Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды
Розглядається початково-крайова задача, що описує нестаціонарні коливання пружного середовища з великою кількістю дрібних каверн, які заповнені в'язкою нестислою рідиною. Вивчається асимптотична поведінка розв'язку, коли діаметри каверн прямують до нуля, їх кількість прямує до нескінченнос...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166269 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды / М.В. Гончаренко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1309–1329. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166269 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662692020-02-19T01:27:52Z Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды Гончаренко, М.В. Статті Розглядається початково-крайова задача, що описує нестаціонарні коливання пружного середовища з великою кількістю дрібних каверн, які заповнені в'язкою нестислою рідиною. Вивчається асимптотична поведінка розв'язку, коли діаметри каверн прямують до нуля, їх кількість прямує до нескінченності та розташовуються вони „об'ємно". Побудовано усереднене рівняння, що описує головний член асимптотики. Це рівняння є моделлю розповсюдження хвиль у середовищах типу зволоженого грунту, гірських порід та деяких біологічних тканин. We consider an initial boundary-value problem used to describe the nonstationary vibration of an elastic medium with large number of small cavities filled with a viscous incompressible fluid. We study the asymptotic behavior of the solution in the case where the diameters of the cavities tend to zero, their number tends to infinity, and the cavities occupy a three-dimensional region. We construct an averaged equation to describe the leading term of the asymptotics. This equation serves as a model of propagation of waves in various media, such as damped soil, rocks, and some biological tissues. 2010 Article Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды / М.В. Гончаренко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1309–1329. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166269 517.946 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Гончаренко, М.В. Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды Український математичний журнал |
| description |
Розглядається початково-крайова задача, що описує нестаціонарні коливання пружного середовища з великою кількістю дрібних каверн, які заповнені в'язкою нестислою рідиною. Вивчається асимптотична поведінка розв'язку, коли діаметри каверн прямують до нуля, їх кількість прямує до нескінченності та розташовуються вони „об'ємно". Побудовано усереднене рівняння, що описує головний член асимптотики. Це рівняння є моделлю розповсюдження хвиль у середовищах типу зволоженого грунту, гірських порід та деяких біологічних тканин. |
| format |
Article |
| author |
Гончаренко, М.В. |
| author_facet |
Гончаренко, М.В. |
| author_sort |
Гончаренко, М.В. |
| title |
Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды |
| title_short |
Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды |
| title_full |
Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды |
| title_fullStr |
Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды |
| title_full_unstemmed |
Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды |
| title_sort |
усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166269 |
| citation_txt |
Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды / М.В. Гончаренко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1309–1329. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT gončarenkomv usrednennaâmodelʹkolebanijuvlažnennojuprugojsredy |
| first_indexed |
2025-07-14T21:05:33Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:05:33Z |
| _version_ |
1837657892022386688 |
| fulltext |
УДК 517.946
М. В. Гончаренко, Е. Я. Хруслов
(Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков)
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ
УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ*
We consider an initial boundary-value problem describing nonstationary vibrations of an elastic medium with
a great number of small caverns that are filled with viscous incompressible fluid. We study the asymptotic
behavior of a solution in the case where diameters of the caverns tend to zero, their number tends to infinity,
and the caverns have “volume” location. We construct the homogenized equation that describes the leading
term of asymptotics. This equation is a model of wave propagation in media such as wet soil, rocks, and some
biological tissues.
Розглядається початково-крайова задача, що описує нестацiонарнi коливання пружного середовища з
великою кiлькiстю дрiбних каверн, якi заповненi в’язкою нестислою рiдиною. Вивчається асимптотична
поведiнка розв’язку, коли дiаметри каверн прямують до нуля, їх кiлькiсть прямує до нескiнченностi та
розташовуються вони „об’ємно”. Побудовано усереднене рiвняння, що описує головний член асимпто-
тики. Це рiвняння є моделлю розповсюдження хвиль у середовищах типу зволоженого ґрунту, гiрських
порiд та деяких бiологiчних тканин.
1. Введение. Простейшей моделью увлажненной упругой среды является сре-
да, содержащая мелкие каверны, заполненные вязкой несжимаемой жидкостью. А
именно, пусть Ω — фиксированная область в R3 с границей ∂Ω , а Gαε — подоб-
ласти в Ω с гладкими непересекающимися границами ∂Gαε — каверны. Размеры
и количество подобластей Gαε зависят от малого параметра ε так, что при ε → 0
диаметры Gαε стремятся к нулю, их количество N(ε) стремится к ∞ и Gαε рас-
полагаются „объемно” в области Ω .
Предположим, что область Ωε = Ω\
⋃N(ε)
α=1
Ḡαε занята упругой средой, а кавер-
ны Gαε заполнены вязкой несжимаемой жидкостью.
Нестационарные колебания упругой среды Ωε описываются уравнением
ρs
∂2uε
∂t2
− L[uε] = 0, (1.1)
где uε = uε(x, t) — вектор упругих смещений, ρs = const — плотность упругой
среды и
L[u] =
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
(anpqrγqr[u])ep. (1.2)
Здесь ep — орт оси xp ,
γqr[u] =
1
2
(
∂uq
∂xr
+
∂ur
∂xq
)
— компоненты тензора деформации среды, а anpqr — компоненты тензора упруго-
сти, имеющего свойства симметрии aiklm = akilm = almik = aikml и положитель-
ной определенности, т. е.
3∑
n,p,q,r=1
anpqrtnptqr ≥ C
3∑
n,p=1
|tnp|2 ∀{tnp}3n,p=1, C > 0.
*Выполнена при частичной поддержке совместного украинско-французского гранта PICS.
c© М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1309
1310 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
Колебания жидкости в Gαε описываются линейными уравнениями Навье – Стокса
ρf
∂vε
∂t
− µ∆vε = ∇pε, div vε = 0, (1.3)
где vε = vε(x, t) — скорость жидкости, pε — давление, ρf = const — плотность
жидкости и µ = const — ее динамическая вязкость.
На границах раздела
⋃N(ε)
α=1
∂Gαε выполняются условия
∂uε
∂t
= vε, (1.4)
Tf [vε] = Ts[uε]. (1.5)
Здесь
Tf [v] = µ
3∑
i,k=1
γik[v]νie
k − pν
— вектор напряжений на поверхности ∂Ωε в жидкости,
Ts[u] =
3∑
n,p,q,r=1
anpqrγqr[u]νne
q (1.6)
— вектор напряжений в упругой среде, ν — внешняя нормаль к поверхности ∂Gαε .
Условие (1.4) означает совпадение на границе раздела векторов скоростей упру-
гой и жидкой сред, а условие (1.5) — совпадение векторов напряжений.
Для определенности будем предполагать, что упругая среда закреплена на
внешней границе ∂Ω , т. е.
uε = 0, x ∈ ∂Ω, (1.7)
а начальные условия имеют вид
uε(x, 0) = 0,
∂uε
∂t
= U1
ε (x), x ∈ Ωε, (1.8)
vε(x, 0) = V 1
ε (x), x ∈ Gε =
N(ε)⋃
α=1
Gαε , (1.9)
где U1
ε ∈W 1
2 (Ωε) , V 1
ε ∈W 1
2 (Gε) , divV 1
ε = 0 , U1
ε = V 1
ε , x ∈ ∂Gε .
Задача (1.1) – (1.9) имеет единственное решение {uε, vε}, состоящее из смеще-
ния uε упругой фазы и скорости vε жидкой фазы.
Целью данной работы является получение усредненной модели колебаний. Для
этого изучается асимптотическое поведение решения задачи (1.1) – (1.9) при ε→ 0 .
Будет доказано, что при определенных условиях главный член асимптотики описы-
вается вектор-функцией u(x, t) , являющейся решением следующего усредненного
уравнения в области Ω :
ρ
∂2u
∂t2
−
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
t∫
0
Anpqr(x, t− τ)γqr
[
∂u(x, τ)
∂τ
]
dτ
ep = 0, (1.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ 1311
где ρ(x) — эффективная плотность среды, {Anpqr(x, t)} — симметрическая тензор-
функция, которая является эффективной характеристикой упругих и релаксацион-
ных сил увлажненной среды. Это уравнение и является усредненной моделью
колебаний увлажненной упругой среды. Подобные вопросы рассматривались во
многих работах в связи с изучением распространения волн в увлажненных почвах,
горных породах, биологических тканях [1 – 4].
2. Уточненная постановка задачи и основной результат. Предположим, что
расположение каверн локально близко к периодическому. Это означает, что каверны
Gαε находятся в периодически расположенных параллелепипедах, имеют одинако-
вую форму, а диаметры и координаты центров масс каверн, находящихся в сосед-
них параллелепипедах, отличаются на малую величину. А именно, предположим,
что пространство R3 разрезано на параллелепипеды Πα
ε = {x ∈ R3 : |xi − xαi | ≤
≤ (θiε)/2, i = 1, 2, 3} с центрами в точках xα и сторонами длиной θiε , ориенти-
рованными по координатным осям. В каждом параллелепипеде, принадлежащем
области Ω , находится множество Gαε , являющееся гомотетическим сжатием фик-
сированного тела G ∈ R3 диаметром единица, с центром масс в начале координат
и гладкой границей ∂G . Диаметры множеств Gαε dαε = d(xα)ε , центры масс нахо-
дятся в точках xα + a(xα)ε , а ориентации задаются операторами вращения P (xα)
так, что
Gαε =
{
x ∈ Πα
ε : P−1(xα)
x− xα − a(xα)ε
d(xα)ε
∈ G
}
.
Будем предполагать, что функция d(y) , вектор-функция a(y) и матрица P (y)
непрерывно дифференцируемы и выполняются неравенства
max
y∈Ω
(|d(y)|+ |a(y)|) < min
i
θi(1− 2δ)
2
, δ > 0.
Такую структуру композитной среды естественно называть локально периодиче-
ской.
Введем обозначения
Π =
{
ξ ∈ R3 : |ξi| <
θi
2
, i = 1, 2, 3
}
,
Gy =
{
ξ ∈ Π: P−1(y)
ξ − a(y)
d(y)
∈ G, y ∈ Ω
}
.
Обозначим через H1
per[Π] замыкание по норме W 1
2 (Π) множества гладких Π -
периодических функций (см. [5]).
Рассмотрим в параллелепипеде Π следующую краевую задачу („ячеечную”
задачу):
µ∆ṽnp(x, λ) = ∇p̃, divṽnp(x, λ) = 0, x ∈ Gy, (2.1)
3∑
i,k,l,m=1
∂
∂xi
(aiklmγlm[w̃np]) ek = 0, x ∈ Π \Gy, (2.2)
ṽnp = w̃np, x ∈ ∂Gy, (2.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1312 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
µ
3∑
i,k=1
γik[ṽnp]νie
k − p̃ν =
1
λ
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγlm[w̃np]νie
k, x ∈ ∂Gy, (2.4)
ũnp − φnp ∈ H1
per[Π], (2.5)
где ũnp = ṽnpχGy + w̃np(1 − χGy ) , χGy — характеристическая функция области
Gy , а вектор-функция φnp(x) определена равенством φnp =
1
2
(xne
p + xpe
n) , λ —
комплексный параметр, Reλ > 0 .
Существует единственное (с точностью до постоянного вектора) решение этой
задачи, и оно является аналитической функцией параметра λ в полуплоскости
Reλ > 0 .
С помощью решения задачи (2.1) – (2.5) определим тензор {Ãnpqr(y, λ)} по
формуле
Ãnpqr(y, λ) =
µ
2
∫
Gy
3∑
i,k=1
γik[ṽnp]γik[ṽqr]dx+
+
1
λ
∫
Π\Gy
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[w̃np]γlm[w̃qr]dx. (2.6)
Тензор {Ãnpqr(y, λ)} аналитичен в области Reλ > 0 , причем Ãnpqr(y, λ) =
= Ãnpqr(y, λ̄) и справедлива оценка
|Ãnpqr(y, λ)| ≤ C|λ|−1. (2.7)
Он обладает симметрией Ãiklm = Ãkilm = Ãlmik = Ãikml и положительно опре-
делен при λ > 0 .
Следовательно, существует обратное преобразование Лапласа
Anpqr(y, t) =
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
Ãnpqr(y, λ)eλtdλ, (2.8)
причем Anpqr(y, t) ∈ L2(−∞,∞) , Anpqr(y, t) = 0 при t < 0 и ImAnpqr(y, t) = 0 .
Чтобы сформулировать основной результат работы, введем вектор-функцию
смещения среды
ûε(x, t) = uε(x, t)χε(x) + (1− χε(x))
t∫
0
vε(x, τ)dτ, (2.9)
где χε(x) — характеристическая функция области Ωε .
Теорема 1. Пусть начальные скорости задачи (1.1) – (1.9) сходятся к вектор-
функциям U1 ∈ L2(Ω) и V 1 ∈ L2(Ω) так, что
lim
ε→0
∫
Ωε
|U1
ε − U1|2dx = 0, lim
ε→0
∫
Gε
|V 1
ε − V 1|2dx = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ 1313
Тогда вектор-функция смещения ûε(x, t) (2.9) сходится в L2(ΩT ) (ΩT = Ω×
×[0, T ]) к вектор-функции u(x, t), являющейся решением начально-краевой задачи
ρ
∂2u
∂t2
−
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
t∫
0
Anpqr(x, t− τ)
∂
∂τ
γqr[u(x, τ)]dτ
ep = 0, (2.10)
u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, (2.11)
u(x, 0) = 0,
∂u
∂t
(x, 0) = V (x), (2.12)
где ρ = ρ(x) = ρf
|Gx|
|Π|
+ ρs
|Π \Gx|
|Π|
, V =
ρf
ρ
|Gx|
|Π|
V 1 +
ρs
ρ
|Π \Gx|
|Π|
U1, а коэффи-
циенты Anpqr(x, t) определяются формулами (2.6), (2.8).
Наметим кратко схему доказательства, которое проводится в пп. 3 – 6.
Вводя вектор скорости перемещений упругой среды wε =
∂uε
∂t
и переходя к
преобразованиям Лапласа по времени w̃ε(x, λ) , ṽε(x, λ) , p̃ε(x, λ) от скоростей
wε(x, t) , vε(x, t) и давления pε(x, t) , сводим начально-краевую задачу (1.1) – (1.9)
к следующей стационарной краевой задаче, зависящей от параметра λ, Reλ > 0 :
λρsw̃ε(x, λ)− 1
λ
L[w̃ε] = ρsU
1
ε , x ∈ Ωε, (2.13)
λρf ṽε(x, λ)− µ∆ṽε(x, λ)−∇p̃ε = ρfV
1
ε , x ∈ Gε, (2.14)
divṽε(x, λ) = 0, x ∈ Gε, (2.15)
w̃ε = ṽε, x ∈ ∂Gε, (2.16)
Tf [ṽε] =
1
λ
Ts[w̃ε], x ∈ ∂Gε, (2.17)
ṽε = 0, x ∈ ∂Ωε. (2.18)
При любом λ, Reλ > 0, существует единственное решение этой задачи, кото-
рое является аналитичным.
При вещественных положительных λ эта задача эквивалентна вариационной
задаче
Φελ[uε]→ inf
uε∈
◦
Jε(Ω)
(2.19)
для функционала
Φελ[uε] = λ
∫
Ω
ρε|uε|2dx+
µ
2
∫
Gε
3∑
i,k=1
γ2
ik[uε]dx+
+
1
λ
∫
Ωε
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[uε]γlm[uε]dx+ 2
∫
Ω
fε · uεdx, (2.20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1314 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
где
◦
Jε(Ω) — пространство вектор-функций из
◦
W 1
2 (Ω) , соленоидальных в Gε ,
ρε = ρsχε + ρf (1 − χε) и fε(x) = ρsU
1
εχε + ρfV
1
ε (1 − χε) . Здесь и далее точкой
обозначается скалярное произведение в R3 .
В п. 3 исследуется асимптотическое поведение решения uε(x, λ) вариацион-
ной задачи (2.19) при ε → 0 . Сначала рассматривается более общая структура
увлажненной среды (не обязательно локально-периодическая). Для характериза-
ции таких сред вводится специальная количественная характеристика — тензор
{Ãiklm(x, λ; ε, h, γ)}3i,k,l,m=1 , определенный в кубах Kh
x = K(x, h) с центрами в
точках x и сторонами длиной h (ε� h ). Предполагается, что существуют предел
при ε→ 0, h→ 0 этой характеристики (тензор {Ãiklm(x, λ)} , а также слабые пре-
делы ρ(x) и f(x) плотности среды ρε(x) и импульса fε(x) при ε→ 0 . При этих
условиях доказывается, что решение задачи (2.19) сходится в L2(Ω) к решению
вариационной задачи
Φλ[u]→ inf
u∈
◦
W 1
2 (Ω)
(2.21)
для функционала
Φλ = λ
∫
Ω
ρ|u|2dx+
∫
Ω
3∑
i,k,l,m=1
Ãiklm(x, λ)γik[u]γlm[u]dx+ 2
∫
Ω
f · udx. (2.22)
Далее в п. 4 рассматривается локально-периодическая структура и доказывает-
ся, что компоненты предельного тензора Ãiklm(x, λ) при λ > 0 выражаются через
решение ячеечной краевой задачи (2.1) – (2.5) по формуле (2.6) и, следовательно,
могут быть аналитически продолжены на полуплоскость Reλ > 0 .
Решение вариационной задачи (2.21), (2.22) является слабым решением краевой
задачи
λρu(x, λ) +
3∑
i,k,l,m=1
∂
∂xi
(
Ãiklm(x, λ)γlm[u]
)
ek = f(x), x ∈ Ω, (2.23)
u(x, λ) = 0, x ∈ Ω. (2.24)
В п. 5 доказывается, что решение задачи (2.23), (2.24) может быть аналитически
продолжено в комплексную полуплоскость Reλ > 0 и к нему сходится решение
задачи (2.13) – (2.18). С учетом аналитичности решений задач (2.13) – (2.18) и (2.23),
(2.24) с помощью обратного преобразования Лапласа доказывается сходимость
решения нестационарной задачи (1.1) – (1.9) к решению задачи (2.10) – (2.12).
3. Аcимптотическое поведение решения uε(x, λ) вариационной задачи
(2.19). В этом пункте будем рассматривать расположение подобластей Gαε более
общего вида (не обязательно локально периодическое). Предполагается только, что
rαε = dist
(
Gαε ,
⋃
β,β 6=α
Gβε
⋃
∂Ω
)
— расстояние от Gαε до ближайших соседей и
границы ∂Ω — и dαε — диаметры множеств Gαε — удовлетворяют следующим
условиям:
dαε < Crαε , rαε = O(ε), (3.1)
где C — положительная постоянная, не зависящая от параметра ε .
Введем локальную количественную характеристику областей Ωε .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ 1315
Пусть Kα
h = K(h, xα) — куб со стороной h и центром в точке xα ∈ Ω ,
R = {Rnp} — произвольный тензор второго ранга в R3 . Рассмотрим задачу мини-
мизации
Ẽε,γxα,h,λ[R] = inf
vεα
Eε,γxα,h,λ[vεα, R] =
=
{
µ
2
∫
Kα
h∩Gε
3∑
i,k=1
γ2
ik[vεα]dx+
1
λ
∫
Kα
h∩Ωε
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[vεα]γlm[vεα]dx+
+h−2−γ
∫
Kα
h
∣∣∣∣∣vεα −
3∑
k,l=1
φkl(x− z)Rkl
∣∣∣∣∣
2}
. (3.2)
Здесь инфимум берется по всем вектор-функциям vεα из класса Jε(Kα
h ) = {vεα ∈
∈ W 1
2 (Kα
h ),div vεα = 0, x ∈ Gε} , γ — произвольное число 0 < γ < 2 (параметр
штрафа), а вектор-функция φkl(x) задана формулой
φkl(x) =
1
2
(xke
l + xle
k).
Существует единственная вектор-функция vεα(x, λ), доставляющая минимум (3.2).
Обозначим через vnpεα вектор-функцию, минимизирующую (3.2) при R = Rnp
df
=
df
=
1
2
(en⊗ ep + ep⊗ en) . Тогда vεα(x, λ) =
∑3
n,p=1
Rnpv
np
εα(x, λ) и, следовательно,
Ẽε,γxα,h,λ[R] =
3∑
n,p,q,r=1
Ãnpqr(x
α, ε, h, λ, γ)RnpRqr,
где
Ãnpqr(x
α, ε, h, λ, γ) =
µ
2
∫
Kα
h∩Gε
3∑
i,k=1
γik[vnpεα ]γik[vqrεα]dx+
+
1
λ
∫
Kα
h∩Ωε
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[vnpεα ]γlm[vqrεα]dx+
+h−2−γ
∫
Kz
h
(vnpεα − φnp(x− xα)) · (vqrεα − φqr(x− xα))dx (3.3)
— компоненты симметрического и положительно определенного тензора
{Ãnpqr(xα, ε, h, λ, γ)} в R3 .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть для любого x ∈ Ω выполнены следующие условия:
1) lim
h→0
lim sup
ε→0
Ãnpqr(x, ε, h, λ, γ)
h3
= lim
h→0
lim inf
ε→0
Ãnpqr(x, ε, h, λ, γ)
h3
=
= Ãnpqr(x, λ) ∀x ∈ Ω, 0 < γ < 2;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1316 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
2) ρε(x)→ ρ(x), fε(x)→ f(x) слабо в L2(Ω) при ε→ 0, где Ãnpqr(x, ε, h, λ,
γ), ρ(x) ∈ L∞(Ω), f(x) ∈ L2(Ω).
Тогда последовательность решений {uε(x, λ)} задачи (2.19) сходится в L2(Ω)
к вектор-функции u(x, λ), являющейся решением вариационной задачи (2.21).
Доказательство. Поскольку решение uε = uε(x, λ) задачи (2.19) миними-
зирует функционал Φελ[uε] в классе
◦
Jε(Ω) , то Φελ[uε] ≤ Φελ[0] = 0 и, значит,
выполняется неравенство
λµ
∫
Gε
3∑
i,k=1
γ2
ik[uε]dx+
∫
Ωε
3∑
n,p,q,r=1
anpqrγnp[uε]γqr[uε]dx ≤ C‖f‖L2(Ω)‖uε‖W 1
2 (Ω).
Отсюда, используя неравенства Корна и Фридрихса, получаем
‖uε‖W 1
2 (Ω) ≤ C‖f‖L2(Ω),
где C не зависит от ε .
Таким образом, последовательность функций {uε(x, λ), ε→ 0} слабо компакт-
на в W 1
2 (Ω) и, значит, можно выделить подпоследовательность {uε, ε = εk → 0},
слабо сходящуюся в W 1
2 (Ω) и сильно в L2(Ω) к некоторой функции u(x) ∈
∈
◦
W 1
2 (Ω) .
Докажем, что u(x, λ) является решением задачи (2.21).
Сначала кратко опишем схему доказательства.
Покроем область Ω кубами Kα
h = K(xα, h) с центрами в точках xα и ребрами
длины h , h � ε > 0 . Центры кубов образуют периодическую решетку с перио-
дом h − r , где 0 < r < h1+γ/2 . Для произвольной вектор-функции w ∈
◦
C2(Ω)
по этому покрытию строим вектор-функцию сравнения wεh(x) , принадлежащую
классу
◦
Jε(Ω) и, следовательно, удовлетворяющую неравенству Φλε[uε] ≤ Φ[wεh] .
Учитывая конструкцию wεh(x, λ), доказываем, что lim
h→0
lim sup
ε→0
Φλε[wεh] ≤ Φλ[w]
и, следовательно, справедлива оценка сверху
lim sup
ε→0
Φλε[uε] ≤ Φλ[w]. (3.4)
В силу плотности C2
0 (Ω) в
◦
W 1
2 (Ω) эта оценка выполняется для любого w ∈
∈
◦
W 1
2 (Ω) .
С другой стороны, полагая w(x, λ) = u(x, λ) , где u(x, λ) — слабый предел
uε(x, λ) по подпоследовательности ε = εk → 0 , получаем также оценку снизу
lim inf
ε→0
Φλε[uε] ≥ Φλ[u]. (3.5)
Из (3.4), (3.5) следует, что Φλ[u] ≤ Φλ[w] ∀w ∈
◦
W 1
2 (Ω) . Значит, вектор-функция
u(x, λ) минимизирует функционал Φλ в классе
◦
W 1
2 (Ω) , т. е. является решением
задачи (2.21).
При реализации этой схемы нам необходимы следующие леммы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ 1317
Лемма 1. Если выполняются условия (3.1), то для достаточно малых ε
существует разбиение единицы {ϕαε (x)}, удовлетворяющее условиям:
1)
∑
α
ϕαε (x) ≡ 1, x ∈ Ω;
2) ϕαε = 1 , x ∈ Kα
h \
⋃
β,β 6=α
Kβ
h , ϕ
α
ε = 0, x 6∈ Kα
h , 0 ≤ ϕαε ≤ 1;
3) ϕαε = Cαiε = const, 0 ≤ Cαiε ≤ 1, x ∈ Giε;
4)
∣∣∣∣∂ϕαε∂xi
∣∣∣∣ ≤ Cr−1, i = 1, 2, 3, и постоянная C не зависит от ε.
Лемма 2. Пусть Kα
h1
= K(h1, x
α) — куб с центром в точке xα и стороной
длины h1 = h − 2r , r = o(h). Если выполняется условие 1 теоремы 2, то для
вектор-функции vnpεα(x, λ) существуют оценки∫
(Kα
h \K
α
h1
)
⋂
Gε
3∑
i,k=1
γ2
ik[vnpεα ]dx = o(h3),
∫
Kz
h\K
z
h1
|vnpεα − φnp|2dx = o(h5+γ),
где vnpεα — минимизант задачи (3.2) в кубе Kα
h при R = Rnp.
Лемма 1 доказана в [6], а лемма 2 доказывается точно так же, как в [7], с учетом
положительной определенности тензора упругости {aiklm} .
Для получения оценки (3.4) построим вектор-функцию
wεh(x, λ) =
∑
α
{
w(xα) +
3∑
n,p=1
(γnp[w](xα)vnpε + gnpε )
}
ϕαε (x), (3.6)
где w(x) — произвольная вектор-функция класса C2
0 (Ω) , а gnpε (x) определена
равенствами
gnpε = ωnp[w](xα)ψnp(x− xα), ωnp[w] =
1
2
(
∂wn
∂xp
− ∂wp
∂xn
)
, (3.7)
ψnp(x) =
1
2
(xne
p − xpen).
Поскольку divgnpε = 0 , divvnpεα = 0 при x ∈ Gε
⋂
Kα
h , то в силу свойств функций
ϕαε (x) (см. лемму 1) вектор-функция wεh принадлежит классу
◦
Jε(Ω) , а так как
uε(x, λ) минимизирует функционал Φλε в этом классе, то
Φλε[uε] ≤ Φλε[wεh].
Оценим функционал в правой части этого неравенства. Поскольку w(x) ∈
∈ C2
0 (Ω) , в любом кубе Kα
h справедливо равенство
w(x) = w(xα)+
3∑
n,p=1
γnp[w](xα)φnp(x−xα)+
3∑
n,p=1
ωnp[w](xα)ψnp(x−xα)+O(h2).
Используя это равенство и учитывая (3.6), (3.7), записываем wεh(x) в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1318 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
wεh(x, λ) = w(x) +
∑
α
{
3∑
n,p=1
(γnp[w](xα)(vnpεα − φnp)− δαh (x))
}
ϕαε ,
где
|δαh | = O(h2), |Dδαh | = O(h).
Подставляя wεh(x) в функционал Φλε (2.20), получаем
Φελ[wεh] = λ
∫
Ω
ρε|w|2dx+
+
µ
2
∑
α
3∑
i,k,l,m=1
3∑
n,p,q,r=1
γnp[w](xα)γqr[w](xα)
∫
Kα
h
⋂
Gε
γik[vnpε ]γik[vqrε ]dx+
+
1
λ
∑
α
3∑
i,k,l,m=1
3∑
n,p,q,r=1
γnp[w](xα)γqr[w](xα)
∫
Kα
h
⋂
Ωε
anpqrγnp[v
ik
ε ]γqr[v
lm
ε ]dx+
+2
∫
Ω
fε · wdx+ E(ε, h, r).
Здесь остаточный член E(ε, s, h) мал, а именно, lim
h→0
lim sup
ε→0
E(ε, h, r) = 0 . Чтобы
убедиться в этом, следует учесть, что w(x) ∈ C2
0 (Ω), кубы Kα
h пересекаются по
слоям толщиной h1+γ/2, γ < 2, с конечной кратностью, и использовать лемму 2.
Отсюда, учитывая определение тензора {Ãnpqr(x, λ, ε, h, γ)} (см. (3.3)) и усло-
вия 2 и 3 теоремы 2, получаем
lim
h→0
lim sup
ε→0
Φελ[wεh] = λ
∫
Ω
ρ|w|2dx+
+ lim
h→0
lim sup
ε→0
∑
α
3∑
n,p,q,r=1
γnp[w](xα)γqr[w](xα)Ãnpqr(x
α, λ, ε, h, γ)+
+2
∫
Ω
f · wdx.
Используя условие 1 теоремы 2, приходим к неравенству (3.4).
Теперь докажем оценку снизу. Пусть {uε(x, λ)} — последовательность решений
задачи (2.20), а u(x, λ) — предел подпоследовательности {uε, ε = εk → 0} в
L2(Ω) . Предположим сначала, что u(x, λ) ∈ C2
0 (Ω) . В каждом кубе Kα
h построим
вектор-функцию
uαε (x, λ) = uε(x, λ)−
(
u(xα, λ)−
3∑
n,p=1
gnpε (x)
)
, (3.8)
где gnpε задана равенствами (3.7) только с заменой w(x) на u(x) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ 1319
Нетрудно убедиться, что uαε принадлежит классу
◦
Jε(K
α
h ) и, следовательно,
согласно определению тензора {Ãnpqr(x, λ, ε, h, γ)}
Eεγxα,h,λ[uαε , R] ≥
3∑
n,p,q,r=1
Ãnpqr(x
α, λ, ε, h, γ)RnpRqr.
Выберем здесь Rnp = γnp[u](xα) . Поскольку γnp[g
np
ε ] = 0 и, следовательно,
γnp[u
α
ε ] = γnp[uε] , имеем
µ
2
∫
Kα
h
⋂
Gε
3∑
i,k=1
γ2
ik[uε]dx+
1
λ
∫
Kα
h
⋂
Ωε
3∑
n,p,q,r=1
anpqrγnp[uε]γqr[uε]dx+
+
∫
Kα
h
∣∣∣∣∣uαε −
3∑
n,p=1
γnp[u](xα)φnp(x− xα)
∣∣∣∣∣
2
dx ≥
≥
3∑
n,p,q,r=1
Ãnpqr(x
α, λ, ε, h, γ)γnp[u](xα)γqr[u](xα). (3.9)
Рассмотрим последнее слагаемое в левой части неравенства. Используя определе-
ния вектор-функций uαε и gnpε (x) , получаем∫
Kα
h
∣∣∣∣∣uαε −
3∑
n,p=1
γnp[u](xα)φnp(x− xα)
∣∣∣∣∣
2
dx ≤
∫
Kα
h
⋂
Ω
|uε − u|2dx+
∫
Kα
h
⋂
Ω
|δαh |2dx.
Поскольку uε → u в L2(Ω) , с учетом оценок для δαh имеем
lim
ε=εk→0
∫
Kα
h
∣∣∣∣∣uαε −
3∑
n,p=1
γnp[u](xα)φnp(x− xα)
∣∣∣∣∣
2
dx = O(h7).
Тогда согласно (3.4) и (3.9)
Φελ[uε] ≥
∫
Ω
ρε|uε|2dx+
∑
α
3∑
n,p,q,r=1
Ãnpqr(x
α, λ, ε, h, γ)γnp[u](xα)γqr[u](xα)+
+2
∫
Ω
fε · uεdx+ E1(ε, h).
Учитывая гладкость u(x) и сходимость uε(x) к u(x) в L2(Ω) , получаем оценку
снизу (3.5). Мы доказали эту оценку в предположении, что u(x, λ) ∈ C2
0 (Ω) .
Для завершения доказательства нам понадобится следующая лемма.
Лемма 3. Пусть w(x) — произвольная функция из W 1
2 (Ω). Если выпол-
нено условие теоремы 2, то существует последовательность вектор-функций
{wε(x) ∈
◦
Jε(Ω), ε = εk → 0} такая, что:
1) wε(x) сходится к w(x) слабо в W 1
2 (Ω) и сильно в L2(Ω);
2) ‖wε‖W 1
2 (Ω) ≤ C‖w‖L2(Ω), где C — постоянная, не зависящая от ε и w(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1320 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
Доказательство этой леммы следует из оценки (3.4) при подходящем выборе
h = h(ε) (см., например, лемму 5.1 в [7, с. 406]).
Поскольку слабый предел решений задачи (3.4) u(x, λ) ∈
◦
W 1
2 (Ω) , существуют
такие вектор-функции uδ(x, λ) ∈ C2
0 (Ω) , что
‖u− uδ‖W 1
2 (Ω) ≤ δ. (3.10)
Определим вектор-функцию wδ(x, λ) = uδ(x, λ) − u(x, λ), и по ней построим
вектор-функцию wδε(x, λ) согласно лемме 3. Тогда wδε(x, λ) сходится к вектор-
функции wδ(x, λ) слабо в W 1
2 (Ω) и сильно в L2(Ω) при ε→ 0 и
‖wδε‖W 1
2 (Ω) ≤ C‖wδ‖W 1
2 (Ω) = ‖u− uδ‖W 1
2 (Ω).
Пусть uδε(x, λ) = uε(x, λ) + wδε(x, λ) . Ясно, что uδε(x, λ) ∈
◦
Jε(Ω), uδε схо-
дится к uδ слабо в W 1
2 (Ω) при ε→ 0 и справедлива оценка
‖uδε − uε‖W 1
2 (Ω) ≤ δ. (3.11)
Для функций uδε и uδ неравенство (3.5) доказано. Переходя в нем к пределу по
δ → 0 и учитывая (3.10), (3.11), приходим к неравенству (3.5).
Таким образом мы доказали, что предельная (по подпоследовательности) вектор-
функция u(x, λ) является решением вариационной задачи (3.4). Поскольку, в си-
лу положительной определенности тензора {Ãnpqr(x, λ)} , эта задача имеет един-
ственное решение, u(x, λ) является решением по любой подпоследовательности.
Теорема 2 доказана.
4. Локально-периодическая структура среды. В этом пункте мы предпола-
гаем, что структура области локально близка к периодической. А именно, распо-
ложение каверн такое, как описано в п. 2. Покажем, что в этом случае условие 1
теоремы 2 выполняется, причем предельный тензор описывается формулой (2.6),
где (vnp, unp) — решение задачи (2.1) – (2.5).
Построим концентрические с Πν
ε параллелепипеды
Π±νε =
{
x ∈ R3 : |xi − xνi | ≤ (θiε)
1± hσ
2
, i = 1, 2, 3
}
,
где 0 < σ < γ/4 , ε � h � 1, и свяжем с ними разбиение единицы {ϕνhε (x)} ,
удовлетворяющее таким условиям: ϕνhε (x) = 1 при x ∈ Π−νε , ϕνhε (x) = 0 при
x 6∈ Π+ν
ε ,
∑
ν
ϕνhε = 1 , |Dkϕνhε (x)| ≤ C
ε|k|hσ|k|
, |k| = 0, 1 .
Будем предполагать, что множества Gνε не пересекаются с границей ∂Kα
h и
принадлежат кубу Kα
h вместе с соответствующими параллелепипедами Πν
ε .
Рассмотрим ячеечную задачу (2.1) – (2.5) при y = xν . Введем вектор-функцию
ûnp(x, y) такую, что ûnp(x, y) = w̃np(x) при x ∈ Π \Gy и ûnp(x, y) = ṽnp(x) при
x ∈ Gy . Для функции ûnp(x, y) можно получить оценку
|DyD
k
xû
np(x, y)| < C, x ∈ Π+δ \Π−δ, |k| = 0, 1, (4.1)
где Π±δ =
{
x ∈ R3 : |xi| < θi
1± δ
2
, i = 1, 2, 3
}
, а C не зависит от y ∈ Ω .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ 1321
Будем искать минимизант vnpεα(x) в задаче (3.2) при R = Rnp в виде
vnpεα(x) = V npε (x, xα) + ζεα(x), (4.2)
где V npε (x, y) = φnp(x− y) + ε
∑
ν
(
ûnp
(
x− xν
ε
)
− φnp
(
x− xν
ε
))
ϕνhε (x) .
Вектор-функция ζεα(x) должна минимизировать в классе
◦
Jε(K
α
h ) функционал
Φ̃ελ[ζεα] =
µ
2
∫
Kα
h
⋂
Gε
3∑
i,k=1
γ2
ik[ζεα]dx+
+
1
λ
∫
Kα
h
⋂
Ωε
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[ζεα]γlm[ζεα]dx+ h−2−γ
∫
Kα
h
|δεα|2dx+
+
2
λ
∫
Kα
h
⋂
Ωε
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[V npε ]γlm[ζεα]dx+ µ
∫
Kα
h
⋂
Gε
3∑
i,k=1
γik[ζεα]γik[V npε ]dx+
+h−2−γ
∫
Kα
h
(ζεα, V
np
ε − φnp)dx.
Представим функционал Φελ[ζεα] в виде
Φελ[ζεα] = ‖ζεα‖2h − 2
∫
Kα
h
3∑
i,k,l,m=1
∂
∂xi
(aiklmγlm[V npε ])ekζεαdx+
+2
∫
∂Kα
h
(Ts[V
np
ε ], ζεα)dΓ + 2h−2−γ
∫
Kα
h
(ζεα, V
np
ε − φnp)dx, (4.3)
где
‖ζεα‖2h =
µ
2
∫
Kα
h
⋂
Gε
3∑
i,k=1
γ2
ik[ζεα]dx+
+
1
λ
∫
Kα
h
⋂
Ωε
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[ζεα]γlm[ζεα]dx+ h−2−γ
∫
Kα
h
|ζεα|2dx,
а Ts[u] определено равенством (1.6).
Поскольку Φελ[ζεα] ≤ Φελ[0] = 0 , то
‖ζεα‖2h ≤ 2
∣∣∣∣∣∣∣
∫
∂Kα
h
(Ts[V
np
ε ], ζεα)dΓ
∣∣∣∣∣∣∣+ 2
∣∣∣∣∣∣∣h−2−γ
∫
Kα
h
(ζεα, V
np
ε − φnp)dx
∣∣∣∣∣∣∣+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1322 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
+2
∣∣∣∣∣∣∣
∫
Kα
h
3∑
i,k,l,m=1
∂
∂xi
(aiklmγlm[V npε ])ekζεαdx
∣∣∣∣∣∣∣ = I1 + I2 + I3. (4.4)
С помощью оценки (4.1), учитывая свойства разбиения единицы, при x ∈
∈ Π+ε
ν
⋂
Π+ε
µ имеем∥∥∥∥∥∥
3∑
i,k,l,m=1
∂
∂xi
(aiklmγlm[V npε ])ek
∥∥∥∥∥∥
L2(Kα
h
⋂
Ωε)
≤ Ch
3−3σ
2 ,
и, значит,
I3 ≤ Ch
5+γ−3σ
2 ‖ζεα‖h. (4.5)
Учитывая определение вектор-функции V npε , получаем оценку для I2 :
I2 ≤ 2h−2−γ‖V npε − φnp‖L2(Kα
h )‖ζεα‖h ≤ C1εh
1
2−
γ
2 ‖ζεα‖h. (4.6)
Далее, оценивая I1 с помощью неравенства Шварца, записываем I1 ≤
≤ ‖Ts[V npε ]‖L2(∂Kα
h )‖ζεα‖L2(∂Kα
h ) . Нетрудно убедиться, что ‖Ts[V npε ]‖L2(∂Kα
h ) ≤
≤ C2h и, значит,
I1 ≤ C2h‖ζεα‖L2(∂Kα
h ). (4.7)
Для оценки поверхностного интеграла ‖ζεα‖L2(∂Kα
h ) воспользуемся следующей
леммой [7].
Лемма 4. Пусть K — куб в Rn со стороной h, а w(x) — произвольная
функция из W 1
2 (K). Тогда выполняется неравенство
∫
∂K
|w|2dΓ ≤ 2n
κ∫
K
|∇w|2dx+
(
4
κ
+
1
h
)∫
K
|w|2dx
,
где ∂K — граница куба, κ — любое положительное число.
Согласно этой лемме
‖ζεα‖2L2(∂Kα
h ) ≤ 6
κ ∫
Kα
h
|∇ζεα|2dx+
(
4
κ
+
1
h
) ∫
Kα
h
|ζεα|2dx
.
Полагая κ = h1+γ/2, находим
‖ζεα‖L2(∂Kα
h ) ≤ C3h
1
2 + γ
4 ‖‖ζεα‖h. (4.8)
Из (4.4) с помощью (4.5) – (4.8) получаем
‖ζεα‖2h ≤ C(I1 + I2 + I3) ≤ Ch3+γ/2. (4.9)
Таким образом, функция V npε (x, y) при достаточно малых ε и h аппрок-
симирует решение задачи (3.2). Подставив vnpεα(x) в формулу (3.3) для тензора
{Ãnpqr(y, ε, h, λ, γ)} и выделив главные слагаемые, квадратичные относительно
γik[V npε ] , а остальные оценив с учетом леммы 2 и (4.9), получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ 1323
lim
h→0
lim inf
ε→0
Ãnpqr(y, ε, h, λ, γ)
h3
= lim
h→0
lim sup
ε→0
Ãnpqr(y, ε, h, λ, γ)
h3
=
=
µ
2
∫
Fy
3∑
i,k=1
γik[ṽnp]γik[ṽqr]dx+
1
λ
∫
Π\Fy
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[w̃np]γlm[w̃qr]dx,
откуда и следует формула (2.6).
5. Существование и аналитичность решения задач (2.13) – (2.17) и (2.1) –
(2.3).
5.1. Рассмотрим сначала задачу (2.13) – (2.17). Введем
◦
Hε — гильбертово про-
странство комплекснозначных вектор-функций из
◦
W 1
2(Ω), соленоидальных в об-
ластях Giε, i = 1, 2, . . . , N(ε), с нормой
‖u‖2 =
∫
Ω
3∑
i,j=1
∂ui
∂xj
∂ūi
∂xj
dx+
∫
Ω
3∑
i=1
uiūidx.
Нетрудно убедиться, что вектор-функция uε(x), определенная равенствами
uε = w̃ε при x ∈ Ωε и uε = ṽε при x ∈ Gε , где {w̃ε, ṽε} — решение задачи
(2.13) – (2.18), удовлетворяет равенству
Aε,λ[uε, vε] = Fε[vε] ∀vε ∈
◦
Hε. (5.1)
Здесь Aε,λ[uε, vε] — полуторалинейная форма
Aε,λ[uε, vε] = λ
∫
Ω
ρεuε · v̄εdx+
µ
2
∫
Gε
3∑
i,k=1
γik[uε]γik[v̄ε]dx+
+
1
λ
∫
Ωε
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[uε]γlm[v̄ε]dx, (5.2)
а Fε[vε] — антилинейный функционал
Fε[vε] =
∫
Ω
fε · v̄εdx. (5.3)
Функция ρε и вектор-функция fε введены в (2.20).
Назовем слабым решением задачи (2.13) – (2.18) вектор-функцию из
◦
Hε , кото-
рая удовлетворяет тождеству (5.1).
Форма Aε,λ[uε, vε] ограничена в пространстве
◦
Hε , т. е.
|Aελ[uε, vε]| ≤ C‖uε‖‖vε‖,
где постоянная C > 0 зависит от λ, Reλ > 0 , ρε , µ и {aiklm} .
Рассмотрим Aελ[uε, uε] . Легко видеть, что выполняется неравенство
|Aελ[uε, uε]| ≥
1√
2
Reλ
∫
Ω
ρε|uε|2dx+
µ
2
∫
Gε
3∑
i,k=1
|γik[uε]|2dx+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1324 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
+
Reλ
|λ|2
∫
Ωε
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[uε]γlm[ūε]dx
. (5.4)
Отсюда, учитывая положительную определенность тензора {aiklm} и применяя
неравенство Корна [8], получаем
|Aελ[uε, uε]| ≥ C‖uε‖2.
Здесь постоянная C > 0 не зависит от uε .
Таким образом, форма Aε,λ[uε, vε] ограничена и коэрцитивна, а функционал
Fε[vε], очевидно, ограничен в
◦
Hε . Следовательно, согласно теореме Лакса – Миль-
грама [1] задача (5.1) имеет единственное решение при любом λ , Reλ > 0 . По-
скольку форма Aε,λ[uε, vε] аналитически зависит от λ , то и решение uε задачи
(5.1) будет аналитично по λ в полуплоскости Reλ > 0 (см. [9]).
Отметим еще, что из (5.1) – (5.4) следуют оценки
‖uε‖L2(Ω) ≤
C1
Reλ
, (5.5)
‖uε‖W 1
2 (Ω) ≤
C|λ|
Re |λ|
. (5.6)
5.2. Рассмотрим теперь задачу (2.1) – (2.5) при Reλ > 0 . Пусть ϕ(x) — гладкая
функция на Π такая, что ϕ(x) ≡ 0 на Π− и ϕ(x) ≡ 1 на Π+ \ Π . Здесь Π± —
растянутые в
1
ε
раз параллелепипеды Π±νε с центром xν = y .
Положим unp = ṽnpχGy + (w̃np − φnp(x)ϕ(x))(1 − χnp) , где {ṽnp, w̃np} —
решение задачи (2.1) – (2.5). Тогда unp(x) является решением задачи
λµ∆unp(x) = ∇pnp, divunp(x) = 0, x ∈ Gy, (5.7)
3∑
i,k,l,m=1
∂
∂xi
(aiklmγlm[unp]) ek =
3∑
i,k,l,m=1
∂
∂xi
(aiklmγlm[φnpϕ]) ek, x ∈ Π \Gy,
(5.8)
unp+ = unp−, x ∈ ∂Gy, (5.9)
µ
3∑
i,k=1
{γik[unp]}−νiek − p−ν =
1
λ
3∑
i,k,l,m=1
aiklm{γlm[unp]}+νiek, x ∈ ∂Gy,
(5.10)
unp ∈ H1
per(Π), (5.11)
где знаками ± обозначены пределы значений функций на границе раздела ∂Gy :
знак – соответствует области Gy , а + — области Π \Gy .
Дополним задачу (5.7) – (5.11) условием∫
Π
unpdx = 0 (5.12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ 1325
и обозначим через Ĥ1
per(Π) множество вектор-функций из H1
per(Π) , соленоидаль-
ных в Gy и удовлетворяющих условию (5.12).
Назовем слабым решением задачи (5.7) – (5.12) вектор-функцию из Ĥ1
per(Π) ,
удовлетворяющую тождеству
A[u, v] = 〈g, v〉 ∀v ∈ Ĥ1
per(Π), (5.13)
где
A[u, v] =
µ
2
∫
Gy
3∑
i,k=1
γik[u]γik[v̄]dx+
1
λ
∫
Π\Gy
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[uw]γlm[v̄]dx (5.14)
— полуторалинейная форма,
〈g, v〉 =
∫
Π\Gy
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[φnpϕ]γlm[v̄]dx (5.15)
— антилинейный функционал в пространстве Ĥ1
per(Π) .
Как и в предыдущем случае, устанавливаем, что форма A[w, v] ограничена и
коэрцитивна при Reλ > 0 , а функционал 〈g, v〉 ограничен в Ĥ1
per(Π) . При этом
используется неравенство Корна для Π -периодических вектор-функций, удовлет-
воряющих (5.12) [8]. В силу теоремы Лакса – Мильграма существует единственное
решение unp(x, λ) задачи (5.13), которое аналитично при Reλ > 0 [9].
Установим теперь оценку для unp(x, λ) . Полагая в (5.13) u = v = unp и
учитывая (5.14), (5.15), получаем
µ
2
∫
Gy
3∑
i,k=1
|γik[unp]|2dx+
Reλ+ |Imλ|
|λ|2
∫
Π\Gy
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[unp]γlm[ūnp]dx ≤
≤ 2
|λ|
∫
Π\Gy
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[φpqϕ]γlm[φpqϕ]dx
1/2
×
×
∫
Π\Gy
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[unp]γlm[ūnp]dx
1/2
.
Отсюда следуют оценки∫
Gy
3∑
i,k=1
|γik[unp]|2dx ≤ C 1
|λ|
, (5.16)
∫
Π\Gy
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[unp]γlm[ūnp]dx ≤ C. (5.17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1326 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
Решение {w̃np, ṽnp} задачи (2.1) – (2.5), определенное равенствами w̃np =
= unp(1 − χGy ) + φnpϕ , ṽnp = unpχGy , имеет соответствующие аналитические
свойства и оценки. Поэтому из (2.6) следует, что тензор {Ãnpqr(x, λ)} положи-
тельно определен при λ > 0 , аналитичен по λ при Reλ > 0 и имеет место оценка
(2.7). Кроме того, он обладает симметриями Ãiklm = Ãkilm = Ãlmik = Ãikml и
Ãiklm[λ] = Ãiklm[λ̄] .
6. Доказательство основной теоремы. Как было показано в п. 4, для локально
периодической структуры выполняется условие 1 теоремы 2 и предельный тензор
{Ãnpqr(x, λ)} определяется формулой (2.6). Нетрудно убедиться, что выполняются
также условия 2 теоремы 2 и при этом предельная плотность среды определяется
равенством ρ(x) = ρf
|Gx|
|Π|
+ ρs
Π \ |Gx|
|Π|
, а предельная плотность начального им-
пульса — равенством f(x) = ρ(x)U(x) , где U(x) =
ρf
ρ
|Gx|
|Π|
V 1 +
ρs
ρ
Π \ |Gx|
|Π|
U1 .
Поэтому согласно теореме 2 решение вариационной задачи (2.19), (2.20) (т. е.
решение краевой задачи (2.13) – (2.18) при λ > 0 ) сходится слабо в
◦
W 1
2 (Ω) и,
значит, сильно в L2(Ω) , к вектор-функции w(x, λ) ∈
◦
W 1
2 (Ω) , которая является ре-
шением вариационной задачи (2.21), (2.22). Следовательно, w(x, λ) удовлетворяет
тождеству
λ
∫
Ω
ρw · ζdx+
∫
Ω
3∑
n,p,q,r
Ãnpqr(x, λ)γnp[w]γqr[ζ]dx =
∫
Ω
ρU · ζdx. (6.1)
Если вектор-функцию ζ(x) выбрать достаточно гладкой (например, ζ ∈
◦
W 1
2 (Ω) ∩
∩W 2
2 (Ω) ), то тождество (6.1) можно преобразовать к виду
λ
∫
Ω
ρw(x, λ) · ζ(x)dx−
∫
Ω
w(x, λ) ·
3∑
n,p,q,r
∂
∂xn
(Ãnpqr(x, λ)γqr[ζ])epdx =
=
∫
Ω
ρU(x) · ζ(x)dx. (6.2)
Поскольку решение uε(x, λ) = {w̃ε(x), ṽε(x)} задачи (2.13) – (2.18) аналитично по
λ, Reλ > 0, и выполняются оценки (5.5), (5.6), из теоремы Витали следует, что
uε(x, λ) сходится и при комплексных λ, Reλ > 0, к аналитической функции
w(x, λ) , которая при λ > 0 совпадает с решением задачи (2.21), (2.22). При этом
сходимость имеет место в метрике L2(Ω) и в слабой топологии
◦
W 1
2 (Ω) равномерно
по λ на каждом компактном множестве из полуплоскости Reλ > 0 . Следователь-
но, w(x, λ) ∈
◦
W 1
2 (Ω) (∀λ , Reλ > 0 ) и, так как тензор {Ãnpqr(x, λ)} аналитичен
по λ (Reλ > 0 ), w(x, λ) удовлетворяет тождествам (6.1), (6.2) и при комплексном
λ . Кроме того, для w(x, λ) выполняются оценки вида (5.5), (5.6).
Рассмотрим вектор-функцию
u(x, t) =
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
w(x, λ)
λ
eλtdλ. (6.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ 1327
В силу аналитичности w(x, λ) и оценки (5.5) этот интеграл сходится в смысле
L2(R;L2(Ω)) и u(x, t) = 0 при t < 0 . Покажем, что u(x, t) является обобщенным
решением задачи (1.1) – (1.9).
Умножим тождество (6.2) на функцию
eλt
2πiλ2
η′′(t) , где η(t) ∈ C2
0 (−T, T ) , и
проинтегрируем по λ вдоль прямой (σ − i∞, σ + i∞) и по t от 0 до T . Тогда,
учитывая (2.8) и (6.3), после несложных преобразований получаем∫
ΩT
ρ(x)u(x, t) · ζ(x)η′′(t)dxdt−
−
∫
ΩT
t∫
0
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
(Anpqr(x, t− τ)γqr[ζ(x)η′(t)])u(x, τ) · epdτdxdt =
=
∫
Ω
V (x) · ζ(x)η(0)dx. (6.4)
Поскольку линейные комбинации вектор-функций ζ(x)η(t) (ζ ∈ W 2
2 (Ω) ∩
∩
◦
W 1
2 (Ω) , η ∈ W 2
2 (0, T ) , η(T ) = η′(T ) = 0 ) плотны в метрике W 2
2 (ΩT ) в мно-
жестве вектор-функций ψ(x, t) ∈ W 2
2 (ΩT ) , удовлетворяющих условию ψ(x, T ) =
=
∂ψ
∂t
(x, T ) = 0 , ψ(x, t)|∂Ω×[0,T ] = 0 , из (6.4) следует равенство∫
ΩT
ρu · ∂
2ψ
∂t2
dxdt−
−
∫
ΩT
t∫
0
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
(
Anpqr(x, t− τ)γqr
[
∂ψ
∂t
])
u(x, τ) · epdτ
dxdt =
=
∫
Ω
ρV · ψ(x, 0)dx. (6.5)
Это равенство вместе с условием u(x, t)|∂Ω×[0,T ] = 0 означает, что u(x, t) является
обобщенным решением задачи (2.10) – (2.12).
Осталось показать, что вектор-функция смещения ûε(x, t) (2.9) сходится при
ε→ 0 к u(x, t) в метрике L2(ΩT ) .
Прежде всего заметим, что для решения {uε, vε} задачи (2.21), (2.22) имеет
место равенство∫
Ωε
ρs
(
∂uε
∂t
)2
dx+
∫
Ωε
3∑
n,p,q,r=1
anpqrγnp[uε]γqr[uε]dx+
+
∫
Gε
ρfv
2
εdx+
t∫
0
∫
Gε
3∑
n,p=1
γ2
np[vε]dxdτ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1328 М. В. ГОНЧАРЕНКО, Е. Я. ХРУСЛОВ
=
∫
Ωε
ρs(U
1
ε )2dx+
∫
Gε
ρf (V 1
ε )2dx. (6.6)
Отсюда, учитывая положительную определенность тензора {anpqr} и используя
неравенство Корна, получаем, что вектор-функция смещения ûε(x, t) (2.9) огра-
ничена равномерно по ε в метрике W 1
2 (ΩT ) . Следовательно, множество вектор-
функций ûε(x, t) компактно в L2(ΩT ) и поэтому достаточно доказать, что ûε(x, t)
сходится к u(x, t) слабо в L2(ΩT ) .
Возьмем произвольные ζ ∈ L2(Ω) и η ∈ C2
0 [0, T ] . Из определения ûε(x, t)
(2.9) следует, что
t∫
0
ûε(x, s)ds =
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
uε(x, λ)
λ2
eλtdλ.
Учитывая это, с помощью интегрирования по частям получаем
T∫
0
∫
Ω
ûε · ζηdxdt =
∫
Ω
T∫
0
t∫
0
ûε · ζdsη′dxdt =
=
1
2πi
∫
Ω
T∫
0
σ+i∞∫
σ−i∞
uε
λ2
· ζeλtdλη′dtdx =
=
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
1
λ2
∫
Ω
ζ · uε(x, λ)dx
T∫
0
eλtη′dtdλ. (6.7)
Здесь замена порядка интегрирования законна, так как в силу оценок (5.5), (5.6)
выполняются неравенства
∫
Ω
|uε · ζ|dx ≤ C1,
T∫
0
|eλtη′|dt ≤ C2
и, значит, последний интеграл в (6.7) сходится абсолютно.
Аналогичным образом, учитывая (6.3), получаем
T∫
0
∫
Ω
u · ζηdxdt =
1
2πi
σ+i∞∫
σ−i∞
1
λ2
∫
Ω
w · ζdx
T∫
0
eλtη′dtdλ. (6.8)
Как было показано в начале этого пункта, uε(x, λ) сходится к w(x, λ) в метрике
L2(Ω) равномерно по λ на любом компактном множестве из полуплоскости Reλ >
> 0 . Поэтому в правых частях (6.7) и (6.8) можно выполнить предельный переход
под знаком интеграла. В результате получим
lim
ε→0
T∫
0
∫
Ω
ûε · ζηdxdt =
T∫
0
∫
Ω
u · ζηdxdt. (6.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ УВЛАЖНЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ 1329
Поскольку линейные комбинации вектор-функций ζ(x)η(t) плотны в L2(ΩT ) , из
(6.9) следует, что вектор-функция ûε(x, t) сходится слабо в L2(ΩT ) к вектор-
функции u(x, t) .
Теорема 1 доказана.
1. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. – М.: Мир, 1984. – 472 с.
2. Sanchez-Hubert J. Asymptotic study of the macroscopic behaviour of solid liquid mixture // Math. Meth.
Appl. Sci. – 1980. – № 2. – P. 1 – 11.
3. Gilbert R. P., Mikelić A. Homogenizing the acoustic properties of the seabed // J. Nonlinear Anal. –
2000. – 40. – P. 185 – 212.
4. Мейерманов А. М. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сей-
смоакустики в упругих пористых средах // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, № 3. – C. 646 – 667.
5. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. М. Усреднение дифференциальных операторов. – М.:
Физматгиз., 1998. – 325 с.
6. Фенченко В. Н. Асимптотика потенциала электростатического поля в областях с мелкозернистой
границей // Исследования по теории операторов и их приложения: Сб. научн. трудов ФТИНТ АН
Украины. – Киев: Наук. думка, 1979. – C. 129 – 147.
7. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Усредненные модели микронеоднородных сред. – Киев: Наук. думка,
2005. – 189 с.
8. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных
упругих сред. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. – 312 с.
9. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1972. – 563 c.
Получено 23.03.09,
после доработки — 07.07.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
|