О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов
Теореми Орлiча i Тандорi про безумовну збiжнiсть майже скрiзь щодо мiри Лебега дiйсних ортогональних рядiв, заданих на iнтервалi (0; 1), поширено на загальнi комплекснi ортогональнi ряди, що заданi на просторi з довiльною мiрою....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166384 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1360–1367. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166384 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1663842020-02-20T01:26:23Z О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов Михайлец, В.А. Мурач, А.А. Статті Теореми Орлiча i Тандорi про безумовну збiжнiсть майже скрiзь щодо мiри Лебега дiйсних ортогональних рядiв, заданих на iнтервалi (0; 1), поширено на загальнi комплекснi ортогональнi ряди, що заданi на просторi з довiльною мiрою. The Orlicz and Tandori theorems on the unconditional almost-everywhere convergence, with respect to Lebesgue measure, of real orthogonal series defined on the interval (0; 1) are extended to general complex orthogonal series defined on an arbitrary measure space. 2011 Article О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1360–1367. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166384 517.518.362 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Михайлец, В.А. Мурач, А.А. О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов Український математичний журнал |
| description |
Теореми Орлiча i Тандорi про безумовну збiжнiсть майже скрiзь щодо мiри Лебега дiйсних ортогональних рядiв, заданих на iнтервалi (0; 1), поширено на загальнi комплекснi ортогональнi ряди, що заданi на просторi з довiльною мiрою. |
| format |
Article |
| author |
Михайлец, В.А. Мурач, А.А. |
| author_facet |
Михайлец, В.А. Мурач, А.А. |
| author_sort |
Михайлец, В.А. |
| title |
О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов |
| title_short |
О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов |
| title_full |
О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов |
| title_fullStr |
О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов |
| title_full_unstemmed |
О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов |
| title_sort |
о безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166384 |
| citation_txt |
О безусловной сходимости почти всюду общих ортогональных рядов / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1360–1367. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mihajlecva obezuslovnojshodimostipočtivsûduobŝihortogonalʹnyhrâdov AT muračaa obezuslovnojshodimostipočtivsûduobŝihortogonalʹnyhrâdov |
| first_indexed |
2025-07-14T21:20:23Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:20:23Z |
| _version_ |
1837658843263270912 |
| fulltext |
УДК 517.518.362
В. А. Михайлец (Ин-т математики НАН Украины, Киев; Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
А. А. Мурач (Ин-т математики НАН Украины, Киев; Чернигов. технол. ун-т)
О БЕЗУСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ
ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
The Orlicz and Tandori theorems on the unconditional almost-everywhere convergence, with respect to
Lebesgue measure, of real orthogonal series defined on the interval (0; 1) are extended to general complex
orthogonal series defined on an arbitrary measure space.
Теореми Орлiча i Тандорi про безумовну збiжнiсть майже скрiзь щодо мiри Лебега дiйсних ортогональ-
них рядiв, заданих на iнтервалi (0; 1), поширено на загальнi комплекснi ортогональнi ряди, що заданi
на просторi з довiльною мiрою.
1. Введение. В теории ортогональных рядов важную роль играет теорема Мень-
шова – Радемахера (см., например, [1], п. 2.3.2, [2], гл. 9, § 1). Она утверждает,
что последовательность чисел (log2
2 n) является множителем Вейля для сходимос-
ти почти всюду (п.в.) относительно меры Лебега ряда по произвольной ортонор-
мированной системе (ОНС) вещественных функций, заданных на ограниченном
интервале оси. Как отмечено, например, в работах Б. М. Макарова [3] (п. 2.3.1),
Ф. Морица, К. Тандори [4], К. Мини [5], эта теорема сохраняет силу для общих
ортогональных вещественных или комплексных рядов, заданных на произвольном
измеримом пространстве.
Вместе с тем известные авторам теоремы о безусловной сходимости п.в. ортого-
нальных рядов установлены в предположении, что ОНС состоит из вещественных
функций, заданных на ограниченном интервале оси. Среди этих результатов су-
щественное место занимает теорема Орлича [6], которая дает достаточное условие
того, что последовательность чисел (ωn log2
2 n) является множителем Вейля для
безусловной сходимости п.в. (см. также [1], п. 2.5.1). Как показал К. Тандори [7],
условие теоремы Орлича на возрастающую последовательность (ωn) нельзя осла-
бить.
В этой связи возникает вопрос: верна ли теорема Орлича для любой ОНС комп-
лекснозначных функций, заданных на произвольном измеримом пространстве? В
настоящей работе дается положительный ответ на этот вопрос. Приведенное здесь
доказательство отлично от данного В. Орличем. Оно опирается на теорему Тандори
[7] о безусловной сходимости п.в., которую мы также распространяем на общие
ортогональные ряды.
Отметим, что в случае ортогональных рядов по комплекснозначным собствен-
ным функциям самосопряженного эллиптического оператора, заданного на замкну-
том компактном многообразии X , условия теорем Меньшова – Радемахера и Ор-
лича равносильны принадлежности разлагаемой функции изотропным простран-
ствам Хермандера H log(X) и Hϕ log(X) соответственно (см. [8, 9] и [10], п. 2.3.2).
Здесь возрастающая функция ϕ : [1,∞) → (0,∞) регулярно меняется на +∞ по
Карамата и удовлетворяет условию
∞∫
2
dt
t (log2 t)ϕ
2(t)
<∞.
c© В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ, 2011
1360 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О БЕЗУСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ . . . 1361
Общие формы теорем Меньшова – Радемахера и Орлича имеют содержательные
приложения к исследованию сходимости кратных тригонометрических рядов, сум-
мируемых различными методами. Соответствующие результаты будут приведены
в другой статье.
2. Основные результаты. Пусть X— произвольное измеримое пространство,
на котором задана некоторая σ-аддитивная мера µ ≥ 0. Не предполагается, что эта
мера конечна или σ-конечна.
Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L2(X, dµ), образованное
измеримыми функциями f : X → C такими, что
‖f‖ :=
∫
X
|f(x)|2 dµ(x)
1/2 <∞
(точнее, классами функций, эквивалентных относительно µ).
Пусть в пространстве L2(X, dµ) произвольно выбрана ортонормированная сис-
тема комплекснозначных функций (ϕn)∞n=1. Исследуем безусловную сходимость
µ-почти всюду (µ-п.в.) на X ортогонального ряда
∞∑
n=1
an ϕn(x), (1)
где коэффициенты an — комплексные числа.
Напомним, что ряд (1) называется безусловно сходящимся µ-п.в. на X , если для
любой перестановки натурального ряда σ = (σ(n))∞n=1 сходится µ-п.в. на X ряд
∞∑
n=1
aσ(n) ϕσ(n)(x). (2)
(При этом множество меры нуль расходимости ряда (2) может зависеть от переста-
новки σ.) Отметим, что из сходимости ряда (1) µ-п. в. (на X) не следует, вообще
говоря, что этот ряд безусловно сходится µ-п. в.
Теорема 1 (общая форма теоремы Тандори). Пусть последовательность комп-
лексных чисел (an)∞n=1 удовлетворяет условию
∞∑
k=0
(
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n
)1/2
<∞, (3)
где νk := 22
k
. Тогда ряд (1) безусловно сходится µ-п.в. на X .
Это теорема доказана К. Тандори [7] в случае, когда
X = (α, β), −∞ < α < β <∞, µ — мера Лебега,
ϕn : (α, β)→ R, an ∈ R, n ≥ 1.
(4)
Им также показано, что она окончательная в следующем смысле: для фиксирован-
ной убывающей последовательности положительных чисел (an)∞n=1 ряд (1) без-
условно сходится п.в. на интервале (0; 1) для любой ОНС вещественных функций
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1362 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
(ϕn)∞n=1 тогда и только тогда, когда выполнено условие (3). Изложение этих ре-
зультатов К. Тандори приведено в монографии [2] (гл. 9, § 2 и примечание к гл. 9
на с. 532).
Достаточное условие безусловной сходимости ряда (1) можно выразить в тер-
минах множителей Вейля.
Теорема 2 (общая форма теоремы Орлича). Пусть последовательность комп-
лексных чисел (an)∞n=1 и возрастающая (нестрого) последовательность положи-
тельных чисел (ωn)∞n=1 удовлетворяют следующим условиям:
∞∑
n=2
|an|2(log2
2 n)ωn <∞, (5)
∞∑
n=2
1
n(log2 n)ωn
<∞. (6)
Тогда ряд (1) безусловно сходится µ-п.в. на X .
В случае (4) эта теорема является эквивалентной формулировкой теоремы Ор-
лича [6], предложенной П. Л. Ульяновым [11, с. 53] (см. также [12, с. 53]). Теорема
Орлича и ее доказательство приведены, например, в монографии [1] (п. 2.5.1). Как
уже отмечалось, в этой теореме условие (6) на последовательность (ωn)∞n=1 нельзя
ослабить.
Теоремы 1 и 2 будут доказаны ниже в пп. 4 и 5 соответственно.
3. Вспомогательные факты. Сначала сделаем одно замечание. Без потери
общности в доказательствах можно предполагать, что мера µ является σ-конечной.
В самом деле, поскольку все функции |ϕn|2, n ≥ 1, интегрируемы на X , каждое
множество {x ∈ X : |ϕn(x)| > 1/j}, где j ≥ 1 целое, имеет конечную меру.
Следовательно, мера µ является σ-конечной на множестве всех тех точек x ∈ X ,
где ϕn(x) 6= 0 хотя бы для одного значения n. Вне этого множества все члены
ряда (1) суть тождественные нули. Поэтому указанное предположение не приводит
к потере общности в доказательствах.
Для доказательства теоремы 1 нам понадобится следующий факт.
Лемма 1 (общая форма леммы Меньшова – Радемахера). Пусть произвольно за-
даны целое число N ≥ 1, конечная ОНС функций Ψ := (ψn)Nn=1 в L2(X, dµ) и
конечный набор комплексных чисел b := (bn)Nn=1. Тогда для функции
S∗N (Ψ, b, x) := max
1≤j≤N
∣∣∣∣∣
j∑
n=1
bnψn(x)
∣∣∣∣∣ , x ∈ X, (7)
выполняется неравенство
‖S∗N (Ψ, b, ·)‖ ≤ C log2(N + 1)
(
N∑
n=1
|bn|2
)1/2
. (8)
Здесь C — некоторая универсальная положительная постоянная.
В случае (4) неравенство (8) получено независимо Д. Е. Меньшовым и Г. Раде-
махером и использовано ими для доказательства теоремы о сходимости п.в. орто-
гональных рядов (см. изложение их результатов в монографиях [1], пп. 2.3.1, 2.3.2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О БЕЗУСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ . . . 1363
и [2], гл. 9, § 1). Оно известно также и в рассматриваемой нами общей ситуации
(см., например, [13] (теорема 3) и [5] (предложение 2.1)). Отметим, что полная
характеризация последовательностей (an)∞n=1 таких, что ряд (1) сходится п.в. для
произвольной ОНС функций в L2(X, dµ;R), дана А. Пашкевичем [14].
4. Доказательство теоремы 1. Мы в основном следуем схеме доказательства
из монографии [2] (гл. 9, § 2, теорема 5), где рассмотрен случай (4).
Не ограничивая общности, можно считать, что a1 = a2 = 0. Для целого k ≥ 0
обозначим
Hk := {j ∈ N : νk + 1 ≤ j ≤ νk+1};
здесь, напомним, νk := 22
k
. Рассмотрим произвольную перестановку (2) ортого-
нального ряда (1). Определим последовательность чисел
(
ε
(k)
n
)∞
n=1
по формуле
ε(k)n :=
1, если σ(n) ∈ Hk,
0, если σ(n) /∈ Hk.
Для произвольных p, q ∈ N таких, что p ≤ q, можем записать
q∑
n=p
aσ(n) ϕσ(n)(x) =
∞∑
k=0
q∑
n=p
ε(k)n aσ(n) ϕσ(n)(x), x ∈ X. (9)
Ряд в правой части равенства (9) сходится для каждого x ∈ X, так как он содержит
лишь конечное число ненулевых членов.
Для целого k ≥ 0 положим
δk(x) := sup
1≤p<q<∞
∣∣∣∣∣
q∑
n=p
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ , x ∈ X. (10)
Отметим, что
δk(x) ≤ 2 sup
1≤q<∞
∣∣∣∣∣
q∑
n=1
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ , x ∈ X, (11)
причем последняя сумма содержит лишь слагаемые, для которых индекс σ(n) ∈
∈ Hk. Положим в лемме 1
Ψ := {ϕσ(n) : n ∈ N такое, что σ(n) ∈ Hk},
b := {aσ(n) : n ∈ N такое, что σ(n) ∈ Hk},
N = N(k) := νk+1 − νk = νk(νk − 1).
Тогда
S∗N(k)(Ψ, b, x) = sup
1≤q<∞
∣∣∣∣∣
q∑
n=1
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ , x ∈ X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1364 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Поэтому в силу леммы 1 и неравенства (11) имеем
‖δk‖ ≤ 2C log2(N(k) + 1)
∑
n : σ(n)∈Hk
|aσ(n)|2
1/2 =
= 2C log2(N(k) + 1)
(
νk+1∑
n=νk+1
|an|2
)1/2
.
Следовательно, поскольку
log2(N(k) + 1) = log2(νk(νk − 1) + 1) ≤ 2 log2 νk,
приходим к оценке∫
X
δ 2
k (x)dµ(x)
1/2 ≤ 4C
(
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n
)1/2
. (12)
Покажем, что отсюда следует неравенство
∞∑
k=0
δk(x) <∞ для µ-п.в. x ∈ X. (13)
Как отмечалось выше, можно предполагать без потери общности, что мера µ яв-
ляется σ-конечной.
Если µ(X) < ∞, то в силу неравенства Коши для интегралов, оценки (12) и
условия (3) имеем
∞∑
k=0
∫
X
δk(x)dµ(x) ≤
∞∑
k=0
∫
X
dµ(x)
1/2∫
X
δ2k(x) dµ(x)
1/2 ≤ (14)
≤ 4C
√
µ(X)
∞∑
k=0
(
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n
)1/2
<∞. (15)
Следовательно, по теореме Б. Леви∫
X
( ∞∑
k=0
δk(x)
)
dµ(x) =
∞∑
k=0
∫
X
δk(x)dµ(x) <∞, (16)
откуда получаем (13) (напомним, что все δk ≥ 0).
Если µ(X) = ∞, то представим X в виде счетного объединения измеримых
множеств Xj , j ∈ N, меры которых конечны. Для каждого номера j неравен-
ства (14), (15) и их следствия — формулы (16), (13) — сохраняют силу, если в них
заменить X на Xj . Отсюда снова получаем (13).
В силу (13) для µ-п.в. x ∈ X и любого числа ε > 0 найдется такой номер
m = m(x, ε), что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О БЕЗУСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ . . . 1365
∞∑
k=m
δk(x) < ε. (17)
Выберем номер p = p(x, ε) настолько большим, что сумма
p−1∑
n=1
aσ(n)ϕσ(n)(x)
содержит все функции ϕn с номерами из Hk, где 0 ≤ k < m(x, ε). Тогда в силу
(10) и (17) для любого целого q ≥ p имеем∣∣∣∣∣
q∑
n=p
aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣
∞∑
k=0
q∑
n=p
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=m
q∑
n=p
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
k=m
∣∣∣∣∣
q∑
n=p
ε(k)n aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
k=m
δk(x) < ε.
Таким образом, для µ-п. в. x ∈ X и любого числа ε > 0 найдется такой номер
p = p(x, ε), что при любом целом q ≥ p выполняется неравенство∣∣∣∣∣
q∑
n=p
aσ(n)ϕσ(n)(x)
∣∣∣∣∣ < ε.
Тем самым установлено, что ряд (2) сходится для µ-п. в. x ∈ X .
Теорема 1 доказана.
5. Доказательство теоремы 2. Мы выведем ее из теоремы 1, показав, что
условия (5) и (6) влекут за собой условие (3).
Для каждого целого числа k ≥ 0 полагаем
Ak :=
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n,
где, как и прежде, νk := 22
k
. Воспользовавшись неравенством Коши, можем запи-
сать
∞∑
k=0
A
1/2
k =
∞∑
k=0
A
1/2
k ω1/2
νk
ω−1/2νk
≤
( ∞∑
k=0
Akωνk
)1/2( ∞∑
k=0
ω−1νk
)1/2
.
Как отмечалось в [11, с. 53, 54], условие (6) равносильно следующему:
c :=
∞∑
k=0
ω−1νk <∞. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1366 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
(Для полноты изложения докажем это в конце настоящего пункта.) Следовательно,
в силу условия (5) и возрастания последовательности (ωn)∞n=1 имеем( ∞∑
k=0
A
1/2
k
)2
≤ c
∞∑
k=0
Akωνk = c
∞∑
k=0
ωνk
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n ≤
≤ c
∞∑
k=0
νk+1∑
n=νk+1
|an|2(log2
2 n)ωn = c
∞∑
n=3
|an|2(log2
2 n)ωn <∞.
Таким образом, выполняется условие (3):
∞∑
k=0
(
νk+1∑
n=νk+1
|an|2 log2
2 n
)1/2
=
∞∑
k=0
A
1/2
k <∞.
Следовательно, по теореме 1 ряд (1) безусловно сходится µ-п.в̇. на X .
Теорема 2 доказана.
В приведенном доказательстве был использован следующий факт.
Предложение 1. Для любой возрастающей (нестрого) последовательности
положительных чисел (ωn)∞n=1 условия (6) и (18) равносильны.
Доказательство. Как известно, для любой убывающей (нестрого) последова-
тельности положительных чисел (dn)∞n=1
∞∑
n=1
dn <∞⇔
∞∑
n=0
2n d2n <∞. (19)
Дважды применяя (19) сначала для dn := (n(log2 n)ωn)−1, а затем для dn :=
:= (nω2n)−1, получаем требуемую равносильность:
∞∑
n=2
1
n (log2 n)ωn
<∞⇔
∞∑
n=1
1
nω2n
<∞⇔
∞∑
n=0
1
ωνn
<∞.
Предложение 1 доказано.
6. Заключительное замечание. Как видно из доказательств леммы 1 и тео-
рем 1 и 2, они сохраняют силу, если система (ϕn)∞n=1 образует базис Рисса [15]
(гл. VI, § 2) в замыкании своей линейной оболочки в пространстве L2(X, dµ;C).
При этом в лемме 1 в правой части неравенства (8) постоянная C уже не является
универсальной и зависит от выбора системы (ϕn)∞n=1.
1. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. – 360 с.
2. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. Изд. 2-е, доп. – М.: Изд-во АФЦ, 1999. – 560 с.
3. Makarov B. M. p-Absolutely summing operators and some of their applications // St. Petersburg Math.
J. – 1992. – 3, № 2. – P. 227 – 298.
4. Móricz F., Tandori K. An improved Menshov – Rademacher theorem // Proc. Amer. Math. Soc. – 1996. –
124, № 3. – P. 877 – 885.
5. Meaney C. Remarks on the Rademacher – Menshov theorem // Proc. Centre Math. Appl. Austral. Nat.
Univ. – 2007. – 42. – P. 100 – 110.
6. Orlicz W. Zur Theorie der Orthogonalreihen // Bull. Int. Acad. Sci. Polon. Cracovie. – 1927. – P. 81 – 115.
7. Tandori K. Über die orthogonalen Functionen X (unbedingte Kovergenz) // Acta Sci. Math. – 1962. –
23, № 3-4. – P. 185 – 221.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
О БЕЗУСЛОВНОЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ . . . 1367
8. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces //
Methods Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
9. Михайлец В. А., Мурач А. А. Об эллиптических операторах на замкнутом многообразии // Доп.
НАН України. – 2009. – № 3. – С. 29 – 35.
10. Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи. –
Kиев: Ин-т математики НАН Украины, 2010. – 372 с. (arXiv:1106.3214)
11. Ульянов П. Л. О множителях Вейля для безусловной сходимости // Мат. сб. – 1963. – 60, № 1. –
С. 39 – 62.
12. Ульянов П. Л. Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных
рядов // Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 1. – С. 3 – 69.
13. Móricz F. Moment inequalities and the strong laws of large numbers // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und
verw. Geb. – 1976. – 35, № 4. – S. 299 – 314.
14. Paszkiewicz A. A complete characterization of coefficients of a.e. convergent orthogonal series and
majorizing measures // Invent. math. – 2010. – 180, № 1. – P. 55 – 110.
15. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1965. – 448 с.
Получено 14.04.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
|