Об одном классе экстремальных продолжений меры
Розглянуто взаємозв'язок між двома множинами продовжень скінченної скінченно-адитивної міри μ, визначеної на алгебрі множин B, на більш велику алгебру A. Це множина exSμ всіх екстремальних продовжень міри μ і множина Hμ всіх таких продовжень, які визначені як λ(A)=μˆ(h(A)),A∈A, де μˆ — фактор-м...
Gespeichert in:
Datum: | 2010 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166280 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Об одном классе экстремальных продолжений меры / М.Т. Таращанский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1269–1279. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-166280 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1662802020-02-19T01:28:09Z Об одном классе экстремальных продолжений меры Таращанский, М.Т. Статті Розглянуто взаємозв'язок між двома множинами продовжень скінченної скінченно-адитивної міри μ, визначеної на алгебрі множин B, на більш велику алгебру A. Це множина exSμ всіх екстремальних продовжень міри μ і множина Hμ всіх таких продовжень, які визначені як λ(A)=μˆ(h(A)),A∈A, де μˆ — фактор-міра на алгебрі B/μ класів μ-еквівалентності і h:A→B/μ — гомоморфізм, що продовжує канонічний гомоморфізм B на B/μ. Досліджено властивості продовжень з Hμ. Наведено необхідні та достатні умови існування таких продовжень, а також умови, за яких множини exSμ і Hμ збігаються. We consider a relationship between two sets of extensions of a finite finitely additive measure μ defined on an algebra B of sets to a broader algebra A. These sets are the set ex S μ of all extreme extensions of the measure μ and the set H μ of all extensions defined as λ(A)=μ^(h(A)),A∈A, where μ^ is a quotient measure on the algebra B/μ of the classes of μ-equivalence and h:A→B/μ is a homomorphism extending the canonical homomorphism B to B/μ. We study the properties of extensions from H μ and present necessary and sufficient conditions for the existence of these extensions, as well as the conditions under which the sets ex S μ and H μ coincide. 2010 Article Об одном классе экстремальных продолжений меры / М.Т. Таращанский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1269–1279. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166280 517.987 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Статті Статті |
spellingShingle |
Статті Статті Таращанский, М.Т. Об одном классе экстремальных продолжений меры Український математичний журнал |
description |
Розглянуто взаємозв'язок між двома множинами продовжень скінченної скінченно-адитивної міри μ, визначеної на алгебрі множин B, на більш велику алгебру A. Це множина exSμ всіх екстремальних продовжень міри μ і множина Hμ всіх таких продовжень, які визначені як λ(A)=μˆ(h(A)),A∈A, де μˆ — фактор-міра на алгебрі B/μ класів μ-еквівалентності і h:A→B/μ — гомоморфізм, що продовжує канонічний гомоморфізм B на B/μ. Досліджено властивості продовжень з Hμ. Наведено необхідні та достатні умови існування таких продовжень, а також умови, за яких множини exSμ і Hμ збігаються. |
format |
Article |
author |
Таращанский, М.Т. |
author_facet |
Таращанский, М.Т. |
author_sort |
Таращанский, М.Т. |
title |
Об одном классе экстремальных продолжений меры |
title_short |
Об одном классе экстремальных продолжений меры |
title_full |
Об одном классе экстремальных продолжений меры |
title_fullStr |
Об одном классе экстремальных продолжений меры |
title_full_unstemmed |
Об одном классе экстремальных продолжений меры |
title_sort |
об одном классе экстремальных продолжений меры |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2010 |
topic_facet |
Статті |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166280 |
citation_txt |
Об одном классе экстремальных продолжений меры / М.Т. Таращанский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1269–1279. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT taraŝanskijmt obodnomklasseékstremalʹnyhprodolženijmery |
first_indexed |
2025-07-14T21:06:17Z |
last_indexed |
2025-07-14T21:06:17Z |
_version_ |
1837657937800069120 |
fulltext |
УДК 517.987
М. Т. Таращанский (Восточноукр. нац. ун-т им. В. Даля)
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПРОДОЛЖЕНИЙ МЕРЫ
We consider the relationships between two sets of extensions of a finite finitely additive measure µ, defined
on the algebra B of sets, to a wider algebra A. These sets are the set exSµ of all extremal extensions of
the measure µ and the set Hµ of all extensions determined as λ(A) = µ̂(h(A)), A ∈ A, where µ̂ is a
factor measure on the algebra B/µ of classes of µ -equivalency and h : A → B/µ is the homomorphism
extending the canonical homomorphism B to B/µ. We establish properties of extensions from Hµ. We
present necessary and sufficient conditions for the existence of these extensions and also conditions under
which the sets exSµ and Hµ coincide.
Розглядається взаємозв’язок мiж двома множинами продовжень скiнченної скiнченно-адитивної мiри µ,
визначеної на алгебрi множин B, на бiльш велику алгебру A. Це множина exSµ всiх екстремальних
продовжень мiри µ i множина Hµ всiх таких продовжень, якi визначенi як λ(A) = µ̂(h(A)), A ∈ A,
де µ̂ — фактор-мiра на алгебрi B/µ класiв µ -еквiвалентностi i h : A → B/µ — гомоморфiзм, що
продовжує канонiчний гомоморфiзм B на B/µ. Дослiджено властивостi продовжень з Hµ. Наведено
необхiднi та достатнi умови iснування таких продовжень, а також умови, за яких множини exSµ i Hµ
збiгаються.
1. Введение. Пусть Ω — непустое множество, на котором выделена некоторая ал-
гебра подмножеств A, B ⊂ A — подалгебра алгебры A и µ — мера, т. е. конечная
конечно-аддитивная неотрицательная функция множеств, определенная на алгебре
B. Обозначим через Sµ(A,B) множество всех продолжений меры µ на алгебру
A, и пусть exSµ(A,B) — множество его экстремальных точек, называемых экстре-
мальными продолжениями меры µ. Известно, что exSµ(A,B) 6= ∅ ([1], раздел 3
и библиографические ссылки там же). Свойства таких продолжений изучались во
многих работах (см., например, [1 – 8]).
Во множестве exSµ(A,B) всех экстремальных продолжений меры µ выделя-
ется подмножество Hµ(A,B) продолжений ν, называемых гомоморфными про-
должениями меры µ, определяемых равенствами
ν(A) = µ̂(h(A)), A ∈ A,
где h : A → B/µ — гомоморфизм, продолжающий канонический гомоморфизм
qµ алгебры B на алгебру B/µ классов µ -эквивалентности, µ̂ — фактор-мера,
определенная на алгебре B/µ равенствами
µ̂(qµ(B)) = µ(B), B ∈ B.
Если ν ∈ Hµ(A,B), то, выбирая B ∈ q−1
µ (h(A)) для любого A ∈ A, имеем
h(B) = h(A) и ν(A∆B) = µ̂(h(A∆B)) = µ̂(h(A)∆h(B)) = 0. Тогда из теоремы 1
[6] следует, что Hµ(A,B) ⊂ exSµ(A,B), а в случае, когда B является σ -алгеброй
и мера µ счетно-аддитивна, Hµ(A,B) = exSµ(A,B) [7] (теорема 2). Однако эти
множества в общем случае не совпадают.
Соответствующие примеры были построены в [8]. Более того, можно привести
пример, когда Hµ(A,B) = ∅.
В этой работе будут установлены условия, при которых Hµ(A,B) 6= ∅, по-
лучены характеристические свойства продолжений ν ∈ Hµ(A,B) и условия, при
которых Hµ(A,B) = exSµ(A,B).
c© М. Т. ТАРАЩАНСКИЙ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9 1269
1270 М. Т. ТАРАЩАНСКИЙ
2. Основные определения и обозначения. Для булевой алгебры A буле-
вы операции будем обозначать теоретико-множественными символами, символом
A∆B будем обозначать симметрическую разность элементов A, B ∈ A, т. е.
A∆B = (A ∩ B̄) ∪ (Ā ∩B), где Ā — дополнение элемента A в алгебре A.
Пусть Ω — непустое множество, D ⊂ 2Ω — некоторое семейство подмножеств.
Идеалом в D называется такое подмножество = ⊂ D, что Ω /∈ =, для любых
I1, I2 ∈ = их объединение принадлежит = и из I ∈ = и J ⊂ I, J ∈ D следует,
что J ∈ =. Идеал = максимален в D, если он не является собственным подмно-
жеством никакого другого идеала в D. Для максимальности идеала = необходимо
и достаточно, чтобы для любого D ∈ D нашлось такое I ∈ =, что I ∪D = Ω.
Для алгебры, порожденной семейством подмножеств D ⊂ 2Ω, будем использо-
вать обозначение a(D).
Пусть B ⊂ A — подалгебра булевой алгебры A. Тогда алгебра B∗, порожден-
ная алгеброй B и элементом A ∈ A, A /∈ B, состоит из всех элементов A∗ ∈ A,
представимых в виде A∗ = (B1 ∩A)∪ (B2 ∩ Ā), B1, B2 ∈ B. Это следует из того,
что объединение и дополнение элементов такого вида являются элементами того
же вида.
Всюду в дальнейшем Ω — непустое множество, A — алгебра подмножеств Ω,
B ⊂ A — подалгебра алгебры A и µ — мера, определенная на алгебре B, такая,
что µ(Ω) = 1.
Мера µ называется двузначной, если µ(B) = {0, 1}. Символами µ∗ и µ∗ обо-
значаются соответственно внутренняя и внешняя меры, определенные для любого
A ⊂ 2Ω как
µ∗(A) = inf
{
µ(B), A ⊂ B,B ∈ B
}
, µ∗(A) = sup
{
µ(B), A ⊃ B,B ∈ B
}
.
Пусть λ и ν — две меры, определенные на алгебре A. Согласно [9] (раздел 6.1),
мера λ называется абсолютно непрерывной относительно ν (обозначается это
отношение символом λ� ν), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что
λ(A) < ε при ν(A) < δ, A ∈ A. Мера λ называется слабо абсолютно непрерывной
относительно ν, если λ−1(0) ⊂ ν−1(0). Это отношение обозначается как λ�w ν.
Из отношения λ� ν следует, что λ�w ν, но не наоборот [9] (замечание 6.1.3).
Пусть B, C ⊂ A — две подалгебры алгебры A. Алгебра C является дополне-
нием алгебры B в алгебре A, если B ∩ C = {∅,Ω} и a(B ∪ C) = A.
Если = — некоторый идеал алгебры B и алгебра C ⊂ A такова, что B ∩ C =
= a(=) и a(B ∪ C) = A, то алгебра C называется = -дополнением алгебры B в
алгебре A. Если µ — мера, определенная на алгебре B, то будем использовать
обозначение =µ = µ−1(0). В этом случае =µ -дополнение будем называть µ -
дополнением алгебры B в алгебре A.
Для любого идеала = алгебры B символом =+ будем обозначать идеал алгеб-
ры A, порожденный =. Этот идеал состоит из всех таких A ∈ A, что найдется
такое B ∈ B, что A ⊂ B. Если µ — некоторая мера на алгебре B, то, очевидно,
для любого A ∈ =+
µ справедливо соотношение µ∗(A) = 0. Алгебру a(B ∪ =+
µ ),
порожденную алгеброй B и идеалом =+
µ , будем обозначать символом Bµ.
Пусть B, C ⊂ A — две подалгебры алгебры A и a(B ∪ C) = A. Пусть, кроме
того, меры µ и ν определены на алгебрах B и C соответственно. Меры µ и ν
называются согласованными, если сужения этих мер на алгебру B∩ C совпадают.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПРОДОЛЖЕНИЙ МЕРЫ 1271
Мера λ, определенная на алгебре A, называется совместным продолжением мер
µ и ν, если λ|B = µ и λ|C = ν.
3. Существование гомоморфных продолжений. Приведем, прежде всего,
пример, показывающий, что множество Hµ(A,B) может быть пустым.
Пример 1. Пусть Ω — счетное множество, на котором выделена некоторая
алгебра, но не σ -алгебра подмножеств B, содержащая все одноточечные подмно-
жества Ω, например алгебра, порожденная всеми конечными подмножествами Ω.
Положим µ({ωn}) = 2−n, n = 1, 2, . . . , для ωn ∈ Ω. Таким образом, определена
мера на B. Пусть, далее, C ⊂ Ω, C /∈ B. Определим A как алгебру, порожденную
B и C, и положим
λ(A) = µ∗(A ∩ C) + µ∗(A ∩ C̄) для любого A ∈ A.
Тогда λ — строго положительная мера на A и экстремальное продолжение ме-
ры µ (см. [6], пример 1). Ясно, что не существует такого гомоморфизма h : A→ B,
что λ(A) = µ(h(A)), A ∈ A. Более того, в этом примере вообще не существует
ни одного гомоморфизма h : A → B, оставляющего неподвижными элементы из
алгебры B. Действительно, если предположить существование такого гомомор-
физма h : A→ B, что h(B) = B для любого B ∈ B, и положить ν(A) = µ(h(A))
для A ∈ A, то ν ∈ Sµ(A,B) и для A ∈ h−1(∅) получим 0 = ν(A) ≥ µ∗(A) > 0,
т. е. h−1(∅) = ∅. Однако алгебры A и B не изоморфны, т. е. Hµ(A,B) = ∅.
В этом пункте будут даны необходимые и достаточные условия, обеспечиваю-
щие существование гомоморфных продолжений.
Предложение 1. Пусть B — подалгебра алгебры A и g — гомоморфизм
алгебры B в некоторую булеву алгебру C. Пусть, кроме того, = ⊂ A — идеал
алгебры A такой, что =∩B = g−1(∅) и A0 = a(B∪=). Тогда отображение h,
определенное на множествах вида A = B∆I, B ∈ B, I ∈ =, как h(A) = g(B),
является гомоморфизмом алгебры A0 в алгебру C таким, что h(B) = g(B) для
любого B ∈ B и h−1(∅) = =.
Доказательство. Согласно лемме 2.5 [10] любое A ∈ A можно представить в
виде A = B∆C, B ∈ B, I ∈ = . Если A = Bi∆Ii, Bi ∈ B, Ii ∈ =, i = 1, 2, то
A∆Bi ∈ =, i = 1, 2, и (B1∆B2) = (A∆B1)∆(A∆B2) ∈ = ∩B = g−1(∅).
Таким образом, для A = B∆I, B ∈ B, I ∈ =, равенство h(A) = g(B)
корректно определяет отображение алгебры A0 в алгебру C, причем h(B) = g(B)
для любого B ∈ B.
Кроме того, имеем
(A1 ∪A2)∆(B1 ∪B2) =
=
(
(A1 ∪A2) ∩ (B̄1 ∩ B̄2)
)
∪
(
(B1 ∪B2) ∩ (Ā1 ∩ Ā2)
)
⊆
⊆ (A1 ∩ B̄1) ∪ (A2 ∩ B̄2) ∪ (B1 ∩ Ā1) ∪ (B2 ∩ Ā2) =
= (A1∆B1) ∪ (A2∆B2) ∈ =.
Отсюда следует, что
h(A1 ∪A2) = g(B1 ∪B2) = g(B1) ∪ g(B2) = h(A1) ∪ h(A2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1272 М. Т. ТАРАЩАНСКИЙ
Пусть A ∈ A0 и B ∈ B таковы, что A∆B ∈ =. Тогда Ā∆B̄ ∈ =, поскольку
Ā∆B̄ = A∆B и, следовательно, h(Ā) = g(B̄) = g(B) = h(A).
Наконец, если A ∈ =, то в представлении A = B∆I, B ∈ B, I ∈ =, можно
взять B = ∅ и потому h(A) = g(∅) = ∅. Если h(A) = g(B) = ∅, то B ∈ =0 и,
значит, A = B∆I ∈ =.
Предложение доказано.
Следствие 1. Пусть B — подалгебра алгебры A, µ — мера, определенная на
алгебре B, и Bµ = a(B ∪ =+
µ ). Тогда мера µ имеет единственное гомоморфное
продолжение µ̄ на алгебру Bµ, причем µ̄−1(0) = =+
µ .
Доказательство. Согласно предыдущему предложению, канонический гомо-
морфизм qµ алгебры B на фактор-алгебру B/µ может быть продолжен до гомо-
морфизма h : Bµ → B/µ такого, что h−1(∅) = =+
µ . Полагая µ̄(A) = µ̂(h(A)) для
любого A ∈ Bµ, получаем гомоморфное продолжение меры µ на алгебру Bµ.
Предположим, что существует еще одно продолжение λ меры µ на алгебру
Bµ. Тогда λ(I) = 0 для любого I ∈ =+
µ . Согласно лемме 2.5 [10] для любого
A ∈ Bµ имеет место представление A = B∆I, B ∈ B, I ∈ =+
µ . Следовательно,
λ(A) = λ(B∆I) = λ(B) = µ̄(B) = µ̄(B∆I) = µ̄(A),
что доказывает единственность продолжения.
Положим далее N =
{
A ∈ 2Ω; µ∗(A) = 0
}
. Тогда N ∩B = =µ и для любой
меры λ ∈ Sµ(A,B) справедливо отношение λ−1(0) ⊂ N.
Предложение 2. Пусть = — некоторый идеал в A∩N. Тогда мера µ может
быть продолжена до меры ν, определенной на алгебре A0 = a(B ∪ =), такой,
что ν−1(0) = = и ν ∈ Hµ(A0,B). Если, кроме того, = — максимальный идеал в
A ∩N, то A0 = a(B ∪ (A ∩N)).
Доказательство. Поскольку = ∩B = =µ, согласно предложению 1, канони-
ческий гомоморфизм qµ алгебры B на алгебру B/µ может быть продолжен до
гомоморфизма h : A0 → B/µ такого, что h−1(∅) = =. Тогда мера ν, определенная
для любого A ∈ A как ν(A) = µ̂(h(A)), является гомоморфным продолжением
меры µ.
Пусть теперь = — максимальный идеал в A ∩N. Допустим, что a(B ∪ =) 6=
6= a(B ∪ (A ∩ N). Тогда существует такое A ∈ A ∩ N, что A /∈ a(B ∪ =). В
силу максимальности идеала = найдется такое I ∈ =, что A ∪ I = Ω. Отсюда
Ā ⊂ I и, значит, Ā ∈ = вопреки выбору A /∈ a(B∪=). Полученное противоречие
доказывает требуемое утверждение.
Теорема 1. Множество Hµ(A,B) не пусто тогда и только тогда, когда
A ⊂ a(B ∪N).
Доказательство. Достаточность. Рассмотрим множество J всех таких иде-
алов = алгебры A, что = ∩B = =µ. Это множество не пусто, ибо содержит =+
µ
и в силу леммы Цорна имеет максимальные элементы. Пусть =∗ — максимальный
элемент множества J. Поскольку =∗ ∩B = =µ, то =∗ ⊂ N и, кроме того, идеал
=∗ является максимальным идеалом в A ∩N.
Из предыдущего предложения и условия теоремы теперь получаем a(B∪=∗) =
= a(B ∪ (A ∩ N) ⊂ A ⊂ a(B ∪ N) ∩ A. С другой стороны, имеем соотношение
(B∪N)∩A = B∪(A∩N) ⊂ a(B∪(A∩N)) и, значит, a(B∪N)∩A ⊂ a(B∪(A∩N)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПРОДОЛЖЕНИЙ МЕРЫ 1273
Таким образом, a(B ∪ =∗) = A. В силу предложения 2 отсюда следует требуемое
утверждение.
Необходимость. Если ν ∈ Hµ(A,B), то ν−1(0) ⊂ N и существует такой
гомоморфизм h : A → B/µ, что ν(A) = µ̂(h(A)) для любого A ∈ A и h(B) =
= qµ(B) для любого B ∈ B. Выбирая некоторое B ∈ h−1(A), A ∈ A, получаем,
что для любого A ∈ A существует такое B ∈ B, что A∆B ∈ h−1(∅). Значит, для
любого A ∈ A существуют такие I ∈ h−1(∅) и B ∈ B, что A = B∆I. Отсюда
следует, что A = a(B∪ h−1(∅)). Поскольку h−1(∅) = ν−1(0), то A ⊂ a(B∪N).
Приведем некоторые примеры, когда A ⊂ a(B ∪N).
Пример 2. Если фактор-алгебра B/µ полна, то в силу теоремы Р. Сикорско-
го о продолжении гомоморфизма [11] (теорема 33.1) существует такой гомомор-
физм h : A → B/µ, который продолжает канонический гомоморфизм qµ. Тогда
h−1(∅) ⊂ N и A = (B ∪ h−1(∅)).
В частности, если мера µ двузначна или, более общо, принимает конечное
множество значений, то алгебра B/µ конечна и потому полна. Еще один частный
случай можно получить, рассмотрев счетно-аддитивную меру µ на σ -полной ал-
гебре B. Тогда алгебра B/µ полна, так как является σ -полной и удовлетворяет
счетному цепному условию [11] (теорема 20.5).
Напомним, что множество P ⊂ A называется плотным в алгебре A, если для
любого ∅ 6= A ∈ A найдется такое ∅ 6= P ∈ P, что P ⊂ A.
Для дальнейшего потребуется следующее простое утверждение.
Предложение 3. Если подалгебра B плотна в алгебре подмножеств A, то:
1) для любого A ∈ A и точки ω ∈ Ω, ω /∈ A, найдется такое B ∈ B, что
ω ∈ B и B ∩A = ∅;
2) для любого максимального идеала =ω алгебры B, определенного точкой
ω ∈ Ω, идеал =+
ω является единственным максимальным идеалом алгебры A,
содержащим =ω;
3) если алгебра A разделяет точки на Ω, то алгебра B также разделяет
точки на Ω.
Доказательство. 1. Действительно, если ω ∈ Ω и A ∈ A таковы, что ω /∈ A,
то согласно теореме 23.1 [11], имеет место соотношение Ā =
⋃{
B ∈ B, B ⊂ Ā
}
.
Значит, существует такое B ∈ B, что ω ∈ B, A ∩B = ∅.
2. Если A ∈ A и ω /∈ A, то в силу утверждения 1 предложения 3 существует
такое B ∈ B, что A ⊂ B̄ ∈ =ω, т. е. A ∈ =+
ω . Если A ∈ A и ω ∈ A, то аналогично
получаем, что Ā ∈ =+
ω . Значит, =+
ω — максимальный идеал в A.
Если допустить существование максимального идеала J алгебры A, содержа-
щего =ω и отличного от =+
ω , то из предыдущего рассуждения следует, что этот
идеал должен содержать элемент A ∈ A такой, что ω ∈ A. В силу утвержде-
ния 1 предложения 3 найдется такое B ∈ B, что ω ∈ B и B ∩ Ā = ∅. Тогда
B ⊂ A и, значит, B ∈ J. С другой стороны, ω /∈ B̄ и B̄ ∈ =ω ⊂ J. Таким
образом, Ω = B ∪ B̄ ∈ J. Полученное противоречие доказывает, что =+
ω является
единственным максимальным идеалом алгебры A, содержащим =ω.
3. Это утверждение следует из первого непосредственно.
Предложение доказано.
В силу теоремы Стоуна о представлении [11] (теорема 8.2) любая булева ал-
гебра A изоморфна приведенной и совершенной алгебре подмножеств некоторого
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1274 М. Т. ТАРАЩАНСКИЙ
множества X, т. е. такой алгебре подмножеств, которая разделяет точки на X и
каждый максимальный идеал которой является главным идеалом, определенным
некоторой точкой x ∈ X. Пусть A′ и B′ — образы алгебр A и B соответственно
при этом изоморфизме. Для меры µ, определенной на алгебре B, обозначим через
µ′ ее изоморфный образ на B′. При этом алгебры B/µ и B′/µ′ также изоморфны.
Следовательно, если мера µ имеет гомоморфное продолжение на алгебру A, то
мера µ′ имеет гомоморфное продолжение на алгебру A′, и наоборот.
Теорема 2. Если алгебра B плотна в A и µ — некоторая мера, определенная
на B, то Hµ(A,B) 6= ∅ тогда и только тогда, когда A ⊆ Bµ = a(B ∪ =+
µ ).
Доказательство. Если A ⊆ Bµ, то из следствия 1 вытекает, что Hµ(A,B) 6=
6= ∅.
Пусть A ⊃ Bµ. Согласно сделанному выше замечанию можно считать, что
алгебра A совершенна и приведена. Ясно, что тогда B также является совершен-
ной и, в силу предыдущего предложения, приведенной алгеброй. Допустим, что
существует некоторая мера ν ∈ Hµ(A,B). Тогда существует такое A ∈ ν−1(0),
что A /∈ =+
µ . Обозначим через M объединение всех элементов идеала =+
µ . Тогда
M 6= Ω, так как алгебра Bµ совершенна как подалгебра совершенной алгебры
A. Покажем, что A 6⊂M. Обозначая через =ω максимальный идеал алгебры Bµ,
определенный точкой, получаем =+
µ ⊂ =+
ω для любого ω ∈M. Поскольку алгебра
B плотна в A, алгебра Bµ также плотна в A. Значит, в силу второго утверждения
предложения 3 для любого ω ∈ M идеал =+
ω является максимальным идеалом
алгебры A, содержащим =+
µ . А так как алгебра A совершенна, то никаких других
максимальных идеалов алгебры A, содержащих =+
µ , не существует. Следователь-
но,
⋂
ω∈M =+
ω = =+
µ . Если допустить, что A ⊂ M, то для любого ω ∈ M будет
справедливо отношение A ∈ =+
ω вопреки тому, что A /∈ =+
µ .
Значит, существует хотя бы одна точка ω ∈ A\M. В силу утверждения 1
предложения 3 найдется такое B ∈ Bµ, что ω ∈ B и B ∩ Ā = ∅. Значит,
B ⊂ A ∈ ν−1(0), что в силу следствия 1 влечет B ∈ =+
µ вопреки тому, что
B 6⊂M. Полученное противоречие доказывает, что Hµ(A,B) = ∅.
Теорема доказана.
Если подалгебра B ⊂ A не плотна в алгебре A, то обозначим через C множе-
ство всех таких элементов ∅ 6= C ∈ A, C /∈ B, что из отношения B ⊂ C, B ∈ B
следует, что B = ∅. Подалгебру B ⊂ A будем называть абсолютно неплотной в
алгебре A, если A = a(B ∪ C).
Пример 3. Пусть B и C — две булевы алгебры и A — булево произведение
алгебр B и C [11 с. 66]. Отождествим алгебры B и C с их изоморфными образами
в A. Тогда алгебра B абсолютно не плотна в A, ибо для любого C ∈ C из B ⊂ C,
B ∈ B, следует B = ∅ в силу независимости алгебр B и C.
Теорема 3. Пусть A — произвольная булева алгебра и B — некоторая ее
подалгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) алгебра B абсолютно не плотна в A;
2) любой гомоморфизм алгебры B в произвольную булеву алгебру D может
быть продолжен до гомоморфизма алгебры A в алгебру D.
Доказательство. 1) ⇒ 2). Согласно условию, существует такое множество
C ⊂ A элементов ∅ 6= C ∈ A, C /∈ B, что из отношения B ⊂ C, B ∈ B, следует,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПРОДОЛЖЕНИЙ МЕРЫ 1275
что B = ∅ и A = a(B ∪ C). Пусть h : B → D — гомоморфизм алгебры B в
некоторую алгебру D и =0 = h−1(∅). Пусть =∗ — максимальный идеал в C.
Если A 6= a(=∗ ∪ B), то найдется такое A ∈ C, что A /∈ (=∗ ∪ B). В силу
максимальности идеала =∗ найдется такое I ∈ =∗, что I ∪ A является единицей
алгебры A. Значит, Ā ⊂ I вопреки выбору A /∈ (=∗ ∪B).
Множество I =
{
A ∈ A; A ⊂ I ∪ J, I ∈ =∗, J ∈ =0
}
является собственным
идеалом в A, иначе найдутся такие I ∈ =∗, J ∈ =0, что I ∪ J будет единицей
алгебры A и, значит, J̄ ⊂ I вопреки тому, что I ∈ C. Кроме того, I ∩B = =0.
Действительно, если для некоторого B ∈ B выполняется соотношение B ⊂ I ∪ J,
I ∈ =∗, J ∈ =0, то B ∩ J̄ = ∅, иначе I ⊃ B ∩ J̄ ∈ B, что невозможно, ибо
I ∈ =∗ ⊂ C. Значит, B ⊂ J ∈ =0 и потому B ∈ =0.
Поскольку A = a(=∗ ∪B), то тем более и A = a(I ∪B). Требуемое утвержде-
ние следует теперь из предложения 1.
2) ⇒ 1). Если любой гомоморфизм алгебры B в произвольную булеву ал-
гебру D может быть продолжен до гомоморфизма алгебры A в алгебру D, то
тождественный изоморфизм алгебры B на себя также может быть продолжен до
гомоморфизма h алгебры A на алгебру B. Ядро этого гомоморфизма h−1(∅)
удовлетворяет условиям h−1(∅) ∩B = {∅} и A = a(B ∪ h−1(∅)).
Каково бы ни было A ∈ h−1(∅), из условий B ∈ B и B ⊂ A следует B = ∅,
т. е. алгебра B абсолютно не плотна в A, что завершает доказательство теоремы.
Отсюда получаем, что любая мера µ, определенная на абсолютно неплотной
в A подалгебре B, имеет гомоморфное продолжение, ибо согласно этой теореме
канонический гомоморфизм qµ алгебры B на алгебру B/µ может быть продолжен
до гомоморфизма всей алгебры A на B/µ.
Следствие 2. Для любой меры µ, определенной на абсолютно неплотной в A
алгебре подмножеств B, множество Hµ(A,B) не пусто.
Теорема 4. Если Hµ(A,B) 6= ∅, то exSµ(A,B) = Hµ(A,B).
Доказательство. Пусть λ ∈ exSµ(A,B). Положим A0 = a(B ∪ λ−1(0)) и
покажем, что алгебра A0 плотна в алгебре A. Если это не так, то найдется хотя
бы одно такое ∅ 6= A0 ∈ A, что из отношений B ⊂ A0, B ∈ A0 следует B = ∅.
Пусть λ′ = λ|A0
. Тогда имеем λ′∗(A0) = 0. Согласно теореме 3 [12] мера λ′ может
быть продолжена до меры ν, определенной на алгебре a(A0 ∪A0) равенствами
ν(A) = λ′∗(A0 ∩B1) + λ′∗(A0 ∩B2) = λ′∗(A0 ∩B2)
для любого A ∈ a(A0 ∪ A0), где A = (A0 ∩ B1) ∪ (A0 ∩ B2), B1, B2 ∈ A0. Если
A = (A0 ∩B1) ∪ (A0 ∩B2) таково, что λ(A) < ε для ε > 0, то и λ(A0 ∩B1) < ε.
Положим δ = ε− λ(A0 ∩B1) > 0. Тогда из ν(A) < δ следует, что
λ(A) = λ(A0 ∩B1) + λ(A0 ∩B2) ≤ λ(A0 ∩B1) + λ′∗(A0 ∩B2) =
= λ(A0 ∩B1) + ν(A) < ε.
Значит, для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что λ(A) < ε как только
ν(A) < δ. В силу теоремы 2 [5] это означает, что сужение меры λ на алгебру
a(A0 ∪ A0) совпадает с мерой ν вопреки тому, что ν(A0) = 0 и A0 /∈ λ−1(0).
Полученное противоречие доказывает, что алгебра A0 плотна в алгебре A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1276 М. Т. ТАРАЩАНСКИЙ
Из предложения 2 следует, что λ′ ∈ Hµ(A0,B). Поскольку Hµ(A,B) 6= ∅, то,
значит, и Hλ′(A, A0) 6= ∅. В силу теоремы 2 отсюда следует, что A = a(A0∪=+
λ′).
Поскольку =+
λ′ ⊂ A0, то A = A0 и потому λ ∈ Hµ(A,B).
4. Свойства гомоморфных продолжений. Отношение λ1 �w λ2 определяет
отношение предпорядка на множестве Sµ(A,B). Символом S∗µ будем обозначать
множество минимальных элементов относительно этого предпорядка.
Для счетно-аддитивной меры µ в [2] (теорема 2) было показано, что отноше-
ние λ ∈ exSµ(A,B) эквивалентно λ ∈ S∗µ. В [5] (теорема 2) этот результат был
распространен в случае конечно-аддитивной меры µ на отношение сильного доми-
нирования. В этом пункте будет показано, что λ ∈ S∗µ является характеристическим
свойством гомоморфных продолжений конечно-аддитивной меры µ.
Объединим свойства гомоморфных продолжений в следующем предложении.
Предложение 4. Пусть λ ∈ Sµ(A,B). Тогда:
1) если ν ∈ Hµ(A,B), то для любого A ∈ A найдется такое B ∈ B, что
ν(A∆B) = 0;
2) если Hµ(A,B) 6= ∅, то найдется такая мера ν ∈ Hµ(A,B), что ν−1(0) ⊇
⊇ λ−1(0);
3) если ν ∈ Hµ(A,B) и ν−1(0) ⊆ λ−1(0), то ν = λ;
4) если ν ∈ Hµ(A,B), то ν−1(0) является максимальным идеалом в A ∩N;
5) если ν ∈ Hµ(A,B), то ν(A) = µ(B);
6) если ν1, ν2 ∈ Hµ(A,B), то существуют такие A1, A2 ∈ A, что A1∩A2 =
= ∅ и νi(Ai) = 1, i = 1, 2.
Доказательство. 1. Согласно определению множества Hµ(A,B) существует
такой гомоморфизм h : A→ B/µ, продолжающий канонический гомоморфизм qµ
алгебры B на B/µ, что h(B) = qµ(B) и ν(A) = µ(h(A)) = µ̂(qµ(B)). Тогда,
выбирая любое B ∈ q−1
µ (h(A)), имеем h(B) = h(A) и потому
ν(A∆B) = µ̂(h(A∆B)) = µ̂(h(A)∆h(B)) = µ̂(h(A)∆h(A)) = 0.
2. Поскольку Hµ(A,B) 6= ∅, то в силу теоремы 1 A ⊂ a(B ∪ N). Пусть
= — максимальный в A ∩ N идеал, содержащий λ−1(0). Тогда так же, как при
доказательстве теоремы 1, получаем, что A = a(B ∪ =) и существует мера ν ∈
∈ Hµ(A,B) такая, что ν−1(0) = =.
3. Пусть теперь ν ∈ Hµ(A,B). Из утверждения 1 этого предложения следу-
ет, что для любого A ∈ A найдется такое B ∈ B, что ν(A∆B) = 0. Отсюда
ν(A) = ν(B). В силу предположения имеем λ(A∆B) = 0 и потому λ(A) = λ(B).
Поскольку ν(B) = λ(B) для любого B ∈ B, то ν(A) = λ(A) для любого A ∈ A.
4. Действительно, предположим противное, т. е. пусть = — максимальный в
A ∩ N идеал, содержащий ν−1(0), ν−1(0) 6= =, и A0 = a(B ∪ =). Согласно
предложению 2, существует мера λ ∈ Sµ(A0,B) такая, что λ−1(0) = =. Для
сужения ν0 меры ν на алгебру A0 имеем ν0 ∈ Hµ(A0,B) и ν−1(0) = ν−1
0 (0) ⊂
⊂ λ−1(0), ν−1
0 (0) 6= λ−1(0), что противоречит утверждению 2 этого предложения.
5. Это утверждение является прямым следствием утверждения 1 этого предло-
жения.
6. Согласно утверждению 2 этого предложения, существует такое A′ ∈ A, что
A′ ∈ ν−1
1 (0) и A′ /∈ ν−1
2 (0). Поскольку ν−1
2 (0) является максимальным идеалом
в A ∩ N, в силу утверждения 3 этого предложения найдется такое A ∈ ν−1
2 (0),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПРОДОЛЖЕНИЙ МЕРЫ 1277
что A′ ∪ A = Ω. Положим A2 = Ā. Тогда ν2(A2) = 1, и так как Ā ⊂ A′, то
ν1(A2) = 0. Пусть, далее, A1 = A′. Тогда ν1(A1) = 1 и A1 ∩A2 = ∅.
Теорема 5. Следующие условия эквивалентны:
1) ν ∈ Hµ(A,B);
2) существует µ -дополнение C ⊂ A алгебры B в алгебре A и такая двузнач-
ная мера λ0, определенная на алгебре C, что меры µ и λ0 согласованы, а мера ν
является совместным продолжением мер µ и λ0;
3) существуют µ -дополнение C ⊂ A алгебры B в алгебре A и такая дву-
значная мера λ0, определенная на алгебре C, что для любых B ∈ B, C ∈ C
справедливо соотношение ν(B ∩ C) = µ(B)λ0(C), а ν является единственным
совместным продолжением мер µ и λ0;
4) Hµ(A,B) 6= ∅ и ν ∈ S∗µ.
Доказательство. 1) ⇒ 2). Действительно, согласно утверждению 1 предложе-
ния 4 для любого A ∈ A существует такое B ∈ B, что ν(A∆B) = 0. Пусть, далее,
C — алгебра, порожденная идеалом ν−1(0). Тогда мера λ0 = ν|C , представляющая
собой сужение меры ν на алгебру C, является двузначной мерой. Кроме того, лю-
бое A ∈ A можно представить в виде A = B∆(A∆B), B ∈ B, A∆B ∈ C. Отсюда
следует, что A = a(B∪C). Меры µ и λ0 согласованы, поскольку λ0|B∩C = µ|B∩C ,
а мера ν является совместным продолжением мер µ и λ0.
2) ⇒ 3). Поскольку мера λ0 двузначна, возможны два случая.
Если λ0(C) = 0, то ν(B ∩ C) ≤ ν(C) = λ0(C) = 0, и потому ν(B ∩ C) =
= µ(B)λ0(C). Если λ0(C̄) = 0, то ν(B ∩ C̄) = 0 и снова
ν(B ∩ C) = ν(B ∩ C) + ν(B ∩ C̄) = ν(B) = µ(B) = µ(B)λ0(C).
Допустим, что существует еще одно совместное продолжение λ мер µ и λ0.
Тогда меры λ и ν совпадают на множествах вида B∩C, B ∈ B, C ∈ C, а значит,
и на множествах вида A = B∆C, B ∈ B, C ∈ C. Поскольку алгебра C является
µ -дополнением алгебры B в алгебре A, отсюда следует требуемый результат.
3) ⇒ 4). Поскольку мера λ0 двузначна и, значит, идеал λ−1
0 (0) максимален в
C, то A = a(B∪C) = a(B∪λ−1
0 (0)). Кроме того, λ−1
0 (0)∩B = µ−1(0). Согласно
предложению 1, отображение h, определенное равенствами h(A) = qµ(B), A =
= B∆I, B ∈ B, I ∈ λ−1
0 (0), является гомоморфизмом алгебры A на алгебру
B/µ. Тогда имеем
ν(A) = ν(B∆I) = ν(B ∩ Ī) + ν(B̄ ∩ I) = ν(B)λ0(Ī) =
= ν(B) = µ(B) = µ̂(h(A))).
Отсюда ν ∈ Hµ(A,B). Если λ ∈ Sµ(A,B) и λ−1(0) ⊇ ν−1(0), то из утвержде-
ния 2 предыдущего предложения следует, что λ = ν.
4) ⇒ 5). В силу утверждения 2 предложения 4 существует мера λ ∈ Hµ(A,B)
такая, что λ−1(0) ⊇ ν−1(0). Тогда из ν ∈ S∗µ следует, что ν−1(0) = λ−1(0).
Согласно утверждению 3 предложению 4 это означает, что ν = λ.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда существует такая подалгебра C ⊂ A, что
A = a(B ∪ C) и B ∩ C 6= ∅ для любых B ∈ B, C ∈ C. Ясно, что тогда
B ∩ C = {∅,Ω}. Будем говорить в этом случае, что C является независимым
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1278 М. Т. ТАРАЩАНСКИЙ
дополнением алгебры B в алгебре A. Пусть, далее, µ — некоторая мера на алгебре
B. Известно [13] (теорема 2), что какова бы ни была мера ν, определенная на
алгебре C, существует и притом единственная мера µ⊗ν, определенная на алгебре
A и удовлетворяющая для всех B ∈ B, C ∈ C соотношению
(µ⊗ ν)(B ∩ C) = µ(B)ν(C),
из которого следует, что µ⊗ ν ∈ Sµ(A,B).
В рассматриваемом случае C ⊂ A ∩ N. Значит, из теоремы 1 следует, что
Hµ(A,B) 6= ∅ и согласно теореме 4 Hµ(A,B) = exSµ(A,B).
Теорема 6. Пусть C ⊂ A — независимое дополнение алгебры B ⊂ A и µ —
мера на алгебре B. Тогда ν ∈ exSµ(A,B) в том и только в том случае, когда
существует такая двузначная мера λ на алгебре C, что ν = µ⊗ λ.
Доказательство. Необходимость. Если ν ∈ exSµ(A,B) = Hµ(A,B), то
существует такой гомоморфизм h : A → B/µ, что ν(A) = µ̂(h(A)) для каж-
дого A ∈ A. Значит ν−1(0) = h−1(∅) и h−1(∅) ∩ B = µ−1(0). Положим
=0 = ν−1(0) ∩ C. Поскольку ν−1(0) является максимальным идеалом в A ∩N в
силу утверждения 4 предложения 4, то идеал =0 максимален в алгебре C ⊂ A∩N.
Определим двузначную меру λ на алгебре C, соответствующую этому идеалу, и
положим ν∗ = µ⊗ λ.
Покажем, что при таком определении меры ν∗ справедливо отношение ν−1(0) ⊂
⊂ ν∗−1
(0). Действительно, поскольку алгебра A состоит из конечных объединений
непересекающихся множеств вида B ∩ C для B ∈ B и C ∈ C, то достаточно до-
казать это утверждение для множеств вида B ∩ C, B ∈ B, C ∈ C. Поскольку
B ∩C 6= ∅ для произвольных B ∈ B и C ∈ C, то 0 = ν(B ∩C) = µ̂(h(B ∩C)) =
= µ̂(h(B) ∩ h(C)), если ν(B ∩ C) = 0, т. е. либо h(B) = ∅, либо h(C) = ∅.
Поэтому ν(B ∩ C) = 0 для некоторых B ∈ B и C ∈ C только тогда, когда либо
ν(B) = 0, либо ν(C) = 0. Пусть A = B ∩ C, B ∈ C, C ∈ C и ν(A) = 0. Если
ν(B) = 0, то и µ(B) = 0. Поэтому ν∗(B ∩ C) = µ(B)λ(C) = 0. Если ν(C) = 0,
то в силу определения меры λ имеем λ(C) = 0. Поэтому и в этом случае получа-
ем ν∗(B ∩ C) = µ(B)λ(C) = 0. Согласно утверждению 3 предложения 4 отсюда
следует, что ν = ν∗ и, значит, ν = µ ⊗ λ для некоторой двузначной меры λ на
алгебре C.
Достаточность. Если ν = µ ⊗ λ для некоторой двузначной меры λ, то ν
является совместным продолжением мер µ, λ и единственной мерой на A, удо-
влетворяющей условию ν(B ∩ C) = µ(B)λ(C) для всех B ∈ B и C ∈ C. Из
предыдущей теоремы следует, что ν ∈ Hµ(A,B) = exSµ(A,B).
Теорема доказана.
1. Lipecki Z. On compactness and extreme points of some sets of quasi-measures and measures // Manuscr.
Math. – 1995. – 86. – S. 349 – 365.
2. Bierlein D., Stich W. J. A. On the extremality of measure extensions // Ibid. – 1989. – 63. – S. 89 – 97.
3. Hackenbroch W. Measure extensions by conditional atoms // Math. Z. – 1989. – 200. – S. 347 – 352.
4. Lipecki Z. Cardinality of the set of extreme extensions of quasi measures // Manuscr. Math. – 2001. –
104. – P. 333 – 341.
5. Lipecki Z. On extreme extensions of quasi-measures // Arch. Math. – 1992. – 58. – P. 288 – 293.
6. Plachky D. Extremal and monogenic additive set functions // Proc. Amer. Math. Soc. – 1976. – 54. –
P. 193 – 196.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПРОДОЛЖЕНИЙ МЕРЫ 1279
7. Graf S. Induced σ -homomorphisms and a parametrisation of measurable sections via extremal preimage
measures // Math. Ann. – 1980. – 247. – P. 67 – 80.
8. Малюгин С. А. Об экстремальном продолжении конечно аддитивной меры // Мат. заметки. – 1988.
– 43, № 1. – С. 25 – 30.
9. Bhaskara Rao K. P. S., Bhaskara Rao M. Theory of charges. A study of finitely additive measures. –
New York: Acad. Press, 1983. – 253 p.
10. Bhaskara Rao K. P. S., Bhaskara Rao M. On the lattice of subalgebras of a Boolean algebra // Czech.
Math. J. – 1979. – 29. – P. 530 – 545.
11. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969. – 376 с.
12. Los J., Marczewski E. Extensions of measures // Fund. Math. – 1949. – 36. – P. 267 – 276.
13. Marczewski E. Measures in almost independent fields // Fund. Math. – 1951. – 38. – P. 217 – 229.
Получено 15.02.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
|