Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения
Знайдено багатовимiрну область, у якій однозначно розв'язані зaqaчi Дiрiхле та Пуанкаре для хвильового рівняння.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166311 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения / С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1414–1419. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166311 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1663112020-02-19T01:27:35Z Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения Алдашев, С.А. Статті Знайдено багатовимiрну область, у якій однозначно розв'язані зaqaчi Дiрiхле та Пуанкаре для хвильового рівняння. We determine a many-dimensional domain in which the Dirichlet and Poincaré problems for the wave equation are uniquely solvable. 2014 Article Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения / С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1414–1419. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166311 517.956 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Алдашев, С.А. Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения Український математичний журнал |
| description |
Знайдено багатовимiрну область, у якій однозначно розв'язані зaqaчi Дiрiхле та Пуанкаре для хвильового рівняння. |
| format |
Article |
| author |
Алдашев, С.А. |
| author_facet |
Алдашев, С.А. |
| author_sort |
Алдашев, С.А. |
| title |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения |
| title_short |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения |
| title_full |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения |
| title_fullStr |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения |
| title_full_unstemmed |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения |
| title_sort |
корректность задач дирихле и пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166311 |
| citation_txt |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения / С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 10. — С. 1414–1419. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT aldaševsa korrektnostʹzadačdirihleipuankarevmnogomernojoblastidlâvolnovogouravneniâ |
| first_indexed |
2025-07-14T21:08:22Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:08:22Z |
| _version_ |
1837658069123727360 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.956
С. А. Алдашев (Актюб. ун-т, Актобе, Казахстан)
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ
В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
We find a many-dimensional domain in which the Dirichlet and Poincaré problems for the wave equation are uniquely
solvable.
Знайдено багатовимiрну область, у якiй однозначно розв’язнi задачi Дiрiхле та Пуанкаре для хвильового рiвняння.
В [1] было показано, что на плоскости одна из фундаментальных задач математической физики
— изучение поведения колеблющейся струны — некорректна случае, когда краевые условия
заданы на всей границе области. Как отмечено в [2, 3], задача Дирихле некорректна не только
для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4] показано, что
решение задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем эта задача
исследовалась методами функционального анализа [5], применение которых в приложениях
затруднено.
В пространстве [6, 7] получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для
строго гиперболических уравнений.
В [8 – 10] изучены задачи Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения,
где показана корректность этих задач, существенно зависящая от высоты рассматриваемой
цилиндрической области.
В данной работе найдена многомерная область внутри характеристического конуса, в кото-
рой однозначны разрешимы задачи Дирихле и Пуанкаре для волнового уравнения.
Пусть D — конечная область евклидова пространства Em+1 точек (x1, . . . , xm, t), огра-
ниченная при t > 0 конической поверхностью Γ : t = ϕ(r), ϕ(0) = ϕ(1) = 0, ϕ(r) ∈
∈ C1([0, 1]) ∩ C2((0, 1)), |ϕ′(r)| < 1, ϕ′(r) 6= 0 и плоскостью t = 0, где r = |x| — длина
вектора x = (x1, . . . , xm). Обозначим через S множество {t = 0, 0 < r < 1} точек из Em.
В области D рассмотрим многомерное волновое уравнение
∆xu− utt = 0, (1)
где ∆x — оператор Лапласа по переменным x1, . . . , xm, m ≥ 2.
В качестве многомерных задач Дирихле и Пуанкаре для уравнения (1) рассмотрим следу-
ющую задачу.
Задача 1. Найти в области D решение уравнения (1) из класса C(D̄) ∩ C2(D), удовлетво-
ряющее краевым условиям
u|S = τ(x), u |Γ= σ(x), (2)
или
c© С. А. АЛДАШЕВ, 2014
1414 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ . . . 1415
ut|S = ν(x), u|Γ = σ(x). (3)
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, . . . , xm, t к сферическим
r, θ1, . . . , θm−1, t, r ≥ 0, 0 ≤ θ1 < 2π, 0 ≤ θi ≤ π, i = 2, 3, . . . ,m− 1.
Пусть {Y k
n,m(θ)} — система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 ≤
≤ k ≤ kn, (m− 2)!n!kn = (n+m− 3)!(2n+m− 2), θ = (θ1, . . . , θm−1), W l
2(S), l = 0, 1, . . . , —
пространства Соболева.
Имеет место следующая лемма [11].
Лемма 1. Пусть функция f(r, θ) принадлежит W l
2(S). Если l ≥ m− 1, то ряд
f(r, θ) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
fkn(r)Y k
n,m(θ), (4)
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p ≤ l − m + 1, сходятся
абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того чтобы функция f(r, θ) принадлежала W l
2(S), необходимо и доста-
точно, чтобы коэффициенты ряда (3) удовлетворяли неравенствам
|f1
0 (r)| ≤ c1,
∞∑
n=1
kn∑
k=1
n2l|fkn(r)|2 ≤ c2, c1, c2 = const .
Через τ̄kn(r), νkn(r), σ̄kn(r) обозначим коэффициенты разложения ряда (4) соответственно
функций τ(r, θ), ν(r, θ), σ(r, θ).
Пусть τ(r, θ) = r3τ∗(r, θ), ν(r, θ) = r3ν∗(r, θ), σ(r, θ) = r3σ∗(r, θ), τ∗(r, θ), ν∗(r, θ),
σ∗(r, θ) ∈W l
2(S), l >
3m
2
+ 4, при этом τ∗(1, θ) = σ∗(1, θ).
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Задача 1 однозначно разрешима.
Доказательство. Сначала рассмотрим задачу (1), (2). В сферических координатах уравне-
ния (1) имеет вид [11]
urr +
m− 1
r
ur −
1
r2
δu− utt = 0, (5)
δ ≡ −
m−1∑
j=1
1
gj sinm−j−1 θj
∂
∂θj
(
sinm−j−1 θj
∂
∂θj
)
,
g1 = 1, gj = (sin θ1 . . . sin θj−1)2, j > 1.
Поскольку искомое решение задачи (1), (2) принадлежит классу C(D̄) ∩C2(D), его можно
искать в виде
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
ūkn(r, t)Y k
n,m(θ), (6)
где ūkn(r, t) — функции, подлежащие определению.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1416 С. А. АЛДАШЕВ
Подставляя (6) в (5) и используя ортогональность сферических функций Y k
n,m(θ) [11], по-
лучаем
ūknrr +
m− 1
r
ūknr − ūkntt −
λn
r2
ūkn = 0, λn = n(n+m− 2), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . . (7)
Выполняя замену ūkn(r, t) = r
1−m
2 ukn(r, t) и полагая затем ξ =
r + t
2
, η =
r − t
2
, из (7)
находим
uknξη +
[
(m− 1)(3−m)− 4λn
]
4(ξ + η)2
ukn = 0. (8)
Тогда условия (2) для функций ukn(ξ, η) с учетом леммы 1 примут вид
ukn(ξ, ξ) = τkn(ξ), ukn(ξ, γ(ξ)) = σkn(ξ), ξ ∈ J̄ , (9)
где τkn(ξ) = (2ξ)
m−1
2 τ̄kn(2ξ), σkn(ξ) = (ξ + γ(ξ))
m−1
2 σ̄kn(ξ + γ(ξ)), а функция η = γ(ξ) является
решением уравнения η = ξ − ϕ(ξ + η). Здесь и ниже J обозначает интервал
(
0,
1
2
)
.
Функция η = γ(ξ) имеет следующие свойства: осуществляет топологическое отображение
сегмента J̄ в себя, оставляя неподвижными его концы, и
γ′(ξ) =
1− ϕ′(r)
1 + ϕ′(r)
> 0, γ′(ξ) 6= 1, ξ ∈ J̄ . (10)
С использованием общего решения уравнения (8) [2] в [12] показано, что решение задачи
Коши для уравнения (8) имеет вид
ukn(ξ, η) =
τkn(η)
2
R(η, η, ; ξ, η) +
τkn(ξ)
2
R(ξ, ξ, ; ξ, η)+
+
1√
2
ξ∫
η
[
νkn(ξ1)R(ξ1, ξ1; ξ, η)− τkn(ξ1)
∂
∂N
R(ξ1, η1; ξ, η)
∣∣∣∣
ξ1=η1
]
dξ1, (11)
гдеR(ξ1, η1; ξ, η) = Pµ
[
(ξ1 − η1)(ξ − η) + 2(ξ1η1 + ξη)
(ξ1 + η1)(ξ + η)
]
— функция Римана уравнения (8) [13],
а Pµ(z) — функция Лежандра, µ =
n+ (m− 3)
2
,
νkn(ξ1) =
∂ukn
∂N
∣∣∣∣
ξ1=η1
=
(
∂ξ1
∂N⊥
∂ukn
∂η1
+
∂η1
∂N⊥
∂ukn
∂ξ1
) ∣∣∣∣
ξ1=η1
,
N⊥ — нормаль к прямой ξ = η в точке (ξ1, η1), направленная в сторону полуплоскости η ≤ ξ.
Из уравнения (11), учитывая краевое условие (9), при η = γ(ξ) после дифференцирования
по ξ получаем функционально-интегральное уравнение
ψkn(ξ) = νkn(ξ)− γ′(ξ)νkn(γ(ξ)), (12)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ . . . 1417
ψkn(ξ) = gkn(ξ)−
ξ∫
γ(ξ)
νkn(ξ1)
[
γ2(ξ)− ξ2
1 + γ′(ξ)(ξ2 − ξ2
1)
]
ξ1(ξ + γ(ξ))2
P ′µ(z)dξ1,
gkn(ξ) =
d
dξ
hkn(ξ),
hkn(ξ) =
√
2σkn(ξ)− 1√
2
τkn(ξ)− 1√
2
τkn(γ(ξ)) +
1√
2
ξ∫
γ(ξ)
τkn(ξ1)
ξ1
(ξ − γ(ξ))
(ξ + γ(ξ))
P ′µ(z)dξ1,
Pµ(z) = Pµ
[
ξ2
1 + ξγ(ξ)
ξ1(ξ + γ(ξ))
]
.
Из (10) следует, что
1− γ′(ξ)γ′(γ(ξ)) 6= 0, ξ ∈ J̄ . (13)
В [14] показано, что при выполнении условия (13) функциональное уравнение (12) имеет
единственное решение вида
νkn(ξ) =
ψkn(ξ) + γ′(ξ)ψkn(γ(ξ))
1− γ′(ξ)γ′(γ(ξ))
= µkn(ξ) +
ξ∫
γ2(ξ)
Gn(ξ, ξ1)νkn(ξ1)dξ1, (14)
где
µkn(ξ) =
gkn(ξ)− γ′(ξ)gkn(γ(ξ))
1− γ′(ξ)γ′(γ(ξ))
, µkn(ξ) = ξ2µ̄kn(ξ), µ̄kn(ξ) ∈ C(J̄),
Gn(ξ, ξ1) =
γ′(ξ)[γ3(ξ)− ξ2
1 + γ′(γ(ξ))(γ2(ξ)− ξ2
1)]
[γ′(ξ)γ′(γ(ξ))− 1][γ(ξ) + γ2(ξ)]2ξ1
P ′µ
[
ξ2
1 + γ3(ξ)
ξ1(γ(ξ) + γ2(ξ))
]
,
γ2(ξ) ≤ ξ1 ≤ γ(ξ),
[γ2(ξ)− ξ2
1 + γ′(ξ)(ξ2 − ξ2
1)]
[γ′(ξ)γ′(γ(ξ))− 1](ξ + γ(ξ))2ξ1
P ′µ
[
ξ2
1 + ξγ(ξ)
ξ1(ξ + γ(ξ))
]
, γ(ξ) ≤ ξ1 ≤ ξ.
(15)
Поскольку |P ′µ(z)| ≤ C = const [15], ядро Gn(ξ, ξ1) (15) допускает оценку
|Gn(ξ, ξ1)| ≤ C1
ξ1
, C1 = const . (16)
Решение интегрального уравнения (14) будем искать в виде ряда
ν(ξ) =
∞∑
l=0
νl(ξ), (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
1418 С. А. АЛДАШЕВ
ν0(ξ) = µkn(ξ), νl(ξ) =
ξ∫
γ2(ξ)
Gn(ξ, ξ1)νl−1(ξ1)dξ1, l = 1, 2, . . . .
Из (16) получим следующие оценки:
|ν0(ξ)| ≤ ξ2 max
J̄
|µ̄kn(ξ)| = mξ2, |ν1(ξ)| ≤ mC1ξ,
|ν2(ξ)| ≤ mC1
ξ
2
или в общем
|νl(ξ)| ≤
mC1
2l
.
Тогда для ряда (17) будем иметь
|ν(ξ)| ≤
∞∑
l=0
|νl(ξ)| ≤ mξ2 +mC1
∞∑
l=1
1
2l
= mξ2 +mC1 ≤ m(1 + C1).
Таким образом, интегральное уравнение (14) (а также (12)) имеет единственное решение.
Следовательно, функция
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
r
1−m
2 ukn(r, t)Y k
n,m(θ) (18)
является решением задачи (1), (2), где ukn(r, t), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , находятся по формуле
(11), в которой νkn(ξ) определяются из (14).
Теперь рассмотрим задачу (1), (3), и ее решение также будем искать в виде (6). В этом
случае условие (3) принимает вид
∂ukn
∂N
∣∣∣∣
ξ=η
= νkn(ξ), ukn(ξ, γ(ξ)) = σkn(ξ), ξ ∈ J̄ ,
νkn(ξ) =
√
2(2ξ)
m−1
2 ν̄kn(2ξ), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
(19)
Далее, из (11) при η = γ(ξ) с учетом (19) получаем функционально-интегральное уравнение
вида
τkn(ξ) + τkn(γ(ξ)) = gkn(ξ) +
ξ∫
γ(ξ)
Gn(ξ, ξ1)τkn(ξ1)dξ1, (20)
где
gkn(ξ) = 2σkn(ξ)−
√
2
ξ∫
γ(ξ)
νkn(ξ1)Pµ
[
ξ2
1 + ξγ(ξ)
ξ1(ξ + γ(ξ))
]
dξ1, gkn(ξ) ∈ C(J̄),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ . . . 1419
Gn(ξ, ξ1) =
ξ − γ(ξ)
ξ1(ξ + γ(ξ))
P ′µ
[
ξ2
1 + ξγ(ξ)
ξ1(ξ + γ(ξ))
]
, |Gn(ξ, ξ1)| ≤M.
Поскольку интегральный оператор, содержащийся в правой части равенства (20), вполне
непрерывен, то, как показано в [14], функциональное уравнение (20) имеет единственное ре-
шение.
Следовательно, функция (18) является решением задачи (1), (3), где ukn(r, t), k = 1, kn,
n = 0, 1, . . . , определяются из формулы (11), в которой τkn(ξ) находятся из (20).
Учитывая ограничения на заданные функции τ(r, θ), ν(r, θ), σ(r, θ), леммы и формулы [15]
dm
dzm
Pµ(z) =
Γ(µ+m+ 1)
2mΓ(µ−m+ 1)
F
(
1 +m+ µ, m− µ, m+ 1,
1− z
2
)
,
Γ(z + α)
Γ(z + β)
= zα−β
[
1 +
1
2z
(α− β)(α− β − 1) + 0(z−2)
]
,
а также оценки [11]
|kn| ≤ c1n
m−2,
∣∣∣∣∣∂qY k
n,m(θ)
∂θqj
∣∣∣∣∣ ≤ c2n
m
2 +q−1, j = 1,m− 1, q = 0, 1, . . . ,
где F (a, b, c, z) — гипергеометрическая функция, Γ(z) — гамма-функция, α, β — произвольные
действительные числа, как и в [12], можно показать, что полученное решение (11) принадлежит
классу C(D̄) ∩ C2(D).
1. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique // Princeton Univ. Bull. –
1902. – 13. – P. 49 – 52.
2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – 164 с.
3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.
4. Bourgin D. G., Duffin R. The Dirichlet problem the vibrating string eguation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1939. –
45. – P. 851 – 858.
5. Fox D. W., Pucci C. The Dirichlet problem the wave eguation // Ann. mat. pura ed appl. – 1958. – 46. – P. 155 – 182.
6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической
области // Дифференц. уравнения. – 1970. – 6, № 1. – С. 190 – 191.
7. Dunninger D. R., Zachmanoglou E. C. The condition for uniqueness of the Diriclet problem for hyperbolic equations
in cilindrical domains // J. Math. and Mech. – 1969. – 18, № 8.
8. Aldashev S. A. The well-posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave
equation // Math. Probl. Eng. – 2010. – 2010. – Article ID 653215. – 7 p.
9. Aldashev S. A. The well-posedness of the Poincare problem in a cylindrical domain for the higher-dimensional wave
equation // J. Math. Sci. – 2011. – 173, № 2. – P. 150 – 154.
10. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерных гиперболических
уравнений с волновым оператором // Докл. Адыг. (Черкес.) междунар. акад. наук. – 2011. – 13, № 1. – С. 21 – 29.
11. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. – М.: Физматгиз, 1962. – 254 с.
12. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. – Алматы: Гылым,
1994. – 170 с.
13. Copson E. T. On the Riemann – Green function // J. Ration. Mech. and Anal. – 1958. – 1. – P. 324 – 348.
14. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. – М.: Наука, 1973. –
294 с.
15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1974. – Т. 2. – 295 с.
Получено 04.09.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 10
|