Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения
Викладено новий підхід до дослідження нєчіткої початкової задачі. При цьому використано дєякі варiанти принципу порівняння для отримання умов існування розв'язків множини диференціальних рівнянь....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166315 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1512–1527. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166315 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1663152020-02-19T01:27:59Z Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. Статті Викладено новий підхід до дослідження нєчіткої початкової задачі. При цьому використано дєякі варiанти принципу порівняння для отримання умов існування розв'язків множини диференціальних рівнянь. The paper presents a new approach to the investigation of the first-order fuzzy initial-value problems. We use different versions of the comparison principle to establish conditions for the existence of solutions of a set of differential equations. 2014 Article Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1512–1527. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166315 517.36 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения Український математичний журнал |
| description |
Викладено новий підхід до дослідження нєчіткої початкової задачі. При цьому використано дєякі варiанти принципу порівняння для отримання умов існування розв'язків множини диференціальних рівнянь. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения |
| title_short |
Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения |
| title_full |
Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения |
| title_fullStr |
Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения |
| title_full_unstemmed |
Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения |
| title_sort |
анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166315 |
| citation_txt |
Анализ множества траекторий нечетких уравнений возмущенного движения / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1512–1527. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa analizmnožestvatraektorijnečetkihuravnenijvozmuŝennogodviženiâ AT martynûkčernienkoûa analizmnožestvatraektorijnečetkihuravnenijvozmuŝennogodviženiâ |
| first_indexed |
2025-07-14T21:08:33Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:08:33Z |
| _version_ |
1837658080736706560 |
| fulltext |
УДК 517.36
А. А. Мартынюк, Ю. А. Мартынюк-Черниенко (Ин-т механики НАН Украины, Киев)
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ НЕЧЕТКИХ УРАВНЕНИЙ
ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Thе paper presents a new approach to the investigation of the first-order fuzzy initial-value problem. We use different
versions of the comparison principle to establish conditions for the existence of solutions of a set of differential equations.
Викладено новий пiдхiд до дослiдження нечiткої початкової задачi. При цьому використано деякi варiанти принципу
порiвняння для отримання умов iснування розв’язкiв множини диференцiальних рiвнянь.
Введение. В этой статье рассматривается нечеткая модель уравнений возмущенного движения
реальной системы с неточными значениями параметров. В результате регуляризации получено
семейство нечетких уравнений, для которого установлены условия существования решений, по-
лучена оценка расстояния между двумя семействами решений, указаны условия существования
последовательных приближений, исследована непрерывная зависимость семейства решений от
начальных данных, найдены условия глобального существования решений, установлены усло-
вия существования ε-приближения решений и приведена одна общая теорема об устойчивости
стационарного решения семейства регуляризованных уравнений.
1. Обозначения и определения (см. [1, 2] и приведенную там библиографию). Пространст-
во En состоит из отображений u : Rn → [0, 1], которые удовлетворяют следующим условиям:
1) u полунепрерывно сверху по Бэру;
2) существует x0 ∈ Rn такое, что u(x0) = 1;
3) u является нечетко выпуклым, т. е.
u(λx+ (1− λ)y) ≥ min(u(x), u(y))
при любом значении λ ∈ [0, 1];
4) замыкание множества {x ∈ Rn : u(x) > 0} является компактным подмножеством в Rn.
Пара (En, d) является полным метрическим пространством. Здесь d(u, v) = sup
{
dH([u]β, [v]β) :
β ∈ [0, 1]
}
при всех u, v ∈ En, dH(·) — расстояние Хаусдорфа между множествами.
Метрика d удовлетворяет следующим условиям:
1) d[cu, cv] = |c|d[u, v];
2) d[u+ w, v + w] = d[u, v];
3) d[u+ w, v + w′] ≤ d[u, v] + d[w,w′]
при всех c > 0 и u, v, w, w′ ∈ En.
Некоторые другие сведения из многозначного анализа имеются в монографиях [1, 2], кото-
рые используются в данной статье.
2. Существование решений регуляризованного уравнения. Пусть уравнения возмущен-
ного движения некоторой реальной системы (или процесса) представлены в виде
dx
dt
= f(t, x, α), x(t0) = x0, (1)
c© А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО, 2014
1512 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ НЕЧЕТКИХ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 1513
где x ∈ En, f ∈ C(R+ × En × I,En), α ∈ I — параметр неточности, I — компактное множест-
во в Rd.
Наряду с уравнением (1) будем рассматривать семейство дифференциальных уравнений [3]
du
dt
= fκ(t, u), u(t0) = u0, (2)
где fκ(t, u) = fM (t, u)κ+(1−κ)fm(t, u) и fM (t, ·) = co
⋃
α∈I
f(t, ·, α), fm(t, ·) = co
⋂
α∈I
f(t, ·, α).
Предположим, что fκ ∈ C(I × En,En), I = [t0, t0 + a], t0 ≥ 0, a > 0, κ ∈ [0, 1]. Заметим,
что отображения uκ : I → En являются решениями начальной задачи (2), если они слабо
непрерывны и удовлетворяют интегральному уравнению
uκ(t) = u0 +
t∫
t0
fκ(s, uκ(s))ds (3)
при всех t ∈ I и любом κ ∈ [0, 1]. Нечеткое уравнение (2) будем называть регуляризованным
уравнением системы (1). Заметим также, что для любого uκ(t), удовлетворяющего уравне-
нию (3),
diam[uκ(t)]β ≥ diam[uκ0 ]β, β ∈ [0, 1],
при любом κ ∈ [0, 1], т. е. диаметр множества любого β-уровня является неубывающим. Для
начальной задачи (2) имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом κ ∈ [0, 1] семейство fκ(t, u) принадлежит C(I × En,En);
2) существуют постоянные Lκ, κ ∈ [0, 1], для которых
d[fκ(t, u), fκ(t, v)] ≤ Lκd[u, v]
при всех t ∈ I, u, v ∈ En.
Тогда семейство уравнений (2) имеет единственное решение на I при любом κ ∈ [0, 1].
Доказательство. На пространстве C(I,En) всех непрерывных функций uκ(t) определим
метрику
H(u, v) = sup
I
d[u(t), v(t)]e−λt
при всех u, v ∈ En и λ = 2 maxLκ, κ ∈ [0, 1]. Из того, что пара (En, d) является полным
метрическим пространством, следует, что (C(I,En), H) также полно.
Пусть uκ принадлежит C(I,En) при всех κ ∈ [0, 1] и оператор Tuκ определен соотноше-
нием
Tuκ(t) = u0 +
t∫
t0
fκ(s, uκ(s))ds, κ ∈ [0, 1].
Очевидно, что Tuκ ∈ C(I,En) и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1514 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
d[Tuκ(t), T vκ(t)] = d
u0 +
t∫
t0
fκ(s, uκ(s))ds, u0 +
t∫
t0
fκ(s, vκ(s))ds
=
= d
t∫
t0
fκ(s, uκ(s))ds,
t∫
t0
fκ(s, vκ(s))ds
≤
≤
t∫
t0
d[fκ(s, uκ(s))ds, fκ(s, vκ(s))ds] < max
κ
Lκ
t∫
t0
d[uκ(s), vκ(s)]ds, t ∈ I,
при любом значении κ ∈ [0, 1]. Поскольку d[u, v] = H(u, v)eλt,
e−λtd[Tuκ(t), T vκ(t)] < max
κ
Lκe
−λtH[uκ, vκ]
t∫
t0
eλsds ≤
max
κ
Lκ
λ
H[uκ, vκ]. (4)
Вследствие выбора λ из неравенства (4) следует, что
H[Tuκ, T vκ] <
1
2
H[uκ, vκ].
Это значит, что оператор Tuκ — сжимающий, и поэтому существует неподвижная точка опе-
ратора Tuκ такая, что uκ(t) является решением семейства уравнений (2) при любом κ ∈ [0, 1].
Далее понадобится следующая лемма.
Лемма 1 [4]. Пусть отображение F : I → En непрерывно дифференцируемое на ком-
пактном интервале I ⊂ R. Тогда
d(F (b), F (a)) ≤ (b− a) sup
t∈I
d(F ′(t), θ̂), (5)
где θ̂(x) =
{
1, если x = 0,
0, x ∈ Rn \ 0.
Неравенство (5) следует из того, что
d(F (b), F (a)) = d
(∫
F ′, θ̂
)
≤
∫
d(F ′, θ̂) ≤ (b− a) sup
t∈I
d(F ′(t), θ̂).
В метрическом пространствеC(I,En) будем применять метрикуH∗[u, v] = sup
I
d[u(t), v(t)],
где u, v ∈ C(I,En). Для каждого uκ ∈ C(I,En) определим отображение
Tuκ = u0 +
t∫
t0
fκ(s, uκ(s))ds, κ ∈ [0, 1].
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом κ ∈ [0, 1] fκ(t, u) принадлежит C(I × En,En);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ НЕЧЕТКИХ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 1515
2) существуют постоянные Mκ > 0, κ ∈ [0, 1], такие, что
d[fκ(t, u), θ̂] ≤Mκ
при всех t ∈ I и u ∈ En.
Тогда семейство уравнений (2) имеет решение uκ(t) на I при любом κ ∈ [0, 1].
Доказательство. В метрическом пространстве C(I,En) будем рассматривать ограничен-
ное множество B. Множество TB =
{
Tuκ : uκ ∈ B,κ ∈ [0, 1]
}
будет ограничено, если оно
эквинепрерывно и при любом t ∈ I множество [TB](t) =
{
[Tuκ](t) : t ∈ I,κ ∈ [0, 1]
}
является
ограниченным подмножеством пространства En.
Согласно лемме 1, для значений t1 < t2 ∈ I и uκ ∈ B справедлива оценка
d[Tuκ(t1), Tuκ(t2)] ≤ |t2 − t1|max
I
d[f(t, uκ(t)), θ̂] ≤ |t2 − t1|Mκ < |t2 − t1|M, (6)
где M = max
κ
Mκ . Отсюда следует эквинепрерывность TB.
Для любого фиксированного t ∈ I имеет место оценка
d[Tuκ(t), Tuκ(t1)] < |t− t1|M (7)
при любом t1 ∈ I и uκ ∈ B, κ ∈ [0, 1]. Из неравенства (7) следует, что множество {[Tuκ](t) :
uκ ∈ B,κ ∈ [0, 1]} ограничено в пространстве En. Согласно теореме Асколи, множество TB
является относительно компактным подмножеством пространства C(I,En).
Далее в метрическом пространстве (C(I,En), H∗) рассмотрим шар B∗ = {uκ ∈ C(I,En) :
H∗(uκ, θ̂) < aM,κ ∈ [0, 1]}. Очевидно, что TB ⊂ B∗, так как uκ ∈ C(I,En), κ ∈ [0, 1] и
d[Tuκ(t), Tuκ(t0)] = d[Tuκ(t), θ̂] ≤ |t− t0|Mκ < aM при любом κ ∈ [0, 1]. Пусть θ̂(t) = 0̂ при
t ∈ I, где θ̂(t) : I → En. Тогда
H∗[Tuκ, T 0̂] = sup
I
d[(Tuκ)(t), (T 0̂)(t)] ≤ |t− t0|Mκ < aM.
Поскольку отображение T компактно, согласно теореме Шаудера о неподвижной точке, отоб-
ражение T имеет неподвижную точку, являющуюся решением uκ(t) семейства уравнений (2)
при любом κ ∈ [0, 1].
3. Оценка расстояния между решениями задачи (2). Поскольку
fm(t, u) ≤ fκ(t, u) ≤ fM (t, u), κ ∈ [0, 1],
при всех (t, u) ∈ I × En, представляет интерес установить оценку расстояния между любыми
двумя решениями uκ(t), vκ(t) задачи (2) в зависимости от начальных условий.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Предположим, что выполняются следующие условия:
1) при любом κ ∈ [0, 1] семейство fκ принадлежит C(I ×En,En) при всех (t, u) ∈ I ×En;
2) существует функция g(t, w), не убывающая по w при каждом t, g ∈ C(I × R+,R),
такая, что
d[fκ(t, u), fκ(t, v)] ≤ g(t, d[u, v])
при всех (t, u, v) ∈ I × En и любом значении κ ∈ [0, 1];
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1516 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
3) существует максимальное решение r(t, t0, w0) скалярного уравнения
dw
dt
= g(t, w), w(t0) = w0 ≥ 0,
при всех t ∈ I .
Тогда для любых двух решений uκ(t) и vκ(t), порождаемых начальными условиями (u0, v0) :
d[u0, v0] ≤ w0, расстояние оценивается так:
d[uκ(t), vκ(t)] ≤ r(t, t0, w0) (8)
при всех t ∈ I и любом κ ∈ [0, 1].
Доказательство. Обозначим d[uκ(t), vκ(t)] = m(t) при любом κ ∈ [0, 1]. Очевидно, что
m(t0) = d[u0, v0]. Согласно соотношению (3) получим
m(t) = d
u0 +
t∫
t0
fκ(s, uκ(s))ds, v0 +
t∫
t0
fκ(s, vκ(s))ds
≤
≤ d
t∫
t0
fκ(s, uκ(s))ds,
t∫
t0
fκ(s, vκ(s))ds
+ d[u0, v0] (9)
при любом значении κ ∈ [0, 1]. Из (9) следует, что
m(t) ≤ m(t0) +
t∫
t0
d[fκ(s, uκ(s)), fκ(s, vκ(s))]ds ≤
≤ m(t0) +
t∫
t0
g(s, d[uκ(s), vκ(s)])ds = m(t0) +
t∫
t0
g(s,m(s))ds, t ∈ I. (10)
Применяя к неравенству (10) теорему 1.6.1 из монографии [5], получаем оценку (8), которая
выполняется при любых значениях κ ∈ [0, 1].
Условие 2 теоремы 3 может быть ослаблено при сохранении ее утверждения.
Теорема 4. Предположим, что выполняются следующие условия:
1) при любом κ ∈ [0, 1] семейство fκ принадлежит C(I ×En,En) при всех (t, u) ∈ I ×En;
2) существуют функции gκ ∈ C(I × R+,R) такие, что
lim sup{[d[u+ hfκ(t, u), v + hfκ(t, v)]]h−1 − d[u, v] : h→ 0+} ≤ gκ(t, d[u, v])
при всех κ ∈ [0, 1] и (t, u, v) ∈ R× En;
3) на I существует максимальное решение rκ(t, t0, w0) семейства уравнений сравнения
dw
dt
= gκ(t, w), w(t0) = w0 ≥ 0. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ НЕЧЕТКИХ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 1517
Тогда для любых двух решений uκ(t) и vκ(t), порождаемых начальными условиями (u0, v0) :
d[u0, v0] ≤ w0, расстояние оценивается неравенством
d[uκ(t), vκ(t)] ≤ r(t, t0, w0)
при всех t ∈ I, κ ∈ [0, 1], где r(t, t0, w0) = max
κ
rκ(t, t0, w0).
Доказательство. Пусть m(t) = d[uκ(t), vκ(t)] при любом κ ∈ [0, 1]. Вычислим разность
m(t+ h)−m(t) = d[uκ(t+ h), vκ(t+ h)]− d[uκ(t), vκ(t)] ≤
≤ d[uκ(t+ h), uκ(t) + hfκ(t, uκ(t))] + d[vκ(t) + hfκ(t, vκ(t)), vκ(t+ h)]+
+d[hfκ(t, uκ(t)), hfκ(t, vκ(t))]− d[uκ(t), vκ(t)], κ ∈ [0, 1].
Отсюда следует, что
D+m(t) = lim sup{[m(t+ h)−m(t)]h−1 : h→ 0+} ≤
≤ lim sup{[d[uκ(t) + hfκ(t, uκ(t)), vκ(t) + hfκ(t, vκ(t))]]h−1 : h→ 0+}−
−d[uκ(t), vκ(t)] + lim
h→0+
sup
{[
d
[
uκ(t+ h)− uκ(t)
h
, fκ(t, uκ(t))
]]}
+
+ lim
h→0+
sup
{
d
[
fκ(t, vκ(t)),
vκ(t+ h)− vκ(t)
h
]}
≤
≤ gκ(t, d[u, v]) = gκ(t,m(t)), t ∈ I, при всех κ ∈ [0, 1]. (12)
Применяя к семейству неравенств (12) теорему 1.6.1 из монографии [5], убеждаемся, что для
каждого κ ∈ [0, 1] выполняется оценка
d[uκ(t), vκ(t)] ≤ rκ(t, t0, w0)
и, следовательно, d[uκ(t), vκ(t)] ≤ r(t, t0, w0) при всех t ∈ I и κ ∈ [0, 1].
Теорема 4 доказана.
Из теоремы 4 следует возможность оценки расстояния от любого решения uκ(t) семейства
уравнений (2) до „точки” θ̂ ∈ En.
Следствие 1. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом κ ∈ [0, 1] семейство fκ принадлежит C(I × En,En);
2) существует семейство функций g∗κ ∈ C(I × R+,R) такое, что
а) d[fκ(t, u), θ̂] ≤ g∗κ(t, d[u, θ̂]) или
б) lim sup{[d[u + hfκ(t, u), θ̂] − d[u, θ̂]]h−1 : h → 0+} ≤ g∗κ(t, d[u, θ̂]) при всех t ∈ I, κ ∈
∈ [0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1518 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Тогда если u0 : d[u0, θ̂] ≤ w0, то
d[uκ(t), θ̂] ≤ r(t, t0, w0), t ∈ I, (13)
при всех κ ∈ [0, 1], где r(t, t0, w0) = max
κ
rκ(t, t0, w0) и rκ(t, t0, w0) — максимальное решение
семейства уравнений сравнения
dw
dt
= g∗κ(t, w), w(t0) = w0 ≥ 0.
Следствие 2. Пусть в следствии 1 g∗κ(t, d[u, θ̂]) = λ(t)d[u, θ̂], где λ(t) > 0 при всех t ∈ I .
Тогда оценка (13) принимает вид
d[uκ(t), θ̂] ≤ d[u0, θ̂] exp
t∫
t0
λ(s)ds
, t ∈ I,
при любом κ ∈ [0, 1].
4. Построение последовательных приближений. Рассмотрим задачу (2) при условиях
более общих, чем условие Липшица, и укажем условия сходимости последовательных прибли-
жений.
Введем обозначение S(u0, b) = {u ∈ En : d[u, u0] ≤ b} и будем рассматривать семейство
fκ(t, u) в области Φ = I × S(u0, b) при всех κ ∈ [0, 1].
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 5. Предположим, что выполняются следующие условия:
1) при всех κ ∈ [0, 1] семейство fκ(t, u) принадлежит C(Φ,En) и d[fκ(t, u), θ̂] ≤ M0(κ)
на Φ;
2) существуют функция g(t, w) ∈ C(I × [0, 2b],R) и постоянная M1 такие, что 0 ≤
≤ g(t, w) ≤M1 при всех (t, w) ∈ I× [0, 2b], g(t, 0) = 0 при всех t ∈ I и w(t) = 0 — единственное
решение уравнения
dw
dt
= g(t, w), w(t0) = 0; (14)
3) при всех κ ∈ [0, 1] справедлива оценка
d[fκ(t, u), fκ(t, v)] ≤ g(t, d[u, v])
в области значений (t, u, v) ∈ Φ.
Тогда последовательные приближения
un+1(t) = u0 +
t∫
t0
fκ(s, un(s))ds, n = 0, 1, 2, . . . , (15)
существуют на интервале [t0, t0 + ∆], где ∆ = min{a, b/M}, M = max{M0,M1}, M0 =
= max
κ
M0(κ), как непрерывные функции, и их сходимость к единственному решению uκ(t)
семейства уравнений (2) является равномерной на [t0, t0 + ∆].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ НЕЧЕТКИХ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 1519
Доказательство. Из соотношения (15) имеем
d[un+1(t), u0] = d
u0 +
t∫
t0
fκ(s, un(s))ds, u0
=
= d
t∫
t0
fκ(s, un(s))ds, θ̂
≤ t∫
t0
d[fκ(s, un(s)), θ̂]ds ≤
≤M0(κ)(t− t0) ≤M0(κ)a ≤ b, (16)
где a = (t − t0) при t0 ≥ 0. Из (16) следует, что {un(t)} корректно определены на [t0, t0 + ∆]
при любом κ ∈ [0, 1].
Для уравнения (15) последовательные приближения определим так (см. [1]):
w0(t) = M(t− t0), wn+1(t) =
t∫
t0
g(s, wn(s))ds, t0 ≤ t ≤ t0 + ∆, n = 0, 1, 2, . . . .
Нетрудно показать, что
0 ≤ wn+1(t) ≤ wn(t) при t ∈ [t0, t0 + ∆].
Из того, что |w′n(t)| ≤ g(t, wn−1(t)) ≤ M1, по теореме Арцела – Асколи находим, что
limn→∞wn(t) = w(t) равномерно по t ∈ [t0, t0 + ∆], так как последовательность wn(t) мо-
нотонна. Функция w(t) удовлетворяет уравнению (14) и в силу условия 2 теоремы 5 условию
w(t) ≥ 0 при всех t ∈ [t0, t0 + ∆].
Из оценки (16) следует, что
d[u1(t), u0] ≤
t∫
t0
d[fκ(s, u0), θ̂]ds ≤M(t− t0) = w0(t)
при всех κ ∈ [0, 1].
Пусть для некоторого k справедлива оценка
d[uk(t), uk−1(t)] ≤ wk−1(t) на [t0, t0 + ∆].
Из того, что
d[uk+1(t), uk(t)] ≤
t∫
t0
d[fκ(s, uκ(s)), fκ(s, uk−1(s))]ds,
и в силу монотонности функции g(t, w) относительно w получаем
d[uk+1(t), uk(t)] ≤
t∫
t0
g(s, d[uκ(s), uk−1(s)])ds ≤
t∫
t0
g(s, wk−1(s))ds = wk(t). (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1520 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Из (17) по индукции находим
d[un+1(t), un(t)] ≤ wn(t), t ∈ [t0, t0 + ∆],
при любом n = 0, 1, 2, . . . и κ ∈ [0, 1].
Обозначим v(t) = d[un+1(t), un(t)] при t ∈ [t0, t0 + ∆]. Нетрудно получить оценку
D+v(t) ≤ g(t, d[un(t), un−1(t)]) ≤ g(t, wn−1(t)). (18)
Пусть n ≤ m, n = 0, 1, 2, . . . . Для расстояния между u′n ≡ dun/dt и u′m ≡ dum/dt получаем
d[u′n(t), u′m(t)] = d[fκ(t, un−1(t)), fκ(t, um−1(t))] ≤ d[fκ(t, un(t)), fκ(t, un−1(t))]+
+d[fκ(t, un−1(t)), fκ(t, um−1(t))] + d[fκ(t, um(t)), fκ(t, um−1(t))] ≤
≤ g(t, wn−1(t)) + g(t, wm−1(t)) + g(t, d[un(t), um(t)]) (19)
при всех κ ∈ [0, 1]. Из (19) следует, что
D+v(t) ≤ d[u′n(t), u′m(t)] ≤ g(t, v(t)) + 2g(t, wn−1(t)), t ∈ [t0, t0 + ∆].
Поскольку g(t, w) — не убывающая по w функция, получаем оценку wm−1 ≤ wn−1 при любом
n ≤ m ({wn(t)} — убывающая последовательность). Согласно теореме 1.4.1 (см. [6]) получаем
v(t) ≤ rn(t), t ∈ [t0, t0 + ∆],
при любом n = 0, 1, 2, . . . . Здесь rn(t) — максимальное решение уравнения
drn
dt
= g(t, rn) + 2g(t, wn−1(t)), rn(t0) = 0. (20)
Поскольку при n → ∞ 2g(t, wn−1(t)) → 0 равномерно на [t0, t0 + ∆], rn(t) → 0 равномерно
на [t0, t0 + ∆]. Отсюда следует, что последовательность {un(t)} сходится к решению uκ(t)
задачи (2) равномерно по t ∈ [t0, t0 + ∆] при любом κ ∈ [0, 1] и является решением семейства
уравнений (2).
Чтобы показать единственность решения задачи (2) при выполнении условий теоремы 5,
рассмотрим другое решение u0(t) задачи (2). Пусть m(t) = d[uκ(t), u0(t)] и m(t0) = 0. Из того,
что D+m(t) ≤ g(t,m(t)) при t ∈ I и m(t) ≤ r(t, t0, 0) при всех t ∈ I, следует, что uκ(t) = u0(t)
при всех t ∈ I и κ ∈ [0, 1].
5. О непрерывной зависимости семейства решений задачи (2) от начальных условий.
Установим вначале следующий результат.
Лемма 2. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом κ ∈ [0, 1] семейство fκ принадлежит C(I × En,En) и определено
Gκ(t, r) = max
d[u,u0]≤r
d[fκ(t, u), θ̂];
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ НЕЧЕТКИХ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 1521
2) для семейства уравнений
dw
dt
= Gκ(t, w), w(t0) = 0, (21)
существует максимальное решение r∗(t, t0, 0) = max
κ
rκ(t, t0, 0), где rκ(t, t0, 0) — решение
семейства уравнений (21) на I .
Тогда
d[uκ(t, t0, 0), θ̂] ≤ r∗(t, t0, 0)
при всех t ∈ I и κ ∈ [0, 1].
Доказательство. Пусть m(t) = d[uκ(t, t0, 0), u0] при всех t ∈ I и κ ∈ [0, 1]. Согласно
следствию 1 имеем
D+m(t) ≤ d
[
duκ(t, t0, 0)
dt
, θ̂
]
= d[fκ(t, uκ(t, t0, 0)), θ̂] ≤
≤ max
d[u,u0]≤m(t)
d[fκ(t, u), θ̂] = Gκ(t,m(t)).
Применяя к задаче (21) теорему 1.4.1 из монографии [6], получаем оценку
m(t) ≤ d[uκ(t, t0, 0), θ̂] ≤ rκ(t, t0, 0) < r∗(t, t0, 0)
при всех t ∈ I и κ ∈ [0, 1].
Теорема 6. Пусть выполняются условия теоремы 4 и, кроме того, семейство решений
rκ(t, t0, 0) уравнений (21) непрерывно относительно (t0, w0) при любом κ ∈ [0, 1]. Тогда семей-
ство решений uκ(t, t0, u0) задачи (2) непрерывно относительно (t0, w0) при любом κ ∈ [0, 1].
Доказательство. Пусть uκ(t, t0, u0) и vκ(t, t0, v0) — некоторые решения семейства уравне-
ний (2). Из теоремы 4 следует, что
d[uκ(t, t0, u0), vκ(t, t0, v0)] ≤ r∗(t, t0, d[u0, v0])
при всех t ∈ I и κ ∈ [0, 1]. Поскольку limu0→v0 r
∗(t, t0, d[u0, v0]) = r∗(t, t0, 0) равномерно по t ∈
∈ I, согласно предположению r∗(t, t0, 0) ≡ 0, limu0→v0 d[uκ(t, t0, u0), vκ(t, t0, v0)] = 0. Отсюда
следует, что uκ(t, t0, u0) непрерывно относительно u0 при всех κ ∈ [0, 1]. Непрерывность
uκ(t, t0, u0) относительно t0 основывается на лемме 2 и аналогичных рассуждениях для двух
семейств решений uκ(t, t0, u0) и vκ(t, τ0, v0), где τ0 ≥ t0, κ ∈ [0, 1].
6. Условия глобального существования решений задачи (2). Продолжим исследование
семейства уравнений (2) и установим условия существования решений при всех t ≥ t0.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 7. Предположим, что семейство уравнений (2) удовлетворяет следующим усло-
виям:
1) при всех κ ∈ [0, 1] отображение fκ принадлежит C(R+ × En,En);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1522 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
2) существует семейство функций gκ ∈ C(R+ × R+,R) (gκ(t, w) — не убывающие по w
функции при всех t ∈ R+) таких, что
d[fκ(t, u), θ̂] ≤ g∗κ(t, d[u, θ̂])
при всех (t, u) ∈ R+ × En и κ ∈ [0, 1];
3) существует максимальное решение семейства уравнений сравнения
dw
dt
= g∗κ(t, w), w(t0) = w0 ≥ 0, (22)
при всех t ≥ t0.
Тогда если локальное решение uκ(t, t0, u0) начальной задачи (2) существует, то макси-
мальным интервалом его существования при начальных условиях u0 : d[u0, θ̂] ≤ w0 является
интервал [t0,∞) при всех κ ∈ [0, 1].
Доказательство. Пусть семейство решений uκ(t, t0, u0) при κ ∈ [0, 1] имеет начальные
значения u0 : d[u0, θ̂] ≤ w0 и существует на интервале [t0, b), 0 < b < ∞, где b не может быть
увеличено. Для m(t) = d[uκ(t, t0, u0), θ̂], согласно следствию 1, имеем оценку
m(t) ≤ r(t, t0, w0) (23)
при всех t0 ≤ t < b. При любых (t1, t2) ∈ [t0, b), t1 < t2, для решений uκ(t1) и uκ(t2)
справедлива оценка
d[uκ(t1), uκ(t2)] = d
u0 +
t1∫
t0
fκ(s, uκ(s))ds, u0 +
t2∫
t0
fκ(s, uκ(s))ds
=
= d
t2∫
t1
fκ(s, uκ(s))ds, θ̂
≤ t2∫
t1
d[fκ(s, uκ(s)), θ̂]ds ≤
t2∫
t1
g∗κ(s, d[uκ(s), θ̂])ds (24)
при всех κ ∈ [0, 1]. Из оценки (24) и условия 3 теоремы 7 имеем
d[uκ(t1), uκ(t2)] ≤
t2∫
t1
g∗κ(s, r(s, t0, w0))ds = r(t2, t0, w0)− r(t1, t0, w0) (25)
при всех κ ∈ [0, 1].
По предположению limt→b− r(t, t0, w0) существует и конечен. Поэтому при t1, t2 → b−
находим, что limt→b− uκ(t, t0, u0) существует также при любом значении κ ∈ [0, 1]. В этом
случае limt→b− uκ(t, t0, u0) = uκ(b, t0, u0) = uκ(b).
Задачу (2) рассмотрим в виде
du
dt
= fκ(t, u), u(b) = u(b, t0, u0). (26)
Поскольку по предположению локальное решение uκ(t, t0, u0) существует, решение задачи
(26) может быть продолжено за пределы величины b, что противоречит сделанному выше
предположению. Следовательно, семейство решений uκ(t, t0, u0) существует при всех t ≥ t0,
как только u0 : d[u0, θ̂] ≤ w0 и выполняются все условия теоремы 7.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ НЕЧЕТКИХ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 1523
Замечание 1. Теорема 7 остается в силе, если существует хотя бы одно значение κ∗ ∈
∈ [0, 1], при котором выполняются все ее условия.
7. О приближенном решении семейства уравнений (1). Множество регуляризованных
уравнений (2) является некоторым приближением семейства неточных уравнений (1). Представ-
ляет интерес задача о приближенном решении семейства уравнений (1) на основе множества
решений семейства уравнений (2).
Далее будем использовать следующее определение (см. [1, 2] и приведенную там библио-
графию).
Определение 1. Семейство функций uκ(t) ∈ C(R+,En) является ε-приближенным реше-
нием множества уравнений (1), если при заданном ε > 0 существует κ∗ ∈ [0, 1] такое, что
d[u(t), uκ∗(t)] ≤ ε при всех t ≥ t0.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 8. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом κ ∈ [0, 1] отображение fκ принадлежит C(R+ × En,En) и при всех α ∈ I
отображение f принадлежит C(R+ × En × I,En);
2) существует семейство функций gκ(t, w) ∈ C(R+×R+,R), не убывающих по w, таких,
что
d[fκ(t, u), f(t, v, α)] ≤ gκ(t, d[u, v])
при всех κ ∈ [0, 1] и любом α ∈ I;
3) существует максимальное решение семейства начальных задач
dw
dt
= gκ(t, w), w(t0) = w0 ≥ 0, (27)
при всех t ≥ t0;
4) существует хотя бы одно значение κ∗ ∈ [0, 1], при котором 0 < r(t, t0, w0) < ε при
всех t ≥ t0.
Тогда uκ∗(t) является ε-приближенным решением начальной задачи (1), как только d[u0, v0] ≤
≤ w0.
Доказательство. Обозначим m(t) = d[u(t), v(t)], где v(t) = uκ(t) при любом κ ∈ [0, 1].
Учитывая, что
u(t) = u0 +
t∫
t0
f(s, u(s), α)ds
и
v(t) = v0 +
t∫
t0
fκ(s, v(s))ds,
получаем, что при всех κ ∈ [0, 1] справедлива оценка
m(t) = d
u0 +
t∫
t0
f(s, u(s), α)ds, v0 +
t∫
t0
fκ(s, v(s))ds
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1524 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
≤ d[u0, v0] + d
t∫
t0
f(s, u(s), α)ds,
t∫
t0
fκ(s, v(s))ds
≤
≤ d[u0, v0] +
t∫
t0
d[f(s, u(s), α), fκ(s, v(s))]ds ≤ d[u0, v0]+
+
t∫
t0
gκ(s, d[u(s), v(s)])ds ≤ w0 +
t∫
t0
gκ(s,m(s))ds. (28)
Применяя к неравенству (27) теорему 1.6.1 из монографии [5], получаем оценку
m(t) ≤ r(t, t0, w0) при всех t ≥ t0, (29)
где r(t, t0, w0) — максимальное решение семейства уравнений (27). При выполнении условия 4
теоремы 8 из (29) следует, что uκ∗(t) при κ∗ ∈ [0, 1] является ε-приближенным решением
начальной задачи (1).
8. Анализ устойчивости стационарного решения семейства уравнений (2). В работе [3]
приведена постановка задачи об устойчивости стационарного решения θ̂0 ∈ En семейства урав-
нений (2) и указаны условия устойчивости на основе прямого метода Ляпунова. В этом пункте
анализ устойчивости предлагается проводить на основе обобщенного принципа сравнения.
Напомним некоторые определения обобщенного принципа сравнения.
Рассматривается семейство уравнений
dw
dt
= g∗κ(t, w,w), w(t0) = w0 ≥ 0, (30)
в котором gκ ∈ C(R+ × R+ × R+,R) и gκ(t, 0, 0) = 0 при всех t ∈ R+ и κ ∈ [0, 1].
Определение 2. Тривиальное решение w = 0 семейства уравнений (30) эквиустойчиво,
если для любого ε∗ ∈ (0, H) и t0 ∈ R+ существует δ∗ = δ∗(t0, ε
∗) > 0 такое, что
wκ(t, t0, w0) < ε∗ при всех t ≥ t0
и при любых 0 < w0 < δ∗, где wκ(t, t0, w0) — любое решение семейства уравнений (30),
существующее при t ≥ t0 и при всех κ ∈ [0, 1].
Приведем одно неравенство, которое используется далее.
Лемма 3. Предположим, что:
1) семейство функций gκ(t, w,w) непрерывно в области значений t0 ≤ t ≤ t0+a и |w| <∞;
2) при каждом κ ∈ [0, 1] семейство функций gκ(t, w, ξ) квазимонотонно и не убывающее
по w при каждом (t, ξ) и монотонно не убывающее по ξ при каждом (t, w);
3) максимальное решение rκ(t, t0, w0) семейства уравнений (30) существует на интервале
t0 ≤ t ≤ t0 + a при любом κ ∈ [0, 1];
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ НЕЧЕТКИХ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 1525
4) m(t) — непрерывная функция, удовлетворяющая интегральному неравенству
m(t) ≤ m(t0) +
t∫
t0
gκ(s,m(s), ξ(s))ds (31)
при всех t ∈ [t0, t0 + a] и κ ∈ [0, 1].
Тогда
m(t) < r(t, t0, w0) (32)
при всех t ∈ [t0, t0 + a], где r(t, t0, w0) = max
κ
rκ(t, t0, w0).
Доказательство. Пусть функция v(t) определена при любом значении κ ∈ [0, 1] так:
v(t) = m(t0) +
t∫
t0
gκ(s,m(s), ξ(s))ds.
При этом получаем
m(t) ≤ v(t)
и
dv
dt
= gκ(t,m(t), ξ(t)). (33)
Поскольку семейство функций gκ(t,m(t), ξ(t)) при каждом κ ∈ [0, 1] удовлетворяет условию
2 леммы 3, имеем
dv
dt
≤ gκ(t, v(t), ξ(t)) (34)
при всех t ∈ [t0, t0 + a] и κ ∈ [0, 1]. Отсюда, согласно принципу сравнения (см. теорему 1.5.4
из монографии [7]), получаем оценку
m(t) ≤ rκ(t, t0, w0) < rκ(t, t0, w0)
при всех t ∈ [t0, t0 + a] и κ ∈ [0, 1].
Из леммы 3 вытекает такое следствие.
Следствие 3. Пусть в условиях леммы 3 неравенство (31) имеет вид
m(t) ≤ f(t) +
t∫
t0
gκ(s,m(s), ξ(s))ds
при всех t ∈ [t0, t0 + a] и κ ∈ [0, 1], где f(t) — непрерывная функция на t ∈ [t0, t0 + a]. Тогда
неравенство (32) принимает вид
m(t) ≤ f(t) + r∗(t, t0, w0),
где r∗(t, t0, w0) = max
κ
r∗κ(t, t0, w0) и r∗κ(t, t0, 0) — максимальное решение семейства уравнений
dz
dt
= gκ(t, f(t) + z, ξ(t)), z(t0) = 0,
существующее на интервале [t0, t0 + a] при любом κ ∈ [0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1526 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Приведем простые условия устойчивости стационарного решения θ̂0 семейства уравне-
ний (2).
Теорема 9. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом κ ∈ [0, 1] отображение fκ принадлежит C(R+×S(ρ),En), S(ρ) = {u ∈ En :
d[u, θ̂0] < ρ}, fκ(t, θ̂0) = θ̂0 при всех t ≤ t0;
2) существует семейство функций gκ(t, w,w), удовлетворяющих условиям леммы 3, та-
ких, что
lim
h→0+
sup{d[u+ hfκ(t, u), θ̂0]− d[u, θ̂0]} ≤ gκ(t, d[u, θ̂0], ξ(t))
при всех t ∈ R+, u ∈ S(ρ) и κ ∈ [0, 1].
Тогда из свойств устойчивости нулевого решения семейства уравнений (30) следуют со-
ответствующие свойства устойчивости стационарного решения θ̂0 семейства уравнений (2).
Доказательство. Пусть состояние w = 0 семейства уравнений (30) устойчиво. Обозначим
m(t) = d[u(t), θ̂0] и в силу условия 2 теоремы 9 получим
D+m(t) ≤ gκ(t,m(t), ξ(t)) (35)
при всех t ∈ R+ и κ ∈ [0, 1]. Из неравенства (35) и леммы 3 имеем оценку
m(t) ≤ rκ(t, t0, w0) (36)
при всех t ≥ t0 и κ ∈ [0, 1].
Пусть задано ε∗ ∈ (0, H) и t0 ∈ R+. Поскольку состояние w = 0 семейства уравнений (30)
устойчиво, для заданного ε∗ > 0 существует δ∗ = δ∗(ε∗) > 0 такое, что из условия w0 < δ∗
следует r∗(t, t0, w0) < ε∗ при всех t ≥ t0 и κ ∈ [0, 1]. Покажем, что если d[u0, θ̂0] < δ∗, то
d[uκ(t), θ̂0] < ε при всех t ≥ t0 и κ ∈ [0, 1]. Если это не верно, то должны существовать
решение ũκ(t) = ũκ(t, t0, u0), для которого d[u0, θ̂0] < δ∗, и t1 > t0 такое, что
d[ũκ(t1), θ̂0] = ε∗ и d[uκ(t), θ̂0] ≤ ε < ε∗
при t0 ≤ t < t1. Для значений t ∈ [t0, t1] имеем
d[uκ(t), θ̂0] ≤ rκ(t, t0, d[u0, θ̂0]) < r∗(t, t0, d[u0, θ̂0]) < ε∗.
Это противоречит сделанному предположению о существовании t1 > t0.
Теорема 9 доказана.
Замечание 2. Функция ξ(t) в условии 2 теоремы 9 играет роль корректирующей функции,
обеспечивающей „наилучшую” оценку в этом условии.
Замечание 3. Семейство функций gκ(t, w, ξ) при κ ∈ [0, 1] и замена функции ξ(t) множест-
вом решений uκ(t) уравнений (2) позволяют рассматривать расширенную систему
du
dt
= fκ(t, u(t)), u(t0) = u0,
w(t) = w(t0) +
t∫
t0
gκ(s, w(s), u(s))ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ НЕЧЕТКИХ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 1527
где κ ∈ [0, 1] и u ∈ En, с целью получения условий устойчивости стационарного решения θ̂0
системы (2) на основе условий устойчивости нулевого решения (u(t), w(t)) ∈ En относительно
части переменных.
9. Заключительные замечания. Проблемам анализа нечетких уравнений посвящено боль-
шое количество статей и монографий (см. [1, 2] и приведенную там библиографию). Предло-
женные подходы к качественному анализу решений или их построению позволяют рассмат-
ривать нечеткие модели явлений реального мира. Подход, изложенный в этой работе, основан
на процедуре „регуляризации” нечеткого уравнения с неточными параметрами (см. [8]). Его
общность и применимость адекватны другим подходам, в которых не используется процедура
регуляризации неточного уравнения, но он имеет то преимущество, которое следует из прин-
ципа сравнения в общей теории уравнений. Представляет интерес разработка предложенного
подхода в контексте с различными определениями производной нечетких функций, которые
обсуждаются в статье [9].
1. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. – London: Taylor and
Francis, 2003. – 178 p.
2. Плотников А. В., Скрыпник Н. В. Дифференциальные уравнения с „четкой” и нечеткой многозначной правой
частью. Асимптотические методы. – Одесса: Астропринт, 2009. – 191 с.
3. Мартынюк А. А., Мартынюк-Черниенко Ю. А. Устойчивость движения нелинейных систем с нечеткой харак-
теристикой параметров // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 1. – С. 50 – 70.
4. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 1990. – № 35. – Р. 389 – 396.
5. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A. A. Stability аnalysis of nonlinear systems. – New York: Marcel Dekker,
1989. – 315 p.
6. Lakshmikantham V., Leela S. Differential and integral inequalities. – New York: Acad. Press, 1969. – Vol. 1. – 319 p.
7. Rama Mohana Roo M. Ordinary differential equations. Theory and applications. – New Delhi; Madras: Affiliated
East-West Press Pvt, Ltd., 1980. – 266 p.
8. Martynyuk A. A., Martynyuk-Chernienko Yu. A., Sun Zhen Qi. Uncertain dynamical systems: stability and motion
control. – Beijing: Sci. Press, 2011. – 237 p.
9. Buckley J. J., Feuring T. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 2000. – 110. – P. 43 – 54.
Получено 29.08.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
|