Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь
Исследуется изображение для функций от оператора сдвига, действующего на ограниченные последовательности элементов банахова пространства. Получена оценка для ограниченного решения линейного разностного уравнения в банаховом пространстве. Для двух типов дифференциальных уравнений в банаховом простран...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166275 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь / А.В. Чайковський // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1408–1419. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166275 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662752020-02-19T01:27:23Z Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь Чайковський, А.В. Статті Исследуется изображение для функций от оператора сдвига, действующего на ограниченные последовательности элементов банахова пространства. Получена оценка для ограниченного решения линейного разностного уравнения в банаховом пространстве. Для двух типов дифференциальных уравнений в банаховом пространстве приведены достаточные условия того, что их ограниченные решения являются пределами ограниченных решений соответствующих разностных уравнений. Получены оценки для скорости сходимости. We study the representation for functions of shift operator acting upon bounded sequences of elements of a Banach space. An estimate is obtained for the bounded solution of a linear difference equation in the Banach space. For two types of differential equations in Banach spaces, we present sufficient conditions for their bounded solutions to be limits of bounded solutions of the corresponding difference equations and establish estimates for the rate of convergence. 2010 Article Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь / А.В. Чайковський // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1408–1419. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166275 517.98 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Чайковський, А.В. Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь Український математичний журнал |
| description |
Исследуется изображение для функций от оператора сдвига, действующего на ограниченные последовательности элементов банахова пространства. Получена оценка для ограниченного решения линейного разностного уравнения в банаховом пространстве. Для двух типов дифференциальных уравнений в банаховом пространстве приведены достаточные условия того, что их ограниченные решения являются пределами ограниченных решений соответствующих разностных уравнений. Получены оценки для скорости сходимости. |
| format |
Article |
| author |
Чайковський, А.В. |
| author_facet |
Чайковський, А.В. |
| author_sort |
Чайковський, А.В. |
| title |
Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь |
| title_short |
Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь |
| title_full |
Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь |
| title_fullStr |
Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь |
| title_sort |
функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166275 |
| citation_txt |
Функції від оператора зсуву та їх застосування до різницевих рівнянь / А.В. Чайковський // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1408–1419. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT čajkovsʹkijav funkcíívídoperatorazsuvutaíhzastosuvannâdoríznicevihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-14T21:05:56Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:05:56Z |
| _version_ |
1837657915792556032 |
| fulltext |
УДК 517.98
А. В. Чайковський (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ФУНКЦIЇ ВIД ОПЕРАТОРА ЗСУВУ
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
We investigate representations of functions of a shift operator acting on bounded sequences of elements of a
Banach space. We obtain an estimate for bounded solution of a linear difference equation in the Banach space.
For two types of differential equations in the Banach space, we present sufficient conditions for their bounded
solutions to be limits of bounded solutions of corresponding difference equations. We obtain estimates for the
rate of convergence.
Исследуется изображение для функций от оператора сдвига, действующего на ограниченные последова-
тельности элементов банахова пространства. Получена оценка для ограниченного решения линейного
разностного уравнения в банаховом пространстве. Для двух типов дифференциальных уравнений в
банаховом пространстве приведены достаточные условия того, что их ограниченные решения явля-
ются пределами ограниченных решений соответствующих разностных уравнений. Получены оценки
для скорости сходимости.
1. Вступ. При дослiдженнi рiзницевих рiвнянь, визначених на Z, вiдносно елемен-
тiв, що належать банаховому простору, активно вивчаються питання, присвяченi
iснуванню та єдиностi обмежених розв’язкiв (див., наприклад, [1 – 4]), а також
наближенню розв’язками рiзницевих рiвнянь розв’язкiв вiдповiдних диференцi-
альних рiвнянь [5 – 8]. При дослiдженнi цих питань зручно записувати рiзницеве
рiвняння у виглядi Lx = y, де y — вiдома послiдовнiсть, x — невiдома, L — опе-
ратор, що є функцiєю вiд оператора H зсуву вправо у просторi послiдовностей.
Наприклад, рiзницеве рiвняння
xn+1 − xn−1 = 2τ(Axn + yn), n∈ Z
(A — лiнiйний оператор, τ > 0), яке є рiзницевим аналогом диференцiального
рiвняння
x′(t) = Ax(t) + y(t), t∈ R,
можна записати у виглядi
(H−1 −H − 2τA)x = y.
Тому важливо мати зображення функцiй вiд оператора зсуву та вмiти оцiнювати їх.
Операторне числення Данфорда [9, c. 608] дозволяє для кожної функцiї, аналiтич-
ної в околi спектра (для оператора зсуву це, як правило, одиничне коло), визначити
вiдповiдну функцiю вiд оператора, проте оцiнка отриманої функцiї часто є склад-
ною. В цiй роботi буде показано, як можна будувати функцiї вiд оператора, якщо
вiдповiдна числова функцiя не обов’язково аналiтична i визначена лише на спектрi
оператора, який збiгається з одиничним колом. Як наслiдок, наведемо розв’язки
для двох задач рiвномiрного наближення обмежених розв’язкiв диференцiальних
рiвнянь розв’язками вiдповiдних рiзницевих рiвнянь у банаховому просторi.
2. Функцiї вiд операторiв зi спектром на колi. Нехай (X, ‖·‖X) — комплексний
банахiв простiр, L(X) — множина лiнiйних неперервних операторiв в X, S :=
:= {z ∈ C | |z| = 1} .
c© А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ, 2010
1408 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
ФУНКЦIЇ ВIД ОПЕРАТОРА ЗСУВУ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 1409
Означення 1. Нехай M ∈ L(X), σ(M) ⊂ S i
∀n∈ Z : ‖Mn‖ = 1. (1)
Покладемо
F (z) :=
∑
n∈Z\{−2,−1}
zn+2M−n−1
(n+ 1)(n+ 2)
, z ∈ S. (2)
Для довiльної функцiї ϕ ∈ C2(S,L(X)) визначимо оператор
ϕ(M) :=
1
2πi
∫
S
(
z−1 +Mz−2
)
ϕ(z)dz +
∫
S
F (z)ϕ′′(z)dz
,
де рух по одиничному колу S вiдбувається проти годинникової стрiлки.
Зауваження 1. Пiдiнтегральнi функцiї є неперервними, отже, iнтеграли збiжнi
в сенсi Рiмана. Зокрема, ϕ(M) ∈ L(X).
Приклад. Нехай X — простiр неперервних та обмежених на осi функцiй зi
значеннями в комплексному банаховому просторi B, норма в X є рiвномiрною.
Розглянемо в X оператор зсуву (Mx)(t) := x(t − 1), t∈ R, x ∈ X. Тодi оператор
M задовольняє умови означення 1.
Лема 1. Якщо ϕ(z) = zn, n∈ Z, то ϕ(M) = Mn.
Це твердження випливає з того, що ряд для F можна помiняти мiсцями з
iнтегралом i скористатись теорiєю лишкiв (див. [10]).
Теорема 1. Нехай виконуються умови означення 1. Тодi
ϕ(M) =
1
2πi
lim
N→+∞
∫
S
(
N∑
n=−N
znM−n−1
)
ϕ(z)dz.
Доведення. Використовуючи рiвномiрну збiжнiсть ряду (2), iнтегрування части-
нами, формулу суми геометричної прогресiї та умову (1), маємо
ϕ(M) =
1
2πi
∫
S
(
z−1 +Mz−2
)
ϕ(z)dz+
+
1
2πi
lim
N→+∞
∫
S
∑
n∈Z\{−2,−1}, |n|6N
zn+2M−n−1
(n+ 1)(n+ 2)
ϕ′′(z)dz =
=
1
2πi
∫
S
(
z−1 +Mz−2
)
ϕ(z)dz+
+
1
2πi
lim
N→+∞
∫
S
∑
n∈Z\{−2,−1}, |n|6N
znM−n−1
ϕ(z)dz =
=
1
2πi
lim
N→+∞
∫
S
(
N∑
n=−N
znM−n−1
)
ϕ(z)dz.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1410 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Теорема 2. Якщо функцiї ϕ1, ϕ2 задовольняють умови означення 1 i α1, α2 ∈
∈ C, то в сенсi означення 1 (α1ϕ1 + α2ϕ2)(M) = α1ϕ1(M) + α2ϕ2(M),
(ϕ1ϕ2)(M) = ϕ1(M)ϕ2(M). Якщо додатково ϕ1(z) 6= 0, z ∈ S, то в сенсi означен-
ня 1
(
1
ϕ1
)
(M) = (ϕ1(M))−1.
Доведення. Перша рiвнiсть перевiряється безпосередньо.
Нехай f ∈ C2(S,L(X)). Функцiю g(t) := f(eit), t∈ R, можна розкласти в
ряд Фур’є (теорiю рядiв Фур’є див., наприклад, у [11]). Двiчi здиференцiювавши
цей ряд почленно, отримаємо ряд Фур’є для g′′. Останнiй за теоремою Фейєра в
середньому за Чезаро рiвномiрно збiжний до g′′. Тому для кожного ε > 0 функцiю
f можна рiвномiрно наблизити з точнiстю ε многочленом P так, що P ′′ рiвномiрно
наближає f ′′ з точнiстю ε.
Використавши таке наближення i лему 1, одержимо другу рiвнiсть у твер-
дженнi теореми. Застосувавши її до добуткiв ϕϕ−1 i ϕ−1ϕ, отримаємо рiвностi
ϕ(M)ϕ−1(M) = ϕ−1(M)ϕ(M) = I.
Теорему доведено.
Наведена далi теорема показує збiг функцiй вiд оператора, введених означенням
1, з введеними за класичним означенням Данфорда у випадку, коли ϕ— комплексно-
значна аналiтична в околi S функцiя, помножена на одиничний оператор.
Теорема 3. Нехай виконано умови означення 1 i ϕ(z) = ψ(z)I, z ∈ S, де ψ
— комплекснозначна функцiя, аналiтична в околi одиничного кола S. Тодi опера-
тор ϕ(M) в сенсi означення 1 збiгається з оператором ψ(M) в сенсi означення
Данфорда.
Доведення. Функцiю ψ можна розкласти в околi S в ряд Лорана (див. [10]), який
допускає почленне диференцiювання. Тому частковi суми ряду Лорана як завгодно
добре рiвномiрно наближають ψ, до того ж їх похiднi рiвномiрно наближають
похiднi ψ. Але для часткових сум ряду Лорана оператори збiгаються внаслiдок
леми 1 та теореми 2.
Теорема 4. Нехай виконано умови означення 1. Тодi оператор ϕ(M) допускає
оцiнку
‖ϕ(M)‖ 6 2‖ϕ‖1 + 4
√
‖ϕ′′‖1‖ϕ‖1,
де ‖g‖1 := (2π)−1‖g‖L1(S,L(X)).
Доведення. Iнтегруючи частинами формулу з означення, для довiльного N > 2
отримуємо рiвнiсть
ϕ(M) =
1
2πi
∫
S
(
N∑
k=−N+3
z−kMk−1
)
ϕ(z)dz+
+
∫
S
∑
n∈Z\{−N,...,N−3}
zn+2M−n−1
(n+ 1)(n+ 2)
ϕ′′(z)dz
.
Тодi
‖ϕ(M)‖ 6 ‖ϕ‖1 (2N − 2) + ‖ϕ′′‖1
∑
n∈Z\{−N,...,N−3}
1
|(n+ 1)(n+ 2)|
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
ФУНКЦIЇ ВIД ОПЕРАТОРА ЗСУВУ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 1411
= ‖ϕ‖1 (2N − 2) +
2‖ϕ′′‖1
N − 1
= U(N).
Пiдберемо N. При ‖ϕ′′‖1 6 ‖ϕ‖1 можна покласти N = 2. Тодi отримаємо
значення U(1) = 2‖ϕ′′‖1 + 2‖ϕ‖1 6 2‖ϕ‖1 + 4
√
‖ϕ′′‖1‖ϕ‖1. В iншому випадку
покладемо w :=
√
‖ϕ′′‖1
‖ϕ‖1
, N := [w] + 1. Тодi U(N) 6 2(w + 1)‖ϕ‖1 +
2‖ϕ′′‖1
w
=
= 2‖ϕ‖1 + 4
√
‖ϕ′′‖1‖ϕ‖1.
Теорему доведено.
Зауваження 2. Норму ‖ · ‖1 в оцiнцi можна замiнити на рiвномiрну.
3. Застосування до рiзницевих рiвнянь. Нехай (B, ‖·‖) — комплексний банахiв
простiр,
l∞(B) :=
{
{yn : n∈ Z} | yn ∈ B, n∈ Z, ‖y‖∞ := sup
n∈Z
‖yn‖ < +∞
}
— банахiв простiр обмежених послiдовностей в B з рiвномiрною нормою. Розгля-
немо рiвняння ∑
k∈Z
Akxn−k = yn, n∈ Z, (3)
де {Ak : k∈ Z} ⊂ L(B), y ∈ l∞(B) — вiдома послiдовнiсть, x ∈ l∞(B) — шукана.
Розглянемо оператор зсуву (Hy)n := yn−1, n∈ Z, y ∈ l∞(B). Оскiльки
‖Hn‖ = 1, n∈ Z, то до нього застосовна наведена вище теорiя при X = l∞(B).
Припустимо, що виконується умова∑
k∈Z
‖Ak‖
k2
< +∞. (4)
Тодi функцiя ϕ(z) :=
∑
k∈Z
Akz
k, z ∈ S, належить класу C2(S,L(X)). Рiзницеве
рiвняння при цьому можна записати у виглядi
ϕ(H)x = y.
Тому розв’язнiсть рiвняння зводиться до оборотностi оператора ϕ(H).
Вiдомо, що її можна встановити за допомогою теореми Бохнера – Фiллiпса на-
вiть за бiльш слабкої умови, нiж (4), а саме
∑
k∈Z
‖Ak‖ < +∞ (див. [12]). Проте
такий пiдхiд не дає явного вигляду оберненого оператора i не дозволяє оцiнювати
його.
Вiдомо [4], що необхiдною умовою того, що рiвняння (3) має єдиний розв’язок
x для кожного y у просторi l∞(B), є умова
∃(ϕ(z))−1, z ∈ S. (5)
Якщо при цьому функцiя (ϕ(z))−1, z ∈ S, обмежена, то iснує оператор (ϕ−1)(H)
в сенсi означення 1. За теоремою 2 вiн є оберненим до оператора ϕ(H). Тому маємо
оцiнку розв’язку
‖x‖ =
∥∥(ϕ−1)(H)y
∥∥ 6 C‖y‖,
де оцiнку сталої C := ‖(ϕ−1)(H)‖ можна одержати за теоремою 4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1412 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
4. Наближення розв’язку рiвняння з запiзненням аргументу. Розглянемо рiз-
ницеве рiвняння
N
2
(xn+1 − xn−1) = Txn−N + yn, n∈ Z, (6)
де T ∈ L(B), N ∈ N, яке вiдповiдає диференцiальному рiвнянню з запiзненням
аргументу
x′(t) = Tx(t− 1) + y(t), t∈ R. (7)
Нехай справджується умова
σ(T ) ∩
{
iteit | t∈ R
}
= ∅. (8)
Вiдомо [13], що умова (8) є необхiдною i достатньою для того, щоб рiвняння (7)
мало для довiльної обмеженої функцiї y ∈ C(R, B) єдиний обмежений розв’язок
x = xy ∈ C1(R, B). При цьому
∃L0 > 0 ∀y ∈ C(R, B) : ‖xy‖∞ 6 L0‖y‖∞.
Крiм того, вiдомо [14], що умова (8) є достатньою для того, щоб рiвняння (6)
при всiх непарних N, починаючи з деякого N0, мало для довiльної обмеженої
послiдовностi y єдиний обмежений розв’язок x. Там же показано, що для парних
N це невiрно.
Нехай y ∈ C(R, B) — обмежена на осi функцiя, ω(y, h) := sup
t∈R
‖y(t + h) −
− y(t)‖, h > 0 — її модуль неперервностi (див. [15, c. 147]). Нехай також N ∈ N,
yn := y
( n
N
)
, n∈ Z, {un : n ∈ Z} — єдиний обмежений розв’язок рiвняння (6),
а x ∈ C1(R, B) — єдиний обмежений розв’язок рiвняння (7). Наведена далi тео-
рема показує, з якою точнiстю розв’язок рiзницевого рiвняння наближає розв’язок
диференцiального в залежностi вiд гладкостi функцiї y.
Теорема 5. Нехай виконано умову (8). Тодi
sup
n∈Z
∥∥∥un − x( n
N
)∥∥∥ = O
(√
lnNω
(
y,
1
N
))
, N →∞, N − непарне.
Доведення. Покладемо
wn := un − x
( n
N
)
, n∈ Z.
Тодi, враховуючи (6), маємо
N
2
(wn+1 − wn−1) =
N
2
(
x
(
n− 1
N
)
− x
(
n+ 1
N
))
+
+Twn−N + Tx
(
n−N
N
)
+ yn = Twn−N + vn, n∈ Z.
Розглянемо це рiвняння як рiзницеве з вiдомою обмеженою послiдовнiстю
vn =
N
2
(
x
(
n− 1
N
)
− x
(
n+ 1
N
))
+ Tx
(
n−N
N
)
+ y
( n
N
)
, n∈ Z,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
ФУНКЦIЇ ВIД ОПЕРАТОРА ЗСУВУ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 1413
i невiдомою wn, n∈ Z. Тодi
‖w‖∞ 6 ‖(H−1 −H − TH−N )−1‖ · ‖v‖∞, (9)
де (Hx)n := xn−1, n∈ Z, x ∈ l∞(B). Оскiльки з (7) випливає, що
x
(
n+ 1
N
)
− x
(
n− 1
N
)
= T
(n+1)/N∫
(n−1)/N
x(s− 1)ds+
(n+1)/N∫
(n−1)/N
y(s)ds, n∈ Z,
то маємо
vn = −N
2
T
(n+1)/N∫
(n−1)/N
x(s−1)ds+Tx
(
n−N
N
)
+y
( n
N
)
−N
2
(n+1)/N∫
(n−1)/N
y(s)ds, n∈ Z.
Звiдси
‖v‖∞ 6 ‖T‖ω
(
x,
1
N
)
+ ω
(
y,
1
N
)
.
Але для довiльного h > 0 функцiя x(t+h)−x(t), t∈ R, є розв’язком рiвняння (7),
в якому функцiю y(t), t∈ R, замiнено на y(t + h) − y(t), t∈ R. Тому ω(x, h) 6
6 L0ω(y, h), h > 0, отже,
‖v‖∞ 6 (‖T‖L0 + 1)ω
(
y,
1
N
)
. (10)
Оцiнимо тепер оператор (H−1 −H − TH−N )−1, використавши теорему 4.
Позначимо
ϕN (z) := z−1 − z − Tz−N , z ∈ C\{0},
d := inf
{
|z − w| : z ∈ σ(T ), w ∈
{
iteit | t∈ R
}}
,
C0 := sup
{
‖(T − wI)−1‖dist (w, σ(T )) | w∈ C, dist (w, σ(T )) >
d
2
}
,
де dist (w, σ(T )) := inf {|z − w| | z ∈ σ(T )} .
Отримуємо
ϕ′N (z) =
N
2
(−z−2 − 1)− TNzN−1, ϕ′′N (z) = Nz−3 − TN(N − 1)zN−2, z ∈ S.
Нехай z = eiϕ, ϕ ∈ [−π, π]. Тодi:
1) при | sinϕ| > ‖T‖+ d
N
маємо (з урахуванням непарностi N )∣∣∣∣N2 z−N (z−1 − z)
∣∣∣∣ = N | sinϕ| > ‖T‖+ d;
2) при |sinϕ| < ‖T‖+ d
N
, ϕ0 :=
ϕ, |ϕ| 6 π
2
,
ϕ− π, ϕ ∈
[π
2
, π
]
,
ϕ+ π, ϕ ∈
[
−π,−π
2
]
,
маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1414 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ∣∣∣∣(N2 z−N (z−1 − z)
)
− (−Niϕ0e
−Niϕ0)
∣∣∣∣ =
= N
∣∣∣e−iNϕ(−i sinϕ) + iϕ0e
−Niϕei(ϕ−ϕ0)
∣∣∣ =
= N
∣∣∣sinϕ− ei(ϕ−ϕ0)ϕ0
∣∣∣ 6 Nπ3| sinϕ|3
48
6
π3(‖T‖+ d)3
48N2
6
d
2
при всiх N > N0, де N0 ∈ N є фiксованим. Тодi
‖ϕ−1
N ‖1 6
1
2π
2π(‖T‖+ d)
N
2C0
d
+
∫
|ϕ|6π, | sinϕ|>(‖T‖+d)/N
C0
|N sinϕ| − ‖T‖
dϕ =
= O
(
lnN
N
)
, N →∞.
Аналогiчно
‖ϕ−2
N ‖1 = O
(
1
N
)
, N →∞, ‖ϕ−3
N ‖1 = O
(
1
N
)
, N →∞,
‖ϕ′N‖∞ = O (N) , N →∞, ‖ϕ′′N‖∞ = O
(
N2
)
, N →∞.
Тодi
‖(ϕ−1
N )′′‖1 = ‖2(ϕ′N )2ϕ−3
N − ϕ
′′
Nϕ
−2
N ‖1 = O (N) , N →∞.
Звiдси за теоремою 4
‖(ϕ−1
N )(H)‖ = O(
√
lnN), N →∞.
Врахувавши оцiнки (9) i (10), отримаємо твердження теореми.
Зауваження 3. Якщо оцiнювати оператор (ϕ−1
N )(H) за допомогою оператор-
ного числення Данфорда, то будемо мати
‖(ϕ−1
N )(H)‖ =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣− 1
2πi
∫
Γε
(ϕ−1
N )(z)(H − zI)−1dz
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ 6
6
1
2π
∫
Γε
‖(ϕ−1
N )(z)‖ε−1|dz|, ε ∈ (0, 1),
де Γε — об’єднання кiл з центром у нулi з радiусами 1 − ε, 1 + ε i протилежними
напрямками обходу, норма ‖(H − zI)−1‖ = |1 − |z‖−1, |z| 6= 1, пiдраховується за
означенням. Для оцiнки пiдiнтегрального виразу можна показати, що при малих
ε > 0 частина кривої
{
N
2
(z−1 − z) | z ∈ Γε
}
близька до спiралi
{
iteit | t∈ R
}
, а
iнша частина лежить поза кругом з центром у нулi радiуса ‖T‖+ d.
Оцiнивши ‖ϕ−1
N (z)‖, z ∈ Γε (що технiчно складнiше, нiж аналогiчна оцiнка в
теоремi), можна отримати оцiнку
‖(ϕ−1
N )(H)‖ = O(lnN), N →∞,
яка є слабшою, нiж в теоремi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
ФУНКЦIЇ ВIД ОПЕРАТОРА ЗСУВУ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 1415
5. Наближення розв’язку рiвняння з секторiальним операторним коефiцi-
єнтом. Нехай оператор T : D(T ) ⊂ B → B є секторiальним, тобто множина D(T )
скрiзь щiльна в B та iснують такi сталi a∈ R, ϕ ∈ (0, π/2), що для множини
Sa,ϕ := {z ∈ C | z 6= a, |arg(z − a)| < ϕ}
виконуються умови:
1) σ(T ) ⊂ Sa,ϕ;
2) ∃C > 0 ∀λ∈ C\Sa,ϕ, λ 6= 0: ‖(T − λI)−1‖ 6 C
|λ− a|
.
Властивостi таких операторiв та породжених ними напiвгруп див., наприклад,
у [17].
Позначимо через Lb клас усiх таких функцiй f : R → B, для кожної з яких
‖f‖∞ < +∞, а також iснують залежнi вiд f сталi K = Kf > 0, α = αf ∈ (0, 1], з
якими
∀t, s∈ R : ‖f(t)− f(s)‖ 6 K|t− s|α. (11)
Розглянемо диференцiальне рiвняння
x′(t) = Tx(t) + y(t), t∈ R, (12)
де y ∈ Lb.
Розв’язком рiвняння (12) вважатимемо функцiю x ∈ C1(R, B) таку, що ‖x‖∞ <
< +∞ ∀t∈ R x(t) ∈ D(T ) i задовольняється рiвнiсть (12).
Узагальненням теореми Крейна [16, c. 119] є така теорема.
Теорема 6. Рiвняння (12) має для кожної функцiї y ∈ Lb єдиний розв’язок
тодi й лише тодi, коли
σ(T ) ∩ {it | t∈ R} = ∅. (13)
Вiдповiдний розв’язок має вигляд
x(t) = −
+∞∫
t
eT (t−s)y(s)ds, t∈ R.
Доведення аналогiчне доведенню теореми Крейна.
Зауваження 4. З доведення цiєї теореми випливає, що за умови (13) бана-
хiв простiр B розбивається в пряму суму двох пiдпросторiв, в кожному з яких
диференцiальне рiвняння можна розглядати окремо. При цьому в одному з цих
пiдпросторiв оператор T є обмеженим i рiвняння дослiджується дуже просто, а в
iншому оператор T секторiальний i його спектр лежить у пiвплощинi Re z > 0. То-
му далi, не зменшуючи загальностi, можна вважати, що в означеннi секторiального
оператора a > 0.
Доведемо тепер лему, що показує додатковi властивостi знайденого розв’язку.
Лема 2. Нехай виконується умова (13), y ∈ Lb i x — вiдповiдний розв’язок
рiвняння (12). Тодi Tx ∈ Lb, до того ж можна покласти αTx = αy.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1416 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Доведення. Будемо мiркувати, як i при доведеннi леми 1.28 [17, c. 610]. Маємо
Tx(t) = −
+∞∫
t
TeT (t−s)(y(s)− y(t))ds− y(t), t∈ R.
Оскiльки [17, c. 607] ∃L1 > 0 ∀t > 0: ‖Te−Tt‖ 6 L1
t
e−at, то iнтеграл абсолютно
збiжний i
‖Tx(t)‖ 6
+∞∫
t
Kye
−a(t−s)ds+ ‖y‖∞ =
Ky
a
+ ‖y‖∞, t∈ R.
Отже, функцiя Tx є обмеженою.
Нехай t∈ R, h > 0. Тодi
Tx(t)− Tx(t− h) =
(
y(t− h)− y(t)
)
+
+T
+∞∫
t
(eT (t−h−s) − eT (t−s))(y(s)− y(t))ds+
+T
+∞∫
t
eT (t−h−s)(y(t)− y(t− h))ds+ T
t∫
t−h
eT (t−h−s)(y(s)− y(t− h)
)
ds =
= w0 + w1 + w2 + w3.
Оцiнимо отриманi доданки, врахувавши оцiнку [17, c. 607]
∃L2 > 0 ∀t1, t2, t2 > t1 > 0: ‖Te−Tt1 − Te−Tt2‖ 6 L2(t2 − t1)
t1t2
e−at1
i обмеженiсть операторної експоненти деякою сталою L0 > 0. Маємо (далi в дове-
деннi α := αy)
‖w0‖ 6 Kyh
α,
‖w1‖ 6 L2Ky
+∞∫
t
h
(s− t+ h)(s− t)
(s− t)αds =
= L2Ky
+∞∫
0
h
(s+ h)
sα−1ds = L2Kys
α
+∞∫
0
sα−1
(s+ 1)
ds,
‖w2‖ 6 ‖e−Th‖Kyh
α 6 KyL0h
α,
‖w3‖ 6 L1
t∫
t−h
(t− s− h)α
t− s− h
ds = L1
h∫
0
(s+ h)α−1ds = L1h
α
1∫
0
(s+ 1)α−1ds.
Отже, функцiя Tx гельдерова з показником степеня α = αy.
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
ФУНКЦIЇ ВIД ОПЕРАТОРА ЗСУВУ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 1417
Рiвнянню (12) вiдповiдає набiр залежних вiд параметра τ > 0 рiзницевих рiв-
нянь
(un+1 − un−1) = 2τ(Tun + y(nτ)), n∈ Z. (14)
У роботi [8] показано, що за умови (13) рiвняння (14) має для довiльного τ > 0 та
довiльної обмеженої послiдовностi {y(nτ) : n∈ Z} єдиний обмежений розв’язок
u. Крiм того, там доведено теорему, що дозволяє наблизити обмеженi розв’язки
диференцiального рiвняння (12) обмеженими розв’язками рiзницевих рiвнянь (14)
при малих τ > 0.
Теорема. Нехай f ∈ Lb i умова (11) виконується зi сталими K, α. Припусти-
мо, що виконується умова (13). Якщо x i при кожному τ > 0 u(τ) — єдинi обмеженi
розв’язки вiдповiдно диференцiального рiвняння (12) та рiзницевого рiвняння (14),
то для кожного γ ∈ (0, α) справджується оцiнка
sup
n∈Z
‖x(nτ)− un(τ)‖ = o(τγ), τ → 0. (15)
Посиленням цього результату є така теорема.
Теорема 7. Нехай f ∈ Lb i умова (11) виконується зi сталими K,α. При-
пустимо, що виконується умова (13). Якщо x i при кожному τ > 0 u(τ) — єдинi
обмеженi розв’язки вiдповiдно диференцiального рiвняння (12) та рiзницевого рiв-
няння (14), то
sup
n∈Z
‖x(nτ)− un(τ)‖ = O
(
τα
√
| ln τ |
)
, τ → 0. (16)
Доведення. Покладемо
wn = wn(τ) := un(τ)− x(nτ), n∈ Z.
Тодi, враховуючи (14), маємо
wn+1 − wn−1 = (x((n− 1)τ)− x((n+ 1)τ))+
+2τ(Twn + Tx(nτ) + y(nτ)) = 2τTwn + vn, n∈ Z.
Розглянемо це рiвняння як рiзницеве з вiдомою обмеженою послiдовнiстю
vn = vn(τ) =
(
x((n− 1)τ)− x((n+ 1)τ)
)
+ 2τ(Tx(nτ) + y(nτ)), n∈ Z,
i невiдомою обмеженою послiдовнiстю {wn, n∈ Z}. Тодi
‖w‖∞ 6 ‖(H−1 −H − 2τT )−1‖‖v‖∞, (17)
де (Hx)n := xn−1, n∈ Z, x ∈ l∞(B). Оскiльки з (12) випливає, що
x((n+ 1)τ)− x((n− 1)τ) = 2τT
(n+1)τ∫
(n−1)τ
x(s)ds+ 2τ
(n+1)τ∫
(n−1)τ
y(s)ds, n∈ Z,
маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
1418 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
vn = 2τTx(nτ)− 2τT
(n+1)τ∫
(n−1)τ
x(s)ds+ 2τy(nτ)− 2τ
(n+1)τ∫
(n−1)τ
y(s)ds, n∈ Z.
Звiдси
‖v‖∞ 6 2τω(Tx, τ) + 2τω(y, τ) = O(τ1+α), τ → 0, (18)
де враховано гельдеровiсть функцiї y та лему 2.
Оцiнимо тепер оператор (H−1 −H − 2τT )−1, використавши теорему 4.
Позначимо
ϕτ (z) := z−1 − z − 2τT, z ∈ C\{0}.
Маємо
ϕ′τ (z) = −z−2 − 1, ϕ′′τ (z) = 2z−3, z ∈ S.
Нехай z = eiϕ, ϕ ∈ [−π, π]. Тодi
‖(ϕτ (z))−1‖ 6 (2τ)−1‖((2τ)−1(−2i sinϕ)− T )−1‖ 6 (2τ)−1 C
1 + |(τ)−1 sinϕ|
.
Звiдси випливає, що
‖ϕ−1
τ ‖1 = O(
√
| ln τ |), τ → 0, ‖ϕ−2
τ ‖1 = O(τ−1), τ → 0,
‖ϕ−3
τ ‖1 = O(τ−2), τ → 0,
крiм того, функцiї ϕ′τ (z), ϕ′′τ (z) обмеженi на S. Тодi
‖(ϕ−1
τ )′′‖1 = ‖2(ϕ′τ )2ϕ−3
τ − ϕ′′τϕ−2
τ ‖1 = O(τ−2), τ → 0,
звiдки за теоремою 4
‖(ϕ−1
τ )(H)‖ = O(τ−1
√
| ln τ |), τ → 0.
Враховуючи оцiнки (17) i (18), отримуємо твердження теореми.
Теорему доведено.
6. Висновки. В роботi запропоновано зображення для функцiй вiд оператора
зсуву у просторi абстрактних послiдовностей та дослiджено його властивостi. За
допомогою цього зображення отримано оцiнку для обмеженого розв’язку лiнiйного
рiзницевого рiвняння у банаховому просторi. Наведено застосування цiєї оцiнки до
дослiдження наближення обмежених розв’язкiв диференцiальних рiвнянь у банахо-
вому просторi обмеженими розв’язками вiдповiдних рiзницевих рiвнянь; отримано
оцiнки для швидкостi збiжностi.
1. Слюсарчук В. Е. Ограниченные и почти периодические решения разностных уравнений в банахо-
вом пространстве // Аналитические методы исследования решений нелинейных дифференциаль-
ных уравнений. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. – С. 147 – 156.
2. Дороговцев А. Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных
и стохастических динамических систем. – Киев: Вища шк., 1992. – 319 с.
3. Баскаков А. Г., Пастухов А. И. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограни-
ченными операторными коэффициентами // Сиб. мат. журн. – 2001. – 42, № 6. – С. 1231 – 1243.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
ФУНКЦIЇ ВIД ОПЕРАТОРА ЗСУВУ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 1419
4. Городний М. Ф. Ограниченные и периодические решения одного разностного уравнения и его
стохастического аналога в банаховом пространстве // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 1. – С. 41 – 46.
5. Смагин В. В. Оценки в сильных нормах погрешности проекционно-разностного метода прибли-
женного решения абстрактного параболического уравнения // Мат. заметки. – 1997. – 62, вып. 6. –
С. 898 – 909.
6. Пискарев С. И. Аппроксимация позитивных C0-полугрупп операторов // Дифференц. уравнения.
– 1991. – 27, № 7. – С. 1245 – 1250.
7. Макаров В. Л., Гаврилюк I. П. Експоненцiально збiжнi методи паралельної дискретизацiї для
еволюцiйних рiвнянь першого порядку // Доп. НАН України. – 2002. – № 3. – С. 24 – 28.
8. Городнiй М. Ф., Чайковський А. В. Про наближення обмеженого розв’язку диференцiального
рiвняння з необмеженим операторним коефiцiєнтом // Там же. – 2002. – № 6. – С. 10 – 14.
9. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
– 896 с.
10. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. – М., 1969. – 576 с.
11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – М., 1965. – Т. 1. – 616 с.
12. Баскаков А. Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных
матриц // Мат. заметки. – 1992. – 52, вып. 2. – С. 17 – 26.
13. Чайковський А. В. Про iснування та єдинiсть обмежених розв’язкiв диференцiальних рiвнянь зi
зсувами аргументу в банаховому просторi // Доп. НАН України. – 2000. – № 8. – С. 33 – 37.
14. Чайковський А. В. Про наближення обмежених розв’язкiв диференцiальних рiвнянь зi зсувом ар-
гументу в банаховому просторi розв’язками рiзницевих рiвнянь // Вiсн. Київ. унi-ту. Математика i
механiка. – 2002. – Вип. 8. – С. 125 – 129.
15. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М., 1977. –
512 с.
16. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве. – М., 1970. – 536 с.
17. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1972. – 740 с.
Одержано 16.12.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 10
|