Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью
Наведено обґрунтування можливості застосування методу усереднення на скінченному проміжку до імпульсних диференціальних включень із нечіткою правою частиною, що містять малий параметр. Показано, що у випадку періодичних правих частин оцінку можна уточнити....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166314 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью / Н.В. Скрипник // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1563–1577. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166314 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1663142020-02-19T01:27:46Z Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью Скрипник, Н.В. Статті Наведено обґрунтування можливості застосування методу усереднення на скінченному проміжку до імпульсних диференціальних включень із нечіткою правою частиною, що містять малий параметр. Показано, що у випадку періодичних правих частин оцінку можна уточнити. We substantiate the possibility of application of the method of averaging on a finite interval to impulsive differential inclusions with fuzzy right-hand sides containing a small parameter. In the case of periodic right-hand sides, it is shown that the estimate can be improved. 2014 Article Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью / Н.В. Скрипник // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1563–1577. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166314 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Скрипник, Н.В. Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью Український математичний журнал |
| description |
Наведено обґрунтування можливості застосування методу усереднення на скінченному проміжку до імпульсних диференціальних включень із нечіткою правою частиною, що містять малий параметр. Показано, що у випадку періодичних правих частин оцінку можна уточнити. |
| format |
Article |
| author |
Скрипник, Н.В. |
| author_facet |
Скрипник, Н.В. |
| author_sort |
Скрипник, Н.В. |
| title |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью |
| title_short |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью |
| title_full |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью |
| title_fullStr |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью |
| title_full_unstemmed |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью |
| title_sort |
усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166314 |
| citation_txt |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью / Н.В. Скрипник // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1563–1577. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT skripniknv usrednenieimpulʹsnyhdifferencialʹnyhvklûčenijsnečetkojpravojčastʹû |
| first_indexed |
2025-07-14T21:08:31Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:08:31Z |
| _version_ |
1837658078361681920 |
| fulltext |
УДК 517.9
Н. В. Скрипник (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
С НЕЧЕТКОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
We substantiate the possibility of application of the method of averaging on a finite interval for impulsive differential
inclusions with fuzzy right-hand sides containing a small parameter. In the case of periodic right-hand sides, it is shown
that the estimate can be improved.
Наведено обґрунтування можливостi застосування методу усереднення на скiнченному промiжку до iмпульсних
диференцiальних включень iз нечiткою правою частиною, що мiстять малий параметр. Показано, що у випадку
перiодичних правих частин оцiнку можна уточнити.
1. Введение. Теория нечетких множеств начала развиваться с 1965 г. после работы L. A. Zadeh
[18] в результате обобщения, переосмысления достижений: многозначной логики, позволившей
перейти к произвольному множеству значений истинности (трехзначная логика Лукасевича, k-
значная логика Поста, бесконечнозначная логика); теории вероятностей и математической ста-
тистики, где аккумулируются всевозможные способы обработки экспериментальных данных
(гистограммы, функции распределения) и указываются пути формализации неопределеннос-
тей; дискретной математики (теория матриц, теория автоматов, теория графов); многозначного
анализа, предложившего инструмент для формулирования адекватных моделей при решении
множества практических задач. Формализации нечетких понятий позволяют приближенно опи-
сывать поведение систем настолько сложных и плохо определенных, что они не поддаются
точному математическому анализу. В ряде случаев такое описание является единственно воз-
можным, так как в реальных ситуациях закономерности, ограничения, критерии выбора в
большей части субъективны и точно не определены (см. обзоры [3, 4, 8]).
Пусть conv(Rn) — метрическое пространство непустых компактных выпуклых подмножеств
Rn с метрикой Хаусдорфа
h(F,G) = max
{
sup
f∈F
inf
g∈G
‖f − g‖, sup
g∈G
inf
f∈F
‖f − g‖
}
,
где под ‖ · ‖ понимается евклидова норма в пространстве Rn.
Введем в рассмотрение пространство En отображений x : Rn → [0, 1], удовлетворяющих
следующим условиям:
1) x нормально, т. е. существует вектор y0 ∈ Rn такой, что x(y0) = 1;
2) x нечетко выпукло, т. е. для любых y, z ∈ Rn и любого λ ∈ [0, 1] выполняется неравенст-
во x(λy + (1− λ)z) ≥ min{x(y), x(z)};
3) x полунепрерывно сверху по Бэру, т. е. для любого вектора y0 ∈ Rn и любого ε > 0
существует δ(y0, ε) > 0 такое, что для всех y ∈ Rn, удовлетворяющих условию ‖y − y0‖ < δ,
выполняется неравенство x(y) < x(y0) + ε;
4) замыкание множества
{
y ∈ Rn : x(y) > 0
}
компактно.
Нулем в пространстве En является отображение 0̂(y) =
{
1, y = 0,
0, y ∈ Rn\0.
c© Н. В. СКРИПНИК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11 1563
1564 Н. В. СКРИПНИК
Определение 1. α-Срезкой [x]α отображения x ∈ En при α ∈ (0, 1] назовем множество
{y ∈ Rn : x(y) ≥ α}. Нулевой срезкой отображения x ∈ En назовем замыкание множества
{y ∈ Rn : x(y) > 0}.
Теорема 1 [14]. Если x ∈ En, то:
1) [x]α ∈ conv(Rn) для всех α ∈ [0, 1];
2) [x]α2 ⊂ [x]α1 для всех 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1;
3) если {αk} ⊂ [0, 1] — неубывающая последовательность, сходящаяся к α > 0, то [x]α =
=
⋂
k≥1
[x]αk .
Наоборот, если
{
Aα : α ∈ [0, 1]
}
— семейство подмножеств Rn, удовлетворяющих усло-
виям 1 – 3, то существует x ∈ En такое, что [x]α = Aα для α ∈ (0, 1] и [x]0 =
⋃
0<α≤1
Aα ⊂ A0.
Определим в пространстве En метрику D : En × En → [0,+∞), положив
D(x, v) = sup
α∈[0,1]
h([x]α, [v]α).
Пусть I — промежуток в R.
Определение 2 [14]. Отображение F : I → En называется непрерывным на I, если для
всех α ∈ [0, 1] многозначное отображение [F (t)]α непрерывно.
Определение 3 [14]. Интегралом от отображения F : I → En по множеству I называ-
ется элемент G ∈ En такой, что [G]α =
∫
I
[F (t)]αdt для всех α ∈ (0, 1], где интеграл от
многозначного отображения [F (t)]α понимается в смысле Ауманна [7].
Теорема 2 [14]. Если отображение F : I → En непрерывно, то оно интегрируемо на I.
Определение 4 [14]. Говорят, что отображение F : R × Rn → En удовлетворяет усло-
вию Липшица по x, если существует постоянная λ ≥ 0 такая, что
h
(
[F (t, x)]α, [F (t, x̄)]α
)
≤ λ‖x− x̄‖
для всех α ∈ [0, 1].
Определение 5. Говорят, что отображение F : R× Rn → En вогнутозначно по x, если
β
[
F (t, x)
]α
+ (1− β)
[
F (t, y)
]α ⊂ [F (t, βx+ (1− β)y)
]α
для любых β ∈ [0, 1] и α ∈ [0, 1].
В 1990 г. J.-P. Aubin [6] и В. А. Байдосов [1, 2] ввели в рассмотрение дифференциальные
включения с нечеткою правою частью. Их подход к решению таких уравнений основан на
сведении последних к обычным дифференциальным включениям.
Рассмотрим дифференциальное включение с нечеткой правой частью
ẋ(t) ∈ F (t, x(t)), x(t0) = x0, (1)
где t ∈ I ⊂ R — время, F : I × Rn → En — нечеткое отображение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 1565
Определение 6 [10]. α-Решением включения (1) назовем абсолютно непрерывную функцию
x : I → Rn, удовлетворяющую включению
ẋ(t) ∈ [F (t, x(t))]α, x(t0) = x0
почти всюду на I.
Множество всех α-решений включения (1) в момент времени t обозначим через Xα(t). В
случае, когда семейство {Xα(t), α ∈ [0, 1]} удовлетворяет условиям теоремы 1, оно определяет
нечеткое множество X(t), которое называется множеством решений включения (1) в момент
времени t.
Вопросы существования множества X(t) и его свойства рассматривались в работах [9 –
12]. В работах [5, 15 – 17] доказана возможность применения метода усреднения на конечном
промежутке для дифференциальных включений с нечеткой правой частью, содержащих малый
параметр.
Многие процессы в биологии, теории управления, электронике описываются с помощью
импульсных дифференциальных включений с нечеткой правой частью [13]. В данной статье
рассмотрим обоснование возможности применения метода усреднения на конечном промежут-
ке к импульсным дифференциальным включениям с нечеткой правой частью, содержащим
малый параметр.
2. Основные результаты. Рассмотрим импульсное дифференциальное включение с нечет-
кой правой частью
x′ ∈ εF (t, x), t 6= τi, x(0) = x0, (2)
∆x|t=τi ∈ εIi(x).
Если для любых t ≥ 0, x ∈ G существует предел
F̄ (x) = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
F (t, x)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(x)
, (3)
то включению (2) поставим в соответствие следующее усредненное дифференциальное вклю-
чение с нечеткой правой частью:
y′ ∈ εF̄ (y), y(0) = x0. (4)
Теорема 3. Пусть в области Q = {t ≥ 0, x ∈ G ⊂ Rn}, где G выпукло, выполняются
следующие условия:
1) нечеткие отображения F : Q → En, Ii : G → En непрерывны, равномерно ограничены
постоянной M, удовлетворяют условию Липшица по x с постоянной λ и вогнутозначны по x;
2) равномерно относительно t ≥ 0 и x ∈ G существует предел (3) и
1
T
i(t, t+ T ) ≤ ν, ν <∞,
где i(t, t+ T ) — количество точек последовательности τi на промежутке (t, t+ T ];
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1566 Н. В. СКРИПНИК
3) для любых x0 ∈ G′ ⊂ G и t ≥ 0 α-решения включения (4) вместе с ρ-окрестностью
принадлежат области G для всех α ∈ [0, 1].
Тогда для любых η ∈ (0, ρ] и L > 0 существует ε0(η, L) > 0 такое, что для всех ε ∈ (0, ε0]
и t ∈ [0, Lε−1] выполняется неравенство
D(X(t), Y (t)) < η, (5)
где X(t) — множество решений включения (2), Y (t) — множество решений включения (4).
Доказательство. Из условий 1, 2 следует, что нечеткое отображение F̄ : G → En равно-
мерно ограничено постояннойM1 = M(1+ν) и удовлетворяет условию Липшица с постоянной
λ1 = λ(1 + ν).
Действительно,
D
(
F̄ (x), {0̂}
)
≤ D
F̄ (x),
1
T
t+T∫
t
F (t, x)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(x)
+
+D
1
T
t+T∫
t
F (t, x)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(x), {0̂}
< δ +
1
T
t+T∫
t
D(F (s, x), {0̂})ds+
+
1
T
∑
t≤τi<t+T
D
(
Ii(x), {0̂}
)
< δ +M + νM = δ +M(1 + ν),
D
(
F̄ (x1), F̄ (x2)
)
≤ D
F̄ (x1),
1
T
t+T∫
t
F (t, x1)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(x1)
+
+D
1
T
t+T∫
t
F (t, x1)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(x1),
1
T
t+T∫
t
F (t, x2)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(x2)
+
+D
1
T
t+T∫
t
F (t, x2)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(x2), F̄ (x2)
<
< 2δ +
1
T
t+T∫
t
D
(
F (s, x1), F (s, x2)
)
ds+
1
T
∑
t≤τi<t+T
D
(
Ii(x1), Ii(x2)
)
≤
≤ 2δ + λ‖x1 − x2‖+ λν‖x1 − x2‖ = 2δ + λ(1 + ν)‖x1 − x2‖,
где δ может быть сделано сколь угодно малым за счет выбора T . Таким образом,
D
(
F̄ (x), {0̂}
)
≤M(1 + ν), D
(
F̄ (x1), F̄ (x2)
)
≤ λ(1 + ν)‖x1 − x2‖.
Кроме того, нечеткое отображение F̄ (x) является вогнутозначным. Выберем произвольные
α ∈ [0, 1] и β ∈ [0, 1], x, y ∈ G. Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 1567
β[F̄ (x)]α + (1− β)[F̄ (y)]α =
= β
lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
F (t, x)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(x)
α +
+(1− β)
lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
F (t, y)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(y)
α =
= lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
(
β
[
F (t, x)
]α
+ (1− β)
[
F (t, y)
]α)
dt+
+
1
T
∑
t≤τi<t+T
(
β
[
Ii(x)
]α
+ (1− β)
[
Ii(y)
]α) ⊂
⊂ lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
[
F (t, βx+ (1− β)y)
]α
dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
[
Ii(βx+ (1− β)y)
]α =
=
[
F̄ (βx+ (1− β)y)
]α
.
В силу условий теоремы множества решений включений (2) и (4) существуют [13]. Выберем
произвольное α ∈ [0, 1]. Сначала докажем справедливость включения[
Y (t)
]α ⊂ [X(t)
]α
+ Sη(0), (6)
где Sη(0) =
{
x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ η
}
— шар радиуса η с центром в 0 ∈ Rn.
Пусть y(t) — некоторое решение включения
ẏ(t) ∈ ε[F̄ (y(t))]α, y(0) = x0. (7)
Разобьем промежуток [0, Lε−1] на частичные с шагом γ(ε) таким, что γ(ε)→∞ и εγ(ε)→ 0
при ε → 0
(
в качестве γ(ε) можно выбрать, например, ε−
1
2
)
. Тогда найдется измеримый
селектор v(t) ∈
[
F̄ (y(t))
]α
такой, что
y(t) = y(tj) + ε
t∫
tj
v(s)ds, t ∈ [tj , tj+1], y(0) = x0, (8)
где tj = jγ(ε), j = 0,m, mγ(ε) ≤ Lε−1 < (m+ 1)γ(ε).
Рассмотрим функцию
y1(t) = y1(tj) + εvj(t− tj), t ∈ [tj , tj+1], y1(0) = x0, (9)
где vj ∈ Rn удовлетворяет условию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1568 Н. В. СКРИПНИК∥∥∥∥∥∥∥γ(ε)vj −
tj+1∫
tj
v(s)ds
∥∥∥∥∥∥∥ = min
v∈[F̄ (y1(tj))]α
∥∥∥∥∥∥∥γ(ε)v −
tj+1∫
tj
v(s)ds
∥∥∥∥∥∥∥. (10)
Очевидно, что vj существует в силу компактности множества F̄
(
y1(tj)
)
и непрерывности
минимизируемой функции.
Обозначим δj =
∥∥y(tj)− y1(tj)
∥∥. При t ∈ [tj , tj+1], используя (8) и (9), имеем∥∥y(t)− y(tj)
∥∥ ≤M1εγ(ε),
∥∥y1(t)− y1(tj)
∥∥ ≤M1εγ(ε). (11)
Следовательно, при t ∈ [tj , tj+1] выполняются неравенства∥∥y(t)− y1(tj)
∥∥ ≤ ∥∥y(tj)− y1(tj)
∥∥+ ‖y(t)− y(tj)‖ ≤ δj + εM1(t− tj),
(12)
h
([
F̄ (y(t))
]α
,
[
F̄ (y1(tj))
]α) ≤ λ1
∥∥y(t)− y1(tj)
∥∥ ≤ λ1
(
δj + εM1(t− tj)
)
.
Из (10) и (12) следует, что∥∥∥∥∥∥∥
tj+1∫
tj
v(s)ds− γ(ε)vj
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
tj+1∫
tj
h
([
F̄ (y(s))
]α
, [F̄ (y1(tj))
]α)
ds ≤
≤ λ1
(
δjγ(ε) + εM1
γ2(ε)
2
)
. (13)
Из (8) и (9) получаем
δj+1 ≤ δj + ελ1
(
δjγ(ε) + εM1
γ2(ε)
2
)
= (1 + λ1εγ(ε))δj + λ1M1
ε2γ2(ε)
2
. (14)
Поскольку δ0 = 0, из неравенства (14) имеем
δ1 ≤ λ1M1
ε2γ2(ε)
2
,
δ2 ≤ (1 + λ1εγ(ε))δ1 + λ1M1
ε2γ2(ε)
2
≤ λ1M1
ε2γ2(ε)
2
(
(1 + λ1εγ(ε)
)
+ 1).
По индукции
δj+1 ≤ λ1M1
ε2γ2(ε)
2
(
(1 + λ1εγ(ε))i + (1 + λ1εγ(ε))i−1 + . . .+ 1
)
=
=
M1εγ(ε)
2
(
(1 + λ1εγ(ε))i+1 − 1
)
≤ M1εγ(ε)
2
(
(1 + λ1εγ(ε))
L
εγ(ε) − 1
)
≤
≤ M1εγ(ε)
2
(eλ1L − 1). (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 1569
Таким образом, в силу неравенств (11) получаем оценку∥∥y(t)− y1(t)
∥∥ ≤ ∥∥y(t)− y(tj)
∥∥+
∥∥y(tj)− y1(tj)
∥∥+
∥∥y1(tj)− y1(t)
∥∥ ≤
≤ 2M1εγ(ε) +
M1εγ(ε)
2
(eλ1L − 1) ≤ M1εγ(ε)
2
(eλ1L + 3). (16)
Из условия 2 теоремы следует, что для любого η1 > 0 существует ε1(η1) > 0, не зависящее
от α, такое, что для всех ε ≤ ε1(η1) выполняется неравенство
h
[F̄ (y1(tj)
)]α
,
1
γ(ε)
tj+1∫
tj
[
F
(
s, y1(tj)
)]α
ds+
1
γ(ε)
∑
tj≤τi<tj+1
[
Ii
(
y1(tj)
)]α < η1. (17)
Следовательно, существуют pij ∈
[
Ii
(
y1(tj)
)]α
и измеримый селектор uj(t)∈
[
F
(
t, y1(tj)
)]α
такие, что ∥∥∥∥∥∥∥vj −
1
γ(ε)
tj+1∫
tj
uj(s)ds+
∑
tj≤τi<tj+1
pij
∥∥∥∥∥∥∥ < η1. (18)
Рассмотрим функцию
x1(t) = x1(tj) + ε
t∫
tj
uj(s)ds+ ε
∑
tj≤τi<t
pij , t ∈ (tj , tj+1], x1(0) = x0. (19)
Поскольку x1(0) = y1(0), из (9), (18) и (19) следует, что для j = 1,m
‖x1(tj)− y1(tj)‖ ≤ ‖x1(tj−1)− y1(tj−1)‖+ η1εγ(ε) ≤ . . . ≤ jη1εγ(ε) ≤ Lη1. (20)
При t ∈ (tj , tj+1] имеем∥∥x1(t)− x1(tj)
∥∥ ≤M(1 + ν)εγ(ε) = M1εγ(ε).
Тогда, принимая во внимание неравенство (11), получаем∥∥x1(t)− y1(t)
∥∥ ≤ Lη1 + 2M1εγ(ε),
(21)∥∥x1(t)− y1(tj)
∥∥ ≤ Lη1 +M1εγ(ε).
Покажем, что существует решение x(t) включения
ẋ(t) ∈ ε
[
F
(
t, x(t)
)]α
, t 6= τi, x(0) = x0,
∆x|t=τi ∈ ε[Ii(x)]α,
(22)
достаточно близкое к x1(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1570 Н. В. СКРИПНИК
Пусть θ1, . . . , θp — моменты импульсов τi, попадающие в промежуток (tj , tj+1]. Для удобст-
ва обозначим θ0 = tj , θp+1 = tj+1. Пусть µ+
k =
∥∥x1(θk+0)−x(θk+0)
∥∥, µ−k =
∥∥x1(θk)−x(θk)
∥∥,
k = 0, p+ 1.
Пусть ρ(x,A) = mina∈A ‖x − a‖ — расстояние от точки x ∈ Rn до множества A ⊂ Rn.
Используя условие Липшица, имеем
ρ
(
x1′(t), ε
[
F
(
t, x1(t)
)]α)
≤ h
(
ε
[
F
(
t, y1(tj)
)]α
, ε
[
F
(
t, x1(t)
)]α)
≤
≤ ελ
∥∥x1(t)− y1(tj)
∥∥ ≤ ελ(M1εγ(ε) + Lη1
)
= η∗,
ρ
(
∆x1|t=θk , ε
[
Ii(x
1(θk))
]α)
≤ h
(
ε
[
Ii
(
y1(tj)
)]α
, ε
[
Ii
(
x1(θk)
)]α)
≤
≤ ελ
∥∥y1(tj)− x1(θk)
∥∥ ≤ ελ(M1εγ(ε) + Lη1
)
= η∗.
В силу теоремы А. Ф. Филиппова существует решение x(t) включения (22) такое, что при
t ∈ (θk, θk+1] выполняется неравенство
∥∥x(t)− x1(t)
∥∥ ≤ µ+
k e
ελ(t−θk) + ε
t∫
θk
eελ(t−s)η∗ds.
Обозначим γk = θk+1 − θk ≤ γ(ε), γ0 + . . .+ γp = γ(ε). Тогда
µ−k+1 ≤ µ
+
k e
ελγk +
η∗
λ
(
eλεγ(ε) − 1
)
. (23)
При переходе через точку импульса
µ+
k+1 ≤ µ
−
k+1 + εh
([
Ii
(
y1(tj)
)]α
,
[
Ii
(
x(θk+1)
)]α) ≤
≤ µ−k+1 + εh
([
Ii(x
1
(
θk+1)
)]α
,
[
Ii
(
x(θk+1)
)]α)
+
+εh
([
Ii
(
y1(tj)
)]α
,
[
Ii
(
x1(θk+1)
)]α)
≤
≤ µ−k+1 + ελµ−k+1 + εh
([
Ii
(
y1(tj)
)]α
,
[
Ii
(
x1(θk+1)
)]α)
≤
≤ (1 + ελ)µ−k+1 + η∗. (24)
Из (23) и (24) следует, что
µ+
k+1 ≤ (1 + ελ)eελγkµ+
k + β, β =
η∗
λ
(1 + ελ)
(
eλεγ(ε) − 1
)
+ η∗.
Таким образом,
µ+
1 ≤ (1 + ελ)eλεγ0µ+
0 + β ≤ (1 + ελ)eλεγ(ε)µ+
0 + β,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 1571
µ+
2 ≤ (1 + ελ)eελγ1µ+
1 + β ≤ (1 + ελ)2eελ(γ0+γ1)µ+
0 +
+β(1 + ελ)eελγ1 + β ≤ (1 + ελ)2eλεγ(ε)µ+
0 + β
(
(1 + ελ)eλεγ(ε) + 1
)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
µ+
k+1 ≤ (1 + ελ)k+1eελγ(ε)µ+
0 + β
(
eλεγ(ε)((1 + ελ)k + . . .+ (1 + ελ)) + 1
)
=
= (1 + ελ)k+1eλεγ(ε)µ+
0 + β
(
eλεγ(ε) (1 + ελ)k − 1
ελ
(1 + ελ) + 1
)
≤
≤ eλ(1+ν)εγ(ε)µ+
0 + η∗
(
1 + ελ
λ
(eλεγ(ε) − 1) + 1
)(
eλεγ(ε) e
λνεγ(ε) − 1
ελ
(1 + ελ) + 1
)
=
= κµ+
0 + β1,
где
κ = eλεγ(ε)(1+ν),
β1 = (M1εγ(ε) + Lη1)
(
1 + ελ
λ
(eλεγ(ε) − 1) + 1
)(
eλεγ(ε)
(
eλνεγ(ε) − 1
)
(1 + ελ) + ελ
)
.
Следовательно,
δ+
j+1 =
∥∥x(tj+1)− x1(tj+1)
∥∥ ≤ κδ+
j + β1.
Тогда получаем следующую последовательность оценок:
δ+
0 = 0, δ+
1 ≤ β1, δ+
2 ≤ κβ1 + β1 = (κ+ 1)β1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
δ+
j+1 ≤ (αj + . . .+ 1)β1 =
κj+1 − 1
κ− 1
β1 ≤
≤ eλL(1+ν) − 1
eλ(1+ν)εγ(ε) − 1
(M1εγ(ε) + Lη1)
(
1 + ελ
λ
(
eλεγ(ε) − 1
)
+ 1
)
×
×
(
eλεγ(ε)
(
eλνεγ(ε) − 1
)
(1 + ελ) + ελ
)
.
Поскольку
lim
ε↓0
(
1 + ελ
λ
(eλεγ(ε) − 1) + 1
)
= 1
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1572 Н. В. СКРИПНИК
lim
ε↓0
eλεγ(ε)
(
eλνεγ(ε) − 1
)
(1 + ελ) + ελ
eλ(1+ν)εγ(ε) − 1
= lim
ε→0
eλεγ(ε) e
λνεγ(ε) − 1
λεγ(ε)
+
1
γ(ε)
eλ(1+ν)εγ(ε) − 1
λεγ(ε)
=
ν
1 + ν
,
имеем
δ+
j+1 ≤ C(M1εγ(ε) + Lη1)
при ε ≤ ε2.
Поэтому для t ∈ (tj , tj+1] выполняется неравенство∥∥x(t)− x1(t)
∥∥ ≤ ∥∥x(t)− x(tj)
∥∥+
∥∥x(tj)− x1(tj)
∥∥+
∥∥x1(t)− x1(tj)
∥∥ ≤
≤M(1 + ν)εγ(ε) +M1εγ(ε) + C
(
M1εγ(ε) + Lη1
)
=
= M1(2 + C)εγ(ε) + CLη1. (25)
В силу неравенств (16), (21) и (25) получаем, что
∥∥x(t)−y(t)
∥∥ можно сделать меньше η за счет
выбора ε ≤ ε0 и η1.
Справедливость включения
[X(t)]α ⊂ [Y (t)]α + Sη(0)
доказывается аналогично.
Теорема 3 доказана.
Если нечеткие отображения F (t, x) и Ii(x) периодичны по t, можно получить более точную
оценку.
Теорема 4. Пусть в области Q = {t ≥ 0, x ∈ G ⊂ Rn}, где G выпукло, выполняются
следующие условия:
1) нечеткие отображения F : Q→ En, Ii : G→ En непрерывны, равномерно ограничены
постоянной M, удовлетворяют условию Липшица по x с постоянной λ и вогнутозначны по x;
2) нечеткое отображение F (t, x) 2π-периодично по t и существует такое ν ∈ N, что для
всех i ∈ N выполняются равенства τi+ν = τi + 2π, Ii+ν(x) ≡ Ii(x);
3) для любых x0 ∈ G′ ⊂ G и t ≥ 0 α-решения включения (4) вместе с ρ-окрестностью
принадлежат области G для всех α ∈ [0, 1].
Тогда для любого L > 0 существуют ε0(L) > 0 и C(L) > 0 такие, что для всех ε ∈ (0, ε0] и
t ∈ [0, Lε−1] выполняется неравенство
D
(
X(t), Y (t)
)
≤ Cε, (26)
где X(t) — множество решений включения (2), Y (t) — множество решений включения (4).
Доказательство. Используя условие 2 теоремы, получаем
F̄ (x) =
1
2π
2π∫
0
F (s, x)ds+
1
2π
∑
0≤τi<2π
Ii(x). (27)
Из условия 1 следует, что нечеткое отображение F̄ : G → En равномерно ограничено по-
стоянной M1 = M(1 + ν), удовлетворяет условию Липшица с постоянной λ1 = λ(1 + ν) и
вогнутозначно по x (доказательство аналогично доказательству теоремы 3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 1573
Выберем произвольное α ∈ [0, 1]. Для начала покажем справедливость включения
[Y (t)]α ⊂ [X(t)]α + SCε(0). (28)
Пусть y(t) — некоторое решение включения (7). Разобьем промежуток [0, Lε−1] на частич-
ные с шагом 2π точками tj = 2πj, j = 0,m, где m : tm ≤ Lε−1 < tm+1. Тогда существует
измеримый селектор v(t) многозначного отображения
[
F̄
(
y(t)
)]α
такой, что
y(t) = y(tj) + ε
t∫
tj
v(s)ds, t ∈ [tj , tj+1], y(0) = x0. (29)
Рассмотрим функцию
y1(t) = y1(tj) + εvj(t− tj), t ∈ [tj , tj+1], y1(0) = x0, (30)
где vj ∈ Rn удовлетворяет условию∥∥∥∥∥∥∥2πvj −
tj+1∫
tj
v(s)ds
∥∥∥∥∥∥∥ = min
v∈
[
F̄
(
y1(tj)
)]α
∥∥∥∥∥∥∥2πv −
tj+1∫
tj
v(s)ds
∥∥∥∥∥∥∥. (31)
Очевидно, что vj существует в силу компактности множества
[
F̄
(
y1(tj)
)]α
и непрерывности
минимизируемой функции.
Обозначим δj =
∥∥y(tj)− y1(tj)
∥∥. При t ∈ [tj , tj+1], используя (29) и (30), имеем
‖y(t)− y(tj)‖ ≤ 2πM1ε, ‖y1(t)− y1(tj)‖ ≤ 2πM1ε. (32)
Следовательно, при t ∈ (tj , tj+1] выполняются следующие неравенства:∥∥y(t)− y1(tj)
∥∥ ≤ ∥∥y(tj)− y1(tj)
∥∥+
∥∥y(t)− y(tj)
∥∥ ≤ δj + εM1(t− tj),
(33)
h
([
F̄
(
y(t)
)]α
,
[
F̄
(
y1(tj)
)]α)
≤ λ1‖y(t)− y1(tj)‖ ≤ λ1
(
δj + εM1(t− tj)
)
.
Из (31) и (33) следует, что ∥∥∥∥∥∥∥
tj+1∫
tj
v(s)ds− 2πvj
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
=
tj+1∫
tj
h
([
F̄
(
y(s)
)]α
,
[
F̄
(
y1(tj)
)]α)
ds ≤ λ1
(
2πδj + 2π2M1ε
)
. (34)
Принимая во внимание (29) и (30), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1574 Н. В. СКРИПНИК
δj+1 ≤ δj + ελ1
(
2πδj + 2π2M1ε
)
= (1 + 2πλ1ε)δj + 2π2λ1M1ε
2. (35)
Из неравенства (35), учитывая, что δ0 = 0, имеем
δ1 ≤ 2π2λ1M1ε
2,
δ2 ≤ (1 + 2πλ1ε)δ1 + 2π2λ1M1ε
2 ≤ 2π2λ1M1ε
2((1 + 2πλ1ε) + 1),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (36)
δj+1 ≤ 2π2λ1M1ε
2((1 + 2πλ1ε)
i + (1 + 2πλ1ε)
i−1 + . . .+ 1) =
= πM1ε
(
(1 + 2πλ1ε)
i+1 − 1
)
≤ πM1ε
(
(1 + 2πλ1ε)
L
2πε − 1
)
≤ πM1ε(e
λ1L − 1).
В силу условия 1 теоремы и (36) имеем∥∥y(t)− y1(t)
∥∥ ≤ ∥∥y(t)− y(tj)
∥∥+
∥∥y(tj)− y1(tj)
∥∥+
∥∥y1(tj)− y1(t)
∥∥ ≤
≤ 4πM1ε+ πM1ε(e
λ1L − 1) ≤ πM1ε(e
λ1L + 3). (37)
Далее [
F̄
(
y1(tj)
)]α
=
1
2π
tj+1∫
tj
[
F
(
s, y1(tj)
)]α
ds+
1
2π
∑
tj≤τi<tj+1
[
Ii
(
y1(tj)
)]α
. (38)
Следовательно, существуют pij ∈
[
Ii(y
1
(
tj)
)]α
и измеримый селектор uj(t) ∈
[
F (t, y1
(
tj)
)]α
такие, что
vj =
1
2π
tj+1∫
tj
uj(s)ds+
∑
tj≤τi<tj+1
pij
. (39)
Рассмотрим функцию
x1(t) = x1(tj) + ε
t∫
tj
uj(s)ds+ ε
∑
tj≤τi<t
pij , t ∈ (tj , tj+1], x1(0) = x0. (40)
Из (30), (40) и (39), используя x1(0) = y1(0), получаем
x1(tj) = y1(tj),
∥∥x1(t)−x1(tj)
∥∥ ≤ 2πM1ε,
∥∥x1(t)−y1(t)
∥∥ ≤ 4πM1ε при j = 1,m. (41)
Покажем, что существует решение x(t) включения (22), достаточно близкое к x1(t).
Пусть θ1, . . . , θν — моменты импульсов τi, попадающие в промежуток (tj , tj+1]. Для удобст-
ва обозначим θ0 = tj , θν+1 = tj+1. Пусть µ+
k =
∥∥x1(θk+0)−x(θk+0)
∥∥, µ−k =
∥∥x1(θk)−x(θk)
∥∥,
k = 0, ν + 1.
Используя условие Липшица, имеем
ρ
(
x1′(t), ε
[
F
(
t, x1(t)
)]α)
≤ h
(
ε
[
F
(
t, y1(tj)
)]α
, ε[F (t, x1(t))]α
)
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 1575
≤ ελ
∥∥x1(t)− x1(tj)
∥∥ ≤ 2πλM1ε
2 = η∗,
ρ
(
∆x1|t=θk , ε[Ii(x
1(θk))]
α
)
≤ h
(
ε[Ii(y
1(tj))]
α, ε
[
Ii
(
x1(θk)
)]α)
≤
≤ ελ
∥∥x1(tj)− x1(θk)
∥∥ ≤ 2πλM1ε
2 = η∗.
В силу теоремы А. Ф. Филиппова существует решение x(t) включения (22) такое, что при
t ∈ (θk, θk+1] выполняется неравенство
∥∥x(t)− x1(t)
∥∥ ≤ µ+
k e
ελ(t−θk) + ε
t∫
θk
eελ(t−s)η∗ds.
Обозначим γk = θk+1 − θk ≤ 2π, γ0 + . . .+ γp = 2π. Тогда
µ−k+1 ≤ µ
+
k e
ελγk +
η∗
λ
(
e2πλε − 1
)
. (42)
При переходе через точку импульса
µ+
k+1 ≤ µ
−
k+1 + εh
([
Ii
(
y1(tj)
)]α
,
[
Ii
(
x(θk+1)
)]α)
≤
≤ µ−k+1 + εh
([
Ii(x
1
(
θk+1)
)]α
,
[
Ii(x
(
θk+1)
)]α)
+ εh
([
Ii
(
x1(tj)
)]α
,
[
Ii
(
x1(θk+1)
)]α)
≤
≤ µ−k+1 + ελµ−k+1 + εh
([
Ii
(
x1(tj)
)]α
,
[
Ii
(
x1(θk+1)
)]α)
≤
≤ (1 + ελ)µ−k+1 + η∗. (43)
Из (23) и (24) следует, что
µ+
k+1 ≤ (1 + ελ)eελγkµ+
k + β, β =
η∗
λ
(1 + ελ)
(
e2πλε − 1
)
+ η∗.
Таким образом,
µ+
1 ≤ (1 + ελ)eλεγ0µ+
0 + β ≤ (1 + ελ)e2πλεµ+
0 + β,
µ+
2 ≤ (1 + ελ)eελγ1µ+
1 + β ≤ (1 + ελ)2eελ(γ0+γ1)µ+
0 +
+β(1 + ελ)eελγ1 + β ≤ (1 + ελ)2e2πλεµ+
0 + β
(
(1 + ελ)e2πλε + 1
)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
µ+
k+1 ≤ (1 + ελ)k+1e2πλεµ+
0 + β
(
e2πλε((1 + ελ)k + . . .+ (1 + ελ)) + 1
)
=
= (1 + ελ)k+1e2πλεµ+
0 + β
(
e2πλε (1 + ελ)k − 1
ελ
(1 + ελ) + 1
)
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1576 Н. В. СКРИПНИК
≤ e2πλ(1+ν)εµ+
0 + η∗
(
1 + ελ
λ
(e2πλε − 1) + 1
)(
e2πλε e
λνε2π − 1
ελ
(1 + ελ) + 1
)
=
= κµ+
0 + β1,
где
κ = e2πλ(1+ν)ε,
β1 = 2πM1ε
(
1 + ελ
λ
(e2πλε − 1) + 1
)(
e2πλε
(
e2πλνε − 1
)
(1 + ελ) + ελ
)
.
Следовательно,
δ+
j+1 =
∥∥x(tj+1)− x1(tj+1)
∥∥ ≤ κδ+
j + β1.
Тогда получаем следующую последовательность оценок:
δ+
0 = 0, δ+
1 ≤ β1, δ+
2 ≤ κβ1 + β1 = (κ+ 1)β1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
δ+
j+1 ≤ (αj + . . .+ 1)β1 =
κj+1 − 1
κ− 1
β1 ≤
≤ 2πM1
eλL(1+ν) − 1
e2πλ(1+ν)ε − 1
(
1 + ελ
λ
(e2πλε − 1) + 1
)(
e2πλε
(
e2πλνε − 1
)
(1 + ελ) + ελ
)
ε.
Поскольку
lim
ε→0
(
1 + ελ
λ
(e2πλε − 1) + 1
)
= 1
и
lim
ε→0
e2πλε
(
e2πλνε − 1
)
(1 + ελ) + ελ
e2πλ(1+ν)ε − 1
= lim
ε→0
e2πλε e
2πλνε − 1
λε
+ 1
e2πλ(1+ν)ε − 1
λε
=
2νπ + 1
2(1 + ν)π
,
то
δ+
j+1 ≤ C0ε
при ε ≤ ε2. Поэтому при t ∈ (tj , tj+1] выполняется неравенство∥∥x(t)− x1(t)
∥∥ ≤ ∥∥x(t)− x(tj)
∥∥+
∥∥x(tj)− x1(tj)
∥∥+
∥∥x1(t)− x1(tj)
∥∥ ≤
≤ 2πM(1 + ν)ε+ 2πM1ε+ C0ε = (4πM1 + C0)ε. (44)
Учитывая неравенства (37), (41) и (44), получаем∥∥x(t)− y(t)
∥∥ ≤ C1ε, (45)
где C1 = πM1(eλ1L + 3) + 4πM1 + C0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 1577
Первая часть теоремы доказана.
Выбирая произвольное решение x(t) включения (22) и проводя оценки, аналогичные при-
веденным выше, находим решение y(t) включения (7) такое, что выполняется неравенство,
аналогичное (45), с некоторой постоянной C2. Выбирая C = max(C1, C2), убеждаемся в спра-
ведливости утверждения теоремы.
3. Заключение. Требование вогнутозначности правых частей исходного включения явля-
ется достаточно сильным и необходимо для обеспечения выпуклости множеств α-решений
исходного и усредненного включений для любого α ∈ [0, 1]. Если решение рассматривать в
пространстве Σn отображений x : Rn → [0, 1], удовлетворяющих условиям 1, 3 и 4 из определе-
ния пространства En, то требование вогнутозначности можно опустить, при этом утверждения
теорем останутся в силе.
1. Байдосов В. А. Дифференциальные включения с нечеткой правой частью // Докл. АН СССР. – 1989. – 309,
№ 4. – С. 781 – 783.
2. Байдосов В. А. Нечеткие дифференциальные включения // Прикл. математика и механика. – 1990. – 54, вып. 1. –
С. 12 – 17.
3. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. – М.: Радио и связь, 1982. – 432 с.
4. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под. ред. Д. А. Поспелова. – М.:
Наука, 1986. – 312 с.
5. Плотников А. В. Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным крите-
рием качества // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 1. – С. 105 – 110.
6. Aubin J.-P. Fuzzy differential inclusions // Problems Control and Inform. Theory. – 1990. – 19, № 1. – P. 55 – 67.
7. Aumann R. J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. and Appl. – 1965. – № 12. – P. 1 – 12.
8. Dubois D., Prade H. Fuzzy sets and systems. Theory and applications // Math. Sci. and Eng. – New York; London:
Acad. Press, 1980. – 393 p.
9. Hullermeier E. Towards modelling of fuzzy functions // EUFIT’95. – 1995. – P. 150 – 154.
10. Hullermeier E. An approach to modelling and simulation of uncertain dynamical system // Int. J. Uncertainty,
Fuzziness Knowledge-Based Systems. – 1997. – № 7. – P. 117 – 137.
11. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. – London: Taylor and
Francis Publ., 2003. – 178 p.
12. Lakshmikantham V., Tolstonogov A. A. Existence and interrelation between set and fuzzy differential equations //
Nonlinear Anal. – 2003. – 55. – P. 255 – 268.
13. Mengshu Guo., Xiaoping Xue, Ronglu Li. Impulsive functional differential inclusions and fuzzy population models //
Fuzzy Sets and System. – 2003. – 138. – P. 601 – 615.
14. Park J. Y., Han H. K. Existence and uniqueness theorem for a solution of fuzzy differential equations // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 1999. – 22, № 2. – P. 271 – 279.
15. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Plotnikova L. I. On the averaging of differential inclusions with fuzzy right-hand side
when the average of the right-hand side is absent // Iran. J. Optimiz. – 2010. – 2, № 3. – P. 506 – 517.
16. Plotnikov A. V. Averaging of fuzzy integrodifferential inclusions // Int. J. Control Sci. and Eng. – 2011. – 1, № 1. –
P. 8 – 14.
17. Plotnikov A. V., Komleva T. A. Full averaging of control fuzzy integrodifferential inclusions with terminal criterion
of quality // Int. J. Control Sci. and Eng. – 2013. – 3, № 2. – P. 68 – 72.
18. Zadeh L. Fuzzy sets // Inform. and Control. – 1965. – № 8. – P. 338 – 353.
Получено 24.10.13,
после доработки — 19.01.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
|