Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана

Проведена групповая классификация одного класса (1 + 3)-мерных нелинейных краевых задач типа Стефана, которые моделируют процессы плавления и испарения металлов. Полученные результаты применены для построения точного решения одной краевой задачи из исследуемого класса....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Коваленко, С.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2011
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166383
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана / С.С. Коваленко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1352–1359. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166383
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1663832020-11-19T12:34:13Z Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана Коваленко, С.С. Статті Проведена групповая классификация одного класса (1 + 3)-мерных нелинейных краевых задач типа Стефана, которые моделируют процессы плавления и испарения металлов. Полученные результаты применены для построения точного решения одной краевой задачи из исследуемого класса. We present the group classification of one class of (1 + 3)-dimensional nonlinear boundary-value problems of the Stefan type that model the processes of melting and evaporation of metals. The results obtained are used for the construction of the exact solution of one boundary-value problem from the class under study. 2011 Article Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана / С.С. Коваленко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1352–1359. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166383 517.957 512.816 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Коваленко, С.С. Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана Український математичний журнал
description	Проведена групповая классификация одного класса (1 + 3)-мерных нелинейных краевых задач типа Стефана, которые моделируют процессы плавления и испарения металлов. Полученные результаты применены для построения точного решения одной краевой задачи из исследуемого класса.
format	Article
author	Коваленко, С.С.
author_facet	Коваленко, С.С.
author_sort	Коваленко, С.С.
title	Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана
title_short	Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана
title_full	Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана
title_fullStr	Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана
title_full_unstemmed	Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана
title_sort	симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу стефана
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166383
citation_txt	Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана / С.С. Коваленко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1352–1359. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT kovalenkoss simetríjnijanalíztatočnírozvâzkiodnogoklasu13vimírnihkrajovihzadačtipustefana
first_indexed	2025-07-14T21:20:16Z
last_indexed	2025-07-14T21:20:16Z
_version_	1837658822904119296
fulltext	УДК 517.957+512.816 С. С. Коваленко (Iн-т математики НАН України, Київ) СИМЕТРIЙНИЙ АНАЛIЗ ТА ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ОДНОГО КЛАСУ (1 + 3)-ВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТИПУ СТЕФАНА We present the group classification of one class of (1+3)-dimensional nonlinear boundary-value problems of the Stefan type that model the processes of melting and evaporation of metals. The results obtained are used for the construction of the exact solution of one boundary-value problem from the class under study. Проведена групповая классификация одного класса (1 + 3)-мерных нелинейных краевых задач типа Стефана, которые моделируют процессы плавления и испарения металлов. Полученные результаты применены для построения точного решения одной краевой задачи из исследуемого класса. 1. Вступ. Теоретико-груповi методи є сучасним математичним апаратом, що широ- ко застосовується при дослiдженнi математичних моделей на базi диференцiальних рiвнянь (як звичайних, так i з частинними похiдними). На сьогоднiшнiй день ви- вчено симетрiйнi властивостi багатьох вiдомих рiвнянь механiки, газової динамiки, електродинамiки, теплофiзики, квантової фiзики тощо (див. монографiї [1 – 5] та бiблiографiю, наведну в них). Проте у бiльшостi публiкацiй диференцiальнi рiв- няння дослiджувалися без урахування будь-яких початкових та крайових умов. Це можна пояснити тим, що широко вживанi крайовi умови (наприклад, умови Дiрiхле, Ноймана тощо) рiдко коли є iнварiантними вiдносно перетворень з гру- пи симетрiї базових диференцiальних рiвнянь. Це, у свою чергу, призводить до малої ефективностi застосувань групових методiв для пошуку, наприклад, точних розв’язкiв крайових задач. Одним iз можливих напрямкiв подолання цiєї проблеми є застосування тео- ретико-групових методiв до крайових задач з рухомими границями (вiльними по- верхнями). Незважаючи на те, що такi задачi є набагато складнiшим об’єктом для аналiзу, нiж традицiйнi крайовi задачi з фiксованими межами, застосування, на- приклад, класичного методу Лi до задач такого типу може виявитися набагато ефективнiшим саме через те, що структура невiдомих (вiльних) границь може за- лежати вiд iнварiантних змiнних, i це дає можливiсть звести дослiджувану крайову задачу до iншої задачi меншої розмiрностi [6]. Вiдомi публiкацiї, в яких автори застосовують теоретико-груповi методи до крайових задач з рухомими границя- ми у випадку двох незалежних змiнних (див. [7] та наведену в нiй бiблiографiю). Однак на сьогоднiшнiй день є лише кiлька робiт, присвячених вивченню застосу- вання групових методiв до складних багатовимiрних задач з рухомими границями [8 – 10], хоча отриманi в них результати свiдчать про ефективнiсть такого пiдходу. У цiй роботi ми розглядаємо широкий клас (1+3)-вимiрних крайових задач типу Стефана, що моделюють процеси плавлення та випаровування металiв пiд дiєю потужних потокiв випромiнювання. У другому пунктi сформульовано теорему, що дає вичерпний опис симетрiй Лi крайових задач з дослiджуваного класу. У третьому пунктi результати проведеної групової класифiкацiї застосовано для редукцiї та побудови точного розв’язку однiєї крайової задачi з розглядуваного класу. 2. Iнварiантнiсть одного класу (1 + 3)-вимiрних крайових задач, що мо- делюють процеси плавлення та випаровування металiв. Сформулюємо мате- матичну модель процесiв плавлення та випаровування металiв пiд дiєю потужних c© С. С. КОВАЛЕНКО, 2011 1352 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 СИМЕТРIЙНИЙ АНАЛIЗ ТА ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ . . . 1353 потокiв випромiнювання. Нехай Ω = {x = (x1, x2, x3) : x3 > 0} — пiвпростiр три- вимiрного евклiдового простору R3, який початково займає тверда фаза металу. В момент часу t = 0 на поверхню x = 0 починає падати потужний потiк випромi- нювання Q(t) = (0, 0, Q(t)). Тут i далi ми нехтуємо початковою короткочасною нерiвноважною стадiєю процесу та вивчаємо процеси плавлення та випаровування на стадiї, коли три фази (газоподiбна, рiдка та тверда) мають мiсце, i вважаємо, що ця ситуацiя виникає у деякий момент часу t ∈ T = (t∗,+∞), де t∗ — деяке додатне дiйсне число. Таким чином, область Ω(t) = Ω × T складається з трьох областей, зайнятих газоподiбною, рiдкою та твердою фазами, якi будемо позначати вiдповiдно через Ω0(t), Ω1(t) та Ω2(t), та двох гладких поверхонь S1(t, x) = 0 та S2(t, x) = 0, що роздiляють цi фази. Iншими словами, область Ω(t) можна записати у виглядi Ω(t) = Ω0(t) ∪ Γ1(t) ∪ Ω1(t) ∪ Γ2(t) ∪ Ω2(t), де Γk(t) = (t, x) : Sk(t, x) = 0, t ∈ T, x ∈ Ω, k = 1, 2, Ω0(t) = (t, x) : S1(t, x) < 0, S2(t, x) < 0, t ∈ T, x ∈ Ω, Ω1(t) = (t, x) : S1(t, x) > 0, S2(t, x) < 0, t ∈ T, x ∈ Ω, Ω2(t) = (t, x) : S1(t, x) > 0, S2(t, x) > 0, t ∈ T, x ∈ Ω. Тодi вiдповiдний клас (1 + 3)-вимiрних нелiнiйних крайових задач типу Стефа- на, що моделюють процеси плавлення та випаровування металiв пiд дiєю потужних потокiв випромiнювання, можна подати у виглядi [11, 12] ∂u ∂t = ∇ (d1(u)∇u) , (t, x) ∈ Ω1(t), (1) ∂v ∂t = ∇ (d2(v)∇v) , (t, x) ∈ Ω2(t), (2) S1(t, x) = 0 : d1v ∂u ∂n1 = HvV1 · n1 −Q(t) · n1, u = uv, (3) S2(t, x) = 0: d2m ∂v ∂n2 = d1m ∂u ∂n2 +HmV2 · n2, u = um, v = vm, (4) \|x\| = +∞ : v = v∞, t ∈ T, (5) де u, v — шуканi температурнi поля; d1(u), d2(v) — коефiцiєнти температуропро- вiдностi; d1v = d1(uv), d1m = d1(um), d2m = d2(vm); Hv , Hm, uv , um, vm, v∞ — деякi вiдомi сталi; Q(t) = (0, 0, Q(t)) — тепловий потiк; Sk(t, x) = 0, k = 1, 2, — шуканi поверхнi подiлу фаз; Vk(t, x), k = 1, 2, — швидкостi руху мiжфазових меж; nk, k = 1, 2, — одиничнi зовнiшнi нормалi до поверхонь Sk(t, x) = 0, k = 1, 2, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1354 С. С. КОВАЛЕНКО вiдповiдно; ∇ = ( ∂ ∂x1 , ∂ ∂x1 , ∂ ∂x3 ) ; iндекси k = 1 та k = 2 вiдповiдають рiдкiй та твердiй фазам металу. З математичної та фiзичної точок зору ми повиннi накласти деякi додатковi умови на функцiї та сталi, що з’являються у дослiджуваному класi крайових задач. А саме, ми припускаємо, що всi функцiї у задачi (1) – (5) є достатньо гладкими; вiльнi поверхнi Sk(t, x) = 0 задовольняють наступнi умови: ∂Sk ∂t 6= 0 та \|∇Sk\| 6= 0, k = 1, 2; тепловий потiк не є нульовим, тобто Q(t) 6= 0 та Vk · nk 6= 0, k = 1, 2. Зрештою сталi uv , um, vm, та v∞ повиннi задовольняти природнi нерiвностi uv 6= 6= um, vm 6= v∞. Базуючись на означеннi iнварiантностi у сенсi Лi крайової задачi з вiльними поверхнями, яке було запропоноване нами у роботi [7], та застосувавши класичнi методи групової класифiкацiї класiв диференцiальних рiвнянь [1, 4, 5], ми дослi- дили симетрiйнi властивостi класу крайових задач (1) – (5). Наведенi нижче лема 1 та теорема 1 дають вичерпний опис симетрiй Лi крайових задач з цього класу. Лема 1. Клас крайових задач (1) – (5) допускає групу перетворень еквiвалент- ностi ẼBVP eq : x̃1 = β (x1 cosβ1 + x2 sinβ1) + γ1, x̃2 = β (−x1 sinβ1 + x2 cosβ1) + γ2, x̃3 = βx3 + γ3, t̃ = αt+ γ0, ũ = δ1u+ γ4, ṽ = δ2v + γ5, S̃1 = S1, S̃2 = S2, d̃1 = β2 α d1, d̃2 = β2 α d2, d̃1v = β2 δ1 d1v, d̃1m = β2 δ1 d1m, d̃2m = β2 δ2 d2m, H̃v = αHv, H̃m = αHm, ũv = δ1uv + γ4, ũm = δ1um + γ4, ṽm = δ2v + γ5, Q̃ = βQ з довiльними дiйсними коефiцiєнтами α, β, β1, γ0, . . . , γ5, δ1, δ2, що задовольняють умову αβδ1δ2 6= 0. Теорема 1. Крайова задача (1) – (5) з довiльними заданими додатними функ- цiями d1(u), d2(v) та Q(t) є iнварiантною у сенсi Лi вiдносно 4-параметричної групи Лi, породженої такими iнфiнiтезимальними операторами: P1 = ∂ ∂x1 , P2 = ∂ ∂x2 , P3 = ∂ ∂x3 , J12 = x2 ∂ ∂x1 − x1 ∂ ∂x2 . Максимальна група iнварiантностi задачi (1) – (5) не залежить вiд форми функцiй d1(u), d2(v), а залежить вiд функцiї Q(t). Iснують лише двi крайовi задачi з класу (1) – (5) (з точнiстю до перетворень еквiвалентностi з групи ẼBVP eq ) з коректно вибраною функцiєю Q(t), якi допускають 5-параметричну групу iнварiантностi, породжену операторами P1, P2, P3, J12 та операторами ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 СИМЕТРIЙНИЙ АНАЛIЗ ТА ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ . . . 1355 1) D = 2t ∂ ∂t + x1 ∂ ∂x1 + x2 ∂ ∂x2 + x3 ∂ ∂x3 при Q(t) = q√ t , 2) Pt = ∂ ∂t при Q(t) = q, вiдповiдно, де q — деяка довiльна додатна стала. Зауваження 1. У теоремi 1 довiльну сталу q, з точнiстю до перетворень еквi- валентностi з групи ẼBVP eq , можна покласти рiвною 1 (нагадаємо, щоQ(t) — додатна функцiя). Зауваження 2. При доведеннi теореми випадок d1(u) = d2(v) = const не дослiджувався, оскiльки вiн фiзично не обґрунтований. Зауваження 3. У випадку однiєї просторової змiнної x3 задача (1) – (5) суттєво спрощується i пошуку її точних розв’язкiв та симетрiй Лi присвячено низку робiт, зокрема [6, 7, 13, 14]. 3. Симетрiйна редукцiя та приклад побудови точного розв’язку однiєї крайо- вої задачi з дослiджуваного класу. У цьому пунктi ми продемонструємо, як можна застосувати результати, отриманi у п. 2, до побудови точних розв’язкiв крайових задач з дослiджуваного класу. Зосередимося на розглядi крайової задачi (1) – (5) з тепловим потоком Q(t) = q ≡ (0, 0, q), q = const. Згiдно з теоремою 1, така задача допускає 5-вимiрну алгебру iнварiантностi A5 з такими базисними операторами: Pt = ∂ ∂t , P1 = ∂ ∂x1 , P2 = ∂ ∂x2 , P3 = ∂ ∂x3 , J12 = x2 ∂ ∂x1 − x1 ∂ ∂x2 . Тепер застосуємо цi оператори для редукцiї дослiджуваної крайової задачi до крайових задач меншої розмiрностi. Для реалiзацiї цiєї мети ми використаємо оптимальну систему s-вимiрних пiдалгебр (s ≤ 5) алгебри A5. Оскiльки алгебра A5 може бути подана у виглядi A5 = 〈P1, P2, J12〉 ⊕ 〈P3〉 ⊕ 〈Pt〉, то, застосувавши вiдомий алгоритм Лi – Гурса класифiкацiї пiдалгебр алгебр Лi, що розкладаються у пряму суму [15], та результати класифiкацiї пiдалгебр низькорозмiрних дiйсних алгебр Лi [16], вдалося отримати повний список шуканих пiдалгебр, якi наведено нижче. Пiдалгебри розмiрностi 1: 〈P3 cosφ+ Pt sinφ〉 , 〈P1 + α (P3 cosφ+ Pt sinφ)〉 , 〈J12 + β (P3 cosφ+ Pt sinφ)〉 ; пiдалгебри розмiрностi 2: 〈P3, Pt〉 , 〈P1 + α (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P2〉 , 〈P1 + α (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P3 sinφ− Pt cosφ〉 , 〈J12 + β (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P3 sinφ− Pt cosφ〉 ; пiдалгебри розмiрностi 3: 〈P1, P3, Pt〉 , 〈J12, P3, Pt〉 , 〈P1 + α (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P2, P3 sinφ− Pt cosφ〉 , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1356 С. С. КОВАЛЕНКО 〈J12 + β (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P1, P2〉 ; пiдалгебри розмiрностi 4: 〈P1, P2, P3, Pt〉 , 〈J12 + β (P3 cosφ+ Pt sinφ) , P1, P2, P3 sinφ− Pt cosφ〉 ; пiдалгебри розмiрностi 5: 〈J12, P1, P2, P3, Pt〉 . де α ≥ 0 та β — довiльнi дiйснi сталi, 0 ≤ φ < π. Розглянемо, для прикладу, алгебру 〈J12, P3 sinφ− Pt cosφ〉. Розв’язавши вiдпо- вiдну систему рiвнянь Лагранжа, легко отримати анзац, що вiдповiдає цiй алгебрi: u = u(r, z), v = v(r, z), Sk = Sk(r, z), k = 1, 2, (6) де z = x3 − µt, r = √ x21 + x22 — новi незалежнi змiннi (iнварiантнi змiннi). Зау- важимо, що цi змiннi допускають чiткий фiзичний змiст: перша з них здiйснює перехiд до рухомої системи координат (у напрямку змiнної x3) з початком коор- динат на поверхнi S1 = 0, друга вказує на радiальну симетрiю процесу вiдносно змiнних x1 та x2. Пiдставимо анзац (6) у крайову задачу (1) – (5) з Q(t) = q. Пiсля вiдповiд- них обчислень отримуємо таку крайову задачу для двовимiрної системи рiвнянь елiптичного типу: 1 r (rd1(u)ur)r + (d1(u)uz)z + µuz = 0, (7) 1 r (rd2(v)vr)r + (d2(v)vz)z + µvz = 0, (8) S1(r, z) = 0: d1v∇′u · ∇′S1 = (µHv − q) ∂S1 ∂z , u = uv, (9) S2(r, z) = 0: d2m∇′v · ∇′S2 = d1m∇′u · ∇′S2 + µHm ∂S2 ∂z , (10) u = um, v = vm, r2 + z2 = +∞ : v = v∞, (11) де ∇′ = ( ∂ ∂r , ∂ ∂z ) , µ — деякий невiдомий параметр, iндекси r та z позначають диференцiювання за цими змiнними. Незважаючи на те, що отримана крайова задача є набагато простiшим об’єк- том, нiж початкова задача (1) – (5), вона все ще залишається нелiнiйною задачею з базовими двовимiрними рiвняннями з частинними похiдними. Наша головна мета полягає у тому, щоб звести задачу (7) – (11) до крайової задачi з базовими звичай- ними диференцiальними рiвняннями. Звичайно, що для виконання такої редукцiї можна застосувати рiзнi пiдходи, проте ми зупинимося тут лише на одному цiка- вому прикладi. Розглянемо анзац [17] ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 СИМЕТРIЙНИЙ АНАЛIЗ ТА ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ . . . 1357 u = u(ω), v = v(ω), Sk = Sk(ω), ω = z + √ z2 + r2, k = 1, 2. (12) Зауважимо, що цей анзац є нелiївським, оскiльки максимальна алгебра iнварiант- ностi системи (7), (8) з довiльними функцiями d1(u) та d2(v) є тривiальною i генерується оператором зсуву ∂ ∂z . Пiдставивши анзац (12) у крайову задачу (7) – (11) та провiвши вiдповiднi обчис- лення, отримаємо крайову задачу для системи звичайних диференцiальних рiвнянь: d dω ( ωd1(u) du dω ) + µ ω 2 du dω = 0, 0 < ω1 < ω < ω2, (13) d dω ( ωd2(v) dv dω ) + µ ω 2 dv dz = 0, ω > ω2, (14) ω = ω1 : 2d1v du dω = µHv − q, u = uv, (15) ω = ω2 : 2d2m dv dω = 2d1m du dω + µHm, u = um, v = vm, (16) ω = +∞ : v = v∞, (17) де ωk, k = 1, 2, та µ — невiдомi параметри, якi потрiбно знайти при розв’язаннi задачi. Тепер ми маємо змогу визначити форму вiльних поверхонь Sk(t, x) = 0, k = = 1, 2, оскiльки, у вiдповiдностi з анзацем (12), Sk(ω) ≡ z + √ z2 + r2 = ωk, k = 1, 2. Останнє рiвняння можна записати у виглядi x21 + x22 ω2 k = 1− 2z ωk , k = 1, 2. (18) Таким чином, ми отримали рiвняння параболоїдов обертання у просторi змiнних x1, x2, z. З фiзичної точки зору, невiдомi параметри ω1 та ω2 повиннi задоволь- няти нерiвностi ω2 > ω1 > 0. Бiльш того, параметр ω1 може бути визначений з наступних мiркувань. Якщо у рiвняннi (18) покласти z = 0, то ω1 = √ x21 + x22. З iншого боку, тiльки та частина поверхнi S1 = 0, що обмежена колом радiуса R, отримує потiк Q(t) = q. Отже, не втрачаючи загальностi мiркувань, можемо покласти ω1 = R. Перейдемо тепер до побудови точного розв’язку задачi (13) – (17). Тут головна проблема полягає у розв’язаннi системи нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь (13), (14), оскiльки її загальний розв’язок у загальному випадку є не- вiдомим. Проте в деяких спецiальних випадках це вдається зробити. Зазначимо, що розв’язок задачi (13) – (17) у випадку лiнiйних базових рiвнянь (тобто коли d1(u) = a1 та d2(v) = a2, де a1, a2 ∈ R+) отримано у роботi [12]. Ми зупинимося на одному конкретному випадку нелiнiйної системи рiвнянь (13), (14), а саме, при ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1358 С. С. КОВАЛЕНКО d1(u) = u−1 та d2(v) = 1. В цьому випадку її точний розв’язок можна подати у неявному виглядi (див., наприклад, [18]) ωu∫ a dν ν ( 1 + e−W (eA)+A ) = lnω + C2, v = C3Φ(ω) + C4, (19) де Φ(ω) = ∫ +∞ ω ω−1e−µω/2dω, W (x) — функцiя Ламберта, A = −µ 2 ν + C1, a — деяка стала, C1, . . . , C4 — довiльнi сталi iнтегрування. Пiдставляючи розв’язок (19) у крайовi умови (15) – (17) та беручи до уваги, що dΦ dω = ω−1e−µω/2, ln ( ω u du dω ) + ω u du dω = A, отримуємо шуканий точний розв’язок ωu∫ Ruv dν ν ( 1 + e−W (eA)+A ) = ln ω R , v = vm − v∞ Φ2(ω2) Φ2(ω) + v∞, (20) де параметри ω2 та µ повиннi бути знайденi з системи трансцендентних рiвнянь ω2um∫ Ruv dν ν ( 1 + e−W (eA)+A ) = ln ω2 R , 2 vm − v∞ Φ(ω2) e−µω2/2 = 2e−W (eA(ω2))+A(ω2) + µω2Hm. Тут ми використали такi позначення: A = −µ 2 ν + ln ( (µHv − q) R 2 ) + (µHv − q) R 2 + µ 2 Ruv та A(ω2) = µ 2 (Ruv − ω2um) + ln ( (µHv − q) R 2 ) + (µHv − q) R 2 . Тепер, використовуючи формули (20), (6) та (12), отримуємо точний розв’язок у неявному виглядi початкової крайової задачi (1) – (5) при d1(u) = u−1, d2(v) = 1 та Q(t) = q : (√ x2 1+x 2 2+(x3−µt)2+x3−µt ) u∫ Ruv dν ν ( 1 + e−W (eA)+A ) = = ln √ x21 + x22 + (x3 − µt)2 + x3 − µt R , v = vm − v∞ Φ(ω2) Φ (√ x21 + x22 + (x3 − µt)2 + x3 − µt ) + v∞, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 СИМЕТРIЙНИЙ АНАЛIЗ ТА ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ . . . 1359 Sk ≡ x21 + x22 ω2 k + 2(x3 − µt) ωk − 1 = 0, k = 1, 2. 1. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 400 с. 2. Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики. – М.: Наука, 1990. – 400 с. 3. Фущич В.И., Штелень В. М., Серов Н. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. – Киев: Наук. думка, 1989. – 336 с. 4. Лагно В. I., Спiчак С. В., Стогнiй В. I. Симетрiйний аналiз рiвнянь еволюцiйного типу // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 42. – 360 с. 5. Bluman G. W., Anco S. C. Symmetry and integration methods for differential equations. – New York: Springer, 2002. – 420 p. 6. Cherniha R., Kovalenko S. Exact solutions of nonlinear boundary value problems of the Stefan type // J. Phys. A: Math. Theor. – 2009. – 42. – 355202. 7. Cherniha R., Kovalenko S. Lie symmetries of nonlinear boundary value problems. – Kyiv, 2010. – 21 p. – (Preprint / arXiv:1012.5606). 8. Чернiга Р. М. Нелiнiйнi еволюцiйнi рiвняння: галiлеївська iнварiантнiсть, точнi розв’язки та їхнє застосування: Дис. . . . д-ра фiз.-мат. наук. – Київ, 2003. – 327 с. 9. Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений Навье – Стокса, описывающие движения со свободной границей // Докл. АН СССР. – 1972. – 202, № 2. – С. 302 – 305. 10. Benjamin T. B., Olver P. J. Hamiltonian structure, symmetries and conservation laws for water waves // J. Fluid Mech. – 1982. – 125. – P. 137 – 185. 11. Анисимов С. И., Имас Я. А., Романов Г. С., Ходыко Ю. В. Действие излучения большой мощности на металлы. – М.: Наука, 1970. – 272 с. 12. Любов Б. Я., Соболь Э. Н. Расчет кинетики плавления и испарения твердого тела под действием потока энергии // Физ.-хим. обработка материалов. – 1982. – № 1. – С. 13 – 18. 13. Чернiга Р. М., Однороженко I. Г. Точнi розв’язки нелiнiйної задачi плавлення та випаровування металу при дiї потужного потоку енергiї // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1990. – № 12. – C. 44 – 47. 14. Cherniha R. M., Cherniha N. D. Exact solutions of a class of nonlinear boundary value problems with moving boundaries // J. Phys. A: Math. and Gen. – 1993. – 26. – P. L935 – L940. 15. Pathera J., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. I. General method and the Poincare group // J. Math. Phys. – 1975. – 16, № 8. – P. 1597 – 1615. 16. Pathera J., Winternitz P. Subalgebras of real three- and four-diensional Lie algebras // J. Math. Phys. – 1977. – 18, № 7. – P. 1449 – 1455. 17. Иванцов Г. П. Температурное поле вокруг шарообразного, цилиндрического и иглообразного кристалла, растущего в переохлажденном расплаве // Докл. АН СССР. – 1947. – 48, № 4. – С. 567 – 569. 18. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с. Одержано 24.06.11 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10

Симетрійний аналіз та точні розв'язки одного класу (1 + 3)-вимірних крайових задач типу Стефана

Репозитарії

Схожі ресурси