Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов
Доведено теорему Кокрофта-Свона для n-вимірних проективних схрещених ланцюгових комплекмв (Pi,G,∂i), в яких G=A∗F — вшьний добуток деякої фіксованої групи A на вшьну скшченнопорождену групу F....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166320 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов / Н.А. Хмельницкий // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1694–1704. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166320 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1663202020-02-21T14:59:16Z Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов Хмельницкий, Н.А. Статті Доведено теорему Кокрофта-Свона для n-вимірних проективних схрещених ланцюгових комплекмв (Pi,G,∂i), в яких G=A∗F — вшьний добуток деякої фіксованої групи A на вшьну скшченнопорождену групу F. The Cockcroft–Swan theorem is proved for n-dimensional projective crossed chain complexes (Pi,G,∂i), where G=A∗F is a free product of a fixed group A by a free finitely generated group F. 2014 Article Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов / Н.А. Хмельницкий // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1694–1704. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166320 512.662.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Хмельницкий, Н.А. Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов Український математичний журнал |
| description |
Доведено теорему Кокрофта-Свона для n-вимірних проективних схрещених ланцюгових комплекмв (Pi,G,∂i), в яких G=A∗F — вшьний добуток деякої фіксованої групи A на вшьну скшченнопорождену групу F. |
| format |
Article |
| author |
Хмельницкий, Н.А. |
| author_facet |
Хмельницкий, Н.А. |
| author_sort |
Хмельницкий, Н.А. |
| title |
Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов |
| title_short |
Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов |
| title_full |
Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов |
| title_fullStr |
Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов |
| title_full_unstemmed |
Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов |
| title_sort |
теорема кокрофта – свона для проективных скрещенных цепных комплексов |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166320 |
| citation_txt |
Теорема Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов / Н.А. Хмельницкий // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1694–1704. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT hmelʹnickijna teoremakokroftasvonadlâproektivnyhskreŝennyhcepnyhkompleksov |
| first_indexed |
2025-07-14T21:08:48Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:08:48Z |
| _version_ |
1837658096171745280 |
| fulltext |
УДК 512.662.5
Н. А. Хмельницкий (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко)
ТЕОРЕМА КОКРОФТА – СВОНА
ДЛЯ ПРОЕКТИВНЫХ СКРЕЩЕННЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ
The Cockcroft – Swan theorem is proved for n-dimensional projective crossed chain complexes (Pi, G, ∂i) in which
G = A ∗ F is a free product of a fixed group A by a free finitely generated group F.
Доведено теорему Кокрофта – Свона для n-вимiрних проективних схрещених ланцюгових комплексiв (Pi, G, ∂i), в
яких G = A ∗ F — вiльний добуток деякої фiксованої групи A на вiльну скiнченнопорождену групу F .
1. Введение. Кокрофт и Свон [1] доказали, что гомотопически эквивалентные проективные
(свободные) комплексы можно стабилизировать проективными (свободными) модулями до цеп-
ной эквивалентности, и применили этот результат к изучению гомотопических типов неодно-
связных двумерных CW-комплексов. Автор в статье [2] получил необходимые и достаточные
условия в случае, когда n-мерные цепные комплексы, составленные из конечнопорожденных
проективных модулей, можно стабилизировать свободными модулями до цепной эквивалент-
ности. В. В. Шарко [3] доказал аналог теоремы Кокрофта – Свона для свободных скрещенных
цепных комплексов. Браун, Хиггинс и Сивер в монографии [4] с энциклопедической полнотой
описали современные достижения в неабелевой алгебраической топологии, в частности рас-
смотрели основные понятия, используемые в данной статье. Цель данной статьи — доказать
аналог теоремы Кокрофта – Свона для проективных скрещенных цепных комплексов.
2. Предварительные сведения. Пусть C — произвольная категория, а f : A0 → B0 и
f̃ : A1 → B1 — морфизмы в ней. Будем говорить, что морфизм f̃ сохраняет морфизм f , если
существуют мономорфизм ι : A0 → A1 и эпиморфизм π : B1 → B0 такие, что диаграмма
A0
ι //
f
��
A1
f̃
��
B0 B1
πoo
коммутативна, т. е. f = πf̃ι. Легко видеть, что отношение «сохранять морфизм» является тран-
зитивным, т. е. если морфизм h сохраняет морфизм g, а морфизм g — морфизм f , то h
сохраняет f .
Далее, пусть C — категория с конечным копроизведениeм⊕ и нулевым объектом 0. Утолще-
нием морфизма f : A→ B с помощью объекта C называется морфизм f̂C : A⊕ C → B такой,
что f̂C = f⊕0. Стабилизацией морфизма f : A→ B с помощью объекта C называется морфизм
fstC : A⊕ C → B ⊕ C такой, что fstC = f⊕ idC . Очевидно, что утолщение f̂C и стабилизация fstC
сохраняют морфизм f . Отметим, что в категории групп копроизведение обозначается через ∗.
ПустьA — некоторая фиксированная группа. Рассмотрим категорию FA, объектами которой
являются свободные произведения A∗F группы A на свободные конечнопорожденные группы
F , а морфизмами — все гомоморфизмы ϕ : A ∗ F1 → A ∗ F2, действующие тождественно на
A. Объекты категории FA будем называть конечносвободными A-группами, а морфизмы —
стабильными A-гомоморфизмами.
c© Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ, 2014
1694 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ТЕОРЕМА КОКРОФТА – СВОНА ДЛЯ ПРОЕКТИВНЫХ СКРЕЩЕННЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 1695
Лемма 1. Пусть задана коммутативная диаграмма
1 Hoo
ϕ∗
��
G
πoo
ϕ
��
1 H ′oo G′
π′oo
с конечносвободными A-группами G = A ∗ F и G′ = A ∗ F ′, стабильным A-гомоморфизмом ϕ
и изоморфизмом ϕ∗. Тогда существует сохраняющий отображение ϕ изоморфизм ϕ̃ : G∗F ′ '
' G′ ∗ F такой, что имеет место коммутативная диаграмма
1 Hoo
ϕ∗
��
G ∗ F ′π̃oo
ϕ̃
��
1 H ′oo G′ ∗ F,π̃′oo
(1)
где π̃ = π ∗ 0 и π̃′ = π′ ∗ 0 — утолщения гомоморфизмов π и π′ с помощью свободных групп F ′
и F соответственно.
Доказательство. Пусть x1, . . . , xs — базис группы F , а x′1, . . . , x
′
t — базис группы F ′. Тогда
G ∗ F ′ = 〈A, x1, . . . , xs, x′1, . . . , x′t〉, а G′ ∗ F = 〈A, x′1, . . . , x′t, x1, . . . , xs〉.
Пусть ϕ(xi) = y′i (∈ G′) для i = 1, s, а yj (∈ G) — произвольный элемент из π−1ϕ−1∗ π′(x′j)
для j = 1, t. Тогда в силу преобразований Тице
G ∗ F ′ = 〈A, x1, . . . , xs, y1x′1, . . . , ytx′t〉 и G′ ∗ F = 〈A, x′1, . . . , x′t, y′1x1, . . . , y′sxs〉.
Построим отображение ϕ̃ : G ∗F ′ → G′ ∗F . Для этого положим ϕ̃(a) = a = ϕ(a), ϕ̃(xi) = y′ixi
и ϕ̃(yjx′j) = x′j для произвольных a ∈ A, i = 1, s, j = 1, t и продолжим ϕ̃ на всю группу. Из
построения отображения видно, что ϕ̃ — изоморфизм. Поскольку
π̃′ϕ̃(a) = π̃′(a) = π′(a) = π′ϕ(a) = ϕ∗π(a) = ϕ∗π̃(a),
π̃′ϕ̃(xi) = π̃′(y′ixi) = π̃′(y′i)π̃
′(xi) = π̃′(y′i) = π′(y′i) = π′ϕ(xi) = ϕ∗π(xi) = ϕ∗π̃(xi),
π̃′ϕ̃(yjx
′
j) = π̃′(x′j) = π′(x′j) = ϕ∗ππ
−1ϕ−1∗ π′(x′j) = ϕ∗π(yj) = ϕ∗π̃(yj) =
= ϕ∗(π̃(yj)π̃(x
′
j)) = ϕ∗π̃(yjx
′
j)
для произвольных a ∈ A, i = 1, s и j = 1, t, то диаграмма (1) коммутативна.
Покажем теперь, что отображение ϕ̃ сохраняет отображение ϕ, т. е. покажем коммутатив-
ность диаграммы
G
ι //
ϕ
��
G ∗ F ′
ϕ̃
��
G′ G′ ∗ F,ρ′oo
где ι — вложение, а ρ′ — проекция. Действительно,
ρ′ϕ̃ ι(a) = ρ′ϕ̃(a) = ρ′(a) = a = ϕ(a)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1696 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
и
ρ′ϕ̃ ι(xi) = ρ′ϕ̃(xi) = ρ′(y′ixi) = ρ′(y′i)ρ
′(xi) = ρ′(y′i) = y′i = ϕ(xi)
для произвольных a ∈ A и i = 1, s.
Лемма 1 доказана.
Скрещенным модулем (или G-скрещенным модулем C) называется тройка (C,G, d), где
C — аддитивная (не обязательно абелевая), а G — мультипликативная группы, d : C → G —
гомоморфизм, G действует на C слева, при этом гомоморфизм d удовлетворяет следующим
условиям:
1) c′ + c− c′ = d(c′) c,
2) d(gc) = g d(c) g−1, где c, c′ ∈ C, g ∈ G.
Все скрещенные модули образуют категорию ×M (см., например, [4]). Морфизмом скре-
щенных модулей (C,G, d) и (C ′, G′, d′) в категории ×M является пара (ϕ,ψ) гомоморфизмов
ϕ : C → C ′ и ψ : G→ G′ такая, что диаграмма
C
d //
ϕ
��
G
ψ
��
C ′
d′ // G′
коммутативна и ϕ(gc) = ψ(g) ϕ(c). При этом G-морфизмом G-скрещенных модулей назы-
вается гомоморфизм ϕ : C → C ′ такой, что (ϕ, idG) — морфизм скрещенных модулей. Все
G-скрещенные модули и G-морфизмы образуют подкатегорию ×MG категории ×M .
Пусть (C,G, d) — скрещенный модуль, {ci | i ∈ I} — некоторое множество фиксирован-
ных элементов из C. Тогда (C,G, d) называется свободным скрещенным модулем с базисом
{ci| i ∈ I}, если для каждого скрещенного модуля (C ′, G′, d′) и произвольного множества эле-
ментов {c′i| i ∈ I} из C ′ и гомоморфизма ψ : G → G′ такого, что ψd(ci) = d′(c′i), существует
единственный гомоморфизм ϕ : C → C ′, для которого ϕ(ci) = c′i и (ϕ,ψ) — гомоморфизм
скрещенных модулей. Уайтхед [5] доказал существование свободных скрещенных модулей
(C,G, d) для произвольной группы G, в частности если G — конечносвободная A-группа.
Пусть (C,G, d) — скрещенный модуль и A — Z[G/dC]-модуль. Модуль A можно рассмат-
ривать как Z[G]-модуль с тривиальным действием dC. Группа C ⊕ A является, очевидно,
G-скрещенным модулем с диагональным действием группы G и граничным гомоморфизмом
∂ : C ⊕A→ G, заданным соотношением ∂(c, a) = dc. Заметим, что если {ci | i ∈ I} — система
образующих G-скрещенного модуля C, а {aj | j ∈ J} — система образующих модуля A, то
{(ci, 0) | i ∈ I} ∪ {(0, aj) | j ∈ J} — система образующих скрещенного модуля (C ⊕ A,G, ∂).
В частности, G-скрещенный модуль C ⊕ A конечно порожден тогда и только тогда, когда
конечнопорожденными являются скрещенный модуль (C,G, d) и Z[G/dC]-модуль A.
Зафиксируем группуG. Рассмотрим еще один важный класс скрещенных модулей —G-про-
ективные скрещенные модули, введенные Рэтклайфом [6]. Скрещенный модуль (C,G, d) на-
зывается G-проективным, если он проективный в категории ×MG. Рэтклайф [6] показал, что
скрещенный модуль (C,G, d) будет G-проективным тогда и только тогда, когда существуют
проективный Z[G/dC]-модуль P и свободный G-скрещенный модуль B такие, что C ⊕ P и
B являются изоморфными в категории ×MG. Легко видеть, что если G-проективный скре-
щенный модуль (C,G, d) конечнопорожден, то существует конечнопорожденный проективный
Z[G/dC]-модуль P такой, что G-скрещенный модуль C ⊕ P свободен и конечно порожден.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ТЕОРЕМА КОКРОФТА – СВОНА ДЛЯ ПРОЕКТИВНЫХ СКРЕЩЕННЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 1697
Пусть (C,G, d) — скрещенный модуль и ρ : E → G — гомоморфизм групп. Рассмотрим
диаграмму коамальгамы гомоморфизмов d и ρ
D
∂ //
ρ̃
��
E
ρ
��
C
d // G,
где D = {(c, e) ∈ C × E | d(c) = ρ(e)}. Тогда, определив действие E на D соотношением
e1(c, e) = (ρ(e1) c, e1e e
−1
1 ) и граничный гомоморфизм ∂ : D → E соотношением ∂(c, e) = e,
получим, что (D,E, ∂) — скрещенный модуль, а (ρ̃, ρ), где ρ̃ : D → C задается соотношением
ρ̃(c, e) = c, — морфизм скрещенных модулей.
Пусть F — свободная группа и ρ : G ∗ F → G — утолщение тождественного гомоморфизма
idG с помощью группы F . Тогда стабилизацией скрещенного модуля (C,G, d) с помощью сво-
бодной группы F (или F -стабилизацией) называетсяG∗F -скрещенный модульD, являющийся
коамальгамой гомоморфизмов d и ρ. Будем считать, что коммутативная диаграмма
D
∂ //
ρ̃
��
G∗F
ρ
��
C
d // G
(2)
задает F -стабилизацию (D,G ∗ F, ∂) скрещенного модуля (C,G, d).
Лемма 2. Пусть задана коммутативная диаграмма (2). Тогда:
1) существует морфизм (ι̃, ι) скрещенных модулей (C,G, d) и (D,G ∗ F, ∂) такой, что
(ρ̃, ρ)(ι̃, ι) = (idC , idG);
2) ρ(∂D) = dC и отображение ρ индуцирует изоморфизм ρ∗ : G ∗ F/∂D ' G/dC;
3) отображения ρ̃ и ι̃ индуцируют взаимно обратные изоморфизмы ρ̃ ∗ : ker ∂ ' ker d и
ι̃ ∗ : ker d ' ker ∂.
Доказательство. 1. Естественное вложение ι : G→ G ∗ F , очевидно, удовлетворяет соот-
ношению ρι = idG. Гомоморфизм ι̃ : C → D зададим соотношением ι̃ c = (c, ιd c). Очевидно
также, что ρ̃ ι̃ = idC . Покажем, что (ι̃, ι) — морфизм скрещенных модулей. Действительно, так
как
ιd c = ∂(c, ιd c) = ∂ ι̃ c,
то диаграмма
C
d //
ι̃
��
G
ι
��
D
∂ // G∗F
(3)
коммутативна и
ι̃(gc) = (gc, ιd (gc)) = (gc, ι(g (dc) g−1)) = (ρ(ιg) c, (ιg)(ιd c)(ιg)−1) = ιg (c, ιd c) = ι(g) ι̃(c).
2. Из коммутативности диаграммы (2) и пункта 1 следует, что для любого (c, e) ∈ D
ρ∂ (c, e) = dρ̃ (c, e) = dc ∈ dC
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1698 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
и для любого c ∈ C
dc = ρι dc = ρ∂ (c, ιd c) ∈ ρ∂D.
Следовательно, ρ(∂D) = dC и ρ индуцирует отображение ρ∗ : G ∗ F/∂D → G/dC.
Из эпиморфности ρ следует эпиморфность ρ∗. Покажем, что ρ∗ — мономорфизм. Дей-
ствительно, если e ∂D ∈ ker ρ∗, то ρ∗(e ∂D) = ρe dC = dC и ρe = dc для некоторого c ∈ C.
Из последнего равенства следует, что (c, e) ∈ D и e = ∂(c, e) ∈ ∂D, откуда e ∂D = ∂D и
ker ρ∗ = {∂D}.
3. Из коммутативности диаграмм (2) и (3) следует, что отображения ρ̃ и ι̃ индуцируют
гомоморфизмы ρ̃ ∗ : ker ∂ → ker d и ι̃ ∗ : ker d→ ker ∂. Из мономорфности ι̃ вытекает моно-
морфность ι̃ ∗. Если (c, e) ∈ ker ∂, то e = 1, dc = ρe = 1 и ι̃ c = (c, ιd c) = (c, 1) = (c, e). Таким
образом, ι̃ ∗ является эпиморфизмом, а значит, и изоморфизмом. Из соотношения ρ̃ ι̃ = idC
следует, что ρ̃ ∗ — изоморфизм, обратный к ι̃ ∗.
Лемма 2 доказана.
Морфизм (ι̃, ι) из пункта 1 леммы 2 будем называть F -вложением, соответствующим F -
стабилизации скрещенного модуля (C,G, d).
Известно [7], что F -стабилизация свободного (G-проективного) скрещенного модуля сама
является свободным (G ∗ F -проективным) скрещенным модулем. Более того, если {ci | i ∈ I}
— базис свободного скрещенного модуля (C,G, d), а {xj | j ∈ J} — базис группы F , то
{(ci, ιd ci) | i ∈ I} ∪ {(0, xj) | j ∈ J} — базис F -стабилизации скрещенного модуля (C,G, d).
Лемма 3. Пусть G = A ∗ F и G′ = A ∗ F ′ — конечносвободные A-группы, ϕ : G → G′ —
их стабильный A-гомоморфизм и задана коммутативная диаграмма групп
1 Hoo
ϕ∗
��
G
πoo
ϕ
��
C
doo
f
��
ker doo
f∗
��
0oo
1 H ′oo G′
π′oo C ′
d′oo ker d′oo 0,oo
(4)
в которой (f, ϕ) — морфизм конечнопорожденных свободных скрещенных модулей (C,G, d) и
(C ′, G′, d′), а ϕ∗ — изоморфизм. Тогда если (D,G∗F ′, ∂) и (D′, G′∗F, ∂′) — F ′- и F -стабилизации
свободных скрещенных модулей (C,G, d) и (C ′, G′, d′) соответственно, то имеет место ком-
мутативная диаграмма
1 Hoo
ϕ∗
��
G ∗ F ′π∗0oo
ϕ̃
��
D
∂oo
f̃
��
ker ∂oo
f̃ ∗
��
0oo
1 H ′oo G′ ∗ Fπ′∗0oo D′
∂′oo ker ∂′oo 0,oo
(5)
в которой (f̃ , ϕ̃) — морфизм скрещенных модулей (D,G∗F ′, ∂) и (D′, G′ ∗F, ∂′), отображения
ϕ̃ и f̃ сохраняют отображения ϕ и f соответственно, причем ϕ̃ — изоморфизм.
Доказательство. Пусть x1, . . . , xs — базис группы F , а x′1, . . . , x
′
t — базис группы F ′. Пусть
также c1, . . . , cm и c′1, . . . , c
′
n — базисы свободных скрещенных модулей (C,G, d) и (C ′, G′, d′)
соответственно. Если
D
∂ //
ρ̃
��
G∗F ′
ρ
��
C
d // G
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ТЕОРЕМА КОКРОФТА – СВОНА ДЛЯ ПРОЕКТИВНЫХ СКРЕЩЕННЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 1699
и
D′
∂ ′ //
ρ̃′
��
G′∗F
ρ′
��
C ′
d′ // G′
— коммутативные диаграммы F ′- и F -стабилизаций скрещенных модулей (C,G, d) и (C ′, G′, d′)
соответственно, а (ι̃, ι) и (ι̃′, ι′) — их соответствующие F ′- и F -вложения, то
(c1, ιd c1), . . . , (cm, ιd cm), (0, x
′
1), . . . , (0, x
′
t) и (c′1, ι
′d′ c′1), . . . , (c
′
n, ι
′d′ c′n), (0, x1), . . . , (0, xs)
— базисы свободных скрещенных модулей (D,G ∗ F ′, ∂) и (D′, G′ ∗ F, ∂′) соответственно.
По лемме 1 существует изоморфизм ϕ̃, сохраняющий отображение ϕ и делающий комму-
тативным левый квадрат диаграммы (5).
Рассмотрим коммутативную диаграмму
1 Hoo
ϕ∗
��
G
πoo
ι
{{
ϕ
��
C
f
��
doo
ι̃
~~
ker d
f∗
��
oo
ι̃ ∗
zz
0oo
1 Hoo
ϕ∗
��
G ∗ F ′π∗0oo
ϕ̃
��
D
f̃
��
∂oo ker ∂
f̃ ∗
��
oo 0oo
1 H ′oo G′
π′oo C ′
d′oo ker d′oo 0oo
1 H ′oo G′ ∗ Fπ′∗0oo
ρ′
;;
D′
∂′oo
ρ̃′
>>
ker ∂′oo
ρ̃′
∗
::
0oo
и построим отображение f̃ : D → D′, задав его на базисных элементах (c1, ιd c1), . . . , (cm, ιd cm),
(0, x′1), . . . , (0, x
′
t). Для любого i = 1,m положим f̃(ci, ιd ci) = (fci, ϕ̃ ιd ci), что является кор-
ректным, так как d′(fci) = ϕd ci = ρ′(ϕ̃ ιd ci). При этом выполняются также соотношения
∂′f̃ (ci, ιd ci) = ∂′(fci, ϕ̃ ιd ci) = ϕ̃ ιd ci = ϕ̃∂ (ci, ιd ci), (6)
ρ̃′f̃ ι̃ ci = ρ̃′f̃ (ci, ιd ci) = ρ̃′(fci, ϕ̃ ιd ci) = fci, (7)
из которых следует однозначность образа рассматриваемых элементов базиса. В отличие от
них образы элементов (0, x′1), . . . , (0, x
′
t) могут быть выбраны неоднозначно. Действительно,
поскольку ∂(0, x′j) = x′j ∈ F ′ ⊂ ker(π ∗ 0), то ϕ̃ ∂(0, x′j) ∈ ker(π′ ∗ 0), а потому существу-
ет (с точностью до ker ∂′) элемент (c′j , ϕ̃ x
′
j) ∈ D′ такой, что ∂′(c′j , ϕ̃ x
′
j) = ϕ̃ ∂(0, x′j). Таким
образом, можно положить f̃(0, x′j) = (c′j , ϕ̃ x
′
j), j = 1, t. Вследствие того, что D — свободный
скрещенный модуль, отображение f̃ продолжается на все множество D. Из построения эле-
ментов f̃(0, x′j) и соотношения (6) следует коммутативность среднего квадрата диаграммы (5),
а из соотношения (7) — то, что f̃ сохраняет f . Таким образом, (f̃ , ϕ̃) — морфизм скрещенных
модулей (D,G ∗ F ′, ∂) и (D′, G′ ∗ F, ∂′), сохраняющий отображения f и ϕ, причем ϕ̃ — изо-
морфизм. Заметим, что по лемме 2 (пункт 3) можно отождествить множества ker d = ker ∂ и
множества ker ∂′ = ker d′, а значит, считать равными отображения f̃ ∗ = f∗.
Лемма 3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1700 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 4. Пусть имеет место коммутативная диаграмма
1 Hoo Goo D
∂oo
f
��
1 Hoo Goo D′,
∂′oo
в которой (D,G, ∂) и (D′, G, ∂′) — свободные конечнопорожденные скрещенные модули. Если
A = D/[D,D] и A′ = D′/[D′, D′], то имеет место коммутативная диаграмма
1 Hoo Goo D ⊕A′∂⊕0oo
f̃
��
1 Hoo Goo D′ ⊕A,∂′⊕0oo
(8)
в которой f̃ — G-изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Пусть x1, . . . , xs и x′1, . . . , x
′
t — базисы свободных G-скрещенных моду-
лей D и D′. Тогда ai = xi + [D,D], i = 1, s, и a′j = x′j + [D′, D′], j = 1, t, — базисы свободных
Z[H]-модулей A и A′. Рассмотрим свободные G-скрещенные модули D ⊕ A′ и D′ ⊕ A. Их
базисы, очевидно, состоят из элементов
(x1, 0), . . . , (xs, 0), (0, a
′
1), . . . , (0, a
′
t) и (x′1, 0), . . . , (x
′
t, 0), (0, a1), . . . , (0, as)
соответственно.
Пусть f(xi) = y′i (∈ D′) для i = 1, s, а yj (∈ D) — произвольный элемент из ∂−1∂′(x′j) для
j = 1, t. Тогда базисами G-скрещенных модулей D ⊕A′ и D′ ⊕A будут также элементы
(x1, 0), . . . , (xs, 0), (y1, a
′
1), . . . , (yt, a
′
t) и (x′1, 0), . . . , (x
′
t, 0), (y
′
1, a1), . . . , (y
′
s, as)
соответственно. Построим отображение f̃ : D ⊕ A′ → D′ ⊕ A. Для этого положим f̃(xi, 0) =
= (y′i, ai) и f̃(yj , a′j) = (x′j , 0) для произвольных i = 1, s и j = 1, t. Вследствие того, что D⊕A′
— свободный скрещенный модуль, отображение f̃ продолжается на все множество D ⊕A′. Из
построения отображения видно, что f̃ — изоморфизм. Поскольку
(∂′ ⊕ 0)f̃(xi, 0) = (∂′ ⊕ 0)(y′i, ai) = (∂′y′i, 0) = (∂′f(xi), 0) = (∂xi, 0) = (∂ ⊕ 0)(xi, 0),
(∂′ ⊕ 0)f̃(yj , a
′
j) = (∂′ ⊕ 0)(x′j , 0) = (∂′x′j , 0) = (∂(∂−1∂′x′j), 0) = (∂yj , 0) = (∂ ⊕ 0)(yj , a
′
j)
для произвольных i = 1, s и j = 1, t, то правый квадрат диаграммы (8) коммутативен.
Покажем теперь, что отображение f̃ сохраняет отображение f , т. е. покажем коммутатив-
ность диаграммы
D
ι //
f
��
D ⊕A′
f̃
��
D′ D′ ⊕A,ρ′oo
где ι — вложение, а ρ′ — проекция. Действительно,
ρ′f̃ ι(xi) = ρ′f̃(xi, 0) = ρ′(y′i, ai) = y′i = f(xi)
для произвольного i = 1, s.
Лемма 4 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ТЕОРЕМА КОКРОФТА – СВОНА ДЛЯ ПРОЕКТИВНЫХ СКРЕЩЕННЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 1701
Лемма 5. Пусть (D,G, ∂) и (D′, G, ∂′) — свободные конечнопорожденные скрещенные мо-
дули, H = G/∂D = G/∂′D′, A = D/[D,D], A′ = D′/[D′, D′] и имеет место коммутативная
диаграмма
1 Hoo Goo D
∂oo
f
��
C
doo
ϕ
��
ker doo
ϕ∗
��
0oo
1 Hoo Goo D′
∂′oo C ′
d′oo ker d′oo 0,oo
в которой C и C ′ — свободные конечнопорожденные Z[H]-модули. Тогда имеет место комму-
тативная диаграмма
1 Hoo Goo D ⊕A′∂⊕0oo
f̃
��
C ⊕A′d⊕idoo
ϕ̃
��
ker(d⊕ id)oo
ϕ̃∗
��
0oo
1 Hoo Goo D′ ⊕A∂′⊕0oo C ′ ⊕Ad′⊕idoo ker(d′ ⊕ id)oo 0,oo
(9)
в которой f̃ —G-изоморфизм, сохраняющий отображение f , ϕ̃ сохраняет ϕ, ker(d⊕id) = ker d
и ker(d′ ⊕ id) = ker d′.
Доказательство. По лемме 4 существует изоморфизм f̃ , сохраняющий отображение f и
делающий коммутативным второй слева квадрат диаграммы (9).
Пусть c1, . . . , cs и a′1, . . . , a
′
t — базисы свободных Z[H]-модулей C и A′. Тогда базис свобод-
ного Z[H]-модуля C⊕A′, очевидно, состоит из элементов (c1, 0), . . . , (cs, 0), (0, a
′
1), . . . , (0, a
′
t).
Построим отображение ϕ̃ : C ⊕ A′ → C ′ ⊕ A, задав его на базисе модуля C ⊕ A′. Рассмотрим
коммутативную диаграмму
G D
∂oo
ι
{{
f
��
C
ϕ
��
doo
ι̃
{{
ker d
ϕ∗
��
oo
ι̃ ∗
xx
0oo
G D ⊕A′∂⊕0oo
f̃
��
C ⊕A′
ϕ̃
��
d⊕idoo ker(d⊕ id)
ϕ̃ ∗
��
oo 0oo
G D′
∂′oo C ′
d′oo ker d′oo 0,oo
G D′ ⊕A∂′⊕0oo
π′
;;
C ′ ⊕Ad′⊕idoo
π̃′
<<
ker(d′ ⊕ id)oo
π̃′
∗
88
0oo
в которой ι и ι̃ — естественные вложения, π′ и π̃′ — естественные проекции, а отображения со
звездочкой индуцируются соответствующими отображениями без звездочки. Для произволь-
ного i = 1, s положим ϕ̃(ci, 0) = (ϕ ci, πf̃ ιd ci), где π : D′ ⊕ A → A — естественная проекция.
Тогда, очевидно,
(d′ ⊕ id) ϕ̃(ci, 0) = (d′ ⊕ id) (ϕ ci, πf̃ ιd ci) = (d′ϕ ci, πf̃ ιd ci) = (fd ci, πf̃ ιd ci) =
= (π′f̃ ιd ci, πf̃ ιd ci) = f̃ ιd ci = f̃(d ci, 0) = f̃(d⊕ id) (ci, 0), (10)
π̃′ϕ̃ ι̃ ci = π̃′ϕ̃(ci, 0) = π̃′(ϕ ci, πf̃ ιd ci) = ϕ ci. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1702 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Для j = 1, t образы элементов (0, a′j) выберем следующим образом. Поскольку (d⊕id) (0, a′j) =
= (0, a′j) ∈ 0 ⊕ A′ ⊂ ker(∂ ⊕ 0), то f̃(d ⊕ id) (0, a′j) ∈ ker(∂′ ⊕ 0) и существует элемент
(c′j , aj) ∈ C ′⊕A такой, что (d′⊕ id) (c′j , aj) = f̃(d⊕ id) (0, a′j). Положим ϕ̃(0, a′j) = (c′j , aj) для
j = 1, t. Вследствие того, что C ⊕ A′ — свободный модуль, отображение ϕ̃ продолжается
на все множество C ⊕ A′. Из построения элементов ϕ̃(0, a′j) и соотношения (10) следует
коммутативность второго справа квадрата диаграммы (9), а из соотношения (11) — то, что
ϕ̃ сохраняет ϕ. В силу очевидной изоморфности отображений ι̃ ∗ и π̃′
∗
можно отождествить
множества ker(d ⊕ id) = ker d и ker(d′ ⊕ id) = ker d′, а также считать равными отображе-
ния ϕ̃ ∗ = ϕ∗.
Лемма 5 доказана.
3. Основные результаты. Традиционно (см., например, [4, 5]) скрещенным цепным комп-
лексом (Ci, G, di) называется последовательность групп и гомоморфизмов
1 Hoo G
d1oo C2
d2oo C3
d3oo . . .
d4oo Cn
dnoo . . .
dn+1oo
со следующими свойствами:
1) (C2, G, d2) — свободный скрещенный модуль и H = coker d2;
2) для i > 3 Ci — свободный Z[H]-модуль, di — гомоморфизм Z[H]-модулей, d3(C3) —
Z[H]-модуль;
3) di ◦ di+1 = 0.
Морфизмом f : (Ci, G, di) → (C ′i, G
′, d′i) скрещенных цепных комплексов (Ci, G, di) и
(C ′i, G
′, d′i) называется такая совокупность гомоморфизмов f1 : G→ G′, fi : Ci → C ′i, i > 2, ко-
торая сохраняет структуры на G и Ci, i > 2, и возникающие диаграммы гомоморфизмов будут
коммутативными. Если при этом каждый из гомоморфизмов fi является изоморфизмом, то го-
мотопические системы (Ci, G, di) и (C ′i, G
′, d′i) называются изоморфными, а морфизм f = {fi}
— изоморфизмом.
Скрещенный цепной комплекс (Ci, G, di) назовем проективным, если:
1) (C2, G, d2) — G-проективный скрещенный модуль;
2) для i > 3 Ci — проективный Z[H]-модуль, где H = coker d2.
Скрещенный цепной комплекс (Ci, G, di) назовем конечнопорожденным, если (C2, G, d2) —
конечнопорожденный скрещенный модуль и Z[H]-модули Ci конечно порождены для всех
i > 3.
Теорема. Пусть G,G′ ∈ FA, f : (Ci, G, di) → (C ′i, G
′, d′i) — морфизм n-мерных конеч-
нопорожденных проективных скрещенных цепных комплексов (Ci, G, di) и (C ′i, G
′, d′i), инду-
цирующий изоморфизм групп и модулей гомологий, причем f1 : G → G′ — стабильный A-
гомоморфизм. Тогда существует стабилизация граничных гомоморфизмов di и d′i с помощью
свободных групп и проективных модулей такая, что полученные скрещенные цепные комплексы
будут изоморфными.
Доказательство. Пусть
1 Hoo
f1∗
��
G
d1oo
f1
��
C2
d2oo
f2
��
C3
d3oo
f3
��
. . .
d4oo Cn
dnoo
fn
��
1 H ′oo G′
d′1oo C ′2
d′2oo C ′3
d′3oo . . .
d′4oo C ′n
d′noo
(12)
— диаграмма морфизма f : (Ci, G, di) → (C ′i, G
′, d′i) n-мерных конечнопорожденных проек-
тивных скрещенных цепных комплексов (Ci, G, di) и (C ′i, G
′, d′i), индуцирующего изоморфизм
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ТЕОРЕМА КОКРОФТА – СВОНА ДЛЯ ПРОЕКТИВНЫХ СКРЕЩЕННЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 1703
групп и модулей гомологий. Не нарушая общности в силу изоморфности отображения f1∗ мож-
но считать, что H = H ′. По теореме 4.1 [6] существуют конечнопорожденные Z[H]-модули P
и P ′ такие, что (C2 ⊕ P,G, d2 ⊕ 0) и (C ′2 ⊕ P ′, G′, d′2 ⊕ 0) — свободные скрещенные модули.
Утолщая морфизмы f2 и f3 с помощью модуля P и стабилизируя морфизмы d3 и d′3 с помощью
модулей P и P ′ соответственно, получaeм коммутативную диаграмму
1 Hoo G
d1oo
f1
��
C2 ⊕ P
d2⊕0oo
f ′2
��
C3 ⊕ P
d3⊕idoo
f ′3
��
. . .
d4oo Cn
dnoo
fn
��
1 Hoo G′
d′1oo C ′2 ⊕ P ′
d′2⊕0oo C ′3 ⊕ P ′
d′3⊕idoo . . .
d′4oo C ′n,
d′noo
начальный отрезок которой
1 Hoo G
d1oo
f1
��
C2 ⊕ P
d2⊕0oo
f ′2
��
ker(d2 ⊕ 0)oo
(f ′2)
∗
��
0oo
1 Hoo G′
d′1oo C ′2 ⊕ P ′
d′2⊕0oo ker(d′2 ⊕ 0)oo 0oo
удовлетворяет условиям леммы 3. Поскольку G,G′ ∈ FA, то G = A ∗ F и G′ = A ∗ F ′, где F
и F ′ — свободные конечнопорожденные группы. Пусть (D,G ∗ F ′, ∂) и (D′, G′ ∗ F, ∂′) — F ′-
и F -стабилизации свободных скрещенных модулей (C2 ⊕ P,G, d2 ⊕ 0) и (C ′2 ⊕ P ′, G′, d′2 ⊕ 0)
соответственно. Тогда по лемме 3 имеет место коммутативная диаграмма
1 Hoo G ∗ F ′d1∗0oo
f̃1
��
D
∂oo
f̂2
��
ker ∂oo
f̂2
∗
��
0oo
1 Hoo G′ ∗ F
d′1∗0oo D′
∂′oo ker ∂′oo 0,oo
в которой (f̂2, f̃1) — морфизм скрещенных модулей (D,G∗F ′, ∂) и (D′, G′ ∗ F, ∂′), сохраняющий
отображения f2 и f1, причем f̃1 — изоморфизм, и ker ∂ = ker(d2 ⊕ 0) и ker ∂′ = ker(d′2 ⊕ 0).
Таким образом, диаграмму (12) можно представить в виде коммутативной диаграммы
1 Hoo G ∗ F ′d1∗0oo
f̃1
��
D
∂oo
f̂2
��
C3 ⊕ P
d3⊕idoo
f ′3
��
C4
d4oo
f4
��
. . .
d5oo Cn
dnoo
fn
��
1 Hoo G′ ∗ F
d′1∗0oo D′
∂′oo C ′3 ⊕ P ′
d′3⊕idoo C ′4
d′4oo . . .
d′5oo C ′n.
d′noo
В силу изоморфности f̃1 отождествим группы G ∗ F ′ = G′ ∗ F = G. Пусть Q и Q′ —
проективные модули, дополняющие проективные модули C3 ⊕ P и C ′3 ⊕ P ′ до свободных
модулей C и C ′ соответственно. Тогда, утолщая морфизмы f ′3 и f4 с помощью модуля Q
и стабилизируя морфизмы d4 и d′4 с помощью модулей Q и Q′ соответственно, получаем
коммутативную диаграмму
1 Hoo Goo D
∂oo
f̂2
��
C
doo
f̂3
��
C4 ⊕Q
d̂4oo
f ′4
��
. . .
d5oo Cn
dnoo
fn
��
1 Hoo Goo D′
∂′oo C ′
d′oo C ′4 ⊕Q′
d̂′4oo . . .
d′5oo C ′n,
d′noo
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1704 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
в которой C = C3 ⊕ P ⊕Q, C ′ = C ′3 ⊕ P ′ ⊕Q′, d = d3 ⊕ id⊕0, d′ = d′3 ⊕ id⊕0, d̂4 = d4 ⊕ id,
d̂′4 = d′4 ⊕ id. Начальный отрезок этой диаграммы
1 Hoo Goo D
∂oo
f̂2
��
C
doo
f̂3
��
ker doo
f̂3
∗
��
0oo
1 Hoo Goo D′
∂′oo C ′
d′oo ker d′oo 0oo
удовлетворяет условиям леммы 5, а поэтому диаграмму (12) можно представить в виде комму-
тативной диаграммы
1 Hoo Goo D ⊕A′∂⊕0oo
f̃2
��
C ⊕A′d⊕idoo
f̃3
��
C4 ⊕Q
d̂4oo
f ′4
��
. . .
d5oo Cn
dnoo
fn
��
1 Hoo Goo D′ ⊕A∂′⊕0oo C ′ ⊕Ad′⊕idoo C ′4 ⊕Q′
d̂′4oo . . .
d′5oo C ′n,
d′noo
в которой f̃2 и f̃3 сохраняют отображения f2 и f3 соответственно, причем f̃2 — изоморфизм.
Поскольку ядра граничных гомоморфизмов скрещенных модулей являются модулями (см.,
например, [4]) и отображение f̃3 индуцирует изоморфизм f̃3∗ : H3 → H ′3 модулей гомологий,
можно построить диаграмму
0 H3
oo
f̃3∗
��
C ⊕A′d⊕idoo
f̃3
��
C4 ⊕Q
d̂4oo
f ′4
��
. . .
d5oo Cn
dnoo
fn
��
0 H ′3
oo C ′ ⊕Ad′⊕idoo C ′4 ⊕Q′
d̂′4oo . . .
d′5oo C ′n
d′noo
гомоморфизма (n−3)-мерных цепных комплексов конечнопорожденных проективных модулей,
индуцирующего изоморфизм модулей гомологий. В результате получаем случай, описанный в
теореме Кокрофта – Свона [1], из которой и следует справедливость данной теоремы.
Теорема доказана.
Автор благодарен профессору Шарко В. В. за полезные рекомендации и интерес, прояв-
ленный к данной работе.
1. Cockcroft W., Swan R. On the homotopy type of certein two-dimensional complexes // Proc. London Math. Soc. –
1961. – 11. – P. 193 – 202.
2. Хмельницкий Н. А. О цепной эквивалентности проективных цепных комплексов // Укр. мат. журн. – 2012. – 64,
№ 6. – С. 826 – 835.
3. Шарко В. В. Функции на многообразиях (алгебраические и топологические аспекты). – Киев: Наук. думка,
1990. – 196 с.
4. Brown R., Higgins P. J., Sivera R. Nonabelian algebraic topology. – Zürich: Eur. Math. Soc., 2011. – 668 p.
5. Whitehead J. H. C. Combinatorial homotopy // Bull. Amer. Math. Soc. – 1949. – 55, № 4. – P. 453 – 496.
6. Ratcliffe J. Free and projective modules // J. London Math. Soc. – 1980. – 22, № 1. – P. 66 – 74.
7. Ratcliffe J. On complexes dominated by a two-complex // Combinatorial Group Theory and Topology. Ann. Math.
Stud. – 1986. – 111. – P. 221 – 254.
Получено 12.02.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
|