Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках
On classes of the Poisson integrals of functions belonging to the unit balls of the spaces Ls,1 ≤ s ≤ ∞, we establish asymptotic equalities for upper bounds of approximations by the Vallée Poussin sums in a uniform metric. Asymptotic equalities are obtained also for the case of approximation by the...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166293 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках / А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1672–1686. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166293 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1662932020-02-19T01:28:31Z Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках Сердюк, А.С. Статті On classes of the Poisson integrals of functions belonging to the unit balls of the spaces Ls,1 ≤ s ≤ ∞, we establish asymptotic equalities for upper bounds of approximations by the Vallée Poussin sums in a uniform metric. Asymptotic equalities are obtained also for the case of approximation by the Vallée Poussin sums in metrics of the spaces Ls,1 ≤ s ≤ ∞, on classes of the Poisson integrals of functions belonging to the unit ball of the space L₁. On the classes of Poisson integrals of functions belonging to the unit balls of the spaces L s , 1 ≤ s ≤ ∞, we establish asymptotic equalities for upper bounds of approximations by de la Vallée-Poussin sums in the uniform metric. Asymptotic equalities are also obtained for the case of approximation by de la Vallée-Poussin sums in the metrics of the spaces L s , 1 ≤ s ≤ ∞, on the classes of Poisson integrals of functions belonging to the unit ball of the space L₁. 2010 Article Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках / А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1672–1686. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166293 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Сердюк, А.С. Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках Український математичний журнал |
| description |
On classes of the Poisson integrals of functions belonging to the unit balls of the spaces Ls,1 ≤ s ≤ ∞, we establish asymptotic equalities for upper bounds of approximations by the Vallée Poussin sums in a uniform metric. Asymptotic equalities are obtained also for the case of approximation by the Vallée Poussin sums in metrics of the spaces Ls,1 ≤ s ≤ ∞, on classes of the Poisson integrals of functions belonging to the unit ball of the space L₁. |
| format |
Article |
| author |
Сердюк, А.С. |
| author_facet |
Сердюк, А.С. |
| author_sort |
Сердюк, А.С. |
| title |
Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках |
| title_short |
Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках |
| title_full |
Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках |
| title_fullStr |
Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках |
| title_full_unstemmed |
Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках |
| title_sort |
приближение интегралов пуассона суммами балле пуссена в равномерной и интегральных метриках |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166293 |
| citation_txt |
Приближение интегралов Пуассона суммами Балле Пуссена в равномерной и интегральных метриках / А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1672–1686. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT serdûkas približenieintegralovpuassonasummamiballepussenavravnomernojiintegralʹnyhmetrikah |
| first_indexed |
2025-07-14T21:07:26Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:07:26Z |
| _version_ |
1837658011547467776 |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ПРИБЛИЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПУАССОНА
СУММАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА В РАВНОМЕРНОЙ
И ИНТЕГРАЛЬНЫХ МЕТРИКАХ
On classes of the Poisson integrals of functions belonging to the unit balls of the spaces Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, we
establish asymptotic equalities for upper bounds of approximations by the Vallée Poussin sums in a uniform
metric. Asymptotic equalities are obtained also for the case of approximation by the Vallée Poussin sums in
metrics of the spaces Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, on classes of the Poisson integrals of functions belonging to the unit
ball of the space L1.
На класах iнтегралiв Пуассона функцiй, що належать одиничним кулям просторiв Ls, 1 ≤ s ≤ ∞,
знайдено асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж наближень сумами Валле Пуссена в рiвномiрнiй
метрицi. Асимптотичнi рiвностi також встановлено у випадку наближення сумами Валле Пуссена в
метриках просторiв Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, на класах iнтегралiв Пуассона функцiй, що належать одиничнiй
кулi простору L1.
Пусть Ls, 1 ≤ s < ∞, — пространство 2π-периодических суммируемых в s-й
степени функций f с нормой
‖f‖s = ‖f‖Ls =
2π∫
0
| f(t) |sdt
1/s ;
L∞ — пространство 2π-периодических измеримых и существенно ограниченных
функций, в котором норма задана формулой
‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|;
C — пространство 2π-периодических непрерывных функций, норма в котором за-
дана следующим образом:
‖f‖C = max
t
|f(t)|.
Интегралами Пуассона суммируемой функции ϕ(·) называют функции f(x), опре-
деляющиеся с помощью равенства
f(x) =
A0
2
+
1
π
2π∫
0
ϕ(x− t)Pq,β(t)dt, A0 ∈ R, (1)
в котором Pq,β(t) — ядра Пуассона с параметрами q ∈ (0, 1) и β ∈ R, т. е. функции
вида
Pq,β(t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− β π
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R. (2)
Множество всех функций, допускающих представление в виде (1) при ϕ ∈ N,
где N — некоторое подмножество из L1, будем обозначать через LqβN. В рамках
данной работы в качестве N будут использоваться множества
U0
s =
{
ϕ ∈ Ls : ‖ϕ‖s ≤ 1, ϕ ⊥ 1
}
.
c© А. С. СЕРДЮК, 2010
1672 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПРИБЛИЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПУАССОНА СУММАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА . . . 1673
При этом для удобства положим Lqβ,s
df
= Lqβ,sU
0
s .
Пусть f ∈ L и ряд
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx)
является рядом Фурье функции f. Через Sn(f ; x) обозначим частные суммы Фурье
порядка n функции f :
Sn(f) = Sn(f ; x) =
a0
2
+
n∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx).
Тригонометрические полиномы вида
Vn,p(f) = Vn,p(f ;x) =
1
p
n−1∑
k=n−p
Sk(f ;x)
называются суммами Валле Пусcена функции f с параметрами n и p. При p = 1
полиномы Vn,p(f ;x) являются обычными частными суммами Фурье Sn−1(f ;x)
порядка n − 1 функции f. Если же p = n, то суммы Vn,p(f) превращаются в
известные суммы Фейера σn−1(f ;x) порядка n− 1 функции f :
σn−1(f) = σn−1(f ;x) =
1
n
n−1∑
k=0
Sk(f ;x).
Исследования аппроксимативных свойств сумм Vn,p(f) были начаты Валле Пус-
сеном [1, 2], который впервые оценил величины ‖f − Vn,p(f)‖C через наилучшие
приближения тригонометрическими полиномами в равномерной метрике. Впослед-
ствии исследования в данном направлении были продолжены в роботах С. М. Ни-
кольского [3], С. Б. Стечкина [4, 5], В. Т. Гаврилюк [6], О. Д. Габисонии [7],
А. А. Захарова [8] и др.
Цель данной работы состоит в нахождении асимптотических равенств для ве-
личин
E(Lqβ,s;Vn,p)C = sup
f∈Lqβ,s
‖f(x)− Vn,p(f ;x)‖C (3)
и
E
(
Lqβ,1;Vn,p
)
Ls
= sup
f∈Lqβ,1
‖f(x)− Vn,p(f ;x)‖s (4)
при n − p → ∞ и произвольных значениях параметров 1 ≤ s ≤ ∞, q ∈ (0, 1) и
β ∈ R.
Задача о нахождении асимптотических равенств для точных верхних граней
приближений суммами Vn,p(f) в равномерной метрике на тех или других функ-
циональных классах изучалась многими авторами, среди которых Б. Надь [9, 10],
С. М. Никольский [11, 12], С. Б. Стечкин [13], А. В. Ефимов [14, 15], С. А. Теляков-
ский [16 – 20], А. Ф. Тиман [21, 22], В. И. Рукасов [23 – 25], Л. А. Островецкий [26]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1674 А. С. СЕРДЮК
и др. Более детально с историей данного вопроса можно ознакомиться, например,
по библиографическим комментариям монографий [27 – 29].
Заметим, что данная работа тесно связана с работой автора [30], в которой
найдены асимптотические равенства для величины (3) при s = ∞, а также для
величины (4) при s = 1.
Для формулирования основных результатов работы введем следующие обозна-
чения:
Kq,p(v)
df
= 2−1/v
∥∥∥∥∥
√
1− 2qp cos p t+ q2p
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
v
, 1 ≤ v ≤ ∞, q ∈ (0, 1), p ∈ N,
(5)
σ(v, p)
df
=
1 при v = 1 и p = 1,
2 при 1< v ≤ ∞ и p = 1,
3 при 1 ≤ v ≤ ∞ и p ∈ N\{1}.
(6)
Теорема 1. Пусть q ∈ (0, 1), β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, n, p ∈ N, p ≤ n. Тогда
E(Lqβ,s;Vn,p)C =
qn−p+1
p
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′) +O(1)
q δ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s
′,p)
)
,
(7)
где
δ(s) =
0 при s = 2,
1 при s ∈ [ 1,∞ ]\{2},
s′ =
s
s− 1
, величины Kq,p(s
′) и σ(s′, p) определены равенствами (5) и (6) соот-
ветственно, а O(1) — величина, равномерно ограниченная по параметрам n, p, q,
β и s.
Доказательство. Пусть f ∈ Lqβ,s, q ∈ (0, 1), β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞. В работе
[30, c. 100] для отклонения ρn,p(f ;x)
df
= f(x) − Vn,p(f ;x) получено интегральное
представление вида
ρn,p(f ;x) =
1
π p
π∫
−π
ϕ(x− t)Zq(t)Pq,β,n,p(t)dt, (8)
в котором
Zq(t)
df
=
1√
1− 2q cos t+ q2
, q ∈ (0, 1), (9)
P
q,β,n,p
(t) =
n∑
k=n−p+1
qk cos
(
kt+ θ(t)− β π
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, (10)
θ(t) = θ(q, t) определяется формулами
1− q cos t√
1− 2q cos t+ q2
= cos θ(t), (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПРИБЛИЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПУАССОНА СУММАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА . . . 1675
q sin t√
1− 2q cos t+ q2
= sin θ(t), (12)
а функция ϕ связана с f с помощью равенства (1).
В силу формул (3) и (8) и инвариантности множеств U0
s относительно сдвига
аргумента получаем
E(Lqβ,s;Vn,p)C =
1
π p
sup
ϕ∈U0
s
∥∥∥∥∥∥
π∫
−π
ϕ(x− t)Zq(t)Pq,β,n,p(t)dt
∥∥∥∥∥∥
C
=
=
1
π p
sup
ϕ∈U0
s
π∫
−π
ϕ(t)Zq(t)Pq,β,n,p(t)dt. (13)
Согласно соотношениям двойственности (см., например, [31, c. 27]) для произволь-
ной функции u ∈ Ls′ , 1 ≤ s′ ≤ ∞,
inf
λ∈R
‖u(t)− λ‖s′ = sup
2π∫
0
u(t)y(t)dt : ‖y‖s ≤ 1,
2π∫
0
y(t) dt = 0
, 1
s
+
1
s′
= 1.
(14)
Применив равенство (14) при u(t) = Zq(t)Pq,β,n,p(t) и y(t) = ϕ(t), равенства (13)
можно продолжить:
1
π p
sup
ϕ∈U0
s
π∫
−π
ϕ(t)Zq(t)Pq,β,n,p(t)dt =
1
π p
inf
λ∈R
‖Zq(t)Pq,β,n,p(t)− λ‖s′ . (15)
В работе [30, с. 101] функция P
q,β,n,p
(t) вида (10) была представлена следующим
образом:
P
q,β,n,p
(t) = qn−p+1Zq(t)
(
cos
(
(n− p+ 1)t− β π
2
)
Gp,q(t)−
− sin
(
(n− p+ 1)t− β π
2
)
Hp,q(t)
)
, (16)
где
Gp,q(t)
df
= cos 2θ(t)− qp cos(p t+ 2θ(t)), (17)
Hp,q(t)
df
= sin 2θ(t)− qp sin(p t+ 2θ(t)). (18)
Далее нам понадобится следующее утверждение из работы [32, c. 1083].
Лемма 1. Пусть 1 ≤ v ≤ ∞ и 2π-периодические функции g(t) и h(t) имеют
ограниченную вариацию, если v = 1, или принадлежат классу Гельдера KH1, если
1 < v ≤ ∞. Тогда для функции ϕ(t) = g(t) cos(mt+ α) + h(t) sin(mt+ α), α ∈ R,
m ∈ N, выполняются асимптотические (при m→∞) формулы
‖ϕ‖v = (2π)−1/v ‖ cos t‖v‖r‖v +O(1)Mm−1, (19)
inf
c∈R
‖ϕ− c‖v = (2π)−1/v ‖ cos t‖v‖r‖v +O(1)Mm−1, (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1676 А. С. СЕРДЮК
1
2
sup
λ∈R
‖ϕ(t+ λ)− ϕ(t)‖v = (2π)−1/v ‖ cos t‖v‖r‖v +O(1)Mm−1, (21)
в которых
r(t) =
√
g2(t) + h2(t), (22)
M =Mv =
π∨
−π
(g) +
π∨
−π
(h) при v = 1,
K + v−1‖r‖1−vs
π∨
−π
(rv) при 1 < v <∞,
K при v =∞,
(23)
а величины O(1) равномерно ограничены относительно всех рассматриваемых
параметров.
Для оценки величины, находящейся в правой части формулы (15), приме-
ним лемму 1, положив в ее условиях ϕ(t) = q−n+p−1 Zq(t)Pq,β,n,p(t), g(t) =
= Z2
q(t)Gp,q(t), h(t) = −Z2
q(t)Hp,q(t), m = n− p+ 1, α = −β π
2
и v = s′.
С учетом того, что√(
Z2
q(t)Gp,q(t)
)2
+
(
Z2
q(t)Hp,q(t)
)2
= Z2
q(t)
√
G2
p,q(t) +H2
p,q(t) =
= Z2
q(t)
√
1− 2qp cos p t+ q2p =
Z2
q(t)
Zqp(p t)
,
из формулы (20) получаем
inf
λ∈R
∥∥Zq(t)Pq,β,n,p(t)− λ∥∥s′ = qn−p+1 inf
c∈R
∥∥q−n+p−1Zq(t)Pq,β,n,p(t)− c∥∥s′ =
= qn−p+1
(
‖ cos t‖s′
(2π)1/s′
∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥
s′
+O(1)
Ms′,p
n− p+ 1
)
, (24)
где
Ms′,p =
π∨
−π
(Z2
q Gp,q) +
π∨
−π
(Z2
qHp,q) при s′ = 1,∥∥(Z2
q Gp,q)
′‖C + ‖(Z2
qHp,q)
′
∥∥
C
+
+
1
s′
∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp (p t)
∥∥∥∥1−s′
s′
π∨
−π
(
Z2 s′
q (t)
Zs′
qp
(p t)
)
при 1 <s′ <∞,
‖(Z2
q Gp,q)
′‖C + ‖(Z2
qHp,q)
′‖C при s′ =∞.
(25)
Найдем оценку сверху величины Ms′,p из (25). Рассмотрим сначала случай
s′ = 1. Как следует из формул (29), (37) и (38) работы [30, c. 102, 103]
Ms′,p =M1,p =
π∨
−π
(Z2
q Gp,q) +
π∨
−π
(Z2
qHp,q) =
O(1)
q
1− q
при p = 1,
O(1)
q
(1− q)3
при p = 2, 3, . . . .
(26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПРИБЛИЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПУАССОНА СУММАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА . . . 1677
Пусть теперь s′ =∞. Поскольку согласно (17) и (18)(
Gp,q(t)
)′
= p qp sin(p t+ 2 θ(t))− 2 θ′(t)Hp,q(t),(
Hp,q(t)
)′
= −p qp cos(p t+ 2 θ(t)) + 2 θ′(t)Gp,q(t)
и, кроме того, в силу (11) и (12)
θ′(t) = q(cos t− q)Z2
q(t),
окончательно получаем(
Gp,q(t)
)′
= p qp sin(p t+ 2 θ(t))− 2 q(cos t− q)Z2
q(t)Hp,q(t), (27)(
Hp,q(t)
)′
= −p qp cos(p t+ 2 θ(t)) + 2 q(cos t− q)Z2
q(t)Gp,q(t). (28)
Далее, используя равенство (
Z2
q(t)
)′
= −2Z2
q(t)hq(t), (29)
а также формулы (27) и (28), находим(
Z2
q(t)Gp,q(t)
)′
= −2Z2
q(t)Gp,q(t)hq(t) + p qp Z2
q(t) sin(p t+ 2 θ(t))−
−2 q((cos t− q)Z2
q(t))(Z
2
q(t)Hp,q(t)), (30)(
Z2
q(t)Hp,q(t)
)′
= −2Z2
q(t)Hp,q(t)hq(t)− p qp Z2
q(t) cos(p t+ 2 θ(t))+
+2 q((cos t− q)Z2
q(t))(Z
2
q(t)Gp,q(t)). (31)
В силу того, что
‖hq(t)‖C ≤
q
1− q
, (32)
‖Z2
q(t)‖C =
1
(1− q)2
, (33)
∥∥(cos t− q)Z2
q(t)
∥∥
C
=
1
1− q
, (34)
на основании равенств (30) имеем∥∥(Z2
q(t)Gp,q(t))
′∥∥
C
≤ 2‖Z2
q(t)‖C(1 + qp)‖hq(t)‖C + p qp‖Z2
q(t)‖C +
+ 2 q
∥∥(cos t− q)Z2
q(t)
∥∥
C
(1 + qp)‖Z2
q(t)‖C =
= ‖Z2
q(t)‖C
(
2(1 + qp)‖hq(t)‖C + p qp + 2q(1 + qp)‖(cos t− q)Z2
q(t)‖C
)
≤
≤ 1
(1− q)2
(
4q
1− q
+ p qp +
4 q
1− q
)
=
=
1
(1− q)2
(
8 q
1− q
+ p qp
)
= O(1)
q
(1− q)3
. (35)
Аналогично, в силу (31) – (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1678 А. С. СЕРДЮК∥∥(Z2
q(t)Hp,q(t))
′∥∥
C
≤ 2‖Z2
q(t)‖C(1 + qp)‖hq(t)‖C + p qp‖Z2
q(t)‖C +
+ 2 q
∥∥(cos t− q)Z2
q(t)‖C (1 + qp)‖Z2
q(t)‖C =
= ‖Z2
q(t)‖C
(
2(1 + qp)‖hq(t)‖C + p qp + 2q(1 + qp)‖(cos t− q)Z2
q(t)‖C
)
≤
≤ 1
(1− q)2
(
8 q
1− q
+ p qp
)
= O(1)
q
(1− q)3
. (35′)
Итак, согласно (25), (35) и (35′), при s′ =∞
Ms′,p =M∞,p =
∥∥(Z2
q Gp,q)
′∥∥
C
+
∥∥(Z2
qHp,q)
′∥∥
C
= O(1)
q
(1− q)3
.
При p = 1 последняя оценка может быть улучшена. В этом случае (см. [30, c. 102])
Z2
q(t)Gp,q(t) = gq(t), Z2
q(t)Hp,q(t) = hq(t) (36)
и поскольку
(gq(t))
′ <
q
(1− q)2
, (hq(t))
′ <
q
(1− q)2
,
то
Ms′,p =M∞,1 =
∥∥(Z2
q G1,q)
′∥∥
C
+
∥∥(Z2
qH1,q)
′∥∥
C
= O(1)
q
(1− q)2
.
Таким образом, окончательно можем записать
Ms′,p =M∞,p =
∥∥(Z2
q Gp,q)
′∥∥
C
+
∥∥(Z2
qHp,q)
′∥∥
C
=
=
O(1)
q
(1− q)2
при p = 1,
O(1)
q
(1− q)3
при p = 2, 3, . . . .
(37)
Пусть, наконец, 1 < s′ <∞. Поскольку
Z′q(t) = −hq(t)Zq(t), (38)
то ((
Z2
q(t)
Zqp(p t)
)s′)′
= s′
(
Z2
q(t)
Zqp(p t)
)s′−1 2Zq(t)Z′q(t)Zpq(p t)− Z2
q(t)Z′qp(p t)p
Z2
qp(p t)
=
= s′
Z2s′
q (t)
Zs
′
qp(p t)
(
p hqp(p t)− 2hq(t)
)
. (39)
Следовательно, в силу (39)
π∨
−π
(
Z2s′
q (t)
Zs
′
qp(p t)
)
=
π∫
−π
∣∣∣∣∣
(
Z2s′
q (t)
Zs
′
qp(p t)
)′ ∣∣∣∣∣ dt =
=
π∫
−π
∣∣∣∣∣ s′ Z2s′
q (t)
Zs
′
qp(p t)
(p hqp(p t)− 2hq(t))
∣∣∣∣∣ dt ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПРИБЛИЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПУАССОНА СУММАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА . . . 1679
≤ s′
(
p‖hqp(p t)‖C + 2‖hq(t)‖C
) π∫
−π
Z2s′
q (t)
Zs
′
qp(p t)
dt =
= s′
(
p‖hqp(p t)‖C + 2‖hq(t)‖C
)∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥s′
s′
. (40)
Объединяя формулы (32) и (40), записываем неравенство
π∨
−π
(
Z2s′
q (t)
Zs
′
qp(p t)
)
≤ s′
(
p qp
1− qp
+
2 q
1− q
)∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥s′
s′
<
3 s′q
1− q
∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥s′
s′
. (41)
Кроме того, с учетом (33) и очевидного равенства∥∥∥∥ 1
Zqp(p t)
∥∥∥∥
C
= 1 + qp (42)
получаем ∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥
s′
≤ (1 + qp)‖Z2
q(t)‖s′ ≤ (2π)1/s
′ 1 + qp
(1− q)2
. (43)
С учетом (41) и (43) при произвольных 1 < s′ <∞ справедлива оценка
1
s′
∥∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥∥
1−s′
s′
π∨
−π
(
Z2s′
q (t)
Zs
′
qp(p t)
)
= O(1)
q
(1− q)3
. (44)
Сопоставляя формулы (25), (37) и (44), при 1 < s′ <∞ получаем
Ms′,p =
∥∥(Z2
q Gp,q)
′∥∥
C
+
∥∥(Z2
qHp,q)
′∥∥
C
+
+
1
s′
∥∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥∥
1−s′
s′
π∨
−π
(
Z2s′
q (t)
Zs
′
qp(p t)
)
= O(1)
q
(1− q)3
.
При p = 1 последняя оценка может быть улучшена. Действительно, в силу равенств
(36) и (25), а также соотношений (60) из работы [32, c. 1088] получаем
Ms′,1 = ‖g′q‖C + ‖h′q‖C +
1
s′
‖Zq‖1−s
′
s′
π∨
−π
(Zs
′
q (t)) = O(1)
q
(1− q)2
, 1 < s′ <∞.
Итак, окончательно имеем
Ms′,p =
O(1)
q
(1− q)2
при p = 1,
O(1)
q
(1− q)3
при p = 2, 3, . . . ,
1 < s′ <∞. (45)
Исходя из соотношений (13), (15), (26), (37) и (45) получаем равенство
E(Lqβ,s;Vn,p)C =
=
qn−p+1
π p
(
‖ cos t‖s′
(2π)1/s′
∥∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥∥
s′
+O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
)
, (46)
1 ≤ s ≤ ∞, p ∈ N, q ∈ (0, 1), β ∈ R.
В случае s = 2 вместо оценки (46) для величины E(Lqβ,s;Vn,p)C можем записать
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1680 А. С. СЕРДЮК
точное равенство. Для этого, опираясь на формулы (3) и (15), а также на равен-
ства (8) работы [30, c. 99], находим
E(Lqβ,2;Vn,p)C =
1
π
inf
λ∈R
∥∥∥∥∥∥1p
n−1∑
k=n−p
∞∑
j=k+1
qj cos
(
jt− β π
2
)
− λ
∥∥∥∥∥∥
2
=
=
1
π
inf
λ∈R
∥∥∥∥∥∥1p
n−1∑
k=n−p+1
(k − n+ p)qk cos
(
kt− β π
2
)
+
∞∑
k=n
qk cos
(
kt− β π
2
)
− λ
∥∥∥∥∥∥
2
=
=
1√
π
inf
λ∈R
λ2 + 1
p2
n−1∑
k=n−p+1
(k − n+ p)2 q2k +
∞∑
k=n
q2k
1/2 =
=
1√
π
(
q2(n−p)
p2
p−1∑
k=1
k2 q2k +
∞∑
k=n
q2k
)1/2
. (47)
Поскольку для произвольных l ∈ N и ρ ∈ (0, 1)
l∑
k=1
k2 ρk =
ρ(1 + ρ)− ρl+1((l + 1)2 − (2l2 + 2l − 1)ρ+ l2 ρ2)
(1− ρ)3
(48)
(см., например, [33, c. 603]), положив в (48) l = p− 1, ρ = q2, получим
q2(n−p)
p2
p−1∑
k=1
k2 q2k +
∞∑
k=n
q2k =
=
q2(n−p)(q2(1 + q2)− q2p(p2 − q2(2p2 − 2p− 1) + q4(p− 1)2))
p2(1− q2)3
+
q2n
1− q2
=
=
q2(n−p)(q2(1 + q2)− q2p(q2(2p+ 1) + q4(1− 2p)))
p2(1− q2)3
=
=
q2(n−p+1)(1 + q2 − q2p(2p+ 1− q2(2p− 1)))
p2(1− q2)3
. (49)
Из (47) и (49) следует равенство
E(Lqβ,2;Vn,p)C =
qn−p+1
√
π p
√
1 + q2 − q2p(2p+ 1− q2(2p− 1))
(1− q2)3
. (50)
Для того чтобы убедиться в справедливости формулы (7) при s = 2, достаточно
заметить, что
1
π
π∫
0
1− 2qp cos pt+ q2p
(1− 2q cos t+ q2)2
dt =
1 + q2 − q2p(2p+ 1− q2(2p− 1))
(1− q2)3
(51)
(см., например, формулы 3.616.2 и 3.616.7 из [34, c. 382, 383]).
Объединяя оценку (46) с равенствами (50) и (51), приходим к формуле (7).
Теорема 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПРИБЛИЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПУАССОНА СУММАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА . . . 1681
Рассмотрим некоторые частные случаи теоремы 1.
При s = 2 формула (7) превращается в точное равенство (50), которое при p = 1
(случай приближения суммами Фурье Sn−1(f)) принимает вид
E(Lqβ,2;Sn−1)C =
qn√
π(1− q2)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, n ∈ N, (52)
а при p = n (приближение суммами Фейера σn−1(f))
E(Lqβ,2;σn−1)C =
=
q
n
√
π
√
1 + q2 − q2n(2n+ 1− q2(2n− 1))
(1− q2)3
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, n ∈ N.
(53)
При произвольных 1 ≤ s ≤ ∞ и p = 1 из формулы (7) получаем равенство
E(Lqβ,s;Sn−1)C =
= qn
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′21/s′
∥∥∥∥∥ 1√
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
s′
+O(1)
qδ(s)
n(1− q)σ(s′,1)
)
. (54)
Равенство (54) доказано в работе [32]. При s =∞ из (54) следует асимптотическое
при n→∞ равенство
E(Lqβ,∞;Sn−1)C = qn
(
8
π2
K(q) +O(1)
q
n(1− q)
)
, (55)
где
K(q) =
π/2∫
0
dt√
1− q2 sin2 t
=
1
2
Kq,1(1)
— полный эллиптический интеграл первого рода. Асимптотическая формула (55)
отражает результат С. М. Никольского [12, c. 222, 223] с улучшенной С. Б. Стечки-
ным [13, c. 139] оценкой остаточного члена.
Поскольку при s′/2 ∈ N (см. [34, c. 382])
1
21/s′
∥∥∥∥∥ 1√
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
s′
=
=
π1/s′√
1− q2
s′/2−1∑
k=0
(s′/2 + k − 1)!
(k!)2(s′/2− k − 1)!
(
q2
1− q2
)k1/s′
(56)
и (см. [34, c. 383])
‖ cos t‖s
′
s′ =
2π(s′ − 1)!!
(s′)!!
, (57)
вследствие (54) для всех s таких, что
s
2(s− 1)
∈ N,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1682 А. С. СЕРДЮК
E
(
Lqβ,s;Sn−1
)
C
=
= qn
(
21/s
′
π1/s
√
1− q2
(s′ − 1)!!
(s′)!!
s′/2−1∑
k=0
(s′/2 + k − 1)!
(k!)2(s′/2− k − 1)!
(
q2
1− q2
)k1/s
′
+
+O(1)
qδ(s)
n(1− q)σ(s′,1)
)
. (58)
В частности, при s = 2 из (58) следует равенство (52), при s =
4
3
(s′ = 4) —
равенство вида
E(Lq
β, 43
;Sn−1)C = qn
(
31/4
21/2π3/4
√
1− q2
(
1 + q2
1− q2
)1/4
+O(1)
q
n(1− q)2
)
, (59)
при s =
6
5
(s′ = 6) — равенство
E
(
Lq
β, 65
;Sn−1
)
C
= qn
(
51/6
21/2π5/6
√
1− q2
(
1 + 4q2 + q4
1− 2q2 + q4
)1/6
+O(1)
q
n(1− q)2
)
,
(60)
и т. д. Формулы (52), (54), (58) – (60) приведены в работе автора [32].
При s =∞ и 1 ≤ p ≤ n, p, n ∈ N из формулы (7) следует равенство
E
(
Lqβ,∞;Vn,p
)
C
=
=
qn−p+1
p
(
4
π2
π∫
0
√
1− 2qp cos pt+ q2p
1− 2q cos t+ q2
dt+O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(1,p)
)
, (61)
полученное автором в [30, c. 99].
Теорема 2. Пусть q ∈ (0, 1), β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, n, p ∈ N, p ≤ n. Тогда
E
(
Lqβ,1;Vn,p
)
Ls
=
=
qn−p+1
p
(
‖ cos t‖s
π1+1/s
Kq,p(s) +O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s,p)
)
, (62)
где величины Kq,p(s) и σ(s, p) определены равенствами (5) и (6) соответственно,
а O(1) — величина, равномерно ограниченная по параметрам n, p, q, β и s.
Доказательство. Пусть f ∈ Lqβ,1. В силу формул (4) и (8) получаем представ-
ление
E
(
Lqβ,1;Vn,p
)
Ls
=
1
π p
sup
ϕ∈U0
1
∥∥∥∥∥∥
π∫
−π
ϕ(x− t)Zq(t)Pq,β,n,p(t)dt
∥∥∥∥∥∥
s
, (63)
в котором функции Zq(t) и P
q,β,n,p
(t) определены формулами (9) и (10) соответ-
ственно.
Далее нам понадобится следующее утверждение из работы [35, c. 1398].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПРИБЛИЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПУАССОНА СУММАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА . . . 1683
Лемма 2. Пусть K(t) ∈ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞. Тогда для величины
E(K)Ls = sup
ϕ∈U0
1
∥∥∥∥∥∥
π∫
−π
ϕ(x− t)K(t)dt
∥∥∥∥∥∥
s
(64)
выполняются соотношения
1
2
sup
λ∈R
‖K(·)−K(·+ λ)‖s ≤ E(K)Ls ≤ ‖K‖s. (65)
Полагая в условиях леммы 2 K(t) = Zq(t)Pq,β,n,p(t) и учитывая равенство (63),
получаем соотношение
1
2πp
sup
λ∈R
∥∥Zq(·)Pq,β,n,p(·)− Zq(·+ λ)P
q,β,n,p
(·+ λ)
∥∥
s
≤
≤ E
(
Lqβ,1;Vn,p
)
Ls
≤ 1
πp
∥∥Zq(·)Pq,β,n,p(·)∥∥s, 1 ≤ s ≤ ∞. (66)
В силу леммы 1, в условиях которой положено ϕ(t) = q−n+p−1Zq(t)Pq,β,n,p(t),
g(t) = Z2
q(t)Gp,q(t), h(t) = −Z2
q(t)Hp,q(t), m = n − p + 1, α = −β π
2
и v = s
(функции Gp,q(t) и Hp,q(t) определены соответственно равенствами (17) и (18)),
а также формул (24), (25), (26), (37) и (45) для произвольных q ∈ (0, 1), β ∈ R,
1 ≤ s ≤ ∞ и p = 1, 2, . . . , n имеем
1
2
sup
λ∈R
∥∥Zq(·)Pq,β,n,p(·)− Zq(·+ λ)P
q,β,n,p
(·+ λ)
∥∥
s
=
= qn−p+1
(
‖ cos t‖s
(2π)1/s
∥∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥∥
s
+O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s,p)
)
, (67)
inf
λ∈R
∥∥Zq(·)Pq,β,n,p(·)− λ∥∥s =
= qn−p+1
(
‖ cos t‖s
(2π)1/s
∥∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥∥
s
+O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s,p)
)
, (68)
∥∥Zq(·)Pq,β,n,p(·)∥∥s =
= qn−p+1
(
‖ cos t‖s
(2π)1/s
∥∥∥∥∥ Z2
q(t)
Zqp(p t)
∥∥∥∥∥
s
+O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s,p)
)
, (69)
где σ(s, p) определена формулой (6), а величины O(1) равномерно ограничены по
n, p, s, q и β.
Из формул (66) – (69) следует (62).
Теорема 2 доказана.
Сопоставление асимптотических формул (7) и (60) позволяет записать предель-
ное соотношение
lim
n−p→∞
E(Lqβ,s′ ;Vn,p)C
E(Lqβ,1;Vn,p)Ls
= 1, q ∈ (0, 1), β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1.
(70)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1684 А. С. СЕРДЮК
Рассмотрим некоторые частные случаи теоремы 2.
При s = 2 формула (62) с учетом равенства (51) обращается в асимптотическое
при n− p→∞ равенство
E
(
Lqβ,1;Vn,p
)
L2
=
qn−p+1
p
(
1
π1/2
√
1 + q2 − q2p(2p+ 1− q2(2p− 1))
(1− q2)3
+
+ O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(2,p)
)
, (71)
которое при p = 1 принимает вид
E(Lqβ,1;Sn−1)L2
= qn
(
1
π1/2
√
1− q2
+O(1)
q
n(1− q)2
)
. (72)
Формула (72) приведена в работе [35, c. 1402].
При произвольных 1 ≤ s ≤ ∞ и p = 1 из формулы (62) получаем равенство
E(Lqβ,1;Sn−1)Ls = qn
(
‖ cos t‖s
π1+1/s21/s
∥∥∥∥∥ 1√
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
s
+O(1)
q
n(1− q)σ(s,1)
)
.
(73)
Равенство (73) установлено в работе [35]. Там же приведены несколько частных
случаев формулы (73). В частности, при s = 1 из (73) следует асимптотическое
при n→∞ равенство
E(Lqβ,1;Sn−1)L1
= qn
(
8
π2
K(q) +O(1)
q
n(1− q)
)
, (74)
где K(q) — полный эллиптический интеграл первого рода. Асимптотическое ра-
венство (74) отражает известный результат С. М. Никольского [12, c. 222, 223] с
улучшенной С. Б. Стечкиним [13, c. 139] оценкой остаточного члена.
При
s
2
∈ N из равенств (56), (57) и (73) следует оценка
E(Lqβ,1;Sn−1)Ls =
= qn
(
21/s
π(s−1)/s
√
1− q2
(s− 1)!!
s!!
s/2−1∑
k=0
(s/2 + k − 1)!
(k!)2(s/2− k − 1)!
(
q2
1− q2
)k1/s
+
+O(1)
q
n(1− q)2
)
,
которая при s = 2 обращается в равенство (72), а при s = 4 и s = 6 — соответ-
ственно в равенства
E(Lqβ,1;Sn−1)L4
= qn
(
31/4
21/2π3/4
√
1− q2
(
1 + q2
1− q2
)1/4
+O(1)
q
n(1− q)2
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПРИБЛИЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПУАССОНА СУММАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА . . . 1685
E(Lqβ,1;Sn−1)L6 = qn
(
51/6
21/2π5/6
√
1− q2
(
1 + 4q2 + q4
1− 2q2 + q4
)1/6
+O(1)
q
n(1− q)2
)
.
При s = 1 и 1 ≤ p ≤ n, p, n ∈ N из формулы (62) следует равенство
E
(
Lqβ,1;Vn,p
)
L1
=
qn−p+1
p
(
4
π2
π∫
0
√
1− 2qp cos pt+ q2p
1− 2q cos t+ q2
dt+
+O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(1,p)
)
,
которое было получено автором в [30, c. 104, 105].
1. La Vallé Poussin Ch. Sur la meilleure approximation des fonctions d’une variable réelle par des
expessions d’ordre donné // Compt., Rendus. – 1918. – 166. – S. 799 – 802.
2. La Vallé Poussin Ch. Leçons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle. – Paris: Gautier-
Villars, 1919. – 150 p.
3. Никольский С. М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1940. – 4. – C. 509 – 520.
4. Стечкин С.Б. О суммах Валле Пуссена // Докл. АН СССР. – 1951. – 80. – C. 545 – 548.
5. Steckin S. B. On the approximation of periodic functions by de la Vallee Poussin sums // Anal. Math. –
1978. – 4. – P. 61 – 74.
6. Гаврилюк В. Т. Линейные методы суммирования рядов Фурье и наилучшее приближение // Укр.
мат. журн. – 1963. – 15, № 5. – С. 412 – 418.
7. Габисония О. Д. О приближении функций многих переменных целыми функциями// Изв. вузов.
Математика. – 1965. – 45, № 2. – С. 30 – 35.
8. Захаров А. А. Об оценке уклонения непрерывных периодических функций от сумм Валле Пуссена
// Мат. заметки. – 1968. – 3. – С. 77 – 84.
9. Nagy B. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I.
Periodischer Fall // Ber. Math.-phys. Kl. Akad. Wiss. Leipzig. – 1938. – 90. – S. 103 – 134.
10. Nagy B. Sur une classe générale de procédés de sommation pour les séries de Fourier // Hung. Acta
Math. – 1948. – 1, № 3. – P. 14 – 52.
11. Никольский С. М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами //
Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1945. – 15. – С. 1 – 76.
12. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1946. – 10. – C. 207 – 256.
13. Стечкин С. Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1980. – 145. – С. 126 – 151.
14. Ефимов А. В. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена. I // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1959. – 23, № 5. – С. 737 – 770.
15. Ефимов А. В. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена. II // Там же. –
1960. – 24, № 3. – С. 431 – 468.
16. Теляковский С. А. Приближение дифференцируемых функций суммами Валле-Пуссена // Докл.
АН СССР. – 1958. – 121, № 3. – С. 426 – 429.
17. Теляковский С. А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Вейля, суммами Валле
Пуссена // Докл. АН СССР. – 1960. – 131, № 2. – С. 259 – 262.
18. Теляковский С. А. О приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов
Фурье // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1960. – 24, № 2. – С. 213 – 242.
19. Теляковский С. А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых
функций линейными средними их рядов Фурье. I // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 62. – С.
61 – 97.
20. Теляковский С. А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых
функций линейными средними их рядов Фурье. II // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1963. – 27, № 2. –
С. 253 – 272.
21. Тиман А. Ф. Обобщение некоторых результатов А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского // Докл.
АН СССР. – 1951. – 81, № 4. – С. 509 – 511.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1686 А. С. СЕРДЮК
22. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960.
– 624 с.
23. Рукасов В. И. Приближение функций класса Cψβ,∞ линейными средними их рядов Фурье // Укр.
мат. журн. – 1987. – 39, № 4. – С. 478 – 483.
24. Рукасов В. И. Приближения операторами Валле-Пуссена функций, заданных на действительной
оси // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 5. – С. 682 – 690.
25. Рукасов В. И. Приближение суммами Валле-Пуссена классов аналитических функций // Там же.
– 2003. – 55, № 6. – С.806 – 816.
26. Островецький Л. А. Про асимптотичнi рiвностi при наближеннi функцiй з класiв Hω сумами
Валле-Пуссена // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1979. – № 5. – С. 340 – 342.
27. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. –
2002. – 40, ч. I. – 427 с.
28. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Там же. – Ч. II. – 468 c.
29. Степанец А. И., Рукасов В. И., Чайченко С. О. Приближения суммами Валле-Пуссена // Там же,
2007. – 386 с.
30. Сердюк А. С. Наближення iнтегралiв Пуассона сумами Валле Пуссена // Укр. мат. журн. – 2004. –
56, № 1. – C. 97 – 107.
31. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
32. Сердюк А. С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в рiвномiрнiй метрицi // Укр.
мат. журн. – 2005. – 57, № 8. – C. 1079 – 1096.
33. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – М.:
Наука, 1981. – 800 с.
34. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физмат-
гиз, 1963. – 1100 с.
35. Сердюк А. С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в метрицi простору Lp //
Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 10. – C.1395 – 1408.
Получено 08.07.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
|