Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова

Установлен принцип локального усиления сходимости решения задачи Коши при t→+0 к своему граничному значению для одного класса вырожденных параболических уравнений типа Колмогорова с 2b→− параболической частью, коэффициенты которой являются непрерывными зависящими только от t функциями, в случае, ког...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Літовченко, В.А., Стрибко, О.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166261
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова / В.А. Літовченко, О.В. Стрибко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1473–1489. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166261
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1662612020-02-19T01:28:00Z Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова Літовченко, В.А. Стрибко, О.В. Статті Установлен принцип локального усиления сходимости решения задачи Коши при t→+0 к своему граничному значению для одного класса вырожденных параболических уравнений типа Колмогорова с 2b→− параболической частью, коэффициенты которой являются непрерывными зависящими только от t функциями, в случае, когда начальные данные являются обобщенными функциями типа распределений Жевре, для которых корректно классическое понятие равенства двух функций на множестве. In the case where initial data are generalized functions of the Gevrey-distribution type for which the classical notion of equality of two functions on a set is well defined, we establish the principle of local strengthening of the convergence of a solution of the Cauchy problem to its limit value as t → +0 for one class of degenerate parabolic equations of the Kolmogorov type with 2b→-parabolic part whose coefficients are continuous functions that depend only on t. 2010 Article Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова / В.А. Літовченко, О.В. Стрибко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1473–1489. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166261 517.956.4 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Літовченко, В.А. Стрибко, О.В. Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова Український математичний журнал
description	Установлен принцип локального усиления сходимости решения задачи Коши при t→+0 к своему граничному значению для одного класса вырожденных параболических уравнений типа Колмогорова с 2b→− параболической частью, коэффициенты которой являются непрерывными зависящими только от t функциями, в случае, когда начальные данные являются обобщенными функциями типа распределений Жевре, для которых корректно классическое понятие равенства двух функций на множестве.
format	Article
author	Літовченко, В.А. Стрибко, О.В.
author_facet	Літовченко, В.А. Стрибко, О.В.
author_sort	Літовченко, В.А.
title	Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова
title_short	Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова
title_full	Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова
title_fullStr	Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова
title_full_unstemmed	Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова
title_sort	принцип локалізації розв'язків задачі коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу колмогорова
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166261
citation_txt	Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова / В.А. Літовченко, О.В. Стрибко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1473–1489. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT lítovčenkova principlokalízacíírozvâzkívzadačíkošídlâodnogoklasuvirodženihparabolíčnihrívnânʹtapukolmogorova AT stribkoov principlokalízacíírozvâzkívzadačíkošídlâodnogoklasuvirodženihparabolíčnihrívnânʹtapukolmogorova
first_indexed	2025-07-14T21:04:48Z
last_indexed	2025-07-14T21:04:48Z
_version_	1837657845407940608
fulltext	УДК 517.956.4 В. А. Лiтовченко, О. В. Стрибко (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв) ПРИНЦИП ЛОКАЛIЗАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА In the case where the initial data are generalized functions of the Gevrey-distribution type for which the classical notion of equality of two functions on a set is correct, we establish the principle of local strengthening of the convergence of solution of the Cauchy problem to its limiting value as t → +0 for a class of degenerate parabolic equations of the Kolmogorov type with −→ 2b-parabolic part such that coefficients of this part are continuous functions dependent only on t. Установлен принцип локального усиления сходимости решения задачи Коши при t → +0 к своему граничному значению для одного класса вырожденных параболических уравнений типа Колмогорова с −→ 2b-параболической частью, коэффициенты которой являются непрерывными зависящими только от t функциями, в случае, когда начальные данные являются обобщенными функциями типа распределений Жевре, для которых корректно классическое понятие равенства двух функций на множестве. Вступ. Дослiджуючи броунiвський рух фiзичної системи, А. М. Колмогоров при- йшов до рiвняння, яке у простiшому випадку має вигляд [1]( ∂t − x1∂x2 − a2∂2x1 ) u (t;x) = 0, x = (x1;x2) , (t;x) ∈ (0;T ]× R2. Це рiвняння є диференцiальним рiвнянням iз частинними похiдними з виродженою щодо змiнної x2 параболiчною за Петровським частиною ∂t − a2∂2x1 . Воно має важливе значення при дослiдженнi теплових та дифузiйних процесiв з iнерцiєю в однорiдних середовищах. Зазначене рiвняння багаторазово узагальнювалось i вiдтак дослiджувалось рiзними авторами (див. [2]). При цьому виродження може бути не лише за однiєю, але й за двома i бiльше змiнними рiзного вимiру (групами), а його параболiчна частина може бути параболiчною в тому чи iншому сенсi. У працi [3] дослiджується задача Кошi для одного класу рiвнянь типу Колмо- горова з виродженою за двома групами змiнних x2 та x3 −→ 2b-параболiчною час- тиною й неперервними коефiцiєнтами, залежними лише вiд змiнної t. У випад- ку, коли початковi данi є узагальненими функцiями з простору ( S1−α∗ α∗ )′ , вста- новлено коректну розв’язнiсть вiдповiдної задачi Кошi в класi нескiнченно ди- ференцiйовних функцiй, визначених на Rn. Тут x := (x1;x2;x3) ∈ Rn, xl — nl-вимiрна змiнна, n := n1 + n2 + n3, n1 ≥ n2 ≥ n3, α∗ = (α1∗;α2∗;α3∗) ∈ ∈ Rn, αl∗ := ( 1− 1 2b1 ; . . . ; 1− 1 2bnl ) , −→ 2b := (2b1; . . . ; 2bn1 ), 1 := (1; . . . ; 1) — n- вимiрний вектор, а ( S1−α∗ α∗ )′ — топологiчно спряжений простiр з простором S1−α∗ α∗ I. М. Гельфанда i Г. Є. Шилова [4]. Оскiльки початкова функцiя f є узагальненою, то початкова умова в задачi Кошi визначається як слабка збiжнiсть розв’язку u (t; ·) у просторi ( S1−α∗ α∗ )′ при t → +0 до f. Однак простiр ( S1−α∗ α∗ )′ є досить багатим на елементи, серед яких зустрiчаються неперервнi та рiзного ступеня гладкостi функцiї, тому важливим є дослiдження питання про можливiсть посилення збiжностi розв’язку задачi Кошi до свого граничного значення при t→ +0 виходячи iз тих чи iнших властивостей c© В. А. ЛIТОВЧЕНКО, О. В. СТРИБКО, 2010 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1473 1474 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, О. В. СТРИБКО f. Вiдповiдь на це питання частково дається в [3]: якщо узагальнена функцiя f ∈ ∈ ( Sβα∗ )′ , β = (β11, . . . , β1n1 ; β21, . . . , β2n2 ; β31, . . . , β3n3 ) , де βlj > l − 1 q′ − 1 + q′ 2bj (q′ − 1) , j ∈ {1; . . . ;nl} , l ∈ {1; 2; 3} , q′ = min j∈{1;...;n1} 2bj 2bj − 1 , збiгається в областiQ ⊂ Rn з неперервною функцiєю g, то для довiльного компакта K ⊂ Q збiжнiсть u (t;x) −−−−→ t→+0 g(x) є рiвномiрною щодо x ∈ K. У цiй статтi зазначене твердження поширено на всi тi простори ( Sβα∗ )′ ⊂ ⊂ ( S1−α∗ α∗ )′ початкових даних, для яких серед елементiв вiдповiдних просторiв Sβα∗ основних функцiй є фiнiтнi нескiнченно диференцiйовнi функцiї (тобто при βlj > 1, j ∈ {1; . . . ;nl}, l ∈ {1; 2; 3}); крiм цього, тут з’ясовано питання збiжностi не лише u (t; ·) при t → +0, але й ∂qxu (t; ·) в залежностi вiд ступеня локальної гладкостi узагальненої початкової функцiї. Наведено приклад. 1. Допомiжнi вiдомостi. Крiм уведених вище натуральних чисел n, n1, n2 i n3, a також точок x, x1, x2 i x3 та вектора 1 використовуватимемо такi позначення: N — множина всiх натуральних чисел, Nm := {1; . . . ;m}; Rm i Cm — вiдповiдно дiйсний i комплексний простори розмiрностi m ≥ 1; R := R1, C := C1; Zm+ — множина всiх m-вимiрних мультиiндексiв, Z+ := Z1 +; i — уявна одиниця; (·, ·) — скалярний добуток у просторi Rm; ‖x‖ := (x, x)1/2 для x ∈ Rm; \|x+ iy\| := (x2 +y2)1/2, якщо {x, y} ⊂ R; запис x0y, де 0 — деяке вiдношення, означатиме, що це вiдношення виконується для всiх вiдповiдних координат точок {x, y} ⊂ Cm, при цьому якщо z := (z1; . . . ; zm) ∈ Cm, l := (l1; . . . ; lm) ∈ Zm+ , то lzl := lz1l11 . . . lzmlmm , zl := := zl11 . . . zlmm , \|z\|l := \|z1\|l1 . . . \|zm\|lm , \|z\|l∗ := \|z1\|l1 + . . . + \|zm\|lm , \|z\|∗ := \|z\|1∗ — скалярнi величини, а \|z\| := (\|z1\|; . . . ; \|zm\|) — векторна величина. Мультиiндекс k ∈ ∈ Zn+ будемо записувати також у виглядi k := (k1; k2; k3), де kj := (kj1; . . . ; kjnj ) ∈ ∈ Znj+ , j ∈ N3. Крiм цього, позначимо Πm X := {(t; ξ)\| t ∈ X, ξ ∈ Rm}; якщо x := (x1;x2;x3) i xj := (xj1; . . . ;xjnj ) — точки вiдповiдно з Rn та Rnj , j ∈ N3, то x′j := (xj1; . . . ;xjn3 ), x′′j := (xj(n3+1); . . . ;xjn2 ), x′′′1 := (x1(n2+1); . . . ;x1n1 ), x̂1 := (x11; . . . ;x1n2 ), x̃ := (x′′′1 ;x′′2 ;x3); цi позначення будемо використовувати й для iнших аналогiчних точок та векторiв. Нехай −→ b — фiксований вектор розмiрностi n1 з натуральними координатами bj , j ∈ Nn1 , а T ∈ (0; +∞) . Розглянемо рiвняння( ∂t − n2∑ j=1 x1j∂x2j − n3∑ j=1 x2j∂x3j ) u (t;x) = = ∑ r−→ b (k1)≤1 ak1(t)i\|k1\|∗∂k1x1 u (t;x) , (t;x) ∈ Πn (0;T ], (1) де r−→ b (k1) := ∑n1 j=1 k1j 2bj , ak1(·) — неперервнi на вiдрiзку [0;T ] комплекснозначнi функцiї такi, що диференцiальний вираз ∂t − ∑ r−→ b (k1)≤1 ak1(t)i\|k1\|∗∂k1x1 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 ПРИНЦИП ЛОКАЛIЗАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 1475 за змiнними t i x1 є −→ 2b-параболiчним на множинi Πn1 (0;T ] [2]. З одержаних у [3] результатiв випливає, що фундаментальним розв’язком задачi Кошi для (1) є функцiя G (t, x; τ, y) = (2π) −n ∫ Rn ei(y,η)µtτ (η;x) dη, 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, y} ⊂ Rn. (2) Tут µtτ (η;x) := e−i(x,ρ0(t;sτ,η;η̃))θtτ (sτ,η; η̃) , θtτ (sτ,η; η̃) := exp  ∑ r−→ b (k1)≤1 t∫ τ ak1 (β) (ρ (β; sτ,η; η̃)) k1 dβ  , ρ0 (t; s; η̃) := ( s′2 + ts3 + 2−1t2η3, s ′′ 2 + tη′′2 , η ′′′ 1 ; s3 + tη3, η ′′ 2 ; η3 ) ∈ Rn, ρ (t; s; η̃) := ( s′2 + ts3 + 2−1t2η3, s ′′ 2 + tη′′2 , η ′′′ 1 ) ∈ Rn1 , s := (s′2, s ′′ 2 ; s3) ∈ Rn2+n3 , st,η := ( η′1 − tη′2 + 2−1t2η3, η ′′ 1 − tη′′2 ; η′2 − tη3 ) , η̃ := (η′′′1 ; η′′2 ; η3) . Зазначимо, що e−i(x,ρ0(t;sτ,η;η̃)) = = exp [ −i {( x′1, η ′ 1 + (t− τ)η′2 + 2−1(t− τ)2η3 ) + (x′′1 , η ′′ 1 + (t− τ)η′′2 ) + + (x′′′1 , η ′′′ 1 ) + (x′2, η ′ 2 + (t− τ)η3) + (x′′2 , η ′′ 2 ) + (x3, η3) }] . Фактично з [3] одержуємо, що щодо просторової змiнної функцiя θtτ при кожних фiксованих t i τ, 0 ≤ τ < t ≤ T, допускає аналiтичне продовження до цiлої функцiї на Cn, до того ж ∃ {c, δ} ⊂ (0; +∞) ∃ −→ B ∈ Rn, Bj > 0, j ∈ Nn, ∀k ∈ Zn+ ∀z ∈ Rn ∀t ∈ (τ ;T ] ∀τ ∈ [0;T ) : ∣∣∣∂kz θ̃tτ (z) ∣∣∣ ≤ c−→B kkα∗ke−δ\|z\| 1/(1−α∗) ∗ , (3) де θ̃tτ (z) := θtτ (sτ,η; η̃) ∣∣∣ η= ( (t−τ) − 1−→ 2b z1; (t−τ) − ( 1̂+ 1−→ 2b ) z2; (t−τ) − ( 2+ 1−→ 2b )′ z3 ), 2 := (2; . . . ; 2) ∈ Zn+. Отже, функцiя θ̃tτ щодо просторової змiнної належить простору S −→ B,α∗−→ Aδ,1−α∗ ⊂ S, де −→ A δ = (−→ A 1δ; −→ A 2δ; −→ A 3δ ) , −→ A lδ ∈ Rnl , l ∈ N3, а −→ A 1δ := (( 2b1eδ )− 1 2b1 , . . . . . . , ( 2bn1eδ )− 1 2bn1 ) , −→ A 2δ := −̂→ A 1δ, −→ A 3δ := −→ A ′1δ (тобто вiдповiдному простору типу S I. М. Гельфанда i Г. Є. Шилова [4]). Нагадаємо, що S −→ B, −→ β −→ A,−→α — злiченно-нормований простiр, елементами якого є не- скiнченно диференцiйовнi на Rn функцiї ϕ, якi при довiльних −→ρ > 0 i −→µ > 0 задовольняють нерiвностi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1476 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, О. В. СТРИБКО ∣∣∂kxϕ(x) ∣∣ ≤ c−→ρ−→µ (−→B +−→µ )k k −→ β ke−\|( −→a−−→ρ )x\|1/ −→α ∗ , −→a = −→α e −→ A1/−→α , x ∈ Rn, k ∈ Zn+. Зазначимо також [4, с. 244], що оператор перетворення Фур’є F неперервно вiдображає кожен простiр S −→ B, −→ β −→ A,−→α у вiдповiдний S −→ A1, −→α −→ B1, −→ β при −→ A1 = −→ Ae (−→ A −→ B )−1 та −→ B1 = −→ Be (−→ A −→ B )−1 . З огляду на цей факт безпосередньо з (3) одержуємо таке твердження. Лема 1. Для кожного T > 0 iснують додатнi сталi c, B i δ такi, що для всiх t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ), k ∈ Zn+ i x ∈ Rn виконується нерiвнiсть∣∣∣∂kxF [θ̃tτ (z) ] (t, τ ;x) ∣∣∣ ≤ cB\|k\|∗k(1−α∗)ke−δ\|x\|1/α∗ ∗ . Правильним є наступне твердження. Лема 2. Iснують додатнi сталi c, A, B i δ такi, що для всiх {k, l} ⊂ Zn+, {x, y} ⊂ Rn, t ∈ (τ ;T ] i τ ∈ [0;T ) виконується оцiнка∣∣∂ky∂lxG (t, x; τ, y) ∣∣ ≤ cA\|k\|∗B\|l\|∗k(1−α∗)kl(1−α∗)l× ×(t−τ) − { n1∑ j=1 (k1j+l1j+1)(2bj) −1+ n2∑ j=1 (k2j+l2j+1)(1+(2bj) −1)+ n3∑ j=1 (k3j+l3j+1)(2+(2bj) −1) } × × exp −δ  n1∑ j=1 ( \|y1j − x1j \| (t− τ) −1/(2bj) ) 2bj 2bj−1 + + n2∑ j=1 ( \|y2j − x2j − (t− τ)x1j \| (t− τ) −(1+1/(2bj)) ) 2bj 2bj−1 + + n3∑ j=1 (∣∣∣y3j − x3j − (t− τ)x2j − 2−1 (t− τ) 2 x1j ∣∣∣ (t− τ) −(2+1/(2bj)) ) 2bj 2bj−1  . Доведення. В iнтегралi ∂ky∂ l xG (t, x; τ, y) = (−1)\|l\|∗i\|k+l\|∗ (2π) n ∫ Rn η̂k̂11 (η′′′1 ) k′′′1 +l′′′1 (η′2) k′2 (η′′2 ) k′′2 +l′′2 ηk3+l33 × × ( η′1 + (t− τ)η′2 + 2−1(t− τ)2η3 )l′1 (η′′1 + (t− τ)η′′2 ) l′′1 × × (η′2 + (t− τ)η3) l′2 ei(y,η)µtτ (η;x)dη виконаємо замiну змiнних iнтегрування за формулами z1 = ( (t− τ) 1 2b1 η11, . . . , (t− τ) 1 2bn1 η1n1 ) , z2 = ( (t− τ) 1+ 1 2b1 η21, . . . , (t− τ) 1+ 1 2bn2 η2n2 ) , z3 = ( (t− τ) 2+ 1 2b1 η31, . . . , (t− τ) 2+ 1 2bn3 η3n3 ) . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 ПРИНЦИП ЛОКАЛIЗАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 1477 Вiдтак поклавши β∗ := − n1∑ j=1 (k1j + l1j + 1) (2bj) −1 − n2∑ j=1 (k2j + l2j + 1) ( 1 + (2bj) −1 ) − − n3∑ j=1 (k3j + l3j + 1) ( 2 + (2bj) −1 ) , ξ1j = (t− τ) −1/(2bj) x1j , j ∈ Nn1 , ξ2j = (t− τ) −(1+1/(2bj)) x2j , j ∈ Nn2 , (4) ξ3j = (t− τ) −(2+1/(2bj)) x3j , j ∈ Nn3 , ζ1j = (t− τ) −1/(2bj) y1j , j ∈ Nn1 , ζ2j = (t− τ) −(1+1/(2bj)) y2j , j ∈ Nn2 , ζ3j = (t− τ) −(2+1/(2bj)) y3j , j ∈ Nn3 , одержимо ∂ky∂ l xG (t, x; τ, y) = (2π) −n (−1)\|l\|∗i\|k+l\|∗(t− τ)β∗× × ∫ Rn ẑk̂11 (z′′′1 ) k′′′1 +l′′′1 (z′2) k′2 (z′′2 ) k′′2 +l′′2 zk3+l33 × × ( z′1 + z′2 + 2−1z3 )l′1 (z′′1 + z′′2 ) l′′1 (z′2 + z3) l′2 ei(ζ,z)e−i(ξ,ρ0(1;s0,z ;z̃))θ̃tτ (z)dz ≡ ≡ (2π) −n (−1)\|l\|∗i\|k+l\|∗ (t− τ) β∗ Ψt,τ (ζ, ξ) . (5) Таким чином, оцiнювання ∂ky∂ l xG звелось до оцiнювання iнтеграла Ψt,τ . Оскiльки ẑk̂11 (z′′′1 ) k′′′1 +l′′′1 (z′2) k′2 (z′′2 ) k′′2 +l′′2 zk3+l33 ( z′1 + z′2 + 2−1z3 )l′1 (z′′1 + z′′2 ) l′′1 (z′2 + z3) l′2 = = l′2∑ q′2=0 C q′2 l′2 l′′1∑ q′′1 =0 C q′′1 l′′1 l′1∑ q′1=0 C q′1 l′1 q′1∑ p′1=0 C p′1 q′1 2−\|l ′ 1−q ′ 1\|∗ (z′1) q′1+k ′ 1−p ′ 1 (z′′1 ) q′′1 +k′′1 × × (z′′′1 ) k′′′1 +l′′′1 (z′2) q′2+k ′ 2+p ′ 2 (z′′2 ) l′′1 +l ′′ 2 +k ′′ 2−q ′′ 1 z k3+l3+l ′ 1+l ′ 2−q ′ 1−q ′ 2 3 , то, поклавши ν1 = ζ1 − ξ1, ν2 = ζ2 − ξ̂1 − ξ2, ν3 = ζ3 − 2−1ξ′1 − ξ′2 − ξ3, згiдно з рiвнiстю ei(ζ,z)e−i(ξ,ρ0(1;s0,z ;z̃)) = ei(z,ν) та лемою 1 будемо мати \|Ψt,τ (ζ, ξ)\| ≤ l′2∑ q′2=0 C q′2 l′2 l′′1∑ q′′1 =0 C q′′1 l′′1 l′1∑ q′1=0 C q′1 l′1 q′1∑ p′1=0 C p′1 q′1 × ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1478 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, О. В. СТРИБКО × ∣∣∣∂q′1+k′1−p′1ν′1 ∂ q′′1 +k′′1 ν′′1 ∂ k′′′1 +l′′′1 ν′′′1 ∂ q′2+k ′ 2+p ′ 1 ν′2 ∂ l′′1 +l ′′ 2 +k ′′ 2−q ′′ 1 ν′′2 × × ∂ k3+l3+l ′ 2+l ′ 1−q ′ 1−q ′ 2 ν3 F [ θ̃tτ (z) ] (t, τ ; ν) ∣∣∣ ≤ ≤ cB\|k+l\|∗ (k + l) (1−α∗)(k+l) e−δ\|ν\| 1/α∗ ∗  l′2∑ q′2=0 C q′2 l′2 l′′1∑ q′′1 =0 C q′′1 l′′1 l′1∑ q′1=0 C q′1 l′1 q′1∑ p′1=0 C p′1 q′1  = = c3\|l ′ 1\|∗2\|l ′′ 1 \|∗+\|l′2\|∗B\|k+l\|∗ (k + l) (1−α∗)(k+l) e−δ\|ν\| 1/α∗ ∗ . Враховуючи тепер одержану оцiнку iнтеграла Ψt,τ , а також пiдстановку (4) та нерiвнiсть (k + l) (1−α∗)(k+l) ≤ 2\|(1−α∗)(k+l)\|∗k(1−α∗)kl(1−α∗)l, безпосередньо з (5) одержуємо твердження леми 2. Лему доведено. У роботах [3, 5] також встановлено, що G (t, x; τ, ·) −−−−→ t→τ+0 δ (· − x) , 0 ≤ τ < t ≤ T, x ∈ Rn, у розумiннi слабкої збiжностi у просторi ( S1−α∗ α∗ )′ (тут δ(·) — дельта-функцiя Дi- рака). Цей факт дозволяє для рiвняння (1) розглядати задачу Кошi з початковою умо- вою u (t; ·)\|t=0 = f, f ∈ ( S −→ β −→α )′ , (6) при цьому розв’язком цiєї задачi називається диференцiйовна за змiнною t, не- скiнченно диференцiйовна за змiнною x на множинi Πn (0;T ] функцiя u (t;x) , яка задовольняє рiвняння (1) у звичайному розумiннi, а початкову умову (6) у сенсi збiжностi у просторi ( S −→ β −→α )′ . У статтi [3] (див. також [5]) одержано такий результат: нехай початкова функцiя f є елементом простору (S −→α α∗) ′, −→α ≥ 1−α∗, тодi для задачi Кошi (1), (6) iснує єди- ний неперервно залежний вiд початкових даних розв’язок, який є диференцiйовним по t, нескiнченно диференцiйовним по x i зображується формулою u (t;x) = 〈fξ, G (t, x; 0, ξ)〉 , (t;x) ∈ Πn (0;T ], до того ж ∂kxu (t;x) = 〈 fξ, ∂ k xG (t, x; 0, ξ) 〉 , k ∈ Zn+, (t;x) ∈ Πn (0;T ] (тут виразом 〈fξ, ·〉 позначено дiю щодо змiнної ξ узагальненої функцiї f на ос- новну). 2. Принцип локалiзацiї. Передусiм доведемо таке допомiжне твердження. Лема 3. Iснують додатнi сталi c0, A0, B0 i δ0 такi, що для всiх {k, q} ⊂ Zn+, {x, ξ} ⊂ Rn, xlj 6= ξlj , j ∈ Nnl , l ∈ N3, i t ∈ (0; 1) виконується оцiнка ∣∣∂qx∂kξG (t, x; 0, ξ) ∣∣ ≤ c0tnA\|q\|∗0 B \|k\|∗ 0 qqkk  n1∏ j=1 \|x1j − ξ1j \| − 2bjm1j(k,q) 2bj−1 × ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 ПРИНЦИП ЛОКАЛIЗАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 1479 ×  n2∏ j=1 \|x2j − ξ2j + tx1j \| − 2bjm2j(k,q) 2bj−1 × ×  n3∏ j=1 ∣∣x3j − ξ3j + tx2j + 2−1t2x1j ∣∣− 2bjm3j(k,q) 2bj−1 × × exp −δ0  n1∑ j=1 ( \|x1j − ξ1j \| t1/(2bj) ) 2bj 2bj−1 + n2∑ j=1 ( \|x2j − ξ2j + tx1j \| t1+1/(2bj) ) 2bj 2bj−1 + + n3∑ j=1 (∣∣x3j − ξ3j + tx2j + 2−1t2x1j ∣∣ t2+1/(2bj) ) 2bj 2bj−1   при m(k, q) = (m1(k, q),m2(k, q),m3(k, q)) ∈ Zn+ такому, що m1(k, q) = 2bj + [( 1− 1 2bj ) (k1j + q1j + 1) ] , j ∈ Nn1 , m2(k, q) = 1 + [ 2bj − 1 2bj + 1 + ( 1− 1 2bj ) (k2j + q2j + 1) ] , j ∈ Nn2 , (7) m3(k, q) = 1 + [ 2bj − 1 4bj + 1 + ( 1− 1 2bj ) (k3j + q3j + 1) ] , j ∈ Nn3 (тут [·] — цiла частина числа). Доведення. Оскiльки e−p ≤ m! pm , p > 0 (∀m ∈ Z+), то t − 1 2bj (k1j+q1j+1) k 1 2bj k1j 1j q 1 2bj q1j 1j exp −δ ( \|x1j − ξ1j \| t1/(2bj) ) 2bj 2bj−1  ≤ ≤ ( 2 δ )m1j t m1j 2bj−1− k1j+q1j+1 2bj k 1 2bj k1j 1j q 1 2bj q1j 1j m1j ! \|x1j − ξ1j \| − 2bjm1j 2bj−1 × × exp −δ2 ( \|x1j − ξ1j \| t1/(2bj) ) 2bj 2bj−1  , m1j ∈ Z+, j ∈ Nn1 , t − ( 1+ 1 2bj ) (k2j+q2j+1) k 1 2bj k2j 2j q 1 2bj q2j 2j exp −δ ( \|x2j − ξ2j + tx1j \| t1+1/(2bj) ) 2bj 2bj−1  ≤ ≤ ( 2 δ )m2j t 2bj+1 2bj−1m2j− 2bj+1 2bj (k2j+q2j+1) k 1 2bj k2j 2j q 1 2bj q2j 2j m2j ! \|x2j − ξ2j + tx1j \| − 2bjm2j 2bj−1 × × exp −δ2 ( \|x2j − ξ2j + tx1j \| t1+1/(2bj) ) 2bj 2bj−1  , m2j ∈ Z+, j ∈ Nn2 , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1480 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, О. В. СТРИБКО t − ( 2+ 1 2bj ) (k3j+q3j+1) k 1 2bj k3j 3j q 1 2bj q3j 3j × × exp −δ (∣∣x3j − ξ3j + tx2j + 2−1t2x1j ∣∣ t2+1/(2bj) ) 2bj 2bj−1  ≤ ≤ ( 2 δ )m3j t 4bj+1 2bj−1m3j− 4bj+1 2bj (k3j+q3j+1) k 1 2bj k3j 3j q 1 2bj q3j 3j × ×m3j ! ∣∣x3j − ξ3j + tx2j + 2−1t2x1j ∣∣− 2bjm3j 2bj−1 × × exp −δ2 (∣∣x3j − ξ3j + tx2j + 2−1t2x1j ∣∣ t2+1/(2bj) ) 2bj 2bj−1  , m3j ∈ Z+, j ∈ Nn3 . Розглянемо тепер нерiвностi m1j 2bj + 1 − k1j + q1j + 1 2bj ≥ 1, j ∈ Nn1 , 2bj + 1 2bj − 1 m2j − 2bj + 1 2bj (k2j + q2j + 1) ≥ 1, j ∈ Nn2 , (8) 4bj + 1 2bj − 1 m3j − 4bj + 1 2bj (k3j + q3j + 1) ≥ 1, j ∈ Nn3 . Очевидно, що компоненти вектора m (k, q) iз Zn+, якi визначаються рiвностями (7), є натуральними розв’язками нерiвностей (8). Зазначимо далi, що для всiх {α, a, b, c} ⊂ (0; +∞) ([a+ αb+ αc] + 1)! ≤ (([a] + 4) + [αb] + [αc])! = (([a] + 4) + [αb] + [αc])! ([a] + 4)! ([αb] + [αc])! × × ([αb] + [αc])! [αb]! [αc]! ([a] + 4)! [αb]! [αc]! ≤ ([a] + 4)!2(a+4+2(αb+αc)) (αb) αb (αc) αc . Враховуючи все це, безпосередньо з леми 2 при {k, q} ⊂ Zn+ i вiдповiдному m ∈ Zn+ iз компонентами (7) одержуємо твердження леми 3. Лему доведено. Правильним є наступне твердження. Теорема 1. Нехай узагальнена функцiя f ∈ ( Sβ∗α∗ )′ ⊂ (S1−α∗ α∗ )′ при β∗ > 1 на множинi Q ⊂ Rn дорiвнює нулевi, а u (t;x) = 〈fξ, G (t, x; 0, ξ)〉 — вiдповiдний розв’язок задачi Кошi (1), (6). Тодi ∂qxu (t;x) , q ∈ Zn+, збiгається до нуля при t→ +0 рiвномiрно щодо змiнної x на кожнiй компактнiй множинi K ⊂ Q. Доведення. Нехай K ⊂ K1 ⊂ Q, де K1 — деяка компактна множина з Rn така, що ∀x ∈ K ∀ξ ∈ Rn\K1 : \|xlj − ξlj \| ≥ alj > 0, j ∈ Nnl , l ∈ N3. (9) Побудуємо фiнiтну функцiю η0 ∈ Sβ∗α∗ з носiєм в Q так, щоб η0 = 1 на K1 (за- значимо, що у просторi S −→ β −→α при −→ β > 1 iснують фiнiтнi функцiї [4]). Оскiльки у просторах типу S визначено операцiї множення та звичайного зсуву аргумента, а ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 ПРИНЦИП ЛОКАЛIЗАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 1481 ∂qxG (t, x; 0, ·) ∈ Sβ∗α∗ , x ∈ Rn, t ∈ (0;T ], то{ η0(·)∂qxG (t, x; 0, ·) ; (1− η0(·)) ∂qxG (t, x; 0, ·) } ⊂ Sβ∗α∗ , x ∈ Rn, t ∈ (0;T ]. Отже, ∂qxu (t;x) = 〈fξ, η0(ξ)∂qxG (t, x; 0, ξ)〉+ 〈fξ, η1(ξ)∂qxG (t, x; 0, ξ)〉 , (t;x) ∈ Πn (0;T ], де η1(·) := 1− η0(·). Враховуючи, що узагальнена функцiя f дорiвнює нулю на Q, а supp (η0(·)∂qxG (t, x; 0, ξ)) ⊂ Q, з попередньої рiвностi одержуємо ∂qxu (t;x) = tn 〈 fξ, t −nη1(ξ)∂qxG (t, x; 0, ξ) 〉 , (t;x) ∈ Πn (0;T ]. Для доведення теореми досить встановити рiвномiрну обмеженiсть щодо змiн- них t, 0 < t < 1, x ∈ K i ξ ∈ Rn сукупностi функцiй ωt,x(ξ) := t−nη1(ξ)∂qxG ( t, x; 0, ξ ) у просторi Sβ∗α∗ , тобто встановити оцiнку∣∣∂kξωt,x(ξ) ∣∣ ≤ cA\|k\|∗kβ∗ke−δ\|ξ\|1/α∗ ∗ , k ∈ Zn+ (10) (тут величини c, A i δ не залежать вiд t, x, ξ i k). Але, оскiльки ωt,x(ξ) = 0 для ξ ∈ K1, оцiнку (10) досить встановити лише для ξ ∈ Rn\K1. Згiдно з формулою Лейбнiца диференцiювання добутку функцiй маємо ∣∣∂kξωt,x(ξ) ∣∣ ≤ t−n \|k\|∗∑ \|l\|∗=0 Clk ∣∣∂lξη1(ξ) ∣∣ ∣∣∣∂k−lξ ∂qxG (t, x; 0, ξ) ∣∣∣ = = t−n {∣∣∂kξ ∂qxG (t, x; 0, ξ) ∣∣+ \|k\|∗∑ \|l\|∗=0 Clk ∣∣∣∂k−lξ η0(ξ) ∣∣∣ ∣∣∂lξ∂qxG (t, x; 0, ξ) ∣∣}. З огляду на лему 3 та належнiсть η0 до Sβ∗α∗ для t ∈ (0; 1) , {k, q} ⊂ Zn+, x ∈ K i ξ ∈ Rn\K1 одержуємо ∣∣∂kξωt,x(ξ) ∣∣ ≤ c0A\|q\|∗0 qq B\|k\|∗0 kk  n1∏ j=1 \|x1j − ξ1j \| − 2bjm1j(k,q) 2bj−1  × ×  n2∏ j=1 \|x2j − ξ2j + tx1j \| − 2bjm2j(k,q) 2bj−1 × ×  n3∏ j=1 ∣∣x3j − ξ3j + tx2j + 2−1t2x1j ∣∣− 2bjm3j(k,q) 2bj−1 + +c1 \|k\|∗∑ \|l\|∗=0 2\|k\|∗B \|k−l\|∗ 1 (k − l)β∗(k−l) e−δ1\|ξ\| 1/α∗ ∗ B \|l\|∗ 0 ll× ×  n1∏ j=1 \|x1j − ξ1j \| − 2bjm1j(l,q) 2bj−1  n2∏ j=1 \|x2j − ξ2j + tx1j \| − 2bjm2j(l,q) 2bj−1 × ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1482 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, О. В. СТРИБКО ×  n3∏ j=1 ∣∣x3j − ξ3j + tx2j + 2−1t2x1j ∣∣− 2bjm3j(l,q) 2bj−1 × × exp −δ0  n1∑ j=1 ( \|x1j − ξ1j \| t1/(2bj) ) 2bj 2bj−1 + + n2∑ j=1 ( \|x2j − ξ2j + tx1j \| t1+1/(2bj) ) 2bj 2bj−1 + n3∑ j=1 (∣∣x3j − ξ3j + tx2j + 2−1t2x1j ∣∣ t2+1/(2bj) ) 2bj 2bj−1   . (11) Далi, оскiльки x ∈ K, то iснує такий вектор r = (r1, r2, r3) ∈ Rn з додатними компонентами, що для всiх x ∈ K виконуються нерiвностi \|xlj \| ≤ rlj , j ∈ Nnl , l ∈ N3. Тодi для x ∈ K, ξ ∈ Rn\K1 i t ∈ (0; r0) , r0 := min { min j∈Nn2 { a2j 2r2j } , min j∈Nn3 { a3j 2 (r2j + r3j) } , 1 } , \|x1j − ξ1j \| ≥ a1j > 0, j ∈ Nn1 , \|x2j − ξ2j + tx1j \| ≥ \|x2j − ξ2j \| − t \|x1j \| ≥ \|x2j − ξ2j \| − tr2j ≥ a2j 2 > 0, j ∈ Nn2 ,∣∣x3j − ξ3j + tx2j + 2−1t2x1j ∣∣ ≥ \|x3j − ξ3j \| − t (\|x2j \|+ 2−1t \|x1j \| ) ≥ ≥ \|x3j − ξ3j \| − t (r2j + r3j) ≥ a3j 2 > 0, j ∈ Nn3 . Крiм цього, для зазначених x, ξ i t \|x1j − ξ1j \| ≥ \|ξ1j \| − r1j , j ∈ Nn1 , \|x2j − ξ2j + tx1j \| ≥ \|ξ2j \| − (r1j + r2j) , j ∈ Nn2 ,∣∣x3j − ξ3j + tx2j + 2−1t2x1j ∣∣ ≥ \|ξ3j \| − (r1j + r2j + r3j) , j ∈ Nn3 . Звiдси та з нерiвностi (11), враховуючи структуру (7) компонент вектора m(k, q), одержуємо оцiнку (10). Теорему доведено. Теорема 2. Якщо узагальнена функцiя f ∈ ( Sβ∗α∗ )′ , β∗ > 1, збiгається на множинi Q ⊂ Rn з неперервно диференцiйовною функцiєю g(·) до порядку q0 ∈ Zn+ включно, то для всiх q ∈ Zn+, q ≤ q0, похiдна ∂qxu (t;x) вiдповiдного розв’язку задачi Кошi (1), (6) прямує до ∂qxg(x) при t → +0 рiвномiрно щодо змiнної x на кожнiй компактнiй множинi K ⊂ Q. Доведення. Нехай K i K1 — компактнi множини такi, що K ⊂ K1 ⊂ Q, для яких виконується умова (9), а η0 i η1 — побудованi при доведеннi теореми 1 фiнiтнi функцiї. Оскiльки ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 ПРИНЦИП ЛОКАЛIЗАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 1483 ∂qxu (t;x) = 〈η0 (f − g) , ∂qxG (t, x; 0, ξ)〉+ + 〈η1f, ∂qxG (t, x; 0, ξ)〉+ 〈η0g, ∂qxG (t, x; 0, ξ)〉 , то, беручи до уваги теорему 1, а також те, що f − g = 0 на Q i η1f = 0 на K1, та враховуючи при цьому регулярнiсть функцiонала η0g, приходимо до висновку, що доведення теореми зводиться до встановлення граничного спiввiдношення It(x) := ∫ Rn ∂qxG (t, x; 0, ξ) (η0g)(ξ)dξ x∈K ⇒ t→+0 ∂qx(η0g)(x). (12) Використовуючи очевидну рiвнiсть ei{(ξ,η)−(x,ρ0(t;s0,η ;η̃))} = e−i{(η1,x1−ξ1)+(η2,x2−ξ2+tx̂1)+(η3,x3−ξ3+tx′2+2−1t2x′1)}, (13) iз (2) одержуємо G (t, x; 0, ξ) = F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z), (14) де z1 := x1 − ξ1, z2 := x2 − ξ2 + tx̂1, z3 := x3 − ξ3 + tx′2 + 2−1t2x′1, z := (z1, z2, z3) ∈ Rn. (15) Тодi ∫ Rn G (t, x; 0, ξ) (η0g)(ξ)dξ = ∫ Rn F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z)(η0g)(ξ)dξ. Виконуючи тепер в iнтегралi з правої частини цiєї рiвностi замiну змiнної iнтегру- вання за формулами (15) та враховуючи рiвнiсть ∫ Rn ∂qxG (t, x; 0, ξ) (η0g)(ξ)dξ = ∂qx  ∫ Rn G (t, x; 0, ξ) (η0g)(ξ)dξ  , маємо It(x) = ∫ Rn F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z)∂qx(η0g)× ×(x1 − z1; x2 − z2 + tx̂1; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1)dz. Iз зображення (2) фундаментального розв’язку G та з властивостi оборотностi перетворення Фур’є на елементах просторiв типу S випливає∫ Rn G (t, x; 0, ξ) dξ = (2π) −n ∫ Rn Fη→ξ[µ t 0 (η;x)](t;x; ξ)dξ = = F−1ξ→0[Fη→ξ[µ t 0 (η;x)]](t;x; 0) = µt0 (0;x) = exp  t∫ 0 a0(β)dβ  , t ∈ (0;T ], x ∈ Rn. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1484 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, О. В. СТРИБКО З iншого боку, зважаючи на (14) та на пiдстановку (15), одержуємо рiвнiсть∫ Rn G (t, x; 0, ξ) dξ = ∫ Rn F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z)dz. А вiдтак дiстаємо \|It(x)− ∂qx(η0g)(x)\| = ∣∣∣∣∣ ∫ Rn F−1η→z[θ t 0(s0,η; η̃)](t; z) ( ∂qx(η0g) ( x1 − z1;x2 − z2 + tx̂1; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 ) − ∂qx(η0g)(x) ) dz −O(t)∂qx(η0g)(x) ∣∣∣∣∣ ≤ ≤ ∫ Rn ∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ \|∂qx(η0g)(x1 − z1;x2 − z2 + tx̂1; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 ) − ∂qx(η0g)(x) ∣∣ dz + \|O(t)∂qx(η0g)(x)\| ≡ I0t (x)+ + \|O(t)\| \|∂qx(η0g)(x)\| ≤ I0t (x) + \|O(t)\| sup x∈K \|∂qx(η0g)(x)\| , t ∈ (0;T ], x ∈ K, де O(t) := 1− exp {∫ t 0 a0(β)dβ } −−−−→ t→+0 0. Таким чином, доведення граничного спiввiдношення (12) звелось до встанов- лення рiвностi I0t (x) := ∫ Rn ∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ \|∂qx(η0g)(x1 − z1;x2 − z2+ +tx̂1;x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 ) − ∂qx(η0g)(x) ∣∣ dz x∈K ⇒ t→+0 0. (16) Оскiльки∣∣∂qx(η0g)(x1 − z1;x2 − z2 + tx̂1;x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1)− ∂qx(η0g)(x) ∣∣ ≤ ≤ { n1∑ j=1 ∣∣∂qx(η0g)(x11, . . . , x1(j−1), x1j − z1j , . . . , x1n1 − z1n1 ; x2 − z2 + tx̂1; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1)− ∂qx(η0g)(x11, . . . , x1j , x1(j+1) − z1(j+1), . . . . . . , x1n1 − z1n1 ; x2 − z2 + tx̂1;x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1) ∣∣}+ + { n2∑ j=1 \|∂qx(η0g)(x1;x21, . . . , x2(j−1), x2j − z2j + tx1j , . . . , x2n2 − z2n2 + tx1n2 ; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1)− ∂qx(η0g)(x1;x21, . . . , x2j , x2(j+1) − z2(j+1)+ +tx1(j+1), . . . , x2n2 − z2n2 + tx1n2 ;x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1)\| } + ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 ПРИНЦИП ЛОКАЛIЗАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 1485 + { n3∑ j=1 \|∂qx(η0g)(x1;x2;x31, . . . , x3(j−1), x3j − z3j + tx2j + 2−1t2x1j , . . . , x3n3 − −z3n3 + tx2n3 + 2−1t2x1n3 )− ∂qx(η0g)(x1;x2;x31, . . . , x3j , x3(j+1) − z3(j+1)+ +tx2(j+1) + 2−1t2x1(j+1), . . . , x3n3 − z3n3 + tx2n3 + 2−1t2x1n3 )\| } , то спiввiдношення (16) виконуватиметься, якщо I0,1t,j (x) := ∫ Rn ∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ ∣∣∂qx(η0g)(x11, . . . , x1(j−1), x1j − z1j , . . . . . . , x1n1 − z1n1 ;x2 − z2 + tx̂1; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 ) − −∂qx(η0g)(x11, . . . , x1j , x1(j+1) − z1(j+1), . . . , x1n1 − z1n1 ; x2 − z2 + tx̂1;x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 )∣∣ dz x∈K ⇒ t→+0 0, j ∈ Nn1 , (17) I0,2t,j (x) := ∫ Rn ∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ ∣∣∂qx(η0g)(x1;x21, . . . , x2(j−1), x2j − z2j + tx1j , . . . , x2n2 − z2n2 + tx1n2 ; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 ) − −∂qx(η0g)(x1;x21, . . . , x2j , x2(j+1) − z2(j+1) + tx1(j+1), . . . , x2n2 − z2n2 + tx1n2 ; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 )∣∣ dz x∈K ⇒ t→+0 0, j ∈ Nn2 , (18) I0,3t,j (x) := ∫ Rn ∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ ∣∣∂qx(η0g)(x1;x2;x31, . . . , x3(j−1), x3j − z3j + tx2j + 2−1t2x1j , . . . , x3n3 − z3n3 + tx2n3 + 2−1t2x1n3 ) − −∂qx(η0g)(x1;x2;x31, . . . , x3j , x3(j+1) − z3(j+1) + tx2(j+1) + 2−1t2x1(j+1), . . . . . . , x3n3 − z3n3 + tx2n3 + 2−1t2x1n3 )∣∣ dz x∈K ⇒ t→+0 0, j ∈ Nn3 . (19) Переконаємось спочатку у виконаннi спiввiдношень (17). З (14) i (15) одержуємо F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) = G (t, νz,ξ; 0, ξ) при νz,ξ := ( z1 +ξ1; z2 +ξ2− t ( ẑ1 + ξ̂1 ) ; z3 +ξ3− t ( z′2 +ξ′2 ) +2−1t2 ( z′1 +ξ′1 )) ∈ Rn. Врахувавши цю рiвнiсть, з огляду на лему 2 дiстанемо таку оцiнку:∫ Rn ∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ dz ≤ c∫ Rn e−δ\|η\| 1/α∗ ∗ dη ≡ c0 < +∞, t ∈ (0;T ], (20) причому c0 не залежить вiд t. Оскiльки фiнiтна функцiя η0 є елементом простору Sβ∗α∗ , а g має неперервнi частиннi похiднi до порядку q0 ∈ Zn+ включно, то при q ≤ q0 функцiя ∂qx (η0g) є ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1486 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, О. В. СТРИБКО неперервною, тому для довiльного ε > 0 iснує t0 > 0 таке, що t0 < ε i \|∂qx(η0g)(x11, . . . , x1(j−1), x1j − z1j , . . . , x1n1 − z1n1 ; x2 − z2 + tx̂1;x3 − z3+ +tx′2 + 2−1t2x′1)− ∂qx(η0g)(x11, . . . , x1j , x1(j+1) − z1(j+1), . . . , x1n1 − z1n1 ; x2 − z2 + tx̂1;x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1)\| < ε, j ∈ Nn1 , якщо тiльки∥∥(x11, . . . , x1(j−1), x1j − z1j , . . . , x1n1 − z1n1 ; x2 − z2 + tx̂1;x3 − z3 + tx′2+ +2−1t2x′1 ) − ( x11, . . . , x1j , x1(j+1) − z1(j+1), . . . , x1n1 − z1n1 ; x2 − z2 + tx̂1;x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 )∥∥ = = \|z1j \| < t γ1j 0 , γ1j := 2bj − 1 4bjm1j(0; 0) . Тодi, врахувавши, що c1 := sup x∈K,z∈Rn,t∈[0;T ] ∣∣∂qx(η0g)(x11, . . . , x1(j−1), x1j − z1j , . . . , x1n1 − z1n1 ; x2 − z2 + tx̂1;x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1)− ∂qx(η0g)(x11, . . . , x1j , x1(j+1)− −z1(j+1), . . . , x1n1 − z1n1 ; x2 − z2 + tx̂1;x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1) ∣∣ < +∞, бо η0g — фiнiтна функцiя, та взявши до уваги леми 2, 3, згiдно з якими∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ = = \|G (t, νz,ξ; 0, ξ)\| ≤ ct 1− j−1∑ l=1 1 2bl − n1∑ l=j+1 1 2bl − n2∑ l=1 ( 1+ 1 2bl ) − n3∑ l=1 ( 2+ 1 2bl ) × × \|z1j \| − 2bjm1j(0;0) 2bj−1 e−δ\|z1j \| 2bj 2bj−1 exp −δ j−1∑ l=1 ( \|z1l\| t1/(2bl) ) 2bl 2bl−1 + + n1∑ l=j+1 ( \|z1l\| t1/(2bl) ) 2bl 2bl−1 + n2∑ l=1 ( \|z2l\| t1+1/(2bl) ) 2bl 2bl−1 + n3∑ l=1 ( \|z3l\| t2+1/(2bl) ) 2bl 2bl−1  , 0 < t < 1, z ∈ Rn, j ∈ Nn1 , й оцiнку (20), одержимо I0,1t,j (x) < ε ∫ \|z1j \|<t γ1j 0 ∫ Rn−1 ∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ dz+ +c1 ∫ \|z1j \|≥t γ1j 0 ∫ Rn−1 ∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ dz ≤ c0ε+ c1ctt −γ1j 2bjm1j(0;0) 2bj−1 0 × × ∫ Rn e−δ\|η\| 1/α∗ ∗ dη ≤ c0ε+ c2t 1 2 0 ≤ c0ε+ c2ε 1 2 , 0 < t ≤ t0 < ε, x ∈ K, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 ПРИНЦИП ЛОКАЛIЗАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 1487 де константи c0 i c2 не залежать вiд t, x, t0 i ε. Отже, ∃{c0, c2} ⊂ (0; +∞) ∀ε > 0 ∃t0 ∈ (0; ε) ∀t ∈ (0; t0] ∀x ∈ K : I0,1t,j (x) ≤ c0ε+ c2ε 1 2 , j ∈ Nn1 . Це й означає виконання спiввiдношень (17). Перейдемо тепер до встановлення спiввiдношень (18). Виходячи безпосеред- ньо iз формули диференцiювання складеної функцiї кiлькох незалежних змiнних, одержуємо ∂kx(η0g)(x1;x21, . . . , x2(j−1), x2j − z2j + tx1j , . . . , x2n2 − z2n2 + tx1n2 ; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 ) = ∂kx(η0g)(x1;x21, . . . , x 0 2j , x2(j+1) − z2(j+1)+ +tx1(j+1), . . . , x2n2 − z2n2 + tx1n2 ;x3 − z3 + tx′2+ +2−1t2x′1 ) ∣∣∣ x0 2j=x2j−z2j+tx1j +tgt,zj,q(x) (21) (тут верхнiм iндексом 0 позначено ту компоненту x2j , замiсть якої здiйснюється пiдстановка x2j − z2j + tx1j пiсля дiї операцiї диференцiювання ∂kx на η0g), де gt,zj,q(·) — неперервна фiнiтна функцiя така, що sup x∈K,z∈Rn,t∈[0;T ] ∣∣gt,zj,q(x) ∣∣ < +∞. З урахуванням рiвностi (21) i оцiнки (20) спiввiдношення (18) виконувати- муться, якщо Υ0,2 t,j (x) := ∫ Rn ∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ ηt,zj,q(x)dz x∈K ⇒ t→+0 0, j ∈ Nn2 , (22) де ηt,zj,q(x) := ∣∣∂kx(η0g)(x1;x21, . . . , x 0 2j , x2(j+1) − z2(j+1) + tx1(j+1), . . . , x2n2 − z2n2 + +tx1n2 ;x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 ) ∣∣ x0 2j=x2j−z2j+tx1j −∂kx(η0g)(x1;x21, . . . , x2j , x2(j+1) − z2(j+1) + tx1(j+1), . . . , x2n2 − z2n2 + tx1n2 ; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 )∣∣ . При доведеннi спiввiдношення (22) мiркуватимемо так, як i у випадку встанов- лення (17). Згiдно з неперервнiстю функцiї ∂qx (η0g) для довiльного ε > 0 iснує таке t0 ∈ (0; ε) , що для всiх x ∈ K, z ∈ Rn i t ∈ (0;T ] таких, що∥∥(x1;x21, . . . , x2(j−1), x2j − z2j + tx1j , . . . , x2n2 − z2n2 + tx1n2 ; x3− −z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 ) − ( x1;x21, . . . , x2j , x2(j+1) − z2(j+1) + tx1(j+1), . . . , x2n2 − −z2n2 + tx1n2 ; x3 − z3 + tx′2 + 2−1t2x′1 )∥∥ = \|z2j − tx1j \| < t γ2j 0 , γ2j := 2bj − 1 4bjm2j(0; 0) , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 1488 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, О. В. СТРИБКО виконується нерiвнiсть ηt,zj,q(x) < ε, j ∈ Nn2 . З огляду на це, леми 2, 3 та оцiнку (20) одержимо Υ0,2 t,j (x) < c0ε+ ( sup x∈K,z∈Rn,t∈[0;T ] ηt,zj,q(x) ) × × ∫ \|z2j−tx1j \|≥t γ2j 0 ∫ Rn−1 ∣∣F−1η→z[θ t 0 (s0,η; η̃)](t; z) ∣∣ dz ≤ c0ε+ +ct ∫ \|z2j−tx1j \|≥t γ2j 0 ∫ Rn−1 \|z2j \| − 2bjm2j(0;0) 2bj−1 e−δ\|z\| 1/α∗ ∗ dz, t ∈ (0;T ], x ∈ K, j ∈ Nn2 , де c0 > 0, c > 0 i δ > 0 — константи, не залежнi вiд t, x i z. Враховуючи тепер iснування вектора r0 ∈ Rn iз додатними компонентами та- кого, що для всiх x ∈ K виконуються нерiвностi \|xlj \| ≤ rlj , j ∈ Nnl , l ∈ N3, для всiх t ∈ ( 0; t γ2j 0 2r1j ] i z2 ∈ Rn2 таких, що \|z2j − tx1j \| ≥ t γ2j 0 , маємо \|z2j \| = \|(z2j − tx1j) + tx1j \| ≥ \|z2j − tx1j \| − t \|x1j \| ≥ ≥ tγ2j0 − t γ2j 0 2r1j r1j = t γ2j 0 2 , j ∈ Nn2 . Тодi Υ0,2 t,j (x) < c0ε+ ct ( 2 t γ2j 0 ) 2bjm2j(0;0) 2bj−1 ∫ Rn e−δ\|z\| 1/α∗ ∗ dz ≤ c0ε+ c1tt − 1 2 0 ≤ ≤ c0ε+ c1ε 1 2 , 0 < t ≤ min { t0; t γ2j 0 2r1j } , t0 < ε, x ∈ K, j ∈ Nn2 (тут додатнi сталi c0 i c1 не залежать вiд t, x, t0 i ε). Звiдси, зважаючи на довiльнiсть вибору ε > 0, приходимо до спiввiдношення (22). Отже, доведено виконання i граничних спiввiдношень (18). На завершення зазначимо, що оскiльки iнтеграл I0,3t,j (·) є iнтегралом типу I0,2t,j (·), то встановлення спiввiдношень (19) аналогiчне випадку (18). Теорему доведено. Як приклад, розглянемо iз простору ( Sβ∗α∗ )′ , β∗ > 1, узагальнену функцiю fx =  d dx11 ( 1 2 (sign (2x11 − 1)) (2x11 − 1) 2 + 2 \|x11\|− 1 2 ) , \|x11\| < 1, e\|1+x·x\| −→γ /2 ∗ , \|x11\| ≥ 1, дiя якої на основну функцiю ϕ iз Sβ∗α∗ вiдбувається за таким правилом: ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11 ПРИНЦИП ЛОКАЛIЗАЦIЇ РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 1489 〈fx, ϕ(x)〉 = 5 2 ∫ Rn−1 ( ϕ(x) ∣∣ x11=1 + ϕ(x) ∣∣ x11=−1 ) dx dx11 − − ∫ \|x11\|<1 ∫ Rn−1 ( 1 2 (sign (2x11 − 1)) (2x11 − 1) 2 + 2 \|x11\|− 1 2 ) ∂x11ϕ(x)dx+ + ∫ \|x11\|≥1 ∫ Rn−1 e\|1+x·x\| −→γ /2 ∗ ϕ(x)dx (тут вектор −→γ ∈ Rn такий, що −→γ α∗ < 1). Очевидно, що зазначена функцiя fx на множинi Q1 := {x ∈ Rn : \|x11\| ≥ 1} збiгається iз нескiнченно диференцiйовною на цiй множинi функцiєю e\|1+x·x\| −→γ /2 ∗ , а на множинi Q2 := {x ∈ Rn : 0 < \|x11\| < 1} — iз неперервною на Q2 функцiєю g(x) = 2 \|2x11 − 1\| − \|x11\|− 3 2 . Тодi згiдно з теоремою 2 розв’язок u (t;x) , (t;x) ∈ ∈ Πn (0;T ], задачi Кошi (1), (6), побудований за початковою узагальненою функцiєю fx, разом з усiма своїми частинними похiдними довiльного порядку щодо змiнної x збiгається при t→ +0 до функцiї e\|1+x·x\| −→γ /2 ∗ та її похiдних вiдповiдних порядкiв рiвномiрно щодо x на кожнiй компактнiй множинi K ⊂ Q1, крiм цього u (t;x) x∈K ⇒ t→+0 g(x) (∀K ⊂ Q2). 1. Kolmogoroff A. N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung) // Ann. Math. – 1934. – 35. – S. 116 – 117. 2. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2004. – 152. – 390 p. 3. Возняк О. Г., Iвасишен С. Д. Однозначна розв’язнiсть i властивiсть локалiзацiї розв’язкiв задачi Кошi для одного класу вироджених рiвнянь з узагальненими початковими даними // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2001. – 44, № 4. – С. 27 – 39. 4. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с. 5. Iвасишен С. Д., Лiтовченко В. А. Задача Кошi для одного класу вироджених параболiчних рiвнянь типу Колмогорова з додатним родом // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 8. – С. 1066 –1087. Одержано 13.04.10 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 11

Принцип локалізації розв'язків задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь тапу Колмогорова

Репозитарії

Схожі ресурси