Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов

Вивчається банахова алгебра, породжена скінченним числом полікерноператорів Бергмана з неперервними коефіцієнтами, яка розширена операторами зваженого зсуву, що утворюють скінченну групу. За допомогою ізометричного перетворення оператори алгебри зображуються у вигляді матричного оператора, утвореног...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Мозель, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166288
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов / В.А. Мозель // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1247–1255. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166288
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1662882020-02-19T01:28:10Z Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов Мозель, В.А. Статті Вивчається банахова алгебра, породжена скінченним числом полікерноператорів Бергмана з неперервними коефіцієнтами, яка розширена операторами зваженого зсуву, що утворюють скінченну групу. За допомогою ізометричного перетворення оператори алгебри зображуються у вигляді матричного оператора, утвореного скінченним числом взаємно доповшовальних проекторів із коефіцієнтами, котрі є теплицевими матрицями-функціями скінченного порядку. Завдяки властивостям полікерноператорів Бергмана одержано ефективний критерій фредгольмо-вості операторів розглянутої алгебри. We study the Banach algebra generated by a finite number of Bergman polykernel operators with continuous coefficients that is extended by operators of weighted shift that form a finite group. By using an isometric transformation, we represent the operators of the algebra in the form of a matrix operator formed by a finite number of mutually complementary projectors whose coefficients are Toeplitz matrix functions of finite order. Using properties of Bergman polykernel operators, we obtain an efficient criterion for the operators of the algebra considered to be Fredholm operators. 2010 Article Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов / В.А. Мозель // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1247–1255. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166288 517.983 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Мозель, В.А. Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов Український математичний журнал
description	Вивчається банахова алгебра, породжена скінченним числом полікерноператорів Бергмана з неперервними коефіцієнтами, яка розширена операторами зваженого зсуву, що утворюють скінченну групу. За допомогою ізометричного перетворення оператори алгебри зображуються у вигляді матричного оператора, утвореного скінченним числом взаємно доповшовальних проекторів із коефіцієнтами, котрі є теплицевими матрицями-функціями скінченного порядку. Завдяки властивостям полікерноператорів Бергмана одержано ефективний критерій фредгольмо-вості операторів розглянутої алгебри.
format	Article
author	Мозель, В.А.
author_facet	Мозель, В.А.
author_sort	Мозель, В.А.
title	Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов
title_short	Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов
title_full	Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов
title_fullStr	Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов
title_full_unstemmed	Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов
title_sort	банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166288
citation_txt	Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов / В.А. Мозель // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 9. — С. 1247–1255. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT mozelʹva banahovaalgebraporoždennaâkonečnymčislompolikernoperatorovbergmananepreryvnymikoéfficientamiikonečnojgruppojsdvigov
first_indexed	2025-07-14T21:07:08Z
last_indexed	2025-07-14T21:07:08Z
_version_	1837657992509521920
fulltext	UDK 517.983 V. A. Mozel\ (Otd-e hydroakustyky Morskoho hydrofyz. yn-ta NAN Ukrayn¥, Odessa) BANAXOVA ALHEBRA, POROÛDENNAQ KONEÇNÁM ÇYSLOM POLYKERNOPERATOROV BERHMANA, NEPRERÁVNÁMY KO∏FFYCYENTAMY Y KONEÇNOJ HRUPPOJ SDVYHOV We study the Banach algebra generated by a finite number of the Bergman polykernel operators with continuous coefficients, which is extended by weighted shift operators forming a finite group. With the use of an isometric transformation, we represent every operator from this algebra as a matrix operator formed by a finite number of mutually complemented projectors with coefficients that are Toeplitz matrix-functions of a finite order. On the basis of properties of the Bergman polykernel operators, we obtain an effective criterion for the operators from considered algebra to be Fredholm operators. Vyvça[t\sq banaxova alhebra, porodΩena skinçennym çyslom polikernoperatoriv Berhmana z ne- perervnymy koefici[ntamy, qka rozßyrena operatoramy zvaΩenoho zsuvu, wo utvorggt\ skin- çennu hrupu. Za dopomohog izometryçnoho peretvorennq operatory alhebry zobraΩugt\sq u vyhlqdi matryçnoho operatora, utvorenoho skinçennym çyslom vza[mno dopovnql\nyx proekto- riv iz koefici[ntamy, kotri [ teplycevymy matrycqmy-funkciqmy skinçennoho porqdku. Zavdq- ky vlastyvostqm polikernoperatoriv Berhmana nam oderΩano efektyvnyj kryterij fredhol\- movosti operatoriv rozhlqnuto] alhebry. Vvedenye. Pust\ D — edynyçn¥j kruh kompleksnoj ploskosty. V prostranst- ve L Dp( ) , p > 1, vvedem polykernoperator¥ Berhmana [1], ( ) ( )K zmϕ = K z dDm D ( , ) ( )ζ ϕ ζ ζ∫∫ , m = 1, 2, … , n, hde K zm ( , )ζ — polykernfunkcyq. V predlahaemoj rabote yzuçaetsq banaxova alhebra B A= alg ( , )WG , kotoraq qvlqetsq rasßyrenyem alhebr¥ A operato- rov vyda A = a z I0( ) + a z K1 1( ) + … + a z Kn n( ) + L ∈ A, (1) hde a z0( ) , … , a zn ( ) ∈ C D( ) , L — kompaktn¥j operator, s pomow\g yzometry- çeskyx operatorov vzveßennoho sdvyha ( ) ( )W zϕ = ( ) ( )W zgϕ = ′ ( )g z g zp( ) ( )/2 ϕ . Zdes\ g G∈ est\ obrazugwyj πlement koneçnoj cyklyçeskoj hrupp¥ drobno- lynejn¥x preobrazovanyj edynyçnoho kruha v sebq, t.;e. πllyptyçeskoe drobno- lynejnoe preobrazovanye koneçnoho porqdka. Operator¥ alhebr¥ B ymegt vyd B = A W1 + A W2 2 + … + A Wk k + �L , W Ik+ =1 , hde Aj ∈A vyda (1), �L — kompaktn¥j operator. Polykernoperator¥ b¥ly vveden¥ v [1]. Fredhol\movost\ y yndeks odnoho klassa takyx operatorov opysan¥ v [2]. Sluçaj karlemanovskoho sdvyha vtoro- ho porqdka rassmotren v [3]. V rabote [4] (§ 32) pry p = 2 opysana C∗ -alhebra operatorov, soderΩawaq alhebru A. V poslednee vremq poqvylys\ rabot¥, opys¥vagwye C∗ -alhebr¥, poroΩdenn¥e koneçn¥m çyslom polykern- y anty- © V. A. MOZEL\|, 2010 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 9 1247 1248 V. A. MOZEL\| polykernoperatorov Berhmana y ßyrokym klassom kusoçno-neprer¥vn¥x koπf- fycyentov (tol\ko pry p = 2) [5, 6]. V rabote [7] opysana C∗ -alhebra (snova p = 2), poroΩdennaq operatorom Berhmana, neprer¥vn¥my koπffycyentamy y sdvyhom Karlemana vtoroho porqdka. Odnako perenesty πty rezul\tat¥ na slu- çaj p ≠ 2 poka çto ne udaetsq. V πtom napravlenyy otmetym rabotu [8] , v koto- roj dlq vsex p > 1 poluçen kryteryj fredhol\movosty dvumern¥x synhulqr- n¥x operatorov typa Myxlyna, Kal\derona – Zyhmunda s neprer¥vn¥my koπf- fycyentamy y karlemanovskym sdvyhom koneçnoho porqdka, no ne opysana al- hebra, poroΩdennaq takymy operatoramy. V çastnosty, v nej ne soderΩytsq re- zul\tat o polykernoperatorax Berhmana. V nastoqwej rabote postrona alhebra symvolov y ukazan πffektyvn¥j kryteryj fredhol\movosty operatorov opy- s¥vaemoj alhebr¥. 1. Alhebra polykernoperatorov Berhmana bez sdvyha. 1.1. Vspomoha- tel\n¥e svedenyq. Vvedem dvumern¥e synhulqrn¥e yntehral\n¥e operator¥ Myxlyna, Kal\derona – Zyhmunda ( ) ( ) ( ) ( ) Sf z f dD zD = − −∫∫ 1 2π ζ ζ ζ , ( ) ( ) ( ) ( ) Sf z f dD zD = − −∫∫ 1 2π ζ ζ ζ . V [1] pokazano, çto polykernoperator¥ v¥raΩagtsq çerez nyx sledugwym obrazom: K I S Sm m m= − , m = 1, 2, … , n. Lehko dokaz¥vaetsq sledugwaq lemma. Lemma 1. Ymegt mesto sootnoßenyq K Km m 2 = , m = 1, 2, … , n, K K K K Km l l m l m= = min( , ) , l, m = 1, 2, … , n. Yz lemm¥;1 v¥tekaet sledugwaq lemma. Lemma 2. Dlq lgboj neprer¥vnoj kompleksnoznaçnoj funkcyy a C D∈ ( ) operator K aI aKj j− , j = 1, … , n, kompakten. ∏to oçevydno, esly uçest\ predstavlenye K I S Sj j j= − y kompaktnost\ operatorov SaI aS− , SaI aS− . 1.2. Alhebra symvolov. Operator (1) predstavym v neskol\ko ynom vyde. Ymeem A = a I a K0 1 1+ + … + a K Ln n + = a I Kn0( )− + + ( ) ( )a a K Kn n n0 1+ − − + ( ) ( )a a a K Kn n n n0 1 1 2+ + −− − − + … … + ( ) ( )a a a K Kn0 2 2 1+ + + −… + ( )a a a K Ln0 1 1+ + + +… . Vvedem oboznaçenyq P I Kn0 = − , c t a t0 0( ) ( )= , P K1 1= , c t1( ) = a t0( ) + a t1( ) + … + a tn ( ) , P K K2 2 1= − , c t2( ) = a t0( ) + a t2( ) + … + a tn ( ) , (10) ………………… ………………………………………… P K Kn n n− − −= −1 1 2 , c tn−1( ) = a t0( ) + … + a tn−1( ) + a tn ( ) , P K Kn n n= − −1 , c tn ( ) = a t0( ) + a tn ( ) , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, #9 BANAXOVA ALHEBRA, POROÛDENNAQ KONEÇNÁM ÇYSLOM … 1249 Netrudno vydet\, çto P P0 1+ + … + Pn = I Lemma 3. Ymegt mesto ravenstva P Pk k 2 = ; P Pk l = P Pl k = 0, k ≠ l, k, l = 0, 1, … , n, Teper\ operator A zapys¥vaetsq v vyde A = c P0 0 + c P1 1 + … + c Pn n + L . Opys¥vat\ alhebru Â A/I= (I ydeal kompaktn¥x operatorov) budem s po- mow\g lokal\noho pryncypa Allana – Duhlasa [9 – 11]. Central\noj kommuta- tyvnoj podalhebroj alhebr¥ Â qvlqetsq alhebra, yzomorfnaq alhebre C D( ) . Maksymal\n¥j ydeal x, sootvetstvugwyj toçke x D∈ , sostoyt yz ope- ratorov umnoΩenyq na neprer¥vn¥e v D funkcyy, ravn¥e nulg v toçke x: a z I( ){ : a x( ) = 0 , a C D∈ }( ) . Dvustoronnym zamknut¥m ydealom alhebr¥ Â , soderΩawym ydeal x, budet ydeal Jx : Jx = c z P c z P c z P L c x c xn n n0 0 1 1 0 0( ) ( ) ( ) : ( ) , , ( )+ + + + =… … == ∈ℑ{ }0, L . Lokal\n¥e alhebr¥ ˆ ˆA A/x xJ= est\ sledugwye alhebr¥: Â x = c x P c x P c x P L x Ln n0 0 1 1( ) ( ) ( ) : const,+ + + + = ∈ℑ{ }… . Pust\ Φx x: ˆ ˆA A→ — kanonyçeskyj homomorfyzm. Lokal\noe opysanye so- stoyt yz dvux sluçaev. Sluçaj 1: x — vnutrennqq toçka kruha D. Yz svojstv polykernfunkcyy [1, s. 217] sleduet, çto vo vnutrennyx toçkax kruha kaΩd¥j operator K j , j = 1, 2, … , n, lokal\no πkvyvalenten kompaktno- mu operatoru. Tohda Φx A( ˆ ) = c x I0( ) + L, L ∈ℑ . Symvolom klassa smeΩnosty Â poπtomu pry skvoznom homomorfyzme ′π : Â → Â x → ′π x ( ˆ )A budet çyslo c x0( ) : ′π x A( ˆ ) = c x0( ) . Sluçaj 2: x leΩyt na hranyce edynyçnoho kruha. Ymeem Φx A( ˆ ) = c x P0 0( ) + c x P1( ) + … + c x Pn n( ) + L, L ∈ℑ . Prostranstvo L Dp( ) raspadaetsq v prqmug summu n + 1 podprostranstva: L Dp( ) = Im ImP P0 1⊕ ⊕ … ⊕ Im Pn . V sootvetstvyy s πtym operator c x P0 0( ) + c x P1 1( ) + … + c x Pn n( ) + L = A x( ) prynymaet vyd matryc¥ razmera ( )n + 1 × ( )n + 1 : c x P0 0( ) + c x P1 1( ) + … + c x Pn n( ) + L = = P A x P P A x P P A x P P A x P P A x P P n0 0 0 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � 11 0 1 A x P P A x P P A x P P A x n n n n ( ) ( ) ( ) ( �� )) Pn               = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 9 1250 V. A. MOZEL\| = c x P c x P c x Pn n 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) � � � � � � �               + �L = = c x I c x I c x In n 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) � � � � � � �               + �L , (3) hde �L — kompaktnaq operatornaq matryca, a operator¥ I j — edynyçn¥e ope- rator¥ v prostranstvax L Pp j(Im ) . Ytak, symvolom klassa smeΩnosty Â pry skvoznom homomorfyzme ′π : Â → Â x → ′π x ( ˆ )A budet nabor n + 1 çysla: ′π x A( ˆ ) = c x0( )( , c x1( ) , … , c xn ( )) . Poskol\ku sovokupnost\ operatorov Ax = c x I x D c x P c x P c x P x Dn n 0 0 0 1 1 ( ) , , ( ) ( ) ( ) , ∈ + + + ∈∂   …   qvlqetsq ohybagwej [12] operatora A , to otobraΩenye ′π : Â → ′π ( ˆ )A , dejstvugwee po pravylu ′ = ′ ∈{ }π π( ˆ ) ( ˆ ) :A A x Dx , hde ′π x A( ˆ ) = c x x D c x c x c x x Dn 0 0 1 ( ), , ( ), ( ), , ( ) , , ∈ ( ) ∈∂     … (4) s normoj ′π ( ˆ )A = max sup ( ) , sup ( ) , , sup ( ) x D x D x D nc x c x c x ∈ ∈∂ ∈∂  0 1 …    (5) qvlqetsq yzometryçeskym yzomorfyzmom. V samom dele, sohlasno [12], sup ( ˆ ) x D x A A ∈ =Φ , no Φx A( ˆ ) = c x x D c x c x c x x Dn 0 0 1 ( ) , , max ( ) , ( ) , , ( ) , . ∈ ( ) ∈∂    … V toçkax vnutry D πto oçevydno, na hranyce sleduet yz predstavlenyq (3). Yz lokal\noho pryncypa v¥tekaet, çto esly sovokupnost\ klassov smeΩnos- ty Φx A x D( ˆ ) : ∈{ } obratyma (t.;e. v kaΩdoj toçke x D∈ obratym klass smeΩ- nosty Φx A( ˆ ) ), to obratym klass smeΩnosty Â y obratn¥j πlement prynadle- Ωyt toj Ωe alhebre, t.;e. ustanovlen¥ dostatoçn¥e uslovyq neterovosty opera- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, #9 BANAXOVA ALHEBRA, POROÛDENNAQ KONEÇNÁM ÇYSLOM … 1251 tora A . Neobxodymost\ obratymosty klassov smeΩnosty Φx A( ˆ ) v kaΩdoj toçke x D∈ dlq neterovosty operatora A sleduet yz toho, çto esly operator A fredhol\mov, to on lokal\no fredhol\mov [10] v kaΩdoj toçke x D∈ , çto y oznaçaet obratymost\ klassov smeΩnosty Φx A( ˆ ) v kaΩdoj toçke x D∈ . Esly πty uslovyq v¥polnen¥, t.;e. esly obratym kaΩd¥j klass smeΩnosty Φx A( ˆ ) v kaΩdoj toçke x D∈ , to vo vnutrennyx toçkax x kruha πto πkvy- valentno tomu, çto c x0( ) ≠ 0, a v toçkax x D∈∂ yz predstavlenyq (3) sleduet, çto c x0( ) ≠ 0, c x1( ) ≠ 0,…, c xn ( ) ≠ 0. Ytak, spravedlyva sledugwaq teorema. Teorema 1. OtobraΩenye (4) s normoj (5) qvlqetsq yzometryçeskym yzo- morfyzmom banaxov¥x alhebr. Operator A alhebr¥ A vyda (1) fredhol\- mov v prostranstve L Dp( ) , 1 < p < ∞, tohda y tol\ko tohda, kohda v kaΩdoj toçke x D∈ v¥polneno c x0 0( ) ≠ , x D∈ , a v kaΩdoj toçke x D∈∂ c x0( ) ≠ 0, c x1( ) ≠ 0,…, c xn ( ) ≠ 0, x D∈∂ . 2. Alhebra polykernoperatorov Berhmana so sdvyhamy. Spravedlyva sledugwaq lemma. Lemma 4. W K Wg j g −1 = K j + L, L ∈ℑ . Operator A alhebr¥ B moΩno zapysat\ v vyde B = a I a W a W I a I a W a W Kk k k k 00 01 0 10 11 1 1+ + + + + + +( )… …) ( + … (6) … + a I a W a W Kn n nk k n0 1+ + +( )… + L . Oboznaçym (sm. (2)) c t a tj j0 0( ) ( )= , c tj1 ( ) = a tj0 ( ) + a tj1 ( ) + … + a tnj ( ) , c tj2 ( ) = a tj0 ( ) + a tj2 ( ) + … + a tnj ( ) , ………………………… c tn j−1, ( ) = a tj0 ( ) + a tn j−1, ( ) + a tnj ( ) , c tnj ( ) = a tj0 ( ) + a tnj ( ) , j = 0, 1, … , k. Tohda operator B vyda (6) prynymaet vyd B = c z I c z W c z W Pk k 00 01 0 0( ) ( ) ( )+ + +( )… + + c z I c z W c z W Pk k 10 11 1 1( ) ( ) ( )+ + +( )… + … … + c z I c z W c z W Pn n nk k n0 1( ) ( ) ( )+ + +( )… + L . (7) Vvedem teper\ yzometryçeskoe preobrazovanye B B→ −R R 1 , hde ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 9 1252 V. A. MOZEL\| R Q QW QW k= diag ( , , , )… , R Q WQ W Qk− =1 diag ( , , , )… , Q — operator umnoΩenyq na xarakterystyçeskug funkcyg fundamental\noj oblasty D0 hrupp¥ G, kotoraq stroytsq sledugwym obrazom. Pust\ l — lynyq (otrezok prqmoj), soedynqgwaq nepodvyΩnug toçku ζ0 sdvyha g, opysannoho v¥ße (g — obrazugwyj πlement koneçnoj cyklyçeskoj hrupp¥, t.;e. πllyptyçeskoe drobno-lynejnoe preobrazovanye koneçnoho porqd- ka k + 1), s toçkoj na edynyçnoj okruΩnosty. Oblast\, ohranyçennaq lynyqmy l, g l( ) , hde g l( ) — obraz lynyy l pod dejstvyem odnoj yteracyy sdvyha, y qv- lqetsq fundamental\noj oblast\g hrupp¥ G. Ymegt mesto sledugwye svojstva: RaIR−1 = diag ( ), ( )), ( ( )), , ( ( )a z a g z a g z a g zk2 …( ){ } , RW Rl −1 = 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 00 1 0 0� �                           , hde edynyc¥ stoqt na dyahonalqx s nomeramy l, k – l + 1. Operator vyda (7) preobrazuetsq k matryçnomu operatoru s matryçn¥my koπffycyentamy RBR−1 = C z RP R0 0 1( ) − + C z RP R1 1 1( ) − + … … + C z RP Rn n( ) −1 + RLR−1. Zdes\ C zi ( ) = c z c z c z c g z c g z c i i ik ik i i k 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , � �( ) ( ) −11 1 2 0 g z c g z c g z c g zi k i k i k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � �               . Prymenym k R RB −1 alhebre lokal\n¥j metod Allana – Duhlasa [9 – 11]. Central\noj kommutatyvnoj podalhebroj alhebr¥ R RB −1 qvlqetsq alhebra dyahonal\n¥x matryc-funkcyj, t.;e. alhebra matryc-funkcyj vyda A ∋ A = a z a g z a g zk ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � ( ) ( )               . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, #9 BANAXOVA ALHEBRA, POROÛDENNAQ KONEÇNÁM ÇYSLOM … 1253 Maksymal\n¥m ydealom t πtoj alhebr¥ qvlqetsq sovokupnost\ dyahonal\n¥x matryc-funkcyj, dlq kotor¥x a t( ) = 0, a g t( )( ) = 0, … , a g tk ( )( ) = 0. Dvusto- ronnym zamknut¥m ydealom πtoj alhebr¥, poroΩdenn¥m maksymal\n¥m ydea- lom t, qvlqetsq sovokupnost\ matryc, vse πlement¥ kotor¥x obrawagtsq v nul\ na G-orbyte toçky t (t.;e. v toçkax t, g t( ) , … , g tk ( ) ). Nakonec, lokal\- n¥e alhebr¥ sostoqt yz matryc-funkcyj, vse πlement¥ kotor¥x postoqnn¥ na G-orbyte toçky t (v kaΩdoj toçke orbyt¥ ony prynymagt svoe znaçenye): a t a t a t a g t a g t a i i ik ik i i k 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , � �( ) ( ) −11 1 2 0 g t a g t a g t a g ti k i k i k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � �               , t = const. Otmetym, çto svojstva matryçn¥x operatorov RP Rj −1 analohyçn¥ svojst- vam operatorov Pj , dann¥m v lemme;3, t.;e., ymeet mesto sledugwaq lemma. Lemma 5. Spravedlyv¥ sootnoßenyq ( )RP Rj −1 2 = RP Rj −1 , RP R RP Rj k − −1 1 = 0, j ≠ k . Obraz operatora RBR−1 raspadaetsq v prqmug summu Im( )RBR−1 = j n jRP R = −⊕ 0 1Im( ) . Sohlasno πtomu razloΩenyg, operator RBR−1 predstavlqetsq v vyde RBR−1 = = RP R RBR RP R RP R RBR RP R RP R RB0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1− − − − − − −� RR RP R RP R RBR RP R RP R RBR RP R n − − − − − − − − 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 0 1 � � � � � RP R RBR RP R RP R RBR RP R RP n n − − − − − − nn n nR RBR RP R RP R RBR RP R− − − − − −         1 1 1 1 1 1 1�      = = C t RP R C t RP R C t RPn n 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) − − � � � � RR−              1 . (8) Lokal\noe opysanye sostoyt yz dvux sluçaev. Sluçaj 1: t — vnutrennqq toçka kruha D. Vo vnutrennyx toçkax kruha kaΩd¥j operator K j , j = 1, 2, … , n, lokal\no πkvyvalenten kompaktnomu operatoru. Poπtomu symvolom klassa RBRˆ −1 smeΩnosty pry skvoznom homomorfyzme ′π : B̂ → B̂t → ′π t ( ˆ )B budet mat- ryca C t0( ) . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 9 1254 V. A. MOZEL\| Sluçaj 2: toçka t — leΩyt na hranyce edynyçnoho kruha. V sootvetstvyy s predstavlenyem (8) symvolom klassa smeΩnosty RBRˆ −1 budet sovokupnost\ n + 1 matryc¥ (bloçno-dyahonal\naq matryca): ′ −π t RBR( ˆ )1 = diag ( ), , ( )C t C tn0 …( ) . Poskol\ku sovokupnost\ operatorov Bt = C t I t D C t P C t P C t P tn n 0 0 0 1 1 ( ) , , ( ) ( ) ( ) , : ∈ + + + ∈ = ∂… γ DD,     qvlqetsq ohybagwej [12] operatora RBR−1 , otobraΩenye ′π : B̂ → ′π ( ˆ )B , dejstvugwee po pravylu ′ −π ( ˆ )RBR 1 = ′ ∈{ }−π t RBR t D( ˆ ) :1 , hde ′ −π t RBR( ˆ )1 = C t t D C t C t C t t Dn 0 0 1 ( ), , diag ( ), ( ), , ( ) , ∈ ( ) ∈ = ∂  … γ    (9) s normoj ′ −π ( ˆ )RBR 1 = max ( ) , ( ) , , ( )C z C z C zn0 1 …( ) = = max sup ( ) , sup ( ), , su z Dj n j tj n jc z c t ∈= ∈= ∑ ∑ 0 0 0 1 γ … pp ( ) tj n njc t ∈= ∑       γ0 (10) qvlqetsq yzometryçeskym yzomorfyzmom banaxov¥x alhebr. V samom dele, soh- lasno [12], sup ( ˆ ) t D t RBR ∈ −Φ 1 = B , no Φt RBR( ˆ )−1 = c z z D c z c z j j n j j n j j n 0 0 0 0 1 0 ( ) , , max ( ) , ( ) , = = = ∑ ∑ ∑ ∈ …… , ( ) , .c z z Dnj j n = ∑       ∈∂         0 V toçkax vnutry D πto oçevydno, na hranyce sleduet yz predstavlenyq (8). Yz lokal\noho pryncypa v¥tekaet, çto esly sovokupnost\ klassov smeΩnos- ty Φt RBR t D( ˆ ) :− ∈{ }1 obratyma (t.;e. v kaΩdoj toçke t D∈ obratym klass smeΩnosty Φt RBR( ˆ )−1 ), to obratym klass smeΩnosty RBRˆ −1 , a sledovatel\no, B̂ y obratn¥j πlement prynadleΩat toj Ωe alhebre, t.;e. ustanovlen¥ dosta- toçn¥e uslovyq fredhol\movosty operatora B. Neobxodymost\ obratymosty klassov smeΩnosty Φt RBR( ˆ )−1 v kaΩdoj toçke t D∈ dlq fredhol\movosty operatora B sleduet yz toho, çto esly operator B fredhol\mov, to on lokal\- no fredhol\mov v kaΩdoj toçke t D∈ , çto y oznaçaet obratymost\ klassov smeΩnosty Φt RBR( ˆ )−1 v kaΩdoj toçke t D∈ . Esly πty uslovyq v¥polnen¥, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, #9 BANAXOVA ALHEBRA, POROÛDENNAQ KONEÇNÁM ÇYSLOM … 1255 t.;e. esly obratym kaΩd¥j klass smeΩnosty Φt RBR( ˆ )−1 v kaΩdoj toçke t D∈ , to vo vnutrennyx toçkax t kruha πto πkvyvalentno tomu, çto det ( )C t0 ≠ 0, a v toçkax t D∈∂ yz predstavlenyq (8) sleduet, çto det ( )C t0 ≠ ≠ 0, det ( )C t1 ≠ 0, … , det ( )C tn ≠ 0. Otmetym, çto v toçke t = ζ0 (v nepodvyΩnoj toçke sdvyha) symvol polu- çaetsq yz formul¥ punkta 1: C t0( ) = C0 0( )ζ = c c c c c c k k k 00 0 01 0 0 0 0 0 00 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ζ ζ ζ ζ ζ … � − (( ) ( ) ( ) ( ) ζ ζ ζ ζ 0 01 0 02 0 00 0 � � � � �c c c               . Ytak, spravedlyva sledugwaq teorema. Teorema 2. OtobraΩenye (9) s normoj (10) qvlqetsq yzometryçeskym yzo- morfyzmom banaxov¥x alhebr. Operator B vyda (7) fredhol\mov v prost- ranstve L Dp( ) , 1 < p < ∞, tohda y tol\ko tohda, kohda v kaΩdoj toçke t D∈ v¥polneno det ( )C t0 0≠ , t D∈ , a v kaΩdoj toçke t D∈∂ det ( )C t0 0≠ , det ( )C t1 0≠ , … , det ( )C tn ≠ 0 , t D∈∂ . 1. DΩuraev A. D. Metod synhulqrn¥x yntehral\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1984. – 416 s. 2. DΩanhybekov H. O neterovosty y yndekse odnoho klassa dvumern¥x synhulqrn¥x ynteh- ral\n¥x uravnenyj s razr¥vn¥my koπffycyentamy // Dokl. AN SSSR. – 1988. – 300, # 2. – S. 272 – 276. 3. DΩanhybekov H. Ob alhebre, poroΩdennoj polykernoperatoramy so sdvyhom // Dokl. AN TadΩSSR. – 1991. – 34, # 7. – S. 399 – 403. 4. Vasylevskyj N. L. Mnohomern¥e synhulqrn¥e yntehral\n¥e operator¥ s razr¥vn¥my klassyçeskymy symvolamy: Dyss. … d-ra fyz.-mat. nauk. – Odessa, 1985. – 297 s. 5. Loaiza M. Algebras generated by the Bergman projection and operators of multiplication by piece- wise continuous functions // Integral Equat. and Operator Theory. – 2003. – 46. – P. 215 – 234. 6. Karlovich Yu. I., Pessoa L. Algebras generated by Bergman and anti-Bergman projections and by multiplications by piecewise continuous coefficients // Integral Equat. and Operator Theory. – 2005. – 52. – P. 219 – 270. 7. Vasilevski N. L., Ramírez Ortega J., Ramírez de Arellano E. On the Algebra Generated by the Bergman Projection and a Shift Operator. I // Integral Equat. and Operator Theory. – 2001. – 41. – P. 1 – 18. 8. Duduchava R., Saginashvili A., Shargorodsky E. On two-dimensional singular integral operators with conformal Carleman shift // J. Operator Theory. – 1997. – 37. – P. 263 – 279. 9. Böttcher A., Silbermann B. Analysis of Toeplitz operators. – Berlin: Springer, 1990. – 524 p. 10. Symonenko Y. B. Nov¥j obwyj metod yssledovanyq lynejn¥x opera torn¥x uravnenyj ty- pa synhulqrn¥x yntehral\n¥x uravnenyj. I // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1965. – 29, # 3. – S.;567 – 586. 11. Symonenko Y. B. Nov¥j obwyj metod yssledovanyq lynejn¥x opera torn¥x uravnenyj ty- pa synhulqrn¥x yntehral\n¥x uravnenyj. II // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1965. – 29, # 4. – S. 757 – 782. 12. Krupnyk N. Q. Toçnaq konstanta v teoreme Y. B. Symonenko ob ohybagwej semejstva ope- ratorov lokal\noho typa // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 1986. – 20, v¥p.;2. – S. 70 – 72. Poluçeno 22.03.10 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 9

Банахова алгебра, порожденная конечным числом поликерноператоров Бергмана, непрерывными коэффициентами и конечной группой сдвигов

Репозитарії

Схожі ресурси