Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II
Розв'язано крайову задачу Рімана для розширених у порівнянні з попередніми результатами класів розімкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166301 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II / Ю.В. Кудьявина, С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1659–1671. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166301 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1663012020-02-19T01:28:23Z Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II Кудьявина, Ю.В. Плакса, С.А. Статті Розв'язано крайову задачу Рімана для розширених у порівнянні з попередніми результатами класів розімкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій. The Riemann boundary-value problem is solved for the classes of open rectifiable Jordan curves extended as compared with previous results and functions defined on these curves. 2010 Article Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II / Ю.В. Кудьявина, С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1659–1671. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166301 517.96 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кудьявина, Ю.В. Плакса, С.А. Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II Український математичний журнал |
| description |
Розв'язано крайову задачу Рімана для розширених у порівнянні з попередніми результатами класів розімкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій. |
| format |
Article |
| author |
Кудьявина, Ю.В. Плакса, С.А. |
| author_facet |
Кудьявина, Ю.В. Плакса, С.А. |
| author_sort |
Кудьявина, Ю.В. |
| title |
Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II |
| title_short |
Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II |
| title_full |
Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II |
| title_fullStr |
Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II |
| title_full_unstemmed |
Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II |
| title_sort |
краевая задача римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. ii |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166301 |
| citation_txt |
Краевая задача Римапа па разомкнутой жордановой спрямляемой кривой. II / Ю.В. Кудьявина, С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1659–1671. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kudʹâvinaûv kraevaâzadačarimapaparazomknutojžordanovojsprâmlâemojkrivojii AT plaksasa kraevaâzadačarimapaparazomknutojžordanovojsprâmlâemojkrivojii |
| first_indexed |
2025-07-14T21:07:53Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:07:53Z |
| _version_ |
1837658039703830528 |
| fulltext |
УДК 517.96
С. А. Плакса, Ю. В. Кудьявина (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ
ЖОРДАНОВОЙ СПРЯМЛЯЕМОЙ КРИВОЙ. II
The Riemann boundary-value problem is solved for classes of open Jordan rectifiable curves extended in
comparison with the previous results and for functions given on these curves.
Розв’язано крайову задачу Рiмана для розширених у порiвняннi з попереднiми результатами класiв
розiмкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцiй.
Данная работа является продолжением работы [1] и имеет общие с ней обозначе-
ния, нумерацию пунктов, лемм и теорем.
3. Вспомогательные утверждения. Как обычно, характеристическая функция
χ(z) области D определяется равенствами χ(z) := 1 при z ∈ D и χ(z) := 0 при
z /∈ D.
При j = 1, 2 для целого неотрицательного числа n и точки x ∈ γ \ {a1, a2} обо-
значим через ρj
(
x, (2n+1)π
)
расстояние от x до множества γ\{t ∈ γ : | arg(t−aj)−
− arg(x− aj)| < (2n+ 1)π} в случае, когда это множество не пусто, в противном
случае примем по определению ρj
(
x, (2n+ 1)π
)
:= |x− aj |/2. Обозначим теперь
ρn,j(x) := min
{
|x− aj |/2, ρj
(
x, (2n+ 1)π
)}
.
Лемма 5. Пусть γ = a1a2
^ — разомкнутая жорданова спрямляемая кривая, а
функцияX голоморфна в C\γ и имеет предельные значенияX+, X− на γ\{a1, a2}.
Пусть z ∈ C\γ, ρ(z, γ) < |z−aj |/8 при j = 1 или j = 2 и x — одна из ближайших
к z точек кривой γ. Если ρ ≤ 1
2
min {ρn,j(x), |x − a1|, |x − a2|} при некотором
целом неотрицательном n и либо ρ ≤ |z − x|/2, либо ρ ≥ 2|z − x|, то справедлива
оценка ∣∣∣∣∣∣∣
∫
γρ(x)
dt
X+(t)(t− z)
∣∣∣∣∣∣∣ ≤ c max
{
|G(x)|n, 1
|G(x)|n+1
}
×
× sup
z∈K(x,ρ)\γ
1
|X(z)|
(
1 +
∫
[0,ρ]
Ωx(G, γ, η)
η
dθx(η)
)
, (1)
где G(t) = X+(t)/X−(t), а постоянная c не зависит от z.
Доказательство. При целом значении k введем в рассмотрение множество
γk := {t ∈ γ : (2k − 1)π < arg(t− aj)− arg(x− aj) < (2k + 1)π},
которое назовем витком. Витки γk−1, γk+1 будем называть соседними к γk.
Зафиксируем ρ′ такое, что mes {t ∈ γ : ρ′ < |t − x| < ρ} ≤ ρ/2. Очевидно,
что ρ′ ≥ 3ρ/4. Компоненты множества γρ(x), имеющие пустое пересечение с
кругом K(x, ρ′), назовем компонентами первого типа, а остальные компоненты
этого множества — компонентами второго типа. Число компонент второго типа
конечно, поскольку кривая γ спрямляема.
Компоненты второго типа описанным ниже способом разобьем на классы.
c© С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12 1659
1660 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА
В класс A0,0 включим все компоненты ej0,0, которые можно дополнить до
замкнутой жордановой кривой дугами окружности cρ(x), объединение которых
обозначим c[ej0,0], и компонентами первого типа, объединение которых обозначим
e[ej0,0], при этом множества c[ej0,0], e[ej0,0] расположены на том же витке, что и ej0,0.
Если ориентация дуги ej0,0 совпадает с положительной ориентацией замкнутой
кривой ej0,0 ∪ c[e
j
0,0] ∪ e[ej0,0], то с учетом интегральной формулы Коши и теоремы
Коши получаем∫
ej0,0
dt
X+(t)(t− z)
= χj0,0(z)
2πi
X(z)
−
∫
c[ej0,0]
dt
X(t)(t− z)
−
−
∫
e[ej0,0]
dt
X+(t)(t− z)
, (2)
а в противном случае имеем∫
ej0,0
dt
X+(t)(t− z)
=
∫
ej0,0
(
1
G(t)
− 1
G(x)
)
dt
X−(t)(t− z)
+
+
1
G(x)
(
−χj0,0(z)
2πi
X(z)
−
∫
c[ej0,0]
dt
X(t)(t− z)
−
∫
e[ej0,0]
dt
X−(t)(t− z)
)
, (3)
где χj0,0 — характеристическая функция области, ограниченной кривой ej0,0∪c[e
j
0,0]∪
∪ e[ej0,0].
Определяя классы A0,l, l = 1, k0, число которых обозначено через k0, полагаем,
что класс A0,l включает все компоненты ej0,l, не принадлежащие классам A0,k при
k = 0, 1, . . . , l − 1, которые можно дополнить до замкнутой жордановой кривой
дугами окружности cρ(x) (объединение которых обозначим c[ej0,l]), компонентами
первого типа (объединение этих дуг обозначим e[ej0,l]) и компонентами классов
A0,k (объединение указанных компонент класса A0,k обозначим e0,k[ej0,l]) при k =
= 0, 1, . . . , l − 1, при этом предполагаем также, что все множества c[ej0,0], e[ej0,0],
e0,k[ej0,l] расположены на том же витке, что и ej0,l.
Если ориентация дуги ej0,l совпадает с положительной ориентацией замкнутой
кривой ej0,l∪ c[e
j
0,l]∪e[e
j
0,l]∪
(⋃l−1
k=0
e0,k[ej0,l]
)
, то с учетом интегральной формулы
Коши и теоремы Коши получаем∫
ej0,l
dt
X+(t)(t− z)
= χj0,l(z)
2πi
X(z)
−
∫
c[ej0,l]
dt
X(t)(t− z)
−
−
∫
e[ej0,l]
dt
X+(t)(t− z)
−
l−1∑
k=0
∫
e0,k[ej0,l]
dt
X+(t)(t− z)
, (4)
в противном случае имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1661∫
ej0,l
dt
X+(t)(t− z)
=
∫
ej0,l
(
1
G(t)
− 1
G(x)
)
dt
X−(t)(t− z)
+
+
1
G(x)
(
−χj0,l(z)
2πi
X(z)
−
∫
c[ej0,l]
dt
X(t)(t− z)
−
∫
e[ej0,l]
dt
X−(t)(t− z)
−
−
l−1∑
k=0
∫
e0,k[ej0,l]
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt
)
−
l−1∑
k=0
∫
e0,k[ej0,l]
dt
X+(t)(t− z)
, (5)
где χj0,l — характеристическая функция области, ограниченной кривой ej0,l∪c[e
j
0,l]∪
∪ e[ej0,l] ∪
(⋃l−1
k=0
e0,k[ej0,l]
)
.
Определим теперь класс B1, включив в него все компоненты ej1, при допол-
нении которых до замкнутой жордановой кривой используются компоненты, рас-
положенные как на том же витке, что и ej1, так и на одном из соседних витков;
при этом используются только дуги окружности cρ(x) (объединение которых обо-
значим c[ej1]), компоненты первого типа (объединение которых обозначим e[ej1]) и
компоненты классов A0,k, k = 0, k0. Объединение указанных компонент класса
A0,k, расположенных на том же витке, что и ej1, обозначим e0,k[ej1], а объединение
указанных компонент класса A0,k, расположенных на соседнем витке, обозначим
e′0,k[ej1].
Если ориентация дуги ej1 совпадает с положительной ориентацией замкнутой
кривой ej1 ∪ c[e
j
1] ∪ e[ej1] ∪
(⋃k0
k=0
e0,k[ej1]
)
∪
(⋃k0
k=0
e′0,k[ej1]
)
, то с учетом инте-
гральной формулы Коши и теоремы Коши получаем∫
ej1
dt
X+(t)(t− z)
= χj1(z)
2πi
X(z)
−
∫
c[ej1]
dt
X(t)(t− z)
−
∫
e[ej1]
dt
X±(t)(t− z)
−
−
k0∑
k=0
∫
e0,k[ej1]
dt
X+(t)(t− z)
−
k0∑
k=0
∫
e′0,k[ej1]
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt−
−G(x)
k0∑
k=0
∫
e′0,k[ej1]
dt
X+(t)(t− z)
, (6)
в противном случае имеем
∫
ej1
dt
X+(t)(t− z)
=
∫
ej1
(
1
G(t)
− 1
G(x)
)
dt
X−(t)(t− z)
+
1
G(x)
(
−χj1(z)
2πi
X(z)
−
−
∫
c[ej1]
dt
X(t)(t− z)
−
∫
e[ej1]
dt
X±(t)(t− z)
−
k0∑
k=0
∫
e0,k[ej1]
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt
)
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1662 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА
−
k0∑
k=0
∫
e0,k[ej1]
dt
X+(t)(t− z)
− 1
G(x)
k0∑
k=0
∫
e′0,k[ej1]
dt
X+(t)(t− z)
, (7)
где χj1 — характеристическая функция области Ej1, ограниченной кривой ej1∪c[e
j
1]∪
∪ e[ej1] ∪
(⋃k0
k=0
e0,k[ej1]
)
∪
(⋃k0
k=0
e′0,k[ej1]
)
, а в интегралах по компонентам мно-
жества e[ej1] выбираются значения X+ или X− в зависимости от того, слева или
справа от соответствующей компоненты находится область Ej1.
Аналогично определяются классыBq, q = 2, p, число которых обозначено через
p, и Aq,l, q = 1, p, l = 0, kq, число которых при фиксированном q обозначено че-
рез kq.
Так, в класс Bq включаются все компоненты ejq, при дополнении которых до
замкнутой жордановой кривой используются компоненты, расположенные как на
том же витке, что и ejq, так и на одном из соседних витков; при этом используются
только дуги окружности cρ(x) (объединение этих дуг обозначим c[ejq]), компоненты
первого типа (объединение этих компонент обозначим e[ejq]), а также компоненты
классов Bm и Am,k при m = 1, q − 1 и k = 0, 1, . . . , km. Объединение указанных
компонент классов Bm, Am,k, расположенных на том же витке, что и ejq, обозначим
соответственно em[ejq], em,k[ejq], а объединение указанных компонент классов Bm,
Am,k, расположенных на соседнем витке, обозначим соответственно через e′m[ejq],
e′m,k[ejq].
В класс Aq,0 включаем все компоненты ejq,0, не принадлежащие классам Bm
при m = 1, q и Am,k при m = 1, q − 1, k = 0, 1, . . . , km, которые можно дополнить
до замкнутой жордановой кривой дугами окружности cρ(x) (объединение этих дуг
обозначим c[ejq,0]), компонентами первого типа (объединение этих компонент обо-
значим e[ejq,0]), компонентами классов Bm при m = 1, q, а также компонентами
классов Am,k при m = 1, q − 1 и k = 0, 1, . . . , km (объединение указанных ком-
понент классов Bm, Am,k обозначим соответственно через em[ejq,0], em,k[ejq,0]);
при этом предполагаем также, что все множества c[ejq,0], e[ejq,0], em[ejq,0], em,k[ejq,0]
расположены на том же витке, что и ejq,0.
Далее, в класс Aq,l, l = 1, kq, включаем все компоненты ejq,l, не принадлежа-
щие классам Bm при m = 1, q и Am,k при m = 1, q − 1, k = 0, 1, . . . , km, а также
классам Aq,k при k = 0, 1, . . . , l− 1, которые можно дополнить до замкнутой жор-
дановой кривой дугами окружности cρ(x) (объединение этих дуг обозначим c[ejq,l]),
компонентами первого типа (объединение этих компонент обозначим e[ejq,l]), ком-
понентами классов Bm при m = 1, q и Am,k при m = 1, q − 1, k = 0, 1, . . . , km
(объединение указанных компонент классов Bm, Am,k обозначим соответствен-
но через em[ejq,l] и em,k[ejq,l]), а также компонентами классов Aq,k (объединение
указанных компонент обозначим через eq,k[ejq,l]) при k = 0, 1, . . . , l − 1; при этом
предполагаем также, что все множества c[ejq,l], e[e
j
q,l], em[ejq,l], em,k[ejq,l], eq,k[ejq,l]
расположены на том же витке, что и ejq,l.
Аналогично равенствам (4) – (7) устанавливаются равенства∫
ejq,l
dt
X+(t)(t− z)
= χjq, l(z)
2πi
X(z)
−
∫
c[ejq,l]
dt
X(t)(t− z)
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1663
−
∫
e[ejq,l]
dt
X+(t)(t− z)
−
q−1∑
m=0
km∑
k=0
∫
em,k[ejq,l]
dt
X+(t)(t− z)
−
−
l−1∑
k=0
∫
eq,k[ejq,l]
dt
X+(t)(t− z)
−
q∑
m=0
∫
em[ejq,l]
dt
X+(t)(t− z)
, (8)
∫
ejq
dt
X+(t)(t− z)
= χjq(z)
2πi
X(z)
−
∫
c[ejq ]
dt
X(t)(t− z)
−
∫
e[ejq ]
dt
X±(t)(t− z)
−
−
q−1∑
m=0
km∑
k=0
∫
em,k[ejq ]
dt
X+(t)(t− z)
−
q−1∑
m=0
∫
em[ejq ]
dt
X+(t)(t− z)
−
−
q−1∑
m=0
km∑
k=0
∫
e′m,k[ejq ]
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt−
q−1∑
m=0
∫
e′m[ejq ]
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt−
−G(x)
(
q−1∑
m=0
km∑
k=0
∫
e′m,k[ejq ]
dt
X+(t)(t− z)
+
q−1∑
m=0
∫
e′m[ejq ]
dt
X+(t)(t− z)
)
(9)
в случае, когда ориентации дуг ejq,l, e
j
q совпадают с положительной ориентацией
описанных при определении классов Aq,l, Bq замкнутых кривых (характеристиче-
ские функции областей, ограниченных этими кривыми, обозначены соответственно
через χjq, l, χ
j
q), частью которых являются дуги ejq,l, e
j
q, или же равенства
∫
ejq,l
dt
X+(t)(t− z)
=
∫
ejq,l
(
1
G(t)
− 1
G(x)
)
dt
X−(t)(t− z)
+
+
1
G(x)
(
−χjq,l(z)
2πi
X(z)
−
∫
c[ejq,l]
dt
X(t)(t− z)
−
∫
e[ejq,l]
dt
X−(t)(t− z)
−
−
q−1∑
m=0
km∑
k=0
∫
em,k[ejq,l]
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt−
l−1∑
k=0
∫
eq,k[ejq,l]
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt−
−
q∑
m=0
∫
em[ejq,l]
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt
)
−
q−1∑
m=0
km∑
k=0
∫
em,k[ejq,l]
dt
X+(t)(t− z)
−
−
l−1∑
k=0
∫
eq,k[ejq,l]
dt
X+(t)(t− z)
−
q∑
m=0
∫
em[ejq,l]
dt
X+(t)(t− z)
(10)
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1664 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА∫
ejq
dt
X+(t)(t− z)
=
∫
ejq
(
1
G(t)
− 1
G(x)
)
dt
X−(t)(t− z)
+
+
1
G(x)
(
−χjq(z)
2πi
X(z)
−
∫
c[ejq ]
dt
X(t)(t− z)
−
∫
e[ejq ]
dt
X±(t)(t− z)
−
−
q−1∑
m=0
km∑
k=0
∫
em,k[ejq ]
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt−
q−1∑
m=0
∫
em[ejq ]
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt
)
−
−
q−1∑
m=0
km∑
k=0
∫
em,k[ejq ]
dt
X+(t)(t− z)
−
q−1∑
m=0
∫
em[ejq ]
dt
X+(t)(t− z)
−
− 1
G(x)
(
q−1∑
m=0
km∑
k=0
∫
e′m,k[ejq ]
dt
X+(t)(t− z)
+
q−1∑
m=0
∫
e′m[ejq ]
dt
X+(t)(t− z)
)
(11)
в противной случае.
Таким образом, определена последовательность классов A0,0, A0,1, . . . , A0,k0
,
B1, A1,0, A1,1, . . . , A1,k1
, B2, A2,0, A2,1, . . . , A2,k2
, . . . , Bp, Ap,0, Ap,1, . . . , Ap,kp , при
этом равенства (2) – (11) задают выражения интегралов, содержащихся в их левых
частях, через интегралы по дугам предшествующих классов, дугам окружности
cρ(x) и компонентам первого типа.
Выполним суммирование интегралов∫
ej0,l
dt
X+(t)(t− z)
(12)
по всем компонентам из классов A0,k0 , A0,k0−1, . . . , A0,0. На первом шаге, исполь-
зуя равенства (4), (5) для интегралов по дугам класса A0,k0
, замечаем, что послед-
ние слагаемые из указанных равенств уничтожаются при сложении с интегралами
(12) по компонентам множества e0,k[ej0,k0
]. На следующем шаге, используя равен-
ства (4), (5) для оставшихся после выполнения первого шага сложения интегралов
по дугам класса A0,k0−1, аналогично замечаем, что последние слагаемые из ука-
занных равенств уничтожаются при сложении с интегралами (12) по компонентам
множества e0,k[ej0,k0−1]. Продолжая суммирование описанным способом и учиты-
вая при этом равенство(
1
G(t)
− 1
G(x)
)
1
X−(t)
= −G(t)−G(x)
G(x)X+(t)
, (13)
а также замечая, что в случае, когда интеграл (12) выражается равенством (5),
интегралы вида (12) по компонентам множества e0,k[ej0,l] выражаются равенствами
вида (4), получаем
k0∑
l=0
∑
j
∫
ej0,l
dt
X+(t)(t− z)
=
(
c0 +
c−1
G(x)
)
2πi
X(z)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1665
+
k0∑
l=0
∑
j
((
cl,j1 +
cl,j2
G(x)
) ∫
c[ej0,l]
dt
X(t)(t− z)
+
(
cl,j3 +
cl,j4
G(x)
) ∫
e[ej0,l]
dt
X+(t)(t− z)
)
+
+
k0∑
l=0
∑
j
cl,j5
G(x)
∫
ej0,l
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt , (14)
где каждая из постоянных c0, c−1, c
l,j
1 , cl,j2 , . . . , cl,j5 принимает одно из значений
0,±1.
Далее, используя выражения (6), (7) интегралов по дугам класса B1, замечаем,
что при суммировании их с интегралами (12) уничтожаются входящие в равенства
(6), (7) интегралы вида (12) по компонентам множеств e0,k[ej1], k = 0, k0. В то
же время для интегралов вида (12) по компонентам множеств e′0,k[ej1], k = 0, k0,
получены представления (14), используя которые, а также равенство (13), находим∑
j
∫
ej1
dt
X+(t)(t− z)
+
k0∑
l=0
∑
j
∫
ej0,l
dt
X+(t)(t− z)
= C0(G)
2πi
X(z)
+
+
k0∑
l=0
∑
j
(
Cl,j1 (G)
∫
c[ej0,l]
dt
X(t)(t− z)
+ Cl,j2 (G)
∫
e[ej0,l]
dt
X±(t)(t− z)
)
+
+
∑
j
(
Cj3(G)
∫
c[ej1]
dt
X(t)(t− z)
+ Cj4(G)
∫
e[ej1]
dt
X±(t)(t− z)
)
+
+
k0∑
l=0
∑
j
Cl,j5 (G)
∫
ej0,l
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt+
∑
j
Cj6(G)
∫
ej1
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt , (15)
где C0(G), Cl,j1 (G), Cl,j2 (G), Cl,j5 (G) имеют вид c0 +
c−1
G(x)
+ c1G(x) +
c−2
(G(x))2
,
а Cj3(G), Cj4(G), Cj6(G) — коэффициенты вида c0 +
c−1
G(x)
, при этом через c0, c−1,
c1, c−2 обозначены различные постоянные, каждая из которых принимает одно из
значений 0,±1.
Теперь, продолжая суммирование интегралов по всем дугам второго типа, ана-
логично равенствам (14), (15) получаем
p∑
q=0
kq∑
l=0
∑
j
∫
ejq,l
dt
X+(t)(t− z)
+
p∑
q=1
∑
j
∫
ejq
dt
X+(t)(t− z)
= Cp,0(G)
2πi
X(z)
+
+
p∑
q=0
kq∑
l=0
∑
j
(
Cq,l,jp,1 (G)
∫
c[ejq,l]
dt
X(t)(t− z)
+ Cq,l,jp,2 (G)
∫
e[ejq,l]
dt
X±(t)(t− z)
)
+
+
p∑
q=1
∑
j
(
Cq,jp,3(G)
∫
c[ejq ]
dt
X(t)(t− z)
+ Cq,jp,4(G)
∫
e[ejq ]
dt
X±(t)(t− z)
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1666 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА
+
p∑
q=0
kq∑
l=0
∑
j
Cq,l,jp,5 (G)
∫
ejq,l
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt+
+
p∑
q=1
∑
j
Cq,jp,6(G)
∫
ejq
G(t)−G(x)
X+(t)(t− z)
dt. (16)
Здесь Cp,0(G), Cq,l,jp,1 (G), Cq,l,jp,2 (G), Cq,jp,3(G), Cq,jp,4(G), Cq,l,jp,5 (G), Cq,jp,5(G) имеют вид
c0 +c1G(x)+c2(G(x))2 + . . .+cp(G(x))p+
c−1
G(x)
+
c−2
(G(x))2
+ . . .+
c−p−1
(G(x))p+1
, при
этом через c0, c1, . . . , cp, c−1, c−2, . . . , c−p−1 обозначены различные постоянные,
каждая из которых принимает одно из значений 0,±1.
Заметим, что простым следствием включения γρ(x) ⊂
⋃n
k=−n
γk, которое вы-
полняется в силу неравенства ρ ≤ ρn,j(x)/2, является неравенство p ≤ n. По-
этому каждый из коэффициентов Cp,0(G), Cq,l,jp,1 (G), Cq,l,jp,2 (G), Cq,jp,3(G), Cq,jp,4(G),
Cq,l,jp,5 (G), Cq,jp,5(G) оценивается сверху выражением (2n + 2) max
{
|G(x)|n,
|G(x)|−(n+1)
}
. Следовательно, используя равенство∫
γρ(x)
dt
X+(t)(t− z)
=
∫
e
dt
X+(t)(t− z)
+
+
p∑
q=0
kq∑
l=0
∑
j
∫
ejq,l
dt
X+(t)(t− z)
+
p∑
q=1
∑
j
∫
ejq
dt
X+(t)(t− z)
,
где через e обозначено объединение всех компонент первого типа множества γρ(x),
и оценивая входящий в него интеграл по множеству e и интегралы в правой части
равенства (16) с учетом неравенств |t−z| ≥ |t−x|/2 для всех t ∈ γρ(x), |t−z| ≥ ρ/2
для всех t ∈ cρ(x), |t − z| ≥ ρ/4 для всех t ∈ e, mes e ≤ ρ/2 + 2πρ + 2πρ′ ≤
≤ (4π + 1/2)ρ, получаем неравенство (1).
Лемма доказана.
Для функции h, заданной на γ \ T, обозначим
Mγ(h | ε) :=
sup
t∈γ\γε(T )
|h(t)|, если γ \ γε(T ) 6= Ø ,
0 , если γ \ γε(T ) = Ø .
Лемма 6. Пусть γ, z, x и ρ — такие, как и в лемме 5, а функция h непрерывна
на γ \ {a1, a2} и суммируема на γ. Тогда справедлива оценка∣∣∣∣∣
∫
γ\γρ(x)
h(t)
t− z
dt
∣∣∣∣∣ ≤
≤ c
(
2∑
j=1
∫
[0,d]
Mγ(h| η)
r + η
dθaj (η) +Mγ
(
h
∣∣∣ r
2
) 3r/8∫
ρ
dθx(η)
η
)
, (17)
где r := min{|z − a1|, |z − a2|}, а c — некоторая универсальная постоянная.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1667
Доказательство. Без ограничения общности полагаем, что r = |z−a1|. Имеем
равенство∫
γ\γρ(x)
h(t)
t− z
dt =
∫
γ\γ2r(a1)
h(t)
t− z
dt +
∫
γ2r(a1)\γρ(x)
h(t)
t− z
dt =: I1 + I2.
Далее, оценивая I1 с использованием неравенства |t − a1| ≤ 2|t − z|, которое
выполняется при всех t ∈ γ \ γ2r(a1), получаем
|I1| ≤ 2
∫
[2r,d]
Mγ(h | η)
η
dθa1(η) ≤ 3
∫
[2r,d]
Mγ(h | η)
r + η
dθa1(η),
а при оценке интеграла I2 с использованием неравенства |t− x| ≤ 2|t− z| имеем
|I2| ≤ 2
∫
γ2r(a1)\γ 3r
8
(x)
|h(t)|
|t− x|
|dt| + 2
∫
γ 3r
8
(x)\γρ(x)
|h(t)|
|t− x|
|dt| ≤
≤ 16
3r
∫
[0,2r]
Mγ(h | η) dθa1(η) + 2Mγ
(
h
∣∣∣ r
2
) 3r
8∫
ρ
dθx(η)
η
≤
≤ 16
∫
[0,2r]
Mγ(h | η)
r + η
dθa1
(η) + 2Mγ
(
h
∣∣∣ r
2
) 3r
8∫
ρ
dθx(η)
η
.
Лемма доказана.
4. Неоднородная краевая задача Римана. Обозначим rt :=
1
4
min
aj∈T
|t− aj |, где
t ∈ γ \ T, и
∆∗p(aj) := lim sup
z→aj , z∈C\γ
Re p̃ (z)
ln |z − aj |
.
Теорема 2. Пусть γ = a1a2
^ — разомкнутая жорданова спрямляемая кривая,
удовлетворяющая условию
θ(ε) = O(εν), ε→ 0, 0 < ν ≤ 1, (18)
и дополнительному условию
ρn,j(t) ≥ c |t− aj |k ∀ t ∈ γ \ T, k > 1, j = 1, 2, (19)
где n — целое неотрицательное число и положительная постоянная c не зависит
от t. Пусть функция G представима в виде G(t) = exp(p(t)), при этом p̃ ∈ HT
и для всех aj ∈ T конечны числа ∆p(aj),∆
∗
p(aj) и, кроме того, при всех t ∈ γ \ T
функция G удовлетворяет оценкам
c1
2∏
j=1
|t− aj |α
0
G,j ≤ |G(t)| ≤ c2
2∏
j=1
|t− aj |αG,j , α0
G, j ≥ 0, αG, j ≤ 0, (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1668 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА
∫
[0, rt]
Ωt(G, γ, η)
η
dθt(η) ≤ c
2∑
j=1
|t− aj |βG, j , βG, j ≤ 0, (21)
в которых положительные постоянные c1, c2, c не зависят от t, а функция g
удовлетворяет условию
sup
x∈γ\γδ(T )
∫
[0,ε]
Ωx(g, γ, η)
η
dθx(η)→ 0, ε→ 0, ∀ δ > 0. (22)
и при всех t ∈ γ \ T — оценкам
|g(t)| ≤ c
2∏
j=1
|t− aj |αg,j , (23)
∫
[0, rt]
Ωt(g, γ, η)
η
dθt(η) ≤ c
2∏
j=1
|t− aj |βg, j , βg, j > −1 + ∆∗p −∆p , (24)
где αg,j > −1 + ∆∗p −∆p + max{k(1− ν); (n+ 1)α0
G,j
− βG, j ; −nα
G,j
− βG, j} и
постоянная c не зависит от t.
Тогда при κ > −1 неоднородная краевая задача Римана разрешима, а при
κ < −1 для ее разрешимости необходимо и достаточно выполнения (−κ − 1)-го
условия ∫
γ
g(t)
X+(t)
ts−1 dt = 0, s = 1, 2, . . . , −κ− 1 , (25)
где X(z) := exp(p̃(z))
∏2
j=1
(z− aj)−κj . Общее решение задачи дается формулой
Φ(z) = Φ0(z) +X(z)Pκ(z) , z ∈ C \ γ, (26)
где
Φ0(z) =
X(z)
2πi
∫
γ
g(t)
X+(t)
dt
t− z
,
а Pκ — произвольный полином степени не выше κ, если κ > 0, и Pκ(z) ≡ 0, если
κ < 0.
Доказательство. Используя равенство G(t) = X+(t)/X−(t), которое выпол-
няется при всех t ∈ γ \ T, приводим краевое условие
Φ+(t) = G(t)Φ−(t) + g(t) ∀ t ∈ γ \ T , (27)
к виду
Φ+(t)
X+(t)
=
Φ−(t)
X−(t)
+
g(t)
X+(t)
∀ t ∈ γ \ T.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1669
С учетом условия (18) и оценки (23) легко устанавливается, что функция
h(t) := g(t)/X+(t) суммируема на γ. Кроме того, дополняя кривую γ до замкну-
той жордановой спрямляемой кривой, согласно лемме 1 из [1], дугой γ1 := a2a1
^ и
полагая при этом g(t) ≡ 0 на γ1, на основании леммы 1 из [2] заключаем, что функ-
ция h̃ имеет предельные значения h̃+, h̃− на γ \ T. Отсюда следует, что предель-
ные значения Φ+
0 и Φ−0 функции Φ0 удовлетворяют условию граничного сопряже-
ния (27).
Оценим теперь h̃(z) при всех z ∈ C \γ из достаточно малой окрестности точки
aj ∈ T. Пусть r := |z − aj | и положительное число ε такое, что выполняются
неравенства
βg,j + ∆p(aj)−∆∗p(aj)− 2ε > −1,
αg,j + ∆p(aj)−∆∗p(aj)− k(1− ν)− 2ε > −1,
αg,j + βG,j + nα
G,j
+ ∆p(aj)−∆∗p(aj)− 2ε > −1,
αg,j + βG,j − (n+ 1)α0
G,j
+ ∆p(aj)−∆∗p(aj)− 2ε > −1.
(28)
В случае ρ(z, γ) ≥ r/8 аналогично оценке (17) имеем
|h̃(z)| ≤ 1
2π
(∣∣∣∣∣
∫
γ2r(aj)
h(t)
t− z
dt
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
∫
γ\γ2r(aj)
h(t)
t− z
dt
∣∣∣∣∣
)
≤
≤ c
(
1
r
∫
[0,2r]
Mγ(h | η) dθaj (η) +
∫
[2r,d]
Mγ(h | η)
η
dθaj (η)
)
(здесь и далее в доказательстве постоянные c не зависят от z). Оценивая далее
интегралы Лебега – Стилтьеса с учетом предложения 1 работы [3] (см. также дока-
зательство теоремы 1 из [4]) и используя при этом условие (18), оценку (23) для
функции g, а также неравенство
1/|X+(z)| ≤ c
2∏
j=1
|z − aj |κj−∆∗p(aj)−ε ∀ z ∈ γ \ T , (29)
при достаточно малых значениях r получаем
|h̃(z)| ≤ c
(
1 +
2∑
j=1
rαg,j+κj−∆∗p(aj)+ν−1−ε
)
.
В случае ρn,j(x)/4 ≤ ρ(z, γ) < r/8 обозначим ρ := ρn,j(x)/8 и представим
интеграл h̃(z) в виде суммы трех интегралов:
h̃(z) =
1
2πi
( ∫
γρ(x)
g(t)− g(x)
X+(t)(t− z)
dt +
∫
γρ(x)
g(x) dt
X+(t)(t− z)
+
∫
γ\γρ(x)
h(t)
t− z
dt
)
=:
=: I1 + I2 + I3.
Используя неравенство |t − x| ≤ 2|t − z| и оценки (24), (29), при достаточно
малых значениях r имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1670 С. А. ПЛАКСА, Ю. В. КУДЬЯВИНА
|I1| ≤ 2 sup
t∈γρ(x)
1
|X+(t)|
∫
[0,ρ]
Ωx(g, γ, η)
η
dθx(η) ≤ c rκj−∆∗p(aj)+βg,j−ε .
Используя оценки (1), (20) – (23), (29), при достаточно малых значениях r по-
лучаем
|I2| ≤ c rαg,j+κj−∆∗p(aj)+βG,j−ε
(
rnαG,j + r
−(n+1)α0
G,j
)
.
Наконец, при оценке интеграла I3 используем неравенство (17) и предложение
1 из работы [3] (см. также доказательство теоремы 1 из [4]), при этом с учетом
условий (18) и (19), а также оценки (23) для функции g и неравенства (29) получим
|I3| ≤ c
(
1 +
2∑
j=1
rαg,j+κj−∆∗p(aj)−k(1−ν)−ε
)
.
В случае ρ(z, γ) < min{r/8, ρn,j(x)/4} обозначим ρ := ρn,j(x)/2. Теперь инте-
грал h̃(z) оценивается так же, как и в случае ρn,j(x)/4 ≤ ρ(z, γ) < r/8.
Используя полученные оценки интеграла h̃(z) и неравенство |X(z)| ≤
≤ cr∆p(aj)−κj−ε, выполняющееся при достаточно малых значениях r, для функции
Φ0 получаем следующую оценку:
|Φ0(z)| ≤ c
(
1 +
2∑
j=1
r∆p(aj)−∆∗p(aj)−2ε
(
rβg,j + rαg,j−k(1−ν)+
+rαg,j+nαG,j+βG,j + r
αg,j−(n+1)α0
G,j
+βG,j
))
∀ z ∈ C \ γ.
В силу неравенств (28) функция Φ0 удовлетворяет неравенству
|Φ0(z)| ≤ c
2∑
j=1
|z − aj |−νΦ0 ∀z ∈ C \ γ,
в котором постоянная c не зависит от z и νΦ0
∈ (0; 1). Следовательно, функция
Φ0 является частным решением неоднородной краевой задачи Римана. При этом
отметим, что в случае κ < 0 функция X(z) имеет полюс порядка −κ в беско-
нечно удаленной точке и Φ0 является решением краевой задачи Римана лишь при
выполнении (−κ− 1)-го условия (25).
Для завершения доказательства остается заметить, что в формуле (26) общее ре-
шение неоднородной краевой задачи Римана представлено в виде суммы частного
решения этой задачи и общего решения однородной задачи.
Заметим, что если кривая γ удовлетворяет условию (18) при ν = 1, то она удо-
влетворяет также условию (19). Действительно, обозначим через γk1
, γk2
, . . . , γkm
те витки γk (определенные при доказательстве леммы 5), которые имеют непустое
пересечение с множеством γ|x−aj |/2(x), и с учетом неравенств
mes
(
γks ∩ γ|x−aj |/2(aj)
)
≥ |x− aj |/2, s = 1, 2 . . . ,m,
получим соотношения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА РАЗОМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ . . . 1671
m |x− aj |/2 ≤
m∑
s=1
mes
(
γks ∩ γ|x−aj |/2(aj)
)
≤ θaj (|x− aj |/2) ≤ cγ |x− aj |/2,
откуда следует оценка m ≤ cγ , где постоянная cγ зависит только от кривой γ, но не
зависит от точки x ∈ γ. Поэтому при n = [cγ ] + 1 неравенство ρn,j(x) ≥ |x− aj |/2
выполняется для всех x ∈ γ \ T и j = 1, 2.
Все другие условия теоремы 3 так же, как и условие (19), выполняются в
соответствующих результатах работ [5 – 7] о разрешимости неоднородной краевой
задачи Римана; в частности, неравенства (20) выполняются, по крайней мере, при
α0
G,j = −αG,j = ε, где ε — сколь угодно малое положительное число, оценка (21)
выполняется при βG,j = 0, а в работах [5, 6], кроме того, выполняется равенство
∆∗p = ∆p.
В следующей теореме, которая доказывается аналогично теореме 3, ослабляется
условие (19) на кривую γ при одновременном ужесточении условия (18).
Теорема 3. Пусть γ = a1a2
^ — разомкнутая жорданова спрямляемая кривая,
удовлетворяющая условиям
θ(ε) = O(ε| ln ε|ν), ε→ 0, ν ≥ 0,
ρn,j(t) > c exp(|t− aj |−k) ∀ t ∈ γ \ T, k > 0, j = 1, 2,
где n — целое неотрицательное число и положительная постоянная c не зависит
от t. Пусть функция G представима в виде G(t) = exp(p(t)), при этом p̃ ∈ HT
и для всех aj ∈ T конечны числа ∆p(aj),∆
∗
p(aj) и, кроме того, при всех t ∈ γ \ T
функция G удовлетворяет оценкам (20), (21), а функция g — условию (22) и при
всех t ∈ γ \T — оценкам (23), (24), где αg,j > −1 + ∆∗p−∆p + max{k(1 + ν); (n+
+ 1)α0
G,j
−βG, j ; −nα
G,j
−βG, j}. Тогда при κ > −1 неоднородная краевая задача
Римана разрешима, а при κ < −1 для ее разрешимости необходимо и достаточно
выполнение (−κ − 1)-ого условия (25). Общее решение задачи дается формулой
(26).
1. Плакса С. А., Кудьявина Ю. В. Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой
кривой. I // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 11. – C. 1511 – 1522.
2. Васильева Ю. В., Плакса С. А. Кусочно-непрерывная краевая задача Римана на спрямляемой кри-
вой // Там же. – 2006. – 58, № 5. – C. 616 – 628.
3. Плакса С. А. Краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка на спи-
ралеобразном контуре. I // Там же. – 1990. – 42, № 11. – C. 1509 – 1517.
4. Герус О. Ф. Некоторые оценки модулей гладкости интегралов типа Коши // Там же. – 1978. – 30,
№ 5. – C. 594 – 601.
5. Сейфуллаев Р. К. Краевая задача Римана на негладкой разомкнутой кривой // Мат. сб. – 1980. –
112, № 2. – C. 147 – 161.
6. Kutlu K. On Riemann boundary value problem // An. Univ. Timişoara: Ser. mat.-inform. – 2000. – 38,
№ 1. – P. 89 – 96.
7. Pena D., Reyes J. Riemann boundary value problem on a regular open curve // J. Natur. Geom. – 2002.
– 22, № 1. – P. 1 – 17.
Получено 19.01.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
|