Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда
Для случайных величин в банаховых решетках установлен порядковый закон больших чисел Марцинкевича-Зигмунда. Подобные результаты получены и для схемы максимума.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166302 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда / К.С. Акбаш, І.К. Мацак // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1587-1597. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166302 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1663022020-02-19T01:28:09Z Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда Акбаш, К.С. Мацак, І.К. Статті Для случайных величин в банаховых решетках установлен порядковый закон больших чисел Марцинкевича-Зигмунда. Подобные результаты получены и для схемы максимума. The order law of large numbers of the Marcinkiewicz–Zygmund type is established for random variables on Banach lattices. Similar results are also obtained for the maximum scheme. 2010 Article Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда / К.С. Акбаш, І.К. Мацак // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1587-1597. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166302 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Акбаш, К.С. Мацак, І.К. Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда Український математичний журнал |
| description |
Для случайных величин в банаховых решетках установлен порядковый закон больших чисел Марцинкевича-Зигмунда. Подобные результаты получены и для схемы максимума. |
| format |
Article |
| author |
Акбаш, К.С. Мацак, І.К. |
| author_facet |
Акбаш, К.С. Мацак, І.К. |
| author_sort |
Акбаш, К.С. |
| title |
Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда |
| title_short |
Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда |
| title_full |
Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда |
| title_fullStr |
Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда |
| title_full_unstemmed |
Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда |
| title_sort |
порядковий закон великих чисел типу марциикевича - зигмунда |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166302 |
| citation_txt |
Порядковий закон великих чисел типу Марциикевича - Зигмунда / К.С. Акбаш, І.К. Мацак // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 12. — С. 1587-1597. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT akbašks porâdkovijzakonvelikihčiseltipumarciikevičazigmunda AT macakík porâdkovijzakonvelikihčiseltipumarciikevičazigmunda |
| first_indexed |
2025-07-14T21:07:57Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:07:57Z |
| _version_ |
1837658042928201728 |
| fulltext |
УДК 519.21
К. С. Акбаш, I. K. Mацак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ
ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА
The Marcinkiewicz – Zygmund order law of large numbers is established for random variables in Banach
lattices. Similar results are obtained also for the maximum scheme.
Для случайных величин в банаховых решетках установлен порядковый закон больших чисел Марцин-
кевича – Зиґмунда. Подобные результаты получены и для схемы максимума.
1. Вступ. Основнi результати. Нехай ξ, ξ1, ξ2, . . .— незалежнi однаково розподiленi
випадковi величини (н. о. р. в. в.) в R. У роботi Марцинкевича, Зиґмунда [1] було
одержано таке узагальнення закону великих чисел (ЗВЧ) Колмогорова: для 1 6 p <
< 2 майже напевно (м. н.)
lim
n→∞
1
n1/p
n∑
i=1
ξi = 0,
якщо E|ξ|p <∞ i Eξ = 0.
Нехай (Xi) — послiдовнiсть незалежних копiй випадкового елемента (в. е.) X
зi значеннями в сепарабельному банаховому просторi B i Sn =
∑n
i=1
Xi. Вiдомо
[2, с. 259], що для банахових просторiв типу p, 1 6 p < 2, за умов
E‖X‖p < ∞ (1)
i EX = 0 також виконується ЗВЧ Марцинкевича – Зиґмунда вигляду
lim
n→∞
1
n1/p
‖Sn‖ = 0 м. н. (2)
Далi через B позначатимемо сепарабельну банахову ґратку з модулем | · |.
Нexай 1 6 p < ∞. Банаxова ґратка B називається p-опуклою, якщо iснує така
стала D(p) = D(p)(B), що для будь-якого n i для будь-якиx елементiв (xi)
n
1 ⊂ B∥∥∥∥∥∥
(
n∑
i=1
|xi|p
)1/p
∥∥∥∥∥∥ 6 D(p)
(
n∑
i=1
‖xi‖p
)1/p
i, аналогiчно, q-вгнутою (1 6 q < ∞), якщо для деякої сталої D(q) = D(q)(B)
виконується обернена нерiвнiсть(
n∑
i=1
‖xi‖q
)1/q
6 D(q)
∥∥∥∥∥∥
(
n∑
i=1
|xi|q
)1/q
∥∥∥∥∥∥ .
Для послiдовностi Xi, i > 1, незалежних копiй випадкового елемента (в. е.) X iз
значеннями в B покладемо
c© К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12 1587
1588 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
Sn =
n∑
i=1
Xi, S∗n = sup
k6n
|Sk|, n = 1, 2, . . . .
У роботi [3] показано, що при умовi (1) ЗВЧ (2) у випадку p-опуклих (1 6 p < 2)
та q-вгнутих (1 6 q <∞) банахових ґраток можна пiдсилити до рiвностi
lim
n→∞
1
n1/p
‖S∗n‖ = 0 м. н.
У банаховiй ґратцi поряд iз збiжнiстю за нормою можна розглядати порядко-
ву збiжнiсть (o-збiжнiсть). Нагадаємо, що послiдовнiсть елементiв (xn) банахової
ґраткиB називається o-збiжною до елемента x, x = o−limn→∞ xn, якщо iснує така
послiдовнiсть (vn), що |x− xn| < vn i vn ↓ 0, тобто v1 > v2 > . . . i infn>1 vn = 0
[4, 5].
Для в. е. X зi значеннями у банаховiй ґратцi (з EX = 0) можна розглянути
порядковий закон великих чисел (o-ЗВЧ) Марцинкевича – Зиґмунда
o− lim
n→∞
Sn
n
1
p
= 0 м. н. (3)
При p = 1 маємо звичайний порядковий закон великих чисел у банаховiй ґратцi,
який вивчався у роботi [6].
Основним результатом даної роботи є така теорема.
Теорема 1. Нехай 1 6 p < p′ 6 2, B — сепарабельна банахова ґратка,
p′-опукла i q-вгнута при деякому q, 1 6 q < ∞, X — випадковий елемент iз
значеннями в B, EX = 0. Тодi еквiвалентнi такi умови:
i) X задовольняє закон великих чисел (2);
ii) X задовольняє порядковий закон великих чисел (3);
iii) виконується умова (1).
Наслiдок 1. Нехай 1 6 p < 2, p < p′ <∞, X — випадковий елемент iз значен-
нями у просторi Lp′ (lp′), EX = 0. Тодi умови i) – iii) теореми 1 еквiвалентнi.
Зауваження 1. Контрприклад, наведений у п. 4, показує, що у просторi `p,
1 6 p < 2 (який має тип p), iснує в. е., який задовольняє нерiвнiсть (1) i разом
з тим для нього не виконується порядковий закон великих чисел Марцинкевича –
Зиґмунда (3).
У наступнiй теоремi розглядаємо випадок, коли (Xn) — послiдовнiсть незалеж-
них в. е., не обов’язково однаково розподiлених.
Теорема 2. Нехай 1 6 p < p′ 6 2, B — сепарабельна банахова ґратка, p′-
опукла i q-вгнута при деякому q, 1 6 q < ∞, (Xn) — послiдовнiсть незалежних
випадкових елементiв зi значеннями в B i EXn = 0 для кожного n. Тодi умова∑
n>1
1
np′/p
E‖Xn‖p
′
<∞ (4)
є достатньою для справедливостi порядкового закону великих чисел (3).
Зазначимо, що близькi до теореми 1 результати отримано i для схеми максимуму
(див. п. 3).
2. Доведення теореми 1. Еквiвалентнiсть умов i) та iii) — це вiдомий резуль-
тат [2].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА 1589
Покажемо еквiвалентнiсть умов ii) та iii). Неважко помiтити, що якщо викону-
ється порядковий закон великих чисел (3), то
sup
n>1
‖Xn‖
n
1
p
6 2 sup
n>1
‖Sn‖
n
1
p
6 2
∥∥∥∥ sup
n>1
|Sn|
n
1
p
∥∥∥∥ <∞ м. н.
Легко перевiрити, що з умови
sup
n>1
‖Xn‖
n
1
p
<∞ м. н.
випливає E‖X‖p <∞.
Залишилося встановити зворотну iмплiкацiю iii) ⇒ ii).
Сепарабельна σ-повна банахова ґратка порядково iзометрична деякому банахо-
вому iдеальному простору (БIП). Оскiльки q-вгнута банахова ґратка звичайно буде
σ-повною, то без обмеження загальностi можна вважати, що B — сепарабельний
q-вгнутий БIП, заданий на деякому вимiрному просторi (T,Λ, µ), µ(T ) = 1 (див.
[4, 5]).
Для такого простору умови
µ
(
t ∈ T : lim
n→∞
xn(t) = x(t)
)
= 1, (5)
iснує y = (y(t), t ∈ T ) ∈ B такий, що
µ(t ∈ T : |xn(t)| 6 y(t)) = 1, (6)
достатнi для o-збiжностi послiдовностi (xn) до x [7].
Нехай
Xn = (Xn(t), t ∈ T ), Sn = (Sn(t), t ∈ T ),
τ =
∥∥∥∥sup
n>1
|Sn|
n
1
p
∥∥∥∥ .
Щоб встановити умови (5), (6), достатньо показати, що
µ
(
t ∈ T : lim
n→∞
Sn(t)
n
1
p
= 0
)
= 1 м. н., (7)
τ <∞ м. н. (8)
Спочатку доведемо оцiнку (8). При цьому скористаємось методом iз роботи [6].
Припустимо спочатку, що X — симетричний в. е. Тодi можна вважати, що X =
= εX̂, де X̂ i ε незалежнi, X̂ — копiя X, ε — симетрична в. в. Бернуллi.
Нехай (Xn), (X̂n), (εn) — послiдовностi незалежних копiйX, X̂ та ε вiдповiдно.
Покладемо
X̄n = X̂nI(‖X̂n‖ 6 n
1
p ), X̃n = X̂nI(‖X̂n‖ > n
1
p ),
S̄n =
n∑
i=1
εiX̄i, S̃n =
n∑
i=1
εiX̃i.
Зрозумiло, що Xn = εn(X̄n + X̃n) i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1590 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
τ 6
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥sup
n>1
|S̃n|
n
1
p
∥∥∥∥∥ м. н. (9)
Вiдомо [8, с. 278], що з умови (1) випливає обмеженiсть ряду∑
n>1
P(‖Xn‖ > n
1
p ) <∞ .
За лемою Бореля – Кантеллi це означає, що м. н. лише скiнченне число в. е. X̃n
вiдмiнне вiд 0, тобто ∥∥∥∥∥sup
n>1
|S̃n|
n
1
p
∥∥∥∥∥ <∞ м. н.
Оцiнка (8) буде правильною, якщо ми покажемо, що перший доданок у правiй
частинi нерiвностi (9) є обмеженим. Для цього достатньо показати, що
EX̂
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥q <∞ м. н., (10)
де через EX̂(ξ) позначено математичне сподiвання в. в. ξ при фiксованiй послi-
довностi (X̂n).
При доведеннi нерiвностi (10) використаємо двi оцiнки з наступних лем.
Лема 1 [9]. НехайB — сепарабельний q-вгнутий, 1 6 q <∞, банахiв iдеальний
простiр, Y = (Y (t), t ∈ T ) — випадковий елемент iз значеннями в B. Тодi
(E‖Y ‖q)1/q 6 D(q)‖(E|Y (t)|q)1/q‖.
Лема 2. Нехай (ai) — послiдовнiсть дiйсних чисел, α > 0. Тодi
max
16k6n
1
kα
∣∣∣∣∣
k∑
i=1
ai
∣∣∣∣∣ 6 2 max
16k6n
∣∣∣∣∣
k∑
i=1
ai
iα
∣∣∣∣∣.
Лема 2 — окремий випадок вiдомої нерiвностi (див. роботи [1, 10]).
Iз лем 1, 2 маємо(
EX̂
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥q)1/q
6 D(q)
∥∥∥∥∥
(
EX̂ sup
n>1
∣∣∣∣ S̄n(t)
n
1
p
∣∣∣∣q)1/q
∥∥∥∥∥ 6
6 2D(q)
∥∥∥∥∥∥
(
EX̂ sup
n>1
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
εiX̄i(t)
i
1
p
∣∣∣∣∣
q)1/q
∥∥∥∥∥∥ . (11)
Далi скористаємось нерiвностями Левi [2, c. 48] та Хiнчина [11, c. 251] для симет-
ричних в. в. Бернуллi(
EX̂ sup
n>1
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
εiX̄i(t)
i
1
p
∣∣∣∣∣
q)1/q
6
(
2EX̂
∣∣∣∣∣
∞∑
n=1
εnX̄n(t)
n
1
p
∣∣∣∣∣
q)1/q
6
6 Cq
( ∞∑
n=1
∣∣∣∣X̄n(t)
n
1
p
∣∣∣∣2
)1/2
. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА 1591
Оскiльки при p′ 6 2 у банаховiй ґратцi виконується нерiвнiсть(
n∑
i=1
|xi|2
)1/2
6
(
n∑
i=1
|xi|p
′
)1/p′
,
то, враховуючи (11) та (12), одержуємо
(
EX̂
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥q)1/q
6 C(B)
( ∞∑
n=1
‖X̄n‖p
′
n
p′
p
)1/p′
. (13)
Залишилося показати, що збiгається ряд у правiй частинi нерiвностi (13). Маємо
∞∑
n=1
E‖X̄n‖p
′
n
p′
p
=
∞∑
n=1
1
n
p′
p
∞∫
0
P(‖X̄n‖p
′
> t)dt =
=
∞∑
n=1
1
n
p′
p
n
p′
p∫
0
P(‖Xn‖p
′
I(‖Xn‖ 6 n
1
p ) > t)dt 6
6
∞∑
n=1
1
n
p′
p
n
p′
p∫
0
P(‖X‖p
′
> t)dt =
∞∫
0
P(‖X‖p
′
> t)βp(t)dt, (14)
де βp(t) =
∑
n
p′
p >t
1
n
p′
p
.
Оскiльки при p′ > p > 1 i t→∞
∑
n>t
1
n
p′
p
∼
p′
p
− 1
t
p′
p −1
,
то
βp(t) ∼
p′
p
− 1
t
1− p
p′
.
Вiдповiдно скiнченнiсть останнього iнтеграла в (14) еквiвалентна умовi
∞∫
0
P(‖X‖p
′
> t)t
p
p′−1dt <∞. (15)
Пiдставляючи у вiдому рiвнiсть [8, с. 178]
E|ξ|α = α
∞∫
0
P(|ξ| > t)tα−1dt,
α =
p
p′
, ξ = ‖X‖p′ , одержуємо, що умова (15) еквiвалентна умовi (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1592 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
Дiйсно,
p
p′
∞∫
0
P(‖X‖p
′
> t)t
p
p′−1dt = E(‖X‖p
′
)
p
p′ = E‖X‖p <∞.
Оскiльки можна вважати, що 1 6 p < p′ 6 2 6 q <∞, то з (13) – (15) маємо
E
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥p
′
6 C(B)E‖X‖p. (16)
Отже, оцiнка (8) є правильною.
Залишилося довести рiвнiсть (7).
Для порядково обмеженої послiдовностi (xn) елементiв σ-повної банахової
ґратки верхню границю можна визначити рiвнiстю (див. [12, с. 504])
lim sup
n→∞
xn = inf
m
( sup
n>m
xn) .
В умовах теореми 1 простiр B буде σ-повною банаховою ґраткою. А згiдно з
оцiнкою (8) (|Sn|/n
1
p ) буде порядково обмеженою послiдовнiстю. Тому в B iснує
випадковий елемент Q:
Q = lim sup
n→∞
|Sn|
n
1
p
.
Зрозумiло, що умова (7) випливатиме з рiвностi
‖Q‖ = 0 м. н. (17)
Покажемо, що вона справдi виконується.
Iз оцiнок (14), (15) випливає збiжнiсть ряду
∑∞
n=1
E‖X̄n‖p
′
n
p′
p
. Тому для будь-
якого ε > 0 iснує n0 таке, що
∑
n>n0
E‖X̄n‖p
′
n
p′
p
< εp
′
. (18)
Покладемо
S̄n1 =
n∑
i=1
εiX̄i1, S̄n2 =
n∑
i=1
εiX̄i2 ,
де
X̄i1 =
{
X̄i при i 6 n0,
0 при i > n0,
а X̄i2 =
{
0 при i 6 n0,
X̄i при i > n0.
Зрозумiло, що Sn = S̄n1 + S̄n2 + S̃n i
Q 6 lim sup
n→∞
1
n1/p
|S̄n1|+ sup
n>1
1
n1/p
|S̄n2|+ lim sup
n→∞
1
n1/p
|S̃n| м. н. (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА 1593
Як було зазначено вище, послiдовнiсть (X̃n) м. н. мiстить лише скiнченне число
ненульових членiв, а послiдовнiсть (X̄n) мiстить n0 ненульових елементiв, тому
lim sup
n→∞
1
n1/p
|S̃n| = lim sup
n→∞
1
n1/p
|S̄n1| = 0 м. н. (20)
Неважко побачити, що оцiнка (13) залишається правильною при замiнi послiдов-
ностi (S̄n) на (S̄n2). Тому
(
EX̂
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n2|
n
1
p
∥∥∥∥q)1/q
6 C(B)
( ∞∑
n=1
‖X̄n2‖p
′
n
p′
p
)1/p′
= C(B)
( ∞∑
n>n0
‖X̄n‖p
′
n
p′
p
)1/p′
.
Звiдси
E
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n2|
n
1
p
∥∥∥∥ 6 E
(
EX̂
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n2|
n
1
p
∥∥∥∥q)1/q
6 C(B)
( ∞∑
n>n0
E‖X̄n‖p
′
n
p′
p
)1/p′
. (21)
Збираючи разом оцiнки (18) – (21), маємо
E‖Q‖ < C(B)ε ,
де C(B) — абсолютна константа, яка залежить лише вiд B. Внаслiдок довiльностi
ε звiдси випливає (17).
Таким чином, iмплiкацiю iii)⇒ ii) теореми 1 встановлено для симетричних в. е.
Загальний випадок зведемо до симетричного, використавши стандартну проце-
дуру симетризацiї. Для цього нам потрiбнi два допомiжних твердження.
Лема 3 (Хофман – Йоргенсен). Нехай (Yn) — послiдовнiсть незалежних випад-
кових елементiв у сепарабельному банаховому просторi B, ряд
∑
n>1
Yn збiга-
ється в B м. н. i 0 < r <∞. Тодi еквiвалентнi умови:
i) E supn ‖Yn‖r <∞;
ii) E‖
∑
n>1
Yn‖r <∞
(див. [11, с. 231], наслiдок 2).
Лема 4. Нехай (ξi) — послiдовнiсть незалежних копiй випадкової величини ξ
в R, 0 < r < p <∞. Тодi
E sup
n>1
∣∣∣∣ ξnn1/p
∣∣∣∣r < p
p− r
(E|ξ|p)r/p.
Ця лема мiститься у твердженнi 1 роботи [13].
Нехай EXn = 0. Так само, як i в симетричному випадку, основний момент
доведення — встановлення оцiнки типу (16).
Позначимо
X̄n = XnI(‖Xn‖ 6 n
1
p ),
X̄(s)
n = XnI(‖Xn‖ 6 n
1
p )−X ′nI(‖X ′n‖ 6 n
1
p ),
S̄(s)
n =
n∑
i=1
X̄
(s)
i , S̄n =
n∑
i=1
X̄i,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1594 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
(X ′n) — незалежна копiя послiдовностi (Xn).
Далi скористаємось оцiнкою (16)) у симетричному випадку та вiдомою момент-
ною оцiнкою в банаховому просторi ([11, c. 222], лема 3.4). Маємо
(
E
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n1/p
∥∥∥∥p
′) 1
p′
6 4+
E
∥∥∥∥∥sup
n>1
| ¯
S
(s)
n |
n1/p
∥∥∥∥∥
p′
1
p′
6 4+ C(B)(E‖X‖p)
1
p′ ,
(22)
де
4 =
∥∥∥∥∥∥sup
n>1
∣∣∣∣∣∣
∑n
k=1
EXkI(‖Xk‖ < k1/p)
n1/p
∣∣∣∣∣∣
∥∥∥∥∥∥ .
Оцiнимо величину 4 зверху. Iз леми 2 отримуємо
4 6 2
∥∥∥∥∥sup
n>1
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
EXkI(‖Xk‖ > k1/p)
k1/p
∣∣∣∣∣
∥∥∥∥∥ 6 2
∥∥∥∥∥
∞∑
k=1
E|Xk|I(‖Xk‖ > k1/p)
k1/p
∥∥∥∥∥ 6
6 2E
∥∥∥∥∥
∞∑
k=1
|Xk|I(‖Xk‖ > k1/p)
k1/p
∥∥∥∥∥ . (23)
Останнiй ряд в оцiнцi (23) мiстить лише скiнченне число вiдмiнних вiд нуля
доданкiв, а отже, збiгається м. н. Тодi за лемою 3 права частина в (23) буде обмеже-
ною, якщо
E sup
n>1
‖Xn‖
n1/p
I(‖Xn‖ > n1/p) <∞. (24)
Але остання нерiвнiсть в умовах теореми безпосередньо випливає iз леми 4 (слiд
покласти r = 1, ξn = ‖Xn‖)
E sup
n>1
‖Xn‖
n1/p
6
p
p− 1
(E‖X‖p)1/p <∞
i, звичайно, (24) також виконується.
Звiдси та з (22) – (24) випливає обмеженiсть величини
E
∥∥∥∥sup
n>1
|S̄n|
n
1
p
∥∥∥∥p
′
.
Подальший перехiд до оцiнок (6), (7) в основному повторює симетричний випадок.
Лему доведено.
Доведення теореми 2 легко випливає з наведених вище мiркувань, тому ми його
не наводимо.
3. o-ЗВЧ для схеми максимуму. Для послiдовностi (Xi) незалежних копiй
випадкового елемента (в. е.) X зi значеннями у банаховiй ґратцi B покладемо
Zn = max16i6n |Xi|. Тодi можна розглянути порядковий закон великих чисел типу
Марцинкевича – Зиґмунда для схеми максимуму
o− lim
n→∞
Zn
n
1
p
= 0 м. н. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА 1595
Простi достатнi умови для виконання o-ЗВЧ Марцинкевича – Зиґмунда для схе-
ми максимуму знайдено в роботi [13]:
для сепарабельної q-вгнутої банахової ґратки, 1 6 q < ∞, 0 < p < 2, i при
1 6 p < 2, EX = 0 будь-яка з умов:
i) якщо p < q i iснує Sq(X),
ii) якщо p = q, φ(t) = |t|q ln(1 + |t|q) i iснує Sφ(X),
iii) якщо p > q i iснує Sp(X),
є достатньою для виконання o-ЗВЧ (25) (де Sq(X) та Sφ(X) — середнє вiдхилення
степеня q та вiдповiдно середнє ψ-вiдхилення в. е. X, див. [13]).
Метод, наведений вище, дозволив одержати критерiй для виконання o-ЗВЧ (25)
в банахових ґратках навiть без умови q-вгнутостi.
Теорема 3. Нехай B — сепарабельна σ-повна p′-опукла банахова ґратка,
1 6 p < p′ < ∞, X — випадковий елемент iз значеннями в B. Тодi умова (1)
еквiвалентна рiвностi (25).
Доведення теореми 3 фактично мiститься у доведеннi теореми 1, q-вгнутiсть
банахової ґраткиB використовується лише в оцiнках (11) та (12). Вiдповiдна оцiнка
для теореми 3 матиме вигляд
sup
n>1
∣∣∣∣ X̄n
n1/p
∣∣∣∣ 6
( ∞∑
n=1
∣∣∣∣ X̄n
n1/p
∣∣∣∣p
′)1/p′
.
Ця оцiнка буде правильною для довiльної банахової ґратки. Далi необхiдно повто-
рити мiркування з доведення теореми 1.
4. Приклад. Нехай 1 6 p < 2. Побудуємо приклад в. е. X iз значеннями у
просторi `p (вiн має тип p, але не буде p′-опуклим при p′ > p), який при будь-
якому m > 0 задовольняє нерiвнiсть
E‖X‖m <∞ (26)
i разом з тим для нього ∥∥∥∥sup
n>1
∣∣∣∣Xn
n
1
p
∣∣∣∣∥∥∥∥
lp
=∞ м. н., (27)
де (Xn) — послiдовнiсть незалежних копiй в. е.X. Iз рiвностi (27) випливає, що для
в. е. X не виконується порядковий закон великих чисел Марцинкевича – Зиґмун-
да (3).
Наведений нижче приклад є невеликою модифiкацiєю прикладу iз роботи [6].
Покладемо L(t) = ln t при t > 2 i L(t) = 1 при t 6 2,
θ =
∑
k>1
1
kL2(k)
, pk =
1
θkL2(k)
, k > 1.
Вiдповiдно
∑
k>1
pk = 1. Нехай (ξk) — послiдовнiсть н. в. в., для яких
P(ξk = +1) = P(ξk = −1) = pk/2, P(ξk = 0) = 1− pk.
Тодi очевидно, що в. е. X = (ξk) м. н. лежить у просторi lp i задовольняє умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
1596 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
E|ξk|p = pk, E ‖X‖plp =
∑
k>1
pk = 1. (28)
Спочатку покажемо, що в. е. X задовольняє умову (26). Використаємо рiвно-
мiрну по n оцiнку для сум обмежених н. в. в. [14, c. 22].
Лема 5 [14]. Нехай η1, . . . , ηn — послiдовнiсть незалежних випадкових вели-
чин, Sn =
∑n
i=1
ηi i
|ηi| 6 1 м. н., i = 1, 2, . . . , n.
Якщо iснує таке a, що
P(|Sn| > a) 6
1
8e
,
то для m > 0
E|Sn|m 6 Lm(a+ 1)m.
Iз рiвностi (28) та нерiвностi Маркова при a = 8e одержуємо
P(‖X‖plp > a) 6
E ‖X‖plp
a
=
1
8e
.
Отже, згiдно з лемою 3 для будь-якого m > 0 в. е. X задовольняє умову (26).
Залишилось перевiрити рiвнiсть (27). Нехай (ξnk) — незалежнi копiї послiдов-
ностi (ξk). Запишемо норму з рiвностi (27) у виглядi
∥∥∥∥sup
n>1
∣∣∣∣Xn
n
1
p
∣∣∣∣∥∥∥∥
lp
=
∑
k>1
sup
n>1
∣∣∣∣ξnk
n
1
p
∣∣∣∣p
1
p
=
∑
k>1
sup
n>1
|ξnk|p
n
1
p
. (29)
Степiнь 1/p не впливає на збiжнiсть ряду (29). Оскiльки |ξnk|p = |ξnk| 6 1, то ряд∑
k>1
sup
n>1
|ξnk|p
n
збiгається тодi i лише тодi, коли збiгається ряд∑
k>1
E sup
n>1
|ξnk|
n
<∞.
Але в роботi [6] було доведено, що останнiй ряд розбiгається. Це i означає справед-
ливiсть рiвностi (27).
Таким чином, моментнi умови типу (26) не достатнi для справедливостi по-
рядкового закону великих чисел Марцинкевича – Зиґмунда (3) в банахових ґратках
типу p.
1. Marcinkiewicz J., Zygmund A. Sur les fonctions indépendantes // Fund. math. – 1937. – 29. – P. 60 – 90.
2. Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach spaces. – Berlin: Springer, 1991. – 480 p.
3. Мацак I. К., Плiчко А. М. Про закон великих чисел Марцинкевича – Зиґмунда у банахових ґратках
// Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 4. – С. 504 – 513.
4. Lindenstraus J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. – Berlin etc.: Springer, 1979. – 243 p.
5. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1984. – 752 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
ПОРЯДКОВИЙ ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ТИПУ МАРЦИНКЕВИЧА – ЗИҐМУНДА 1597
6. Мацак I. К. Зауваження до порядкового закону великих чисел // Теорiя ймовiрностей та мат.
статистика. – 2005. – Вип. 72. – С. 84 – 92.
7. Бухвалов А. В., Векслер А. И., Гейлер В. А. Нормированные решетки // Итоги науки. Мат. анализ. –
1980. – Вып. 18. – С. 125 – 184.
8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир, 1984. – Т. 2. – 752 с.
9. Мацак I. К., Плiчко А. М. Про максимуми незалежних випадкових елементiв у функцiйнiй банаховiй
гратцi // Теорiя ймовiрностей. та мат. статистика. – 1999. – Вип. 61. – С. 105–116.
10. Wellner J. A. A martingale inequality for the empirical process // Ann. Probab. – 1977. – № 2. –
P. 303 – 308.
11. Ваxания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаxовыx про-
странстваx. – М.: Наука, 1985. – 368 с.
12. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 с.
13. Мацак I. К. Оцiнки моментiв супремуму нормованих сум незалежних випадкових величин // Теорiя
ймовiрностей. та мат. статистика. – 2002. – Вип. 67. – С. 104 – 116.
14. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями. – М.: Наука, 1964. – 278 с.
Одержано 11.03.10,
пiсля доопрацювання — 28.09.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 12
|