Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной
Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166274 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной / И.И. Ковтун, М.Н. Феллер // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1400–1407. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166274 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662742020-02-19T01:28:10Z Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной Ковтун, И.И. Феллер, М.Н. Статті Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной Boundary-value problems for a nonlinear parabolic equation with Lévy Laplacian resolved with respect to the derivative 2010 Article Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной / И.И. Ковтун, М.Н. Феллер // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1400–1407. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166274 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Ковтун, И.И. Феллер, М.Н. Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной Український математичний журнал |
| description |
Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной |
| format |
Article |
| author |
Ковтун, И.И. Феллер, М.Н. |
| author_facet |
Ковтун, И.И. Феллер, М.Н. |
| author_sort |
Ковтун, И.И. |
| title |
Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной |
| title_short |
Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной |
| title_full |
Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной |
| title_fullStr |
Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной |
| title_full_unstemmed |
Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной |
| title_sort |
краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом леви, разрешенного относительно производной |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166274 |
| citation_txt |
Краевые задачи для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви, разрешенного относительно производной / И.И. Ковтун, М.Н. Феллер // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1400–1407. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kovtunii kraevyezadačidlânelinejnogoparaboličeskogouravneniâslaplasianomlevirazrešennogootnositelʹnoproizvodnoj AT fellermn kraevyezadačidlânelinejnogoparaboličeskogouravneniâslaplasianomlevirazrešennogootnositelʹnoproizvodnoj |
| first_indexed |
2025-07-14T21:05:53Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:05:53Z |
| _version_ |
1837657912365809664 |
| fulltext |
УДК 517.9
М. Н. Феллер (УкрНИИ „Ресурс”, Киев),
И. И. Ковтун (Нац. ун-т биоресурсов и природопользования Украины, Киев)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ЛАПЛАСИАНОМ
ЛЕВИ, РАЗРЕШЕННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
We present solutions of a boundary-value and initial boundary-value problems for a nonlinear parabolic equati-
on with the Lévy Laplacian ∆L, solved with respect to the derivative
∂U(t, x)
∂t
= f(U(t, x),4LU(t, x)),
in fundamental domains of a Hilbert space.
Наведено розв’язки крайової та початково-крайової задач для нелiнiйного параболiчного рiвняння з
лапласiаном Левi ∆L розв’язаного вiдносно похiдної
∂U(t, x)
∂t
= f(U(t, x),4LU(t, x)), для фунда-
ментальних областей гiльбертового простору.
1. Введение. В статье [1] (см. также [2]) было получено решение задачи Коши
для нелинейного параболического уравнения с лапласианом Леви ∆L
∂U(t, x)
∂t
= f(U(t, x),∆LU(x)), U(0, x) = U0(x),
где f(ξ, ζ) — функция на R2.
Настоящая статья посвящена решениям краевой задачи для нелинейного пара-
болического уравнения с лапласианом Леви
∂U(t, x)
∂t
= f(U(t, x),∆LU(t, x)) в Ω, U(t, x) = G(t, x) на Γ
и начально-краевой задачи для нелинейного параболического уравнения с лапла-
сианом Леви
∂U(t, x)
∂t
= f(U(t, x),∆LU(t, x)) в Ω,
U(0, x) = 0, U(t, x) = G(t, x) на Γ,
для фундаментальных областей Ω
⋃
Γ в гильбертовом пространстве H.
2. Предварительные сведения. Пусть H — счетномерное вещественное гиль-
бертово пространство. Рассмотрим скалярные функции F (x) на H, x ∈ H.
Бесконечномерный лапласиан ввел П. Леви [3]. Для функции F (x), дважды
сильно дифференцируемой в точке x0, лапласиан Леви в этой точке определяется,
если он существует, формулой
∆LF (x0) = lim
n→∞
1
n
n∑
k=1
(F ′′(x0)fk, fk)H , (1)
где F ′′(x) — гессиан функции F (x), {fk}∞1 — некоторый ортонормированный
базис в H.
Приведем свойство лапласиана Леви, полученное в [3], которое понадобится в
дальнейшем (см. также [2]).
c© М. Н. ФЕЛЛЕР, И. И. КОВТУН, 2010
1400 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1401
Пусть функция
F (x) = f(U1(x), . . . , Um(x)),
где f(u1, . . . , um) — дважды непрерывно дифференцируемая функция m перемен-
ных в области {U1(x), . . . , Um(x)} ⊂ Rm, а (U1(x), . . . , Um(x)) — вектор значений
функций U1(x), . . . , Um(x). Пусть Uj(x) — равномерно непрерывные в ограни-
ченной области Ω ⊂ H дважды сильно дифференцируемые функции и ∆LUj(x),
j = 1, . . . ,m, существуют. Тогда ∆LF (x) существует и
∆LF (x) =
m∑
j=1
∂f
∂uj
∣∣∣
uj=Uj(x)
∆LUj(x). (2)
Пусть Ω — ограниченная область в гильбертовом пространстве H (т. е. огра-
ниченное открытое множество в H), а Ω = Ω
⋃
Γ — область в пространстве H с
границей Γ.
Определим область Ω в пространстве H с поверхностью Γ следующим обра-
зом:
Ω = {x ∈ H : 0 ≤ Q(x) < R2}, Γ = {x ∈ H : Q(x) = R2},
где Q(x) — дважды сильно дифференцируемая функция такая, что ∆LQ(x) = γ и
γ — положительное число. Такие области называют фундаментальными.
Примеры фундаментальных областей:
1) шар Ω = {x ∈ H : ‖x‖2H ≤ R2} ;
2) эллипсоид Ω = {x ∈ H : (Bx, x)H ≤ R2}, где B = γE + S(x), E —
единичный, а S(x) — вполне непрерывный оператор в H.
Введем функцию T (x) =
R2 −Q(x)
γ
, имеющую свойства
0 < T (x) ≤ R2
γ
при x ∈ Ω, T (x) = 0 при x ∈ Γ, ∆LT (x) = −1.
3. Краевая задача. Рассмотрим краевую задачу
∂U(t, x)
∂t
= f(U(t, x),∆LU(t, x)) в Ω, (3)
U(t, x) = G(t, x) на Γ, (4)
где U(t, x) — функция на [0,∞)×H, f(ξ, ζ) — заданная функция двух переменных,
G(t, x) — заданная функция.
Теорема 1. Пусть f(ξ, ζ) — непрерывная, дважды дифференцируемая функ-
ция двух переменных в области {U(t, x),∆LU(t, x)} в R2, уравнение η = f(ξ, cη)
разрешимо относительно η, η = φ(ξ, c), причем переменные ξ и c разделяют-
ся, φ(ξ, c) = α(c)β(ξ) (α(c), β(ξ) — функции на R1, β(ξ) 6= 0), существуют
первообразная ϕ(ξ) =
∫
dξ
β(ξ)
и обратная функция ϕ−1.
Пусть область Ω фундаментальна.
Пусть также существует решение V (τ, x) краевой задачи для уравнения теп-
лопроводности
∂V (τ, x)
∂τ
= ∆LV (τ, x) в Ω, V (τ, x)
∣∣
Γ
= G(τ, x). (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1402 М. Н. ФЕЛЛЕР, И. И. КОВТУН
Предположим, что уравнение
α′c
(
σ
( ∂V (τ,x)
∂τ
∣∣
τ=X+T (x)
β(V (X + T (x), x))
))
[t−X]− δ′c
(
σ
( ∂V (τ,x)
∂τ
∣∣
τ=X+T (x)
β(V (X + T (x), x))
))
T (x) = 0,
(6)
где δ(c) = cα(c), σ = α−1, разрешимо относительно X = χ(t, x), причем
χ(t, x)
∣∣
Γ
= t.
Тогда решение краевой задачи (3), (4) задается формулой
ϕ(U(t, x)) = α
(
ψ(χ(t, x))
)
[t−χ(t, x)]−δ(ψ(χ(t, x)))T (x)+ϕ(V (χ(t, x)+T (x), x)),
(7)
где
ψ(χ(t, x)) = α−1
( ∂V (τ,x)
∂τ
∣∣
τ=X+T (x)
β(V (χ(t, x) + T (x), x))
)
(8)
(ψ(z) — функция на R1) .
Доказательство. Из (7) имеем
ϕ′ξ(U(t, x))
∂U(t, x)
∂t
=
1
β(U(t, x))
∂U(t, x)
∂t
= α(ψ(χ(t, x)))−
−α(ψ(χ(t, x)))
∂χ(t, x)
∂t
+ α′c(ψ(χ(t, x)))ψ′z(χ(t, x))
∂χ(t, x)
∂t
[t− χ(t, x)]−
−δ′c(ψ(χ(t, x)))ψ′z(χ(t, x))
∂χ(t, x)
∂t
T (x) +
∂V (τ,x)
∂τ
∣∣∣
τ=χ(t,x)+T (x)
β(V (χ(t, x) + T (x), x))
∂χ(t, x)
∂t
=
= α(ψ(χ(t, x))) +
{
α′c(ψ(χ(t, x)))[t− χ(t, x)]− δ′c(ψ(χ(t, x)))T (x)
}
ψ′c(χ(t, x))×
×∂χ(t, x)
∂t
−
[
α(ψ(χ(t, x)))−
∂V (τ,x)
∂τ
∣∣∣
τ=χ(t,x)+T (x)
β(V (χ(t, x) + T (x), x))
]
∂χ(t, x)
∂t
.
Поскольку χ(t, x) удовлетворяет уравнению (6), а из (8) следует, что
α(ψ(χ(t, x))) =
∂V (τ,x)
∂τ
∣∣∣
τ=χ(t,x)+T (x)
β(V (χ(t, x) + T (x), x))
,
то
∂U(t, x)
∂t
= α(ψ(χ(t, x)))β(U(t, x)). (9)
Из (7), используя формулу (2), имеем
ϕ′ξ(U(t, x))∆LU(t, x) =
1
β(U(t, x))
∆LU(t, x) =
= −α(ψ(χ(t, x)))∆Lχ(t, x) + α′c(ψ(χ(t, x)))ψ′z(χ(t, x))∆Lχ(t, x)[t− χ(t, x)]−
−δ′c(ψ(χ(t, x)))ψ′z(χ(t, x))∆Lχ(t, x)T (x)− δ(ψ(χ(t, x)))∆LT (x)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1403
+
∂V (τ,x)
∂τ
∣∣∣
τ=χ(t,x)+T (x)
β(V (χ(t, x) + T (x), x))
[
∆Lχ(t, x) + ∆LT (x)
]
+
∆LV (τ, x)
∣∣
τ=χ(t,x)+T (x)
β(V (χ(t, x) + T (x), x))
.
Но ∆LT (x) = −1, поэтому
∆LU(t, x)
β(U(t, x))
= δ(ψ(χ(t, x))) +
{
α′c(ψ(χ(t, x)))[t− χ(t, x)]−
−δ′c(ψ(χ(t, x))))T (x)
}
ψ′z(χ(t, x))∆Lχ(t, x)−
−
[
α(ψ(χ(t, x)))−
∂V (τ,x)
∂τ
∣∣
τ=χ(t,x)+T (x)
β(V (χ(t, x) + T (x), x))
]
∆Lχ(t, x)−
−
[
∂V (τ,x)
∂τ −∆LV (τ, x)
]∣∣∣
τ=χ(t,x)+T (x)
β(V (χ(t, x) + T (x), x))
.
Поскольку χ(t, x) удовлетворяет уравнению (6), из (8) следует, что
α(ψ(χ(t, x))) =
∂V (τ,x)
∂τ
∣∣∣
τ=χ(t,x)+T (x)
β(V (χ(t, x) + T (x), x))
,
а
∂V (τ, x)
∂τ
= ∆LV (τ, x), то
∆LU(t, x) = δ(ψ(χ(t, x)))β(U(t, x)). (10)
Подставляя (9) и (10) в уравнение (3), получаем тождество
α(ψ(χ(t, x)))β(U(t, x)) = f(U(t, x), ψ(χ(t, x))α(ψ(χ(t, x)))β(U(t, x)),
ибо по условию теоремы из η = f(ξ, cη) следует, что η = α(c)β(ξ).
На поверхности Γ T (x) = 0, а χ(t, x) = t. Полагая в (7) T (x) = 0, χ(t, x) =
= t и учитывая, что V (t, x)
∣∣∣
Γ
= G(t, x), имеем ϕ
(
U(t, x)
∣∣
Γ
)
= ϕ
(
V (t, x)
∣∣
Γ
)
=
= ϕ(G(t, x)) и U(t, x)
∣∣
Γ
= G(t, x).
Теорема 1 доказана.
Следствие. Решение краевой задачи для квазилинейного уравнения
∂U(t, x)
∂t
= ∆LU(t, x) + f0(U(t, x)) в Ω, (11)
U(t, x) = G(t, x) на Γ, (12)
где f0(ξ) — дифференцируемая функция одной переменной, имеет вид
U(t, x) = ϕ−1
(
T (x) + ϕ(V (t, x))
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1404 М. Н. ФЕЛЛЕР, И. И. КОВТУН
Действительно, для уравнения (11) f(ξ, ζ) = ζ + f0(ξ). Поэтому η =
f0(ξ)
1− c
,
α(c) =
1
1− c
, β(ξ) = f0(ξ). Значит, δ(c) =
c
1− c
, ϕ(ξ) =
∫
dξ
f0(ξ)
.
Поскольку α′(c) = δ′(c) =
1
(1− c)2
, уравнение (6) принимает вид
t−X − T (x) = 0.
Его решение
X = χ(t, x) = t− T (x).
Подставляя это значение χ(t, x) в формулу (7) и учитывая, что при этом V (χ(t, x)+
+ T (x), x) = V (t, x), получаем
ϕ(U(t, x)) = [α(ψ(t, x))− δ(ψ(T, x))]T (x) + ϕ(V (t, x)).
Но α(c)− δ(c) = 1. Поэтому решение краевой задачи (11), (12) задается формулой
ϕ(U(t, x)) = T (x) + ϕ(V (t, x)), т. е.
U(t, x) = ϕ−1
(
T (x) + ϕ(V (t, x))
)
.
Следствие доказано.
Заметим, что решение краевой задачи для квазилинейного уравнения с лапла-
сианом Леви (11), (12) получено в [4].
4. Начально-краевая задача. Рассмотрим начально-краевую задачу с однород-
ным начальным условием
∂U(t, x)
∂t
= f(U(t, x),∆LU(t, x)) в Ω, (13)
U(0, x) = 0, (14)
U(t, x) = G(t, x) на Γ, (15)
где U(t, x) — функция на [0,∞)×H, f(ξ, ζ) — заданная функция двух переменных,
G(t, x) — заданная функция.
Обозначим через MΦ среднее значение функции Φ(y) по сфере ‖y‖2H = 1 [3].
Теорема 2. Пусть для функции f(ξ, ζ) и области Ω выполняются условия
теоремы 1 и существует решение V (τ, x) начально-краевой задачи для уравнения
теплопроводности
∂V (τ, x)
∂τ
= ∆LV (τ, x)) в Ω, V (0, x) = 0, V (τ, x)
∣∣∣∣
Γ
= G(τ, x). (16)
Предположим, что функция G(t, x) равномерно непрерывна в Ω при каждом
t ∈ [0,∞), имеет среднее MG(t, x +
√
2T (x) y) и, кроме того, G(t, x) = 0,
G′t(t, x) = 0 при t ≤ r (r > 0).
Пусть также уравнение
α′c
(
σ
( ∂V (τ,x)
∂τ
∣∣
τ=X+T (x)
β(V (X + T (x), x))
))
[t−X]− δ′c
(
σ
( ∂V (τ,x)
∂τ
∣∣
τ=X+T (x)
β(V (X + T (x), x))
))
T (x) = 0,
(17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1405
где σ = α−1, δ(c) = cα(c), разрешимо относительно X = χ(t, x), причем
χ(t, x)
∣∣∣∣
Γ
= t и χ(0, x) < r.
Тогда решение начально-краевой задачи (13) – (15) задается формулой
ϕ(U(t, x)) = α(ψ(χ(t, x)))[t−χ(t, x)]−δ(ψ(χ(t, x))T (x)+ϕ(V (χ(t, x)+T (x), x)),
(18)
где
ψ(χ(t, x)) = α−1
( ∂V (τ,x)
∂τ
∣∣
τ=χ(t,x)+T (x)
β(V (χ(t, x) + T (x), x))
)
(19)
(ψ(z) — функция на R1) .
Доказательство. Доказательство того, что выражение (18) удовлетворяет урав-
нению (13) в Ω и на поверхности Γ U(t, x) = G(t, x), такое же, как и в доказа-
тельстве теоремы 1.
Покажем, что U(0, x) = 0.
Вначале покажем, что если G(τ, x) = 0 при τ ≤ 0, то в условиях теоремы
решение задачи
∂V (t, x)
∂t
= ∆LV (t, x) в Ω, V (0, x) = 0, V (t, x)
∣∣
Γ
= G(t, x)
можно записать так:
V (t, x) = MG(t− T (x), x+
√
2T (x) y). (20)
Действительно, с одной стороны,
∂V (t, x)
∂t
=
∂MG(t− T (x), x+
√
2T (x)y)
∂τ
, (21)
где τ = t− T (x) .
С другой стороны, используя формулу (2), имеем
∆LV (t, x) =
= −
∂MG(t− T (x), x+
√
2T (x)y)
∂τ
∆LT (x) + ∆LMG(τ, x+
√
2T (x)y)
∣∣∣
τ=t−T (x)
=
=
∂MG(t− T (x), x+
√
2T (x)y)
∂τ
+ ∆LMG(τ, x+
√
2T (x)y)
∣∣∣
τ=t−T (x)
(так как ∆LT = −1).
В [5] показано, что если функция F (x) равномерно непрерывна в Ω и имеет
среднее MF (x +
√
2T (x)y), то это среднее является гармонической функцией в
Ω, т. е.
∆LMF (x+
√
2T (x)y) = 0 x ∈ Ω.
Поэтому
∆LV (t, x) =
∂MG(t− T (x), x+
√
2T (x)y)
∂τ
. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1406 М. Н. ФЕЛЛЕР, И. И. КОВТУН
Подставляя в уравнение
∂V (t, x)
∂t
= ∆LV (t, x) выражения (21) и (22), получаем
тождество
∂MG(t− T (x), x+
√
2T (x)y)
∂τ
=
∂MG(t− T (x), x+
√
2T (x)y)
∂τ
.
Полагая в (20) t = 0, имеем V (0, x) = MG(−T (x), x+
√
2T (x)y) = 0, так как по
условию теоремы G(τ, x) = 0 при τ ≤ 0.
На поверхности Γ T (x) = 0, поэтому из (20) следует, что V (t, x)
∣∣
Γ
=
= MG(t, x) = G(t, x).
Согласно формуле (20) имеем
V (χ(t, x) + T (x), x) = MG(χ(t, x), x+
√
2T (x) y).
Поэтому
V (χ(0, x) + T (x), x) = MG(χ(0, x), x+
√
2T (x) y) = 0 (23)
(поскольку по условию теоремы χ(0, x) ≤ r, а G(τ, x) = 0 при τ ≤ r).
Из формулы (19) получаем
α(ψ(χ(t, x))) =
∂V (τ,x)
∂τ
∣∣∣
τ=χ(t,x)+T (x)
β(V (χ(t, x)) + T (x), x))
=
MG′t(χ(t, x), x+
√
2T (x)y)
β(V (χ(t, x)) + T (x), x))
,
поэтому α(ψ(χ(0, x))) = 0 (поскольку по условию теоремы χ(0, x) < r, а
G′(τ, x) = 0 при τ ≤ r).
Полагая в (18) t = 0 и учитывая (23), находим ϕ(U(0, x)) = ϕ(V (χ(0, x) +
+ T (x), x)) = ϕ(0) и, значит, U(0, x) = 0.
Теорема 2 доказана.
Пример. Решим начально-краевую задачу в шаре пространства H : Ω = {x ∈
∈ H : ‖x‖2H ≤ R2} :
∂U(t, x)
∂t
=
3
√√
U(t, x)∆LU(t, x) в Ω, (24)
U(0, x) = 0, (25)
U(t, x)
∣∣∣
‖x‖2H=R2
= g
(
t− 1
2
R2
)
, (26)
где g(λ) = λ2 для λ ≥ 0, g(λ) = 0 для λ ≤ 0.
Для уравнения (24) f(ξ, ζ) = ξ1/6ζ1/3. Поэтому η = ξ1/4c1/2 и α(c) = c1/2,
β(ξ) = ξ1/4. Значит, δ(c) = c3/2, ϕ(ξ) =
4
3
ξ3/4.
Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
∂V (τ, x)
∂τ
= ∆LV (τ, x) в Ω, V (0, x) = 0, V (τ, x)
∣∣∣
‖x‖2H=R2
= g
(
τ − 1
2
‖x‖2H
)
задается формулой
V (τ, x) = g
(
τ +
1
2
‖x‖2H −R2
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1407
Теперь уравнение (17) принимает вид
t− (1 + 12T (x))X + 6R2T (x) = 0
и его решение
X = χ(t, x) =
t+ 6T (x)R2
1 + 2T (x)
.
Поскольку при этом значении χ(t, x)
V (χ(t, x) + T (x), x) = g
(
χ(t, x)− R2
2
)
=
g
(
t− R2
2
)
(1 + 12T (x))2
,
то
α(ψ(χ(t, x))) =
2g1/4
(
t− R2
2
)
(1 + 12T )1/2
, δ(ψ(χ(t, x))) =
8g3/4
(
t− R2
2
)
(1 + 12T )3/2
.
Согласно формуле (18) получаем решение задачи (24) – (26):
U(t, x) =
g
(
t− R2
2
)
[1 + 6(R2 − ‖x‖2H)]2/3
.
1. Феллер М. Н. Заметки о бесконечномерных нелинейных гиперболических уравнениях // Укр. мат.
журн. – 2000. – 52, № 5. – С. 690 – 701.
2. Feller M. N. The Lévy Laplacian. – Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 2005. – 153 p.
3. Lévy P. Problémes concrets d’analyse fonctionnelle. – Paris: Gauthier-Villars, 1951. – 510 p.
4. Feller M. N., Kovtun I. I. Quasilinear parabolic equations with a Lévy Laplacian for functions of infinite
number of variables // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, № 2. – P. 117 – 123.
5. Polishchuk E. M. Continual means and boundary value problems in function spaces. – Berlin: Acad.
Verl., 1988 – 160 p.
Получено 24.03.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
|