2-прості області Оре стабільного рангу 1

Известно, что простая область Безу является областью элементарных делителей тогда и только тогда, когда она 2-простая. В работе доказано, что над 2-простой областью Орэ стабильного ранга 1 произвольная матрица, не являющаяся делителем нуля, эквивалентна канонической диагональной матрице....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
1. Verfasser:	Домша, О.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2010
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Короткі повідомлення
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166278
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	2-прості області Оре стабільного рангу 1 / О.В. Домша // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1436–1440. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166278
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1662782020-02-19T01:27:17Z 2-прості області Оре стабільного рангу 1 Домша, О.В. Короткі повідомлення Известно, что простая область Безу является областью элементарных делителей тогда и только тогда, когда она 2-простая. В работе доказано, что над 2-простой областью Орэ стабильного ранга 1 произвольная матрица, не являющаяся делителем нуля, эквивалентна канонической диагональной матрице. It is known that a simple Bézout domain is a domain of elementary divisors if and only if it is 2-simple. We prove that, over a 2-simple Ore domain of stable rank 1, an arbitrary matrix that is not a divisor of zero is equivalent to a canonical diagonal matrix. 2010 Article 2-прості області Оре стабільного рангу 1 / О.В. Домша // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1436–1440. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166278 512.552.12 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Домша, О.В. 2-прості області Оре стабільного рангу 1 Український математичний журнал
description	Известно, что простая область Безу является областью элементарных делителей тогда и только тогда, когда она 2-простая. В работе доказано, что над 2-простой областью Орэ стабильного ранга 1 произвольная матрица, не являющаяся делителем нуля, эквивалентна канонической диагональной матрице.
format	Article
author	Домша, О.В.
author_facet	Домша, О.В.
author_sort	Домша, О.В.
title	2-прості області Оре стабільного рангу 1
title_short	2-прості області Оре стабільного рангу 1
title_full	2-прості області Оре стабільного рангу 1
title_fullStr	2-прості області Оре стабільного рангу 1
title_full_unstemmed	2-прості області Оре стабільного рангу 1
title_sort	2-прості області оре стабільного рангу 1
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166278
citation_txt	2-прості області Оре стабільного рангу 1 / О.В. Домша // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1436–1440. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT domšaov 2prostíoblastíorestabílʹnogorangu1
first_indexed	2025-07-14T21:06:05Z
last_indexed	2025-07-14T21:06:05Z
_version_	1837657926656851968
fulltext	UDK 512.552.12 O. V. Domßa, B. V. Zabavs\kyj (L\viv. nac. un-t im. I. Franka) 2-PROSTI OBLASTI ORE STABIL\|NOHO RANHU 1 It is known that the simple Bezout domain is a domain of elementary divisors if and only if it is 2-simple domain. We prove that, over the 2-simple Ore domain of stable rank 1, an arbitrary matrix that is not a divizor of zero is equivalent to a canonical diagonal matrix. Yzvestno, çto prostaq oblast\ Bezu qvlqetsq oblast\g πlementarn¥x delytelej tohda y tol\- ko tohda, kohda ona 2-prostaq. V rabote dokazano, çto nad 2-prostoj oblast\g Orπ stabyl\noho ranha 1 proyzvol\naq matryca, ne qvlqgwaqsq delytelem nulq, πkvyvalentna kanonyçeskoj dyahonal\noj matryce. Zadaça pro diahonalizacig matryc\ nad kil\cqmy [ klasyçnog. }] prototypom [ teorema Haussa pro ekvivalentnist\ matryci nad polem diahonal\nij matryci z odynycqmy ta nulqmy na holovnij diahonali. Perßi rezul\taty takoho typu wodo cilyx çysel buly otrymani v 1861 r. H.:Smitom [1]. Vin doviv, wo koΩna matrycq z ciloçyslovymy elementamy ßlqxom elementarnyx peretvoren\ rqd- kiv i stovpciv zvodyt\sq do diahonal\noho vyhlqdu, do toho Ω koΩen diahonal\- nyj element [ dil\nykom nastupnoho. Pizniße teoremu Smita bulo poßyreno na rizni klasy kilec\. Tak, Dikson [2], Vedderbarn [3], van der Varden [4] i DΩekob- son [5] poßyryly danu teoremu na rizni klasy komutatyvnyx i nekomutatyvnyx kilec\, a Tejxmgller [6] oderΩav povnyj rozv’qzok dlq nekomutatyvnyx ob- lastej holovnyx idealiv (a v inßomu formulgvanni — Asano [7]). Vsi ci rezul\taty spryqly vvedenng Kaplans\kym ponqttq kil\cq elemen- tarnyx dil\nykiv. Nahada[mo, wo matrycq nad asociatyvnym kil\cem z odynyceg ma[ kanoniçnu diahonal\nu redukcig, qkwo ]] moΩna zvesty do diahonal\noho vyhlqdu ßlqxom domnoΩennq zliva i sprava na deqki oberneni matryci vidpovid- nyx rozmiriv, i pry c\omu koΩen diahonal\nyj element [ povnym dil\nykom na- stupnoho. Qkwo koΩna matrycq nad kil\cem ma[ kanoniçnu diahonal\nu reduk- cig, to take kil\ce nazyva[t\sq kil\cem elementarnyx dil\nykiv [8]. Qkwo doslidΩennq komutatyvnyx kilec\ elementarnyx dil\nykiv velysq dosyt\ systematyçno [9 – 12], to nekomutatyvni kil\cq elementarnyx dil\nykiv doslidΩuvalysq frahmentarno [13, 14]. Krim navedenyx rezul\tativ vartyj uva- hy rezul\tat Kona [15], qkyj doviv, wo prava holovna oblast\ Bezu [ kil\cem elementarnyx dil\nykiv. U roboti [16] pobudovano pryklad tako] oblasti Bezu, pryçomu zauvaΩymo, wo ce pryklad prosto] oblasti Bezu. Sered najnovißyx re- zul\tativ varto vidmityty [17], de pokazano, wo prosta oblast\ Bezu [ oblastg elementarnyx dil\nykiv todi i til\ky todi, koly vona [ 2-prostog. Odnym iz novyx ponqt\, qke vvijßlo v teorig kilec\ z K-teori] i vyqvylos\ korysnym pry rozv’qzanni nyzky vidkrytyx zadaç teori] kilec\, [ ponqttq sta- bil\noho ranhu kil\cq. Zokrema, dovedeno, wo stabil\nyj ranh kil\cq elemen- tarnyx dil\nykiv ne perevywu[ 2 [18]. OtΩe, nexaj R — prosta oblast\. Todi dlq dovil\noho nenul\ovoho elemen- ta a R∈ otryma[mo R a R = R, tobto isnugt\ elementy u1 , u un2, ,… ; v1 , v v2, ,… n ∈ R taki, wo u a1 1v + u a2 2v + … + u an nv = 1. Qkwo dlq koΩnoho nenul\ovoho elementa a R∈ isnu[ natural\ne çyslo n ta- ke, wo u a1 1v + … + u an nv = 1, do toho Ω çyslo n [ najmenßym z usix moΩly- vyx, to oblast\ R nazyva[t\sq n-prostog. Zokrema, oblast\ R [ 2-prostog todi i til\ky todi, koly dlq dovil\noho nenul\ovoho elementa a R∈ isnugt\ © O. V. DOMÍA, B. V. ZABAVS\|KYJ, 2010 1436 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10 2-PROSTI OBLASTI ORE STABIL\|NOHO RANHU 1 1437 elementy u1 , u2 ; v1 , v2 ∈ R taki, wo u a1 1v + u a2 2v = 1. Prykladom 2-prosto] oblasti Ore [ kil\ce vid n-dyferencigvan\ [19]. TverdΩennq 1. Nexaj R — 2-prosta oblast\. Todi dlq dovil\nyx nenul\o- vyx elementiv a, b R∈ isnugt\ elementy u1 , u2 ; v1 , v2 ∈ R taki, wo u a1 1v + u b2 2v = 1. Dovedennq. Za umovog teoremy elementy a, b [ nenul\ovymy i R — ob- last\, todi ab ≠ 0 i RabR = R . Oskil\ky R [ 2-prostog oblastg, to isnugt\ elementy x1, x2 ; y1 , y R2 ∈ taki, wo x aby1 1 + x aby2 2 = 1. Poklademo x u1 1= , by1 1= v , x a u2 2= , y u2 2= i otryma[mo u a1 1v + u b2 2v = 1, wo j potribno bulo dovesty. Poznaçymo çerez U R( ) hrupu obernenyx elementiv oblasti R . Nahada[mo, wo kil\ce R [ kil\cem stabil\noho ranhu 1, qkwo z toho, wo aR + bR = R dlq dovil\nyx elementiv a, b R∈ , vyplyva[ isnuvannq elementiv t R∈ i u U R∈ ( ) takyx, wo a + bt = u [20]. TverdΩennq 2. Nexaj R — 2-prosta oblast\ stabil\noho ranhu 1. Todi dlq dovil\nyx nenul\ovyx elementiv a , b R∈ isnugt\ elementy α , β ∈ R i obernenyj element w U R∈ ( ) taki, wo aα + w bβ = 1. Dovedennq. Oskil\ky R — 2-prosta oblast\, to zhidno z tverdΩennqm:1 dlq dovil\nyx nenul\ovyx elementiv a, b R∈ isnugt\ taki elementy u1 , u2 ; v1 , v2 ∈ R , wo u a1 1v + u a2 2v = 1, zvidky u aR1 + u aR2 = R . Oskil\ky R — oblast\ stabil\noho ranhu 1, to isnu[ takyj element x R∈ , dlq qkoho u a1 + u bx2 ∈ U R( ). Zvidsy Ra + R bx = R . Z toho, wo R — oblast\ stabil\noho ranhu 1, otrymu[mo a + y bx = u ∈ U R( ) dlq deqkoho elementa y R∈ . OtΩe, a R + bR = R . Znovu Ω z toho, wo R — oblast\ stabil\noho ranhu 1, ma[mo as + y = w ∈ U R( ) dlq deqkoho elementa s R∈ . Zvidsy y = w – a s. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10 1438 O. V. DOMÍA, B. V. ZABAVS\|KYJ Todi rivnist\ a + y bx = u pry otrymanomu y nabere vyhlqdu a + w bx – a sbx = a (1 – sbx) + w bx = u. Zvidsy oderΩymo a sbx u( )1 1− − + wbxu−1 = 1, tobto aα + w bβ = 1 dlq deqkyx elementiv α, β ∈ R i obernenoho elementa w U R∈ ( ). Oznaçennq 1 [21]. Oblast\ R nazyva[t\sq pravog (livog) oblastg Ore, qkwo dlq dovil\nyx nenul\ovyx elementiv a , b R∈ aR bR∩ ≠ 0 ( Ra Rb∩ ≠ ≠ 0{ } ). Oblast\ Ore — ce oblast\, qka [ pravog i livog oblastg Ore odno- çasno. Oznaçennq 2 [21]. Matryci A i B nazvemo ekvivalentnymy nad oblastg R, qkwo isnugt\ oberneni matryci P i Q nad R vidpovidnyx rozmiriv taki, wo B = PA Q. Dovedemo nastupne tverdΩennq. TverdΩennq 3. Nexaj R — 2-prosta oblast\ Ore stabil\noho ranhu 1. Todi dlq koΩno] matryci A aij= ( ) druhoho porqdku, qka ne [ dil\nykom nulq, isnugt\ rqdok ( , )1 u i stovpçyk e f     taki, wo ( , )1 u A e f     = 1, de e, f R∈ , u U R∈ ( ). Dovedennq. Oskil\ky R — oblast\ Ore i matrycq A ne [ dil\nykom nulq, to lehko baçyty, wo isnu[ matrycq D nad R porqdku 2, qka takoΩ ne [ dil\nykom nulq, taka, wo vykonu[t\sq rivnist\ A D = d d 1 2 0 0     , de d1 0≠ , d2 0≠ . Zhidno z tverdΩennqm:2 dlq elementiv d1 , d2 isnugt\ elementy u, c, d, do toho Ω u — obernenyj element, taki, wo vykonu[t\sq rivnist\ d c d d1 2 1+ = . Todi ( )1 a AD c d     = ( )1 0 0 1 2 u d d c d         = 1. Poklademo D c d     = e f     , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10 2-PROSTI OBLASTI ORE STABIL\|NOHO RANHU 1 1439 wo dovodyt\ dane tverdΩennq. Teorema 1. Nexaj R — 2-prosta oblast\ Ore stabil\noho ranhu 1. Todi dlq dovil\no] matryci A porqdku n, qka ne [ dil\nykom nulq, isnugt\ taki oberneni matryci P, Q vidpovidnyx rozmiriv, wo PAQ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 … … � … … ∆                   . Dovedennq provodymo metodom matematyçno] indukci]. Rozhlqnemo vypadok n = 2. Zhidno z tverdΩennqm:3 dlq matryci A isnugt\ elementy u, e, f R∈ , do toho Ω u — obernenyj element, taki, wo ( )1 u A e f     = 1. Oçevydno, wo R e + R f = R . Oskil\ky R — oblast\ stabil\noho ranhu 1, to, vra- xovugçy [5], rqdok ( )1 u i stovpçyk e f     moΩna dopovnyty do obernenyx matryc\ P i Q vidpovidno. Zvidsy PAQ = 1 ∗ ∗ ∗     . Oçevydno, wo elementarnymy peretvorennqmy rqdkiv i stovpçykiv matrycq PAQ zvodyt\sq do vyhlqdu 1 0 0 ∆     . Ce oznaça[, wo dlq matryci A isnugt\ taki matryci S i T, wo SA T = 1 0 0 δ     . Nexaj n = 3, tobto matrycq A = ( )aij [ matryceg tret\oho porqdku. Bez obme- Ωennq zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo pidmatrycq a a a a 11 12 21 22     matryci A ne [ dil\nykom nulq. Todi zhidno z tverdΩennqm:3 vykonu[t\sq rivnist\ 1 0 1 13 23 13 23u A e e a ua f f a ua( ) − + − +           ( ) ( ) = 1. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10 1440 O. V. DOMÍA, B. V. ZABAVS\|KYJ Oçevydno, wo rqdok 1 0u( ) moΩna dopovnyty do oberneno] matryci P. ZauvaΩymo, wo R e e a ua− +( )( )13 23 + R f f a ua− +( )( )13 23 = R . Oskil\ky R — oblast\ stabil\noho ranhu 1, to zhidno z [18] stovpçyk e e a ua f f a ua − + − +           ( ) ( ) 13 23 13 23 1 moΩna dopovnyty do oberneno] matryci Q. Zvidsy PA Q = 1 12 13 21 22 23 31 32 33 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′           a a a a a a a a .. Oçevydno, wo matrycq PA Q elementarnymy peretvorennqmy rqdkiv i stovpçy- kiv zvodyt\sq do vyhlqdu 1 0 0 0 0 a b c d           . Oskil\ky A ne [ dil\nykom nulq, to matrycq a b c d     teΩ ne [ dil\nykom nulq, a otΩe, za dovedenym vywe, zvodyt\sq do vyhlqdu 1 0 0 ∆     . Todi matrycq A zvodyt\sq do vyhlqdu 1 0 0 0 1 0 0 0 ∆           , wo j potribno bulo dovesty. Indukciq za rozmiramy matryci zaverßu[ dovedennq. 1. Smith H. J. S. On systems of linear indeterminate equations and congruences // Phil. Trans. Roy. Soc. London. – 1861. – 151, # 2. – P. 293 – 326. 2. Dickson L. E. Algebras and their arithmetics. – Chicago: Univ. Chicago Press, 1923. 3. Wedderburn J. H. M. Non-commutative domains of integrity // J. reine und angew. Math. – 1932.– 167, # 1. – S. 129 – 141. 4. Van der Warden B. L. Moderne algebra. – Berlin; New York: Springer, 1930. 5. Jacobson N. Pseudo-linear transformation // Ann. Math. – 1937. – # 38. – P. 484 – 507. 6. Teichmuller O. Der Elementarteilsatz für neichtkommutative Ringe // Abh. Preuss. Acad. Wiss. Phys.-Math. K 1. – 1937. – S. 169 – 177. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 10 7. Asano K. Neichtkommutative Hauptidealringe // Acta. Sci. – Paris: Hermann, 1938. – Ind. 696. 8. Kaplansky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Math. Soc. – 1949. – 66. – P. 464 – 491. 9. Gerstein L. A local to approach to matrix equivalence // Linear Algebra and Appl. – 1977. – 16. – P. 221 – 232. 10. Gillman L., Henricsen M. Some remarks about elementary divisor rings // Trans. Amer. Math. Soc. – 1956. – 82. – P. 362 – 365. 11. Henricsen M., Jerison M. The space of minimal primes of a commutative ring // Ibid. – 1965.– 115. – P. 110 – 130. 12. Lam T. Y. A crash course on stable range, cancellation, substitution and exchange. – Berkeley CA: Univ. California, 1972. 13. Zabavskyj B. V. O nekomutatyvn¥x kol\cax s πlementarn¥my delytelqmy // Ukr. mat. Ωurn. – 1990. – 42, # 6. – S. 847 – 850. 14. Zabavsky B. V. Diagonalization of matrices // Mat. stud. – 2005. – 23, # 1. – S. 3 – 10. 15. Cohn P. M. On the structure of the GL2 of a ring // Publ. Math. I.H.E.S. – 1966. – # 30. – P. 5 – 59. 16. Cohn P. M. Rings of a transfinite weak algorithm // Bull. London Math. Soc. – 1969. – # 1. – P. 55 – 59. 17. Zabavskyj B. V. Prost¥e kol\ca πlementarn¥x delytelej // Mat. stud. – 2004. – 22, # 2. – S. 129 – 133. 18. Zabavsky B. V. Diagonalizability theorem for matrices over ring with finite stable range // Algebra and Discrete Math. – 2005. – # 1. – P. 134 – 148. 19. Olszewski J. On ideals of product of rings // Demonstr. math. – 1994. – 27, # 1. – P. 1 – 7. 20. Vaserstein L. N. The stable rank of rings and dimensionality of topological spaces // Funct. Anal. and Appl. – 1971. – N 5. – P. 102 – 110. 21. Kon P. Svobodn¥e kol\ca y yx svqzy. – M.: Myr, 1976. OderΩano 22.06.09, pislq doopracgvannq — 23.07.10

2-прості області Оре стабільного рангу 1

Institution

Ähnliche Einträge