Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова
Для трех классов вырожденных параболических уравнений, естественно обобщающих классическое уравнение диффузии с инерцией А. Н. Колмогорова, исследованы фундаментальные решения задачи Коши....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166397 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова / С.Д. Iвасишен, В.В. Лаюк // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1469–1500. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166397 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1663972020-02-20T01:26:46Z Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова Iвасишен, С.Д. Лаюк, В.В. Статті Для трех классов вырожденных параболических уравнений, естественно обобщающих классическое уравнение диффузии с инерцией А. Н. Колмогорова, исследованы фундаментальные решения задачи Коши. Fundamental solutions of the Cauchy problem for three classes of degenerate parabolic equations are investigated. These equations are natural generalizations of the classical Kolmogorov equation of the diffusion with the inertia. 2011 Article Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова / С.Д. Iвасишен, В.В. Лаюк // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1469–1500. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166397 517.956.4 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Iвасишен, С.Д. Лаюк, В.В. Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова Український математичний журнал |
| description |
Для трех классов вырожденных параболических уравнений, естественно обобщающих классическое уравнение диффузии с инерцией А. Н. Колмогорова, исследованы фундаментальные решения задачи Коши. |
| format |
Article |
| author |
Iвасишен, С.Д. Лаюк, В.В. |
| author_facet |
Iвасишен, С.Д. Лаюк, В.В. |
| author_sort |
Iвасишен, С.Д. |
| title |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова |
| title_short |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова |
| title_full |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова |
| title_fullStr |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова |
| title_full_unstemmed |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова |
| title_sort |
фундаментальні розв'язки задачі коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу колмогорова |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166397 |
| citation_txt |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова / С.Д. Iвасишен, В.В. Лаюк // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 11. — С. 1469–1500. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT ivasišensd fundamentalʹnírozvâzkizadačíkošídlâdeâkihvirodženihparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorova AT laûkvv fundamentalʹnírozvâzkizadačíkošídlâdeâkihvirodženihparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorova |
| first_indexed |
2025-07-14T21:23:39Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:23:39Z |
| _version_ |
1837659059599179776 |
| fulltext |
УДК 517.956.4
С. Д. Iвасишен (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ),
В. В. Лаюк (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI
ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ
РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА
Fundamental solutions of the Cauchy problem for three classes of degenerate parabolic equations are investi-
gated. These equations are natural generalizations of the classical Kolmogorov equation of the diffusion with
the inertia.
Для трех классов вырожденных параболических уравнений, естественно обобщающих классическое
уравнение диффузии с инерцией А. Н. Колмогорова, исследованы фундаментальные решения задачи
Коши.
Будемо розглядати класи рiвнянь EB
21, EB
22 i EB
23, якi узагальнюють вiдповiдно
клас E21 вироджених параболiчних рiвнянь типу Колмогорова порядку 2b, клас
E22 ультрапараболiчних рiвнянь типу Колмогорова i клас E23 вироджених рiвнянь
типу Колмогорова з
−→
2b-параболiчною (в сенсi Ейдельмана) частиною за основними
змiнними iз монографiї [1]. Цi класи характеризуються деякою сталою матрицею
B, елементи якої входять у коефiцiєнти молодших членiв рiвняння. Коли матриця
B має найпростiший вигляд, то розглядуванi класи є класами E21, E22 та E23. У
цiй статтi доповнено результати з [1] для класiв E21 –E23 та наведено вiдповiднi
результати дослiдження фундаментальних розв’язкiв задачi Кошi (ФРЗК) для кла-
сiв EB
21 –EB
23. Доповнення результатiв з [1] стосується оцiнок приростiв старших
похiдних вiд фундаментальних розв’язкiв. Доведенi в статтi теореми було анонсо-
вано в [2].
1. Позначення, означення класiв рiвнянь, припущення. Вважатимемо, що n-
вимiрна просторова змiнна x складається з n1-вимiрної змiнної x1 :=(x11, . . . , x1n1),
n2-вимiрної змiнної x2 :=(x21, . . . , x2n2
) i n3-вимiрної змiнної x3 :=(x31, . . . , x3n3
),
тобто x := (x1, x2, x3). Тут n1, n2 i n3 — такi натуральнi числа, що n1 ≥ n2 ≥ n3
i n1 + n2 + n3 = n. Вiдповiдно до цього мультиiндекс k ∈ Zn+ записуватимемо у
виглядi k := (k1, k2, k3), де kl := (kl1, . . . , klnl
) ∈ Znl
+ , l ∈ {1, 2, 3}. Далi T — задане
додатне число, Π(0,T ] := {(t, x)| t ∈ (0, T ], x ∈ Rn}, Π[0,T ] := {(t, x)| t ∈ [0, T ], x ∈
∈ Rn}.
Розглянемо рiвняння вигляду
(SB −As(t, x, ∂x1
))u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π(0,T ], (1s)
де s ∈ {1, 2, 3},
SB := ∂t −
n2∑
j=1
(
n1∑
s=1
b1sjx1s
)
∂x2j −
n3∑
j=1
(
n2∑
s=1
b2sjx2s
)
∂x3j , (2)
A1(t, x, ∂x1
) :=
∑
|k1|≤2b
ak1(t, x)∂k1x1
, (3)
A2(t, x, ∂x1) :=
n1∑
j,s=1
ajs(t, x)∂x1j∂x1s +
n1∑
j=1
aj(t, x)∂x1j + a0(t, x), (4)
c© С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11 1469
1470 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
A3(t, x, ∂x1
) :=
∑
‖k1‖≤2b
ak1(t, x)∂k1x1
. (5)
У виразi (2) b1sj , b
2
sj — заданi дiйснi числа, у виразi (3) b — задане натуральне
число i |k1| :=
∑n1
j=1
k1j , у виразi (5) b — найменше спiльне кратне заданих нату-
ральних чисел b1, . . . , bn1
i ‖k1‖ :=
∑n1
j=1
mjk1j , де mj := b/bj , j ∈ {1, . . . , n1}.
Диференцiальний вираз (2) можна записати як
SB = ∂t − (x,BDx), (6)
де B — матриця розмiру n× n, яка має вигляд
B :=
O B1 O
O O B2
O O O
, (7)
B1, B2 — матрицi, складенi вiдповiдно з дiйсних чисел b1sj , s ∈ {1, . . . , n1},
j ∈ {1, . . . , n2}, b2sj , s ∈ {1, . . . , n2}, j ∈ {1, . . . , n3}, O — нульовi матрицi вiд-
повiдних розмiрiв, Dx := col(∂x11 , . . . , ∂x1n1
, ∂x21 , . . . , ∂x2n2
, ∂x31 , . . . , ∂x3n3
), (·, ·)
— скалярний добуток в Rn.
Для рiвнянь (1s) використовуватимемо такi умови:
α1) матриця (7), в якiй блоки B1 i B2 записанi вiдповiдно у виглядi
(
B1
1
B1
2
)
i(
B2
1
B2
2
)
, де B1
1 , B
1
2 , B
2
1 i B2
2 — матрицi вiдповiдно розмiрiв n2×n2, (n1−n2)×n2,
n3 × n3 i (n2 − n3)× n3, задовольняє умови det Bj1 6= 0, j ∈ {1, 2};
α2s) iснує така стала δ > 0, що для кожної точки (t, x) ∈ Π[0,T ] i σ1 ∈ Rn1
справджується нерiвнiсть
Re Φs(t, x, σ1) ≤ −δKs(σ1),
де
Φ1(t, x, σ1) :=
∑
|k1|=2b
ak1(t, x)(iσ1)k1 , Φ2(t, x, σ1) :=
n1∑
j,s=1
ajs(t, x)σ1jσ1s,
Φ3(t, x, σ1) :=
∑
‖k1‖=2b
ak1(t, x)(iσ1)k1 ,
K1(σ1) :=
n1∑
j=1
σ2b
1j , K2(σ1) :=
n1∑
j=1
σ2
1j , K3(σ1) :=
n1∑
j=1
σ
2bj
1j .
Клас рiвнянь (1s), якi задовольняють умови α1 i α2s, позначатимемо через EB
2s.
Припущення щодо гладкостi коефiцiєнтiв диференцiальних виразiвAs, якi наве-
дено нижче, гарантуватимуть лише iснування розв’язкiв (у тому числi й фундамен-
тальних) рiвнянь iз класiв EB
2s у певному послабленому сенсi. Наведемо вiдповiднi
означення, якi є аналогiчними до означень, наведених у [3, 4].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1471
Означення 1. Функцiя u називається диференцiйовною за Лi в точцi (t, x)
вiдносно векторного поля, заданого диференцiальним виразом (2) (або (6)), якщо
iснує скiнченна границя
(SLBu)(t, x) := lim
h→0
1
h
(u(γ(t, x, h))− u(γ(t, x, 0))),
де γ(t, x, h) := (t−h, (ehB′
x′)′), h ∈ Rn, — iнтегральна крива заданого векторного
поля, яка проходить через точку (t, x) (тут i далi штрих означає транспонування
матрицi).
Границя (SLBu)(t, x) називається похiдною Лi вiд функцiї u в точцi (t, x) вiднос-
но заданого векторного поля.
Зауважимо, що якщо iснують похiднi ∂tu, ∂x2j
u i ∂x3j
u в точцi (t, x), то
(SLBu)(t, x) = (SBu)(t, x).
Означення 2. Функцiю u називатимемо L-розв’язком рiвняння (1s) в Π(0,T ],
якщо iснують у Π(0,T ] неперервнi похiдна Лi SLBu та звичайнi похiднi вiд u по
x1, якi входять у рiвняння (1s), i в кожнiй точцi (t, x) ∈ Π(0,T ] задовольняється
рiвняння
(SLB −As(t, x, ∂x1
))u(t, x) = 0. (8s)
Далi пiд розв’язками рiвнянь (1s) розумiтимемо L-розв’язки, а пiд виразом SBu
— похiдну Лi SLBu.
Зауважимо, що у випадку, коли коефiцiєнти диференцiальних виразiв As не
залежать вiд просторових змiнних, L-розв’язки є звичайними класичними розв’яз-
ками вiдповiдних рiвнянь.
Використовуючи структуру матрицiB, описану в умовi α1, легко переконатись,
що
(ehB
′
x′)′ = X(h) := (X1(h), X2(h), X3(h)),
Xs(h) := (Xs1(h), . . . , Xsns(h)), s ∈ {1, 2, 3},
X1j(h) := x1j , j ∈ {1, . . . , n1},
X2j(h) := x2j + h
n1∑
k=1
b1kjx1k, j ∈ {1, . . . , n2},
X3j(h) := x3j + h
n2∑
s=1
b2sjx2s +
h2
2
n1∑
k=1
n2∑
s=1
b2sjb
1
ksx1k, j ∈ {1, . . . , n3},
γ(t, x, h) = (t− h,X(h)), h ∈ R.
(9)
Зауважимо, що далi крiм точки X(h) використовуватимуться iншi аналогiчнi
точки, побудованi не за змiнною x, а за iншими змiнними (наприклад, точки Y (h)
i Ξ(h), якi побудованi за змiнними y i ξ).
Щоб сформулювати наступнi припущення щодо коефiцiєнтiв виразiв As, вве-
демо вiдповiднi поняття гельдерових функцiй. Для цього розглянемо спецiальнi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1472 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
вiдстанi мiж точками x i ξ, (t, x) i (τ, ξ), де {t, τ} ⊂ R, {x := (x1, x2, x3), ξ :=
:= (ξ1, ξ2, ξ3)} ⊂ Rn, {xl := (xl1, . . . , xlnl
), ξl := (ξl1, . . . , ξlnl
)} ⊂ Rnl . Цi вiдстанi
враховують специфiку кожного iз рiвнянь (1s). Приймемо, що
d1(x; ξ) :=
3∑
s=1
|xs − ξs|1/(2b(s−1)+1)
, d1(t, x; τ, ξ) := |t− τ |1/(2b) + d1(x; ξ),
d2(x; ξ) :=
3∑
s=1
|xs − ξs|1/(2(s−1)+1)
, d2(t, x; τ, ξ) := |t− τ |1/2 + d2(x; ξ), (10)
d3(x; ξ) :=
3∑
s=1
ns∑
j=1
|xsj − ξsj |1/(2b(s−1)+mj), d3(t, x; τ, ξ) := |t− τ |1/(2b) + d3(x; ξ).
Для приростiв функцiй далi будемо використовувати позначення типу
∆τ
t f(t, ·) := f(t, ·)− f(τ, ·),
∆ξ
xf(·, x) := f(·, x)− f(·, ξ),
∆τ,ξ
t,xf(t, x, ·) := f(t, x, ·)− f(τ, ξ, ·).
Означення 3. Функцiю f(t, x), (t, x) ∈ Π[0,T ], називатимемо Bs-гельдеровою
з показником α ∈ (0, 1] в Π[0,T ], якщо iснує така стала Hs > 0, що для будь-яких
{(t, x), (τ, ξ)} ⊂ Π[0,T ] виконується нерiвнiсть
|∆τ,ξ
t,xf(t, x)| ≤ Hs (ds(t,X(t− τ); τ, ξ))
α
,
де s ∈ {1, 2, 3}, X(t− τ) означено формулами (9), а ds — формулами (10).
Крiм умов α1 i α2s, використовуватимемо ще такi умови:
α3s) коефiцiєнти виразу As(t, x, ∂x1
) обмеженi та Bs-гельдеровi з показником
α ∈ (0, 1) в Π[0,T ];
α4s) коефiцiєнти виразу As(t, x, ∂x1) мають обмеженi та Bs-гельдеровi з показ-
ником α ∈ (0, 1) в Π[0,T ] похiднi того самого вигляду, при яких вони стоять.
2. Зв’язок класiв рiвнянь EB
2s з класами E2s. Виконаємо в рiвняннях (1s)
замiну просторових змiнних за допомогою системи рiвностей
x̂1j :=
n2∑
s=1
(
n1∑
k=1
b1ksx1k
)
b2sj , j ∈ {1, . . . , n3},
n1∑
k=1
b1kjx1k, j ∈ {n3 + 1, . . . , n2},
x1j , j ∈ {n2 + 1, . . . , n1},
x̂2j :=
n2∑
s=1
b2sjx2s, j ∈ {1, . . . , n3},
x2j , j ∈ {n3 + 1, . . . , n2},
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1473
x̂3j := x3j , j ∈ {1, . . . , n3},
яку скорочено можна записати у виглядi
x̂′ = Ux′, U :=
U1 O O
O U2 O
O O U3
, (11)
де Us — матриця розмiру ns × ns. Як доведено у [5], за умови α1 замiна змiнних
(11) є невиродженою.
Пiсля реалiзацiї замiни (11) рiвняння (1s) переходить у рiвняння
(SB̂ − Âs(t, x̂, ∂x̂1))û(t, x̂) = 0, (t, x̂) ∈ Π(0,T ], (12s)
в якому
B̂ :=
O B̂1 O
O O B̂2
O O O
,
B̂1 :=
(
In2
O
)
, B̂2 :=
(
In3
O
)
(Ir — одинична матриця порядку r); Âs(t, x̂, ∂x̂1
), s ∈ {1, 2, 3}, — диференцiальнi
вирази того самого вигляду, що й вирази As(t, x, ∂x1), їхнi коефiцiєнти âk1 , âjs, âj
i â0 виражаються через вираженi в нових змiнних x̂ коефiцiєнти ak1 , ajs, aj i a0
та елементи матриць B1 i B2. При цьому з умов α2s, α3s, α4s випливають для
рiвнянь (12s) вiдповiдно умови α̂2s, α̂3s, α̂4s, якi вiдрiзняються вiд попереднiх
лише тим, що в них X(h) замiнено на X̂(h) := (UX ′(h))′, де
X̂s(h) := (UsX
′
s(h))′,
X̂sj(h) :=
s−1∑
r=0
1
r!
hrx̂(s−r)j , j ∈ {1, . . . , ns}, s ∈ {1, 2, 3}.
(13)
Отже, за допомогою замiни (11) рiвняння (1s), для яких виконуються умови
α2s, α3s, α4s, зводяться до рiвнянь (12s), якi задовольняють умови α̂2s, α̂3s, α̂4s.
Класи рiвнянь (12s), для яких виконуються умови α̂2s, α̂3s i α̂4s, є класами
E2s, s ∈ {1, 2, 3}, розглянутими в [1].
Зауважимо, що в [1] фактично розглядаються розв’язки рiвнянь (12s) в сенсi
означення 2, в якому рiвняння (8s) слiд замiнити вiдповiдно рiвняннями
(SL
B̂
− Âs(t, x̂, ∂x̂1
))û(t, x̂) = 0,
де SL
B̂
û — похiдна Лi вiд функцiї û вiдносно векторного поля, заданого виразом SB̂ .
3. Про оцiнки ФРЗК для рiвнянь iз класiв E21 –E23. У цьому пунктi, по-
перше, наведено результати з [1], якi стосуються ФРЗК для рiвнянь iз класiв E21 –
E23 i далi будуть використовуватися, а по-друге, одержано новi точнi оцiнки при-
ростiв ФРЗК та його похiдних. Детальнi доведення дано тiльки для класу E21, для
iнших класiв рiвнянь вони аналогiчнi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1474 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
Пiд S будемо розумiти диференцiальний вираз (2), в якому B замiнено на B̂;
пiд точкою X(t) — точку X̂(t), означену в (13); пiд умовами α3s i α4s — такi самi
умови, в яких гельдеровiсть функцiй береться у сенсi означення 3, лише за точку
X(t) взято вищевказану точку X̂(t).
Спочатку розглянемо рiвняння
(S −A1)u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π(0,T ], (14)
в якому диференцiальний вираз A1 збiгається з виразом
A1(β, y, ∂x1) :=
∑
|k1|≤2b
ak1(β, y)∂k1x1
. (15)
Припускатимемо, що виконуються такi умови:
β1) коефiцiєнти виразу (15) обмеженi та iснує стала δ > 0 така, що для будь-
яких (β, y) ∈ Π[0,T ] i σ1 ∈ Rn1 справджується нерiвнiсть
Re
∑
|k1|=2b
ak1(β, y)(iσ1)k1 ≤ −δ
n1∑
j=1
σ2b
1j ;
β2) коефiцiєнти виразу (15) B1-гельдеровi з показником α ∈ (0, 1] в Π[0,T ].
Встановимо деякi властивостi функцiї
Z1(t, x; τ, ξ) := G0(t, x; τ, ξ; τ, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn,
яка береться за параметрикс для рiвняння (14) iз залежними вiд усiх змiнних кое-
фiцiєнтами. Тут G0(·, ·; ·, ·;β, y) — ФРЗК для рiвняння
(S −
∑
|k1|=2b
ak1(β, y)∂k1x1
)u = 0.
Властивiсть 1. Нехай виконуються умови β1 i β2. Тодi справджуються оцiн-
ки
|∂kxZ1(t, x; τ, ξ)| ≤ Ck(t− τ)−M1−Mk0E(1,1)
c (t, x; τ, ξ), (16)
|∆x′
x ∂
k
xZ1(t, x; τ, ξ)| ≤
≤ Ck(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−Mk0−α0/(2b)E(1,1)
c (t, x; τ, ξ),
(d1(x;x′))2b ≤ t− τ, k ∈ Zn+,
(17)
∣∣∣∣∣∣
∫
Rn
∂kxZ1(t, x; τ, y)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤ Ck(t− τ)−Mk0+α/(2b), k ∈ Zn+ \ {0}, (18)
|SZ1(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M1−1E(1,1)
c (t, x; τ, ξ), (19)∣∣∣∣∣∣
∫
Rn
SZ1(t, x; τ, y)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤ C(t− τ)−1+α/(2b), (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1475∣∣∣∣∣∣ ∆x′
x
∫
Rn
∂kxZ1(t, x; τ, y)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤ Ck(d1(x;x′))α0(t− τ)−Mk0−(α0−α)/(2b),
k ∈ Zn+ \ {0}, (d1(x;x′))2b ≤ t− τ ,
(21)
∣∣∣∣∣∣ ∆x′
x
∫
Rn
SZ1(t, x; τ, y)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−1−(α0−α)/(2b), (d1(x;x′))2b ≤ t− τ , (22)
де
E(1,1)
c (t, x; τ, ξ) := exp
{
−c
3∑
s=1
(t− τ)1−qs|Xs(t− τ)− ξs|q
}
, (23)
M1 :=
∑3
s=1
(s−1+1/(2b))ns, Mk0 := |k1|/(2b)+(1+1/(2b))|k2|+(2+1/(2b))|k3|,
q := 2b/(2b− 1), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, x′, ξ} ⊂ Rn, Ck, C i c — деякi додатнi сталi,
α0 — довiльне фiксоване число з промiжку (0, 1], α — число з умови β2.
Доведення. Оцiнки (16) – (20) доведено в [1]. Доведемо оцiнку (21). Для цього
використаємо зображення∫
Rn
∂kxZ1(t, x; τ, y)dy =
∫
Rn
∆t,x
τ,z∂
k
xG0(t, x; τ, y; τ, z)|z=ydy
i
∆x′
x
∫
Rn
∂kxZ1(t, x; τ, y)dy =
n1∑
j=1
x′
1j∫
x1j
∂ζ1j
∫
Rn
∂k
ζ
(j)
1
Z1(t, ζ
(j)
1 ; τ, y)dy
dζ1j+
+
n2∑
j=1
x′
2j∫
x2j
∂ζ2j
∫
Rn
∂k
ζ
(j)
2
Z1(t, ζ
(j)
2 ; τ, y)dy
dζ2j+
+
n3∑
j=1
x′
3j∫
x3j
∂ζ3j
∫
Rn
∂k
ζ
(j)
3
Z1(t, ζ
(j)
3 ; τ, y)dy
dζ3j =
=
3∑
s=1
ns∑
j=1
x′
sj∫
xsj
∂ζsj
∫
Rn
∂k
ζ
(j)
s
Z1(t, ζ(j)s ; τ, y)dy
dζsj ,
де
ζ
(j)
1 := (x11, . . . , x1,j−1, ζ1j , x
′
1,j+1, . . . , x
′
1n1
, x′21, . . . , x
′
2n2
, x′31, . . . , x
′
3n3
),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1476 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
j ⊂ {1, . . . , n1},
ζ
(j)
2 := (x11, . . . , x1n1
, x21, . . . , x2,j−1, ζ2,j , x
′
2,j+1, . . . , x
′
2n2
, x′31, . . . , x
′
3n3
),
j ⊂ {1, . . . , n2},
ζ
(j)
3 := (x11, . . . , x1n1 , x21, . . . , x2n2 , x31, . . . , x3,j−1, ζ3,j , x
′
3,j+1, . . . , x
′
3n3
),
j ⊂ {1, . . . , n3}.
За допомогою оцiнок [1] (властивiсть 3.2)
|∆λ,z
β,y∂
k
x∂
l
ξG(t, x; τ, ξ;β, y)| ≤ CklH(d1(β, Y (β − λ);λ, z))α×
×(t− τ)−M1−MklE(1,1)
c (t, x; τ, ξ),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, {(β, y), (λ, z)} ⊂ Π[0,T ], {k, l} ⊂ Zn+,
нерiвностi
(d1(t,X(t− τ); τ, y))αE(1,1)
c (t, x; τ, y) ≤ C(t− τ)α/(2b)E(1,1)
c1 (t, x; τ, y),
τ < t, {x, y} ⊂ Rn, c1 ∈ (0, c),
(24)
i рiвностi ∫
Rn
(t− τ)−M1E(1,1)
c2 (t, x; τ, y)dy = C, τ < t, x ∈ Rn,
одержуємо ∣∣∣∣∣∣∆x′
x
∫
Rn
∂kxZ1(t, x; τ, y)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
3∑
s=1
ns∑
j=1
∣∣∣∣∣∣∣
x′
sj∫
xsj
∫
Rn
∣∣∣∆t,ζ(j)s
τ,z ∂ζsj∂
k
ζ
(j)
s
G0(t, ζ(j)s ; τ, y; τ, z)
∣∣∣∣∣∣
z=y
dy
dζsj
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ CkH
3∑
s=1
ns∑
j=1
∣∣∣∣∣∣∣
x′
sj∫
xsj
∫
Rn
(
d1(t,Ξ(j)
s (t− τ); τ, y)
)α
×
× (t− τ)−M1−Mk0−(2b(s−1)+1)/(2b)E(1,1)
c (t, ζ(j)s ; τ, y)dy
)
dζsj
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ CkH
3∑
s=1
ns∑
j=1
|xsj − x′sj |(t− τ)−Mk0−(2b(s−1)+1−α)/(2b), (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1477
де
Ξ
(j)
1 (t) := ζ
(j)
1 , j ⊂ {1, . . . , n1}, Ξ
(j)
2 (t) := ζ
(j)
2 + tζ
(j)
1 , j ⊂ {1, . . . , n2},
Ξ
(j)
3 (t) := ζ
(j)
3 + tζ2
(j) +
t2
2
ζ1
(j), j ⊂ {1, . . . , n3}.
Оскiльки (d1(x;x′))
2b ≤ t− τ , тобто(
|x1 − x′1|+ |x2 − x′2|
1/(2b+1)
+ |x3 − x′3|
1/(4b+1)
)2b
≤ t− τ ,
то звiдси випливають такi нерiвностi:
|xsj − x′sj |
2b/(2b(s−1)+1) ≤ t− τ , j ⊂ {1, . . . , ns}, s ∈ {1, 2, 3}. (26)
Використавши (26), оцiнимо
3∑
s=1
ns∑
j=1
|xsj − x′sj |(t− τ)
−(2b(s−1)+1)/(2b) ≤
≤
3∑
s=1
ns∑
j=1
|xsj − x′sj |
α0/(2b(s−1)+1)
(t− τ)
−α0/(2b) ≤
≤ C(d1(x;x′))
α0(t− τ)
−α0/(2b). (27)
Тодi з нерiвностей (25) i оцiнки (27) матимемо∣∣∣∣∣∣∆x′
x
∫
Rn
∂kxZ1(t, x; τ, y)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤ Ck(d1(x;x′))α0(t− τ)−Mk0−(α0−α)/(2b),
(d1(x;x′))
2b ≤ t− τ , {x, x′} ⊂ Rn, 0 ≤ τ < t ≤ T .
Доведемо тепер оцiнку (22). Для цього використовуватимемо зображення
∆x′
x
∫
Rn
SxZ1(t, x; τ, y)dy =
=
n1∑
j=1
x′
1j∫
x1j
∂ζ1j
∫
Rn
Sζ
(j)
1 Z1(t, ζ
(j)
1 ; τ, y)dy
dζ1j+
+
n2∑
j=1
x′
2j∫
x2j
∂ζ2j
∫
Rn
Sζ
(j)
2 Z1(t, ζ
(j)
2 ; τ, y)dy
dζ2j+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1478 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
+
n3∑
j=1
x′
3j∫
x3j
∂ζ3j
∫
Rn
Sζ
(j)
3 Z1(t, ζ
(j)
3 ; τ, y)dy
dζ3j =
=
3∑
s=1
ns∑
j=1
x′
sj∫
xsj
∂ζsj
∫
Rn
Sζ
(j)
s Z1(t, ζ(j)s ; τ, y)dy
dζsj (28)
i рiвнiсть
SxZ1(t, x; τ, ξ) =
∑
|k1|=2b
ak1(τ, ξ)∂k1x1
Z1(t, x; τ, ξ), (29)
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn,
де
Sx := ∂t −
n2∑
j=1
x1j∂x2j −
n3∑
j=1
x2j∂x3j .
Оцiнимо далi прирiст ∣∣∣∣∣∣∆x′
x
∫
Rn
SxZ1(t, x; τ, y)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
3∑
s=1
ns∑
j=1
∣∣∣∣∣∣∣
x′
sj∫
xsj
∫
Rn
∣∣∣∆t,x
τ,ζ∂ζsj∂
k1
ζ
(j)
s
G0(t, ζ(j)s ; τ, y; τ, z)
∣∣∣
z=y
∣∣∣dy
dζsj
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ CCkH
3∑
s=1
ns∑
j=1
∣∣∣∣∣∣∣
x′
sj∫
xsj
∫
Rn
(
d1(t; Ξ(j)
s (t− τ); τ, y)
)α
×
× (t− τ)
−M1−1−(2b(s−1)+1)/(2b)
E(1,1)
c (t, ζ(j)s ; τ, y)dy
dζsj
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C
3∑
s=1
ns∑
j=1
|xsj − x′sj |(t− τ)
−1−(2b(s−1)+1−α)/(2b)
. (30)
Оскiльки (d1(x;x′))
2b ≤ t− τ , то справджуються нерiвностi (26). Використав-
ши їх, одержимо
3∑
s=1
ns∑
j=1
|xsj − x′sj |(t− τ)
−(2b(s−1)+1)/(2b) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1479
≤
3∑
s=1
ns∑
j=1
|xsj − x′sj |
α0/(2b(s−1)+1)
(t− τ)
−α0/(2b) ≤
≤ C(d1(x;x′))
α0(t− τ)
−α0/(2b). (31)
З нерiвностей (30) i (31) випливає оцiнка∣∣∣∣∣∆x′
x
∫
Rn
SZ1(t, x; τ, y)dy
∣∣∣∣∣ ≤ C(d1(x;x′))
α0(t− τ)
−1−(α0−α)/(2b),
(d1(x;x′))
2b ≤ t− τ , {x, x′} ⊂ Rn, 0 ≤ τ < t ≤ T .
Властивiсть 1 доведено.
Наступна властивiсть стосується iнтеграла
W1(t, x; τ, ξ) :=
:=
t∫
τ
dβ
∫
Rn
Z1(t, x;β, y)Q(β, y; τ, ξ)dy, 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn. (32)
Властивiсть 2. Нехай виконуються умови β1, β2 i неперервна функцiя Q
задовольняє умови
|Q(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (t, x; τ, ξ), (33)
|∆y
xQ(t, x; τ, ξ)| ≤ C(d1(x; y))α1(t− τ)−M1−1+α2/(2b)×
×(E(1)
c (t, x; τ, ξ) + E(1)
c (t, y; τ, ξ)), (34)
де
E(1)
c (t, x; τ, ξ) := E(1,0)
c (t, x1; τ, ξ1)
∞∑
s=0
(ĈΓ(α/(2b))×
×(t− τ)α/(2b))s(Γ(sα/(2b)))−1E
(1,1)
cδs0
(t, x; τ, ξ),
E(1,0)
c (t, x1; τ, ξ1) := exp{−c(t− τ)1−q|x1 − ξ1|q},
(35)
Ĉ i δ0 — деякi додатнi сталi, причому δ0 < 1, Γ — гамма-функцiя Ейлера, 0 ≤ τ <
< t ≤ T, {x, y, ξ} ⊂ Rn, α1 ∈ (0, α) i α2 = α−α1. Тодi функцiя (32) має неперервнi
похiднi ∂k1x1
W1, |k1| ≤ 2b, i SW1, для яких справджуються формули
∂k1x1
W1(t, x; τ, ξ) =
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;β, y)Q(β, y; τ, ξ)dy, |k1| < 2b,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1480 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
∂k1x1
W1(t, x; τ, ξ) =
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;β, y)Q(β, y; τ, ξ)dy+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;β, y)∆X(t−β)
y Q(β, y; τ, ξ)dy+
+
t∫
t1
∫
Rn
∂k1x Z1(t, x;β, y)dy
Q(β,X(t− β); τ, ξ)dβ, |k1| = 2b,
SW1(t, x; τ, ξ) = Q(t, x; τ, ξ) +
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
SZ1(t, x;β, y)Q(β, y; τ, ξ)dy+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
SZ1(t, x;β, y)∆X(t−β)
y Q(β, y; τ, ξ)dy+
+
t∫
t1
∫
Rn
SZ1(t, x;β, y)dy
Q(β,X(t− β); τ, ξ)dβ,
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, t1 := t− (t− τ)/2. (36)
Цю властивiсть доведено в [1] (властивiсть 3.6).
Розглянемо далi рiвняння
(S −A1(t, x, ∂x1
))u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π(0,T ], (37)
в якому диференцiальний вираз A1 задано формулою (3). Для цього рiвняння бу-
демо використовувати умови α21, α31 та α41.
Якщо виконується умова α41, то для рiвняння (37) iснує спряжене рiвняння,
яке має вигляд
S∗v(τ, ξ)−
∑
|k1|≤2b
(−∂ξ1)k1(āk1(τ, ξ)v(τ, ξ)) = 0, (τ, ξ) ∈ Π[0,T ), (38)
де
S∗ := −∂τ +
n2∑
j=1
ξ1j∂ξ2j +
n3∑
j=1
ξ2j∂ξ3j ,
а риска над ak1 означає комплексне спряження. При цьому для коефiцiєнтiв цього
рiвняння виконується умова α31.
Теорема 1. Якщо виконуються умови α21 i α31, то для рiвняння (37) iснує
ФРЗК Z, для якого справджуються оцiнки
|∂k1x1
Z(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M1−|k1|/(2b)E(1)
c (t, x; τ, ξ), |k1| ≤ 2b, (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1481
|SZ(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M1−1E(1)
c (t, x; τ, ξ), (40)
|∆x′
x ∂
k1
x1
Z(t, x; τ, ξ)| ≤ C(d1(x;x′))
α
(t− τ)−M1−(|k1|+α)/(2b)×
×(E(1)
c (t, x; τ, ξ) + E(1)
c (t, x′; τ, ξ)), |k1| ≤ 2b, (41)
|∆x′
x SZ(t, x; τ, ξ)| ≤ C(d1(x;x′))
α
(t− τ)−M1−1−α/(2b)×
×(E(1)
c (t, x; τ, ξ) + E(1)
c (t, x′; τ, ξ)), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn. (42)
За додаткової умови α41 для спряженого рiвняння (38) iснує ФРЗК Z∗, зв’яза-
ний з ФРЗК Z рiвнiстю
Z∗(τ, ξ; t, x) = Z̄(t, x; τ, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, (43)
i для Z є правильною формула згортки
Z(t, x; τ, ξ) =
∫
Rn
Z(t, x;λ, y)Z(λ, y; τ, ξ)dy, (44)
де 0 ≤ τ < λ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn.
Доведення. ФРЗК для рiвняння (37) шукаємо у виглядi
Z(t, x; τ, ξ) = Z1(t, x; τ, ξ) +W1(t, x; τ, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, (45)
де Z1 — параметрикс iз властивостями 1 i 2, а функцiя W1 визначається формулою
(32), в якiй Q — невiдома функцiя. Вважається, що ця функцiя неперервна i для неї
справджуються оцiнки (33) i (34).
В [1] встановлено оцiнки (33) i (34), обґрунтовано iснування ФРЗК Z та дове-
дено оцiнки (39), (40) i рiвностi (43), (44).
Доведемо далi, що для функцiї Q справджується нерiвнiсть
|∆x′
x Q(t, x; τ, ξ)| ≤ C(d1(x;x′))
α
(t− τ)−M1−1×
×(E(1)
c (t, x; τ, ξ) + E(1)
c (t, x′; τ, ξ)), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, x′, ξ} ⊂ Rn. (46)
Якщо (d1(x;x′))2b > (t− τ)/4, то ця нерiвнiсть безпосередньо випливає з (33).
Нехай (d1(x;x′))2b ≤ (t− τ)/4. За допомогою рiвностi
Q(t, x; τ, ξ) = K(t, x; τ, ξ) +
t∫
τ
dλ
∫
Rn
K(t, x;λ, y)Q(λ, y; τ, ξ)dy,
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn,
маємо
|∆x′
x Q(t, x; τ, ξ)| ≤ |∆x′
x K(t, x; τ, ξ)|+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1482 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
+
t1∫
τ
dλ
∫
Rn
|∆x′
x K(t, x;λ, y)||Q(λ, y; τ, ξ)|dy+
+
η∫
t1
dλ
∫
Rn
|∆x′
x K(t, x;λ, y)||∆x
yQ(λ, y; τ, ξ)|dy+
+
η∫
t1
∣∣∣∣∣∣
∫
Rn
∆x′
x K(t, x;λ, y)dy
∣∣∣∣∣∣×
×|Q(λ, x; τ, ξ)|dλ+
t∫
η
dλ
∫
Rn
|K(t, x;λ, y)dy||Q(λ, y; τ, ξ)|dy+
+
t∫
η
dλ
∫
Rn
|K(t, x′;λ, y)||Q(λ, y; τ, ξ)|dy =:
6∑
s=1
Js, (47)
де t1 := t− (t− τ)/2 i η := t− (d1(x;x′))2b.
Оцiнимо Js, s ∈ {1, . . . , 6}. В [1] одержано оцiнку
|J1| ≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1E(1)
c1 (t, x; τ, ξ),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, x′, ξ} ⊂ Rn, (d1(x;x′))2b < t− τ, c1 ∈ (0, c).
(48)
За допомогою оцiнки (24), нерiвностi∫
Rn
E(1,1)
c (t, x;β, y)E(1)
c (β, y; τ, ξ)((t− β)(β − τ))−M1dy ≤
≤ C(t− τ)−M1E(1)
c1 (t, x; τ, ξ), τ < β < t, {x, ξ} ⊂ Rn, c1 < c, (49)
одержаної в [1] оцiнки
|K(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1,1)
c1 (t, x; τ, ξ),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, (50)
а також оцiнок (33), (34) i (48) знаходимо
J2 ≤ C(d1(x;x′))α
t1∫
τ
(t− λ)−1(λ− τ)−1+α/(2b)dλ×
×
∫
Rn
E(1,1)
c1 (t, x;λ, y)E(1)
c (λ, y; τ, ξ)((t− λ)(λ− τ))−M1dy ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1483
≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1+α/(2b)E1
c2(t, x; τ, ξ),
J3 ≤ C(d1(x;x′))α
η∫
t1
(t− λ)−1(λ− τ)−1+α2/(2b)
∫
Rn
(d1(x;x′))α1/(2b)×
×E(1)
c (t, x;λ, y)(E(1)
c (λ, y; τ, ξ) + E(1)
c (λ, x; τ, ξ))×
×((t− λ)(λ− τ))−M1dy ≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1×
×
η∫
t1
(t− λ)−1+α1/(2b)(λ− τ)−1+α2/(2b)dλE(1)
c (t, x; τ, ξ) ≤
≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (t, x; τ, ξ),
J5 ≤ C
t∫
η
((t− λ)(λ− τ))−1+α/(2b)dλ
∫
Rn
E(1,1)
c (t, x;λ, y)×
×E(1)
c (λ, y; τ, ξ)((t− λ)(λ− τ))−M1dy ≤
≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (t, x; τ, ξ).
Аналогiчно одержуємо також оцiнку
J6 ≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (t, x; τ, ξ).
Залишилось оцiнити J4. Спочатку оцiнимо iнтеграл
J :=
∫
Rn
∆x′
x K(t, x;λ, y)dy.
Маємо
J =
∑
|k1|≤2b
∆x′
x ak1(t, x)
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)dy+
+
∑
|k1|<2b
ak1(t, x′)∆x′
x
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)dy+
+
∑
|k1|=2b
∫
Rn
∆λ,y
t,x′ak1(t, x′)∆x′
x ∂
k1
x1
Z1(t, x;λ, y)dy.
Застосовуючи оцiнки (16), (17) з α0 > α, (18), (21) з α0 = α i використовуючи
умову α31, нерiвнiсть (24) i те, що∫
Rn
(t− τ)−M1E(1)
c1 (t, x; τ, y)dy = C, τ < t, x ∈ Rn, (51)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1484 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
отримуємо
|J | ≤ C(d1(x;x′))α(t− λ)−1+α/(2b) + C(d1(x;x′))α(t− λ)−1+1/(2b)+
+C(d1(x;x′))α0
∫
Rn
(d1(t,X(t− λ);λ, y))α(t− λ)−M1−1−α0/(2b)×
×E(1)
c (t, x;λ, y)dy ≤ C(d1(x;x′))α(t− λ)−1+α/(2b)+
+C(d1(x;x′))α0(t− λ)−1+(α−α0)/(2b).
За допомогою цiєї оцiнки та оцiнки (33) маємо
J4 ≤ C
η∫
t1
((d1(x;x′))α(t− λ)−1+α/(2b) + (d1(x;x′))α0×
×(t− λ)−1+(α−α0)/(2b))(λ− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (λ, x; τ, ξ)dλ.
Використовуючи нерiвностi
t− τ ≥ λ− τ ≥ t1 − τ = (t− τ)/2, λ ∈ [t1, η],
η∫
t1
(t− λ)−1+α/(2b)dλ = (2b/α)((t− t1)α/(2b) − (t− η)α/(2b)) ≤
≤ (2b/α)(t− t1)α/(2b) = (2b/α)((t− τ)/2)α/(2b),
η∫
t1
(t− λ)−1+(α−α0)/(2b)dλ =
= (2b/(α−α0))((t−η)(α−α0)/(2b)−(t− t1)(α−α0)/(2b)) ≤
≤ (2b/(α− α0))(t− η)(α−α0)/(2b) = (2b/(α− α0))(d1(x;x′))α−α0 ,
одержуємо
J4 ≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (t, x; τ, ξ).
З (47) i одержаних оцiнок Js, s ∈ {1, . . . , 6}, випливає правильнiсть оцiнки (46)
у випадку, коли (d1(x;x′))2 ≤ (t− τ)/4.
Доведемо тепер оцiнки (41). Згiдно з оцiнками (17) для першого доданка з (45)
справджуються оцiнки (41). Залишилось оцiнити прирости для похiдних вiд W1.
Вважатимемо, що (d1(x;x′))2b ≤ (t − τ)/2. Якщо (d1(x;x′))2b > (t − τ)/2, то
потрiбна оцiнка приросту ∆x′
x ∂
k1
x1
W1 безпосередньо випливає з одержаних у [1]
оцiнок
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1485
|∂k1x1
W1(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M1−(|k1|−α)/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ), |k1| ≤ 2b.
Використовуючи формулу
∂k1x1
W1(t, x; τ, ξ) =
t1∫
τ
dλ
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)Q(λ, y; τ, ξ)dy+
+
t∫
t1
dλ
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)∆X(t−λ)
y Q(λ, y; τ, ξ)dy+
+
t∫
t1
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)dy
Q(λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ, |k1| ≤ 2b,
в якiй число t1 таке саме, як i в (47), записуємо
∆x′
x ∂
k1
x1
W1(t, x; τ, ξ) =
t1∫
τ
dλ
∫
Rn
∆x′
x ∂
k1
x1
Z1(t, x;λ, y)×
×Q(λ, y; τ, ξ)dy +
η∫
t1
dλ
∫
Rn
∆x′
x ∂
k1
x1
Z1(t, x;λ, y)∆X(t−λ)
y Q(λ, y; τ, ξ)dy+
+
t∫
η
dλ
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)∆X(t−λ)
y Q(λ, y; τ, ξ)dy−
−
t∫
η
dλ
∫
Rn
∂k1x′
1
Z1(t, x′;λ, y)∆X′(t−λ)
y Q(λ, y; τ, ξ)dy+
+
η∫
t1
∆x′
x
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)dy
Q(λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ+
+
t∫
η
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)dy
Q(λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ+
+
η∫
t
∫
Rn
∂k1x′
1
Z1(t, x′;λ, y)dy
Q(λ,X ′(t− λ)′; τ, ξ)dλ =:
7∑
j=1
Lj ,
де числа t1 i η такi самi, як i в (47).
Доданок L1 оцiнимо за допомогою нерiвностей (17) з α0 = α, (33) i (49):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1486 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
|L1| ≤
t1∫
τ
dλ
∫
Rn
|∆x′
x ∂
k1
x1
Z1(t, x;λ, y)||Q(λ, y; τ, ξ)|dy ≤
≤ C(d1(x;x′))α0
t1∫
τ
(t− λ)−(|k1|+α0)/(2b)(λ− τ)−(1−α)/(2b)dλ×
×
∫
Rn
E(1,1)
c (t, x;λ, y)E(1)
c (λ, y; τ, ξ)((t− λ)(λ− τ))−M1dy ≤
≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−(|k1|+α0)/(2b)(t− τ)−M1×
×E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)
t1∫
τ
(λ− τ)−(1−α)/(2b)dλ ≤
≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−|k1|/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ), c1 ∈ (0, c).
Щоб оцiнити L2, використаємо оцiнки (17) з α0 = α при |k1| < 2b i α0 > α при
|k1| = 2b, (45), (24), рiвнiсть (51), нерiвнiсть (49) i нерiвнiсть
E(1)
c (β,X(t− β); τ ; ξ) ≤ E(1)
c1 (t, x; τ, ξ), (52)
τ < β < t, {x, ξ} ⊂ Rn, c1 ∈ (0, c).
Маємо
|L2| ≤
η∫
t1
dλ
∫
Rn
|∆x′
x ∂
k1
x1
Z1(t, x;λ, y)||∆X(t−λ)
y Q(λ, y; τ, ξ)|dy ≤
≤ C
η∫
t1
dλ
∫
Rn
(d1(x;x′))α0(t− λ)−M1−(|k1|+α0)/(2b)E(1,1)
c (t, x;λ, y)×
×(d1(X(t− λ); y))α(λ− τ)−M1−1×
×(E(1)
c (λ, y; τ, ξ) + E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ))dy =
= C(d1(x;x′))α0
η∫
t1
dλ
∫
Rn
(t− λ)−M1−(|k1|+α0)/(2b)×
×(λ− τ)−M1−1(d1(X(t− λ); y))α×
×E(1,1)
c (t, x;λ, y)(E(1)
c (λ, y; τ, ξ) + E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ))dy ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1487
≤ C(d1(x;x′))α0
η∫
t1
(t− λ)−(|k1|+α0−α)/(2b)(λ− τ)−1dλ×
×
∫
Rn
((t− λ)(λ− τ))−M1E(1,1)
c1 (t, x;λ, y)E1
c (λ, y; τ, ξ)dy+
+C(d1(x;x′))α0
η∫
t1
(t− λ)−(|k1|+α0−α)/(2b)×
×(λ− τ)−M1−1dλ
∫
Rn
(t− λ)−M1E(1,1)
c1 (t, x;λ, y)dyE(1)
c2 (t, x; τ, ξ) ≤
≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−1E(1)
c2 (t, x; τ, ξ)
η∫
t1
(t− λ)−(|k1|+α0−α)/(2b)dλ.
Оскiльки
η∫
t1
(t− λ)−(|k1|+α0−α)/(2b)dλ =
C(t− t1)(1−|k1|)/(2b)), |k1| < 2b,
C(t− η)(α−α0)/(2b), |k1| = 2b,
то
|L2| ≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−|k1|/(2b)E(1)
c2 (t, x; τ, ξ).
Iнтеграли L3 i L4 оцiнюються однаково, розглянемо, наприклад, L3. За допо-
могою оцiнок (16), (24) i (46), нерiвностей (49) i (52) та рiвностi (51) одержуємо
|L3| ≤
t∫
η
dλ
∫
Rn
|∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)||∆X(t−λ)
y Q(λ, y; τ, ξ)|dy ≤
≤ C
η∫
t1
dλ
∫
Rn
(t− τ)−M1−|k1|/(2b)E(1,1)
c (t, x;λ, y)(d1(X(t− λ); y))α×
×(t− λ)−M1−1(E(1)
c (λ, y; τ, ξ) + E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ))dy ≤
≤ C(t− τ)−M1−1
η∫
t1
(t− λ)−(|k1|−α)/(2b)dλ×
×
∫
Rn
(t− λ)−M1E(1,1)
c1 (t, x;λ, y)dyE(1)
c2 (t, x; τ, ξ) ≤
≤ C(t− τ)−M1−1(t− η)1−(|k1|−α)/(2b)E(1)
c2 (t, x; τ, ξ) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1488 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−|k1|/(2b)E(1)
c2 (t, x; τ, ξ).
Використовуючи оцiнки (33) i (21) з α0 = α для |k1| ∈ (0, 2b) i α0 > α для
|k1| = 2b, як i для L2, у випадку |k1| ∈ (0, 2b] маємо
|L5| ≤
η∫
t1
∣∣∣∣∣∣∆x′
x
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)dy
∣∣∣∣∣∣ |Q(λ,X(t− λ); τ, ξ)|dλ ≤
≤ C(d1(x;x′))α0
η∫
t1
(t− λ)−(|k1|−α0+α)/(2b)×
×(λ− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ ≤
≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ)×
×
η∫
t1
(t− λ)−(|k1|+α0−α)/(2b)dλ ≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−1+α/(2b)×
×E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)
η∫
t1
(t− λ)−(|k1|+α0−α)/(2b)dλ ≤
≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−(|k1|−α)/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ).
При |k1| = 0 справджується оцiнка
|L5| ≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1E(1)
c1 (t, x; τ, ξ),
оскiльки в цьому випадку на пiдставi (17) з |k1| = 0 i α0 = α маємо∣∣∣∣∣∣∆x′
x
∫
Rn
Z1(t, x;λ, y)dy
∣∣∣∣∣∣ ≤ C(d1(x;x′))α
∫
Rn
(t− λ)−M1−α/(2b)×
×E(1)
c (t, x;λ, y)dy ≤ C(d1(x;x′))α(t− λ)−α/(2b),
0 ≤ λ < t ≤ T, {x, x′} ∈ Rn, (d1(x;x′))2b ≤ (t− λ).
Залишилося розглянути iнтеграли L6 i L7. Оскiльки вони оцiнюються однаково,
то розглянемо лише L6. Використовуючи оцiнки (18) i (33) у випадку, коли |k1| ∈
∈ (0, 2b], одержуємо
|L6| ≤
t∫
η
∣∣∣∣∣∣
∫
Rn
∂k1x1
Z1(t, x;λ, y)dy||Q(λ,X(t− λ); τ, ξ)
∣∣∣∣∣∣ dλ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1489
≤ C
t∫
η
(t− λ)−(|k1|−α)/(2b)(λ− τ)−M1−1+α/(2b)×
×E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ ≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)×
×
t∫
η
(t− λ)−(|k1|−α)/(2b)dλ = C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)×
×(t− η)1−(|k1|−α)/(2b) ≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−(|k1|−α)/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ).
Для |k1| = 0 з використанням оцiнок (16) маємо
|L6| ≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)
t∫
η
E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ ≤
≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)
t∫
η
dλ =
= C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)(d1(x;x′))2b ≤
≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1E(1)
c1 (t, x; τ, ξ).
Отже, справджуються оцiнки
|∆x′
x ∂
k1
x1
W1(t, x; τ, ξ)| ≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−|k1|/(2b)×
×(E(1)
c (t, x; τ, ξ) + E(1)
c (t, x′; τ, ξ)),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, x′, ξ} ∈ Rn, |k1| ≤ 2b.
(53)
З оцiнок (17), (53) i формули (45) одержуємо оцiнки (41).
Доведемо тепер оцiнки (42). Спочатку оцiнимо прирости виразу SZ1. Для цього
використовуватимемо зображення
∆x′
x S
xZ1(t, x; τ, ξ) = SxZ1(t, x; τ, ξ)− Sx
′
Z1(t, x′; τ, ξ) =
=
n1∑
j=1
x′
1j∫
x1j
∂ζ1jS
ζ
(j)
1 Z1(t, ζ
(j)
1 ; τ, ξ)dydζ1j+
+
n2∑
j=1
x′
2j∫
x2j
∂ζ2jS
ζ
(j)
2 Z1(t, ζ
(j)
2 ; τ, ξ)dydζ2j+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1490 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
+
n3∑
j=1
x′
3j∫
x3j
∂ζ3jS
ζ
(j)
3 Z1(t, ζ
(j)
3 ; τ, ξ)dydζ3j , (54)
де ζ(j)s , j ∈ {1, . . . , ns}, s ∈ {1, 2, 3}, такi самi, як у доведеннi властивостi 1.
Будемо користуватись далi оцiнкою (16), рiвнiстю (29) та нерiвнiстю
E(1,1)
c (t, y; τ, ξ) ≤ C1E
(1,1)
c1 (t, x; τ, ξ), c1 ∈ (0, c), (55)
де y — точка, що належить вiдрiзку прямої, який з’єднує точки x i x′.
Оцiнимо похiднi ∂xsj
SxZ1(t, x; τ, ξ), j ∈ {1, . . . , ns}, s ∈ {1, 2, 3}. За допомо-
гою рiвностi (29) та оцiнок (16) одержуємо
|∂x1j
SxZ1(t, x; τ, ξ)| =
∣∣∣∣∣∣
∑
|k1|=2b
ak1(τ, ξ)∂x1j
∂k1x1
Z1(t, x; τ, ξ)
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C(t− τ)−M1−(|k1|+1)/(2b)E(1,1)
c (t, x; τ, ξ) =
= C(t− τ)−M1−1−1/(2b)E(1,1)
c (t, x; τ, ξ),
|∂x2jS
xZ1(t, x; τ, ξ)| =
∣∣∣∣∣∣
∑
|k1|=2b
ak1(τ, ξ)∂x2j∂
k1
x1
Z1(t, x; τ, ξ)
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C(t− τ)−M1−(|k1|+2b+1)/(2b)E(1,1)
c (t, x; τ, ξ) =
= C(t− τ)−M1−1−(2b+1)/(2b)E(1,1)
c (t, x; τ, ξ),
|∂x3j
SxZ1(t, x; τ, ξ)| =
∣∣∣∣∣∣
∑
|k1|=2b
ak1(τ, ξ)∂x3j
SxZ1(t, x; τ, ξ)
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C(t− τ)−M1−(|k1|+4b+1)/(2b)E(1,1)
c (t, x; τ, ξ) =
= C(t− τ)−M1−1−(4b+1)/(2b)E(1,1)
c (t, x; τ, ξ).
Отже, ми одержали такi оцiнки:
|∂xsjS
xZ1(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M1−1−(2b(s−1)+1)/(2b)E(1,1)
c (t, x; τ, ξ),
j ∈ {1, . . . , ns}, s ∈ {1, 2, 3}.
(56)
Оцiнимо прирiст виразу SxZ1. Використовуючи зображення (54), нерiвнiсть
(55) та оцiнки (56), маємо
|∆x′
x S
xZ1(t, x; τ, ξ)| ≤
3∑
s=1
ns∑
j=1
∣∣∣∣∣∣∣
x′
sj∫
xsj
∂ζsjS
ζ(j)s Z1(t, ζ(j)s ; τ, ξ)dζsj
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1491
≤
3∑
s=1
ns∑
j=1
∣∣∣∣∣∣∣
x′
sj∫
xsj
C(t− τ)−M1−1−(2b(s−1)+1))/(2b)E(1,1)
c (t, ζ(j)s ; τ, ξ)dζsj
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ E(1,1)
c (t, x; τ, ξ)(t− τ)−M1−1
3∑
s=1
ns∑
j=1
|xsj − x′sj |(t− τ)−(2b(s−1)+1)/(2b).
Якщо вважати, що (d1(x;x′))2b ≤ t− τ, то справджуються нерiвностi (26), (27),
i одержуємо оцiнку
|∆x′
x SZ1(t, x; τ, ξ)| ≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−1−α0/(2b)E(1,1)
c (t, x; τ, ξ),
(d1(x;x′))2b ≤ t− τ.
(57)
Залишилось оцiнити прирости виразу SW1. Для цього скористаємося форму-
лою (36), яку запишемо у виглядi SW1 = I1 + I2 + I3 + I4. Оцiнимо кожен iз
доданкiв Is, s ∈ {1, . . . , 4}. Для I1 справджується оцiнка (33). Оцiнимо I2. На
пiдставi оцiнок (20), (33) i (49) одержуємо
|I2| ≤
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
|SZ1(t, x;β, y)||Q(β, y; τ, ξ)|dy ≤
≤ C
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
(t− β)−M1−1E(1,1)
c (t, x;β, y)(β − τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (β, y; τ, ξ)dy ≤
≤ C
t1∫
τ
(t− β)−1(β − τ)−1+α/(2b)dβ×
×
∫
Rn
E(1,1)
c (t, x;β, y)E(1)
c (β, y; τ, ξ)((t− β)(β − τ))−M1dy ≤
≤ C(t− τ)−M1−1E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)
t1∫
τ
(β − τ)−1+α/(2b)dβ ≤
≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ). (58)
Щоб оцiнити I3, використаємо оцiнки (19), (46), (49) i (52). Одержимо
|I3| ≤
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
|SZ1(t, x;β, y)|∆X(t−β)
y Q(β, y; τ, ξ)|dy ≤
≤
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
C(t− β)−M1−1E(1,1)
c (t, x;β, y)(d2(X(t− β); y))α×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1492 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
×(β − τ)−M1−1(E(1)
c (β, y; τ, ξ) + E(1)
c (β,X(t− β); τ, ξ))dy ≤
≤
t1∫
τ
(t− β)−1+α/(2b)(β − τ)−1dβ×
×
∫
Rn
E(1,1)
c (t, x;β, y)E(1)
c (β, y; τ, ξ)((t− β)(β − τ))−M1dy+
+
t1∫
τ
(t− β)−1+α/(2b)(β − τ)−M1−1dβE(1)
c1 (t, x; τ, ξ) ≤
≤ C1(t− τ)−M1−1E(1)
c2 (t, x; τ, ξ)
t1∫
τ
(t− β)−1+α/(2b)dβ+
+C2(t− τ)−M1−1E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)
t1∫
τ
(t− β)−1+α/(2b)dβ ≤
≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (t, x; τ, ξ). (59)
Оцiнимо I4. За допомогою оцiнок (20), (33) i (52) одержуємо
|I4| ≤ C
t∫
t1
(t− β)−1+α/(2b)(β − τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (β,X(t− β); τ, ξ)dβ ≤
≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)
t∫
t1
(t− β)−1+α/(2b)dβ ≤
≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ). (60)
З оцiнок (33), (58) – (60) i формули (36) випливає оцiнка
|SW1| ≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (t, x; τ, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, y} ⊂ Rn.
(61)
Оцiнимо далi прирости виразу SW1. Будемо вважати, що (d1(x;x′))2b ≤ (t −
− τ)/2. Якщо (d1(x;x′))2b > (t − τ)/2, то потрiбна оцiнка приросту ∆x′
x SW1
безпосередньо випливає з оцiнки (61). Використовуючи формулу (36), записуємо
∆x′
x S
xW1(t, x; τ, ξ) =
= ∆x′
x Q(t, x; τ, ξ) +
t1∫
τ
dλ
∫
Rn
∆x′
x S
xZ1(t, x;λ, y)Q(λ, y; τ, ξ)dy+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1493
+
η∫
t1
dλ
∫
Rn
∆x′
x S
xZ1(t, x;λ, y)∆X(t−λ)
y Q(λ, y; τ, ξ)dy+
+
t∫
η
dλ
∫
Rn
SxZ1(t, x;λ, y)∆X(t−λ)
y Q(λ, y; τ, ξ)dy−
−
t∫
η
dλ
∫
Rn
Sx
′
Z1(t, x′;λ, y)∆X′(t−λ)
x Q(λ, x; τ, ξ)dy+
+
η∫
t1
∆x′
x
∫
Rn
SxZ1(t, x;λ, y)dy
Q(λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ+
+
t∫
η
∫
Rn
SxZ1(t, x;λ, y)dy
Q(λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ+
+
η∫
t
∫
Rn
Sx
′
Z1(t, x′;λ, y)dy
Q(λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ =:
8∑
j=1
L′j ,
де t1 i η такi самi, як i в (47), а Sx таке саме, як i в (28).
Для L′1 справджується оцiнка (46). Щоб оцiнити L′2, використовуватимемо оцiн-
ки (33), (57) з α0 = α i нерiвнiсть (24). Одержимо
|L′2| ≤
t1∫
τ
dλ
∫
Rn
|∆x′
x S
xZ1(t, x;λ, y)||Q(λ, y; τ, ξ)|dy ≤
≤ C(d1(x;x′))α0
t1∫
τ
dλ
∫
Rn
(t− λ)−M1−1−α0/(2b)E(1,1)
c (t, x;λ, y)×
×(λ− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (λ, y; τ, ξ)dy ≤
≤ C(d1(x;x′))α0
t1∫
τ
(t− λ)−1−α0/(2b)(λ− τ)−1−α/(2b)dλ×
×
∫
Rn
E(1,1)
c (t, x;λ, y)E(1)
c (λ, y; τ, ξ)((t− λ)(λ− τ))−M1dy ≤
≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−1−α0/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)
t1∫
τ
(λ− τ)−1+α/(2b)dλ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1494 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−1−(α0−α)/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ) =
= C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1E(1)
c1 (t, x; τ, ξ),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, x′, ξ} ⊂ Rn.
За допомогою оцiнок (46), (57) з α0 = α, нерiвностей (24), (52) та рiвностi (51)
маємо
|L′3| ≤
η∫
t1
dλ
∫
Rn
|∆x′
x S
xZ1(t, x;λ, y)||∆X(t−λ)
y Q(λ, y; τ, ξ)|dy ≤
≤ C
η∫
t1
dλ
∫
Rn
(d1(x;x′))α0(t− λ)−M1−1−α0/(2b)E(1,1)
c (t, x;λ, y)×
×(d1(X(t− λ); y))α(λ− τ)−M1−1(E(1)
c (λ, y; τ, ξ) + E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ))dy ≤
≤ C(d1(x;x′))α0
η∫
t1
(t− λ)−M1−1−(α0−α)/(2b)
∫
Rn
E(1,1)
c1 (t, x;λ, y)(λ− τ)−M1−1×
×(E(1)
c (λ, y; τ, ξ) + E(1)
c2 (t, x; τ, ξ))dydλ ≤
≤ C(d1(x;x′))α0
η∫
t1
(t− λ)−M1−1−(α0−α)/(2b)×
×
∫
Rn
E(1,1)
c1 (t, x;λ, y)E(1)
c (λ, y; ; τ, ξ)dy(λ− τ)−M1−1dλ+
+
η∫
t1
(t− λ)−M1−1−(α0−α)/(2b)
∫
Rn
E(1,1)
c1 (t, x;λ, y)dy×
×(λ− τ)−M1−1dλE(1)
c2 (t, x; τ, ξ)
)
≤
≤ C(d1(x;x′))α0
(t− τ)−M1−1E(1)
c3 (t, x; τ, ξ)
η∫
t1
(t− λ)−1−(α0−α)/(2b)dλ+
+(t− τ)−M1−1E(1)
c2 (t, x; τ, ξ)
η∫
t1
(t− λ)−1−(α0−α)/(2b)dλ
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1495
≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−1E(1)
c (t, x; τ, ξ)
η∫
t1
(t− λ)−1−(α0−α)/(2b)dλ ≤
≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−1E(1)
c (t, x; τ, ξ)(t− η)(α−α0)/(2b)dλ =
= C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1E(1)
c (t, x; τ, ξ).
Iнтеграли L′4 i L′5 оцiнюються однаково, розглянемо, наприклад, L′4. На пiдставi
оцiнок (19), (46), нерiвностей (24), (52) та рiвностi (51) одержуємо
|L′4| ≤
t∫
η
dλ
∫
Rn
|SxZ1(t, x;λ, y)||∆X(t−τ)
y Q(λ, y; τ, ξ)dy ≤
≤ C
t∫
η
dλ
∫
Rn
(t− λ)−M1−1E(1,1)
c (t, x;λ, y)(d1(X(t− λ); y))α×
×(λ− τ)−M1−1(E(1)
c (λ, y; τ, ξ) + E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ))dy ≤
≤
t∫
η
dλ
∫
Rn
(t− λ)−M1−1+α/(2b)E(1,1)
c1 (t, x;λ, y)(λ− τ)−M1−1×
×(E(1)
c (λ, y; τ, ξ) + E(1)
c2 (t, x; τ, ξ))dy ≤
≤ C
t∫
η
(t− λ)−1+α/(2b)(λ− τ)−1dλ×
×
∫
Rn
E(1,1)
c1 (t, x;λ, y)E(1)
c (λ, y; τ, ξ)((t− λ)(λ− τ))−M1dy+
+C
t∫
η
(t− λ)−1+α/(2b)(λ− τ)−M1−1dλ×
×
∫
Rn
(t− λ)−M1E(1,1)
c1 (t, x;λ, y)dyE(1)
c2 (t, x; τ, ξ) ≤
≤ C(t− τ)−M1−1E(1)
c3 (t, x; τ, ξ)
t∫
η
(t− λ)−1+α/(2b)dλ+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1496 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
+C(t− τ)−M1−1E(1)
c4 (t, x; τ, ξ)
t∫
η
(t− λ)−1+α/(2b)dλ ≤
≤ C(t− τ)−M1−1E(1)
c5 (t, x; τ, ξ)
t∫
η
(t− λ)−1+α/(2b)dλ =
= C(t− τ)−M1−1E(1)
c5 (t, x; τ, ξ)(t− η)α/(2b) ≤
≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1E(1)
c5 (t, x; τ, ξ).
За допомогою (22) та (33) знаходимо
|L′6| ≤
η∫
t1
∣∣∣∣∣∣ ∆x′
x
∫
Rn
SxZ1(t, x;λ, y)dy
∣∣∣∣∣∣ |Q(λ,X(t− λ); τ, ξ)|dλ ≤
≤ C
η∫
t1
(d1(x;x′))α0(t− λ)−1−(α0−α)/(2b)(λ− τ)−M1−1+α/(2b)×
×E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ ≤
≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−1+α/(2b)×
×
η∫
t1
(t− λ)−1−(α0−α)/2dλE(1)
c1 (t, x; τ, ξ) ≤
≤ C(d1(x;x′))α0(t− τ)−M1−1+α/(2b)(d1(x;x′))−α0+αE(1)
c1 (t, x; τ, ξ) =
= C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ).
Залишилось розглянути iнтеграли L′7 i L′8. Оскiльки вони оцiнюються однаково,
то розглянемо лише L′7. Використовуючи оцiнки (20) i (33), маємо
|L′7| ≤
t∫
η
∣∣∣∣∣∣
∫
Rn
SxZ1(t, x;λ, y)dy||Q(λ,X(t− λ); τ, ξ)
∣∣∣∣∣∣ dλ ≤
≤ C
t∫
η
(t− λ)−1+α/(2b)(λ− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c (λ,X(t− λ); τ, ξ)dλ ≤
≤ C(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ)(t− η)α/(2b) ≤
≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1+α/(2b)E(1)
c1 (t, x; τ, ξ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1497
Отже, справджуються оцiнки
|∆x′
x SW1(t, x; τ, ξ)| ≤
≤ C(d1(x;x′))α(t− τ)−M1−1(E(1)
c (t, x; τ, ξ) + E(1)
c (t, x′; τ, ξ)),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, x′, ξ} ⊂ Rn.
(62)
З оцiнок (19), (57), (62) i формули (45) випливають оцiнки (42).
Теорему 1 доведено.
Сформулюємо аналогiчну до теореми 1 теорему для рiвнянь iз класу E23 ви-
гляду
(S −A3(t, x, ∂x1
))u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π(0,T ], (63)
де диференцiальний вираз A3 задано формулою (5). Рiвняння, спряжене до цього
рiвняння, має вигляд
S∗v(τ, ξ)−
∑
||k1||≤2b
(−∂ξ1)k1(āk1(τ, ξ)v(τ, ξ)) = 0, (τ, ξ) ∈ Π[0,T ). (64)
Теорема 2. Якщо виконуються умови α23 i α33, то для рiвняння (63) iснує
ФРЗК Z, для якого справджуються оцiнки
|∂k1x1
Z(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M3−||k1||/(2b)E(3)
c (t, x; τ, ξ), ‖k1‖ ≤ 2b,
|SZ(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M3−1E(3)
c (t, x; τ, ξ),
|∆x′
x ∂
k1
x1
Z(t, x; τ, ξ)| ≤ C(d3(x;x′))
α
(t− τ)−M3−(||k1||+α)/(2b)×
×(E(3)
c (t, x; τ, ξ) + E(3)
c (t, x′; τ, ξ)), ‖k1‖ ≤ 2b,
|∆x′
x SZ(t, x; τ, ξ)| ≤ C(d3(x;x′))
α
(t− τ)−M3−1−α/(2b)×
×(E(3)
c (t, x; τ, ξ) + E(3)
c (t, x′; τ, ξ)),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1498 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
E(3)
c (t, x; τ, ξ) := E(3,0)
c (t, x1; τ, ξ1)
∞∑
s=0
(ĈΓ(α/(2b))×
×(t− τ)α/(2b))s(Γ(sα/(2b)))−1E
(3,1)
cδs0
(t, x; τ, ξ),
E(3,0)
c (t, x1; τ, ξ1) := exp
{
−c
n1∑
k=1
(t− τ)1−qk |x1k − ξ1k|qk
}
,
E(3,1)
c (t, x1; τ, ξ1) := exp
{
−c
3∑
s=1
ns∑
k=1
(t− τ)1−qks|Xsk(t− τ)− ξsk|qk
}
,
qj := (2bj)/(2bj − 1),
M3 :=
3∑
j=1
nj∑
i=1
(j − 1 + 1/(2bi)).
(65)
За додаткової умови α43 для спряженого рiвняння (64) iснує ФРЗК Z∗, зв’яза-
ний з ФРЗК Z рiвнiстю (43), i для Z є правильною формула згортки (44).
Розглянемо тепер рiвняння iз класу E22. Воно має вигляд
(S −A2(t, x, ∂x1
))u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π(0,T ], (66)
в якому диференцiальний вираз A2 задано формулою (4). Спряженим до нього є
рiвняння
S∗v(τ, ξ)−
n1∑
j,s=1
∂ξ1j∂ξ1s(ājs(τ, ξ)v(τ, ξ))+
+
n1∑
j=1
∂ξ1j (āj(τ, ξ)v(τ, ξ))− ā0(τ, ξ)v(τ, ξ) = 0, (τ, ξ) ∈ Π[0,T ). (67)
Сформулюємо теорему про ФРЗК для рiвняння (66). Для цього рiвняння, як
частинного випадку рiвняння (37), також справджується теорема 1. Але оскiльки
для цього випадку замiсть оцiнюючої функцiї E(1)
c можна брати функцiю
E(2)
c (t, x; τ, ξ) := exp
{
−c
3∑
s=1
(t− τ)1−2s|Xs(t− τ)− ξs|2
}
,
t > τ, {x, ξ} ⊂ Rn,
(68)
то для рiвняння (66) твердження теореми 1 iстотно покращуються. А саме є пра-
вильною наступна теорема.
Теорема 3. Якщо виконуються умови α22 i α32, то для рiвняння (66) iснує
ФРЗК Z, для якого справджуються оцiнки
|∂k1x1
Z(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M2−|k1|/2E(2)
c (t, x; τ, ξ), |k1| ≤ 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ . . . 1499
|SZ(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M2−1E(2)
c (t, x; τ, ξ),
|∆x′
x ∂
k1
x1
Z(t, x; τ, ξ)| ≤ C(d2(x;x′))
α
(t− τ)−M2−(|k1|+α)/2×
×(E(2)
c (t, x; τ, ξ) + E(2)
c (t, x′; τ, ξ)), |k1| ≤ 2,
|∆x′
x SZ(t, x; τ, ξ)| ≤ C(d2(x;x′))
α
(t− τ)−M2−1−α/2×
×(E(2)
c (t, x; τ, ξ) + E(2)
c (t, x′; τ, ξ)),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn,
де
M2 :=
3∑
j=1
(j − 1 + 1/2)nj .
За додаткової умови α42 для спряженого рiвняння (67) iснує ФРЗК Z∗, зв’яза-
ний з ФРЗК Z рiвнiстю (43), i для Z є правильною формула згортки (44).
4. Iснування та властивостi ФРЗК для рiвнянь iз класiв EB
21 –EB
23. Наведемо
результати щодо ФРЗК для рiвнянь (1s), s ∈ {1, 2, 3}. Використовуватимемо числа
Ms :=
3∑
l=1
(l − 1 + 1/(2b))nl для s = 1,
3∑
l=1
(l − 1/2)nl для s = 2,
3∑
l=1
nl∑
j=1
(l − 1 + 1/(2bj)) для s = 3
i
‖k1‖s :=
|k1| для s ∈ {1, 2},
‖k1‖ для s = 3,
k1 ∈ Zn1
+ ,
оцiнюючi функцiї E(1,1)
c , E
(1)
c , E
(2)
c , E
(3,1)
c i E(3)
c iз формул (23), (35), (68) i (65),
в яких точки X(t) := (X1(t), X2(t), X3(t)), Xs(t) := (Xs1(t), . . . , Xsns(t)), s ∈
∈ {1, 2, 3}, означено в (9), та диференцiальнi вирази
S∗B := −∂τ +
n2∑
j=1
(
n1∑
s=1
b1sjξ1s
)
∂ξ2j +
n3∑
j=1
(
n2∑
s=1
b2sjξ2s
)
∂ξ3j
i A∗s(τ, ξ, ∂ξ1), якi є спряженими вiдповiдно до SB i As(t, x, ∂x1).
Iз вказаного у п. 2 зв’язку мiж класами рiвнянь EB
21 –EB
23 i E21 –E23 та теорем
1 – 3 випливає наступна теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
1500 С. Д. IВАСИШЕН, В. В. ЛАЮК
Теорема 4. Нехай s ∈ {1, 2, 3} i виконуються умови α1, α2s i α3s. Тодi для
рiвняння (1s) iснує ФРЗК Zs, для якого справджуються оцiнки
|∂k1x1
Zs(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−Ms−||k1||s/rsE(s)
c (t, x; τ, ξ), ‖k1‖s ≤ rs,
|SBZs(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−Ms−1E(s)
c (t, x; τ, ξ),
|∆x′
x ∂
k1
x1
Zs(t, x; τ, ξ)| ≤ C(ds(x;x′))
α
(t− τ)−Ms−(||k1||s+α)/rs×
×(E(s)
c (t, x; τ, ξ) + E(s)
c (t, x′; τ, ξ)), ‖k1‖s ≤ rs,
|∆x′
x SBZs(t, x; τ, ξ)| ≤ C(ds(x;x′))
α
(t− τ)−Ms−1−α/rs×
×(E(s)
c (t, x; τ, ξ) + E(s)
c (t, x′; τ, ξ)),∣∣∣∣∣∣
∫
Rn
∂k1x1
Zs(t, x; τ, ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤ C(t− τ)−(‖k1‖s−α)/rs , 0 < ‖k1‖s ≤ rs,
∣∣∣∣∣∣
∫
Rn
SBZs(t, x; τ, ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤ C(t− τ)−1+α/rs ,
в яких 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, x′, ξ} ⊂ Rn, C i c — додатнi сталi, а r1 := 2b, r2 := 2 i
r3 := 2b.
Якщо додатково виконується умова α4s, то для спряженого рiвняння
(S∗B −A∗s(τ, ξ, ∂ξ1))v(τ, ξ) = 0, (τ, ξ) ∈ Π[0,T ),
iснує ФРЗК Z∗s , який зв’язаний iз Zs рiвнiстю (43), i для Zs є правильною формула
згортки (44).
1. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and
pseudo-differential equations of parabolic type // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2004. – 152. –
390 p.
2. Iвасишен С. Д., Лаюк В. В. Задача Кошi для деяких вироджених параболiчних рiвнянь типу
Колмогорова // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 3. – С. 56 – 65.
3. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. – М.: Мир, 1989. – 635 с.
4. Di Francesco M., Pascucci A. On a class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type // Appl.
Math. Res. Express. – 2005. – № 3. – P. 77 – 116.
5. Лаюк В. В. Фундаментальний розв’язок задачi Кошi для одного класу вироджених параболiчних
рiвнянь типу Колмогорова // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту: зб. наук. пр. – 2005. – 239. – С. 82 – 85.
Одержано 29.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 11
|