 – 393.
8. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск:
Наука, 1982.
9. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – 1993. – 26, № 3.
10. Салимов Р. Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость одного обобщения
квазиконформных отображений // Изв. РАН. Сер. мат. – 2008. – 72, № 5. – C. 141 – 148.
11. Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Теория кольцевых Q-отображений в геометрической теории
функций // Мат. сб. – 2010. – 201, № 6. – С. 131 – 158.
12. Кругликов В. И. Емкости конденсаторов и пространственnые отображения, квазиконформные в
среднем // Мат. сб. – 1986. – 130, № 2. – C. 185 – 206.
13. Whyburn G. T. Analytic topology. – Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1942.
14. Saks S. Theory of the integral. – New York: Dover Publ. Inc., 1937.
Получено 12.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11
|