О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций
Одержано достатні умови для зображення функції у вигляді абсолютно збіжного інтеграла Фур'є. Ці умови наведено у термінах сумісної поведінки функції та її похідних на нескінченності, їх ефективність і точність перевіряються на відомому прикладі. Розглянуто також радіальні функції довільного чис...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166281 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функцийвание / Р.М. Тригуб // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1280–1293. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166281 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662812020-02-19T01:27:24Z О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций Тригуб, Р.М. Статті Одержано достатні умови для зображення функції у вигляді абсолютно збіжного інтеграла Фур'є. Ці умови наведено у термінах сумісної поведінки функції та її похідних на нескінченності, їх ефективність і точність перевіряються на відомому прикладі. Розглянуто також радіальні функції довільного числа змінних. We obtain sufficient conditions for the representability of a function in the form of an absolutely convergent Fourier integral. These conditions are given in terms of the joint behavior of the function and its derivatives at infinity, and their efficiency and exactness are verified with the use of a known example. We also consider radial functions of an arbitrary number of variables. 2010 Article О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функцийвание / Р.М. Тригуб // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1280–1293. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166281 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Тригуб, Р.М. О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций Український математичний журнал |
| description |
Одержано достатні умови для зображення функції у вигляді абсолютно збіжного інтеграла Фур'є. Ці умови наведено у термінах сумісної поведінки функції та її похідних на нескінченності, їх ефективність і точність перевіряються на відомому прикладі. Розглянуто також радіальні функції довільного числа змінних. |
| format |
Article |
| author |
Тригуб, Р.М. |
| author_facet |
Тригуб, Р.М. |
| author_sort |
Тригуб, Р.М. |
| title |
О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций |
| title_short |
О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций |
| title_full |
О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций |
| title_fullStr |
О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций |
| title_full_unstemmed |
О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций |
| title_sort |
о мультипликаторах фурье и абсолютной сходимости интегралов фурье радиальных функций |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166281 |
| citation_txt |
О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функцийвание / Р.М. Тригуб // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1280–1293. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT trigubrm omulʹtiplikatorahfurʹeiabsolûtnojshodimostiintegralovfurʹeradialʹnyhfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-14T21:06:21Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:06:21Z |
| _version_ |
1837657942259662848 |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. М. Тригуб (Донецк. нац. ун-т)
О МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ
И АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ
РАДИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ *
We obtain sufficient conditions of the representation of a function in the form of absolutely converging Fourier
integral. These conditions are given in terms of joint behavior of the function and its derivatives at infinity,
their efficiency and exactness are verified with the use of known example. We also consider radial functions
of arbitrary number of variables.
Одержано достатнi умови для зображення функцiї у виглядi абсолютно збiжного iнтеграла Фур’є. Цi
умови наведено у термiнах сумiсної поведiнки функцiї та її похiдних на нескiнченностi, їх ефективнiсть
i точнiсть перевiряються на вiдомому прикладi. Розглянуто також радiальнi функцiї довiльного числа
змiнних.
1. Введение. Если
f(y) =
∫
Rd
g(x)ei(x,y)dx, g ∈ L1(Rd), (x, y) = x1y1 + . . .+ xdyd,
то пишут f ∈ A(Rd), при этом ‖f‖A = ‖g‖L1(Rd). Возможность представления
функции в виде абсолютно сходящегося интеграла Фурье изучалась многими ма-
тематиками (Титчмарш, Берлинг, Хермандер, . . . ) ввиду важности ее в различных
вопросах анализа. Например, принадлежность функции m(x) пространству A(Rd)
делает ее L1 → L1 мультипликатором Фурье (и L∞ → L∞ мультипликатором
Фурье); последнее обозначается через m ∈ M1 (соответственно, m ∈ M∞). Это
сверточный оператор и поэтому, на самом деле, он действует ограниченно из L∞
в C. Если функция m, вводимая множителем в преобразование Фурье f̂ , опре-
деляет оператор-мультипликатор Lp → Lp, то пишут m ∈ Mp. Точные опреде-
ления мультипликаторов и их свойства см., например, в [1] (гл. 4). При любом
p ∈ (1,+∞] M1 ⊂ Mp,M2 = L∞. Из достаточного условия для M1 и оче-
видного для M2 c помощью подходящей интерполяционной теоремы получают
достаточные условия для Mp при p ∈ (1, 2), а затем, применяя двойственность(
Mp = Mp′ ,
1
p
+,
1
p′
= 1
)
, выводят достаточные условия для Mp при любом p.
Разные достаточные условия принадлежности алгебреA(R) приведены в обзоре
[2], некоторые дополнения см. в [3] (§ 2).
Одна из таких функций-мультипликаторов m0 была модельным примером в
применении новых общих теорем в 60-x годах для нескольких авторов (см. [4, 5]
или [1], гл. 4, 7.4, а также дополнительные ссылки в этих работах):
m0(x) = θ(x)
ei|x|
α
|x|β
, (1.1)
где θ является C∞-функцией на Rd, равной 0 возле начала координат и 1 вне
некоторого ограниченного множества, а α и β > 0. Оказалось, что при d ≥ 1 и
p ≥ 1:
*Поддержана Фондом фундаментальных исследований Украины (проект F25.1/055).
c© Р. М. ТРИГУБ, 2010
1280 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
О МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ И АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ . . . 1281
1) если
∣∣∣∣12 − 1
p
∣∣∣∣ < β
dα
, то m0 ∈Mp (при p =∞ m0 ∈ A(Rd));
2) если
∣∣∣∣12 − 1
p
∣∣∣∣ > β
dα
, то m0 6∈ Mp (при p =∞ m0 6∈ A(Rd)), за исключе-
нием случая d = α = 1.
Случай α = d = 1 очевиден: m0 ∈ M1 = M∞ при β ≥ 0 и m0 ∈ A(R) при
любом β > 0.
В настоящей статье получены достаточные условия для представления функции
в виде абсолютно сходящегося интеграла Фурье. Они даны в терминах совместного
поведения функции и ее производных на∞. Применимость и точность полученных
условий можно проверить на приведенном примере. (см. теорему 1.1). Теоремы то-
го же типа и более точные получены в препринте [3]. Кроме того, здесь рассмотрен
случай радиальных функций любого числа переменных. (см. теорему 1.2 и ее при-
менение).
Начнем с типичного примера применения таких теорем (для простоты в одно-
мерном случае). Рассматривается следующая задача.
Даны алгебраические полиномы P1, P2 и Q,D =
d
dx
. Когда выполняется нера-
венство
‖Q(D)f‖Lq(R) ≤ c( ‖P1(D)f‖Lp1 (R) + ‖P2(D)f‖Lp2 (R) ) (1.2)
с постоянной c, не зависящей от функции f?
Сначала пусть вместо двух операторов изучается один. Тогда задача в этом
случае формулируется так:
Когда
‖Q(D)f‖Lq(R) ≤ c ‖P (D)f‖Lp(R)? (1.3)
Понятно, что должно выполняться условие s = degQ ≤ r = degP . А если
рассматривать все функции, для которых правая часть конечна, то все решения
уравнения P (D)f = 0 должны быть решениями уравнения Q(D)f = 0, т. е.,
Q = cP , где c — некоторая постоянная. Задача становится содержательной в пред-
положении, что f ∈W r
p (R).
Приведем необходимые условия для выполнения в этом случае неравенства
(1.3). Это q ≥ p при s < r и q = p при s = r, а при q 6=∞ или p 6= 1 еще и
sup
x∈R
|φ(x)| <∞, φ(x) =
Q(ix)
P (ix)
. (1.4)
Когда условие (1.4) выполнено, имеем при
φ(x) = a0 +
a1
x
+O
(
1
x2
)
, φ′(x) = −a1
x2
+O
(
1
x3
)
, |x| → ∞,
и разные достаточные условия из [2] (например, функция локально абсолютно
непрерывна и вместе с производной принадлежит L2(R)) обеспечивают принад-
лежность преобразования Фурье φ̂− a0 ∈ L1(R), или, иными словами, φ− a0 есть
преобразование Фурье некоторой функции g ∈ L1(R).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1282 Р. М. ТРИГУБ
А если, например, f ∈W r
1 (R), то, как известно, f̂ (k)(y) = (iy)kf̂(y) (0 ≤ k ≤ r)
и, значит,
P̂ (D)f(y) = P (iy)f̂(y), Q̂(D)f(y) = Q(iy)f̂(y), Q̂(D)f = φ P̂ (D)f.
Следовательно,Q(D)f можно представить в виде свертки g и P (D)f , откуда в силу
неравенства Минковского непосредственно следует (1.3) при p = q ∈ [1,∞]. Тем
самым задается мультипликатор, определяемый функцией φ (см. [1, 6]). На самом
деле функция g еще и ограничена почти всюду (п. в.). Применяя неравенство
Юнга для свертки (см., например, приложение в [1]), приходим к неравенству
(1.3) в общем случае (за подробностями отсылаем читателя к [7], где найдены три
критерия, т. е. необходимые и достаточные условия одновременно, существования
таких неравенств: на прямой, полупрямой и окружности).
Теперь рассмотрим случай двух операторов P1(D) и P2(D) (см. (1.2)).
Будем считать, что r2 = degP2 ≤ degP1 = r1, P1(x) = I(x) · I1(x) · P̃1(x),
P2(x) = I(x) ·I2(x) ·P̃2(x), где полиномы P̃1 и P̃2 не обращаются в нуль на мнимой
оси iR, а нули I, I1 и I2, если таковые имеются, лежат на iR; при этом полиномы
I1 и I2 не имеют общих нулей. Тогда и полином Q должен делиться на I .
Очевидно, что все значения I1 на iR лежат на одной прямой (как и I2). Это
позволяет считать, что I1 и I2 принимают на iR только вещественные значения
(после умножения на постоянную).
Если I2(ix1) 6= 0 (x1 ∈ R), a k = deg P̃1, то полагаем
P0(x) = iH(x)I1(x) + I2(x), H(x) = (ix+ x1)k.
Тогда P0(ix) 6= 0, x ∈ R и нужно трижды применить неравенство (1.3):
‖Q(D)f‖ ≤ c1‖IP0(D)f‖ ≤
≤ c1(‖HII1(D)f‖+ ‖II2(D)f‖) ≤ c2(‖P1(D)f‖+ ‖P2(D)f‖).
Отметим, что подобные рассуждения давно применяют и в случае функций несколь-
ких переменных (для эллиптических дифференциальных операторов и близких к
ним); см. [1, 8, 9] и приведенную там библиографию.
Заметим, что из неравенства (1.2) при P1(x) = xr, r ≥ 2, P2(x) ≡ 1 и Q(x) =
= xk, 1 ≤ k ≤ r − 1, следует, что для f ∈W r
∞, например,
‖f (k)‖∞ ≤ c3(k, r) (‖f (r)‖∞ + ‖f‖∞).
После замены x нa εx (ε > 0), деления на εk и минимизации правой части по ε ∈
∈ (0,∞) получаем известное мультипликативное неравенство для промежуточных
производных:
‖f (k)‖∞ ≤ c4(k, r)‖f‖
k
r∞ ‖f (r)‖
1− kr∞ .
Отсюда легко вывести такое же неравенство для функций на полуоси.
Есть и другой способ доказательства таких неравенств – специальное интегри-
рование по частям (см., например, [7]).
Следующий одномерный результат при r = 1 имеется в [3].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
О МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ И АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ . . . 1283
Теорема 1.1. Пусть f : R → C имеет локально абсолютно непрерывную на
R производную f (r−1) при некотором натуральном r, локально ограниченную п. в.
f (r), а при |x| → ∞ (всюду и п. в. соответственно)
|f(x)| = O
(
1
|x|γ0
)
, γ0 > 0, |f (r)(x)| = O
(
1
|x|γr
)
, γr ∈ R.
Если (2r−1)γ0 +γr > r, то f принадлежит A(R), а при (2r−1)γ0 +γr < r такая
функция может не принадлежать A(R).
Предполагаем далее, что функция f радиальная, т. е., f(x) = f0(|x|). Если такая
функция принадлежит A(Rd), то, как известно, при t ∈ R+ := [0,+∞) и λ =
d
2
−1
f0(t) =
∞∫
0
g1(u)jλ(ut)du, g1 ∈ L1(R+). (1.5)
Здесь jλ(t) =
Jλ(t)
tλ
, где Jλ — бесселева функция порядка λ > −1 (см. [6, гл. IV,
§3]), jλ — целая функция экспоненциального типа, которая ограничена на R вместе
с любой производной, и выполняется неравенство
|jλ(t)| ≤ jλ(0) =
1
2λΓ(1 + λ)
.
Далее, при λ > −1
2
jλ(t) =
1
2λΓ(λ+ 1/2)Γ(1/2)
1∫
−1
(1− u2)λ−
1
2 eiutdu, j− 1
2
(t) =
√
2
π
cos t.
Если функция f0 : R+ → C представима в виде (1.5), то будем писать f0 ∈
∈ Aλ = Aλ(R+). Так что f0(|x|) ∈ A(Rd) тогда и только тогда, когда f0 ∈ Aλ при
λ =
d
2
− 1.
При λ > µ выполнено соотношение Aλ ⊂ Aµ. Например, при малых ε > 0
jλ+ε ∈ Aλ, а jλ−ε 6∈ Aλ. Необходимые условия принадлежности Aλ см. в [10]
(теорема 3) и [11].
Теорема 1.2. Пусть −1 < µ < λ или λ = µ + n + δ, где n ≥ 0 целое, a
δ ∈ (0, 1].
Для того чтобы F0 принадлежало Aλ необходимо и достаточно, чтобы
dν
dtν
{tλ F0(
√
t)}t=0 = 0, ν = 0, 1, . . . , n,
и f0 принадлежало Aµ, где при δ = 1 (λ− µ ∈ N)
f0(t) =
1
t2µ
dn+1
dtn+1
{tλ F0(
√
t)}t→t2
(замена после дифференцирования t на t2), а при δ ∈ (0, 1) (λ−µ 6∈ N) f0 задается
дробной производной Римана – Лиувилля порядка δ
tµ f0(
√
t) = Dδ d
n
dtn
{tλ F0(
√
t)} =
1
Γ(1− δ)
t∫
0
1
(t− u)δ
dn+1
dun+1
{uλ F0(
√
u)} du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1284 Р. М. ТРИГУБ
Эта теорема позволяет для радиальных функций легко переходить, во всяком
случае, при степенном поведении функции и ее производных, от одномерного
случая (теорема 1.1) к оценкам в пространствах любой размерности без потери
точности (см. ниже после доказательства теоремы 1.2).
2. Доказательства. Доказательство первого утверждения теоремы 1.1, как и в
[3], основано на следующем предложении (приводится одномерный вариант).
Лемма 2.1. (лемма 4 в [10]). Пусть f принадлежит C0(R), т. е. функция
непрерывная и lim|x|→∞ f(x) = 0. Положим при h > 0
∆1
hf(x) = f(x− h)− f(x+ h), ∆r
hf(x) = ∆1
h(∆r−1
h f(x)), r ≥ 2
(r-я симметричная разность). Если при некотором r
∞∑
s=−∞
2
1
2 s
( ∞∫
−∞
|∆r
π
2s
f(x)|2dx
) 1
2
<∞,
то f принадлежит A(R).
Это предложение типа теоремы Бернштейна для рядов Фурье. Здесь важно
уже то, что функция может не принадлежать L2(R). Эта лемма при r = 1 доказана
также в [12] (теорема 3). Отметим, что из этой леммы в [10] выведена одна теорема
Берлинга [13] (при этом используются и вторая часть леммы, которая здесь не
приведена). Обобщение этой леммы можно найти в [11].
Доказательство теоремы 1.1. Различные положительные постоянные, не за-
висящие от функции f и γ, будем обозначать буквой c.
Нужно доказать сходимость двух рядов (норма в L2(R)):
∞∑
s=0
2
s
2 ‖∆r
π
2s
f(·)‖2,
∞∑
s=1
2−
s
2 ‖∆r
π2sf(·)‖2. (2.1)
По условию теоремы существует такое число, которое, не уменьшая общности,
можно считать равным единице, что
sup(1 + |x|)γ0 |f(x)| ≤ 1, ess sup(1 + |x|)γr |f (r)(x)| ≤ 1.
Тогда
|∆r
hf(x)| ≤ 2r max
0≤ν≤r
1
(1 + |x± νh|)γ0
(2.2)
и
|∆r
hf(x)| =
∣∣∣∣∣
x+h∫
x−h
du1 · · ·
ur−1+h∫
ur−1−h
f (r)(ur)dur
∣∣∣∣∣ ≤ (2h)r max
x−rh≤u≤x+rh
1
(1 + |u|)γr
.
(2.3)
1. Пусть сначала γr ≤
1
2
. Из условия (2r − 1)γ0 + γr > r следует, что γ0 >
1
2
и, значит, f принадлежит L2(R). Но тогда второй ряд в (2.1) сходится, так как при
любом h
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
О МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ И АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ . . . 1285
‖∆r
hf(.)‖2 ≤ 2r‖f‖2.
Первый ряд в (2.1) в силу (2.2) и (2.3) при любом δ ∈ [−1, 1] не больше
∞∑
s=0
2
S
2
∞∫
−∞
[
2r max
0≤ν≤r
1
(1 + min |x± νπ
2s |)γ0
]1−δ
×
×
[
2r
( π
2s
)r
max
x− rπ2s ≤u≤x+
rπ
2s
1
(1 + |u|)γr
]1+δ
dx
) 1
2
.
или, не выписывая числовой множитель,
∞∑
s=0
2
S
2 (1−r(1+δ))
∞∫
−∞
max
0≤ν≤r
1
(1 + min |x± νπ
2s |)γ0(1−δ)
×
× max
x− rπ2s ≤u≤x+
rπ
2s
1
(1 + |u|)γr(1+δ)
dx
) 1
2
.
Покажем, что δ можно выбрать так, чтобы 1− r(1 + δ) < 0, а интеграл сходился и
был ограничен по s ≥ 0.
Разобьем интеграл на два: |x| ≤ rπ и |x| ≥ rπ.
На конечном интервале подынтегральная функция ограничена по x и s.
При |x| ≥ rπ подынтегральная функция четная. Имеем интеграл
∞∫
rπ
1
(1 + x− rπ)γ0(1−δ)
( 1
(1 + x− rπ)γr(1+δ)
+
1
(1 + x+ rπ)γr(1+δ)
)
dx,
который, как легко видеть, сходится, если γ0(1− δ) + γr(1 + δ) > 1.
Осталось выбрать δ >
1
r
− 1 и достаточно близким к
1
r
− 1.
2. Пусть теперь γr >
1
2
.
Тогда f (r) принадлежит L2. Но всегда ‖∆r
hf(·)‖2 ≤ (2h)r‖f (r)‖2 и первый ряд
в (2.1) сходится.
Аналогично предыдущему, используя (2.2) и (2.3), с учетом того, что γr > 0,
получаем
∞∑
s=1
2−
S
2 (1−r(1+δ))
∞∫
−∞
max
0≤ν≤r
1
(1 + min |x± νπ2s|)γ0(1−δ)
×
× 1
(1 + min |x± rπ2s|)γr(1+δ)
dx
) 1
2
≤
≤
∞∑
s=1
2−
S
2 (1−r(1+δ))
∞∫
−∞
max
0≤ν≤r
1
(1 + min |x± νπ2s|)γ0(1−δ)+γr(1+δ)
dx
1
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1286 Р. М. ТРИГУБ
Выносим знак max за интеграл и учитываем, что при φ(x) ≥ 0
∞∫
−∞
φ(min |x± h|)dx = 2
∞∫
0
φ(min |x± h|)dx =
= 2
h∫
0
φ(h− x)dx+ 2
∞∫
h
φ(x− h)dx ≤ 4
∫ ∞
0
φ(x)dx.
Так что при γ0(1 − δ) + γr(1 + δ) > 1 интеграл сходится и ограничен по s.
Выбираем δ <
1
r
− 1 и достаточно близким к
1
r
− 1. Доказательство первой части
(позитивной) закончено.
Для доказательства второй части теоремы 1.1 можно воспользоваться примером
m0, приведенным во введении (см. случай 2 при d = 1 и p =∞).
Очевидно, что при |x| → ∞
m
(r)
0 (x) = O
(
1
|x|β+r(1−α)
)
.
При (2r − 1)γ0 + γr < r полагаем в этом примере β = γ0 и α = 1 − γr − γ0
r
.
Тогда 2β < α и m0 6∈ A(R), если еще α 6= 1. Если же α = 1 (γr = γ0), то можно
считать, что, на самом деле, γr < γ0, и применить предыдущее рассуждение.
Заметим, что из теоремы при любом r следует, что m0 ∈ A(R) (см. случай 1,
p =∞).
Приведем доказательство второй части теоремы 1.1 без использования примера
m0, но только при γr ≥ 0 (производная ограничена). Кстати, в работе [4] только
этот случай и рассматривается (α ∈ (0, 1)) в отличие от работы [5].
Предположим, что все функции, удовлетворяющие условиям теоремы при неко-
торых γ0 > 0, γr ≥ 0 и (2r−1)γ0+γr < r, принадлежатA(R). Тогда в силу теоремы
Банаха о замкнутом графике существует число c такое, что для всех таких функций
‖f‖A ≤ c(sup
x∈R
(1 + |x|)γ0 |f(x)|+ ess sup
x∈R
(1 + |x|)γr |f (r)(x)|). (2.4)
Покажем, что такое неравенство не может быть верным уже для семейства функций
fγ(x) = e−γx
2
при комплексном γ → 0 специальным образом. Точнее, положим
Reγ = a ∈ (0, 1), а |γ| = aε, где ε ∈ (0, 1) и будет выбран в зависимости от γ0 и γr.
При этом a и
a
γ
→ 0.
Имеем
‖f‖A =
∞∫
−∞
|f̂(y)|dy, f̂(y) =
1√
2π
∞∫
−∞
f(x)e−ixydx.
Как известно, f̂ 1
2
= f 1
2
. Отсюда при γ > 0 f̂γ(y) =
1√
2γ
e−
y2
4γ . А поскольку fγ
и f̂γ при фиксированном y аналитичны в полуплоскости Re γ > 0, это равенство
справедливо и при всех γ с условием Re γ = a > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
О МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ И АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ . . . 1287
Выполняя в интеграле замену t =
1
|γ|
√
a
2
y, получаем
∞∫
−∞
|f̂γ(y)|dy =
1√
2|γ|
∞∫
−∞
e
− ay2
4|γ|2 dy =
√
2π
√
|γ|
a
f̂ 1
2
(0) =
√
2π
√
|γ|
a
. (2.5)
Переходим к правой части неравенства (2.4):
sup
x∈R
(1 + |x|)γ0 |fγ(x)| ≤ sup
|x|≤1
(1 + |x|)γ0e−ax
2
+ sup
|x|≥1
(1 + |x|)γ0e−ax
2
≤
≤ 2γ0 + 2γ0 sup
|x|≥1
|x|γ0e−ax
2
.
Учтем теперь, что при δ > 0 (при δ ≤ 0 ответ очевиден в силу монотонности
произведения)
max
0<c≤u≤d≤∞
u2δe−au
2
=
1
aδ
max
ac2≤t≤ad2
tδe−t,
(2.6)
tδe−t ≤ δδe−δ(t ≥ 0), max
0<C≤t≤D
tδe−t = max{Cδe−C , Dδe−D}, δ 6∈ [C,D].
Таким образом, при a ∈ (0, 1)
sup
x∈R
(1 + |x|)γ0 |fγ(x)| ≤ 2γ0
(
1 + a−
γ0
2
(γ0
2
) γ0
2
e−
γ0
2
)
≤ c
a
γ0
2
. (2.7)
Переходим к оценке |f (r)γ (x)|.
Применяем следующую формулу Schwatt – Perron: при натуральном r
dr(f(g(x))
dxr
=
r∑
k=1
1
k!
f (k)(g(x))
k∑
s=1
(
k
s
)
(−1)k−s(g(x))k−s
dr(gs(x))
dxr
.
При f(x) = e−γx и g(x) = x2 имеем
(e−γx
2
)(r) =
r∑
k=[ r+1
2 ]
1
k!
(−γ)ke−γx
2
×
×
∑
r
2≤s≤k
(
k
s
)
(−1)k−sx2(k−s)x2s−r2s(2s− 1) · · · (2s− r + 1),
откуда следует, что
|(e−γx
2
)(r)| ≤ c
r∑
k=[ r+1
2 ]
|γ|ke−ax
2
|x|2k−r ≤
≤ cre−ax
2
max{|γ|[
r+1
2 ]|x|2[
r+1
2 ]−r, |γ|r|x|r}.
Поэтому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1288 Р. М. ТРИГУБ
sup(1 + |x|)γr |f (r)γ (x)| ≤ c sup
|x|≤1
e−ax
2
|γ|[
r+1
2 ]|x|2[
r+1
2 ]−r max{1, |γ|[ r2 ]|x|2[ r2 ]}+
+(2γr + 1) sup
|x|≥1
e−ax
2
|γ|[
r+1
2 ]|x|γr+2[ r+1
2 ]−r max{1, (|x|2|γ|)[ r2 ]}. (2.8)
При |x| ≤ 1 искомый супремум не больше
c|γ|[
r+1
2 ] sup
|x|≤1
|x|2[
r+1
2 ]−re−ax
2
≤ c|γ|[
r+1
2 ]. (2.9)
При |x| ≥ 1 рассмотрим два случая: |x| ≤ 1√
|γ|
и |x| ≥ 1√
|γ|
.
При |x| ≥ 1√
|γ|
соответствующий супремум в силу (2.6) при достаточно малом
a
|γ|
и γr + r > 0 равен
|γ|r
a
γr+r
2
sup
t≥ a
|γ|
t
γr+r
2 e−t =
|γ|r
a
γr+r
2
(γr + r
2
) γr+r
2 e−
γr+r
2 ≤ c |γ|
r
a
γr+r
2
. (2.10)
При 1 ≤ |x| ≤ 1√
|γ|
рассмотрим отдельно случаи четного и нечетного r.
При четном r и γr ≥ 0 (см. (2.6)
sup
1≤|x|≤ 1√
|γ|
|x|γr |γ| r2 e−ax
2
≤ c |γ|
r
2
a
γr
2
. (2.11)
при нечетном r (см. (2.6))
sup
1≤|x|≤ 1√
|γ|
|x|γr |γ|
r+1
2 e−ax
2
|x| ≤ c |γ|
r+1
2
a
γr+1
2
, γr + 1 > 0. (2.12)
Собирая при нечетном r и
a
γ
→ +0 оценки (2.4), (2.5), (2.7) – (2.9), (2.10) и (2.12),
получаем √
|γ|
a
= O
(
1
a
γ0
2
+ |γ|
r+1
2 +
|γ|r
a
r+γr
2
+
|γ| r+1
2
a
γr+1
2
)
.
При |γ| = aε, ε ∈ (0, 1) и a→ +0 имеем
1 = O(a
1−γ0−ε
2 + a
1
2+ε
r
2 + a
rε−γr
2 + aε(r−
1
2 )−
r+γr
2 + 1
2 ).
Но такого соотношения быть не может, если
1− γ0 − ε > 0, rε− γr > 0, ε(2r − 1)− (r + γr) + 1 > 0
или
γ0 < 1− ε, γr < rε, γr < ε(2r − 1)− r + 1.
Но второе неравенство следует из третьего, так как
ε(2r − 1)− r + 1 ≤ rε ⇐⇒ (r − 1)ε ≤ r − 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
О МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ И АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ . . . 1289
а (2r−1)(1−ε)+ε(2r−1)−r+1 = r. Так что (2r−1)γ0 +γr < r, а за счет выбора
ε ∈ (0, 1) можно получить любые γ0 u γr, удовлетворяющие этому условию. Имеем
противоречие с предположением.
При четном r, собирая оценки (2.4), (2.5), (2.7) – (2.9), (2.11) и (2.13), при
a
γ
→
→ +0 получаем √
|γ|
a
= O
(
1
a
γ0
2
+ |γ| r2 +
|γ|r
a
r+γr
2
+
|γ| r2
a
γr
2
)
,
откуда
1 = O(a
1−γ0−ε
2 + a
(r−1)ε−γr+1
2 + aε(r−
1
2 )−
r+γr
2 + 1
2 ).
Но такого соотношения быть не может при a→ +0, если
1− γ0 − ε > 0, (r − 1)ε− γr + 1 > 0, ε(2r − 1)− (r + γr) + 1 > 0
или
γ0 < 1− ε, γr < (r − 1)ε+ 1, γr < ε(2r − 1)− r + 1.
Но второе неравенство следует из третьего, так как
ε(2r − 1)− r + 1 < (r − 1)ε+ 1 ⇐⇒ rε < r.
Завершается доказательство, как и при нечетном r.
Теорема 1.1 доказана.
Доказательство теоремы 1.2. Через c(..) с разными индексами обозначаем
некоторые положительные постоянные, зависящие лишь от величин, стоящих в
круглых скобках.
Проверим сначала, что для того чтобы F0 принадлежало Aλ необходимо и
достаточно, чтобы существовала функция f0 ∈ Aµ при −1 < µ < λ) такая, что
F0(t) =
1∫
0
u2µ+1(1− u2)λ−µ−1f0(ut)du.
Доказательство основано на следующем интеграле Сонина (см. формулу (5) в [14],
§ 7.7):
π
2∫
0
jµ(t sin θ)(sin θ)2µ+1(cos θ)2λ−2µ−1dθ = 2λ−µ−1Γ(λ− µ)jλ(t)
или после замены в интеграле sin θ = u
jλ(t) = c1(λ, µ)
1∫
0
u2µ+1(1− u2)λ−µ−1jµ(ut)du, −1 < µ < λ.
Если теперь f0 ∈ Aµ, то при g ∈ L1(R+)
1∫
0
u2µ+1(1− u2)λ−µ−1f0(ut)du =
1∫
0
u2µ+1(1− u2)λ−µ−1du
∞∫
0
g(y)jµ(yut)dy =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1290 Р. М. ТРИГУБ
=
∞∫
0
g(y)dy
∫ 1
0
u2µ+1(1− u2)λ−µ−1jµ(yut)du =
1
c1(λ, µ)
∫ ∞
0
g(y)jλ(ty)dy ∈ Aλ.
Если
F0(t) =
∫ 1
0
G(u)jλ(ut)du, G ∈ L1(R+),
то при
f0(t) = c1(λ, µ)
1∫
0
G(u)jµ(ut)du
в силу того же интеграла Сонина
F0(t) =
1∫
0
u2µ+1(1− u2)λ−µ−1f0(ut) du.
Соответствие между f0 и F0 взаимно однозначное, что следует, например, из тео-
ремы Титчмарша о свертке (см. также ниже формулу).
Если теперь в предыдущем соотношении между F0 и f0 выполнить замену
ut→ u, то получим
F0(t) =
1
t2λ
t∫
0
(t2 − u2)λ−µ−1u2µ+1f0(u) du,
а после замен t→
√
t и u→
√
u
tλF0(
√
t) =
1
2
t∫
0
(t− u)λ−µ−1uµf0(
√
u)du.
Если λ− µ = n+ δ, n ∈ Z+, и δ ∈ (0, 1], то
dν
dtν
{tλ F0(
√
t)}t=0 = 0, 0 ≤ ν ≤ n,
и
dn
dtn
{tλ F0(
√
t)} = c2(λ, µ)
t∫
0
(t− u)δ−1uµf0(
√
u)du.
При δ = 1 (λ− µ = n+ 1 ∈ N)
f0(t) =
1
c2(λ, µ)
t−2µ
dn+1
dtn+1
{tλ F0(
√
t)}t→t2 .
Если же δ ∈ (0, 1), то решаем интегральное уравнение Абеля с помощью дробной
производной (см., например, [15], §2, 10)
tµ f0(
√
t) =
1
c2(λ, µ)Γ(1− δ)
Dδ d
n
dtn
tλ F0(
√
t) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
О МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ И АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ . . . 1291
= c3(λ, µ, )
t∫
0
dn+1
dtn+1
uλ F0(
√
u)
du
(t− u)δ
.
Теорема 1.2 доказана.
Применим эту теорему к выводу достаточных условий принадлежности функ-
ции F0 пространству Aλ, основываясь на теореме 1.1 при r = 1
(
µ = −1
2
)
.
Пусть λ = n+
1
2
(δ = 1) и при t→∞
dn+1
dtn+1
{tλF0(
√
t)} = O
(
1
t
1+γ0
2
)
, γ0 > 0,
dn+2
dtn+2
{tλF0(
√
t)} = O
(
1
t1+
γ1
2
)
.
(2.13)
Тогда
f0(
√
t) =
√
t
dn+1
dtn+1
{tλF0(
√
t)} = O
(
1
t
γ0
2
)
(2.14)
и
f ′0(
√
t) = 2t
dn+2
dtn+2
{tλF0(
√
t)}+
dn+1
dtn+1
{tλF0(
√
t)}, f ′0(t) = O
(
1
tγ1
+
1
t1+γ0
)
.
(2.15)
Выясним, при каких условиях на F0 выполняются неравенства (2.13).
Очевидно, что
dn+1
dtn+1
{
tn+
1
2F0(
√
t)
}
=
n+1∑
ν=0
(
n+ 1
ν
)
dν
dtν
{F0(
√
t)}
(
n+
1
2
)(
n− 1
2
)
. . .
. . . (n+
1
2
− (n+ 2− ν))tn+
1
2−(n+1−ν) = O
(
n+1∑
ν=0
∣∣∣∣ dνdtν {F0(
√
t)}
∣∣∣∣ tν− 1
2
)
.
Аналогично получаем
dn+2
dtn+2
{
tn+
1
2F0(
√
t)
}
= O
(
n+2∑
ν=0
∣∣∣∣ dνdtν {F0(
√
t)}
∣∣∣∣ tν− 3
2
)
.
Далее применяем формулу Schwatt – Perron (ν ≥ 1)
dν
dtν
F0(
√
t) =
ν∑
k=1
1
k!
F
(k)
0 (
√
t)
ν∑
s=1
(
k
s
)
(−1)k−st
k−s
2
dν
dtν
t
s
2 =
= O
(
ν∑
k=1
|F (k)
0 (
√
t)|t k2−ν
)
.
Поэтому
dn+1
dtn+1
{
tn+
1
2F0(
√
t)
}
= O
(
1√
t
|F0(
√
t)|+
n+1∑
ν=1
∣∣∣∣ dνdtν {F0(
√
t)}
∣∣∣∣ tν− 1
2
)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
1292 Р. М. ТРИГУБ
= O
(
1√
t
|F0(
√
t)|+
n+1∑
ν=1
tν−
1
2
ν∑
k=1
|F (k)
0 (
√
t)|t k2−ν
)
= O
(
1√
t
n+1∑
k=0
|F (k)
0 (
√
t)|t k2
)
.
Считаем далее, что при k ∈ [0, n+ 1] и t→∞
F
(k)
0 (t) = O
(
1
tk+γ0
)
. (2.16)
Тогда выполняется первое неравенство (2.13).
Заметим, что здесь уместно применить неравенство для промежуточных про-
изводных (см. введение) на полуоси [t,∞), чтобы оставить ограничение только на
крайние производные (k = 0 и k = n+ 1).
Аналогично получаем
dn+2
dtn+2
{
tn+
1
2F0(
√
t)
}
= O
(
1
t
3
2
n+2∑
k=0
|F (k)
0 (
√
t)|t k2
)
.
Для выполнения второго из неравенств (2.13) теперь достаточно предположить,
что при k ∈ [0, n+ 2] и t→∞
F
(k)
0 (t) = O
(
1
tk+γ1−1
)
. (2.17)
Итак, достаточные условия для принадлежности F0 кAλ в рассматриваемом случае
(см. еще (2.14) и (2.15)) — это (2.16) и (2.17) при γ0 > 0 и γ0 + γ1 > 1.
Проверим эти условия на известном примере F0 = m0 (см. введение): при
t→∞
F
(k)
0 (t) = O
(
1
tβ+k(1−α)
)
.
Указанные условия выполняются при γ0 = β − (n+ 1)α и γ1 = β + 1− (n+ 2)α.
Получаем, что при d = 2n+ 3 и 2β > dα > 0 m0(|x|) ∈ A(Rd).
В заключение — несколько слов о Викторе Николаевиче Коновалове, памяти
которого посвящена эта статья. Он является пионером в открытии новых тем в
теории приближений функций. Назовем две из них. Ему принадлежит первое точ-
ное неравенство для промежуточных производных в случае функций нескольких
переменных [16] и первый результат об условных поперечниках и само понятие
условного поперечника [17].
1. Stein E. M. Singular integrals and differentiability properties of functions. – Princeton, N.J.: Princeton
Univ. Press, 1970.
2. Samko S. G., Kostetskaya G. S. Absolute integrability of Fourier integrals // Вестн. Рос. ун-та дружбы
народов. Математика. – 1994. – 1. – С. 138 – 168.
3. Liflyand E., Trigub R. Known and new results on absolute integrability of Fourier integrals. – 2009. –
29 p. – Preprint CRM 859.
4. Fefferman Ch. Inequalities for strongly singular convolution operators // Acta Math. – 1970. – 124. –
P. 9 – 36.
5. Stein E. M. Singular integrals, harmonic functions, and differentiability properties of functions of several
variables // Proc. Symp. Pure Math. – 1967. – 10. – P. 316 – 335.
6. Stein E. M., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. – Princeton, N.J.: Princeton
Univ. Press, 1971.
7. Тригуб Р. М. O сравнении линейных дифференциальных операторов // Maт. заметки. – 2007. – 82,
С. 426 – 440.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
О МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ И АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ . . . 1293
8. Бесов O. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы
вложения. – М.: Наука, 1975.
9. Belinsky E. S., Dvejrin M. Z., Malamud M. M. Multipliers in L1 and estimates for systems of differential
operators // Russ. J. Math. Phys. – 2005. – 12. – P. 6 – 16.
10. Тригуб Р. М. Aбсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и прибли-
жение полиномами функций на торе // Изв. AН СССР. Сер. мaт. – 1980. – 44, № 6. – 1378 – 1408.
11. Trigub R. M., Belinsky E. S. Fourier analysis and appoximation of functions. – Kluwer-Springer, 2004.
12. Бесов O. В. К теореме Хермандера о мультипликаторах Фурье // Тр. Maт. ин-та АН СССР. – 1986.
– 173. – С. 164 – 180.
13. Beurling A. On the spectral synthesis of bounded functions // Acta Math. – 1949. – 81. – P. 225 – 238.
14. Bateman H., Erdélyi A. Higher transcendental functions. New York: McGraw Hill Book Comp., 1954.
– Vol. 2.
15. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987.
16. Коновалов В. Н. Точные неравенства для норм функции,третьих частных ,вторых смешанных или
косых производных // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – С. 67 – 78.
17. Коновалов В. Н. Оценки поперечников типа Колмогорова для классов дифференцируемых перио-
дических функций // Там же. – 1984. – 35, № 3. – С. 369 – 380.
Получено 25.01.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 9
|