Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями
Нехай X — деяга підмножина множини натуральних чисел. Підгрупа H називається X-субнормальною підгрупою групи G, якщо існує ланцюжок підгруп H=H0⊆H1⊆…⊆Hn=G такий, що |Hi:Hi−1|∈X для всіх i. У даній роботі встановлено розв'язність i r-розв'язність скінченної групи G=AB з деякими обмеженнями...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166309 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями / В.Н. Тютянов, В.Н. Княгина // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1431–1435. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166309 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1663092020-02-19T01:27:54Z Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями Тютянов, В.Н. Княгина, В.Н. Короткі повідомлення Нехай X — деяга підмножина множини натуральних чисел. Підгрупа H називається X-субнормальною підгрупою групи G, якщо існує ланцюжок підгруп H=H0⊆H1⊆…⊆Hn=G такий, що |Hi:Hi−1|∈X для всіх i. У даній роботі встановлено розв'язність i r-розв'язність скінченної групи G=AB з деякими обмеженнями на підгрупи A i B , а також на множину X. Let X be a subset of the set of positive integers. A subgroup H of a group G is called X-subnormal in G if there exists a chain of subgroups H=H0⊆H1⊆…⊆Hn=G such that |Hi:Hi−1|∈X for all i. We study the solubility and r -solubility of a finite group G=AB with some restrictions imposed on the subgroups A and B and on the set X . Нехай X — деяка підмножина множини натуральних чисел. Підгрупа H називається X-субнормальною підгрупою групи G, якщо існує ланцюжок підгруп H=H0⊆H1⊆…⊆Hn=G такий, що |Hi:Hi−1|∈X для всіх i. У даній роботі встановлено розв'язність i r-розв'язність скінченної групи G=AB з деякими обмеженнями на підгрупи A i B , а також на множину X. 2014 Article Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями / В.Н. Тютянов, В.Н. Княгина // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1431–1435. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166309 512.542 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Тютянов, В.Н. Княгина, В.Н. Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями Український математичний журнал |
| description |
Нехай X — деяга підмножина множини натуральних чисел. Підгрупа H називається X-субнормальною підгрупою групи G, якщо існує ланцюжок підгруп H=H0⊆H1⊆…⊆Hn=G такий, що |Hi:Hi−1|∈X для всіх i. У даній роботі встановлено розв'язність i r-розв'язність скінченної групи G=AB з деякими обмеженнями на підгрупи A i B , а також на множину X. |
| format |
Article |
| author |
Тютянов, В.Н. Княгина, В.Н. |
| author_facet |
Тютянов, В.Н. Княгина, В.Н. |
| author_sort |
Тютянов, В.Н. |
| title |
Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями |
| title_short |
Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями |
| title_full |
Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями |
| title_fullStr |
Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями |
| title_full_unstemmed |
Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями |
| title_sort |
факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166309 |
| citation_txt |
Факторизации конечных групп r-разрешимыми подгруппами с заданными вложениями / В.Н. Тютянов, В.Н. Княгина // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1431–1435. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT tûtânovvn faktorizaciikonečnyhgrupprrazrešimymipodgruppamiszadannymivloženiâmi AT knâginavn faktorizaciikonečnyhgrupprrazrešimymipodgruppamiszadannymivloženiâmi |
| first_indexed |
2025-07-14T21:08:17Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:08:17Z |
| _version_ |
1837658063778086912 |
| fulltext |
УДК 512.542
В. Н. Тютянов (Гомел. фил. Междунар. ун-та „МИТСО”, Беларусь),
В. Н. Княгина (Гос. учреждение образования „Гомел. инж. ин-т” МЧС Республики Беларусь)
ФАКТОРИЗАЦИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП r-РАЗРЕШИМЫМИ ПОДГРУППАМИ
С ЗАДАННЫМИ ВЛОЖЕНИЯМИ
Let X be a subset of the set of positive integers. A subgroup H of a group G is called X-subnormal in G if there exists a
chain of subgroups H = H0 ⊆ H1 ⊆ . . . ⊆ Hn = G such that |Hi : Hi−1| ∈ X for all i. We study the solubility and
r-solubility of a finite group G = AB with some restrictions imposed on subgroups A and B and on the set X.
Нехай X — деякa пiдмножина множини натуральних чисел. Пiдгрупа H називається X-субнормальною пiдгрупою
групи G, якщо iснує ланцюжок пiдгруп H = H0 ⊆ H1 ⊆ . . . ⊆ Hn = G такий, що |Hi : Hi−1| ∈ X для всiх
i. У данiй роботi встановлено розв’язнiсть i r-розв’язнiсть скiнченної групи G = AB з деякими обмеженнями на
пiдгрупи A i B, а також на множину X.
Введение. Будем рассматривать только конечные группы. Пусть N и P — множества всех
натуральных и всех простых чисел соответственно. Для фиксированных чисел t ∈ N и r ∈ P
положим
Pt = {pk | p ∈ P, k ∈ {0} ∪ N, k ≤ t},
Ptr = {pk | p ∈ P \ {r}, k ∈ {0} ∪ N} ∪ {rk | k ∈ {0} ∪ N, k ≤ t},
P∞ = {pk | p ∈ P, k ∈ {0} ∪ N},
L = {2, 4} ∪ {2n− 1|n ∈ N}.
Всюду в дальнейшем будем считать, что X — одно из введенных выше множеств.
ПодгруппаH называется X-субнормальной подгруппой группыG, если существует цепочка
подгрупп
H = H0 ⊆ H1 ⊆ . . . ⊆ Hn = G
такая, что |Hi : Hi−1| ∈ X для всех i, при этом используется обозначение H Xsn G. Данную
цепочку будем называть X-субнормальной цепочкой для подгруппы H .
Если X = P, получаем понятие P-субнормальности, введенное в работе [1], в которой
изучены свойства конечных групп с P-субнормальными силовскими подгруппами. В работе [2]
описаны группы с P-субнормальными 2-максимальными подгруппами и группы с P-субнор-
мальными примарными циклическими подгруппами.
Если X = P2, получаем понятие P2-субнормальности. В [3] изучались конечные факторизу-
емые группы G = AB при условии, что A и B P2-субнормальны в G. В частности, в теореме 1
этой работы, без использования классификации конечных простых групп, установлена разре-
шимость группы G при условии, что A и B разрешимы.
В данной работе устанавливаются разрешимость и r-разрешимость конечной группы G =
= AB с Ptr-, P∞- и L-субнормальными разрешимыми или r-разрешимыми подгруппамиA иB.
c© В. Н. ТЮТЯНОВ, В. Н. КНЯГИНА, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10 1431
1432 В. Н. ТЮТЯНОВ, В. Н. КНЯГИНА
При доказательстве теорем используются результаты Л. С. Казарина [4] и Р. Гуральника [5],
полученные на основе классификации конечных простых групп.
Доказаны следующие три теоремы.
Теорема 1. Пусть A и B — L-субнормальные подгруппы конечной группы G и G = AB.
Если A и B разрешимы, то G разрешима.
Теорема 2. Пусть G — конечная группа и r ∈ π(G) \ {2, 3, 7}. Если A и B — P∞-суб-
нормальные r-разрешимые подгруппы группы G и G = AB, то G является r-разрешимой
группой.
Теорема 3. Пусть G — конечная группа и r ∈ π(G). Если A и B — P2
2-субнормальные
r-разрешимые подгруппы G и G = AB, то G является r-разрешимой группой.
Пример. Простая неабелева группа PSL2(7) является произведением P3-субнормальной
подгруппы [Z7]Z3 индекса 23 и P-субнормальной симметрической подгруппы S4. Однако
PSL2(7) не является r-разрешимой для всех r ∈ {2, 3, 7}. Поэтому в теореме 1 множество
L не может содержать 23, в теореме 2 условие r ∈ π(G) \ {2, 3, 7} отбросить нельзя, а в
теореме 3 условие P2
2-субнормальности нельзя заменить условием P3
2-субнормальности.
1. Вспомогательные результаты. Принятые обозначения стандартны, их можно найти в
[6]. Через π(G) обозначается множество всех простых делителей порядка конечной группы G;
Sylp(G) — множество всех силовских p-подгрупп группы G. Запись G = [A]B означает, что
группа G является полупрямым произведением подгрупп A и B с нормальной подгруппой A.
Лемма 1 ([4], теорема 3). Конечная группа G, представимая в виде произведения двух сво-
их разрешимых подгрупп нечетных индексов, разрешима.
Лемма 2 ([5], теорема 1). Пусть G — простая неабелева группа, H < G и |G : H| = pa,
где p — простое число. Тогда имеет место одно из следующих утверждений:
(a) G ' An, H ' An−1, где n = pa;
(b) G ' PSLr(q), H — параболическая подгруппа в G,
|G : H| = qr − 1
q − 1
= pa и r — простое число;
(c) G ' PSL2(11), H ' A5;
(d) G 'M23, H 'M22 или G 'M11, H 'M10;
(e) G ' PSU4(2) ' PSp4(3), H — параболическая подгруппа индекса 27.
В частности, только группа PSL2(7) имеет подгруппы двух различных примарных индек-
сов.
Следующие две леммы известны для конечных групп с P-субнормальными подгруппами
[1] (леммы 3.1, 4.1). Для групп с Pt-субнормальными подгруппами они доказаны в [3] (леммы 6
и 7). Доказательства для групп с P∞-, Ptr- и L-субнормальными подгруппами практически
дублируют рассуждения из [3], поэтому мы их не приводим.
Лемма 3. Пусть A и B — X-субнормальные подгруппы конечной группы G = AB. Пусть
существует цепочка
A = A0 ⊂ A1 ⊂ . . . ⊂ An = G
такая, что |Ai : Ai−1| ∈ X для всех i. Тогда пересечение Ak ∩ B является X-субнормальной
подгруппой в Ak для всех k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
ФАКТОРИЗАЦИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП r-РАЗРЕШИМЫМИ ПОДГРУППАМИ . . . 1433
Лемма 4. ПустьH — подгруппа конечной группыG, N — нормальная подгруппа вG. Тогда
справедливы следующие утверждения:
1) если H Xsn G, то (H ∩N) Xsn N и HN/N Xsn G/N ;
2) если N ⊆ H и H/N Xsn G/N, то H Xsn G;
3) если H ⊆ K ⊆ G, H Xsn K, K Xsn G, то H Xsn G;
4) если H Xsn G, то Hg Xsn G для любого g ∈ G.
Лемма 5. Если X ≤ Y ≤ G и N — субнормальная подгруппа в конечной группе G, то
|Y ∩N : X ∩N | делит |Y : X|.
Доказательство. По условию существует цепочка подгрупп
G = N0 ≥ N1 ≥ . . . ≥ Nm = N,
в которой подгруппа Ni+1 нормальна в Ni для всех i. Поскольку N1 — нормальная подгруппа
группы G, то XN ⊆ Y N ⊆ G и
X/X ∩N1 ' XN1/N1 ⊆ Y N1/N1 ' Y/Y ∩N1.
По теореме Лагранжа существует натуральное число k такое, что
k · |X|
|X ∩N1|
=
|Y |
|Y ∩N1|
, k|Y ∩N1 : X ∩N1| = |Y : X|.
Таким образом, если N = N1 нормальна в G, лемма справедлива. Теперь можно применить
индукцию к подгруппам X ∩ N1 ⊆ Y ∩ N1 и субнормальной в Y ∩ N1 подгруппе Y ∩ N . По
индукции |Y ∩N : X ∩N | делит |Y ∩N1 : X ∩N1|, поэтому |Y ∩N : X ∩N | делит |Y : X|.
Лемма доказана.
2. Доказательство основных результатов. Доказательство теоремы 1. Пусть A и
B — L-субнормальные разрешимые подгруппы группы G и G = AB. Докажем, что группа G
разрешима. Предположим, что утверждение неверно и группа G — контрпример минимального
порядка. Докажем, что в условиях теоремы подгруппы A и B можно считать максимальными
подгруппами группы G.
По условию существуют цепочки
A = A0 ⊂ A1 ⊂ . . . ⊂ An−1 ⊂ An = G, |Ai : Ai−1| ∈ L, i = 1, . . . , n,
B = B0 ⊂ B1 ⊂ . . . ⊂ Bm−1 ⊂ Bm = G, |Bj : Bj−1| ∈ L, j = 1, . . . ,m.
Подгруппа A L-субнормальна в An−1. Поскольку |An−1| < |G|, то по индукции An−1
разрешима и |G : An−1| ∈ L. Аналогично, по индукции Bm−1 разрешима и |G : Bm−1| ∈ L. По
тождеству Дедекинда An−1 = A(An−1 ∩B), Bm−1 = B(Bm−1 ∩A). Ясно, что G = An−1Bm−1
и |G : An−1| ∈ L, |G : Bm−1| ∈ L. Поэтому без ущерба для доказательства можно считать
подгруппы A и B максимальными в группе G. Из определения L-субнормальности следует,
что каждый из индексов подгрупп A и B равен либо 2, либо 4, либо является нечетным числом.
Если индексы подгрупп A и B — нечетные числа, то по лемме 1 группа G разрешима. Если
индекс хотя бы одной из подгрупп A или B равен 2 или 4, то G также разрешима.
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Пусть A и B — некоторые r-разрешимые P∞ -субнормаль-
ные подгруппы конечной группы G = AB, r ∈ π(G) \ {2, 3, 7}. Предположим, что теорема
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1434 В. Н. ТЮТЯНОВ, В. Н. КНЯГИНА
2 неверна и G — контрпример наименьшего порядка. Как и при доказательстве теоремы 1,
можно показать, что подгруппы A и B следует считать максимальными в G. Из определения
P∞-субнормальности вытекает, что |G : A| = pl, |G : B| = qs, где {p, q} ⊆ π(G).
Пусть сначала p 6= q. Если G — простая неабелева группа, то по лемме 2 она изоморф-
на PSL2(7). Следовательно, G — r′-группа. Это противоречит тому, что G — минимальный
контрпример. Поэтому в группе G имеется собственная минимальная нормальная подгруппа
N . В силу леммы 4 условия теоремы наследуются фактор-группами группы G, поэтому N =
= N1×. . .×Nk, гдеNi — изоморфные простые неабелевы группы иN не является r-разрешимой
группой. Поскольку N не r-разрешима, то N * A и N * B. Так как A и B максимальны в G,
то G = AN = BN . Из равенств |G : A| = pl, |G : B| = qs следует, что G = AP = BQ для
P ∈ Sylp(G), Q ∈ Sylq(G). В силу приведенных факторизаций имеем
|A||N |
|A ∩N |
=
|A||P |
|A ∩ P |
или
|N |
|A ∩N |
=
|P |
|A ∩ P |
= pl.
Следовательно, N имеет подгруппу индекса pl. Точно так же N имеет подгруппу индекса qs.
Отсюда легко заключить, что N1 имеет подгруппы примарных индексов pα и qβ , где α ≥ 1,
β ≥ 1. Из леммы 2 следует, что N1 ' PSL2(7). Поэтому N — r′-группа, что невозможно.
Следовательно, p = q. Пусть сначала G — простая неабелева группа. Поскольку |G| = |A||B|
|A ∩B|
,
то
|B|
|A ∩B|
= |G : A| = pl и |B| = pl|A ∩B|.
Точно так же |A| = ps|A ∩ B|. Отсюда следует, что |G : A ∩ B| = pl+s. Таким образом,
G содержит подгруппы индексов pl и pl+s. Последнее невозможно в силу леммы 2.
Пусть N — минимальная нормальная подгруппа в G. Тогда N не является r-разрешимой
и N = N1 × . . . × Nk, где Ni — изоморфные простые неабелевы группы. Рассмотрим ряд
A ∩B < A < G, где |G : A| = pl и |A : A ∩B| = ps. Тогда N ∩A ∩B ⊆ N ∩A < N ∩G = N .
По лемме 5 |N : N ∩ A| = pm, где m ≥ 1, и |N ∩ A : N ∩ A ∩ B| = pk, где k ≥ 0. Если
k > 0, то |N : N ∩ A ∩ B| = pm+k > pm и N содержит две подгруппы различных примарных
индексов pm и pm+k. Поскольку N = N1 × . . . × Nk, то N1 также имеет две собственные
подгруппы различных примарных индексов pk1 и pk2 соответственно. Из леммы 2 следует, что
это невозможно. Поэтому N ∩A∩B = N ∩A. Так же можно показать, что N ∩A∩B = N ∩B, а
значит,N∩A = N∩B. Так какN∩A нормальна вA иN∩B нормальна вB, тоN∩A нормальна
в G. Группа N ∩ A r-разрешима, поэтому N ∩ A = 1 и G = [N ]A. Из условия |G : A| = pl
следует, что N — p-группа. Это противоречит тому, что N не является r-разрешимой.
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Пусть A и B — некоторые r-разрешимые P2
2 -субнормальные
подгруппы конечной группы G = AB, r ∈ π(G). Предположим, что теорема 3 неверна и G
— контрпример наименьшего порядка. Как и при доказательстве теоремы 1, можно получить,
что подгруппы A и B максимальны в G. Из определения P2
2-субнормальности следует, что
|G : A| = pl, |G : B| = qs, где {p, q} ⊆ π(G).
Пусть сначала p 6= q. Если G — простая неабелева группа, то по лемме 2 G ' PSL2(7).
Так как группа PSL2(7) не имеет двух P2
2-субнормальных r-разрешимых подгрупп индексов
pl и qs, приходим к противоречию.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
ФАКТОРИЗАЦИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП r-РАЗРЕШИМЫМИ ПОДГРУППАМИ . . . 1435
Пусть N — минимальная нормальная подгруппа в G. Тогда N не является r-разрешимой
и N = N1 × . . . × Nk, где Ni — изоморфные простые неабелевы группы. Поскольку N не
r-разрешима, то N * A и N * B. Из условия максимальности A и B в G следует, что
G = AN = BN . Так как |G : A| = pl, |G : B| = qs, то G = AP = BQ для P ∈ Sylp(G),
Q ∈ Sylq(G). Поэтому
|A||N |
|A ∩N |
=
|A||P |
|A ∩ P |
или
|N |
|A ∩N |
=
|P |
|A ∩ P |
= pl и |N : A ∩N | = pl.
Точно так же |N : B ∩N | = qs. Отметим, что по лемме 4 (A ∩N) P2
2sn N и (B ∩N) P2
2sn N .
Поскольку N = N1× . . .×Nk, то |N1 : A∩N1| = pα и |N1 : B ∩N1| = qβ для α ≥ 1, β ≥ 1. Из
леммы 2 следует, что N1 ' PSL2(7). По лемме 4 (A ∩N1) P2
2sn N1 и (B ∩N1) P2
2sn N1. Так
как N1 не является r-разрешимой группой, то r ∈ π(N1). Однако группа PSL2(7) не имеет
двух P2
2-субнормальных r-разрешимых подгрупп индексов pα и qβ . Пришли к противоречию.
Следовательно, p = q. Дословно повторяя соответствующие рассуждения из доказательства
теоремы 2, получаем противоречие с тем, что N не является r-разрешимой.
Теорема 3 доказана.
Следствие. Если A и B — P2
2- либо L-субнормальные разрешимые подгруппы конечной
группы G и G = AB, то G разрешима.
В статье [3] (п. 1 теоремы 1) без использования классификации конечных простых групп
установлена разрешимость группы, факторизуемой двумя своими разрешимыми P2-субнормаль-
ными подгруппами. Поскольку классы P2
2- и L-субнормальных подгрупп строго включает класс
P2-субнормальных подгрупп, данное следствие усиливает полученный в работе [3] результат.
1. Васильев А. Ф., Васильева Т. И., Тютянов В. Н. О конечных группах сверхразрешимого типа // Сиб. мат. журн. –
2012. – 53, №. 1. – С. 59 – 67.
2. Monakhov V. S., Kniahina V. N. Finite group with P-subnorml subgroups // Ric. mat. – 2013. – 62, №. 2. – P. 307 – 323.
3. Княгина В. Н., Монахов В. С. Конечные факторизуемые группы с разрешимыми P2 -субнормальными подгруп-
пами // Сиб. мат. журн. – 2013. – 54, № 1. – С. 77 – 85.
4. Казарин Л. С. Факторизации конечных групп разрешимыми подгруппами // Укр. мат. журн. – 1991. – 43,
№ 7-8. – С. 947 – 950.
5. Guralnick R. M. Subgroups of prime power index in a simple group // J. Algebra. – 1983. – 81. – P. 304 – 311.
6. Gorenstein D. Finite groups. – New York: Harper and Row, 1968.
Получено 17.12.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
|