Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом

Исследованы свойства фундаментального решения и установлена корректная разрешимость задачи Коши для одного класса вырожденных уравнений типа Колмогорова с {p→,h→}-параболической частью по основной группе переменных и неположительным векторным родом в случае, когда решения являются бесконечно диффере...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Івасишен, С.Д., Літовченко, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166270
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом / С.Д. Івасишен, В.А. Літовченко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1330–1350. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166270
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1662702020-02-19T01:28:04Z Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом Івасишен, С.Д. Літовченко, В.А. Статті Исследованы свойства фундаментального решения и установлена корректная разрешимость задачи Коши для одного класса вырожденных уравнений типа Колмогорова с {p→,h→}-параболической частью по основной группе переменных и неположительным векторным родом в случае, когда решения являются бесконечно дифференцируемыми функциями, а их начальные значения могут быть обобщенными функциями типа ультрараспределений Жевре. We study the properties of the fundamental solution and establish the correct solvability of the Cauchy problem for a class of degenerate Kolmogorov-type equations with {p→,h→}-parabolic part with respect to the main group of variables and nonpositive vector genus in the case where the solutions are infinitely differentiable functions and their initial values are generalized functions in the form of Gevrey ultradistributions. 2010 Article Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом / С.Д. Івасишен, В.А. Літовченко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1330–1350. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166270 517.956.4 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Івасишен, С.Д. Літовченко, В.А. Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом Український математичний журнал
description	Исследованы свойства фундаментального решения и установлена корректная разрешимость задачи Коши для одного класса вырожденных уравнений типа Колмогорова с {p→,h→}-параболической частью по основной группе переменных и неположительным векторным родом в случае, когда решения являются бесконечно дифференцируемыми функциями, а их начальные значения могут быть обобщенными функциями типа ультрараспределений Жевре.
format	Article
author	Івасишен, С.Д. Літовченко, В.А.
author_facet	Івасишен, С.Д. Літовченко, В.А.
author_sort	Івасишен, С.Д.
title	Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом
title_short	Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом
title_full	Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом
title_fullStr	Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом
title_full_unstemmed	Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом
title_sort	задача коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу колмогорова з недодатним родом
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166270
citation_txt	Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом / С.Д. Івасишен, В.А. Літовченко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1330–1350. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT ívasišensd zadačakošídlâodnogoklasuvirodženihparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorovaznedodatnimrodom AT lítovčenkova zadačakošídlâodnogoklasuvirodženihparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorovaznedodatnimrodom
first_indexed	2025-07-14T21:05:38Z
last_indexed	2025-07-14T21:05:38Z
_version_	1837657896902459392
fulltext	УДК 517.956.4 С. Д. Iвасишен (Нац. техн. ун-т України „КПУ”, Київ), В. А. Лiтовченко (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича) ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА З НЕДОДАТНИМ РОДОМ We investigate properties of the fundamental solution and establish the correct solvability of the Cauchy problem for a class of degenerate Kolmogorov-type equations with {−→p , −→ h } -parabolic part with respect to the main group of variables and nonpositive vector genus in the case where solutions are infinitely differentiable functions and their initial values may be generalized functions of the Gevrey ultradistributions type. Исследованы свойства фундаментального решения и установлена корректная разрешимость задачи Ко- ши для одного класса вырожденных уравнений типа Колмогорова с {−→p , −→ h } -параболической частью по основной группе переменных и неположительным векторным родом в случае, когда решения явля- ются бесконечно дифференцируемыми функциями, а их начальные значения могут быть обобщенными функциями типа ультрараспределений Жевре. Вивчаючи на початку 40-х рокiв минулого столiття броунiвський рух фiзичної си- стеми, А. М. Колмогоров [1] отримав ультрапараболiчне рiвняння, яке задовольняє щiльнiсть ймовiрностi можливих значень координат системи та їх похiдних за часо- вою змiнною. Як згодом з’ясувалося, воно має важливе значення при дослiдженнi теплових i дифузiйних процесiв з iнерцiєю в однорiдних середовищах. Поява цього рiвняння стала поштовхом до зародження теорiї ультрапараболiчних рiвнянь типу Колмогорова i, взагалi, теорiї вироджених параболiчних рiвнянь типу Колмогорова довiльних порядкiв. Розвитком цих теорiй займалося чимало як вiтчизняних, так i зарубiжних математикiв (див. огляд у [2]). Це вiдбувалося в основному шляхом розширення вiдомих та означення нових класiв ультрапараболiчних рiвнянь типу Колмогорова (завдяки збiльшенню порядку рiвняння, узагальненню параболiчностi його невиродженої частини, послабленню умов на коефiцiєнти рiвняння, передба- ченню наявностi в його структурi рiзних типiв вироджень за часовою змiнною тощо), а також побудови й дослiдження властивостей фундаментального розв’язку та його можливих застосувань. У роботi [3] розглянуто новий клас вироджених рiвнянь, якi є ще одним уза- гальненням рiвняння дифузiї з iнерцiєю Колмогорова. Цi рiвняння мають вигляд (∂t + P (t, ∂x))u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Πn (0,T ], (1) де P (t, ∂x) := − ∑n2 j=1 x1j∂x2j − ∑n3 j=1 x2j∂x3j −A(t, i∂x1) , a A(t, i∂x1) — дифе- ренцiальний вираз за змiнною x1 розмiрностi n1 з не залежними вiд просторової змiнної коефiцiєнтами такий, що вiдповiдний вираз ∂t −A(t, i∂x1 ) (2) є {−→p , −→ h } -параболiчним на множинi Πn1 (0,T ] у сенсi [4] (зокрема, вiн може бу- ти параболiчним у сенсi Петровського, Ейдельмана та Шилова [5]). Тут xj := := (xj1; . . . ;xjnj ) , j ∈ {1; 2; 3} , x := (x1;x2;x3) ; n1 , n2 i n3 — такi натуральнi числа, що n3 ≤ n2 ≤ n1 , n := n1 +n2 +n3 , a Πm (τ,T ] := {(t, ξ)\|t ∈ (τ, T ], ξ ∈ Rm} . c© С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО, 2010 1330 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1331 Для такого класу рiвнянь у випадку додатного векторного роду виразу (2) встанов- лено властивостi фундаментального розв’язку задачi Кошi (ФРЗК), якi дали змогу використати простори типу S iз [6], елементи яких допускають аналiтичне продов- ження в комплексний простiр до цiлих функцiй, як основне середовише, в якому дослiджено зазначену задачу. При цьому з’ясувалося, що топологiчно спряжений простiр iз тим простором типу S , до якого належить ФРЗК, становить множину початкових даних, з якими вiдповiдна задача Кошi коректно розв’язна, а її розв’язок є звичайною нескiнченно диференцiйовною функцiєю за просторовою змiнною. У цiй статтi зазначенi результати з [3] поширюються на випадок рiвнянь (1) з недодатним векторним родом виразу (2). Слiд зазначити, що недодатнiсть роду зумовлює послаблення гладкостi елементiв вiдповiдних просторiв типу S , якi тут є середовищем дослiдження, що внеможливило використання методiв дослiдження властивостей ФРЗК з [3]. 1. Постановка задачi. Будемо використовувати позначення iз [3], a також наве- денi там вiдомостi з [6] про простори типу S . Розглянемо рiвняння (1), в якому A(t, i∂x1 ) := ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 ak1(t)i\|k1\|∗∂k1x1 — диференцiальний вираз порядку −→p := (p1; . . . ; pn1 ) ≥ −→1 . Припускатимемо, що коефiцiєнти ak1(·) : [0;T ] → C — неперервнi функцiї такi, що вiдповiдний дифе- ренцiальний вираз (2) в шарi Πn1 (0,T ] є рiвномiрно параболiчним у сенсi [4] (тут −→ h := (h1; . . . ;hn1 ) — векторний показник параболiчностi, −→ 0 < −→ h ≤ −→p ). Через −→µ позначимо векторний рiд виразу (2), тобто вектор з координатами µj := sup νj , j ∈ Nn1 , де вектор −→ν := (ν1; . . . ; νn1 ) такий, що в областi G−→ν := { (ξ + iη) ∈ Cn1 ∣∣ \|ηj \| ≤ cj(1 + \|ξj \|)νj , cj > 0, j ∈ Nn1 } виконується нерiвнiсть ReA(t, ξ + iη) ≤ −δ\|ξ\| −→ h ∗ , t ∈ [0;T ], зi сталою δ > 0 , яка не залежить вiд t . Iз дослiджень, проведених у [5], фактично випливає, що −→µ ≤ −→1 . Далi вважатимемо, що для рiвняння (1) векторний рiд є недодатним, тобто −→µ ≤ −→0 . Прикладами рiвнянь, для яких виконуються наведенi припущення, є рiвняння (1), в яких вираз (2) рiвномiрно параболiчний за Шиловим з родом µ ≤ 0 (тут −→µ = (µ; . . . ;µ) ). Якщо для рiвняння (1) задати початкову умову u(t, ·)\|t=0 = f, f ∈ (S −→ β −→α )′, (3) то розв’язком задачi Кошi (1), (3) назвемо функцiю u , яка диференцiйовна по t , нескiнченно диференцiйовна по x , задовольняє рiвняння (1) у звичайному розу- мiннi, а початкову умову (3) у сенсi збiжностi у просторi (S −→ β −→α )′ . 2. ФРЗК та його властивостi. Припустивши регулярнiсть початкового функ- цiонала f та його перетворення Фур’є F [f ] , мiркуючи при цьому формально так, як на початку п. 2 з [3], одержуємо формулу uτ (t, x) = ∫ Rn G(t, x; τ, ξ)f(ξ)dξ, (t, x) ∈ Πn (τ ;T ], (4) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1332 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО в якiй G(t, x; τ, ξ) := ( T x,ξt−τF −1 η→x[V (t, τ, η)] ) (t, x; τ, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, (5) де V (t, τ, η) := exp { ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 t∫ τ ak1(θ)(η′1 + (θ − τ)η′2 + 2−1(θ − τ)2η3)k ′ 1× ×(η′′1 + (θ − τ)η′′2 )k ′′ 1 (η′′′1 )k ′′′ 1 dθ } , 0 ≤ τ < t ≤ T, η ∈ Rn, (6) a (T η,ξt f)(x) := f(x1 − ξ1, x2 + tη̂1 − ξ2, x3 + tη′2 + 2−1t2η′1 − ξ3). Лема 1. Iснують додатнi сталi c, A i δ такi, що для всiх q = (q1; q2; q3) ∈ ∈ Zn+, ξ = (ξ1; ξ2; ξ3) ∈ Rn i {t; τ} ⊂ [0;T ], τ < t, виконується нерiвнiсть \|∂qξV (t, τ, ξ)\| ≤ cA\|q\|∗(t− τ)−(\|−→µ q1/ −→ h \|∗+\|−̂→µ q2/ −̂→ h \|∗+\|−→µ ′q3/ −→ h ′\|∗)q q1( −→ 1 −−→µ / −→ h ) 1 × ×qq2( −̂→ 1 −−̂→µ / −̂→ h ) 2 q q3( −→ 1 ′−−→µ ′/ −→ h ′) 3 e−δ(t−τ)(\|ξ1\| −→ h ∗ +(t−τ)\| −̂→ h \|∗ \|ξ2\| −̂→ h ∗ +(t−τ)2\| −→ h ′\|∗ \|ξ3\| −→ h ′ ∗ ) (тут −̂→r := (r1; . . . ; rn2 ) i −→r ′ := (r1; . . . ; rn3 ) для −→r ∈ Rn ). Доведення. Виконавши в iнтегралi з формули (6) замiну змiнної iнтегрування згiдно з правилом θ − τ = (t− τ)χ, одержимо V (t, τ, η) = exp { (t− τ) 1∫ 0 ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 ak1(τ + χ(t− τ))(η′1 + χη′2 + 2−1χ2η3)k ′ 1× ×(η′′1 + χη′′2 )k ′′ 1 (η′′′1 )k ′′′ 1 dχ } . Для знаходження значення похiдної для функцiї V у точцi ξ ∈ Rn при фiксо- ваних t i τ , 0 ≤ τ < t ≤ T, скористаємося формулою Кошi ∂qξV (t, τ, ξ) = q! (2πi)n ∫ ΓR V (t, τ, z) (z − ξ)q+ −→ 1 dz, q ∈ Zn+, (7) де ΓR := {ΓR11 , . . . ,ΓR1n1 ; ΓR21 , . . . ,ΓR2n2 ; ΓR31 , . . . ,ΓR3n3 } , a ΓRlj — коло з цен- тром у точцi ξlj + i0 i вiдповiдним радiусом R1j :=  K0j(1 + \|ξ1j + (t− τ)χjξ2j + 2−1(t− τ)2χ2 jξ3j \|)µj , j ∈ Nn3 , K0j(1 + \|ξ1j + (t− τ)χjξ2j \|)µj , j ∈ {n3 + 1; . . . ;n2}, K0j(1 + \|ξ1j \|)µj , j ∈ {n2 + 1; . . . ;n1}, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1333 R2j = R3j = R1j , j ∈ Nn3 , R2j = R1j , j ∈ {n3 + 1; . . . ;n2} (тут χj ∈ [0; 1] , µj — координати векторного роду −→µ диференцiального виразу (2), a K0j — досить малi додатнi сталi величини, уточнення яких буде здiйснено згодом). Передусiм доведемо, що при належному виборi K0j для всiх точок z = x+iy ∈ ∈ Cn таких, що z = (z1j ∈ ΓR1j , j ∈ Nn1 ; z2j ∈ ΓR2j , j ∈ Nn2 ; z3j ∈ ΓR3j , j ∈ Nn3) (тобто z ∈ ΓR ), виконуються нерiвностi \|y1j + (t− τ)χjy2j + 2−1(t− τ)2χ2 jy3j \| ≤ ≤ c′j(1 + \|x1j + (t− τ)χjx2j + 2−1(t− τ)2χ2 jx3j \|)µj , j ∈ Nn3 , (8) \|y1j + (t− τ)χjy2j \| ≤ c′′j (1 + \|x1j + (t− τ)χjx2j \|)µj , j ∈ {n3 + 1; . . . ;n2}, (9) \|y1j \| ≤ c′′′j (1 + \|x1j \|)µj , j ∈ {n2 + 1; . . . ;n1}, χj ∈ [0; 1], 0 ≤ τ < t ≤ T, (10) де c′j , c ′′ j , c ′′′ j — додатнi сталi з означення роду −→µ , якi не залежать вiд χj , t i τ . Для цього скористаємося нерiвностями \|ylj \| ≤ K0j(1 + \|ξ1j + (t− τ)χjξ2j + 2−1(t− τ)2χ2 jξ3j \|)µj , j ∈ Nn3 , l ∈ N3, (11) \|ylj \| ≤ K0j(1 + \|ξ1j + (t− τ)χjξ2j \|)µj , j ∈ {n3 + 1; . . . ;n2}, l ∈ N2, \|y1j \| ≤ K0j(1 + \|ξ1j \|)µj , j ∈ {n2 + 1; . . . ;n1}, χj ∈ [0; 1], 0 ≤ τ < t ≤ T, ylj = Imzlj , zlj ∈ ΓRlj , якi одержуються безпосередньо, виходячи з аналiтичного опису ΓRlj . З (11) для zlj = xlj + iylj ∈ ΓRlj , j ∈ Nn3 , l ∈ N3 одержуємо \|y1j + (t− τ)χjy2j + 2−1(t− τ)2χ2 jy3j \| ≤ K0j(1 + (t− τ)χj + 2−1(t− τ)2χ2 j )× ×(1 + \|ξ1j + (t− τ)χjξ2j + 2−1(t− τ)2χ2 jξ3j \|)µj , χj ∈ [0; 1], 0 ≤ τ < t ≤ T. Оскiльки xlj = ξlj ± δljRlj , δlj ∈ [0; 1] , де xlj + iylj ∈ ΓRlj , то (1 + \|ξ1j + (t− τ)χjξ2j + 2−1(t− τ)2χ2 jξ3j \|)µj ≤ (1 + \|x1j + (t− τ)χjx2j + 2−1(t− τ)2χ2 jx3j \| − \|δ1jR1j + (t− τ)χjδ2jR2j+ +2−1(t− τ)2χ2 jδ3jR3j \|)µj ≤ ((1−K0j(1 + T + 2−1T 2))+ +\|x1j + (t− τ)χjx2j + 2−1(t− τ)2χ2 jx3j \|)µj ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1334 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО (тут враховано те, що Rlj ≤ K0j i µj ≤ 0 ). Припустивши, що 0 < K0j(1 + T + 2−1T 2) ≤ 1/2 , j ∈ Nn3 , дiстанемо \|y1j + (t− τ)χjy2j + 2−1(t− τ)2χ2 jy3j \| ≤ K0j(1 + T + 2−1T 2) (1−K0j(1 + T + 2−1T 2))−µj × ×(1 + \|x1j + (t− τ)χjx2j + 2−1(t− τ)2χ2 jx3j \|)µj . Звiдси, поклавши K0j := 2µj (1 + T + 2−1T 2)−1 min { 1 2 ; c′j } , j ∈ Nn3 , прийдемо до нерiвностi (8). Аналогiчним способом при K0j := 2µj (1 + T )−1 min { 1 2 ; c′′j } , j ∈ {n3 + + 1; . . . ;n2} , та K0j := 2µj min { 1 2 ; c′′′j } , j ∈ {n2 + 1; . . . ;n1} , переконуємось у виконаннi нерiвностей (9), (10) для zlj ∈ ΓRlj . Зважаючи тепер на нерiвностi (8) – (10), а також на оцiнку∣∣∣∣∣ exp{(t− τ) 1∫ 0 ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 ak1(θ(t− τ) + τ)(z′1 + (t− τ)θz′2 + 2−1(t− τ)2θ2z3)k ′ 1× ×(z′′1 + (t− τ)θz′′2 )k ′′ 1 (z′′′1 )k ′′′ 1 dθ} ∣∣∣∣∣ ≤ exp { − δ(t− τ) ( 1∫ 0 (\|x′1 + (t− τ)θx′2+ +2−1(t− τ)2θ2x3\| −→ h ′ ∗ + \|x′′1 + (t− τ)θx′′2 \| −→ h ′′ ∗ )dθ + \|x′′′1 \| −→ h ′′′ ∗ )} , x = Rez, z ∈ ΓR (12) (яку одержуємо безпосередньо з означення векторного роду −→µ виразу (2)) i вра- ховуючи при цьому теорему про середнє значення для визначеного iнтеграла, з (7) отримуємо \|∂qξV (t, τ, ξ)\| ≤ cq!  3∏ l=1 nl∏ j=1 (Rlj) −qlj  e−δ(t−τ)\|(x0 1)′′′\| −→ h ′′′ ∗ × × exp { − δ/2(t− τ)(\|(x0 1)′ + (t− τ)χ′(x0 2)′ + 2−1(t− τ)2(χ′)2x0 3\| −→ h ′ ∗ + \|(x0 1)′′+ +(t− τ)χ′′(x0 2)′′\| −→ h ′′ ∗ + 1∫ 0 (\|(x0 1)′ + (t− τ)θ(x0 2)′ + 2−1(t− τ)2θ2x0 3\| −→ h ′ ∗ + +\|(x0 1)′′ + (t− τ)θ(x0 2)′′\| −→ h ′′ ∗ )dθ) } , χ = (χj ∈ (0; 1), j ∈ Nn2 ), c > 0, (13) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1335 де x0 lj — точки з вiдрiзкiв [ξlj − Rlj ; ξlj + Rlj ] , в яких вираз iз правої частини нерiвностi (12) досягає найбiльшого значення. Зазначимо далi, що Rlj , як функцiя аргументу \|ξ1j + (t − τ)χjξ2j + 2−1(t − − τ)2χ2 jξ3j \| при j ∈ Nn3 , l ∈ N3 , та \|ξ1j + (t− τ)χjξ2j \| при j ∈ {n3 + 1; . . . ;n2} , l ∈ {1; 2} , i \|ξlj \| при j ∈ {n2 +1; . . . ;n1} , l = 1 , є обмеженою для всiх χj ∈ [0; 1] , ξ ∈ Rn i 0 ≤ τ < t ≤ T , тому ∃{c0, δ0} ⊂ (0; +∞) ∀χ = (χj ∈ (0; 1), j ∈ Nn2) ∀ξ ∈ Rn ∀{t, τ} ⊂ [0;T ], τ < t : exp{−δ/2(t− τ)(\|(x0 1)′ + (t− τ)χ′(x0 2)′ + 2−1(t− τ)2(χ′)2x0 3\| −→ h ′ ∗ + \|(x0 1)′′+ +(t− τ)χ′′(x0 2)′′\| −→ h ′′ ∗ + \|(x0 1)′′′\| −→ h ′′′ ∗ )} ≤ c0 exp{−δ0(t− τ)(\|ξ′1 + (t− τ)χ′ξ′2+ +2−1(t− τ)2(χ′)2ξ3\| −→ h ′ ∗ + \|ξ′′1 + (t− τ)χ′′ξ′′2 \| −→ h ′′ ∗ + \|ξ′′′1 \| −→ h ′′′ ∗ )}. Отже, iснують додатнi сталi c1 i δ0 , якi не залежать вiд q ∈ Zn+ , ξ ∈ Rn i {t, τ} ⊂ [0;T ] , t > τ , такi, що \|∂qξV (t, τ, ξ)\| ≤ ≤ c1  nl∏ j=1 ( 3∏ l=1 (qlj !(Rlj) −qlje− δ0 6 (t−τ)\|ξ1j+(t−τ)χjξ2j+2−1(t−τ)2χ2 jξ3j \| hj ) )× ×  n2∏ j=n3+1 ( 2∏ l=1 (qlj !(Rlj) −qlje− δ0 4 (t−τ)\|ξ1j+(t−τ)χjξ2j \|hj ) )× ×  n1∏ j=n2+1 q1j !(R1j) −q1je− δ0 2 (t−τ)\|ξ1j \|hj  exp { 1∫ 0 (\|(x0 1)′ + (t− τ)θ(x0 2)′+ +2−1(t− τ)2θ2x0 3\| −→ h ′ ∗ + \|(x0 1)′′ + (t− τ)θ(x0 2)′′\| −→ h ′′ ∗ )dθ + \|ξ′′′1 \| −→ h ′′′ ∗ ) } , χj ∈ (0; 1). Доведемо тепер, що qlj !(Rlj) −qlje− δ0 6 (t−τ)\|ξ1j+(t−τ)χjξ2j+2−1(t−τ)2χ2 jξ3j \| hj ≤ ≤ clj(Alj(t− τ) µj hj )qljq (1− µj hj )qlj lj , (14) де clj , Alj — додатнi сталi, якi не залежать вiд qlj , ξlj , t i τ ; l ∈ N3 , j ∈ Nn3 . Розглянемо спочатку випадoк, коли µj < 0 i \|ξ1j + (t− τ)χjξ2j + 2−1(t− τ)2χ2 jξ3j \| > 1. (15) Тодi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1336 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО Rlj = K0j(1 + \|ξ1j + (t− τ)χjξ2j + 2−1(t− τ)2χ2 jξ3j \|)µj ≥ ≥ K0j(2\|ξ1j + (t− τ)χjξ2j + 2−1(t− τ)2χ2 jξ3j \|)µj i (Rlj) −qlje− δ0 6 (t−τ)\|ξ1j+(t−τ)χjξ2j+2−1(t−τ)2χ2 jξ3j \| hj ≤ ≤ ( 1 K0j ( δ0(t− τ) 6 · 2hj )µj hj )qlj sup η>0 {η− µjqlj hj e−η}. Засобами диференцiального числення переконуємося, що sup η>0 { η − µjqlj hj e−η } = ( −µjqlj hje )−µjqljhj , µj < 0. Отже, у випадку (15) оцiнка (14) справджується. Якщо ж \|ξ1j + (t− τ)χjξ2j + 2−1(t− τ)2χ2 jξ3j \| ≤ 1, то Rlj ≥ 2µjK0j > 0. Тому qlj !(Rlj) −qlje− δ0 6 (t−τ)\|ξ1j+(t−τ)χjξ2j+2−1(t−τ)2χ2 jξ3j \| hj ≤ (2µjK0j) −qljq qlj lj ≤ ≤  (t− τ) µj hj (T 1 hj 2)µjK0j qlj q (1− µj hj )qlj lj . Виконання (14) при µj = 0 є очевидним. Аналогiчним способом переконуємось у правильностi таких оцiнок: qlj !(Rlj) −qlje− δ0 4 (t−τ)\|ξ1j+(t−τ)χjξ2j \|hj ≤ ≤ clj(Alj(t− τ) µj hj )qljq (1− µj hj )qlj lj , l ∈ N2, j ∈ {n3 + 1; . . . ;n2}, q1j !(R1j) −q1je− δ0 2 (t−τ)\|ξ1j \|hj ≤ ≤ c1j(A1j(t− τ) µj hj )q1jq (1− µj hj )q1j 1j , j ∈ {n2 + 1; . . . ;n1}, (16) де clj , Alj — додатнi сталi, якi не залежать вiд qlj , ξlj , t i τ . На завершення доведемо iснування додатних сталих c1 i δ1 таких, що для всiх ξ ∈ Rn , {t, τ} ⊂ [0;T ] , t > τ , виконується нерiвнiсть e − δ2 (t−τ) 1∫ 0 (\|(x0 1)′+(t−τ)θ(x0 2)′+2−1(t−τ)2θ2x0 3\| −→ h ′ ∗ )+\|(x0 j ) ′′+(t−τ)θ(x0 2)′′\| −→ h ′′ ∗ )dθ ≤ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1337 ≤ c1e−δ1(t−τ)(\|ξ1\| −→ h ∗ +(t−τ)\| −̂→ h \|∗ \|ξ2\| −̂→ h ∗ +(t−τ)2\| −→ h ′\|∗ \|ξ3\| −→ h ′ ∗ ). (17) Оскiльки 1∫ 0 ∣∣∣∣ ζ1j + (t− τ)θζ2j + 2−1(t− τ)2θ2ζ3j \|ζ1j \|+ (t− τ)\|ζ2j \|+ 2−1(t− τ)2\|ζ3j \| ∣∣∣∣γ dθ ≥ cj > 0, j ∈ Nn3 , 1∫ 0 ∣∣∣∣ ζ1j + (t− τ)θζ2j \|ζ1j \|+ (t− τ)\|ζ2j \| ∣∣∣∣γ dθ ≥ cj > 0, j ∈ {n3 + 1; . . . ;n2}, для всiх ζlj ∈ R , ∑ l ζ2 lj 6= 0 , γ > 0 i 0 ≤ τ < t ≤ T , то, зважаючи на те, що (a+ b)γ ≥ 1 2 (aγ + bγ), {a; b} ⊂ (0; +∞), γ > 0, доведення (17) при \|ξlj \| ≥ 2K0j зводимо до встановлення нерiвностей \|x0 lj \|hj = \|ξlj + δljRlj \|hj ≥ clj \|ξlj \|hj , δlj ∈ [−1; 1], (18) для j ∈ Nn2 i вiдповiдних l ∈ N3 , де clj — додатнi сталi, якi не залежать вiд ξlj , t i τ . Нехай \|ζlj \| ≥ 2K0j , тодi \|ξlj + δljRlj \|hj = \|ξlj \|hj ∣∣∣∣1 + δljRlj \|ξlj \| ∣∣∣∣hj ≥ ≥ \|ξlj \|hj ∣∣∣∣1− \|δlj \|Rlj\|ξlj \| ∣∣∣∣hj ≥ 2−hj \|ξlj \|hj , δlj ∈ [−1; 1], бо Rlj ≤ K0j i \|δlj \|Rlj \|ξlj \| ≤ K0j \|ξlj \| ≤ 1 2 . Отже, нерiвнiсть (18) справджується. У випадку \|ξlj \| < 2K0j маємо e− δ 2 (t−τ)l−1\|x0 lj \| hj ≤ e2δ1T l−1K0je−δ1(t−τ)l−1\|ξlj \|hj , δ1 > 0, 0 ≤ τ < t ≤ T, l ∈ {2; 3}. Лему доведено. Врахувавши рiвнiсть (3) з [3] та структуру (5) функцiї G , дiстанемо G(t, x; τ, ξ) = (2π)−nFζ→ξ[T̃ x,−x t−τ V (t, τ, ζ)](t, x; τ, ξ), (19) де (T̃ x,ξt f)(ζ) := ei(ξ,ζ)e−i(tx̂1,ζ2)e−i(tx ′ 2+2−1t2x′1,ζ3)f(ζ). Звiдси та з леми 1, врахувавши властивостi двоїстостi за Фур’є просторiв типу S , а також те, що [3] T̃ x,−xt : S −→ β −→α → S −→ β −→α , t ≥ 0, x ∈ Rn, одержимо такий наслiдок. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1338 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО Наслiдок. При кожних фiксованих t ∈ (τ ;T ] , τ ∈ [0;T ] i x ∈ Rn функцiя G(t, x; τ, ·) належить до простору S −→α ∗−→ β ∗ , −→α ∗ := {−→1 / −→ h , −̂→ 1 / −→ h , −→ 1 / −→ h ′}, a −→ β ∗ := := {−→1 −−→µ / −→ h , ̂ ( −→ 1 −−→µ / −→ h ),( −→ 1 −−→µ / −→ h )′}. Лема 2. При кожних фiксованих x ∈ Rn i τ ∈ [0;T ) функцiя G(t, x; τ, ·), як абстрактна функцiя параметра t, диференцiйовна по t на (τ ;T ] у просто- рi S −→α ∗−→ β ∗ . Доведення. З огляду на доведення аналогiчної леми 5 з [3] приходимо до висновку, що для доведення даної леми досить переконатися у правильностi таких граничних спiввiдношень: а) ∂tµ(t+ θχ, x; τ, ·)V (t+ χ, τ, ·) S −→ β ∗ −→α∗−→ χ→0 ∂tµ(t, x; τ, ·)V (t, τ, ·) , б) ∂tV (t+ θχ, τ, ·) S −→ β ∗ −→α∗−→ χ→0 ∂tV (t, τ, ·) для кожних фiксованих x ∈ Rn , t ∈ (τ ;T ] i τ ∈ [0;T ) , де µ(t, x; τ, ζ) := ei((ζ2,(t−τ)x̂1)+(ζ3,(t−τ)x′2+2−1(t−τ)2x′1)). Згiдно з критерiєм збiжностi у просторах типу S для випадку а) необхiдно довести: 1a) ∀q ∈ Zn+ ∀K ⊂ Rn ∀x ∈ Rn ∀t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ) : ∆ := \|∂qξ (∂tµ(t+ θχ, x; τ, ξ)Vt(t+ χ, τ, ξ)− ∂tµ(t, x; τ, ξ))\| ξ∈K ⇒ χ→0 0, де Vt(t+ χ, τ, ζ) := exp { ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 t+χ∫ t ak1(θ)(ζ ′1 + (θ − τ)ζ ′2 + 2−1(θ − τ)2ζ3)k ′ 1× ×(ζ ′′1 + (θ − τ)ζ ′′2 )k ′′ 1 (ζ ′′′1 )k ′′′ 1 dθ } ; 2a) ∀x ∈ Rn ∀t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ), ∃δ0 ∈ (0; 1) ∃{c;A; δ} ⊂ (0; +∞) ∀χ ∈ (−δ0; δ0) ∀q ∈ Zn+ ∀ξ ∈ Rn : \|∂qξ (∂tµ(t + θχ, x; τ, ξ)Vt(t + χ, τ, ξ))\| ≤ ≤ cA\|q\|∗qq −→ β∗e−δ\|ξ\| −→ 1 /−→α∗ ∗ . Оскiльки ∂tµ(t+ θχ, x; τ, ξ) = e−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))(∂tµ(t, x; τ, ξ)− −iθχµ(t, x; τ, ξ)(ξ3, x ′ 1)), (20) то ∆ ≤ cq q∑ l=0 [ \|∂q−lξ ∂tµ(t, x; τ, ξ)\| \|∂lξ(e−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))× ×Vt(t+ χ, τ, ξ)− 1)\|+ \|θχ\|\|∂q−lξ (µ(t, x; τ, ξ)(ξ3, x ′ 1))\|× ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1339 ×\|∂lξ(e−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))Vt(t+ χ, τ, ξ))\| ] ( тут i далi ∑q l=0 Clq := ∑q1 l1=0 Cl1q1 . . . ∑qn ln=0 Clnqn ) . З цiєї нерiвностi та обмеженостi при кожних t , x i τ функцiй \|∂lξ∂tµ(t, x; τ, ξ)\|, \|∂lξµ(t, x; τ, ξ)(ξ3, x ′ 1)\|, \|∂lξVt(t+ χ, τ, ξ)\|, \|∂lξe−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))\|, \|χ\| ≤ 1, ξ ∈ K, l ∈ Zn+, випливає, що доведення твердження 1a зводиться до встановлення граничних спiввiдношень \|∂lξ(e−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))Vt(t+ χ, τ, ξ))\| ξ∈K ⇒ χ→0 0, \|l\|∗ 6= 0, (21) \|e−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))Vt(t+ χ, τ, ξ)− 1\| ξ∈K ⇒ χ→0 0. (22) У свою чергу (21) виконуватиметься, якщо \|e−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))∂lξVt(t+ χ, τ, ξ)\| = = \|∂lξVt(t+ χ, τ, ξ)\| ξ∈K ⇒ χ→0 0, \|l\|∗ 6= 0, i \|∂lξe−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))∂kξ Vt(t+χ, τ, ξ)\| ξ∈K ⇒ χ→0 0, {k, l} ⊂ Zn+, \|l\|∗ 6= 0. (23) Однак для ξ ∈ K i \|l\|∗ 6= 0 \|∂lξVt(t+ χ, τ, ξ)\| ≤ ∆1(t, τ) \|l\|∗∑ r=1 cr  t+χ∫ t sup ξ∈K {\|Pr(θ − τ, ξ)\|}dθ r → χ→0 0 (24) ( тут cr — додатнi сталi, Pr(θ− τ, ξ) — вiдповiднi многочлени вiд змiнних (θ− τ) i ξ , a ∆1 := sup ξ∈K { exp { ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 T∫ t \|ak1(θ)\|\|ξ′1 + (θ − τ)ξ′2 + 2−1(θ − τ)2ξ3\|k ′ 1 \|ξ′′1 + +(θ − τ)ξ′′2 \|k ′′ 1 \|ξ′′′1 \|k ′′′ 1 dθ }} , при цьому враховано обмеженiсть коефiцiєнтiв ak1(t) ) . Звiдси при \|k\|∗ 6= 0 , k ∈ Zn+ , зважаючи на обмеженiсть виразу ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1340 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО \|∂lξe−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))\| для ξ ∈ K , θ ∈ (−1; 1) i \|χ\| < 1 та фiксованих x ∈ Rn , t ∈ (τ ;T ] i τ ∈ [0;T ) , одержуємо також виконання (23). Якщо \|k\|∗ = 0 , то, оскiльки \|∂l2ξ2∂ l3 ξ3 e−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))\| ≤ \|θχ\|\|l2\|∗+\|l3\|∗ \|x̂1\|l2 \|x′2+ +(t+ 2−1θχ− τ)x′1\|l3 , {x, ξ} ⊂ Rn, {θ, χ} ⊂ R, l ∈ Zn+, (25) для всiх ξ ∈ K i фiксованих x ∈ Rn , t ∈ (τ ;T ] i τ ∈ [0;T ) , маємо \|∂lξe−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))Vt(t+ χ, τ, ξ)\| ≤ ≤ ∆1(t, τ)\|x̂1\|l2 \|x′2 + (t+ 2−1θχ− τ)x′1\|l3 \|χ\| → χ→0 0, \|l\|∗ 6= 0, θ ∈ (−1; 1). Щодо спiввiдношення (22), то його виконання стає очевидним, якщо врахувати рiвнiсть \|e−iθχ((ξ2,x̂1)+(ξ3,x ′ 2+(t+2−1θχ−τ)x′1))\| = 1, {x, ξ} ⊂ Rn, {t; τ ; θ;χ} ⊂ R, i те, що для всiх ξ ∈ K \|Vt(t+ χ, τ, ξ)\| ≤ sup ξ∈K { exp { ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 t+χ∫ t \|ak1(θ)\| sup ξ∈K { \|ξ′1 + (θ − τ)ξ′2+ +2−1(θ − τ)2ξ3\|k ′ 1 \|ξ′′1 + (θ − τ)ξ′′2 \|k ′′ 1 \|ξ′′′1 \|k ′′′ 1 }} dθ } → χ→0 1. (26) Отже, твердження 1a доведено. Доведемо тепер твердження 2a . Використавши рiвнiсть (20) та нерiвнiсть (25), дiстанемо \|∂qξ (∂tµ(t+ θχ, x; τ, ξ)V (t+ χ, τ, ξ))\| ≤ q∑ l=0 Clq\|x̂1\|l2 \|x′2 + (t+ 2−1θχ− τ)x′1\|l3× × [ \|∂q−lξ (µ(t, x; τ, ξ)V (t+ χ, τ, ξ))\|+ \|∂q−lξ (∂tµ(t, x; τ, ξ)(ξ3, x ′ 1)V (t+ χ, τ, ξ))\| ] (27) для q ∈ Zn+ , {x; ξ} ⊂ Rn , {θ;χ} ⊂ (−1; 1) i 0 ≤ τ < t ≤ T . Зазначимо, що ∂tµ(t, x; δ, ·) i µ(t, x; τ, ·)(·, x′1) — мультиплiкатори в S −→ β ∗ −→α ∗ , якi не залежать вiд χ . Тодi згiдно з критерiєм мультиплiкатора у цьому просторi [4] ∀x ∈ Rn ∀t ∈ (t; τ ], τ ∈ [0;T ), ∀ε > 0 ∃{c0;A0} ⊂ (0; +∞) ∀q ∈ Zn+ : \|∂qξη(t, x; τ, ξ)\| ≤ c0A\|q\|∗0 qq −→ β ∗eε\|ξ\| −→ 1 /−→α∗ ∗ , (28) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1341 де η(t, x; τ, ξ) ∈ {∂tµ(t, x; τ, ξ);µ(t, x; τ, ξ)(ξ3, x ′ 1)} . Врахувавши тепер оцiнку для похiдних вiд функцiї V з леми 1, дiстанемо \|∂qξ (η(t, x; τ, ξ)V (t+ χ, τ, ξ))\| ≤ q∑ l=0 Clq\|∂ q−l ξ η(t, x; τ, ξ)\|\|∂lξV (t+ χ, τ, ξ)\| ≤ ≤ cc0(max{A0, A})\|q\|∗qq −→ β ∗ exp{−δ(t+ χ− τ)(\|ξ1\| −→ h ∗ + (t+ χ− τ)\| −̂→ h \|∗ \|ξ2\| −̂→ h ∗ + +(t+ χ− τ)2\| −→ h ′\|∗ \|ξ3\| −→ h ′ ∗ )} q∑ l=0 Clq(t+ χ− τ)−\| −→µ l1/ −→ h \|∗−\|−̂→µ l2/ −̂→ h \|∗−\|−→µ ′l3/ −→ h ′\|∗ , q ∈ Zn+, {x; ξ} ⊂ Rn, 0 ≤ τ < t ≤ T, ε > 0. (29) Звiдси при \|χ\| ≤ t− τ 2 та з оцiнки (27), зважаючи при цьому на довiльнiсть вибору ε , приходимо до твердження 2a . Таким чином, граничне спiввiдношення а) встановлено. Для доведення спiввiдношення б) досить переконатися у правильностi таких тверджень: 1b) ∀q ∈ Zn+ ∀K ⊂ Rn ∀x ∈ Rn ∀t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ) : \|∂qξ (ρ(t+ χ, τ, ξ)Vt(t+ χ, τ, ξ)− ρ(t, τ, ξ))\| ξ∈K ⇒ χ→0 0, де ρ(t, τ, ξ) := ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 ak1(t)(ξ′1+(t−τ)ξ′2+2−1(t−τ)2ξ3)k ′ 1(ξ′′1 +(t−τ)ξ′′2 )k ′′ 1 (ξ′′′1 )k ′′′ 1 ; 2b) ∀t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ), ∃δ0 ∈ (0; 1) ∃{c;A; δ} ⊂ (0; +∞) ∀χ ∈ (−δ0; δ0) ∀q ∈ Zn+ ∀ξ ∈ Rn : \|∂qξ (ρ(t+ χ, τ, ξ)V (t+ χ, τ, ξ))\| ≤ cA\|q\|∗qq −→ β∗e−δ\|ξ\| −→ 1 / −→ α∗ ∗ . Очевидно, що доведення твердження 1b , з огляду на обмеженiсть виразу ∂qξρ(t+ + χ, τ, ξ) як функцiї вiд ξ ∈ K i χ ∈ [−1; 1] , зводиться до доведення таких граничних спiввiдношень: \|∂qξ (Vt(t+ χ, τ, ξ)− 1)\| ξ∈K ⇒ χ→0 0, q ∈ Zn+; \|∂qξ (ρ(t+ χ, τ, ξ)− ρ(t, τ, ξ))\| ξ∈K ⇒ χ→0 0, q ∈ Zn+. Зазначимо, що перше спiввiдношення стає очевидним, якщо зважити на гра- ничнi спiввiдношення (24) i (26), а друге встановлюється беспосередньо, виходячи зi структури функцiї ρ(t, τ, ξ) та неперервностi коефiцiєнтiв ak рiвняння (1). Зазначимо далi, що ρ(t+χ, τ, ξ) — многочлен щодо змiнної ξ , тому ця функцiя є мультиплiкатором у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ . Отже, для її похiдних виконуються оцiнки типу (28). Оскiльки коефiцiєнти многочлена ρ(t+χ, τ, ξ) , як функцiї змiнних t , τ i χ , є обмеженими при 0 ≤ τ < t ≤ T i χ ∈ [−1; 1] , то iснують оцiнюючi сталi c0 i A0 , якi не залежать вiд χ ∈ [−1; 1] ; таким чином, для \|∂qξ (ρ(t + χ, τ, ξ)V (t + χ, τ, ξ))\| ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1342 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО справджується оцiнка типу (29), з якої при \|χ\| ≤ min { t− τ 2 , 1 } одержуємо твер- дження 2b . Лему доведено. Дослiдженi властивостi функцiї G забезпечують коректнiсть здiйснених пере- творень при одержаннi формули (4) для досить „хороших” f . Крiм цього, оскiльки V (t, x; τ, ξ) експоненцiально спадає за змiнною ξ при ‖ξ‖ → ∞ , то перетворен- ня Фур’є у формулi (5) є правомiрним. Безпосередньо зi структури (5) функцiї G(t, x; τ, ξ) i леми 2 з [3] випливає, що ця функцiя щодо змiнних t i x є звичайним нескiнченно диференцiйовним по x розв’язком рiвняння (1) в Πn (τ ;T ] . Для встановлення властивостi δ -подiбностi розв’язку G нам знадобиться на- ступне допомiжне твердження. Лема 3. Для кожного додатного ε iснують сталi cε > 0 i Aε > 0 такi, що для всiх q ∈ Zn+, ξ ∈ Rn, t ∈ (τ ;T ] i τ ∈ [0;T ) виконується нерiвнiсть \|∂qξV (t, τ, ξ)\| ≤ cεA\|q\|∗ε qq −→ β ∗eε\|ξ\| −→ 1 /−→α∗ ∗ . Доведення проводиться за схемою доведення леми 1 iз вiдмiннiстю, яка полягає в замiнi оцiнки (13) на оцiнку \|∂qξV (t, τ, ξ)\| ≤ cq!  3∏ l=1 nl∏ j=1 (Rlj) −qlj  , q ∈ Zn+, ξ ∈ Rn, 0 ≤ τ < t ≤ T. (30) Оцiнку (30) одержуємо безпосередньо з (13) за рахунок обмеженостi експоненти, яка знаходиться в її правiй частинi. Оскiльки для довiльного ε > 0 i ξ ∈ Rn , χj ∈ [0; 1] , t ∈ (τ ;T ] , τ ∈ [0;T ) 1 = eε(\|ξ ′ 1+(t−τ)χ′ξ′2+2−1(t−τ)2(χ′)2ξ3\| −→ h ′ ∗ +\|ξ′′1 +(t−τ)χ′′ξ′′2 \| −→ h ′′ ∗ +\|ξ′′′1 \| −→ h ′′′ ∗ )× ×e−ε(\|ξ ′ 1+(t−τ)χ′ξ′2+2−1(t−τ)2(χ′)2ξ3\| −→ h ′ ∗ +\|ξ′′1 +(t−τ)χ′′ξ′′2 \| −→ h ′′ ∗ +\|ξ′′′1 \| −→ h ′′′ ∗ ), то, врахувавши вiдповiднi оцiнки (14) i (16), з (30) дiстанемо \|∂qξV (t, τ, ξ)\| ≤ cεA\|q\|∗ε qq −→ β ∗ exp{ε(\|ξ′1 + (t− τ)χ′ξ′2 + 2−1(t− τ)2(χ′)2ξ3\| −→ h ′ ∗ + +\|ξ′′1 + (t− τ)χ′′ξ′′2 \| −→ h ′′ ∗ + \|ξ′′′1 \| −→ h ′′′ ∗ )} для всiх ε > 0 , q ∈ Zn+ , ξ ∈ Rn , χj ∈ [0; 1] i 0 ≤ τ < t ≤ T . Звiдси, зважаючи на iснування додатної сталої δT такої, що для всiх ξ ∈ Rn , χj ∈ [0; 1] , t ∈ (τ ;T ] i τ ∈ [0;T ) виконується нерiвнiсть \|ξ′1+(t−τ)χ′ξ′2+2−1(t−τ)2(χ′)2ξ3\| −→ h ′ ∗ +\|ξ′′1 +(t−τ)χ′′ξ′′2 \| −→ h ′′ ∗ +\|ξ′′′1 \| −→ h ′′′ ∗ ≤ δT \|ξ\| −→ 1 /−→α ∗ ∗ , приходимо до твердження леми 3. Лему доведено. Лема 4. Нехай ψ ∈ S−→α ∗−→ β ∗ , a It,τη,ψ(x) := ψ(x)(T̃ x,−xt−τ (V (t, τ, η))), 0 ≤ τ < t ≤ ≤ T, {x, η} ⊂ Rn. Тодi It,τ(·),ψ(x), як абстрактна функцiя змiнної x у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ , є iнтегровною функцiєю у цьому просторi при кожному фiксованому t ∈ ∈ (τ ;T ] i τ ∈ [0;T ). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1343 Доведення зводиться до встановлення послiдовного виконання таких умов: 1) функцiя It,τη,ψ(x) iнтегровна по x на кожнiй множинi K(r) := {x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ ≤ r} , r > 0 , у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ ; 2) J t,τr,ψ(η) := ∫ K(r) It,τη,ψ(x)dx S −→ β ∗ −→α∗−→ r→+∞ J t,τψ (η) := ∫ Rn It,τη,ψ(x)dx , η ∈ Rn , 0 ≤ τ < < t ≤ T . Згiдно iз загальною теорiєю повних досконалих злiченно-нормованих просторiв (див. [6, с. 100]) для виконання умови 1 досить переконатись у неперервностi в сенсi топологiї простору S −→ β ∗ −→α ∗ абстрактної функцiї It,τη,ψ(x) на множинi K(r) (при η ∈ Rn , 0 ≤ τ < t ≤ T ). На пiдставi леми 2 та неперервностi оператора Фур’є у просторах типу S функцiя It,τη,ψ(x) є неперервною на Rn за змiнною x , як диференцiйовна функцiя в S −→ β ∗ −→α ∗ . Перейдемо до встановлення умови 2. Зважаючи на критерiй збiжностi у про- сторi S −→ β ∗ −→α ∗ , необхiдно переконатися у виконаннi таких умов: а) \|∂qξ (J t,τr,ψ(ξ)−J t,τψ (ξ))\| ξ∈K ⇒ r→+∞ 0 , 0 ≤ τ < t ≤ T , для кожного компакта K ⊂ Rn i q ∈ Zn+ ; б) послiдовнiсть J t,τr,ψ(·) , r ∈ N , обмежена в S −→ β ∗ −→α ∗ при кожних фiксованих t ∈ (τ, T ] i τ ∈ [0;T ) . Оскiльки ψ ∈ S−→α ∗−→ β ∗ , то ∃{c, δ} ⊂ R+ ∀x ∈ Rn : \|ψ(x)\| ≤ c exp{−δ\|x\| −→ 1 / −→ β ∗ ∗ }. Враховуючи тепер оцiнки з леми 1 для похiдних вiд функцiї V, а також структуру виразу µ , для кожної множини K(ρ) , ρ > 0 , маємо∣∣∣ ∫ Rn ∂qξ (It,τξ,ψ(x))dx ∣∣∣ ≤ ∫ Rn \|ψ(x)\| \|∂qξ (e−i(x,ξ)µ(t, x; τ, ξ)V (t, τ, ξ))\|dx ≤ ≤ c sup ξ∈K(ρ),x∈Rn { e−δ/2\|x\| −→ 1 / −→ β ∗ ∗ \|∂qξ (e−i(x,ξ)µ(t, x; τ, ξ)V (t, τ, ξ))\| } × × ( ∫ Rn e−δ/2\|x\| −→ 1 / −→ β ∗ ∗ dx ) = c1(t, τ, ρ) < +∞, 0 ≤ τ < t ≤ T, ρ > 0, ξ ∈ K(ρ), q ∈ Zn+. Звiдси випливає, що iнтеграл ∫ Rn ∂qξ (It,τξ,ψ(x))dx збiгається рiвномiрно щодо ξ на довiльнiй множинi K(ρ) при кожному фiксованому t ∈ (τ ;T ] i τ ∈ [0;T ) . Вико- ристовуючи це та рiвнiсть \|∂qξ (J t,τr,ψ(ξ)− J t,τψ (ξ))\| = ∣∣∣∣∣ ∫ Rn\K(r) ∂qξ (It,τξ,ψ(x))dx ∣∣∣∣∣, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1344 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО приходимо до виконання умови а). Умова б) також виконується. Справдi, \|∂qξ (J t,τr,ψ(ξ))\| ≤ ∫ Rn \|∂qξ (It,τξ,ψ(x))\|dx = ∫ Rn \|ψ(x)\|\|∂qξ (e−i(x,ξ)µ(t, x; τ, ξ)V (t, τ, ξ))\|dx ≤ ≤ c(At,τ )\|q\|∗ (∫ Rn e−δ/2\|x\| −→ 1 / −→ β ∗ ∗ dx ) e−δt,τ \|ξ\| −→ 1 /−→α∗ ∗ q∑ l=0 ( (q − l)(q−l) −→ β ∗× × sup x∈Rn {e−δ/2\|x\| −→ 1 / −→ β ∗ ∗ \|∂lξ(e−i(x,ξ)µ(t, x; τ, ξ))\|} ) ≤ ≤ c1(At,τ )\|q\|∗e−δt,τ \|ξ\| −→ 1 /−→α∗ ∗ q∑ l=0 ( (q − l)(q−l) −→ β ∗× × sup x∈Rn {e−δ/2\|x\| −→ 1 / −→ β ∗ ∗ \|x1\|l1 \|x2 + (t− τ)x̂1\|l2 \|x3 + (t− τ)x′2 + 2−1(t− τ)2x′1\|l3} ) ≤ ≤ ct,τ (At,τ )\|q\|∗qq −→ β ∗e−δt,τ \|ξ\| −→ 1 /−→α∗ ∗ , r > 0, ξ ∈ Rn, q ∈ Zn+, 0 ≤ τ < t ≤ T, де ct,τ i At,τ — додатнi вирази, залежнi лише вiд t i τ . Лему доведено. Лема 5. Нехай ψ ∈ S−→α ∗−→ β ∗ , тодi для всiх τ ∈ [0;T ) J t,τψ (·) S −→ β ∗ −→α∗−→ t→τ+0 (2π)nF−1[ψ](·). (31) Доведення. Нехай χ := t− τ , тодi граничне спiввiдношення (31) рiвносильне спiввiдношенню Jχ,0ψ (·) S −→ β ∗ −→α∗−→ χ→0+ (2π)nϕ(·), де ϕ(·) := F−1[ψ](·) ∈ S −→ β ∗ −→α ∗ . Врахувавши критерiй збiжностi у просторах типу S , приходимо до висновку, що для доведення леми 5 досить встановити виконання таких умов: 1) сукупнiсть Jχ,0ψ (·) , 0 < χ� 1 , обмежена у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ ; 2) ∂qξJ χ,0 ψ (ξ) ξ∈K ⇒ χ→0+ (2π)n∂qξϕ(ξ) для кожного компакта K ⊂ Rn i q ∈ Zn+ . Переконаємося спочатку у виконаннi умови 1. Для цього скористаємось зобра- женням [3] Jχ,0ψ (·) = (2π)nV (t, τ, ·)(Ť+ χ ϕ(·)), ψ ∈ S−→α ∗ −→ β ∗ , 0 < χ ≤ T, (32) де Ť+ χ ϕ(ξ) := ϕ(ξ′1 + χξ′2 + 2−1χ2ξ3, ξ ′′ 1 + χξ′′2 , ξ ′′′ 1 , ξ ′ 2 + χξ3, ξ ′′ 2 , ξ3), ξ ∈ Rn. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1345 З метою спрощення викладок користуватимемося тут такими познaченнями: z1 := ξ′1 + χξ′2 + 2−1χ2ξ3 , z1 ∈ Rn3 ; z2 := ξ′′1 + χξ′′2 , z2 ∈ Rn2−n3 ; z3 := ξ′′′1 , z3 ∈ Rn1−n2 ; z4 := ξ′2 +χξ3 , z4 ∈ Rn3 ; z5 := ξ′′2 , z5 ∈ Rn2−n3 ; z6 := ξ3 , z6 ∈ Rn3 . Нехай z = (z1, z2, z3, z4, z5, z6) ∈ Rn , тодi ∂qξ (Ť+ χ ϕ(ξ)) = q′2∑ l′2=0 C l′2 q′2 q′′2∑ l′′2 =0 C l′′2 q′′2 q3∑ l3=0 Cl3q3 l3∑ j=0 Cjl32−\|q3−l3\|∗χ\|l2\|∗+\|j\|∗+2\|q3−l3\|∗× × ∂\|q\|∗ϕ(z) ∂z q′1+l′2+q3−l3 1 ∂z q′′1 +l′′2 2 ∂z q′′′1 3 ∂z q′2−l′2+j 4 ∂z q′′2−l′′2 5 ∂zl3−j6 , q ∈ Zn+, χ ∈ (0;T ], ξ ∈ Rn. Звiдси, врахувавши те, що ϕ(·) ∈ S −→ β ∗ −→α ∗ , одержимо \|∂qξ (Ť+ χ ϕ(ξ))\| ≤ cA\|q\|∗e−δ\|z\| −→ 1 /−→α∗ ∗ ( q′2∑ l′2=0 C l′2 q′2 q′′2∑ l′′2 =0 C l′′2 q′′2 q3∑ l3=0 Cl3q3 l3∑ j=0 Cjl3× × ( (q′1 + l′2 + q3 − l3)(q′1+l′2+q3−l3)(q′2 − l′2 + j)(q′2−l ′ 2+j)(l3 − j)(l3−j) )( −→ 1 − −→µ −→ h )′ × × ( (q′′1 + l′′2 )(q′′1 +l′′2 )(q′′2 − l′′2 )(q′′2−l ′′ 2 ) )( −→ 1 − −→µ −→ h )′′ q ′′′q′′′1 ( −→ 1 − −→µ −→ h )′′′ 1 ) , q ∈ Zn+, 0 < χ� 1, ξ ∈ Rn, (33) де c, A, δ — додатнi сталi, не залежнi вiд q, ξ i χ . Зазначимо, що (q′1 + l′2 + q3 − l3)(q′1+l′2+q3−l3)(q′2 − l′2 + j)(q′2−l ′ 2+j)(l3 − j)(l3−j) = = (q′2 − l′2 + j)(q′2−l ′ 2+j)(l3 − j)(l3−j)× ×((q′1 + q′2 + q3)− (q′2 − l′2 + j)− (l3 − j))((q′1+q′2+q3)−(q′2−l ′ 2+j)−(l3−j)) ≤ ≤ (q′1 + q′2 + q3)(q′1+q′2+q3)× × (q′2 + j)(q′2−l ′ 2+j)(l3)(l3−j) (q′1 + q′2 + q3)(q′2−l′2+j)+(l3−j) ≤ (q′1 + q′2 + q3)(q′1+q′2+q3). Скориставшись тепер очевидною нерiвнiстю el ≥ ll l! , l ∈ Z+, дiстанемо ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1346 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО (q′1 + q′2 + q3)(q′1+q′2+q3) ≤ eq ′ 1+q′2+q3 ( (q′1 + q′2 + q3)! q′1!(q′2 + q3)! (q′2 + q3)! q′2!q3! ) q′1!q′2!q3! ≤ ≤ (2e)2(q′1+q′2+q3)q′1!q′2!q3!. Отже, (q′1 + l′2 + q3 − l3)(q′1+l′2+q3−l3)(q′2 − l′2 + j)(q′2−l ′ 2+j)(l3 − j)(l3−j) ≤ ≤ (2e)2(q′1+q′2+q3)q ′q′1 1 q ′q′2 2 qq33 . Аналогiчним способом переконуємося, що (q′′1 + l′′2 )(q′′1 +l′′2 )(q′′2 − l′′2 )(q′′2−l ′′ 2 ) ≤ (2e)2(q′′1 +q′′2 )q ′′q′′1 1 q ′′q′′2 2 . Встановимо тепер iснування додатної сталої δ1 такої, що для всiх ξ ∈ Rn i 0 < χ� 1 e−δ\|z\| −→ 1 /−→α∗ ∗ ≤ e−δ1\|ξ\| −→ 1 /−→α∗ ∗ . Для цього запишемо лiву частину цiєї нерiвностi у виглядi e−δ\|z\| −→ 1 /−→α∗ ∗ = e−δ(\|z1\| −→ h ′ ∗ + 1 2 \|z4\| −→ h ′ ∗ + 1 3 \|z6\| −→ h ′ ∗ )e−δ(\|z2\| −→ h ′′ ∗ + 1 2 \|z5\| −→ h ′′ ∗ )× ×e−δ(\|z4\| −→ h ′ ∗ + 1 3 \|z6\| −→ h ′ ∗ )e−δ(\|ξ ′′′ 1 \| −→ h ′′′ ∗ + 1 2 \|ξ ′′ 2 \| −→ h ′′ ∗ + 1 3 \|ξ3\| −→ h ′ ∗ ). Оцiнимо перший спiвмножник iз цього виразу. Оскiльки \|z1\| −→ h ′ ∗ + 1 2 \|z4\| −→ h ′ ∗ + 1 3 \|z6\| −→ h ′ ∗ = = n3∑ j=1 ( \|ξ1j + χξ2j + 2−1χ2ξ3j \|hj + 1 2 \|ξ2j + χξ3j \|hj + 1 3 \|ξ3j \|hj ) , то нехай спочатку \|ξ1j \| ≥ \|ξ2j + 2−1χξ3j \|, χ ∈ (0; 1/2), j ∈ Nn3 . Тодi \|ξ1j + χ(ξ2j + 2−1χξ3j)\| ≥ \|ξ1j \| ∣∣∣∣∣1− χ\|ξ2j + 2−1χξ3j \| \|ξ1j \| ∣∣∣∣∣ ≥ 1 2 \|ξ1j \|, χ ∈ (0; 1/2), j ∈ Nn3 . I в цьому випадку e−δ(\|ξ1j+χξ2j+2−1χ2ξ3j \|hj+ 1 2 \|ξ2j+χξ3j \| hj+ 1 3 \|ξ3j \| hj ) ≤ ≤ e−δ\|ξ1j+χξ2j+2−1χ2ξ3j \|hj ≤ e−δ(2 −1\|ξ1j \|)hj , j ∈ Nn3 . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1347 Нехай тепер \|ξ1j \| < \|ξ2j + 2−1χξ3j \|, χ ∈ (0; 1/2), j ∈ Nn3 . Тодi e−δ(\|ξ1j+χξ2j+2−1χ2ξ3j \|hj+ 1 2 \|ξ2j+χξ3j \| hj+ 1 3 \|ξ3j \| hj ) ≤ ≤ e−δ( 1 2 \|ξ2j+χξ3j \| hj+ 1 3 \|ξ3j \| hj ), j ∈ Nn3 . Припустивши, що \|ξ2j + 2−1χξ3j \| ≥ \|ξ3j \|, χ ∈ (0; 1/2), j ∈ Nn3 , одержимо e−δ( 1 2 \|ξ2j+χξ3j \| hj+ 1 3 \|ξ3j \| hj ) ≤ e− δ2 \|(ξ2j+2−1χξ3j)+2−1χξ3j \|hj ≤ ≤ exp { − δ 2 \|ξ2j + 2−1χξ3j \|hj ∣∣∣∣∣1− χ\|ξ3j \| \|ξ2j + 2−1χξ3j \| ∣∣∣∣∣ hj} ≤ ≤ e− δ2 (2−1\|ξ2j+2−1χξ3j \|)hj ≤ e− δ2 (2−1\|ξ1j \|)hj , χ ∈ (0; 1/2), j ∈ Nn3 . Якщо ж \|ξ2j + 2−1χξ3j \| < \|ξ3j \|, χ ∈ (0; 1/2), j ∈ Nn3 , то \|ξ1j \| < \|ξ3j \|, j ∈ Nn3 , i e−δ( 1 2 \|ξ2j+χξ3j \| hj+ 1 3 \|ξ3j \| hj ) ≤ e− δ3 \|ξ3j \| hj ≤ e− δ3 \|ξ1j \| hj , j ∈ Nn3 . Отже, e−δ(\|z1\| −→ h ′ ∗ + 1 2 \|z4\| −→ h ′ ∗ + 1 3 \|z6\| −→ h ′ ∗ ) ≤ e− δ3 \|2 −1ξ′1\| −→ h ′ ∗ , χ ∈ (0; 1/2), ξ ∈ Rn. Оцiнки e−δ(\|z2\| −→ h ′′ ∗ + 1 2 \|z5\| −→ h ′′ ∗ ) ≤ e− δ2 \|2 −1ξ′′1 \| −→ h ′′ ∗ , χ ∈ (0; 1/2), ξ ∈ Rn, i e−δ(\|z4\| −→ h ′ ∗ + 1 3 \|z6\| −→ h ′ ∗ ) ≤ e− δ3 \|2 −1ξ′2\| −→ h ′ ∗ , χ ∈ (0; 1/2), ξ ∈ Rn, встановлюються аналогiчним способом. Оскiльки має мiсце очевидна рiвнiсть q′2∑ l′2=0 C l′2 q′2 ( q′′2∑ l′′2 =0 C l′′2 q′′2 ( q3∑ l3=0 Cl3q3 l3∑ j=0 Cjl3 )) = 2\|q2\|∗3\|q3\|∗ , iз (33) випливає iснування додатних сталих c, A i δ , якi не залежать вiд q ∈ Zn+ , ξ ∈ Rn , χ ∈ (0; 1/2) i такi, що для кожного елемента ψ ∈ S−→α ∗−→ β ∗ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1348 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО \|∂qξ (Ť+ χ ϕ(ξ))\| ≤ cA\|q\|∗qq −→ β ∗e−δ\|ξ\| −→ 1 /−→α∗ ∗ , ϕ(·) := F−1[ψ](·). (34) Звiдси та з рiвностi (32), враховуючи при цьому лему 3, одержуємо обмеженiсть сукупностi Jχ,0ψ (·) , 0 < χ� 1 , у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ , тобто виконання умови 1. Перейдемо до встановлення умови 2. З рiвностi (32) для q ∈ Zn+ , ξ ∈ Rn i χ ∈ (0; 1/2) дiстанемо \|∂qξ ((2π)−nJχ,0ψ (ξ)− ϕ(ξ))\| ≤ \|V (t, τ, ξ)− 1\| sup ξ∈Rn { \|∂qξ (Ť+ χ ϕ(ξ))\| } + + ( 2\|q\|∗ \|q\|∗∑ \|l\|∗=1 \|∂lξV (t, τ, ξ)\| sup ξ∈Rn { \|∂q−lξ (Ť+ χ ϕ(ξ))\| }) + +4\|q2\|∗+\|q3\|∗ ( q′2∑ l′2=0 ′ q′′2∑ l′′2 =0 q3∑ l3=0 l3∑ j=0 χ\|l2\|∗+\|j\|∗+2\|q3−l3\|∗× × sup z∈Rn {∣∣∣∣∣ ∂\|q\|∗ϕ(z) ∂z q′1+l′2+q3−l3 1 ∂z q′′1 +l′′2 2 ∂z q′′′1 3 ∂z q′2−l′2+j 4 ∂z q′′2−l′′2 5 ∂zl3−j6 ∣∣∣∣∣ }) + + ∣∣∣∣∣ ∂\|q\|∗ϕ(z) ∂z q′1 1 ∂z q′′1 2 ∂z q′′′1 3 ∂z q′2 4 ∂z q′′2 5 ∂zq36 − ∂qξϕ(ξ) ∣∣∣∣∣, де ∑q′2 l′2=0 ′ означає, що розглядається сума з рiвностi (33) без доданка ∂\|q\|∗ϕ(z) ∂z q′1 1 ∂z q′′1 2 ∂z q′′′1 3 ∂z q′2 4 ∂z q′′2 5 ∂zq36 . Звiдси, враховуючи оцiнки (34) та sup z∈Rn {∣∣∣∣∣ ∂\|q\|∗ϕ(z) ∂z q′1+l′2+q3−l3 1 ∂z q′′1 +l′′2 2 ∂z q′′′1 3 ∂z q′2−l′2+j 4 ∂z q′′2−l′′2 5 ∂zl3−j6 ∣∣∣∣∣ } < +∞ ∀ϕ ∈ S −→ β ∗ −→α ∗ , приходимо до висновку, що перевiрка виконання умови 2 зводиться до встановлен- ня граничних спiввiдношень \|V (t, τ, ξ)− 1\| ξ∈K ⇒ t→τ+0 0, \|∂qξV (t, τ, ξ)\| ξ∈K ⇒ t→τ+0 0, l ∈ Zn+, \|l\|∗ 6= 0, (35) ∣∣∣∣∣ ∂\|q\|∗ϕ(z) ∂z q′1 1 ∂z q′′1 2 ∂z q′′′1 3 ∂z q′2 4 ∂z q′′2 5 ∂zq36 − ∂qξϕ(ξ) ∣∣∣∣∣ ξ∈K⇒χ→0+ 0, q ∈ Zn+. Однак для довiльного компакта K ⊂ R ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1349 \|V (t, τ, ξ)\| ≤ exp{(t− τ)∆K} → t→τ+0 1, \|∂qξV (t, τ, ξ)\| ≤ ∆K \|l\|∗∑ r=1 cr ( t∫ τ sup ξ∈K {\|Pr(θ − τ, ξ)\|}dθ )r → t→τ+0 0, l ∈ Zn+, \|l\|∗ 6= 0, де cr — додатнi сталi, Pr(θ − τ, ξ) — вiдповiднi многочлени вiд змiнних (θ − τ) i ξ , a ∆K := ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 ( sup t∈[0;T ] {\|ak1(t)} ) × × ( sup ξ∈K {\|\|ξ′1\|+ T \|ξ′2\|+ T 2\|ξ3\|\|k ′ 1 \|\|ξ′′1 \|+ T \|ξ′′2 \|\|k ′′ 1 \|ξ′′′1 \|k ′′′ 1 } ) . Щодо спiввiдношення (35), то воно також виконується. У цьому неважко пе- реконатися, якщо скористатися теоремою про скiнченнi прирости та врахувати те, що функцiя ϕ(·) є елементом вiдповiдного простору типу S . Лему доведено. 3. Коректна розв’язнiсть задачi Кошi. Наступне твердження характеризує коректну розв’язнiсть задачi Кошi (1), (3) для початкових даних iз досить широкого класу функцiй. Теорема. Нехай початкова функцiя f є елементом простору (S −→α ∗−→ β ∗ )′. Тодi для задачi Кошi (1), (3) iснує єдиний, неперервно залежний вiд початкових даних розв’язок, який диференцiйовний по t, нескiнченно диференцiйовний по x i зобра- жується формулою u(t, x) = 〈fη, G(t, x; 0, η)〉, t ∈ Πn (0;T ] (36) (тут iндекс η вказує на змiнну, за якою вiдбувається дiя функцiонала f ). Доведення. Дослiдженi у попередньому пунктi властивостi ФРЗК G дозволя- ють скористатися тут схемою доведення аналогiчного твердження з [3]. У зазна- чений спосiб легко переконуємося, що функцiя u(t, x) , яка визначається рiвнiстю (36) у шарi Πn (0;T ] , є диференцiйовною по t , нескiнченно диференцiйовною по x i задовольняє у звичайному розумiннi рiвняння (1) у цьому шарi. Ця функцiя також задовольяє i початкову умову (3). Справдi, зафiксувавши довiльно ψ з S −→α ∗−→ β ∗ та врахувавши означення оберненого перетворення Фур’є уза- гальненої функцiї, а також регулярнiсть функцiонала uτ (t, ·) , одержимо 〈uτ (t, x), ψ(x)〉 = (2π)n ∫ Rn (〈F−1 ξ→η[f ], F−1 ξ→η[G(t, x; τ, ξ)]〉)ψ(x)dx = = ∫ Rn (〈F−1 ξ→η[f ], It,τη,ψ(x)〉)dx, 0 ≤ τ < t ≤ T. Звiдси, врахувавши лему 4, дiстанемо рiвнiсть 〈uτ (t, x), ψ(x)〉 = 〈F−1 ξ→η[f ], J t,τψ (η)〉, ψ ∈ S−→α ∗ −→ β ∗ , 0 ≤ τ < t ≤ T, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10 1350 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО з якої за допомогою леми 5 одержимо 〈uτ (t, x), ψ(x)〉 −→ t→τ+0 (2π)n〈F−1[f ](η), F−1[ψ](η)〉 = 〈f, ψ〉 для будь-яких ψ ∈ S −→α ∗−→ β ∗ i τ ∈ [0;T ) , тобто виконання початкової умови (3) для функцiї u(t, ·) = u0(t, ·) . Щодо єдиностi розв’язку задачi Кошi (1), (3), то доведення цього факту ґрун- тується на вiдомому способi Хольмгрена i зводиться до повторення вiдповiдних мiркувань з [3]. Теорему доведено. 1. Kolmogoroff A. N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung) // Ann. Math. – 1934. – 35. – S. 116 – 117. 2. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2004. – 152. – 390 p. 3. Iвасишен С. Д., Лiтовченко В. А. Задача Кошi для одного класу вироджених параболiчних рiвнянь типу Колмогорова з додатним родом // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 8. – С. 1066 – 1087. 4. Литовченко В. А. Задача Коши для {−→p , −→ h } -параболических уравнений с коэффициентами, за- висящими от времени // Мат. заметки. – 2005. – 77, № 3-4. – С. 364 – 379. 5. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1958. – 274 с. 6. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с. Одержано 15.02.10 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10

Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом

Репозитарії

Схожі ресурси